5 SERBESTLİK DERECELİ ROBOT KOLUNUN KİNEMATİK HESAPLAMALARI VE PID İLE YÖRÜNGE KONTROLÜ

Transkript

1 5 SERBESTLİK DERECELİ ROBOT KOLUNUN KİNEMATİK HESAPLAMALARI VE PID İLE YÖRÜNGE KONTROLÜ Fatih Pehlivan * Arif Ankaralı Karabük Üniversitesi Karabük Üniversitesi Karabük Karabük Özet Bu çalışmada, öncelikle 5 serbestlik derecesine sahip ve ticari olarak temin edilebilen AL5A robot kolunun ters ve düz kinematik denklemleri elde edilmiştir. Ters ve düz kinematik denklemlerin elde edilmesinde geometrik yaklaşım kullanılmıştır. Verilen bir uç yörüngesi için, izlenmesi gereken eklem yörüngeleri elde edilen ters kinematik denklemlerle hesaplanmıştır. Uç elemanın verilen yörüngeyi izlemesinde, PID kontrolcü kullanılarak yörünge hassas bir şekilde izletilmeye çalışılmıştır. PID kontrolü ile gerçekleşen yörünge ve referans yörünge arasında oluşan hatalar simülasyonlarla irdelenmiştir. Düz kinematik, robotu oluşturan eklemlere verilen açılara karşı robot kolunun nerde olduğunu ifade etme şeklidir. Ters kinematik, robot kolunun uç kısmının belli bir noktada olması için eklemlere verilmesi gereken açıları ifade etme şeklidir. Bu çalışmada yukarıda değinilen, beş serbestlik derecesine sahip AL5A robot kolunun öncelikle geometrik yaklaşım ile ters kinematiği ile her bir motorun dönme açıları hesaplanmaktadır. Anahtar kelimeler: Geometrik yaklaşım, PID kontrol, Ters ve Düz Kinematik. Abstract In this study, forward and inverse kinematic equations of the commercially available AL5A robot arm consisting of 5 degrees of freedom are obtained. Geometric approach has been used to obtain the forward and inverse kinematic equations. Joint trajectories of each link for a reference cartesian trajectory of the robot are computed by the inverse kinematic equations obtained. A PID controller is used to control the position of the end effector to trace the given trajectory precisely. Errors occurring between the reference and achieved trajectory are discussed by simulations. Keywords: Geometric approach, Forward and Inverse Kinematic, PID controller. I. Giriş Robot kolu, dönel veya kayar eklemlerle birbirine bağlanmış uzuv adı verilen katı cisimlerden meydana gelen açık çevrimli bir zincirdir. Zincirin bir ucu bir desteğe bağlanmış, diğer ucu ise serbesttir. Eklemler birbirlerine bağlı uzuvların izafi hareketine izin vermektedir [1].Bu hareketlerin matematiksel modellenmesi ve çözümü ele alındığı zaman ilk gereksinme duyulan hususlardan biri, robot kolun kinematik modelinin oluşturulmasıdır. Bu kinematik hesabında ise ileri yön (düz) ve ters kinematik olmak üzere iki yol izlenmektedir: * fatihpehlivan86@gmail.com ankaraliarif@gmail.com Şekil. 1. AL5A Robot Kolu II. Robot Kolunun Ters Kinematik Denklemleri, Matematik Modeli ve PID Kontolü Bir robot kola ilişkin iş planlaması, yörünge planlaması, dinamik, ve kontrol problemleri ele alındığı zaman ilk gereksinme duyulan hususlardan biri, bu robot kolun kinematik modelinin oluşturulması ve buna dayanarak gerekli kinematik ilişkilerin elde edilmesidir [2]. A. Ters Kinematik Denklemleri Ters kinematik hesabı ile her bir uzvu hareket ettiren motorların dönme açıları hesaplanabilir. Bu hesap için, aşağıdaki gibi her bir uzvun uzunlukları, elin son konum açısı ve robot kolunun uç noktasının bulunduğu kartezyen koordinantları bilinmelidir. Taban yüksekliği, Arka kol uzunluğu, Ön kol uzunluğu, El uzunluğu, 1

