SÖNÜMLÜ SERBEST TİTREŞİMLER

Transkript

1 SÖNÜMLÜ SERBEST TİTREŞİMLER 79

2 Viskoz Sönümlü Titreşimler Newton un 2. kanununa göre, F = ma mx = cx kx mx + cx + kx = 0 Sönümlü serbest titreşim hareketinin diferansiyel denklemi 80

3 Sönümlü Serbest Titreşim Hareket Denkleminin Bulunması mx + cx + kx = 0 Diferansiyel denklem x + c m x + k m x = 0 δ = c 2m Sönüm sabiti, ω n = k m Doğal frekans x + 2δx + ω 2 n x = 0 x(t) = Ce λt, x (t) = λce λt, x (t) = λ 2 Ce λt Çözüm kabulü Yerlerine konulup düzenlenirse, λ 2 Ce λt + 2δλCe λt + ω 2 n Ce λt = 0 λ 2 + 2δλ + ω 2 n = 0 İkinci dereceden karakteristik denklem 81

4 Bu denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur. λ 1,2 = δ δ 2 ω n 2 Buna göre, köklü ifadenin değişimine göre 3 farklı titreşim durumu elde edilir. 1. Durum δ 2 ω 2 n > 0 Aşırı Sönüm 2. Durum δ 2 ω 2 n = 0 Kritik Sönüm 3. Durum δ 2 ω 2 n < 0 Zayıf Sönüm 82

5 1. Durum: Aşırı Sönüm δ 2 ω n 2 > 0 c 2 4m 2 > k m c2 > 4mk Aşırı Sönümlü λ 1 = δ + δ 2 2 ω n, λ 2 = δ δ 2 2 ω n Bu durumda diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur. x(t) = e δt (A cosh μt + B sinh μt) Konum (Aşırı sönüm için) v(t) = e δt (A(μ sinh μt δ cosh μt) + B(μ cosh μt δ sinh μt)) Hız Burada μ aşağıdaki gibidir. μ = δ 2 ω n 2 denilirse A ve B katsayıları başlangıç şartlarından bulunur. 83

6 Başlangıç Şartları ; t = 0 için x(t) = x 0, v(t) = v 0 olduğu kabul edilirse x(0) = x 0 = e δ0 (A cosh μ0 + B sinh μ0) A = x 0 v(0) = v 0 = e δ0 (A(μ sinh μ0 δ cosh μ0) + B(μ cosh μ0 δ sinh μ0)) B = v 0 + δx 0 μ A ve B sabitleri konum denkleminde yerlerine konularak hareket denklemi bulunur. x(t) = e δt (x 0 cosh μt + v 0 + δx 0 μ sinh μt) Aşırı sönüm için 84

7 2. Durum: Kritik Sönüm δ 2 ω n 2 = 0 c 2 4m 2 = k m c2 = 4mk Kritik Sönümlü c = c kr = 2 km = 2mω n Kritik sönüm katsayısı λ 1 = λ 2 = λ = δ Bu durumda diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur. x(t) = e δt (A + Bt) Konum (Kritik sönüm için) v(t) = e δt (B(1 δt) Aδ) Hız A ve B katsayıları başlangıç şartlarından bulunabilir. Başlangıç şartları ; t = 0 için x(t) = x 0, v(t) = v 0 olduğu kabul edilirse x(0) = x 0 = e δ0 (A + B0) A = x 0 85

8 v(0) = v 0 = e δ0 (B(1 δ0) Aδ) B = v 0 + δx 0 A ve B sabitleri konum denkleminde yerine konularak hareket denklemi elde edilir. x(t) = e δt (x 0 + (v 0 + δx 0 )t) Kritik sönüm için 3. Durum: Zayıf Sönüm δ 2 ω n 2 < 0 c 2 4m 2 < k m c2 < 4mk Zayıf Sönümlü λ 1,2 = δ (ω n 2 δ 2 ) = δ i (ω n 2 δ 2 ) ω d = δ iω d ω d = ω n 2 δ 2 Sönümlü serbest titreşim frekansı 86

