YERYUVARININ DIŞ ÇEKİM ALANININ ELİPSOİDAL HARMONİKLERE AÇINIMI: KÜRESEL HARMONİKLERDEN ELİPSOİDAL HARMONİKLERE DÖNÜŞÜM

Transkript

1 Slçk Ünivrsitsi Jodi v Fotoramtri Mühndisliği Öğrtimind 3. Yõl Smpom,6-8 Ekim, Kona SUNULMUŞ BİLDİRİ YERYUARININ DIŞ ÇEKİM ALANININ ELİSOİDAL HARMONİKLERE AÇINIMI: KÜRESEL HARMONİKLERDEN ELİSOİDAL HARMONİKLERE DÖNÜŞÜM Adõn ÜSTÜN Yõldõ Tknik Ünivrsitsi, Fn Bilimlri Enstitüsü, 875 İSTANBUL Öt: Yrvarõnõn kitl dağõlõmõ tam olarak bilidiğindn dõş çkim potansili, Laplac difransil dnklminin çöümünü vrn harmonik fonksionlar il östrilir. B östrimd matmatiksl bir kolalõk sağladõğõ için nllikl kürsl harmoniklr kllanõlmaktadõr. Ancak ktplardan basõk bir dönl lipsoit rvarõnõn rçk şklin kürdn daha akõndõr. Gomtrik rfrans üi olarak kllanõlan dönl lipsoit, rvarõnõn dõş çkim alanõ için d bir rfrans ü olarak kllanõlabilir. Dõş çkim alanõnõ lipsoidal harmoniklrl östrbilmk için Laplac dnklminin lipsoidal koordinat sistmind tanõmlaasõ rkir. B çalõşmada lipsoidal koordinatlara ör tanõmlanan Laplac dnklmi için jodik sõnõr dğr problminin çöümü v lipsoidal katsaõlarõn blirld ilnn işlm adõmlarõ açõklaõş, katsaõ blirlm öntmlrindn biri olarak kürsl harmoniklrdn lipsoidal harmoniklr dönüşüm şitliklri vrilmiş v EGM96 lobal jopotansil modl katsaõlarõ kllanõlarak saõsal bir lama rçklştirilmiştir. Anahtar söcüklr: Yrvarõnõn çkim alanõ, Elipsoidal harmoniklr, Elipsoidal koordinatlar, EGM96 lobal jopotansil modli, Lndr polinomlarõ. GİRİŞ Jodik ölmlrin hmn hmn tamamõnõ tkiln rçkimi, rvarõnõn şklinin blirlsi problmi il anõ önm sahiptir. B problm omtrik v fiiksl rçğ akõn bir modlin rfrans tanõmlaasõnõ rkli kõlar. Ancak önclikl rfrans üi n olmalõdõr? sorsnn cvabõ araalõdõr. Bir an için rvarõnõn sla kaplõ oldğn v kndi ksni trafõnda sabit bir hõla döndüğünü düşünlim. Kitl oğnlk dağõlõmõ homojn olan böl bir cisim, kndi çkim alanõ v mrkkaç kvvtinin tkisil hidrostatik bir dn drm olştrr. Dn halindki s kitllrinin üi ktplarda basõk bir kür dönl lipsoit örünümünü alõr. Sonç olarak çkim v mrkkaç kvvti rvarõnõn şklini blirln tml kvvtlrdir. Ykarõdaki pararaftan da anlaşõldõğõ ibi dönl lipsoit rvarõnõn omtrik v fiiksl rfrans üi olarak kllanõlabilir. Öt andan d örünsi blirlm çalõşmalarõna başlanõlmasõndan b ana rvarõnõn dõş çkim potansili, sonl kürsl harmonik srilrl östrilmktdir [Rapp, 997]: N ma n n GM a ϑ,, r C m S m ϑ r r n m Brada ϑ,, r sõrasõla josntrik nlm, bolam v arõçap kürsl koordinatlar, N ma kürsl harmonik açõnõmõn maksimm drcsi, GM Nwton n vrnsl çkim sabiti 74

