KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ

Save this PDF as:
Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ"

Transkript

1 KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ OCAK 04 ANKARA

2 Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM tarafıda hazırlaa KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ adlı bu tezi Doktora tezi olarak uygu olduğuu oaylarım. Doç. Dr. Fatma AYAZ Tez DaıĢmaı, Matematik Aabilim Dalı... Bu çalıģma, ürimiz tarafıda oy birliği ile Matematik Aabilim Dalıda Doktora tezi olarak kabul edilmiģtir. Prof. Dr. Hüseyi BEREKETOĞLU Matematik A.D. Akara Üiversitesi... Prof. Dr. Ogü DOĞRU Matematik A.D. Gazi Üiversitesi... Doç. Dr. Fatma AYAZ Matematik A.D. Gazi Üiversitesi.. Doç. Dr. Adil MISIR Matematik A.D. Gazi Üiversitesi.. Doç. Dr. Fahd JARAD Loistik Yöetimi, Türk Hava Kurumu Üiversitesi.. Tez Savuma Tarihi: Bu tez ile G.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü Yöetim Kurulu Doktora derecesii oamıģtır. Prof. Dr. ġeref SAĞIROĞLU Fe Bilimleri Estitüsü Müdürü

3 TEZ BĠLDĠRĠMĠ Tez içideki bütü bilgileri etik davraıģ ve akademik kurallar çerçeveside elde edilerek suulduğuu, ayrıca tez yazım kurallarıa uygu olarak hazırlaa bu çalıģmada baa ait olmaya her türlü ifade ve bilgii kayağıa eksiksiz atıf yapıldığıı bildiririm. Nilay Akgöüllü Pirim

4 iv KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ (Doktora Tezi) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ Ocak 04 ÖZET Bu tezde, kesir mertebeli lieer diferesiyel deklem ve deklem sistemlerii yaklaģık çözümleri içi Hermite Collocatio Metodu (HCM) geliģtirilmiģtir. Metot, bahsedile diferesiyel deklem veya deklem sistemii, sıralama (collocatio) oktalarıı kullaarak, bilimeyeleri Hermite katsayıları ola lieer cebirsel deklem sistemie döüģtürmektedir. Bu cebirsel sistem ise matrislerle ifade edilebilmekte ve matris cebri kullaarak sistemi kolayca çözülmesiyle de kesirli mertebede lieer deklem ve sistemlerii kesilmiģ seri ciside yaklaģık çözümlerie ulaģılabilmektedir. Bilim Kodu : Aahtar Kelimeler : Kesirli Aaliz, Kesirli Diferesiyel Deklem, Kesirli Diferesiyel Deklem Sistemleri, Hermite Poliomları, Sıralama Noktaları Sayfa Adedi : 84 Tez Yöeticisi : Doç. Dr. Fatma AYAZ

5 v APPROXIMATE SOLUTIONS FOR FRACTIONAL ORDER VARIABLE COEFFICIENTS DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THE SYSTEM OF SUCH EQUATIONS BY HERMITE COLLOCATION METHOD (Ph.D. Thesis) Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM GAZĠ UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE Jauary 04 ABSTRACT I this thesis, the Hermite Collocatio method (HCM) has bee developed for the approximate solutio for the fractioal order liear differetial equatios ad the system of such equatios. The method, by usig collocatio poits, coverts the metioed equatios or the system of such equatios to the liear algebraic systems of which ukows are Hermite coefficiets. Sice expressig this algebraic systems by matrices ad usig matrix algebra solutio of the algebraic system ca be obtaied easily. As a result, the solutios of the fractioal order liear equatios ad the system of such equatios are obtaied i terms of trucated Hermite series. Sciace Code : Key Words : Fractioal Aalysis, Fractioal Differatial Equatios, System of Fractioal Differatial Equatios, Hermite Polyomials, Collocatio Poits Number of Pages : 84 Supervisor : Assoc. Prof. Dr. Fatma AYAZ

6 vi TEġEKKÜR Gazi Üiversitesi i tercih ettiğim 008 yılıda itibare, gerek ders aģamasıda gerekse tez aģamasıda desteğii hep hissettiğim, fikirleride yararladığım doktora tez daıģmaım Doç. Dr. Fatma Ayaz a teģekkür ediyorum. Tezimi oluģum aģamasıda yardımlarıı ve fikirlerii esirgemeye tez izleme komitesi değerli üri üyeleri Prof. Dr. Hüseyi BEREKETOĞLU ve Prof. Dr. Ogü DOĞRU a teģekkür ediyorum. Tez çalıģmalarım sırasıda bütü azımı ve stresimi çeke, her zama her kouda yaımda ola eģim Ferhat PĠRĠM e çok teģekkür ediyorum. Sağladıkları yurt içi doktora bursu ile maddi desteği içi TÜBĠTAK a teģekkür ediyorum.

7 vii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET... iv ABSTRACT... v TEġEKKÜR... vi ĠÇĠNDEKĠLER... vii ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ... x ġekġllerġn LĠSTESĠ... xi SĠMGELER VE KISALTMALAR... xii.gġrġġ.... TEMEL KAVRAMLAR Kesirli Aaliz Gama foksiyou Lebesgue uzayı Riema-Liouville kesirli itegral operatörü Riema-Liouville kesirli türev operatörü ( t- a) Kuvvet foksiyouu kesirli itegrali ve kesirli türevi Caputo kesirli türev operatörü ( x- a) Kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi Charles Hermite Hermite diferesiyel deklemi Hermite poliomları Diferesiyel Deklemler ve Sistemleri Tamsayi mertebeli diferesiyel deklemler... 3

8 viii Sayfa.3.. Kesir mertebeli diferesiyel deklemler DeğiĢke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklemler Kesir mertebeli diferesiyel deklemleri çözüm yötemleri Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleri Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri KESĠR MERTEBELĠ LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Temel Matris Bağıtıları Çözümü Kotrolü ve Hata hesabı Uygulamalar 7 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Temel Matris Bağıtıları Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı Uygulamalar KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Temel Matris Bağıtıları Uygulamalar 6 6. SONUÇ VE ÖNERĠLER...55 KAYNAKLAR...74

9 ix Sayfa EKLER EK- EĢ. 3.6 Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları EK- EĢ Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları EK-3 EĢ. 5.3 Deklemii HCM Çözümü içi MatlabR007b Komutları ÖZGEÇMĠġ...84

10 x ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ Çizelge Sayfa Çizelge.. Gamma foksiyouu bazı sayısal değerleri...5 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması...5 Çizelge 4.. Örek 4.. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması.5

11 xi ġekġllerġn LĠSTESĠ ġekil Sayfa ġekil 3.. Örek 3. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile yaklaģık çözümü karģılaģtırılması ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması ġekil 5.. DTM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (a) ġekil 5.. ADM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (b) ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri ġekil 5.4. Örek 5. i y ( ) x çözüm soucuu karģılaģtırılması...7 ġekil 5.5. Örek 5. i y ( ) x çözüm soucuu karģılaģtırılması....7 ġekil 5.6. Örek 5. i y ( ) 3 x çözüm soucuu karģılaģtırılması

12 xii SĠMGELER VE KISALTMALAR Bu çalıģmada kullaılmıģ bazı simgeler ve kısaltmalar, açıklamaları ile birlikte aģağıda suulmuģtur. Simgeler Açıklama ( ) Gama foksiyou L [, ] p a b Lebesgue uzayı Riema-Liouville kesirli itegrali Riema-Liouville kesirli türevi Caputo kesirli türevi ( ) Hermite poliomları Kısaltmalar Açıklama ADM BCM CCM DCM HCM h.h.h.y. Adomia ayırma metodu Bessel collocatio metodu Chebyshev collocatio metodu Diferesiyel döüģüm metodu Hermite collocatio metodu Heme heme her yerde

13 .GĠRĠġ Türev ve itegral operatörleri geel olarak matematiksel modelleri temelii oluģturmakta ve ayı zamada doğal ve yapay sistemleri çalıģma presiplerii alamada araç olarak kullaılmaktadır. Dolayısıyla diferesiyel ve itegral deklemler teorik ve pratik bakımda büyük öem taģımaktadır. Bu tip deklemler fe ve mühedislik gibi bilim dallarıda olduğu gibi sosyal bilimleri de içermek üzere çok geiģ uygulama alalarıa sahiptir. Diferesiyel deklemler gibi diferesiyel deklem sistemleri de elastikiyet teorisi, diamik, akıģkalar mekaiği, devre problemleri, salıım problemleri, kuatum diamiği gibi koularda sıklıkla karģımıza çıkmaktadır. Türev ve itegral operatörlerie ola ilgi, kouu daha da derilemesie iceleerek, tamsayı mertebeli hallerii geelleģtirilmiģ hali ola kesirli türev ve kesirli itegral operatörlerii bulumasıı sağlamıģtır. Bu operatörlere ola merak 695 te L Hospital i Leibiz e sorduğu bir soru ile baģlar ve böylece kesirli aalizi temelleri atılmıģ olur [4]. Güümüzde fe ve mühedislik alalarıda öemli uygulamalar kesirli türev ve itegral operatörleri aracılığıyla daha iyi modelleebilmektedir. Öreği, söümleme yasası, difüzyo süreçleri ve fraktallar gibi koular kesirli aaliz yardımı ile daha iyi taımlaabilmektedir ve bu durum güümüzde kesirli aalize ve kesirli mertebede diferesiyel deklemlere ola ilgiyi artırmıģtır. Kesirli türev operatörüü içere, kesir mertebeli diferesiyel deklemleri ve sistemleri aalitik olarak çözmek zordur. Buu içi çeģitli sayısal veya yarı sayısal yötemler geliģtirilmiģtir. Bularda bazıları Adomia Ayırma metodu, Diferesiyel DöüĢüm metodu, Solu Farklar YaklaĢım metodu, Varyasyoel Ġterasyo metodu vb. dir. Bu yötemler kullaılarak yapıla çalıģmaları çoğu tek veya az terimli deklem ve deklem sistemlerie dayamaktadır. Bu alada eksiklikleri giderilmesi daha karmaģık tipte ve çözülemeye problemleri çözülebilmesi isteği, bizi yei ve daha

14 güçlü yötemleri geliģtirilmesi çalıģmasıa yöeltmiģtir. Yaptığımız araģtırmalar soucuda, [] de suula yötem ile kesirli aaliz birleģtirilmiģ ve Hermite Collocatio (sıralama) metodu (HCM) ile bu tip deklemler ve sistemleri yaklaģık çözümleri aramıģtır. Metodu temeli ortogaal poliom ola Hermite poliomlarıı kesilmiģ seri halie ve matrislere dayamaktadır. Tez altı bölümde oluģmaktadır. Bu tezi üç, dört ve beģici bölümleri orialliğe sahiptir. Her bir bölümde icelee koular sırasıyla Ģöyledir. Tezi ilk bölümüde, so zamalarda kesirli aalize ola ilgii edeie ve çalıģma motivasyoua yer verilmektedir. Ġkici bölümde, yötemi geliģmesi ve alaģılması içi gerekli ola kesirli aaliz bilgileri ve Hermite poliomları hakkıda gerekli ö bilgiler verilmiģ, ayrıca tamsayı ve kesir mertebeli diferesiyel deklemleri ve sistemleri taımları ile çözüm yötemleri ile ilgili literatür çalıģması yapılmıģtır. Tezi oriial ola üçücü, dördücü ve beģici bölümleride ise sırasıyla, kesir mertebeli diferesiyel deklemleri, tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii, kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii yaklaģık çözümlerii bulmak içi geliģtirile HCM yötemi alatılmıģ, yötemi uygulaabilirliği, hata hesapları, gerekli souçlar Ģekil ve çizelgelerle desteklemiģtir. So olarak altıcı bölümde, kullaıla metodu uygulaabilirliği, hesaplamaları yapıldığı programlara yer verilmiģtir, ayrıca ilerisi içi yapılabilecek çalıģmalarda da bahsedilmiģtir.