9 λ 1 = δ + iω d, λ 2 = δ iω d D = c c kr = c 2 km = δ ω n Sönüm oranı veya sönüm faktörü c kr :Kritik sönüm katsayısı Sönüm tipleri D cinsinden de ifade edilebilir. 1. Durum D > 1 Aşırı Sönüm 2. Durum D = 1 Kritik Sönüm 3. Durum D < 1 Zayıf Sönüm Bu durumda diferansiyel denklemin çözümü aşağıdaki gibi bulunur. x(t) = e δt (A cos ω d t + B sin ω d t) Konum (Zayıf sönüm için) v(t) = e δt ((Bω d Aδ) cos ω d t (Bδ + Aω d ) sin ω d t) Hız 87

10 A ve B katsayıları başlangıç şartlarından bulunabilir. Başlangıç şartları ; t = 0 için x(t) = x 0, v(t) = v 0 olduğu kabul edilirse x(0) = x 0 = e δ0 (A cos ω d 0 + B sin ω d 0) A = x 0 v(0) = v 0 = e δ0 ((Bω d Aδ) cos ω d 0 (Bδ + Aω d ) sin ω d 0) B = v 0 + δx 0 ω d A ve B sabitleri konum denkleminde yerine konularak hareket denklemi elde edilir. x(t) = e δt (x 0 cos ω d t + v 0 + δx 0 ω d sin ω d t) Zayıf sönüm için Bu çözümdeki e δt azalan üstel terimi hariç, kalan kısım periyodiktir ve bu kısımda geçen ω d frekansına sönümlü serbest titreşimlerin frekansı denilmektedir. Buna göre zayıf sönümlü serbest titreşim hareketi, genliği üstel olarak azalan harmonik bir harekettir. 88

11 89

12 Zayıf sönüm için elde edilen hareket denklemi aşağıdaki gibi sadece kosinüs fonksiyonuyla da ifade edilebilir. x(t) = A 0 e δt cos(ω d t ε) x (t) = A 0 e δt [ δ cos(ω d t ε) ω d sin(ω d t ε)] Bu denklem için t = 0 için x(t) = x 0, v(t) = 0 başlangıç şartlarına göre A 0 ve ε aşağıdaki gibidir. A 0 = x 0 cos ε, ε = arctan ( δ ω d ) ε: Faz açısı 90

13 91

14 Logaritmik Azalma Logaritmik azalma, sönümlü serbest titreşimlerde genliklerin azalma hızını ifade eder ve herhangi ardışık iki genlik oranının doğal logaritması şeklinde tanımlanır. x 0 x 1 = x 1 x 2 = = x n 1 x n = e δt d = e c 2π 2m πc ω d = emω d = Λ πc mω Λ = e d sabitine sönme nisbeti denir. Λ = x n 1 x n ln Λ = ln x n 1 x n = ln e πc mω d = πc mω d = λ λ ifadesine logaritmik azalma veya dekreman denir. 92

15 93

16 Örnek 1: Aşağıda denge konumundaki sistemin küçük titreşimler için sönümlü doğal frekansını bulunuz. Çubuk rijit ve kütlesizdir. 94

17 M = Jφ Jφ = cx L kxl ml 2 φ + cl 2 φ + kl 2 φ = 0 mφ + cφ + kφ = 0 ω n = k m, δ = c 2m ω d = ω n 2 δ 2 = k m c2 4m 2 rad sn 95

18 Örnek 2: k eş = k 2 + k 3 + k 4 m Jφ = k b φ kφl 2 rφ l 2 4 ml 2 φ 3 + rl 2 φ 4 + (k b + k eş l 2 )φ = 0 φ + 3r 4m φ + (3k b ml 2 + 3k eş m ) φ = 0 φ + 2δφ + ω n 2 φ = 0 ω n = 3k b ml 2 + 3k eş m, 2δ = 3r 4m δ = 3r 8m ω d = ω 2 n δ 2 = 3k b ml 2 + 3k eş m 9r2 64m 2 rad sn 96

