İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş

Transkript

1 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI 5. Giriş Öreklem istatistikleri kullaılarak kitle parametreleri hakkıda çıkarsamalar yapmak istatistik yötemleri öemli bir bölümüü oluşturur.gülük hayatta cevap aradığımız soruları bazıları söyle sıralaabilir. a. Bir seçimi souçlarıı kestirebilmek içi öreklemde asıl yararlaırız? b. Bir ürüü gerçekte stadartlara uygu üretilip üretilmediğie ürüü bir öreklemii kullaarak asıl karar verilebilir? c. Bir pay seedii yıllık ortalama getirisii kestirmek içi öreklemdeki değerleride asıl yararlaırız? d. Bir ürüü piyasadaki ortalama satış fiyatıı kestirmek içi öreklemdeki fiyatları asıl kullaırız? Yukarıdaki soruları cevapladırmak içi öce kitlede kurallara uygu olarak bir öreklem çekmemiz gerekir. Kurallar uygu çekilmemiş bir öreklemde doğru cevaplar elde etmek mümkü olamaz. Kitle bir rastlatı sürecide oluştuğu içi kitlede bir rastlatısal (olasılıksal) öreklem çekip kitlei ortalaması ve varyası hakkıda çıkarsamalar yapmak olasıdır. Buu içi öce öreklemi uygu biçimde elde etmek ve ardıda öreklem istatistiklerii elde etmek gerekir. Öreklem ortalaması ve varyası, daha öce de taımladığı gibi, öreklem istatistikleri olarak adladırılır. Öreklem istatistikleri de birer rastlatı değişkei olarak kabul edildiğide bular da birer olasılık dağılımıa sahiptirler. Bu olasılık dağılımlara örekleme dağılımları deir. 5.. Kitlede öreklem çekmek Örekleme dağılımıı belirleme süreci basit rastgele örekleme ile elde edilmiş öreklem gözlemlerii kullaır. Bu edele öce basit rastgele öreklemei taımıı alamak gerekmektedir. Basit rastgele örekleme, bir kitlede tae esei eşit olasılıkla seçilmesi işlemidir. Burada öemli okta öreklem gire her öğei seçilme şasıı eşit olmasıdır. Bu seçme işlemi, N tae kitle öğesi arasıda, geellikle rastgele sayı üretme algoritmalarıı kullaa bilgisayar yazılımları ile yapılır. Kitleyi temsil ede öreklem öğelerii sayısı ile gösterilir. N kitle büyüklüğü öreklem büyüklüğü olarak adladırılır. Öreklem büyüklüğü kitle büyüklüğüe bağlı olarak belirleir. kitle büyüklüğü arttıkça /N örekleme oraı küçülür. Öreklem büyüklüğü, öreklem kuramıı kurallarıa bağlı olarak belirleir. Daha pratik olarak, bazı hata paylarıı kabul ederek, geçmiş

2 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir deeyimlere ve araştırmalara dayalı olarak oluşturulmuş hazır tablolarda yararlamak mümküdür. Bu tablolarda kitle büyüklüğü bilidiğide kullaılabilecek öreklem büyüklüğü verilmektedir. 5.3 Örekleme dağılımları Bir kitlede çekilmiş, büyüklüğüde birde fazla öreklem düşüelim. Birici öreklemdeki gözlemler ile ikici öreklemdeki gözlemler birbirleride farklı olabilecektir. Her öreklemde farklı gözlemler olduğuda her öreklemi ortalaması ve varyası diğerleride farklı olacaktır. Varsayıla bu işlemde ortalamalar ve varyaslar şasa bağlı olarak ortaya çıkacak birbirleride farklı değerlerdir. Bu sebeple varsayımsal olarak elde edile ortalamaları ve varyasları olasılık dağılımlarıda bahsedilebilir. Bu dağılımlara örekleme dağılımları deir. Bu kabulde sora bir öreklemdeki her bir değeri, bir rastlatı değişkeii gerçekleşmiş bir gözlemi olarak yorumlamak mümküdür. O halde deilebilir ki, öreklemdeki tae,,..., gözlemi, tae,,..., rastlatı değişkelerii birer değeridir. Bu rastlatı değişkeleri birbirleride bağımsızdır. Diğer bir deyişe, bir gözlem bir başka gözleme bağlı olmada ortaya çıkar. Öreklem ortalaması öreklem gözlemlerii aritmetik ortalamasıdır ve (,,..., ) /. Acak hesaplaa ortalamasıı da aslıda gibi bir rastlatı değişke rastlatı değişkeii gerçekleşmesi olduğu bir gerçektir. Bu durumda rastlatı değişkelerii aritmetik ortalaması (,,..., ) / i i olarak yazılabilir. Şimdi μ ortalama σ varyası ile ormal dağılıma sahip rastlatı değişkei dağılımıı yai örekleme dağılımıı ele alabiliriz. Bir rassal değişkei beklee değerii, rassal değişkei taımladığı kitlei kitle ortalaması olduğuu, varyasıı ise kitle varyası olduğuu biliyoruz: E Var ( ) Bu taımda hareketle, rastlatı değişkei ortalama ve varyası E E (... ) Var( ) Var(... )