15 3. TEMEL KAVRAMLAR.. Kesirli Aaliz Tarihte klasik aaliz kadar eskiye dayaa kesirli aaliz, katlı itegral ve tamsayı mertebeli türev kavramlarıı geiģletilmesi ve birleģtirilmesiyle oluģa herhagi bir reel veya kompleks mertebeli türev ve itegrali icelemesidir. 695 te L Hospital i ( ) Leibiz e (646-76) sorduğu Bir f foksiyou tamsayılı mertebede türevii taımladı peki olduğuda d f dx kavramıı bir alamı var mı? sorusu kesirli aalizi baģlagıcı olarak kabul edilir. Güümüzde kesirli mertebeli türev, itegral ve buları içere deklemler fizik, kimya, elektrik ve elektroik, termodiamik, kotrol teorisi gibi pek çok alada kullaılmaktadır. Kouu çeģitli alalara uygulaabilme potasiyeli ile so kırk yıldır popülerliği ve öemi artmıģtır [9, 6, 9-, 5-6]. D d / dx diferesiyel operatörü ve bir pozitif tamsayı olmak üzere D f ( x ) i alamıı f( x ) foksiyouu ici türevi olduğu iyi bilimektedir. Fakat pozitif bir tamsayı değilse Re ( ) 0 içi D sembolüü veya Re ( ) 0 içi D sembolüü alamıı yorumlaması zordur. Bu kısımda bu sembolleri alamları açıklaacaktır. Farklı tipte kesirli türev ve itegral taımı ve özellikleri çeģitli kayaklarda yer almaktadır. Bularda e yaygı olarak kullaılalar Riema-Liouville ve Caputo u taımlarıdır. Kesirli aalizi operatörleri e geel gösterimleri sırasıyla, ( D f )( x) a Ģeklidedir [6]. Bu gösterim olmak üzere keyfi değerli kesirli türev gösterimidir a ise kesirli türev iģlemii sıır değeridir. Kesirli mertebede itegral alamıa gele kesirli itegral i gösterimi ise, Re ( ) 0 içi

16 4 ( I f )( x) a Ģeklidedir. Tez içi gerekli ola kesirli hesabı taımlarıı ve kullaımlarıı alamak içi bazı matematiksel taımları iyi bilmek gerekir, bu taım ve teoremlerde bazıları aģağıda verilmiģtir.... Gamma foksiyou Gamma foksiyou faktöriyel foksiyou geelleģtirilmiģ halidir diyebiliriz. Faktöriyel iģlemi egatif olmaya bir tamsayısıda baģlayıp e kadar azala tamsayıları çarpımıda oluģur. Matematiksel aaliz, cebir gibi öemli alalarda kullaıla bir taımdır. Ayı gereksiim karmaģık sayılar ve tamsayı olmaya reel sayılar içi duyuluca Euler Gamma foksiyou 0 içi, aģağıdaki geelleģtirilmiģ itegral yardımıyla taımlamıģtır. u e u du ( ) 0 Bu ismi almasıı edei itegrali ikici tip Euler itegrali olmasıda kayaklıdır[6]. Faktöriyel foksiyou üstel foksiyo ile ilgili aģağıdaki eģitliği kullaılarak u! e u du 0 e u 0 ( ) u ( ) du gamma foksiyou ile faktöriyel foksiyou arasıdaki iliģki özelleģtirilir [4,9].

17 5 Gamma foksiyou kesirli itegral ve kesirli türev ile doğruda iliģkilidir. Bu iliģkiler Gamma foksiyouu aģağıda verile özellikleride faydalaılarak buluabilir.. ( ) foksiyoua karģılık gele u e u du itegrali 0 0 içi yakısak olup, c 0 olmak üzere bu itegral her [ cd, ] solu aralığıda düzgü yakısaktır.. Taım kümesi : 0 dır. 3. Gamma foksiyou 0 içi süreklidir. 4. Özellik () de dolayı değiģkeie göre itegral iģareti altıda türev alarak ( ) i türevi elde edilebilir. 5. ( ) ( ), << içi ( ) ( ) ve içi Çizelge.. Gamma foksiyouu bazı sayısal değerleri Taımsız

18 6... Lp[ a, b ], Lebesgue uzayı p olsu, p Lp a, b: f : a, b R; f,[ a, b] üzeride ölçülebilirdir ve f ( x) dx ifadesi p içi alıģılmıģ Lebesgue uzayıdır 9. L p b b a a, uzayıda orm: p, f L p [ a, b] ise b p f f f ( x) dx Lpa, b p a p Ģeklidedir. Eğer f foksiyou sürekli ise : lim p f f olur. Burada p f sup f ( x) axb ile ifade edilmektedir...3. Riema-Liouville kesirli itegral operatörü Riema-liouville kesirli itegrali i x [ a, b] içi L [ a, b ] de mertebesi içi taımı x ( a )( ) : ( ) ( ) ( ) a I f x x t f t dt, ( xa; 0) (.) Ģeklide verilir. Burada ( ) gamma foksiyoudur.

19 7 Kesirli itegral operatörü EĢ.. i öemli bir özelliği, 0 içi I 0 : I özdeģlik operatörü olmasıdır [0]. a..4. Riema - Liouville kesirli türev operatörü f sürekli bir foksiyo ve olsu., ya e yakı ve e küçük tamsayı olsu. Bu durumda f fosiyouu mertebeli kesirli türevii hesaplamak içi öce v ( ) 0 mertebede kesirli itegrali hesaplamalı sorada tamsayılı mertebede türevi alımalıdır. Yai Riema-Liouville kesirli türevii ifadesi ( ), d v ( D a f )( x) : ( Ia f )( x) dx x v ( ) ( ) d x t f t dt ( ) dx (.) a Ģeklidedir. Burada 0 içi D 0 : I özdeģlik operatörüdür [6]. a..5. ( t- a) Kuvvet foksiyouu kesirli itegrali ve kesirli türevi f ( t) ( t a), olsu. Bu durumda f() t foksiyouu 0 mertebeli Riema-Liouville kesirli itegrali, ( ) Ia f ( t) ( t a) ( ) (.3) ve kesirli türevi

20 8 ( ) Da f ( t) ( t a) ( ) (.4) olmaktadır. Burada a keyfi bir sabit sayıdır. Özel olarak ve 0 olursa, o zama EĢ..4 ifadeside de alaģılacağı gibi bir sabiti Riema-Liouville kesirli türevi geelde sıfır olmaz, yai Da ( t a) 0 ( ) olmaktadır...6. Caputo kesirli türev operatörü BaĢlagıç değer problemleri içi Riema-Liouville kesirli türev operatörüü taımı uygu olmadığı içi, baģlagıç koģullarıı fiziksel durumlara e uygu Ģekilde verebile Caputo kesirli türev taımı kullaılmaktadır [6]. Bu taım ve olsu. a x b içi x c ( ) a ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ) a D f x I D f x x t f t dt (.5) Ģeklidedir ve c D operatörüe, mertebeli Caputo diferesiyel operatörü deir. a Burada ve f ( x) AC [ a, b] Ģeklidedir. Caputo kesirli türev operatörüü bazı özellikleri ve ilgili teoremler aģağıda suuldu. Teorem.. Her, R içi D D f ( x) D f ( x) (.6) c c c a a a

21 9 özelliğie sahiptir [6]. Lemma.. Bir foksiyou ardıģık kesirli Caputo türevi, 3 olmak üzere D f t D f t D D D D f t 3 3 ( ) ( ) ( ) c c c c c c olarak elde edilmektedir [5]. Lemma.. [ ab, ] üzeride sürekli ola f foksiyolarıı uzayı AC[ a, b ] olmak üzere m AC [ a, b] uzayı; [ ] { [ ] ( )( ) [ ] ( ) } Ģeklide taımlıdır. Özel olarak AC [ a, b] AC[ a, b] alıır ve burada f ( x) AC[ a, b] f ( x) c ( t) dt, ( ( t) L( a, b)) x a olarak yazılır...7. ( x- a) Kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi f ( x) ( x a), 0 ve içi içi olsu. Bu durumda f( x) foksiyouu 0 mertebeli Caputo kesirli türevi,

22 0 c 0, 0,,,..., ve ise Da f ( x) ( ), ve veya ( x a) ( ) ve ise olarak taımlaır ve C bir sabit olmak üzere, c DC a 0 olmaktadır [6]... Charles Hermite Diferesiyel deklemleri çözümü içi geliģtirile bir çok sayısal yötemi temelide ortogoal poliomlar yer almaktadır. Nedei ise ortogoal poliomları kolay kullaımıdır, çükü iyi yakısama özellikleri vardır ve bir foksiyou ağırlık dağılımıı kesi bir ağ üzeride, iyi bir Ģekilde temsil ederler. Ortogoal poliomlar aalizi, fiziği ve mekaiği çeģitli dallarıda kullaıla öemli foksiyolardır. Bu foksiyoları matematiksel modelleri diferesiyel veya itegro-diferesiyel deklemleri çözümü içi kullaılmaktadır. Bahsedile tip deklemler elemater metodlarla çözülebilir; fakat çoğu zama tam çözümü bulmak zor olduğuda geellikle seri çözümlerie baģvurulur. ĠĢte bularda biri de Hermite diferesiyel deklemii kökleri ola Hermite poliomlarıa dayalı seri çözümlerdir. Klasik ortogoal poliomlarda biri olarak bilie Hermite poliomlarıı bula Frasız matematikçisi Charles Hermite (8-90) dir.... Hermite diferesiyel deklemi Matematiği ve fiziği öemli deklemleride ola, y ( x) xy( x) y( x) 0, 0,,,... (.6) deklemie Hermite diferesiyel deklemi adı verilir.