19 Örnek 3: Denge konumundaki sistemin küçük titreşimlerinin sönümlü doğal frekansını bulunuz. Çubuk rijittir. 97

20 Jφ + m 1 x L 2 + m 2x ( 1 12 ML2 + m 1 L 2 L 2 = cx L 2 k 1x L 2 k 2x L m 2 ( 1 3 M + m 1 + m 2 ) φ + cφ + (k 1 + k 2 )φ = 0 L 2 ω n = k 1 + k M + m 1 + m 2, δ = ω d = ω n 2 δ 2 = k 1 + k M + m 1 + m 2 4 L2 ) φ + c 4 φ + (k L k L ) φ = 0 c 2 ( 1 3 M + m 1 + m 2 ) c 2 rad 4 ( M + m sn 1 + m 2 ) 98

21 Örnek 4: Aşağıda denge konumundaki sistemin küçük titreşimlerinin sönüm oranını ve sönümlü doğal frekansını bulunuz. 99

22 J m φ + J M φ = cy (ml ML) m eş L kxl mgx Mgy 2 L 1 φ + c φ + (kl + mg + Mg 4 2 ) φ = 0 c eş k eş ω n = k eş m eş, δ = c eş 2m eş, D = c 2mω n = c eş 2m eş ω n = ω d = ω n 2 δ 2 = k eş m eş c eş 2 k eş m eş c 2 eş 4m eş rad 2 sn 100

23 Örnek 5: Şekilde görülen m kütlesine, denge konumunda uygulanan bir darbe ile bir v0 başlangıç hızı verilmiştir. Zayıf sönüm hali söz konusu olduğuna göre, meydana çıkacak sönümlü titreşimin hareket denklemini belirleyiniz. 101

24 mx + rx + kx = 0 x + 2δx + ω n 2 x = 0 x(t) = e δt (A cos ω d t + B sin ω d t) Zayıf sönüm için titreşim denklemi v(t) = δe δt (A cos ω d t + B sin ω d t) + e δt (Bω d cos ω d t Aω d sin ω d t) t = 0 için x(t) = 0, v(t) = v 0 x(0) = e δ0 (A cos ω d 0 + B sin ω d 0) = 0 A = 0 v(0) = δe δ0 (A cos ω d 0 + B sin ω d 0) + e δ0 (Bω d cos ω d 0 Aω d sin ω d 0) = v 0 δa + Bω d = v 0 B = v 0 ω d x(t) = e δt (A cos ω d t + B sin ω d t) denkleminde yerine konulursa x(t) = v 0 ω d e δt sin ω d t 102

25 Örnek 6: m=0,5 kg lık bir kütlenin denge noktasından itibaren v 0 başlangıç hızıyla serbest titreşiminden elde edilen x-t diyagramı şekilde verilmiştir. x 1 = 28 mm ve x 4 = 1,5 mm olduğuna göre; a. Hangi sönüm hali mevcuttur. b. Sönümlü serbest titreşimin periyodu T d yi ve ait ω d frekansını bulunuz. c. δ sönme sabitini ve r sönüm katsayısını bulunuz. d. Yay katsayısı k değerini bulunuz. e. Başlangıç hızını (v 0 ) bulunuz. 103

26 104

27 a. Zayıf sönüm mevcuttur. b. 4 tam titreşim için t = 4T d = 0,6 sn T d = 0,15 sn ω d = 2π = 2π T d 0,15 = 41,9 rad sn c. Logaritmik dekreman λ = δt d = 1 4 ln λ = 0,729 x(t) x(t + 4T d ) = 1 4 ln x 1 = 1 28 ln x 4 4 1,5 = 1 ln 18,6 4 Sönüm sabiti δ = λ = 0,729 T d 0,15 = 4,86 1 s Sönüm katsayısı r = 2mδ = 2.0, kg s [Ns m ] 105