2 Üstün v rvarõnõn kütlsi çarpõmõ a da kõsaca jodik çkim sabiti, a kvatoral arõçap, C v S tam normallştirilmiş kürsl harmonik katsaõlar v tam normallştirilmiş birinci tür Lndr fonksiondr. Matmatiksl olarak basit, saõsal lamaa lvrişli olmasõ ndnil lobal jopotansil modllr için rfrans üi olarak nllikl lipsoit rin kür trcih dilir., joidin dõşõnda harmonik bir fonksiondr. Kürsl koordinatlarla östriln Laplac difransil dnklmin ilişkin sõnõr dğr problmlrinin çöümü olarak ld dilir [Hiskann v Morit, 984; s.45-49]. Açõnõm torik olarak sons olmalõdõr. Ancak rüünd kõsõtlõ saõda rçklştirilmiş ölmlr ndnil blirli bir drcd sonlandõrõlmõş srilrl östrilir. Global jopotansil modl blirlm v kllanõmõ hakkõnda tori v lamalar Martinc [998], avlis [997] v Rapp [997] d blnabilir. Ulama açõsõndan rvarõnõn dõş çkim potansilinin lipsoidal harmoniklrl östrilmsi son irmi õllõk sürd jodik litratür kon olmştr [Jkli, 988; Glason, 988; Sona, 995; Thon v Grafarnd, 989; Y v Cao, 995]. Yrvarõnõn örünümü bir kürdn iad dönl lipsoidi çağrõştõrõr. Ötki jodik büüklüklrd oldğ ibi ravimtrik büüklüklr d lipsoid ilişkin rfrans dğrlrl daha çabk aklaşõlõr. Başka bir dişl tirilck dültm kürninkilr ör daha küçüktür. Yrvarõnõn dõş çkim alanõna lipsoidal harmonik srilrl aklaşõlmasõnda da drm anõdõr. Öllikl çkim potansilinin harmonik srilrl blirld noktalarõn çkn cisim dõşõnda olmasõ ornllğ ö önün alõndõğõnda, lipsoidal harmoniklrin önmi büüktür. Şkil dn d örüldüğü ibi rüün akõn noktalar, arõçapõ rvarõnõn kvatoral arõçapõ a a şit bir kürnin içind kalmaktadõr. Osa ki çkim potansili sadc çkn cismin dõşõnda harmoniktir; lipsoit üind kürsl harmonik açõnõmõ kllaak olanaksõlaşõr. Joit Kür r a b a En n lipsoit E a, b Şkil. Yrvarõnõn ravit alanõnõn östrimind kllanõlan rfrans ülr Matmatiksl v saõsal ndnlrdn dolaõ jodik çalõşmalarda aõn olarak kllanõlmasa da, lipsoidal harmonik açõnõm rvarõnõn ravit alanõ için daha rçkçidir. B çalõşma il rvarõnõn dõş ravit alanõnõn lipsoidal harmonik srilrl östrilmsi v b modlin jodik çalõşmalardaki önmin ilişkin bili vrilmsi amaçlaõştõr. 75