23 ... Hermite poliomları - x aralığıda skaler çarpım ( p, q) w( x) p( x) q( x) dx yazıldığıda bu skaler çarpımı ıraksak olmakta koruyacak e doğal ağırlık foksiyou w( x) e x olur. x olduğuda üstel foksiyo her kuvvetide daha hızlı sıfıra gider ve ıraksaklığı öler. (, ) aralığıda ve ( ) ağırlık foksiyouyla taımlı skaler çarpıma göre ortogaal ola poliomlar Hermite poliomları adıı alırlar ve H ( x ) ile gösterilirler. m x EĢ..6 ile verile Hermite diferesiyel deklemii kuvvet serisi yötemi ile çözülmesiyle elde edile Hermite poliomları, çift ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tek ise ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) yukarıdaki seri formuda taımlamıģtır. i tam değeri kullaılarak yukarıdaki iki deklem birleģtirilirse, Hermite poliomları kısaca

24 ( ) Ģeklide yazılabilir. ( ) ( ) ( ) (.7) H ( ) x,. derecede Hermite poliomuu ifade etmektedir. Ġlk birkaç Hermite poliomuu açık Ģekilde yazılırsa, H ( x) 0 H ( x) x H ( x) 4x H x x x ( ) H x x x 4 4 ( ) 6 48 H x x x x ( ) H x x x x ( ) H x x x x x ( ) H x x x x x ( ) H x x x x x x ( ) H x x x x x x ( ) ve geelleirse! H( x) ( ) ( ) ( x) ( m)!( m)! m m m0 ( )! H ( x) ( ) ( ) ( x) ( m)!(m )! m m m0 elde edilirler []..3. Diferesiyel Deklemler ve Sistemleri

25 3.3.. Tamsayı mertebeli diferesiyel deklemler ve f : R R bir foksiyo olsu. Bu durumda, D y( x) f ( x, y( x)) (.8) ifadesie. mertebede adi diferesiyel deklem deir. Eğer, EĢ..8 diferesiyel deklemie k ( k) D y( x ) y, k 0,,..., (.9) 0 0 Ģeklideki baģlagıç koģullarıı eklersek, EĢ.8 diferesiyel deklemi, EĢ..9 baģlagıç koģullarıı içere bir başlagıç değer problemi olarak taımlaır [3]..3.. Kesirli mertebede diferesiyel deklemler Bir bağımlı değiģkei, bir bağımsız değiģkee göre kesirli türevlerii içere diferesiyel deklemlere kesirli mertebede adi diferesiyel deklemler deir [8]. D y( x) y 3 ( x) 5 5 3D y( t) Dy ( t) t (.0) deklemleri birer kesirli diferesiyel deklemdir DeğiĢke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklemler x bağımsız değiģke ve y bağımlı değiģke olmak üzere a 0 ( 0 x x) D y( x) a ( x) D y( x)... a ( x) D y( x) a ( x) D y( x) f ( ) (.)

26 4 Ģeklide yazılabile diferesiyel deklemlere değişke katsayılı kesir mertebeli lieer diferesiyel deklem deir. Bu deklemi lieerliği kesirli türev operatörüü lieer olma özelliğide kayaklamaktadır [8]. Öreği, x D 3 y( x) y( x) e c c 3/ D y x D y x y x x x ( ) ( ) ( ) (.) deklemleri lieerdir Kesirli mertebede diferesiyel deklemleri çözüm yötemleri Kesirli diferesiyel deklemler uygulamalı matematik, fizik, kimya ve mühedislik alalarıda oldukça sık ortaya çıkmaktadır. Buu edei; kesirli türevleri gerçek sistemleri ve süreçleri tamsayı mertebeli türevlerde daha tam ve gerçeğe yakı olarak modellemeleridir. Kesirli diferesiyel deklemleri aalitik çözümleri içi uygulaa yötemlerde bazıları Volterra Ġtegral deklemlere idirgeme metodu, Mittag-Leffler ve Bessel özel foksiyolarıyla kesirli türev, kesirli itegral operatörlerii bileģimi metodu [6], Laplace döüģüm metodu, Melli döüģüm metodu, Kesirli Gree foksiyou metodudur [5]. Bu metotları var olmasıyla birlikte, çözümü araa diferesiyel deklemlerdeki kesirli türevleri her zama aalitik hesaplaması kolay ya da mümkü olmayabilir. Bu yüzde çeģitli ümerik metotlar kullaılarak bu kesirli türevleri aalitiğe yakı ve kolay hesaplaabilmesi sağlamıģtır. Bu metotlarda bazıları Adomia ayırma metodu (ADM), kesirli diferesiyel döüģüm metodu, kesirli fark metodu ve çeģitli iterasyo metotlarıdır, [-5, 7,9, 3]. Çözümü araa problemi türüe göre bu metotlarda e uygu olaı seçilerek çözüme ulaģılabilmektedir. Bu çalıģmada ele alıa kesirli diferesiyel deklem problemlerii çözümüde Hermite collocatio

27 5 metodu ile yaklaģık ve kapalı çözümler elde edilmiģtir ve ilerleye bölümlerde bu çözümlere yer verilecektir Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri AĢağıdaki gibi x bağımsız değiģke ve y bağımlı değiģke olmak üzere y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k (.3) y p ( x) y p ( x) y p ( x) y g ( x) k k k kk k k Ģeklideki bir veya daha fazla sayıda bağımlı değiģkei tek bir bağımsız değiģkee göre türevlerii içere deklem sistemie lieer diferesiyel deklem sistemi deir, i,,,..., k olmak üzere g ( x ) ve p ( x) bilie foksiyolarıı [ ab, ] aralığıda i i taımlı oldukları kabul edilmiģtir. Eğer gi( x) 0 ise EĢ..3 sistemie homoe sistem, gi( x) 0 ise EĢ..3 sistemie homoe olmaya sistem deir. Sistemleri lieerliği ise diferesiyel deklemleri lieerliğide kayaklamaktadır, yai tüm deklemler lieer ise sisteme lieer sistemi deir. Ayrıca p ( x ) foksiyoları sabitlerde oluģuyor ise EĢ..3 sistemie sabit katsayılı sistem, e az biri bağımsız değiģke x i içeriyor ise değişke katsayılı sistem deir. Öreği, i y y y y y 4 y3 y y3 4 6 (.4) sistemi birici mertebede, sabit katsayılı, homoe, lieer diferesiyel deklem sistemidir. E geel haliyle. mertebede k bilimeyeli sistem

28 6 m k 0 p x y x g x i k a x b ( ) i ( ) ( ) i( ),,...,, toplamları ile ifade edilebilir. Öreği, y x xy x xy x x x x y ( x) xy ( x) y( x) 5x 3 ( ) ( ) ( ) 46 (.5) sistemi ikici mertebede, homoe olmaya, değiģke katsayılı, lieer bir diferesiyel deklem sistemi taımlamaktadır Tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri Diferesiyel deklem sistemleri elastikiyet teorisi, diamik, akıģkalar mekaiği, devre problemleri, salıım problemleri gibi pek çok kouda karģımıza çıka sistemlerdir. Yüksek mertebede sistemleri çözümüe iliģki zorluklar kouya ola ilgiyi artırmıģtır. Birici mertebede (ormal formdaki) sistemleri aalitik çözümleri yok etme metodu, operatör metodu gibi stadart yötemlerle yapılabilir ama iki veya daha yüksek mertebede diferesiyel deklem sistemlerii aalitik olarak çözmek zordur. Bu yüzde yaklaģık çözümlere gerek duyulmuģtur. Yüksek mertebeli sistemler, ormal formdaki sistemlere idirgeerek çözülmeye çalıģılmıģtır. Buları çözümüde de Ruge-Kutta, Euler gibi yötemler kullaılmaktadır. So yıllarda diferesiyel deklem sistemlerii çözmek içi diferesiyel döüģüm metodu [8], varyasyoel iterasyo metodu [3], Taylor [7], Chebyshev [3] ve Bessel [30] collocatio metodu gibi yaklaģık çözüm yötemleri kullaılmaktadır.

29 7 Bu çalıģmada ise Hermite poliomlarıda ve collocatio yötemide faydalaılarak geliģtirile HCM yötemi ile tamsayı mertebeli diferesiyel deklem sistemleri içi çözümler yapılmıģ ve bu çözümlere dördücü bölümde yer verilmiģtir Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleri Kesir mertebeli sistemler, tamsayı mertebeli sistemleri geelleģtirilmiģ hali olarak düģüülmektedir. Bu edele kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemii taımı C C D y x g x y y y ( ) (,,,, ) D y x g x y y y ( ) (,,,, ) (.6) C D y ( x) g ( x, y, y,, y ) ifadesi ile verilebilir. Burada C i D her y i foksiyouu Caputo alamıda i mertebeli kesirli türevidir ve 0 dir []. Öreği, i D y ( x) y ( x) y ( x) 0 C 0,7 C 0.7 D y ( x) y ( x) y ( x) 0 (.7) ve F F F D y ( x) y ( x) g( x) y ( x) y ( x) C V3 V V F F D y ( x) y ( x) y ( x) C 3 V V F F F D y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) C V V V3 (.8) sistemleri kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemleridir.

30 Kesir mertebeli diferesiyel deklem sistemlerii çözüm yötemleri Fiziksel süreçleri matematiksel modellemeside kesir mertebeli sistemler sıklıkla karģımıza çıkmaktadır. Bu tür süreçleri matematiksel modellerie ola ilgi so yıllarda daha da artıģ göstermiģ ve çok çeģitli alalarda öreği fizik, kimya, mühedislik ve biyoloi gibi alalarda uygulamalarıa literatürde geiģ olarak yer verilmiģtir. Bu tip sistemleri aalitik olarak çözmek zordur. Bu yüzde sayısal tekikler geliģtirilmiģtir. ġimdiye kadar ola çalıģmaları çoğu kesir mertebeli lieer veya lieer olmaya diferesiyel deklemler üzeriedir. Çok az sayıda çalıģma sistemler üzerie yapılmıģtır, bularda bazıları S. Momai i kulladığı Adomia Ayırma metodu [] ve V.S. Ertürk ü kulladığı Diferesiyel DöüĢüm metodu [] ile yapıla çözüm tekikleridir. Bu çalıģmada Hermite Colocatio metodu ile kesir mertebeli sistemlere çözüm aramıģ ve yötem beģici bölümde taımlamıģtır. Adı geçe yötem kesilmiģ Hermite serisi formudaki yarı aalitik çözümlerdir ve tekik matrislere dayamaktadır.

31 9 3. KESĠRLĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠFERENSĠYEL DENKLEMLERĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION (SIRALAMA) METODU Bu bölümde kesirli mertebede lieer diferesiyel deklemleri, verile baģlagıç koģulları altıdaki yaklaģık çözümlerii elde etmek içi [,, 5] de faydalaılarak yei bir metot geliģtirilmiģtir. Hermite Collocatio (Sıralama) Metot (HCM) adı verile bu metot da Hermite poliomları ve kuvvet foksiyouu Caputo kesirli türevi kullaılarak, sıralama oktaları içi kesirli mertebede diferesiyel deklemler matris deklemlere döüģtürülmektedir. Matrislerde cebir iģlemleri kolay olduğu içi uygulaa metodu herhagi bir zorluğu yoktur. Üstelik bilgisayarlarda faydalaarak hazır paket programlarıa gerekli kodlar girilerek hesaplamalar kolayca yapılabilmektedir. Böylece Hermite Collocatio Metodu u kesirli diferesiyel deklemleri aalitik veya yaklaģık çözümlerii elde etmek içi kullaılabilecek alteratif ve etkili bir metot olduğu söyleebilir. Bu bölümü ilk kısmıda metodu oluģumu, ikici kısmıda kullaıla metot ile bulua çözümleri hata hesaplarıı asıl yapılacağıda bahsedilmiģ ve so kısımda ise yötemi uygulaması öreklerle desteklemiģtir. 3.. Temel Matris Bağıtıları Burada ϵ Nₒ ve a x b olmak üzere sabit veya değiģke katsayılı kesirli mertebede lieer m C k Pk ( x) D y( x) g( x) (3.) k0 diferesiyel deklemii, t c k c k [ a k D y( a) bk D y( b)], 0,,,..., t (3.) k 0 koģulları altıda

32 0 N y( x) a H ( x ) (3.3) 0 kesilmiģ (solu) Hermite serisi formuda bir yaklaģık çözümüü var olduğu kabul edilmektedir. Burada N seçile keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki kabul edilmiģtir. Bu durumda EĢ. 3.3 ü aģağıdaki [ y( x)] H( x ) A (3.4) matris formua döüģtürebiliriz; burada H( x ) ve A matrisleri H( x ) [ H ( x ) H ( x )... H ( x )] 0 N A a0 a a N [... ] T olarak taımlaır. Böylece EĢ. 3.3 ifadesii matris formu b a xi a ( ) i, i 0,,,..., N, x0 a, xn b N collocatio (sıralama) oktalarıda [ y( x )] H( x ) A i 0,,,..., N i i halie gelir. EĢ..7 de verile hermite poliomlarıı ( ) ( ) ( ) ( ), x, 0,,,...