28 d. ω d = ω n 2 δ 2 ω n 2 = ω d 2 + δ 2 = 41, ω n = 42,18 1 s ω n = k m k = mω 2 n = 0,5.42,18 k = 889,6 kg s 2 [N m ] e. x(t) = v 0 ω d e δt sin ω d t x 1 tepe noktası zamanı : x 1t = T d 4 = 0,15 4 v 0 = x(t)eδt ω d sin ω d t = 0,0375 s = 28. e4,86.0, ,9 sin(41,9.0,0375) = 1,408 m s 106

29 Örnek 7: Şekildeki titreşim sisteminde 34 kg lık m kütlesi, yay katsayısı k=4414,5 N/m olan bir yaya bağlanmıştır. Kütleye bağlanan bir piston da viskoz bir sıvı ile dolu bir amortisörün içinde hareket etmektedir. Sönüm kuvveti doğrudan doğruya kütlenin hızıyla orantılıdır ve hız 1 m/s olduğu zaman 176,6 N dur. a. Sönüm katsayısını, b. Sönümsüz serbest titreşimin doğal frekansını, c. Sönümlü serbest titreşimin doğal frekansını, d. Kritik sönüm değerini, e. Logaritmik azalmayı, f. Başlangıç genliği 5 cm olduğuna göre bir periyot sonundaki genliği bulunuz. 107

30 a. F s = rv r = F s = 176,6 v 1 = 176,6 Ns m b. ω n = k m = 4414,5 34 = 11,39 rad s, f n = ω n = 11,39 2π 2π tit s c. ω d = ω 2 n δ 2 = ( k ( r m 2m )2 ) = ( 4414,5 ( 176, )2 ) ω d = 11,096 rad s f d = ω d 2π = 1,766 tit s d. r c = 2mω n = 2 km = ,5.34 = 774,83 Ns e. Logaritmik dekreman = λ = ln e δt d = δt d = πr mω d = m 176,6π 34.11,096 = 1,469 f. x πr 0 mω = e d x x 1 = x 0 e πr mω d = 0,05. e π.176, ,096 = 1,15 cm 1 108

31 Örnek 8: Toplam kütlesi 500 kg olan yüklü bir platform eşdeğer yay katsayısı 72 kn/m olan bir yay grubu ile bir sönüm elemanı üzerine oturtulmuştur. Platformun denge konumundan itibaren aşağı doğru x=12,5 cm sıkıştırıldıktan sonra ilk hızsız kendi bırakıldığı takdirde, ancak denge konumuna ulaşmaktadır. Sönümün bundan az değeri için titreşim başlamaktadır. Yüklü platformun kendi haline bırakıldıktan t=0,1 s sonraki konumunu ve hızını bulunuz. Çözüm: Sistemde kritik sönüm mevcuttur. Kritik sönüm için çözüm; x = e δt (At + B) x = Ae δt δe δt (At + B) t = 0 için x = 12,5 = 0,125 m, x = 0 e δ.0 (A. 0 + B) = 0,125 B = 0,

32 Ae δ.0 δe δ.0 (A. 0 + B) = 0 A = Bδ δ = r 2m = r c 2m = 2 km 2m = k m = = 12 1 s A = 0, = 1,5 x = e 12t (1,5t + 0,125) t = 0,1 için x = e 12.0,1 (1,5.0,1 + 0,125) = e 1,2 (0,15 + 0,125) = 0,0828 m = 8,28 cm x = Ae δt δe δt (At + B) = 1,5e 12.0,1 12e 12.0,1 (1,5.0,1 + 0,125) x = 0,5423 m s 110

33 ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER Zorlayıcı titreşim tipleri: 1. Yön değiştiren bir kuvvet sonucu meydana gelen titreşimler. 2. Hareketli zeminden kaynaklanan titreşimler. 111