2 Tutucu uzunluğu, El açısı,γ (eğer açı Şekil 2. deki kesikli kırmızı çizginin üstünde ise açı pozitif, aksi durumda ise negatif alınmalıdır) x, y ve z kartezyen koordinantları (mm) Burada robotun lazer kesim gibi taşınan parçanın oryantasyonun yeniden ayarlanmasına ihtiyaç duyulmayan işlerde kullanıldığı düşünülerek, tutucu motorunun açısal konumunun sabit olduğu ve değişmediği kabul edilecektir. Şekil 4 de görüleceği üzere taban motorunun dönmesi ile x, y ve z ekseni haricinde yeni bir eksen (m) oluşturulmuştur. arctan (1) Burada taban motorunun dönme açısıdır. m x y (2) Burada m robot kolunun en alt noltası yani orijin ile uç nokta arasındaki m ekseni boyunca oluşan mesafedir. Şekil. 2. Bilinmesi Gereken Değerler Şekil. 5. Robot Kolunun mz Düzlemindeki Görüntüsü c z sinγ 3 c m cosγ 4) c (5) βarctan (6) Şekil. 3. Robot Kolunun Harekete Başlamadan Önceki Konumu α arccos (7) Robot kolunun ilk konumu Şekil.3 de gösterilmiştir. Taban elemanının alt merkezi orijin olarak kabul edilirse, aşağıdaki şekillerde de gösterildiği gibi her bir uzvun kartezyen koordinatlardaki konumu kullanılarak her bir motorun dönme açıları bulunur: Şekil. 6. OmuzAçısı, θ θβα (8) Burada θ omuz motorunun dönme açısıdır. Şekil. 4. Robot kolunun üstten görünüşü 2

3 Aşağıdaki tabloda her bir uzvun uzunluğu[3] ve yapılan çalışma için kullanılan değerler gösterilmiştir. Şekil. 7. Dirsek Açısı, φ φ arccos (9) Burada φ dirsek motorunun dönme açısıdır. Bilek motorunun dönme açısını bulmak için, çokgenin iç açı teoremi kullanılır. a c n 2π(1) Burada a c çokgenin iç açıları toplamı, n ise çokgenin kenar sayısını gösterir. Yörüngedeki z t+2 değerleri Yörüngedeki x 1+[25cos(2πt)/1] değerleri Yörüngedeki y 1+[25sin(2πt)/1] değerleri Zaman, t -1 s El açısı, γ 1 Taban yüksekliği, 69 mm Arka kol uzunluğu, 94 mm Ön kol uzunluğu, 18 mm El uzunluğu, 58 mm Tutucu uzunluğu, 3 mm TABLO 1. Robot Kolunun Parametreleri ve Yapılan Çalışmada Kullanılan Değerler Tablolardaki alınan değerler ve yukarıda gösterilmiş olan ters kinematik denklemlerikullanılarakaşağıdaki şekilde de görüleceği üzere her bir motorun dönme açıları teker teker hesaplanmıştır. Aşağıdaki şekilde de görüleceği üzere 5 kenarı olan çokgenin iç açılarından bilek açısı,δ13 numaralı denklemdeki gibi bulunur. Şekil. 9. Motorların Dönme Açılarının Hesaplanması Şekil. 8. BilekAçısı, δ a c 5 2π 3π(11) 3π θ+ φ +δγ (12) B. DC Motor Modelleme ve PID Kontrolü Herbir eklemin açısal konum kontrolü ayrı ayrı servomotorlarla sağlanmıştır. Bunun için önce DC motorun matematiksel modeli elde edilmiş ve PID kontrolcü ile kontrol edilecek şekilde geri beslemeli kontrol modeli Şekil 1 da verildiği gibi oluşturulmuştur. PID kontrolcünün oransal, integral ve türevsel kazanç değerleri optimum olacak şekilde ayarlanmıştır.çalışmada robot kolunun değişen dinamiği ihmal edilmiş, her bir ekleme gelen maksimum atalet kuvvetleri ayrı ayrı hesaplanmış ve dişli kutusu oranları da dikkate alınarak matematiksel modellere ilave edilmiştir. İlgili hesaplamalar Tablo 3 te verilmiştir. δπθφγ(13) 3