33 özelliği kullaılarak Hermite poliomları N i tek ve çift değerlerie göre x yerie x yazılarak aģağıdaki gibi matris formua döüģtürülebilmektedir []. N tek ise H0 ( x ) H( x ) N-5 0 ( ) (N-)! x N- (-) 0 0 0! N- ( )! ( N ) H N ( x ) x N- N H ( ) ( ) N! N x N x 0 (-) 0! N- ( )! N=çift ise (3.5) H0 ( x ) H( x ) HN ( x ) HN ( x ) (N-)!! N- ( )! N-4 0 ( ) N! (-) 0 0 0! N ( )! N- ( ) N- 0 (-) 0 N x x N x ( N ) (3.6) T H ( x T ) F X ( x ) Yukarıdaki matris formu kısaca T T H ( x ) F X ( x ) ya da T H( x ) X ( x ) F (3.7) Ģeklide ifade edilir. Burada

34 X x x c x c x c x c 0 ( N) N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) olarak yazılabilir ve c sayısı verile aralık içide herhagi bir keyfi değer olabilir. Elde ettiğimiz EĢ. 3.7 ifadesii EĢ. 3.4 deklemide yerie yazarsak T y( x) X ( x ) F A (3.8) olur. ġimdi ise EĢ. 3.8 deklemii her iki yaıı da k. Caputo kesirli türevii alırsak D y( x) D X ( x ) F A (3.9) C k C k T C k buluur, fakat iģleme devam etmek içi D X ( x ) hesaplamalıdır, buu içi C k C k 0 C k C k ( N ) C k N D X ( x ) D ( x c) D ( x c) D ( x c) D ( x c) belirlemelidir. EĢ..9 deklemide yararlaarak öce k içi aģağıdaki matris formuu yazalım. C C C C D ( x c) 0 D ( x c) D ( x c) D ( x c) C D ( x c) ( N) N ( +) ( +) ( +) (N +) ((N-) +) ( x c) ( x c) ( x c) ( x c) ( x c) 0 ( N ) N C T D X ( x ) B X( x ) Kısaca yukarıdaki matris eģitliği

35 3 C D X ( x ) X ( x ) B T Ģeklide ifade edilir. Burada k mertebede Caputo kesirli türevlere geçilirse teorem. kullaılarak D D X ( x ) D X ( x ) B C C C T C T X ( x ) B D X ( x ) X ( x )( B ) T D X ( x ) X ( x )( B ) (3.0) C k T k eģitlik elde edilir. Böylece EĢ. 3.0 ifadesi EĢ. 3.9 ifadeside yerie yazılırsa D y( x) X ( x )( B ) F A (3.) C k T k T buluur. Sıralama (collocatio) oktaları ola x x, içi EĢ. 3. diferesiyel i deklemi m C k Pk ( xi ) D y( xi ) g( xi ), i 0,,,..., N (3.) k0 Ģeklide düzeleir. Burada Pk ( x0 ) Pk ( x ) Pk( xn) C D C D C D k k k y( x0 ) y( x ) y( xn ) gx ( 0 ) gx ( ) gx ( N )

36 4 P k k Y G yazılabileceğide EĢ. 3. ifadesi m k Pk Y G (3.3) k 0 matris sistemie döüģtürülmüģ olur. ġimdi ise 3. deklemide x xi yazarsak k Y matrisii elde etmek içi EĢ. D y( x ) X ( x )( B ) F A (3.4) C k T k T i i olur ve bu ifadeyi yie matris sistemie döüģtürmek istersek C D C D C D k k k y( x0) y( x ) y( xn ) k Y X( x0 ) X( x ) X( xn ) X T k T ( B ) F A halie gelir. Buradaki X matrisi X = ( N) N X ( x0 ) ( x0 c) ( x0 c) ( x0 c) ( N) N X ( x ) ( x c) ( x c) ( x c) ( N) N X ( xn ) ( xn c) ( xn c) ( xn c) Ģeklide yazılır. Bu durumda EĢ. 3.4 ü matris formu k T k T Y X ( B ) F A (3.5)

37 5 olarak taımlaır. Böylece EĢ. 3.5 ifadesii EĢ. 3.3 ifadeside yerie yazabiliriz. Souç olarak m T k T Pk X ( B ) F A G (3.6) k 0 temel matris deklemi elde edilir ve m T k T W [ w ] P X ( B ) F p, q 0,,,..., N pq k 0 k olarak isimledirilirse EĢ. 3.6 deklemi kısaca W A G (3.7) Ģeklide yazılabilir ve burada sistem (N+) satır (N+) sütuda oluģa bir cebirsel sisteme döüģtürülebilir. EĢ. 3.7 deklemii artırılmıģ matrisi aģağıdaki gibidir; w00 w0 w0 N ; g( x0) w0 w w N ; g( x ) [ WG ; ] ; w( N )0 w( N ) w( N ) N ; g( xn ) w w w ; g( x ) N 0 N NN N ( N) ( N) (3.8) ġimdi ise koģul deklemii artırılmıģ matrisii elde edelim, buu içi C D y( a), = 0,,,...,t- EĢ. 3. koģul deklemide EĢ. 3.4 deklemii kullaarak

38 6 X ( a)( B T ) F T A (3.9) buluabilir. Ayrıca U X ( a)( B ) F [ u u u u ] T T 0 N içi EĢ. 3.9 matris formu U A [ U ; ], 0,,,..., t halie döüģür. O halde koģullar içi artırılmıģ matrisimiz [ U ; ] = u u u u u u u u u N 0 0 N ( t ) ( t ) ( t ) N t ; ; ; ; olarak taımlaır. EĢ 3.8 matris formuu so m satırı silierek koģullar içi artırılmıģ matrisimiz silie satırlarda yerie yazılırsa w00 w0 w0 N ; g( x0) w0 w w N ; g( x) ; w( N t )0 w( N t ) w( N t ) N ; g( xn t ) [ WG ; ] = w( N t)0 w( N t ) w( N t ) N ; g( xn t ) u00 u0 u0n ; 0 u0 u u N ; ; u ( t )0 u( t ) u( t ) N ; t matrisi oluģur. Bu artırılmıģ matris

39 7 W A G (3.0) Ģeklide kısaca gösterilebilir. Teorem 3.. Eğer rak W rak [ W; G] N ise yai det( W) 0 ise EĢ. 3.0 matris deklemii çözümü A ( W) G (3.) olur. Bu teoremi ispatı cebirde de bilidiği gibi gayet açıktır. Bu sayede EĢ. 3. deklemide, bilimeye A [ a0 a a ] T N sütu matrisi verile Ģartlar altıda kolayca buluabilir. Böylece verile koģullara göre EĢ. 3. diferesiyel deklemi tek çözüme sahip olur ve bu çözüm, [ y( x)] H( x ) A ya da N y( x) a H ( x ) (3.) 0 Ģeklide Hermite serisel çözümüdür. 3.. Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı Elde edile EĢ. 3. deklemideki kesilmiģ Hermite serileri, EĢ. 3. deklemii yaklaģık çözümü olduğuda, bulua souç foksiyou yx, ( ) EĢ. 3. deklemide yerie yazıldığıda deklemi yaklaģık olarak sağlamalıdır. Bu durumda her x x i

40 8 ( a x b ), i 0,,..., N içi m C k i k i i i k0 E( x ) P ( x ) D y( x ) g( x ) 0 veya k Ex ( ) 0 i i ( k i herhagi bir pozitif tamsayı) k olmalıdır. Eğer maksimum (0 i ) = 0 k belirleirse, o zama N kesme sıırı alıa 0 k da daha küçük olucaya kadar arttırılır. i (k herhagi bir pozitif tamsayı) öcede x okralarıı her birideki Ex ( ) değeri i Diğer yada hata foksiyou grafiği m C k E( x) P ( x) D y( x) g( x) k0 k foksiyou ile elde edilir. Eğer bu foksiyou grafiği N kesme sıırı artarke x ekseie yaklaģıyorsa çözümü hatası asimtotik olarak sıfıra yaklaģıyor demektir. Ayrıca hata hesabıı bir diğer yolu ise HCM yötemi kullaılarak bulua çözüm ile tam çözüm arasıdaki farkı mutlak değerii, verile aralıktaki keyfi değerler içi hesaplamasıdır. Yai mutlak hata hesabı yapılabilir. Hataı sıfıra yakılığı yötemi iyi çalıģtığıı gösterir Uygulamalar Bu bölümde, Hermite Collocatio metoduu kullaılabilirliğii göstermek içi aģağıdaki kesirli mertebede değiģke katsayılı lieer diferesiyel deklem örekleri icelemiģtir. Öreklerdeki deklemler içi matlab v7.5 ile gereke programlar oluģturulmuģ, bu programlar kullaılarak yeterice farklı N değeri içi tam çözüme yaklaģılmaya çalıģılmıģtır. Elde edile souçları karģılaģtırılması ayrıca grafiklerle

41 9 gösterilmiģtir. Bulua yaklaģık çözümler ile eğer varsa tam çözüm arasıdaki farklar hata hesabı yapılarak tablolarla verilmiģtir. Örek 3.. Ġlk olarak 3/ D y x D y x y x x ( ) ( ) ( ) (3.3) Bagley-Torvik deklemii [8], N alarak y( x) a H ( x ) (3.4) 0 solu Hermite serisi biçimide çözümüü araģtıralım. Burada m 4, / alıarak P0( x) P3( x) P4( x), P( x) P( x) 0, g( x) x ve N içi sıralama oktaları x 0, x /, x göre, temel matris deklemi EĢ. 3.6 ifadeside olduğua 0 T 3 T 4 T P X P X ( B ) P X ( B ) F A G (3.5) olur ve burada hesaplaa P0 P3 P4 0 0, P P 0 0 0, F T 0 0 0, 0 0 4

42 30 T B 0 48/ /48, / x0 x0 x / X x x x 985/393 / 0 / x x x gx ( 0) G g( x ) 3/ gx ( ) matrisleri EĢ. 3.5 ifadeside yerie yazılırsa W A G 0 ; [ WG ; ]=,4 0 ;,5 ; artırılmıģ matrisi elde edilir. det( W) 0 olduğuda, a0,5 A a 0 a 0,5 katsayıları buluur. Böylece bu katsayılar EĢ. 3.4 deklemide yerie yazılarak EĢ. 3.3 problemii Hermite poliomları ciside çözümü y( x) a H ( x ) a H ( x ) a H ( x ) 0 0 y x 3 4 ( ) () (4x ) olur ve / değeri çözümde yazılırsa y( x) x

43 3 elde edilir. Bu souç EĢ. 3.3 ile verile kesirli diferesiyel deklemii tam çözümüdür. Örek 3.. 0x, (0,), 0 ve g foksiyou [0,] üzeride taımlı foksiyo olmak üzere D y( x) y( x) g( x) (3.6) kesirli diferesiyel deklemii ve baģlagıç koģulu altıda aalitik çözümüü x g( x) x içi y(0) 0 (3 ) y( x) x olduğu [7] belirtilmiģtir. Bu problemde, EĢ. 3.6 deklemie, N 4 ve içi HCM uygulaırsa P( x) 0 P0( x) P( x),5 x g( x) x buluur ve EĢ. 3.6 ifadesii temel (,5) matris bağıtısı EĢ. 3.6 kullaılarak / / / T T T 0 P X PX B P X ( B ) F A G (3.7) olarak yazılmaktadır. Sıralama oktaları x0, x / 4, x / 4, x3 3/ 4, x4 içi EĢ. 3.7 deklemide kullaıla matrisler P0 P , P T F