34 Hareketin Diferansiyel Denklemi Kuvvetle tahrik edilmiş titreşimler 112

35 mx + rx + kx = F(t) F(t): Zorlayıcı kuvvet Zorlayıcı kuvvet aşağıdaki şekillerde olabilir. F(t) = F 0 e iωt, F(t) = F 0 cos ωt, F(t) = F 0 sin ωt, F(t) = m rω 2 cos ωt F 0 : Zorlayıcı (tahrik) kuvvet genliği ω: Zorlayıcı (tahrik) kuvvet frekansı m rω 2 : Balanssızlık (dengesizlik, merkezkaç) kuvveti genliği m : Dengesizliği oluşturan kütlecik r: Dönme merkezi ile kütlecik (ağırlık merkezi) arasındaki mesafe 113

36 m r = me e = m r m şeklinde bir düzenleme yapılırsa mx + rx + kx = F 0 cos ωt mx + rx + kx = meω 2 cos ωt Sabit genlikli kuvvetle tahrik hali Genliği frekansa bağlı kuvvetle tahrik hali Yay tespit yerinin hareketiyle tahrik edilmiş titreşimler Yay kuvveti F yay = kx r = k(x x p ) Sönüm kuvveti F sönüm = rx r = r(x x p) 114

37 x: Kütlenin mutlak hareketi x p : Platformun (zeminin) hareketi x r : Kütlenin izafi hareketi Zemini hareketli sistemlerde kütlenin mutlak hareketine ait diferansiyel denklem. mx + rx + kx = X p k 2 + r 2 ω 2 cos(ωt + λ) x p = X p cos ωt X p : Platform genliği λ = arctan rω k m kütlesinin platforma göre izafi hareketini gösteren dd. mx r + rx r + kx r = mω 2 X p cos ωt 115

38 Elde edilen 4 adet dd. lineer ve homojen olmayan diferansiyel denklemlerdir. Homojen kısımlarının (denklemlerin sol tarafları) çözümleri sönümlü serbest titreşimlerin hareket denklemlerini vermektedir. Homojen olmayan kısımları (denklemlerin sağ tarafları) özel veya partiküler çözümler olup, iki taraflı homojen olmayan diferansiyel denklemi sağlayan herhangi bir çözümdür. Homojen kısmın çözümü başlangıç şartlarını barındıran A, B (veya faz açısı) sabitlerini içermesine rağmen, partiküler çözüm tamamen belirlidir ve zorlanmış titreşim adını alır. Sistem tahrik kuvvetinin etkisi altında titreşime başladığı zaman, ilk başlarda serbest ve zorlanmış titreşimler birlikte görülmektedir. Bir süre sonra sönümlü serbest titreşimler sönümün etkisiyle ortadan kalkmakta ve sadece zorlanmış titreşimler devam etmektedir. İşte başlangıç anından itibaren bir süre devam ettikten sonra ortadan kaybolan titreşimlere geçici veya tranzient titreşimler denilmektedir. Devam eden titreşimlere ise daimi rejim titreşimleri denir. 116

39 117

40 Sabit genlikli kuvvetle tahrik hali mx + rx + kx = F 0 cos ωt Diferansiyel denklem x h = A 0 e δt cos(ω d t ε) Homojen çözüm x ö = X cos(ωt ψ) Özel çözüm x = x h + x ö x = A 0 e δt cos(ω d t ε) Homejen çözüm + X cos(ωt ψ) Özel Çözüm Toplam çözüm Bir süre sonra sönümlü serbest titreşimler ortadan kalkacağı için, homojen çözüm ihmal edilip sadece özel çözüm göz önüne alınır. x = X cos(ωt ψ) veya x = A cos ωt + B sin ωt 118