4 DC motor sisteminde oluşacak denklemlerden ilki motor torku (T) armatür akımı (i ilişkisidir. Bu parametreler birbirleriyle doğru orantılıdır. Bu ilişki aşağıdaki gibi formülize edilir: TK i(15) Şekil. 1. DC Motorun Konum Kontrolü [4] B1. Bir DC Motorun Modellenmesi Aşağıdaki şekilde dc motorun elektromekanik modeli gösterilmiştir. Armatür döndükçe armatüre bağlı şaftın açısal hızıyla (θ doğru orantılı olarak bir ters emk gerilimi oluşur. Ters emk geriliminin (e) formülü aşağıdaki gibidir: ek θ (16) tork sabiti ile ters emk sabiti eşit olduğu düşünülürek ( ), Newton ve Kirchoff kanunları kullanılarak aşağıdaki denklemler elde edilir: Jθ bθ Ki(17) Şekil. 11. DC Motorun Elektromekanik Modeli Model parametrelerinin tanımları ve değerleri tablodaki gibi verilmiştir. L RiVKθ (18) BuradaV motorun armatürüne uygulanan voltajdır. Elde edilen denklemlerile aşağıdaki şekildeki gibi bir dc motorun matematikmodeli oluşturulur: Atalet momenti(motor) J m =.52 kg.m 2 Sürtünme sabiti b =.1 N.ms Ters emk sabiti K b =.235 Nm/A Tork sabiti K t =.235 Nm/A Endüvi direnci R = 2. ohm Endüvi endüktans L =.23 H TABLO 2. DC Motorların Değerleri [5] Tablo 2 de gösterilen atalet momenti sadece motor rotorunun atalet momentidir. Sistemin dinamik hesabı için ise robot kolunun ilk konumunun ataletini, J l eklenmiştir. Bu ataletlerin her bir motor üzerindeki değerleri ve toplam oluşacak sistem ataletleri (J) 14 numaralı denklem kullanılarak Tablo 3 deki gibi hesaplanmıştır. Motorlardaki redüksiyon oranı Taban motoru üzerindeki Omuz motoru üzerindeki Dirsek motoru üzerindeki El motoru üzerindeki Tutucu motoru üzerindeki n =.16 J J m J l n 2 (14) J taban =.35 kg.m 2 J omuz =.446kg.m 2 J dirsek =.37 kg.m 2 J el =.771kg.m 2 J tutucu =.55kg.m 2 TABLO 3. Her Bir Motor Üzerindeki Toplam Atalet Momenti Şekil. 12. DC Motorun Matematik Modeli [6] B2. DC Motorun PID Denetleyici İle Kontrolü PID kontrol döngüsü yöntemi, yaygın endüstriyel kontrol sistemlerinde kullanılan genel bir kontrol döngüsü geri bildirim mekanizmasıdir. Bir PID denetleyici ölçülü bir süreç içinde değişen ve istenilen ayar noktası ile arasındaki farkı olarak bir hata değerini hesaplar. Kontrolör proses kontrol girişini ayarlayarak hatayı en aza indirerek istenilen ayar değerine ulaşmak için çalışır[7]. PID kontrolcününgenel denklemi ve transfer fonksiyonu sırasıyla aşağıdaki gibidir: 4

5 de( t) u(t) K Pe(t) K I e( t) dt K (19) D dt Buradaut kontrol değişkeni, e(t) toplama noktası, K oransal kazanç, K integral kazancı ve K türevsel kazançtır. t Cs K K s K s(2) Hem sistemin hem de PID kontrolcünün transfer fonksiyonları elde edildikten sonra her bir motorun ayrı ayrı açı kontrolü aşağıdaki grafiklerde de görüleceği üzere elde edilmiştir. Taban motorunun dönme açısı ( ) Tutucu motorunun dönme açısı ( ) Şekil. 17. TutucuMotorunun Açı Kontrolü III. Robot Kolunun Düz Kinematik Denklemleri ve Kartezyen Yörünge Kontolü PID kontrol sonucu elde edilen her bir motorun dönme açıları kullanılarak her bir uzvun kartezyen yörüngedeki koordinatları bilinebilir. Bunun için geometrik yaklaşım ile elde edilecekdüz kinematik denklemler kullanılmıştır Şekil. 13.TabanMotorunun Açı Kontrolü Omuz motorunun dönme açısı ( ) Şekil. 14. OmuzMotorunun Açı Kontrolü Dirsek motorunun dönme açısı ( ) El motorunun dönme açısı ( ) Şekil. 15. DirsekMotorunun Açı Kontrolü Şekil. 16. ElMotorunun Açı Kontrolü Şekil. 18. Uzuvların Kartezyen Koordinatları x 21 y 22 z 23 x 1 24 y 1 25 z 1 26 x 2 cosθ 2 9 cosθ 1 x 1 27 Buradaθ 1 veθ 2 sırasıyla kontol sonucunda oluşan taban ve omuz açılarıdır. y 2 cosθ 2 9 sinθ 1 y 1 28 z 2 sinθ 2 9 z 1 29 x 3 cosθ 2 θ 3 cosθ 1 x 2 3 Burada θ 3 kontol sonucunda oluşan dirsek açılasıdır. y 3 cosθ 2 θ 3 sinθ 1 y