3 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm. YERYUARININ GRAİTE ALANI v ÇEKİM OTANSİYELİ Yrçkiminin ünlük aşantõmõdan vrn dk anan tkisi, cisimlrin rüünd v ada nasõl harkt dcğini blirlr. Bir vktör alanõ olan rvarõnõn ravit alanõ Nwton n vrnsl çkim v harkt asalarõ il tanõmlanõr:! Aralarõndaki aklõk r olan iki kitl, birbirini kütllri il doğr, aralarõndaki aklõğõn karsi il trs orantõlõ olarak çkr.! Dönn bir cisim, ürind blnan başka cisimlr için dö harktindn dolaõ mrkkaç kvvti olştrr.! Kvvt, ivm v kütl çarpõmõna şittir. Bna ör rüündki bir cism tki dn ravit ağõrlõk kvvti, ρ F FC FM G r dv pω m 3 r v F C kitlsl çkim v F M mrkkaç kvvtinin bilşksidir. Brada dv rvarõnõn hacim lmanõ, ρ hacim lmanõnõn oğnlğ, r hacim lmanõ il rüündki noktasal cisim arasõndaki bağõl konm vktörü, p noktasõnõn dülmindki konm vktörü, ω rvarõnõn açõsal hõõ, m nin kütlsi v üç katlõ intral rvarõnõn toplam kütli östrmktdir. Yrvarõnõn çkim alanõ içrid adaki hr noktaa F ağõrlõk kvvti -a da çkiln cisim birim kitl kabl dilirs ravit vktörü- karşõlõk lir. Uada blirli bir bölnin hr noktasõnda bir vktör konmn fonksion olarak vrilmişs, bir vktörl alandan sö dilir ki; ravit alanõ, fiikt bilinn önmli vktör alanlarõndan biridir. B vktör alanõnõn önmli ölliklrindn biri drağan olmasõ, i j k crl rot 3 amana bağlõ olarak dğişmmsidir. B drmda ravit alanõ skalr bir büüklükl başka bir dişl ravit potansili ρ ω W G dv p 4 r v il östrilbilir [aníčk v Krakiwsk, 986]. Uaõn hrhani bir noktasõnda ravit potansili W, 4 il blirlnbiliorsa rvarõnõn ravit alanõ bilinior dmktir. Grçkt b olanaksõdõr, çünkü rvarõnõn kitl oğnlk dağõlõmõ sadc rüün akõn böllrd biliktdir. B ndnl 76

4 Üstün G v ρ dv r çkim potansilinin blirlsi jodinin problmlrindn birini olştrr YERYUARININ GRAİTE ALANI v LALACE DENKLEMİ Çkim potansilind oldğ ibi matmatiksl fiiğin bir çok problmind skalr bir büüklüğü tüm ada konmn bir fonksion olarak doğrdan ölmsk d blli bir böldki davranõşõ hakkõnda bili sahibiidir: Çkim potansili çkn kitllrin dõşõnda Laplac dnklmini, içind oisson dnklmini 4πρG sağlar. B drmda nin blirlsi problmini rvarõnõn dõşõnda konma bağlõ harmonik bir fonksion blasõ şklind tanõmlaabiliri. Ancak önclikl problmin omtri n bir koordinat sistminin blirlsi rkmktdir. Kür v dönl lipsoit sö kons problmin çöümünd kllanõlabilir. Girişt d vrlandõğõ ür dönl lipsoit rvarõ için daha n bir modldir. B ndnl brada lipsoidal koordinat sistmin ör tanõmlanan Laplac difransil dnklmi v sõnõr dğr problmlrinin çöümü l alõõştõr. 3. Elipsoidal Koordinatlar B sabit c O sabit,, F A dülmi sabit Hiprboloit a sabit dönl lipsoit O A sabit sabit dülm Şkil. Elipsoidal koordinatlar 77

5 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm 78 Elipsoidal koordinat sistmi,,, a b 6 olmak ür ş odaklõ lipsoit v hiprboloit aillril tanõmlanõr Şkil. B ü aillrindn biri olan v rvarõnõ tmsil dn rfrans lipsoidi, üin dõşõnda a da içind harmonik bir fonksion blirlmk, ölmlri fiiksl rçk sõnõra n n matmatiksl ü ürind östrmk için kllanõlõr. Elipsoidal koordinat sistmind bir noktasõ, 7 dönl lipsoit, 8 tk apraklõ hiprboloit v tan 9 mridn dülminin ksişimi il östrilir. noktasõnda b ülr ortoonaldir.,, dik v,, lipsoidal koordinatlar arasõndaki dönüşüm şitliklri [ ] [ ] / / 4 4 arc arctan il vrilir [Sil, 973; Thon v Grafarnd, 989]. 3. Laplac Difransil Dnklminin Çöümü Çkim potansili rvarõnõn dõşõnda harmoniktir. Hrhani bir koordinat sistmindki harmonik srilr, Laplac difransil dnklminin çöümünü olştrr.