3 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir elde edilir. Öreklem ortalamasıı varyası ile gösterilir ve burada elde edile stadart sapmaya i stadart hatası deir, ile gösterilir. Burada kitle stadart sapmasıdır. Bu souç öreklem ortalamalarıı dağılımıı ortalaması kitle ortalamasıa eşit olduğuu söyler. Bu souçlar kitlei olasılık foksiyouu bildiğimiz durumda kesi geçerlidir. Uygulamada ise kitlei olasılık foksiyou geellikle bilimez ve elimizde yalızca bir öreklem olur. Bu durumda yukarıdaki soucu geçerli olması içi örekleme büyüklüğü ola sayısıı artıma yolua gidilir. Bua rağme öreklem ortalaması kitle ortalamasıda büyük ya da küçük olabilir. Fu farklılaşma öreklem ortalamalarıı değişkeliğide kayaklaır. Varyas küçüldükçe farklılaşma azalır. Yukarıdaki souçta da görülebileceği gibi öreklem büyüklüğü arttıkça varyas yai değişkelik küçülür. Eğer, N i büyük bir parçası ise, varyas aşağıdaki gibi elde edilir. Var( ) N. N Burada ( N ) /( N ) terimi solu kitle düzeltme çarpaı olarak adladırılır. /N>0.05 ise öreklem kitlei büyük parçası kabul edilir. 5.4 Kitle ormal dağılıma sahipse öreklem ortalamasıı dağılımı Kitle öğelerii μ ortalama σ varyası ile ormal dağılıma sahip olduğuu varsayalım. Bu durumda öreklem ortalamalarıı öreklem dağılımı da ormal dağılım gösterir. Bu vargı istatistik kuramıdaki bir teoreme dayaır. Bua göre, ormal dağılıma sahip rassal değişkeleri doğrusal foksiyou da ormal dağılır. Öreklem ortalamasıı göstere rassal değişke de tae ormal değişkei bir doğrusal foksiyou olduğua göre bu vardama doğrudur. ve rassal değişkei μ ortalama σ / varyası ile ormal dağılıma sahiptir. ~ N(, / ) Kitle ormal dağılım gösterdiğide ormal dağılıma sahip olduğua göre, bu dağılımda stadartlaştırılmış rastgele değişke Z hesaplaabilir. Z

4 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir Bilidiği gibi Z rassal değişkei ortalaması 0 varyası ola stadart ormal dağılıma uyar. Örek: Bir buji üreticisi buji ömrüü km ortalama 6000 stadart sapmayla ormal dağılıma uyduğu iddiasıdadır. 6 bujili rassal örekle alımış buları ömürlerii ortalaması bulumuştur. Üreticii iddiası doğru ike ortalama ömrü saatte daha az bir ortalama bulma olasılığı kaçtır? Eğer üreticiye %95 güve duyuyorsak bu ortalama ömür güveimizi haklı gösteriyor mudur? P( 97000) P( ( ) / s ( ) /(6000 / 6)) P ( 97000) P( Z 3000 /500) P( Z ) 0.08 İddiası doğru ike ya da daha küçük bir öreklem ortalaması bulma olasılığı 0.08 dir olup oldukça küçüktür. Üreticii iddiasıda haklı olduğu söyleebilir. Eğer %95 güve duyuyorsak P(Z>-.645)=0.95 olması gerekir P (.645 Z) olduğua göre P(.645 Z) P(.645 ( ) / ) P(.645 * ( )) P(.64 * ) P( *500 ) P(97540 ) öreklemde bulua ortalama ömürde (97000) büyük olduğua göre üreticiye %95 güve duymakta haklıyız. 5.5 Kitle ormal dağılım göstermediğide öreklem ortalamasıı dağılımı Kitle dağılımıı ortalama ve varyası biliyorsa acak kitlei ormal dağılıma uyduğu hakkıda hiç bir bilgi yoksa, merkezi limit teoremide yararlaırız. Merkezi limit teoremi:,,..., rastlatı değişkeleri ortalaması μ varyası σ ola ayı dağılımlarda gele tae bağımsız değişke ve buları ortalaması olsu. büyüdükçe, Z değişkei dağılımı stadart ormal dağılıma yaklaşır. Burada yeterli büyüklük 30 olarak kabul edilmektedir. Ayrıca istatistik kuramıda büyük sayılar yasası derki, kitle dağılımı e olursa olsu öreklem büyüklüğü büyüdükçe öreklem ortalaması kitle ortalamasıa yaklaşır. Bu yasayı açıklamak kolaydır. N büyüdükçe varyas küçülür ve öreklem ortalaması sabit bir sayıya yai kitle ortalamasıa yaklaşır.