41 Bu çözüm diferansiyel denklemde yerine konularak X ve ψ parametreleri bulunur. X = Burada; F 0 (k mω 2 ) 2 + (rω), tan ψ = rω 2 k mω 2 X st = F 0 k, ω n 2 = k m, η = ω ω n parametreleri kullanılarak zorlayıcı kuvvetin genliği ile statik çökme miktarı oranlanırsa, boyutsuz genlikler oranı bulunur. V = X X st = 1 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2, tan ψ = 2Dη 1 η 2 119

42 V ye dinamik büyütme katsayısı denir ve F = F 0 cos ωt ile tahrik edilen zorlanmış titreşimin genliğinin, F = F 0 sabit statik kuvveti altında yayın uzamasına oranını ifade eder. ψ ise, her ikisi de harmonik değişen zorlayıcı kuvvet ile zorlanmış titreşim arasındaki faz açısını gösterir. Zorlayıcı (tahrik) kuvvetin frekansının, sistemin kendi doğal frekansına eşit olduğu zaman, titreşim genliğinin sonsuz olmasına REZONANS hali, ω = ω n frekansına da REZONANS FREKANSI denir. 120

43 121

44 Sonuçlar; Sistemin sönümsüz, yani D = 0 olması halinde, V = 1 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 V = 1 1 η 2 η = 0 için ω = 0 V = 1 η = 1 için ω = ω n V = (Rezonans) η = için ω ω n = V = 0 D ye bağlı olmaksızın bütün eğriler (0,1) noktasından başlar. Tüm eğriler η = 1 civarında maksimuma ulaşır. (Rezonans Bölgesi) Diğer noktalarda sönümün artmasıyla genlikler azalır. 122

45 Genliği frekansa bağlı kuvvetle tahrik hali mx + rx + kx = meω 2 cos ωt Diferansiyel denklem Önceki çözüm adımları aynen takip edilerek çözüm bulunur. X = meω 2 (k mω 2 ) 2 + (rω) 2, tan ψ = rω k mω 2 X genliği e sayısına oranlanarak boyutsuz V büyütme faktörü bulunur. V = X e = η 2 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η = 2 η2 V tan ψ = 2Dη 1 η 2 123

46 Yay tespit yerinin hareketiyle tahrik hali Mutlak hareket mx + rx + kx = X p k 2 + r 2 ω 2 cos(ωt + λ) Diferansiyel denklem λ = arctan rω k X = X p k 2 + r 2 ω 2 (k mω 2 ) 2 + (rω) 2, tan ψ = rω k mω 2 X genliği X p genliğine oranlanarak boyutsuz V büyütme faktörü bulunur V = X X p = 1 + 4D 2 η 2 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 = η2 V tan ψ = 2Dη 1 η 2 124

47 İzafi hareket mx r + rx r + kx r = mω 2 X p cos ωt Diferansiyel denklem x r = X r cos(ωt ψ) V = X r X p = η 2 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 = η2 V tan ψ = 2Dη 1 η 2 Bu titreşim hareketi, genliği frekansa bağlı tahrik kuvveti (balanssızlık-dengesizlik) ile tahrik edilmiş zorlanmış titreşimlerle aynıdır. 125

48 Örnek 1: Kütlesi m=9,81 kg olan bir cisim, yay katsayısı k=10.9,81 N/mm olan bir yay asılmış olup, F=150.9,81.cos 50t değişken kuvvetine maruzdur. Formülde t saniye, kuvvet genliği N olarak verilmiştir. a. Sistemin tabii frekansını bulunuz. b. Hareketin diferansiyel denklemini bulunuz. c. Genel çözümü belirleyiniz. d. t = 0 için x = 0, x = 0 başlangıç şartlarına uyan titreşimi bulunuz. Çözüm : a. ω n = k m = 10.9, ,81 = 100 rad sn 126