6 Üstün 79 Anõ çöüm, problmin omtri n n koordinat sistmi olan lipsoidal koordinat sistmind d ld dilbilir. Bnn için önclikl Laplac kõsmi difransil dnklmi lipsoidal koordinatlarla östrilmlidir. Ortoonal lipsoidal koordinat sistmind çkim potansili nin skalr Laplasini, rad div il östrilir. Brada,, lipsoidal koordinat sistmin ilişkin mtrik katsaõlar;, mtrik tnsörün dtrminantõdõr:,, v 4, d rlrin konlrsa lipsoidal koordinatlarla Laplac dnklmi, tan 5 ld dilir [Hiskann v Morit, 984]. 5 in çöümünd kõsmi difransil dnklmlrinin tml çöüm öntmlrindn biri olan dğişknlr arõştõrma öntmindn ararlanõlõr. Bnn için çkim potansilinin bağõmsõ üç fonksionn çarpõmõna,, U Λ Φ 6 şit oldğ önörülür. 6, 5 d rin konrsa Φ, Λ v U için üç arõ adi difransil dnklm ld dilir Stäckl matrisi kllanõlarak b sonca daha kola laşõlabilir. Bak. Moon v Spncr [97], s.5.,, a bağõmlõ hr adi difransil dnklm için arõ bir çöüm rçklştirilirs / / i i U m m a da a da a da Λ Φ 7 çõkar. Brada m n olmak ür n v m poitif tamsaõ, v sõrasõla bütünlşik birinci v ikinci tür Lndr fonksiondr. Φ, Λ v U a ilişkin difransil

7 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm dnklmlr doğrsal oldğndan bnlarõn çöümlrinin doğrsal kombinason da bir çöümdür kralõ ö önün alõnõr v bnlar 6 da rlrin konlrsa lipsoidal koordinat sistmind Laplac difransil dnklminin çöümü n n m [ C m S m],, i / 8 ld dilir [Hobson, 93; Hiskann v Morit, 984]. Brada C, S kfi saõlardõr. 4. LALACE DENKLEMİ İÇİN JEODEZİK SINIR DEĞER ROBLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ v GLOBAL JEOOTANSİYEL MODEL Yrvarõnõn ravit alanõnõn blirlsi potansil kramõnõn sõnõr dğr problmlrinin çöümü il ödştir. Sõnõr dğr problmi, sõnõr ü ürindki limit dğrlrini kllanarak üin dõşõnda harmonik bir fonksionn blasõ şklind tanõmlanõr. Brada söü diln sõnõr dğrlr rüünd ölnn ravit anomalilri, jopotansil saõlar v dnilrdki altimtr vrilrindn türtiln ravit anomalilridir. Çöüm üç aşamada rçklştirilir: tüm ada bilin bir fonksionn blirli bir böldki davranõşõnõn alan ölliklrinin blirlsi, bilin fonksionn a da fonksionllrinin bir sõnõr ü ürindki dğrlrinin ölsi, ölm dnklmlrinin olştrlmasõ v doğrsallaştõrõlmasõ, 3 rğindn fala ölmlr ardõmõla bilin paramtrlrin dnlm olla kstirilmsi. Ana hatlarõla lobal ravit alanõnõn blirlsi problminin matmatiksl tanõmõ aşağõdaki ibi apõlabilir: div rad rvarõnõn dõşõnda div rad 4πρG rvarõnõn içind Difransil dnklmlr 9a rad b rüünd rüünd joitt Sõnõr dğrlr 9b GM O sonsda r r r Sonsda dünlilik Mrkkaç kvvti, astronomik ölmlr ardõmõla blirlnbildiğindn rvarõnõn ravit alanõnõn blirld bir problm olştrma. B ndnl 9 şitliklri mrkkaç kvvtinin tkidn arõndõrõlmõştõr. 9c 8 bağõntõsõ lipsoidal koordinatlara ör Laplac difransil dnklminin çöümüdür. Bndan sonraki adõm lipsoit üin indiriş sõnõr dğrlr ardõmõla C, S katsaõlarõnõ blirlmktir. B dõş ravit alanõnõn lipsoidal harmoniklrl östrimi için rklidir. 8, 9b d östriln sõnõr koşllarõ sağlamalõdõr. B drmda lipsoit üind 8