5 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir Örek: Kitle değerleri,3,5,7 ola her biri fişler üzerie yazılı ola bu sayılar torbaya atılıyor ve çekile yerie koularak iki fiş çekiliyor. Mümkü souçları listesii her birii ortalamasıı buluuz. Bu ortalamalar örekleme dağılımıda gelmektedir. Öreklem ortalamalarıı ortalamasıı, varyasıı ve stadart sapmasıı buluuz. Souçları kitle ortalaması (μ=4), varyası(σ =5) ve stadart sapması (σ= 5 ) ile karşılaştırıız. Örekleme dağılımı özelliklerii sağlamasıı yapıız. Kitlei olasılık dağılımı ve mümkü öreklemler ile buları öreklem ortalamaları aşağıda verilmiştir. 6 adet öreklem ortalamasıı ortalaması, varyası ve stadart hatası hesaplamış bulumuştur. Bu souçları örekleme dağılımı souçlarıı sağladığı görülür: 5.6 Öreklem oralarıı örekleme dağılımları Kitle oraıı çıkarsamak içi öreklem oraı kullaılır. Oralara ilişki rastlatı değişkelerie, bir ürüde firmaı piyasa payı, yatırım araçlarıı başarı oraı, seçim souçları, bir toplumdaki kadı oraı, müşteriler arasıda mal satı alma oraı gibi çeşitli alalarda örekler verilebilir. Kitle oraı P ola gözlemli biom dağılımıda başarı sayısı olsu. büyüklüğüdeki öreklem içi öreklem oraı söyle taımlaır:

6 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir Başarı oraı P i bilidiği büyük bir kitlede rastgele öreklemler seçilir ve her gözlemi başarı ya da başarısızlık olduğu belirleirse, öreklem büyüdükçe öreklemi başarı oraı, P ye yaklaşır. i ortalama ve varyası, Biom dağılımı göstere başarı sayısıı, i ortalama ve varyasıda buluur. Biom dağılımda başarı sayısıı ortalama ve varyası P( P) i bu varyasıı karekökü ola stadart sapması stadart hata adıı alır. Öreklem oraı dağılımı büyük öreklemlerde yaklaşık ormal olduğuda stadart ormal rastlatı değişkei Z elde edilebilir. Z P P( P) 5 olması durumuda ormal dağılıma yaklaşıklık çok artar. Bu durumda stadart hata formülüde P yerie kullaılır. ( ) Örek: Bir araba satış uzmaıı müşteriye araba satma başarı oraı 0.85 dir. So 49 araba satışıda oraı 80 de küçük olması olasılığı P=0.85, =49 alıarak P( P) 0.85( 0.85) P ( 0.80) P( Z ) P( Z 0.98)