49 b. mx + kx = F 9,81x , x = 150.9,81. cos 50t x x = 150 cos 50t dd. c. x = x h + x p Toplam çözüm x h = A cos ω n t + B sin ω n t Homojen çözüm x h = A cos 100t + B sin 100t x p = X p cos ωt Özel çözüm x p = X p cos 50t Özel çözüm diferansiyel denklemde yerine konularak X p genliği bulunur. x p = 50 2 X p cos 50t 50 2 X p cos 50t X p cos 50t = 150 cos 50t 50 2 X p X p =

50 X p = = 0,02 m x = x h + x p = A cos 100t + B sin 100t + 0,02 cos 50t d. t = 0, x = 0 için x(0) = A cos B sin ,02 cos 50.0 = 0 A + 0,02 = 0 A = 0, 02 x = 100A sin 100t + 100B cos 100t 0,02.50 sin 50t t = 0, x = 0 için x (0) = 100A sin B cos ,02.50 sin 50.0 = 0 100B = 0 B = 0 x = 0,02 cos 100t + 0,02 cos 50t x = 0,02(cos 50t cos 100t) 128

51 Örnek 2:Bir motor kütlesi 10 kg olan rijit dikdörtgen bir levha üzerine konulmuştur. Bu levha A kenarı boyunca mafsallı ve B kenarının iki köşesinde ise birer helisel yay üzerine oturmaktadır. Toplam kütlesi 25 kg olan motor 300 dev/dak lık düzgün hızla dönmekte olup, dönme ekseninden 0,05 m uzaklıkta bulunan dengelenmemiş kütlenin ağırlığı 39 N dur. Levhayı taşıyan yayların her birinin yay katsayısı N/m dir. Motordan gelen düşey kuvvetin A dan 0,35 m uzaklıktaki C noktasında tesir ettiği ve yaylara gelen kuvvetlerin eşit olduğu kabul edilerek, a. Sistem titreşimlerinin tabii frekansını bulunuz. b. Zorlanmış titreşime ait diferansiyel denklemi bulunuz. Sadece düşey kuvvetleri göz önüne alınız. 129

52 130

53 Çözüm: a. AB levhasının kütlesi m p = 10 kg Motorun toplam kütlesi Her bir yayın sertliği M A = J toplam φ m m = 25 kg k = N m J toplam φ = 2kL 2 sin φ L 2 ( 1 3 m pab 2 + m m AC 2 ) φ = 2kL 2 2 φ ( , ,35 2 ) φ ,5 2 φ = 0 4,035φ φ = 0 ω n = ,035 = 43,11 rad sn f n = ω n 2π = 43,11 2π = 2,863 Hz 131

54 b. ω = 2πn 60 = 2π = 10π Zorlayıcı kuvvet frekansı Dengesizlikten oluşan merkezkaç kuvveti m rω 2 = 39 9,81 0, π 2 = 196,185 N Merkezkaç kuvvetinin A ya göre moment değişimi M = 196,185.0,35. cos ωt = 68,665 cos 10πt 4,035φ φ = 68,665 cos 10πt φ φ = 17,02 cos 10πt 132

55 Örnek 3:Toplam kütlesi 400 kg olan düşey silindirli bir gaz motoru bir çelik şasiye monte edilmiştir. Motorun ağırlığı 0,0025 m lik düşey statik çökmeye sebep olmaktadır. Motorun dengelenmemiş dönen kütlesi 5 kg olup dönme ekseninden 0,06 m uzaklıktadır. Sönüm elemanının sönüm katsayısı Ns/m dir. Daimi titreşim durumuna erişilmiş olduğuna göre; a. Motor mili 540 dev/dak ile döndüğüne göre zorlanmış titreşimin genliğini b. Rezonansın ortaya çıktığı mil hızını belirleyiniz. 133

56 Çözüm: r = 0,06 m ω = 2πn 60 = 2π m 1 = 5 kg m = 400 kg = 18π rad sn k = mg δ st = 400.9,81 0,0025 = 1, N m r = Ns m F 0 = m 1 ω 2 r = 5. (18π). 0,06 = 959,4 N 134

