GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

Transkript

1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir Kaynaklar Yrd. Doç. Dr. Servet Es, Lineer Cebir Ders Notları, YTÜ Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü Prof. Dr. Salih Karaali, Lineer Cebir Michael O Nan, Linear Algebra Seymour Lipschutz, Schaum s Outlines Lineer Cebir Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Lineer Homojen Denklemler Vektörler Bir Matrisin Özdeğerleri ve Özvektörleri Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık A mn = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a mn Gerçek veya kompleks sayıların dikdörtgensel dizisidir. A= a 11 a 23 a 43 1

2 Matris tipleri Dikdörtgensel matris Kare matris Köşegen (Diyagonal) matris Birim matris Skaler matris Sıfır matrisi 2

3 Simetrik matris Antisimetrik (ters) matris Üst-üçgensel matris Alt-üçgensel matris Satır matrisi veya Satır vektörü Sütun matrisi veya Sütun vektörü a 1 a 2 a N İki matrisin eşitliği A = a ij ; B = b ij a ij =b ij =>A=B A = , B = b 11 b 12 b 21 b 22 3

4 in toplamı Koşul: Boyutlar aynı olmalı A+B=[a ij ] +[b ij ] =[a ij +b ij ] A = B = in toplamına ait özellikler (A+B)+C=A+(B+C) (Birleşme özelliği) A+B=B+A (Değişme özelliği) A+(-A)=-A+A=0 A+0=0+A=A k.(a+b)=k.a+k.b (k bir skalerdir) İki matrisin farkı Koşul: Boyutlar aynı olmalı A+B=[a ij ] -[b ij ] =[a ij -b ij ] A = B = Bir matrisin reel bir sayı ile çarpımı k.a=k.[a ij ]=[k.a ij ] A = A = in çarpımı Koşul: Birinci matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı aynı olmalı a 11 a 12 b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 A=[a ij ] (mp), B=[b jk ] (pn) AB=[ n j=1 a ij.b jk ] (mn) =C (mn) = a 11b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 4

5 = ( 2) ( 2) = in çarpımına ait özellikler (A.B).C=A.(B.C) (Birleşme özelliği) A.(B+C)=A.B+A.C (A+B).C=A.C+B.C A.B B.A Bir kare matrisinin kuvveti A bir kare matrisi ise bu matrisin p defa kendisi ile çarpımına A matrisinin kuvveti denir. A.A.A A=A p p tane Bir matrisin transpozesi (devriği) mxn boyutundan bir A matrisinin aynı numaralı satırlarla sütunlarının yer değiştirmesinden elde edilen nxm boyutundaki matrise A nın transpozesi (devriği) denir. A T, A d, A A=[a ij ]mxn A T =[a ji ]nxm A = A T = Matrisin transpozesine ait özellikler (A T ) T =A k.(a T )=k.a T (k bir skalerdir) (A+B) T =A T +B T (A.B) T =B T.A T A simetrik matris ise A T =A A antisimetrik matris ise A T =-A 5

6 Bir kare matrisin izi Bir kare matrisin izinin özellikleri A = iz(a) = N i= a ii iz(a)=3+5+8=16 A=[aij] ve B=[bij] nxn kare matrisler ise iz(a+b)=iz(a)+iz(b) iz(a T )=iz(a) iz(k.a)=k.iz(a) (k bir skalerdir) iz(a.b)=iz(b.a) Bir matrisin eşleneği A=[aij] kompleks matris ( z = a + bi kompleks bir sayı ise eşleneği z = a bi ) A = 3 + 4i i 1 + i 5 2 i 6i A = 3 4i i 1 i i 6i Örnekler 1. A = , B = , C = A+5.B-3.C=? A = 3 4, B = 1 5 A+B-D=0=>D=? A = 1 3 5, B = 2 0 A.B=?, B.A=? A = , f(x) = 2. x3 x x + 7, f(a) =? A = 8 3, B = A. B T = B T. A T? 1 7 Parçalı (Blok) ve Alt matrisler Parçalı (Blok) ve alt matrisler A B A.B 6

7 Bir kare matrisin tersi (inversi) A.A -1 =I eşitliğini sağlayan A -1 matrisine A matrisinin tersi denir. (A, A -1, I; n boyutlu bir kare matris det(a) 0) det(a)=0 ise A matrisi tekildir (singülerdir). Tekil matrislerin tersi (inversi) yoktur. Bir kare matrisin tersinin (inversinin) özellikleri A ve B singüler olmayan nxn matrisler ise A.B matrisi de singüler değildir. (AB) -1 =B -1 A -1 A singüler olmayan bir matris ise A -1 matrisi de singüler olmayan matristir. (A -1 ) -1 =A A singüler değilse, A T de singüler değildir. (A T ) -1 =(A -1 ) T 2x2 matrisin tersi A.A -1 =I Yöntem: Tanımdan hesaplama a b c d = a b c d = Elementer Satır ve Sütun Dönüşümleri Satır => S ; Sütun=> K 1. A nın i. ve j. satırlarını (sütunlarını) yer değiştirme S i S j 2. A nın i. satırını (sütununu) bir c 0 sayısı ile çarpma cs i S i 3. A nın i. satırının (sütununun) c katını j. satıra (sütuna) ekleme cs i + S j S j Denk İki matristen biri diğerinden elementer dönüşümler ile elde edilmiş ise bu matrise denk matrisler denir. Denk matrisler arasına "~" işareti konur. Satır Eşelon formu ve İndirgenmiş Satır Eşelon formu a) Eğer bütün elemanları sıfır olan satırlar varsa bu satırlar matrisin en altında yer alır. b) Bir satırdaki sıfırdan farklı baş eleman bir önceki satırın sıfırdan farklı baş elemanının sağ yanındadır. c) Tamamı sıfır olmayan bir satırdaki, sıfır olmayan ilk sayı (baş eleman) 1 dir. d) Eğer bir sütun herhangi bir satırın baş elemanını içinde bulunduruyorsa, o sütundaki diğer bütün elemanlar sıfırdır. 7

8 Eşelon formu ve İndirgenmiş Eşelon formu Bir A mxn matrisi, yukarıdaki a, b ve c koşullarını sağlıyorsa Satır Eşelon formundadır, tüm koşulları sağlıyorsa İndirgenmiş Satır Eşelon formundadır. Örnek: A = İndirgenmiş Satır eşelon formu Satır eşelon formu Satır eşelon formu İndirgenmiş Satır eşelon formu Hiçbiri Bir kare matrisin tersi (inversi) 2.Yöntem: Elementer satır dönüşümleri ile hesaplama A I n I n A 1 Örnek: