TAKSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HADWIGER EŞİTSİZLİĞİ

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ HZIRLYN ÖĞRENCİ: Eray ÖZER DNIŞMN ÖĞREMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 0

2 İÇİNDEKİLER. PROJENİN MCI... GİRİŞ YÖNEM ÖN BİLGİLER KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ SONUÇ EŞEKKÜR... KYNKLR..

3 . PROJENİN MCI Bu projede, Öklid düzleminde yer alan bir üçgenin alanını, kenar uzunlukları yardımıyla sınırlayan ve Finsler-Hadwiger Eşitsizliği olarak bilinen ifadenin bir benzerinin, aksi düzleminde yer alan bir üçgenin alanı için de bulunup ispatlanması amaçlanmıştır.. GİRİŞ ve analitik düzlemde iki nokta olmak üzere ve Bnoktaları arasındaki Öklid uzaklığı olarak bilinir. 0. yüzyılın başlarında H. Minkowski iki nokta arasındaki uzaklığı farklı fonksiyonlar ile belirlemiştir. aksi uzaklık kavramı, ilk kez Minkowski tarafından (Minkowski, 967 de yer alan çalışmasında ortaya atılmıştır. Buna göre, ve B noktaları arasındaki taksi uzaklık olarak tanımlanır. K. Menger, analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı Öklid uzaklığı yerine taksi uzaklığı alarak aksi düzlem geometrisini inşa etmiştir (Menger,95. (Krause, 975 de belirtildiği gibi aksi geometrisinde yer alan noktalar, doğrular ve açı ölçümleri Öklid geometrisinde belirlendiği gibidir. aksi geometrisini Öklid geometrisinden farklı kılan en temel özellik, noktalar arasındaki uzaklığı belirleyen fonksiyonlardır. Bu farklılık, Öklid düzleminde İki üçgen arasında yapılan eşlemede iki kenar ve bu iki kenarın arasındaki açı eşit ise bu iki üçgen birbirine benzerdir. şeklinde ifade edilen kenar-açı-kenar aksiyomunun aksi düzleminde sağlanmamasına yol açmıştır. Bu yüzden aksi düzlem geometrisi Öklid dışı geometri olarak adlandırılır. Bunun dışında Öklid geometrisinin tüm aksiyomları aksi düzleminde de sağlanmaktadır (Yavuz, yüzyılın son çeyreğinden itibaren Öklid düzleminde iyi bilinen teoremlerin ve bağıntıların aksi düzlemine taşınması üzerine çeşitli çalışmalar yapılmıştır. Üçgenin alan formülleri ((Kaya, 006, (Özan ve Kaya, 00, Pisagor eoremi (Çolakoğlu ve Kaya, 008, Menelaus ve Seva eoremleri (Özan ve Kaya, 00, Stewart eoremi (Kaya ve Çolakoğlu, 006, Sinüs ve Kosinüs eoremleri (Bayar, Ekmekçi ve Özan, 009 bunlardan bazılarıdır. (Marinesu, Monea, Opinarıu ve Stroe, 0 de Öklid düzleminde yer alan bir üçgenin alanını kenar uzunlukları insinden sınırlayan ve Finsler-Hadwiger Eşitsizliği adı verilen bağıntının (Finsler ve Hadwiger, 97 de ispatlandığı belirtilmiştir. (Marinesu, Monea, Opinarıu ve Stroe, 0 de yer alan çalışmada ise bu eşitliğin ispatı Heron formülü araılığı ile yapılmıştır. Bu çalışmada da Finsler-Hadwiger eşitsizliğinin aksi düzleminde yer alan bir üçgen üzerine taşınması üzerine çalışılmıştır.. YÖNEM Bu proje boyuna doğrudan ispat yöntemi kullanılmıştır.

4 4. ÖN BİLGİLER Proje boyuna kullanılaak olan temel tanım, teoremler ve gösterimler aşağıdaki gibidir: aksi düzleminde yer alan bir BC üçgeni için d, B, d B, C a, d, C = b ve a b p ile gösterileektir. EOREM 4. (Finsler-Hadwiger Eşitsizliği Öklid düzleminde yer alan bir BC üçgeninde, ve Q ( a b ( b ( a olmak üzere a b Q 4 lan BC a b Q eşitsizliği daima sağlanır (Marinesu, Monea, Opinarıu ve Stroe, 0. ÖNERME 4. (Özan ve Kaya, 00 aksi düzleminde yer alan bir üçgenin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu durumda, dir. ÖNERME 4. (Özan ve Kaya, 00 Bir üçgenin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve açısı dar açı olmasın. Bu durumda, köşesinden kenarına inilen dikmenin ayağı ve olmak üzere dir. UYRI 4.4 BC taksi düzleminde bir üçgen olsun. Üçgenin her bir köşesinden koordinat eksenlerine paralel olaak şekilde bir çift doğrunun çizilebileeği açıktır. 4

5 NIM 4.5 (Özan ve Kaya, 00 aksi düzleminde yer alan bir BC üçgeni için aşağıdaki koşulların üçünü de sağlayan doğrusuna BC üçgeninin taban doğrusu adı verilir:. bir köşeden geçmektedir.. koordinat eksenlerinden birine paraleldir.. doğrusu. koşulda yer alan köşenin karşı kenarını (doğru parçası olarak kesmektedir. BC üçgeninin en az bir köşesinden daima bir veya iki taban doğrusu geçtiği açıktır. Böyle bir köşeye taban köşesi denir. Bir taban doğru parçasının taban köşesi ile karşı köşesi arasında kalan parçasına taban doğru parçası adı verilir. EOREM 4.5 (Özan ve Kaya, 00 Bir BC üçgeninde D noktası, taban doğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi dışındaki iki köşeden birinin taban doğrusu üzerinde olup taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası,, üçünü köşenin aynı taban doğrusu üzerinde olan anak taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, taban doğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere lan BC dir. ( p (, aban köşesinden tek bir taban doğrusu geçiyor ise ( p (, aban köşesinden iki taban doğrusu geçiyor ise, 5. KSİ DÜZLEMİNDE FINSLER-HDWIGER EŞİSİZLİĞİ ÖNERME 5. aksi düzleminde yer alan bir üçgenin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve ile açıları geniş açı olmasın. Bu durumda aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: ( b a ( a b ( a b lan BC a b a b a b 4a 4 ( [ ( ( ] 5

6 İSP olduğundan,, olsun. p elde edilir. a b p ( x y z Önerme 4. den lan( BC a ( p a ( p x ( p ( p x ( p x x ( y z x = ( x y x z... ( elde edilir. ( x y 0 ve( x z 0 olduğundan x y x y ve x z x z dir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa x y z ( x y x z...( bulunur. O halde Eşitlik ( ve Eşitsizlik ( den, lan( BC ( x y x z 4 4 ( x y z [( p a ( p b ( p ] ( ( p p a b a b 4 p 4 ( a b 4 4 ( p p a b a b ( a b ( a b b a 4 elde edilir. Diğer yön için, ritmetik-geometrik-harmonik ortalama eşitsizliğinden 6

7 lan( BC ( x y x z x x y z x y z y z x y z x x y z y z y z ( p a ( p b ( p a ( a b ( a b ( b a...( 4a bulunur. ÖNERME 5. aksi düzleminde yer alan bir üçgenin kenarı koordinat eksenlerinden birine paralel olsun ve açısı dar açı olmasın. Bu durumda, köşesinden kenarına inilen dikmenin ayağı ve olmak üzere aşağıdaki eşitsizlik sağlanır: ( b a ( a b ( a b lan BC a a a b a b a b 4a 4 ( [ ( ( ] İSP b a a Önerme 4. den B a lan BC a p a a ( ( C ( ( p x x a ( ( y z x a ( x y x z a ( y z ( x y x z a ( p x ( x y x z a a... (4 7

8 dir. Eşitsizlik ( den lan BC x y x z a y z ( ( ( 4 olarak bulunur. Diğer yön ise Eşitsizlik ( den ( a b ( a b b a a ( y z lan BC x y x z a a x y x z a a ( ( ( ( ( a b ( a b ( b a ( aa...(5 4a dir. EOREM 5. aksi düzleminde yer alan bir BC üçgeninde D noktası, taban doğrusu ile karşı kenarın kesim noktası, H noktası, taban köşesi dışındaki iki köşeden birinin taban doğru üzerinde olup taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası,, üçünü köşenin aynı taban doğrusu üzerinde olan anak taban doğru parçası üzerinde olmayan dik izdüşüm noktası, taban doğru parçasının uzunluğu, ve olmak üzere aban köşesinden geçen tek bir taban doğrusu var ise lan( BC ( a b ( ( a b ( 8 4 a b ve ( a b ( a b ( a b ( b a 4 lan( BC dir. aban köşesinden geçen iki taban doğrusu var ise lan( BC [ ( a b ( a b ( a b ] ( 4 8

9 ve ( a b ( a b ( a b ( b a ( lan( BC 4 dir. İSP aban köşesinden geçen tek bir taban doğrusu olsun. Bu durumda Önerme 5. ve Önerme 5. den H. D b C a B lan DC b b b 4 ( [ ( ( ] ve lan DBC a 4 ( [ ( a ( a ] dir. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa, lan( BC [ ( b ( b b ] [ ( a 4 4 +( a a ] 8 4 ( a b ( ( b a ( C b a elde edilir. Eşitsizliğin sol tarafına büyütülürse, a ve b aşağıdaki gibi eklenerek ifade 9

10 lan BC a b 8 4 ( ( ( a b ( b ( b a a ( a b ( ( a b 8 4 b ( a ( ( a b ( ( a b ( a b 8 4 bulunur. Eşitsizliğin diğer yönü için, yine Önerme 5. ve Önerme 5. den ( b ( b ( b 4 lan( DC ve ( a ( a ( a 4 lan( DBC dir. Parantezler açılır ve gerekli düzenlemeler yapılırsa b ( ( b b b b b lan( DC ve 4 a ( ( a a a a a 4 lan( DBC bulunur. Bu eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa ( a b ( a b ab( ( ( ( b a b a b 4 elde edilir. Diğer taraftan eşitsizlikte yer alan gibi atılarak ( b ve ( a b ifadeleri aşağıdaki ( a b ( a b ( ab [( b a (( ] 4 0

11 bulunur. Buradan ve ( a b ( a b ( a b b a 4 olduğu göz önüne alınırsa ( a b ( a b ( a b ( b a 4 bulunur. aban köşesinden geçen iki taban doğrusu var ise b H D C H a B Önerme 5. den lan DC b b 4 ( [ ( ( b ] ve lan( CDB [ ( a ( a a ] 4 dir. Buradan a a 4 [ ( b ( ( b b a ] (

12 dir. Eşitsizliğin sol tarafına büyütülürse, ve b a değerleri aşağıdaki gibi eklenerek eşitsizlik a 4 [ ( b ( ( a b ( a b b 4 [ ( ( a b a a b ] ( b ( a ( ] ( [ ( a b ( a b ( a b ] ( 4 bulunur. Diğer yön için, Önerme 5. den ( b ( b ( b, 4 ( a ( a ( a olduğu bulunur. Eşitsizlikler taraf tarafa toplanırsa 4 ( a b ( a b a b ( ( b a ( b ( a b 4 ( elde edilir. Diğer taraftan eşitsizlikte yer alan ( b ve ( a b ifadeleri atılarak ( a b ( a b ( a b [( b a (( ] 4 (

13 elde edilir. Şimdi, ve olduğu göz önüne alınırsa ( a b ( a b ( a b b a ( 4 ( a b ( a b ( a b ( b a ( 4 olarak bulunur. SONUÇ aksi düzleminde yer alan bir üçgenin alanını üçgenin kenarları yardımıyla sınırlayan eşitsizlikler elde edilmiştir. EŞEKKÜR Bu çalışma boyuna beni teşvik eden danışman öğretmenim Özel Ege Lisesi, Bilim Kurulu Eş Başkanı Dr. Gizem GÜNEL e ve hiç bir zaman benden desteklerini esirgemeyen aileme teşekkür ederim. KYNKLR Bayar,., Ekmekçi, S., Özan, M., 009, On trigonometri funtions and osine and sine rules in taxiab plane, International Eletroni Journal of Geometry, Volume No., 7-4. Çolakoğlu, B. H., Kaya, R., 008, axiab versions of the Pythagorean theorem, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol., No. 9, Finsler, P., Hadwiger, H., (97, Einige relationen im dreiek, Comment. Math. Hel., 0, 6-6. Kaya, R., 006, rea formula for taxiab triangles, Pi, Mu, Epsilon Journal, Vol., 4, 9-0. Kaya, R. Çolakoğlu, B. H., 006, axiab versions of some Eulidean theorems, Int. Jour. of Pure and ppl. Math., 6(, (006, Krause, E.F., 975, axiab geometry, ddison - Wesley Publishing Company, Menlo Park, C, 88p. Marinesu, D. Ş., Monea, M., Opinariu, M., Stroe, M., 0, Note on Hadwiger- Finsler s inequalities, Journal of Mathematial Inequalities, Volume 6, Number,

14 Menger, K., 95, You will like geometry, Guildbook of the Illinois Institute of ehnology Geometry Exhibit, Museum of Siene and Industry, Chiago, IL. 86p. Minkowski, H., 967, Gesammelte abhandlungen, Chelsa Publishing Co. New York, Özan, M., Kaya, R., 00, On the ratio of direted lengths in the axiab plane and related properties, Missouri Journal of Mathematial Sienes, 4,, Özan, M., Kaya, R., 00, rea of a triangle in terms of the axiab distane, Missouri Journal of Mathematial Sienes, 5,, Yavuz, D., 006, nalitik geometri ve axiab geometri üzerine, Yüksek Lisans ezi, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü. 4