57 a. mx + rx + kx = 959,4 cos 18πt x = A cos ωt + B sin ωt = A cos 18πt + B sin 18πt x = X cos(18πt ψ) X = X = F 0 (k mω 2 ) 2 + (rω), tan ψ = rω 2 k mω 2 959,4 (1, (18π) 2 ) 2 + ( (18π)) 2 X = 0, m = 0,822 mm b. ω n = k m = 1, = 62,65 rad sn ω = ω n ω n = πn 30 Rezonans durumunda n = 30ω n π = 598,2 dev dak 135

58 Örnek 4: Bir otomobilin kütlesi 1500 kg olan gövdesi, bu gövdenin ağırlığı altında 0,2 şer m kısalan dört eşit amortisör üzerine oturmaktadır. Ayrıca bu amortisörlerden her birinin sönüm katsayısı 150.9,81 Ns/m dir. Otomobil, otomobilin tabii frekansı ile rezonans halinde ve genliği 0,02 m olan harmonik bir hareketle aşağı yukarı hareket eden bir deney platformu üzerine dört tekerlek vasıtası ile yerleştirilmiştir. Gövdenin ağırlık merkezinin, dört tekerin temas noktalarının ağırlık merkezi ile aynı düşey doğrultu üzerinde bulunduğunu kabul ederek, gövdenin genliğini bulunuz. Not: Tekerlekler rijittir. 136

59 Çözüm: k = mg = ,81 δ st 0,20 r = ,81 = 5886 Ns m = N m x p = X p cos ω n t = 0,02 cos ω n t Sönümsüz gövde yay sisteminin tabii frekansı ω n = k = m = 7 rad 1500 sn Platformu hareketli sistemin dd. mx + r(x x p) + k(x x p ) = 0 mx + rx + kx = X p k 2 + r 2 ω 2 cos(ωt + λ) 137

60 η = ω ω n = 1 Sistem rezonans halinde olduğu için ω = ω n dir. r c = 2 km = = 21010,712 D = r r c = ,712 = 0,28 Platformu hareketli sistemin genliği; X = X p k 2 + r 2 ω 2 (k mω 2 ) 2 + (rω) 2 veya X X p = 1 + 4D 2 η 2 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 = , (1 1 2 ) , = 2,05 X = X p. 2,05 = 0,02.2,05 = 0,041 m = 4,1 cm 138

61 Örnek 5: İki tekerlekli bir treyler sinüzoidal yüzeyi haiz bir yol boyunca 20 m/s lik bir hızla hareket ettirilmektedir. Sinüzoidal dalganın dalga boyu 4 m ve tepe ile çukur arasındaki yükseklik farkı 0,05 m dir. Hareketli kütle 1000 kg, toplam yay katsayısı N/m dir. Sistemde kritik sönüm mevcut olduğuna göre, treyler kütlesinin titreşiminin genliğini hesaplayınız. 139

62 Çözüm : x Treylerin yolun orta konumunda statik denge haline göre düşey mutlak hareketi x p = X p cos ωt tekerleklerin orta konumuna göre düşey yer değiştirmesi X p = 0,05 = 0,025 m 2 v = 20 m s, λ = 4m λ = vt t = λ v = 4 20 = 0,2 s ωt = 2π ω = 2π t = 2π 0,2 = 10π rad s D = 1 Kritik sönüm olduğu için 140

63 ω n = k m = = 125 rad sn η = ω ω n = 10π 125 = 2,81 Platformu hareketli sistemin dd. mx + r(x x p) + k(x x p ) = 0 mx + rx + kx = X p k 2 + r 2 ω 2 cos(ωt + λ) Platformu hareketli sistemin genliği; X X p = 1 + 4D 2 η 2 (1 η 2 ) 2 + 4D 2 η 2 = ,81 2 (1 2,81 2 ) ,81 2 = 0,6417 X = 0,6417. X p = 0,6417.0,025 = 0,01604 m = 1,604 cm 141