8 Üstün n n m [ C m S m] f,, b ib / bağõntõsõ aõlabilir. Brada f lipsoit üi ürindki karşõlõk lir Drichlt koşl. Ötki sõnõr koşllarõ için d bnr dnklmlr olştrlabilir. m v m lipsoidal ü harmoniklrinin ortoonallik ölliği S s m w, ds a m S s m r w, sr ds b m r lipsoit üi ürind bilinn f dğrlrin ör katsaõlarõn blirld önmli bir rol onar. Brada S lipsoit üinin alanõnõ, ds ü lmanõnõ östrir. w,, ü harmoniklrinin lipsoit üi ürind ortoonal olmasõnõ sağlaan ağõrlõk fonksiondr [Arfkn, 985; Thon v Grafarnd, 989]. şitliğinin hr iki anõ, C için m, S için m il çarpõlõp, lipsoit üi ürind hr iki tarafõn intrali alõnõrsa a v b dn C S ib / S s w, f, m ds m çõkar. Böllikl lipsoidal katsaõlar lipsoit üi ürindki f, sõnõr dğrlrindn ld dilmiş olr. C v S katsaõlarõnõn ardõmõla blasõ lipsoidal harmonik anali olarak da bilinir. Katsaõlar 8 d rin konrsa lipsoit dõşõnda harmonik bir fonksion olan çkim potansili,, n n m i / ib / [ C m S m] 3 ld dilir. Ulama açõsõndan v 3 bağõntõlarõnõn hsaplamalar için doğrdan kllanõlmasõ lvrişli dğildir. Öllikl açõnõmõn üksk drcli trimlri için Lndr fonksionlarõ hõla sõfõra aklaşõr ani kararsõdõr. B ndnl lamada, v C, S rin onlardan blli bir oranda sapan tam normallştirilmiş, v C S, kllanõlõr. [Bak. Hiskann v Morit, 984; s4]. 8

9 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm 4. Kürsl Harmonik Katsaõlardan Elipsoidal Harmonik Katsaõlara Dönüşüm 9 il tanõmlanan jodik sõnõr dğr problminin çöümü için kür aklaşõmõ lanõrsa ld dilir. Elipsoidal harmonik katsaõlar ikinci bir öntm olarak kürsl harmonik katsaõlardan da dönüştürülbilir. İlk olarak Jkli [988] tarafõndan aõmlanan lipsoidal v kürsl harmonik açõnõm arasõndaki tam dönüşüm şitliklri, Sona [996], Thon v Grafarnd [989], Y v Cao [995] tarafõndan da incliştir. Brada sö kons çalõşmalarõn bir öti vrilmiştir. Bir karõşõklõlõğa ndn olmamak için kürsl harmonik katsaõlar s, lipsoidal harmonik katsaõlar üst indisi il östrilcktir. İki katsaõ kümsi arasõndaki dönüşüm dol lipsoit v kür harmoniklri arasõndaki ilişkidn ararlanarak ld dilir. Sonç olarak dönüşüm k n k m n k m n k m kn k n k m n 4k n 4k 5 a, k, k 4 olmak ür C S n m/ k s C n k, m b / k s 5 Sn k, m ardõmõla rçklştirilir. Toplam işlmi n m / nin tam dğrin laşõlõncaa kadar dvam ttirilir. 4. Lndr Fonksionlarõ Lndr difransil dnklmi, Laplac dnklminin dğişknlr arõştõrõlmasõndan sonra ld diln üç adi difransil dnklmdn biridir. Lndr fonksionlarõ b dnklmin çöümü olarak karşõmõa çõkar. Ulamada onlarõn açõk formüllri rin inlm bağõntõlarõ kllanõlõr. Aşağõda, birinci v ikinci tür Lndr fonksionlarõnõn hsabõ için rkli formüllr vrilmiştir fonksionlar hakkõnda daha arõntõlõ bili için Arfkn [985] v Hobson [93] bakõnõ. Tam normallştirilmiş birinci tür Lndr fonksionlarõ, başlanõç dğrlri kllanõlarak 8