44 3 T B 0 0, , ,393 0, , gx ( 0) 0 gx ( ) 0, 506 G gx ( ) 0,789 gx ( 3),5397 gx ( 4) 0 0 / 3 / x0 x0 x0 x x / 3 / 0,5 0, 5 0,5 0,065 x x x x x / 0 / 3 / X x x x 0,707 0,5 0,3536 0, 5 x x 0 / 3 / x 0,866 0,75 0,6495 0,565 3 x3 x3 x3 x 3 0 / 3 / x 4 x4 x4 x4 x 4 Ģeklide bulumaktadır. Bu matrisleri kullaarak EĢ. 3.7 hesapladığıda,0000,775 -,0000-0,6347,0000 ; 0,0000,775,568 -,9760-3,07 ; 0,506 [ WG ; ],0000 3,867 3,95-0,974-37,7877 ; 0,789,0000 3,5045 4, , ,706 ;,5397,0000 3,775 6,535-4, ,090 ; 0 (3.8) olarak buluur. KoĢul matrisi içi EĢ. 3.9 kullaılarak y( x ) X ( x ) F A T T y(0) F A 0 U ; 0-0 ; (3.9) elde edilir. EĢ. 3.8 matrisii so satırı silierek EĢ. 3.9 koģul matrisi yazılırsa EĢ. 3.6 deklemii artırılmıģ matrisi

45 33,0000,775 -,0000-0,6347,0000 ; 0,0000,775,568 -,9760-3,07 ; 0,506 W A = G [ WG ; ],0000 3,867 3,95-0,974-37,7877 ; 0,789,0000 3,5045 4,9088-7, ,706 ;, ; 0 olarak elde edilir, det( W) 0, böylece içi katsayı matrisi [ ] buluur. Bu katsayı matrisii elemaları EĢ. 3. deklemide yerie yazılırsa ( ) ( ) ( ) yaklaģık çözümü buluur. ġekil 3.. Örek 3. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile yaklaģık çözümü karģılaģtırılması

46 34 4. TAMSAYI MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bu bölümde, daha öceki bölümde kesirli mertebede diferesiyel deklemlerde kulladığımız Hermite sıralama yötemi m k ( ) pi ( x) y ( x) gi( x), i,..., k, a x b (4.) 0 Ģeklide taımlaa yüksek mertebede değiģke katsayılı sistemleri m ( ) ( ) ai y ( a) bi y ( b) i, i 0,..., m,,..., k (4.) 0 aģağıda verile koģullar altıda N y ( x) a H ( x),,..., k (4.3) s s s0 solu Hermite serisi formuda yaklaģık çözümleri içi geliģtirilmiģ ve uygulamıģtır. Yötem sıralama oktaları ile sistemi bir matris deklemie döüģtürülmesie dayaır. Bu matris deklemi bilimeye Hermite katsayılarıı içere cebirsel sisteme karģılık gelir. Böylece cebirsel sistemi çözdürülmesiyle elde edile Hermite katsayıları kullaılarak, verile diferesiyel deklem sistemii solu Hermite seri formuda yaklaģık çözümü bulumuģ olur.. Burada y (0) ( x) y ( x) bilimeye ve ( ) ( ), aralığıda taımlı foksiyolardır. Ayrıca, a, b ve i i i uygu sabitler ve N seçile keyfi bir pozitif tam sayıdır, öyle ki burada N kabul edilmiģtir. m

47 Temel Matris Bağıtıları EĢ. 4. sistemii temel matris bağıtısıı elde etmek içi ilk olarak EĢ. 4.3 deklemii matris bağıtısıı elde etmeliyiz, buu içi [ y ( x)] H( x) A,,..., k (4.4) olarak yazalım. Burada [ a 0 a... a N ] T A, H( x) H ( x) H ( x) H ( x) 0 Ģeklidedir. Üçücü bölümdeki EĢ. 5.6 ve EĢ. 5.7 matris bağıtıları bu bölümde de geçerlidir acak olarak alımıģtır, yai N T T T H ( x) F X ( x) H( x) X ( x) F (4.5) biçimide ifade edilebilir. Burada N X ( x) x x x Ģeklidedir. Bu durumda EĢ. 4.5 ifadesii, EĢ 4.4 ifadeside yerie yazarsak T y ( x ) X ( x ) F A,,,..., k (4.6) olur. EĢ. 4.6 araa foksiyoları sıfırıcı mertebede matris gösterimleridir acak bu foksiyoları i. mertebede matris formları da bulumalıdır. Buu içi gerekli adımlar aģağıda verilmiģtir. Öcelikle X( x) ile ( ) ( ) arasıdaki iliģkiyi açıklayalım ve ( X ) ( x) türevii matris formu elde edilmelidir; ( X ) ( x ) matrisi ( ) 0 ( ) ( ) N ( ) N ( ) X ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) (4.7)

48 36 olarak taımlaır. içi; X ( x) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) () 0 () () N () N () elde edilir ve 0 () ( x ) () ( x ) () ( x ) ( x ) N ( x ) N () () ( N ) N 0 0 x x x x N x N () ( X ( x )) T B ( X( x )) T matris formuda yazılabilir []. Böylece birici mertebede türev: () ( X ( x )) T = B( X( x )) T (4.8) Ģeklide ifade edilir. Burada () T X ( x) X ( x) B () () T X ( x) X ( x) B T X ( x) B B T X ( x)( B ) T ( ) T X ( x) X ( x)( B ) (4.9) buluur. O halde EĢ. 4.6 ifadesideki matris formuu. mertebede türevi alırsak;

49 37 y ( x) X ( x) F A (4.0) ( ) ( ) T olur, EĢ. 4.9 ifadesii EĢ. 4.0 deklemide yerie yazarsak ( ) T T y ( x) X ( x)( B ) F A, 0,..., m,,..., k (4.) buluur. Burada ( ) B T 0 ( N ) ( N ) boyutuda birim matristir.,..., k içi EĢ. 4. deklemii matris formu ( ) Y ( x) X ( x) B F A, 0,..., m (4.) Ģeklide elde edilir ve bu matrisler aģağıdaki gibi taımlaır. Y y y ( x) y ( ) ( ) ( ) ( ) k ( x) ( x), ( x) X( x) X( x) X( x) X( x), T B 0 0 T 0 B 0 B 0 0 B T T F 0 0 T 0 F 0 F 0 0 F T, A A A A k ġimdi sıralama oktaları b a xs a ( ) s, s 0,,,..., N, x0 a, xn b (4.3) N EĢ. 4. deklemide yazılırsa, ( ) Y ( x ) X ( x ) B F A, 0,..., m, s s

50 38 buluur. Böylece ( ) Y ( x0) X ( x0) B F A ( ) Y ( x) X ( x) B F A ( ) Y ( xn) X ( xn) B F A olur, EĢ. 4.3 içi matris bağıtısı ise so olarak ( ) Y X B F A ( ), (4.4) ile elde edilir ve burada bahsedile X matrisii açık hali aģağıdaki gibidir, ( ) [ ] X( xs ) X( xs ) 0 X( xs ) 0 0 X( xs ) X X( x0 ) X( x ) X( xn ) Ġkici olarak EĢ. 4. sistemii matris formuu elde etmek içi aģağıdaki gibi sistem taımlayabiliriz. m ( ) P ( x) Y ( x) G( x) (4.5) 0 Burada ( ) ( ) ( ) ve ( ) matrisleri p( x) p ( x) p k ( x) p( x) p( x) pk ( x) P ( x), p k( x) pk ( x) pkk ( x) Y y y ( x) y ( ) ( ) ( ) ( ) k ( x) ( x), ( x) g( x) g( x) Gx ( ) gk ( x)

51 39 Ģeklidedir. EĢ. 4.3 ifadeside taımlaa sıralama oktaları EĢ. 4.5 sistemide yerie yazılırsa m ( ) P ( xs) Y ( xs) G( xs) (4.6) 0 elde edilir. Buu da kısaca m ( ) P Y G (4.7) 0 Ģeklide gösterebiliriz. Burada ( ) ve matrisleri aģağıdaki gibi taımlaır. P P ( x0) P ( x ) P ( xn ), Y Y Y Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( x0) ( x ), ( xn ) Gx ( 0) Gx ( ) G Gx ( N ) Böylece EĢ. 4.4 ifadesii, EĢ. 4.7 deklemide yerie yazılırsa, EĢ. 4. sistemii matris formuu so hali m P X ( B) F A G (4.8) 0 m olur. W P X ( B) F A olmak üzere EĢ. 4.8 ifadesi 0 WA G veya W ; G A (4.9) artırılmıģ matrisi olarak yazılır. KoĢulları matris formlarıa geçmede öce so olarak P, X, B, F, A, G matrislerii boyutlarıı hatırlatalım,

52 40 P k( N ) k( N ) i X k( N ) k( N ) B k( N ) k( N ) F k( N ) k( N ) A k( N ) G k( N ) m bua göre W P X ( B) F A [ wp, q] boyutludur. k ( N ) k ( N ) 0 ġimdi ise sistemimize ait EĢ. 4. koģul deklemii matris bağıtısıı elde edelim. m 0 ( ) ( ) i i i a y ( a) b y ( b), i 0,..., m,,..., k ifadesii,..., k içi açalım m 0 m 0 a y ( a) b y ( b) ( ) ( ) i i i a y ( a) b y ( b) ( ) ( ) i i i (4.0) m 0 a y ( a) b y ( b) k ( ) k ( ) i k i k ki olur ve i0,..., m içi EĢ. 4.0 ifadesii ilk toplamıı açarsak y çözümü içi m-tae koģul gelir, a y ( a) b y ( b) (0) (0) a y ( a) b y ( b) (0) (0) 0 0 a y ( a) b y ( b) (0) (0) ( m)0 ( m)0 ( m)

53 4 Bezer Ģekilde so toplam ifadesii açarsak m- tae koģul gelir, y k çözümü içi de aģağıdaki gibi a y ( a) b y ( b) (0) (0) 00 k 00 k k 0 a y ( a) b y ( b) (0) (0) 0 k 0 k k a y ( a) b y ( b) (0) (0) ( m)0 k ( m)0 k k ( m) Böylece,,,..., k ve 0,..., m içi a 0 b 0 0 a b a b a, b, ( m ) ( ) ( m ) m m m m (4.) ifadeleri doğrultusuda koģul deklemii matris formuu m ( ) ( ) ay ( a) by ( b) (4.) 0 Ģeklide yazabiliriz. Burada ve matrisleri a a 0 0 b a 0 0 b 0, b, k k 0 0 a 0 0 b k kmk kmk km Ģeklidedir. Burada EĢ. 4. ifadesi, EĢ. 4. deklemide yerie yazılırsa

54 4 m 0 a X ( a) B F A b X ( b) B F A (4.3) elde edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa m 0 a X ( a) B b X ( b) B FA (4.4) m elde edilir. ( ) ( ) U a X a B b X b B F olmak üzere EĢ. 4.4 deklemii 0 matris gösterimi ise UA veya U; A (4.5) olarak yazılabilir. Daha sora EĢ. 4.9 matrisii koģul sayısı kadar satırı siliip ou yerie EĢ. 4.5 matrisi yazılarak aģağıdaki [W;G] artırılmıģ matrisi elde edilir, w, w, w, k( N) ; g( x0 ) w, w, w, k( N ) ; g( x0 ) ; wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( x ) ; wk ( N m), wk ( N m), wk ( N m), k ( N ) ; gk ( xn m) WG ; u, u, u, k( N) ;,0 u, u, u, k( N ) ;, ; uk, uk, uk, k ( N ) ;, m uk, uk, uk, k ( N ) ;,0 ; umk, umk, umk, k ( N ) ; k, m k ( N ) xk ( N ) (4.6)

55 43 Teorem 3. de, det(w) 0 ise EĢ. 4.6 matris deklemii çözümü A ( W) G (4.7) ifadeside buluur. Bu sayede EĢ. 4.7 deklemide bilimeye Hermite katsayılarıı oluģturduğu sütu matrisi A [ a 0 a... a N ] T elde edilmiģ olur. O halde verile koģullara göre EĢ. 4. diferesiyel deklem sistemi tek çözüme sahiptir ve bu çözüm, [ y ( x)] H( x) A,,..., k ya da N y ( x) a H ( x),,..., k s s s0 Ģeklidedir. 4.. Çözümü Kotrolü ve Hata Hesabı y( x ) ve ( ) ( ) EĢ. 4. sistemii sırasıyla gerçek ve yaklaģık çözümleri olsu. YaklaĢık çözümler HCM çözümleri olup EĢ. 4.7 ifadeside elde edile çözümlerdir. Bu çözümler EĢ. 4. deklemide yerie yazıldığıda yaklaģık olarak deklemi sağlamalıdır. Bu durumda her c 0,,... içi x xc ( c a x b ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) veya k E( xc) 0 c ( k c herhagi bir pozitif tamsayı)

56 44 k olmalıdır. Eğer maksimum (0 c ) = 0 k (k herhagi bir pozitif tamsayı) öcede belirleirse, bu durumda N kesme sıırı E ( x ) değerlerii 0 k da daha küçük kalmasıyla belirleir. Ayrıca bu bölümde de mutlak hata hesabı kullaılabilir. c 4.3. Uygulamalar Örek 4.. y x xy x xy x x x x y ( x) xy ( x) y( x) 5x 3 ( ) ( ) ( ) 46 (4.8) değiģke katsayılı lieer diferesiyel deklem sistemii 0 x içi ( ), ( ), ( ), ( ), koģulları altıdaki gerçek çözümleri y ( x) x 3, y ( x) x olarak [7] verilmiģtir. Bu problemi çözümüü N içi Hermite Collocatio metoduu uygulayarak bulalım. Araa y ( x ) yaklaģık çözümleri Hermite poliomları ciside s s s0 y ( x) a H ( x),, (4.9) 3 Ģeklidedir. Burada k, m, g ( x) x x 6x, olduğu açıktır. g x x ( ) 5 Sistemimiz; ( ) pi ( x) y ( x) gi( x), i, içi 0 p ( x) x, p ( x) 0, p ( x), 0 p ( x) 0, p ( x) x, p ( x) 0, 0 0 p ( x) 0, p ( x) x, p ( x) 0, p ( x), p ( x) 0, p ( x) olmaktadır. 0 N içi sıralama oktalarımız x 0, x /, x. ġimdi ise EĢ deklemii kullaarak EĢ. 4.8 sistemii matris formuu yazalım;

57 45 0 P X ( B) F A G, yai 0 P X P XB P X ( B) F A G (4.30) elde edilir. Burada 0 x 0 P ( x) 0, 0 x P ( x) x 0, 0 P ( x) 0, P 0 P (0) P (/ ) P () 66, P P (0) P (/ ) P () 66, P P (0) P (/ ) P () 66 3, X (/ ) / / 4 3, X () 3 X (0) 0 0, X X (0) X(/ ) X () 66, X (0) 0 X (0) 0 X (0) 6, X (/ ) 0 X (/ ) 0 X (/ ) 6, X () 0 X () 0 X () 6 A, A A 6, a0 A a a 3, A a a a 0 3 B B 0 T 0 B T 66, T B F, F 0 T 0 F T 66, F T ,

58 46 G(0) G G(/ ) G () 6, g(0) G(0) g (0) g(/ ), G(/ ) g (/ ) g(), G() g (), Bu değerleri EĢ deklemide yerie yazarsak temel matrisimiz [W;G]= ; ; ; 3/ ; -9/ ; ; -6 (4.3) olarak elde edilir. Bezer Ģekilde sıır koģullarıı matris deklemi EĢ. 4.5 ifadeside 0 a X (0) B b X () B FA 0 (0) 0 () (0) () U a X b X F a X b X BF UA (4.3) yazılır, burada a a a0 44, a a 0, 0,0 0 a,0 a a 0, 0,0 0 a,0 a a 0 0 a 44, a a 0 0, 0, a, a a 0 0, 0, a, b b b0 44, b b 0, 0,0 0 b,0 b b 0, 0,0 0 b,0

59 47 b 0 0 b 44 b, b 0 0, 0, b, b b 0 0, 0, b, b 4,,0 3 4,,,0 0, olmaktadır, bu değerleri EĢ. 4.3 ifadeside yerie yazarsak [ U; ] artırılmıģ matrisi ; ; 4 [ U; ] ; ; 0 (4.33) buluur. EĢ. 4.3 matrisii so dört satırı siliip ou yerie EĢ matrisi yazılırsa ; ; ; 3 [ WG ; ] ; ; ; 0 (4.44) elde edilir. det(w) 0 olduğuda, A ( W) G iģlemide katsayı matrisi A 7/ ; 0 ; /4 ; / ; 0 ; -/4 T buluur. Bu katsayı matrisii elemalarıı s s s0 y ( x) a H ( x),,, ifadeside yerie yazılırsa aradığımız çözümler y x ( ) x 3 y x x ( ) olarak elde edilir, bu çözümler ise EĢ. 4.8 sistemii tam çözümleridir [7].

60 48 Örek 4.. x y ( x) y ( x) y( x) x e x y( x) 4 y ( x) y( x) e, 0 x (4.45) Lieer diferesiyel deklem sistemii ele alalım. y(0), y(0) 0, baģlagıç koģulları içi EĢ sistemii gerçek çözümleri: x x 3 x 3 x 3 y( x) e 3e 3, y( x) e e x Ģeklide bulumuģtur [30]. Burada N 4 alıarak HCM ile yapıla sayısal hesaplamalar daha öce uygulaa Chebyshev metodu [3], Bessel metodu [30] ile karģılaģtırılmıģtır. Sırasıyla souçlar Çizelge 5., Çizelge 5.3 ve Çizelge 5.4 de verilmiģtir. EĢ sistemi, içi kısaca 0 p x y x g x i ( ) i ( ) ( ) i( ),, Ģeklide yazılabilir. EĢ. 4.8 deklemide EĢ 4.45 sistemii temel matris bağıtısı aģağıdaki gibidir, 0 P X P XB F A G (4.46) EĢ içi HCM metodudaki gerekli ola matrisler bir öceki örekteki gibi sıralama oktaları x 0, x / 4, x /, x 3/ 4, x hesaplamıģtır. içi aģağıda 0 3 4

61 49 P , P F B

62 50 X / 4 /6 / 64 / / 4 /6 / 64 / 56 / / 4 / 8 / / / 4 / 8 /6 3/ 4 9/6 7 / 64 8/ / 4 9/6 7 / 64 8/ BaĢlagıç koģullarıı matrisi de hesaplaarak EĢ sistemii [ ] artırılmıģ matriside, katsayı matrisi aģağıdaki gibi buluur. A 85/68-400/ /933-47/8 /53-83/873 0/99-99/3847 3/3987-7/83079 Bu katsayı matrisii elemalarıı yazılırsa araa çözümler s s s0 4 y ( x) a H ( x),,, ifadeside yerie y ( x ) - x 0,7 x - 0, x 0,03 x 3 4, y ( x ) -5.0 x - 0, x 0,07 x - 0,0 x olarak elde edilir.

63 5 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması x i Tam Çözüm ( ) HCM ile N=4 içi ( ) HCM, N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) 0, 0, , ,4677e-006 4,505e-005 5,987e-007 0, 0, , ,075e-005 7,985043e-005,00e-006 0,5 0, , ,763e-005 9,79089e-005,0978e-006 0,8-0, , ,909e-005 8,00600e-005 9,0094e-005 Çizelge 4.. Örek 4. i y ( ) x çözümüü diğer metotlarla karģılaģtırılması x i Tam Çözüm ( ) HCM ile N=4 içi ( ) HCM, N=4 Mutlak Hata ( ) CCM, N=5 Mutlak hata ( ) BCM, N=5 Mutlak hata ( ) 0, 0, , , 0, , ,5 0, , ,8 0, , ,604e-006,4773e-005,937e-007,003e-005 3,98470e-005 5,034e-007 8,744e-006 4,89066e-005 5,4596e-007,933e-005 4,064e-005 4,56e-006

64 5 ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması ġekil 4.. Örek 4. içi N=4 kesme sıırıda tam çözüm ile y ( x ) yaklaģık çözümü karģılaģtırılması

65 53 5. KESĠR MERTEBELĠ DĠFERENSĠYEL DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN ÇÖZÜMÜ ĠÇĠN HERMĠTE COLLOCATION METODU Bir öceki bölümde adi mertebede türevleri içere diferesiyel deklem sistemleri yaklaģık çözümleri Hermite collacatio metodu uygulaarak elde edilmiģtir. Bu bölümde ise bu yötemi kesirli mertebede diferesiyel deklem (FDE) sistemleri üzerie uygulayacağız. Bu bölümde,, =t ϵ Nₒ ve a x b, olmak üzere aģağıda belirtile m k c pi ( x) D y ( x) gi( x), i,..., k, (5.) 0 formudaki değiģke katsayılı lieer FDE sistemii t 0 c c a D y ( a) b D y ( b), i 0,..., t,,..., k i i i (5.) koģullarıa göre N y ( x) a H ( x ),,..., k (5.3) s s s0 solu Hermite serisi formuda yaklaģık çözümlerii arayacağız. Burada ( ) ( ) bilimeye foksiyo ve p ( x ) ve g ( x) foksiyoları a x b c 0 D y x y x üzeride taımlı bilie foksiyolardır. Ayrıca a, i b, i uygu sabitlerdir. EĢ. 5.3 ile verile deklemdeki bilimeye a ler ise çözüm içi aradığımız katsayılardır. Keyfi olarak N pozitif bir tam sayıdır ve N s i t dir. i i

66 54 FDE sistemlerii çözümüü varlığı ve tekliğie, temel matris deklemii elde edilmesii ardıda kolayca karar verilebilir. Eğer elde edile temel matrisi determiatı sıfırda farklı ise sistemi çözümü var ve tektir. 5.. Temel Matris Bağıtıları EĢ. 5. sistemii temel matris bağıtısıı elde ediliģii daha iyi alamak içi sistemi açık halii aģağıdaki gibi yazabiliriz. p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m i i i i p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m i i i i p x y x p x D y x p x D y x p x D y x g x), ( i,,..., k) c c m c m ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) ik ( ) k ( ) i( Her i içi yukarıdaki ifade tekrar düzeleirse i= içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) g ( x) c c m c m k k k k k k k k i= içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) g ( x) c c m c m k k k k k k k k