7 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir ALIŞTIRMALAR. μ=4 ve σ=.5 olduğuda =64 içi öreklem ortalamasıı 4.3 de az olması olasılığıı buluuz.. μ=4 ve σ=.5 olduğuda =00 içi öreklem ortalamasıı 4.3 de fazla olması olasılığıı buluuz 3. μ=550 ve σ=3.7 olduğuda =45 içi öreklem ortalamasıı 55 de fazla olması olasılığıı buluuz 4. μ= 750 ve σ=.7 olduğuda =36 içi öreklem ortalamasıı 750 de dazla 753 de az olması olasılığıı buluuz. 5. Rastgele seçilmiş 6 Vakıf üiversitelerideki araştırma görevlilerii maaşlarıı ortalaması 4000 TL stadart sapması 500 hesaplamıştır. a) Tüm vakıf üiversitelerideki maaş ortalamasıı 3900 TL de daha az olması olasılığı edir? b) 3800 ile 4300 arasıda olması olasılığı edir? 6. Ortalaması 00 varyası 8 ola bir dağılımda =36 ola rassal bir öreklem çekilmiştir. a) Öreklem ortalamalarıı örekleme dağılımıı ortalaması ve varyasıı buluuz. b) P( 0 ) buluuz. c) P( 98 0) buluuz. 7. Belli bir üreticii ürettiği ampulleri ortalama ömrü 00 saat, stadart sapması 400 saat ile ormal dağılıma uyduğuu iddia etmektedir. Üreticii ürüüde rastgele olarak 9 ampul seçilmiştir. a) Öreklemi ortalama ömrüü ortalaması ve stadart sapması kaçtır? b) Öreklem ortalamasıı 050 saatte az olması olasılığı kaçtır? c) Öreklem ortalaması 0 olduğua göre, üretici iddiasıda %95 haklımıdır. 8. Bir buji üreticisi buji ömrüü km ortalama 6000 stadart sapmayla ormal dağılıma uyduğu iddiasıdadır. 6 bujili rassal örekle alımış buları ömürlerii ortalaması bulumuştur. Üreticii iddiası doğru ise ortalama ömrü saatte daha az olması olasılığı edir? Eğer üreticiye %95 güve duyuyorsak bu ortalama ömür güveimizi haklı gösteriyor mudur? 9. Bir ürü fabrikada 500 gr ağırlık ile paketlemektedir. Ürü 4 gr stadart sapma ile ormal dağılım göstermektedir. Ürüü stadartlara uygu paketlediğii deetlemek içi 9 paketlik rassal bir öreklem almış ve ortalamasıı 495 gr bulmuştur. Üretim sürecie %95 güve duyulmaktadır. Bu durumda paketleme sürecii güvee uygu yürütüldüğü söyleebilir mi?

8 İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir 0. Çevre mühedislerii yıllık geliri TL dir. Basit rastgele örekleme ile seçile 35 mühedisi ortalama gelirii de daha az olası olasılığı kaçtır? Kitle stadart sapması 000 varsayılmıştır LPG istasyouda LPG i litre fiyatı ortalama kuruş, stadart sapması 9 kuruştur. Kitlede alıa 50 büyüklüğüdeki rastgele öreklemde LPG litre fiyatıı 370 kuruşta daha az olması olasılığı edir?. P=0.60 ola bir kitlede =00 ola rassal bir öreklem çekilsi. a) Öreklem oraıı 0.65 de büyük olması olasılığı kaçtır? b) Öreklem oraıı 0.48 de küçük olması olasılığı kaçtır? c) Öreklem ortalamasıı 0.53 ile 0.65 arasıda olması olasılığı kaçtır? 3. Özel müzik aletleri sata bir mağazaya gireleri %0 si bir alet satı almaktadır. Bir güde mağazaya rastlatısal olarak 50 müşteri gelirse, a) Alım yapa müşterileri öreklem oraı dağılımıı ortalaması kaçtır? b) Öreklem oraıı varyası ve stadart hatası kaçtır? c) Öreklem oraıı 0.5 de büyük çıkma olasılığı kaçtır? 4. Büyük bir şirkete yei işletme bölümü mezularıda 00 kişi başvurmuştur. Bütü işletme mezularıı %4 si kadı ise bu başvurularda kadı oraıı %37 ile %47 arasıda olma olasılığı kaçtır? 5. Bir hayır kurumu geçe yıl bağış yapaları %40 ıı bu yıl da bağış yapacağıı belirlemiştir. Geçe yıldaki bağışçılarda 400 kişi rastgele olarak seçilmiştir. a) Öreklemdekileri yarıda fazlasıı bu yıl da bağış yapma olasılığı kaçtır? b) Öreklem oraıı 0.38 ile 0.43 arasıda çıkma olasılığı kaçtır? 6. Bir kombi ısıtma cihazı alaları %30 uu ek garati alaşması yaptığı belirlemiştir. Geçe ay satıla 00 cihaz bütü satışları bir rastgele öreklemi varsayılsı. Öreklem oraıı 0.3 de düşük olma olasılığı kaçtır? büyük şirketi tepe yöeticilerii %60 i bilgisayarlar otomatik pay seedi alım satımıı yasaklamasıı istemektedir. Bu yöeticiler içide rastgele seçile 8 kişilik öreklemdekileri yarıda fazlasıı ayı görüşte olma olasılığı kaçtır? 8. Akaryakıttaki özel tüketim vergi oraı azaltılmasıı isteye yurttaşları oraıı belirlemek içi rastgele alıa 900 kişilik öreklemde p ˆ bulumuştur. Kitle oraı %95 güve sıırlarıı, P p P p ) 0. 95, buluuz. (