10 Üstün nn n n n, n 4n n m n, m, n, n n n n n m n m n m n 3 n, n n, m 7 inlm bağõntõlarõ il hsaplanabilir. Tam normallştirilmiş ikinci tür Lndr fonksionlarõ, rvarõnõn dõş çkim alanõnõn lipsoidal harmoniklrl östrimind kllanõlõr. Ancak birinci tür Lndr fonksionlarõnõn ak ikinci tür Lndr fonksionlarõla komplks saõlar ld dilir. Sonçlar daha sonra rçk dğrlr dönüştürüls bil, n drc arttõkça sonçlar hõla kararsõlaşõr. Grçk dğrli v kararlõlaştõrõlmõş sonçlar ld tmk için Thon v Grafarnd [989] n m k n m k /, / k k 8 kn k / k, / m n a 9 bağõntõlarõnõn kllanõlmasõnõ önrmiştir. k dğrin laşõncaa kadar inlm dvam ttirilir. B işlm bilisaarda istnn bir darlõkta kontrol dilbilir. 8 v 9 bağõntõlarõ işlmci hõõna bağlõ olarak bilisaarda oğn bir hsap işlmi rktirir. Öllikl üksk drcli 36 dan daha büük açõnõmlar v çok saõda nokta için dğrlndirm apõlmasõ drmnda sonçlarõn ld dilmsi n aman alõr. Sona [995] Elipsoidin ürind sõnõrlõ bir tabakaa kadar b b 64 m 8 v 9 rin / b / b b / n n n m b n 3 3 aklaşõmõnõn kllanõlabilcğini östrmiştir. 4.3 Saõsal Ulama Yrvarõnõn ravit alanõnõn lipsoidal harmoniklrl östrilm ilişkin bir lama, EGM96 [Lmoni vd., 996] jopotansil modl katsaõlarõla rçklştirilmiştir. EGM96 çkim potansili nin kürsl harmonik açõnõmõdõr. Açõnõmõn maksimm drc v sõrasõ 36 dõr. Katsaõlarõ d ölm vrilri, rsl ravit v d 83

11 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm 8 3 altimtr vrilril blirlnn modl, GM m / s v a m rvarõ jodik paramtrlrini kllanõr. Tablo : EGM96 kür v lipsoit harmoniklrin ilişkin baõ katsaõlar C s Kür S s C Elipsoit n m.e.e.948e.e.e.e.e.e.e.e.e.e E-4.E E-4.E E-.9583E E E E E E E E-7.E E-7.E E E E E E E E E E E E E E-7.E E-7.E E E E E E E E E E E E E E E E E E-8.E E-8.E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E-7.E E-7.E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E- Elipsoidal harmonik östrim, karõdakilrin anõ sõra rfrans lipsoidinin dõş mrkliğinin d bilii rktirir. B lamada WGS84 lipsoidin ilişkin m dğri kllanõlmõştõr. Kürsl harmonik katsaõlardan lipsoidal harmonik katsaõlara dönüşüm 5 bağõntõsõla apõlõr. Bnn için önclikl b hsaplaalõdõr. b, EGM96 jopotansil modli için blirlnn kvatoral arõçap a v doğrsal dõşmrklik il tanõmlõ lipsoidin küçük arõksnidir. İkinci tür Lndr fonksionlarõnõn hsabõ için 8 v 9 bağõntõlarõ kllanõlmõştõr. B oğn bir hsap işlmi rktirdiği için n bir aõlõm dilinin sçilmsi önmlidir. B ndnl aloritmalar Microsoft isal C 6 da haõrlaõştõr. Kür v lipsoit harmoniklrin ilişkin katsaõlarõn baõlarõ Tablo d vrilmiştir. 5. SONUÇ Yrvarõnõn dõş çkim potansili Laplac dnklminin çöümünü vrn harmonik fonksionlar ardõmõla östrilbilir. B çalõşmada ünümü dğin aõn bir kllanõma sahip kürsl harmoniklr sçnk olarak lipsoidal harmoniklr tanõtõlmõştõr. Yrvarõnõn çkim alanõnõn blirlsi problmind çöüm, Laplac dnklmi v sõnõr dğr problmlrinin rvarõnõn omtri n n rfrans ü ör olştrlmasõla başlar. Kür a da lipsoit olmak ür iki sçnk vardõr. S 84