6 z 3 sinθ 2 θ 3 z 2 32 x 4 cosγcosθ 1 x 3 33 y 4 cosγsinθ 1 y 3 34 z 4 sinγ z 3 35 x cosγcosθ 1 x 4 36 y cosγsinθ 1 y 4 37 z sinγ z 4 38 z (mm) Ters kineamtik ve PID kontrol sonucu oluşan her bir motorun açı değerleri ile yukarıda gösterilmiş olan düz kinematik denklemler kullanılarak elde edilen yörünge ile referans yörüngenin grafikleri aşağıdaki gösterilmiştir y (mm) Şekil. 22. ve nin yz Düzlemindeki Grafiği Yörüngedeki hata miktarlarını gösteren grafik de aşağıdaki gösterilmiştir x eksenindeki hata oranı y eksenindeki hata oranı z eksenindeki hata oranı z (mm) y (mm) x (mm) Şekil. 19. ve nin Grafiği 125 Hata yüzdesi (%) Şekil. 23. Yörüngedeki Yüzde Hata Miktarlarını IV. Sonuçlar y (mm) x (mm) Şekil. 2. ve nin Xy Düzlemindeki Grafiği z (mm) x (mm) Şekil. 21. ve nin Xz Düzlemindeki Grafiği Bu çalışmada öncelikle, ticari olarak temin edilebilen beş serbestlik derecesine sahip AL5A robot koluna ait ters ve düz kinematik analizler yapılmıştır. Verilen ve tutucunun izlemesi gereken kartezyen yörünge için gerçeklenmesi gereken eklem yörüngeleri, ters kinematik analizde elde edilen denklemler kullanılarak hesaplanmıştır. Çalışmada, robotun toplam değişen dinamiği ihmal edilerek, motorların sabit atalet momentine sahip yükleri hareket ettirdiği kabul edilmiştir. Fiziksel modeli, matematiksel modeli ve Simulink modeli Şekil 11 ve Şekil 12 de verilen DC servo motorların PID kontrolcülerle kontrol edildiği bir benzetim sistemi tasarlanmıştır. Robotun her bir eklemi, ayrı ayrı geri beslemeli kontrol yöntemi kullanılarak kontrol edilmiş ve ters kinematik analizle hesaplanan eklem yörüngelerinin izlenmesi sağlanmıştır. Burada temel amaç, robotun tutucusu için öngörülen kartezyen yörüngenin izlenme performansının gözlenmesidir. Bunun için motorların gerçeklediği açısal konum değerleri düz kinematik denklemlerde yerine konularak gerçeklenen uç nokta yörüngesi hesaplanmış ve referans değerlerle karşılaştırılmıştır. Yapılan benzetim çalışmaları sonucu elde edilen, referans yörüngenin izlenme başarısı Şekil 19 te ve kartezyen eksenler doğrultusunda oluşan hata değerleri de Şekil 23 te verilmiştir. 6

7 Robotun kartezyen koordinatlarda tanımlı referans yörüngesinin izlenmesinde elde edilen kinematik denklemler başarılı bir şekilde kullanılmış, DC motorlar PID kontrolcü ile hassas bir şekilde kontrol edilmiştir. Benzetim çalışmalarında gözlenen hata oranlarının verilen grafiklerden de görüleceği üzere kabul edilebilir seviyede olduğunu ifade etmek gerekir. Kaynakça [1] Mühürcü A., Durmuş B. Beş eklemli bir robot koluna ait ileri kinematik hesaplama yönteminin YSA ile çözümü. III.Otomasyon Sempozyumu ve Sergisi, Denizli, Kasım 25 [2] Özgören M.K., Robot kolların düz ve ters kinematiği. Elektrik Mühendisliği Dergisi, Cilt 38, Sayı 391, s.11-2, 1993 [3] Pehlivan F., Dinç A.E. Laboratory experiences and 3D measurements with AL5A Robot Arm, Yüksek Lisans Tezi, Politecnico di Milano, Milan, Temmuz 211 [4] Mekatronik ve Bilim, Mekanik Elektronik ve Yazılım, Erişim tarihi: 1 Ocak 215 [5] Ch Rabi Kumar, Dr. K R Sudha, D V Pushpalatha. Modelling and control of 5DOF Robot Arm using Neuro- Fuzzy. International Journal of Engineering Research & Technology (IJERT), Cilt 1, Sayı 7, Eylül 212 [6] Control Tutorials for MATLAB and Simulink (CTMS), orposition&section=simulinkmodeling, Erişim tarihi: 15 Ocak 215 [7] Wikimedia Foundation Inc. Makine teorisi ve dinamiği. Erişim tarihi: 2 Ocak