67 55 i=k içi p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m k k k k p ( x) y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) p ( x) D y ( x) c c m c m k k k k p x y x p x D y x p x D y x p x D y x g ( x) c c m c m kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) kk ( ) k ( ) k buluur. Burada aģağıdaki geellemeye gidilebilir 0 0 ( ) c P x D Y( x) c P ( x) D Y( x) m c m ( x) D Y( x) P ( x) D Y( x) = Gx ( ) P c ve bu durumda EĢ. 5. sistemii matris formu m c P ( x) D Y( x) G( x) (5.4) 0 c olur. Burada ( ), D Y( x) ve Gx ( ) matrisleri aşağıdaki formdadır p ( x) p ( x) p k ( x) p( x) p( x) pk ( x) P ( x) p ( x) p ( x) p ( x) k k kk kxk, c D Y ( x) c c c D y( x) D y( x) D yk ( x) kx g( x) g( x), Gx ( ) gk ( x) kx ġimdi ise EĢ. 5.4 deklemide gerekli ola y ( x ) leri Caputo alamıda kesirli türevlerii hesaplamak içi EĢ. 5.3 ifadesii kullaalım. EĢ. 5.3 deklemii matris formuu [ y ( x)] H( x ) A olduğuu EĢ. 4.4 ifadeside biliyoruz. Burada 0 N T A a a a a araa katsayı matrisidir ve EĢ. 3.7 deklemide Hermite poliomlarıı matris formu H( x ) [ H0( x ) H( x )... HN ( x )] Ģeklidedir. ġimdi EĢ. 3.7 ifadesi EĢ. 4.4 deklemide yerie yazılırsa,

68 56 T y ( x) X ( x ) F A,..., k (5.5) olur. Burada Ģeklidedir. Burada, EĢ ( N) N X ( x ) x x x x x N ifadesii her iki yaıı. Caputo kesirli türevii alırsak D y ( x) D X ( x ) F A (5.6) C C T C T elde edilir. Burada D X ( x ) X ( x )( B ) olduğuu EĢ. 3.0 da biliyoruz. T 0 ( ) N x N B I olmaktadır ve Ayrıca ( ) ( ) ( +) ( +) ( +) B (N +) ((N-) +) Ģeklidedir. EĢ. 3.0 ifadesi EĢ. 5.6 da yerie yazılırsa, D y ( x) X ( x )( B ) F A 0,..., m (5.7) C T T elde edilir. (5.7) i matris formu,..., k içi C T i T D y( x) X ( x ) 0 0 B 0 0 F 0 0 A C T T D y( x) 0 X ( x ) 0 0 B 0 0 F 0 A C T T D yk ( x) 0 0 X ( x ) 0 0 B 0 0 F Ak

69 57 olur ve buu da kısaca D Y( x) X ( x ) B F A, 0,..., m (5.8) c biçimide yazabiliriz. Burada X( x T T ) matrisi ( ), B, F matrisleri ise ( ) ( ) satır ve sütuda oluģmaktadır. Sıralama oktaları EĢ. 4.3, EĢ. 5.8 deklemide yerie yazılırsa D Y( x ) X ( x ) B F A, 0,..., m (5.9) c s s olur. Her bir collocatio oktası içi EĢ.5.9 D Y ( x ) X ( x ) B F A c 0 0 D Y ( x ) X ( x ) B F A c (5.0) D Y ( x ) X ( x ) B F A c N N Ģeklidedir ve burada ve matrisleri aģağıdaki formda olmak üzere Y c D Y ( x0) c D Y ( x ) c D Y ( xn ) X X( x0 ) X( x ) X( xn ) kısaca bu ifade Y X B F A (5.)

70 58 Ģeklide yazabilir. Burada ( ) matrisii X( xs ) X( xs ) 0 X( xs ) 0 0 X( xs ) olduğu hatırlamalıdır. EĢ. 5. ile verile sistemi matris formu ola EĢ. 5.4 deklemide sıralama oktaları yerie yazılırsa m c P ( xs) D Y( xs) G( xs) (5.) 0 elde edilir. Yukarıdaki matrisler sırasıyla s 0,,,..., N içi yazılırsa P P ( x0) P ( x ) P ( xn ), Gx ( 0) Gx ( ) G Gx ( N ) ve Y c D Y ( x0) c D Y ( x ) c D Y ( xn ) olur. Bu durumda EĢ. 5.4 ü kısa ifadesi m P Y G (5.3) 0 Ģeklidedir. EĢ 5. ifadesii EĢ de yerie yazdığımızda EĢ. 5. sistemii temel matris bağıtısıı so hali,

71 59 m P X ( B) F A G (5.4) 0 m olarak elde edilir. W P X ( B) F olmak üzere 0 WA G veya W ; G A (5.5) yazılabilir. Burada W, P, X, B, F matrisleri k( N ) k( N ), A ve G matrisleri kn ( ) satır ve sütuda oluģmaktadır. EĢ. 5.5 deklemii artırılmıģ matrisi WG ; w, w, w, k( N) ; g( x0) w, w, w, k( N) ; g( x0 ) wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0 ) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( xn ) w k ( N ), wk ( N ), wk ( N ), k ( N ) ; gk( xn) kullaılarak Hermite katsayılar matrisi A elde edilir. Bu souç EĢ. 5.3 deklemide yerie yazılırsa y ( x ) bilimeye foksiyoları buluur. Eğer det(w) 0 ise y ( x) leri tek çözümü vardır. Geellikle diferesiyel deklem sistemlerii belli koģullar altıda çözümleri araır. Bu koģulları sağlaya bir çözüm takımı bulmamız isteir. Böyle bir durumda EĢ. 5.5 deklemide faydalaarak bulua çözüm takımı bu koģulları sağlamaz. Buu içi verile koģulları matris formu buluarak EĢ. 5.5 ile birleģtirilir, oluģa yei sistemde isteile çözüm takımı elde edilir. Bu durumda EĢ. 5. koģul deklemii matris formuu elde edelim.

72 60 t 0 c c a D y ( a) b D y ( b), i 0,..., t,,..., k i i i ifadesii,..., k içi açarsak t 0 t 0 t 0 a D y ( a) b D y ( b) c c i i i a D y ( a) b D y ( b) c c i i i a D y a b D y b k c c i k ( ) i k ( ) ki olur, i0,..., t içi yukarıdaki ilk toplam ifadesii açarsak y çözümü içi t - tae koģul gelir, a D y ( a) b D y ( b) c 0 c a D y ( a) b D y ( b) c 0 c a D y ( a) b D y ( b) c 0 c 0 ( t)0 ( t)0 ( t) Bezer Ģekilde so toplam ifadesii de açarsak y k çözümü içi de t- tae koģul gelir, a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 00 k 00 k k 0 a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 0 k 0 k k a D y ( a) b D y ( b) k c 0 k c 0 ( t )0 k ( t )0 k k ( t ) bu durumda,,..., k ve 0,..., tiçi

73 6 a 0 b 0 0 a b a b a, b, ( t ) ( ) t ( ) t t t t ile kısaltırsak EĢ. 5. deklemii matris formu t 0 c c a D Y( a) b D Y( b) (5.6) olur. Burada, a a 0 0 b a 0 0 b 0, b, k k 0 0 a 0 0 b k ktk ktk kt Ģeklidedir, Ģimdi ise EĢ. 5.8 ifadesii EĢ. 5.6 deklemide yerie yazalım t 0 a X ( a ) B F A b X ( b ) B F A (5.7) t ve ( ) ( ) U a X a B b X b B F ise EĢ. 5.7 deklemii matris formu 0 UA veya U; A (5.8) buluur. Yai koģulları deklem sistemii matris formu elde edilmiģtir. Burada U matrisi ( kt) xk( N ) satır ve sütuda oluģmaktadır. So olarak EĢ.5.5 matrisii kt tae satırı siliip ou yerie EĢ. 5.8 matrisi yazılarak aģağıdaki [ WG ; ] artırılmıģ matrisi elde edilir.

74 6 w, w, w, k( N) ; g( x0) w, w, w, k( N ) ; g( x0) ; wk, wk, wk, k ( N ) ; gk ( x0) wk, wk, wk, k ( N ) ; g( x ) ; wk ( N t ), wk ( N t ), wk ( N t ), k ( N ) ; gk ( xn t ) WG ; u, u, u, k( N) ;,0 u, u, u, k( N ) ;, ; uk, uk, uk, k ( N ) ;, t uk, uk, uk, k ( N ) ;,0 ; ukt, ukt, ukt, k ( N ) ; k, t k ( N ) xk ( N ) (5.9) EĢ. 5.9 matrisii çözümüde buluacak A matrisii, EĢ. 5. deklemii EĢ. 5. koģullarıdaki yaklaģık çözümlerii verecek katsayı matrisi olduğu açıktır. Böylece A matrisii elemaları EĢ. 5.3 deklemide yerie yazıldığıda bulua y ( x ) çözümlerii varlığıı ve tekliğii rak W rak [ W; G] k( N ) (5.0) olması, garati eder. Çükü EĢ. 5.0 sağlaırsa det( W) 0 olur ve A ( W) G ile kolayca hesaplaır. 5.. Uygulamalar Bu bölümde Hermite sıralama (collocatio) yötemii kesirli diferesiyel deklem sistemleri üzeride uygulaabilir olduğuu göstermek içi bazı örekler verilmiģtir. Yötem uygulaırke iģlemler MatlabR007b programı yardımıyla kolayca Ģekilde hesaplamıģtır.

75 63 Örek 5.. AĢağıdaki lieer sabit katsayılı kesirli diferesiyel deklem sistemii 0 x aralığıdaki çözümüü verile baģlagıç koģulları altıda HCM yötemi ile çözelim. C D y x y x y x ( ) ( ) ( ) C D y x y x y x ( ) ( ) ( ) (5.) sistemii baģlagıç koģulları y (0) 0 ve y (0) (5.) altıdaki yaklaģık çözüm takımıı 0,7, 0,9 alarak, S.Momai ve Z. Obidat, Adomia Decompositio Method ile 007 de [ ], V.S. Ertürk ve S. Momai, Differetial Trasform Method ile 008 de [] elde etmiģlerdir. Ayı problemi 0,7, 0,7 içi Ģimdi Hermite Collocatio Method ile çözelim. Araa y ( x ) yaklaģık çözümleri Hermite poliomları ciside; y ( x) a H ( x ),,, s s s0 Ģeklidedir. Burada =7/0, m alıarak [ mα ]= içi t= olur ve k dir. Ayrıca keyfi N değerii N ifadeside yerie yazarsak t olacağıda N alabiliriz. Bu değerleri (5.6) c pi ( x) D y ( x) gi( x), i, (5.3) 0 olur.