12 Üstün Çkn kitllrin dõşõnda çkim potansilinin harmonik oldğ rçği ö önün alõnõrsa hsap üi kitllri kşatmalõdõr. Yrvarõnõn kvatoral arõçapõna şit bir kür tüm kitllri kşatmasõna karşõn ktplardaki basõklõk ö ardõ dilmiş olr. B ndnl omtrik rfrans üi olarak da kllanõlan dönl lipsoit, rvarõnõn çkim potansilinin östrimind d rfrans üi olarak kllanõlabilir. Elipsoidal harmonik açõnõmõn matmatiksl tmli oldkça ski olmasõna karşõn, saõsal dğrlndirmdki üçlüklr ndnil lamaa çirilişi nidir. Öllikl ikinci tür Lndr fonksion oğn bir hsap işlmi rktirmktdir. Ancak son amanlardaki bilisaar olanaklarõnõn nişlmsi v matmatiksl krama ilişkin ni aklaşõmlar il b sorn önmli ölçüd aşõlmõştõr. 6. KAYNAKLAR Glason, D.M., Comparin Ellipsoidal Corrctions to th Transformation btwn th Gopotntial s Sphrical and Ellipsoidal Spctrms, Manscripta Godtica, 3: 4-9, 988. Hiskann, W. v Morit, Fiiksl Jodi, Ç: Onr GÜRKAN, Karadni Ünivrsitsi Basõmvi, Trabon, 984. Hobson, E.W., Th Thor of Sphrical and Ellipsoidal Harmonics, Cambrid Univrsit rss, 93. Jkli, C., Th Eact Transformation Btwn Ellipsoidal and Sphrical Harmonic Epansions, Manscripta Godtica, 3: 6-3, 988. Lmoin, F.G., D.E. Smith, L. Kn, R. Smith, E.C. avlis, N.K. avlis, S.M. Kolosko, D.S. Chinn, M.H. Torrnc, R.G. Williamson, C.M. Co, K.E. Rachlin, Y.M. Wan, S.C. Knon, R. Salman, R. Trimmr, R.H. Rapp, R.S. Nrm, Th Dvlopmnt of th NASA GSFC and NIMA Joint Gopotntial Modl. In: roc of Intrnational Smposim on Gravit Goid and Marin Gods,ol. 7, Sprinr rla, 996. Martinc, Z., Bondar-al roblms for Gravimtric Dtrmination of a rcis Goid, Lctr Nots in Earth Scincs, 73, Sprinr, Brlin, 998. Moon. Spncr, D.E., Fild Thor Handbook, Sprinr, Nw York, 97. avlis, N.K., Dvlopmnt and Applications of Gopotntial Modls, -47, Intrnational School for th Dtrmination and Us of th Goid, Lctr Nots, Intrnational Goid Srvic, 997. Rapp, R.H., Global Modls for th cm Goid rsnt Stats and Trm rospcts, 73-3, Godtic Bondar al roblms in iw of th On Cntimtr Goid, Lctr Nots in Earth Scincs, 65, F. Sanso v R. Rmml Drl., Sprinr, Brlin, 997. Sil, R., Einführn in di otntialthori, Hrbrt Wichmann rla, Karlsrh, 973. Sona, G., Nmrical roblms in th Comptation of Ellipsoidal Harmonics, Jornal of Gods, 7: 7-6, 995. Thon, N.C. v Grafarnd, E.W., A Sphroidal Harmonic Modl of th Trrstrial Gravitational Fild, Manscripta Godtica, 4: 85-34, 989. aníčk,. v Krakiwsk, E., Gods: Th Concpts, Scond Edition, Elsvir Scinc blishrs, Amstrdam,

13 Yr. Dõş Çk. Al. Elip. Harm. Açõnõmõ: Kür. Harm. Elip. Harm. Dönüşüm Y, J. v Cao, H., Elliptical Harmonic Sris and th Oriinal Stoks roblm with th Bondar of th Rfrnc Ellipsoid, Jornal of Gods, 7: ,