76 64 EĢ. 5. sistemi D y ( x) y ( x) y ( x) 0 C 0,7 C 0.7 D y ( x) y ( x) y ( x) 0 (5.4) Ģeklide düzeleirse EĢ. 5.4 sistemii matris formu EĢ. 5.4 ve EĢ 5.4 kullaılarak c P ( x) D Y( x) G( x) P X ( B) F A G (5.5) 0 0 Ģeklide elde edilebilir. Bu ifadei açılmıģ hali, EĢ. 5.4 ile eģleģtirildiğide p ( x), p ( x), p ( x), p ( x), p ( x), p ( x) ve 0 g ( x) 0, g ( x) 0 olmaktadır. Diğer p ( x) 0 çıkmaktadır. Yai i p 0 olduğu i içi P 0 olmaktadır. Bu durumda problemimizi temel matris bağıtısı 0 P X P X B F A G (5.6) olur. Ayrıca N içi sıralama oktaları x0 0, x /, x alıdığıda, EĢ. 5.6 ifadesideki matrisler aģağıdaki gibi elde edilir. P p ( x ) p ( x ) s p ( x ) p ( x ), s s ( xs) 0 0 s p ( x ) p ( x ) 0 s p ( x ) p ( x ) 0 s s ( s) s P x P 0 P (0) P (/ ) P () 66, P P (0) P (/ ) P () 66 X (0 7 /0 ) 0 0 3, X (0.5 ) 0,5 0,5 7 /0 7 /0 4 /0, X () 3 3,

77 65 X 7 /0 (0 ) X 7 /0 (0 ) 0 7 /0 0 X (0 ) 6 7 /0 7 /0 X (0,5 ) 0, X (0,5 ) 7 /0 0 X (0,5 ) 6, X 7 /0 ( ) X 7 /0 ( ) 0 7 /0 0 X ( ) 6 7 /0 X (0 ) /0 7 /0, X X X (0,5 ) 7 /0 X ( ) 66 T B 0 ( +) 0 ( +) 0 0 ( +) B, B 0 T 0 B T 66, T F , F F 0 T 0 F T 66 g(0) G(0) g (0) g(/ ), G(/ ) g (/ ) g(), G() g () G(0) G G(/ ) G () 6 a0 A a a 3, A a a a 0 3 A, A A 6 EĢ deklemii ara iģlemleri Matlab programı ile hesapladığıda 0 W P X P X B F (5.7) olmak üzere WA G veya WG ; içi artırılmıģ matris

78 66 WG ; ; ; ; ; ; ; 0 (5.8) elde edilir. Bezer Ģekilde EĢ. 5. koģul deklemii matris formu EĢ. 5.7 ifadeside t 0 a X (0 ) B F A U a X (0 ) B F a X (0 ) F UA (5.9) buluur. y(0) 0 ve y(0) koģulları içi a a, a0 a 0,0 0 0,0, a a a0 x,,0,0 0 0, X (0 ) X (0 ) 0 X (0 ) Ģeklidedir, bu değerleri EĢ ifadeside yerie yazarsak [ U; ] artırılmıģ matrisi ; 0 [ U; ] ; (5.30) buluur, EĢ. 5.8 matrisii so iki satırı siliir ve ou yerie EĢ matrisi yazılırsa

79 67 WG ; ; ; ; ; ; ; (5.3) elde edilir. det(w) 0 olduğuda, A ( W) G iģlemide katsayı matrisi A buluur. Bu katsayı matrisii elemalarıı ifadeside yerie yazıca aradığımız çözümler y ( x) a H ( x ),,, s s s0 y x x x (7 /0) (7 / 5) ( ).0.75, y ( x ).00.0 x -.44 x olarak elde edilir. (7 /0) (7 / 5) ġekil 5.. DTM ile EĢ 5. sistemii yaklaģık çözümleri (a) ġekil 5.. ADM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri (b)

80 68 ġekil 5.3. HCM ile EĢ. 5. sistemii yaklaģık çözümleri Örek 5.. Kaallarla birbirie bağlı üç gölü kirlilik soruu içi matematiksel bir model, 3 ve 0 x b içi, problem aģağıdaki gibi modellemiģtir [5]. F F F D y ( x) y ( x) g( x) y ( x) y ( x) C V3 V V F F D y ( x) y ( x) y ( x) C 3 V V F F F D y ( x) y ( x) y ( x) y ( x) C V V V3 (5.3)

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

DERS NOTLARI-II ISINMA. c wwww.sbelian.wordpress.com

DERS NOTLARI-II ISINMA. c wwww.sbelian.wordpress.com EŞİTSİZLİKLER DERS NOTLARI-II c wwww.sbelia.wordpress.com Bazı foksiyo eşitsizliklerii kaıtıı yaparke, foksiyouu belli aralıklardaki şeklide öemlidir. Bu ders otumuzda ele aldığımız eşitsizlikleri çözümleride

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı Veri edir? p Veri edir? Geometrik bir bakış açısı p Bezerlik Olasılıksal bir bakış açısı p Yoğuluk p Veri kalitesi p Veri öişleme Birleştirme Öreklem Veri küçültme p Temel bileşe aalizi (Pricipal Compoet

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

ASTROİSTATİSTİK 4. KONU

ASTROİSTATİSTİK 4. KONU ASTROİSTATİSTİK 4. KONU Hazırlaya: Doç. Dr. Tolgaha KILIÇOĞLU 4. VERİLERİN YAYILIMININ BELİRLENMESİ Bir veri taımlaırke orta değer (ortalama, medya veya mod) verilmesii yaıda verileri yayılımıa (saçılmasıa)

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz

MIT Açık Ders Malzemeleri Kompleks Değişkenli Fonksiyonlar 2008 Güz MIT çık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.2 Kompleks Değişkeli Foksiyolar 28 Güz Bu materyallerde alıtı yapmak veya Kullaım Şartları hakkıda bilgi almak içi http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI

ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7 ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.. Örekleme Dağılışları 7.. Örek Dağılışı 7.. Örekleme Dağılışlarıı Özellikleri 7...Sapmasızlık 7... Miimum Varyaslılık 7.4. Örek Oraıı Örekleme Dağılımı 7.5. Örek Varyasıı Örekleme

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar. önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda. f dµ = f (n) elde edilir. n=1

4.3. İntegrallenebilen Fonksiyonlar. önermesinin doğru olduğunu gösteriniz. Bu durumda. f dµ = f (n) elde edilir. n=1 4.3. İtegralleebile Foksiyolar SORU : N, P N), µ) ölçü uzayıve µ sayma ölçüsü olsu. f L f ) < öermesii doğru Bu durumda dır. f dµ = f ) N ÇÖZÜM : µ sayma ölçüsüü özelliğide N f dµ = {} = {} f dµ f dµ =

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

MIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için

MIT Açık Ders Malzemeleri  Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin 4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. 2. DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP i Taımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemi değişe koşullar altıdaki davraışlarıı icelemek, kotrol etmek ve geleceği hakkıda varsayımlarda bulumak amacı ile

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI 44 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları

Detaylı

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI

SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI XIX. ULUSAL MEKANİK KONGRESİ 4-8 Ağustos 5, Karadeiz Tekik Üiversitesi, Trabzo SÖNÜMLÜ-DEĞİŞTİRİLMİŞ KORTEWEG-deVRIES (KdV) DENKLEMİNİN ANALİTİK VE HESAPLAMALI ÇÖZÜM KARŞILAŞTIRMASI Ciha BAYINDIR Işık

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem DENEY 4 Birici Derecede Sistem DENEYİN AMACI. Birici derecede sistemi geçici tepkesii icelemek.. Birici derecede sistemi karakteristiklerii icelemek. 3. Birici derecede sistemi zama sabitii ve kararlı-durum

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

5. BORULARDAKİ VİSKOZ (SÜRTÜNMELİ) AKIM

5. BORULARDAKİ VİSKOZ (SÜRTÜNMELİ) AKIM 5. ORURKİ İSKOZ (SÜRTÜNMEİ) KIM 5.0. oru Sistemleri Çözüm Yötemleri oru sistemleriyle ilgili problemleri çözümüde tip çözüm yötemi vardır. ular I. Tip, II. Tip ve III. Tip çözüm yötemleridir. u çözüm yötemleride

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

Bölüm 5: Hareket Kanunları

Bölüm 5: Hareket Kanunları Bölüm 5: Hareket Kauları Kavrama Soruları 1- Bir cismi kütlesi ile ağırlığı ayımıdır? 2- Ne zama bir cismi kütlesi sayısal değerce ağırlığıa eşit olur? 3- Eşit kollu terazi kütleyi mi yoksa ağırlığı mı

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ

ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ DOKUZ EYLÜL ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM ARALIĞINDA DĐNAMĐK ANALĐZĐ Kerem GÜRBÜZ Hazira, 011 ĐZMĐR ÇOK SERBESTLĐK DERECELĐ SĐSTEMLERĐN ZAMAN TANIM

Detaylı

GİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise;

GİRİŞ. Daha karmaşık yapıda olan ve bu ders kapsamına girmeyen denklemler için örnekler ise; GİİŞ Matematik bakış açısıyla doğrusal modelleri büyük bir avataı vardır. Doğrusal olmaya sistemleri matematiği aalitik yötemlerle oldukça zordur ve geellikle bir ümerik bir çözüm elde edebilmek içi bilgisayar

Detaylı

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici

Detaylı

ASTROİSTATİSTİK 12. KONU

ASTROİSTATİSTİK 12. KONU ASTROİSTATİSTİK 12. KONU Hazırlaya: Doç. Dr. Tolgaha KILIÇOĞLU 12. KORELASYON Bir deeyi veya gözlemi soucuda elde edile iki değişke arasıda bir ilişki olup olmadığı ortaya komak isteebilir. Aşağıda birbirleri

Detaylı

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ A.Saide Sarıgül DENEYİN AMACI: Akastre bir çubuğu modal parametrelerii (doğal frekas, titreşim biçimi, iç söümü) elde edilmesi. TANIMLAMALAR: Modal aaliz: Titreşe bir sistemi

Detaylı

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,

n, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere, KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects

Yatırım Projelerinde Kaynak Dağıtımı Analizi. Analysis of Resource Distribution in Investment Projects Uşak Üiversitesi Sosyal Bilimler Dergisi (2012) 5/2, 89-101 Yatırım Projeleride Kayak Dağıtımı Aalizi Bahma Alp RENÇBER * Özet Bu çalışmaı amacı, yatırım projeleride kayak dağıtımıı icelemesidir. Yatırım

Detaylı

AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME

AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME AYRIK DALGACIK DÖNÜŞÜMÜ İLE GÜRÜLTÜ SÜZME Fahri VATANSEVER 1 Ferudu UYSAL Adullah UZUN 3 1 Sakarya Üiversitesi, Tekik Eğitim Fakültesi, Elektroik-Bilgisayar Eğitimi Bölümü, 54187 Esetepe Kampüsü/SAKARYA

Detaylı

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III

GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ. KM 482 Kimya Mühendisliği Laboratuarı III GAZİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENİSLİK - MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENİSLİĞİ BÖLÜMÜ KM 482 Kimya Mühedisliği Laboratuarı III eey No : 2-a eeyi adı : Kesikli istilasyo eeyi amacı : a) Kolodaki basıç kaybıı belirlemek,

Detaylı

İki Serbestlik Dereceli Mekanizmalarla İşlev Sentezinde Tasarım Noktalarının Eşit ve Çebişev Aralıklandırması ile Seçiminin Karşılaştırılması

İki Serbestlik Dereceli Mekanizmalarla İşlev Sentezinde Tasarım Noktalarının Eşit ve Çebişev Aralıklandırması ile Seçiminin Karşılaştırılması Uluslararası Katılımlı 7. Makia Teorisi Sempozyumu, İzmir, -7 Hazira 05 İki Serbestlik Dereceli Mekaizmalarla İşlev Setezide Tasarım oktalarıı Eşit ve Çebişev Aralıkladırması ile Seçimii Karşılaştırılması

Detaylı

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI

YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI 2. Türkiye Deprem Mühedisliği ve Sismoloji Koferası YAPISAL ELEMANLARIN TİTREŞİM FREKANSLARININ ANALİZİ İÇİN ÜÇ BOYUTLU TIMOSHENKO KİRİŞ ELEMANI ÖZET: O. Soydaş 1 ve A. Sarıtaş 2 1 Doktora Öğrecisi, İşaat

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)

TÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1) TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu

Detaylı