Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar"

Emine Bagci
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn = (3 5 ) (mod 11).. ( 1)P( 1) ( )P() = 0 b nt s n s lyn bir P() polinomu için P() = 6 ise bu polinomun sbit terimi kçt r? Çözüm: Verilen b nt y = 1 için uygulrsk, P() 3P(1) = 0 elde ederiz. P() = oldu undn, bundn P(1) = 4 ç kr. Verilen b nt y bu kez = 0 de erine uygulyl m: P(1) P(0) = 0 buluruz. P(1) = 4 oldu- undn, sbit terim P(0) = 3. k n pozitif tmsy lr olmk üzere, n 3 n = (k 1) eflitli ini s lyn en küçük k de eri nedir? Çözüm: n (n ) = n 3 n = (k 1) olrk yz ld ndn, n sy s n n bir tm kre olms gerekir. (k 1) tek oldu undn bunu s lyn en küçük n sy s d 7 olur. urdn d k = = (b c)( b c) elde ederiz. emek ki ( b)( b c) = 36 = (b c)( b c). Sdelefltirerek, b = b c, yni b = ( c)/ buluruz. fiimdi, 6 = b c = ( + c) /4 c = ( c) /4 eflitli inden c = 6 yr c, 36 = (b c)( + b + c) = 3( c)( + c)/4 eflitli inden ( c)( + c) = 48 Yukrd bulunn c = 6 ile birlikte + c = 4 6 c negtif olmycklr ndn, c = 6 + c = 4 6. u ikisinden = 3 6, c = 6, b = 6 rd ndn, = 54, y = 4 z = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: Verilen ifdenin kresini ll m, ; yni 1 =. urdn d = 3/ 4. y z yz 4 z 6 denklem sisteminin bütün y 30 gerçel (, y, z) çözümlerini bulunuz. Çözüm: enklemlerden 0, y 0, z 0 olms gerekti i görülüyor. Pozitif, b c için, =, y = b, z = c olsun. O zmn sistem, bc = 4 b c = 6 c b = 30 olrk yz l r. kinci denklemi 1 ile çrp p ilk denkleme eklersek ( b)( b c) = 36 elde ederiz. Üçüncü denklemi 1 ile çrp p ikinciye eklersek, ,,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, dizisinin ilk kç terimini toplrsk 396 elde ederiz? Çözüm: u dizinin ilk terimlerinin toplm, 1 3 n K = n(n 1)(n 1)/6 K biçiminde olckt r. n = 10 için 385 K elde edilir. öylece K = 11 bulunur terim sy s 10(10 1)/ 1 = y 3 = z denklemini s lyn (, y, z) sl sy üçlüleri nelerdir? Çözüm: enklemi çrpnlr n y r rsk, z = 3 y 3 = ( y)( y y ) olml d r. z sl oldu undn y = 1 yni = y 1 olml d r. rd fl k sl sy lr yln zc 3 oldu- u için, = 3, y = burdn d z = 19

2 Mtemtik ünys, 005 Güz 8. ir kitb n syflr n numrlmk için toplm 004 rkm kulln lm flt r. u kitb n syf sy s kçt r? 1,, 3,, 9, 10, 11,, 99, 100, 101,, k 9 tne 90 tne k tne Çözüm: Syf sy lr biçiminde oldu undn, (k 99) = 004 olml d r. urdn d k = den küçük 1080 ile rlr nd sl oln kç pozitif tmsy vrd r? Çözüm: 1080 = , ile bölünen sy lr n kümesini, 3 ile bölünenleri 5 ile bölünenleri ile gösterelim. fiimdi hesplyl m: = = 1080/ 1080/3 1080/5 1080/( 3) 1080/( 5) 1080/(3 5) 1080/( 3 5) = 79. emek ki yn t = 88 dir = 0 polinomunun bir kökü ise 4/ 9 kçt r? Çözüm: = 3 oldu undn 1 = / 3. er iki trf n kresi l nd nd 1 = 4/ 9 1 burdn d 4/ 9 = ! 1 p 13! 13 koflulunu s lyn kç p sl sy s vrd r? Çözüm: p sy s, k 13 sy s için 13! k biçimindedir. k13! olc ndn p sy s her zmn k y bölünür, yni p sl olmz sy s n n pozitif bölenlerinin kç 8 e bölünür fkt 9 bölünmez? Çözüm: = sy s n n bölenleri n 3 k 5 m biçimindedir. 8 e bölünen fkt 9 bölünmeyen bölenler { n 3 k 5 m : 3 n 6, 0 k 1, 0 m 3, n, m, k } kümesi içindedir. u kümenin elemn sy s d 4 4 = 3 dir. 13. bc üç bsmkl sy s n n, b c rkmlr n n 49 7b c = 86 eflitli ini s ld bilindi ine göre, bc sy s kçt r? Çözüm: 49 7b c = 86 özelli inden 86 sy s n n 7 ye bölümünde kln n c oldu u nlfl - l r c = 6 un göre 7 b = 40 eflitli- inden = 5 b = 5 emek ki rnn sy 556 d r. 14. (4, 11) (16, 1) noktlr ndn geçen do runun koordintlr pozitif tmsy lr oln bütün noktlr n bulunuz. Çözüm: (4, 11) (16, 1) noktlr ndn geçen do runun denklemini 5y 3 = 43 olrk u denklemi 5(y 8) 3( 1) = 0 yzl m. urdn k için y = 8 3k = 1 5k olur. k 3 oldu unu gözönüne l rsk. öylece k = 0 için (1, 8), k = 1 için (6, 5) k = için (11, ) pozitif tmsy ikilileri 15. b do l sy lr n n ortk bölenlerinin en büyü ü (, b) = 9 ortk ktlr n n en küçü ü [, b] = 70 oldu un göre, bu iki sy n n toplm - n n olbilecek en küçük de eri nedir? Çözüm: b = (, b)[, b] = 9 70 = eflitli inden birbirine en yk n b bölenleri 9 5 = = 54 olrk emek ki istenen toplm = 99 olckt r tbn n göre yz l fllr (bc) 7 = (cb) 9 eflitli ini s lyn (bc) 7 sy s nedir? Çözüm: Verilen eflitlikten 7 b7 c = c9 b9 ç kr. urdn d b = 8(3 5c) rnn sy 7 tbn n göre oldu undn,, b, c {0, 1,, 3, 4, 5, 6}. O hlde b = 0 3 = 5c olml d r. Sonuç olrk c = 3, = 5 istenilen sy d (503) 7 17., b cbirbirinden frkl gerçel sy lrd r. b = 3c 3 b 3 = 3c 3 oldu un göre, b ckçt r? Çözüm: Verilen eflitlikler, ( c) = c b ( 3 c 3 ) = c 3 b 3 fleklinde yz lbilir. kinci denklemi çrpnlr n y rrk, ( c)( c c ) = (c b)(c bc b ) yz p ilk denklemi kullnd m z d, ( c oldu u 77

3 Mtemtik ünys, 005 Güz için) c c = c bc b buluruz. urdn d b = bc c, yni ( b)( b) = c(b ) b oldu u için b c = (bc) üç bsmkl bir do l sy olmk üzere (bc) = 11( c ) eflitli ini s lyn (bc) sy lr n bulun. Çözüm: b c 0 (mod 11) olml, o hlde y c = b y d c = b 11 olml d r. lk durumd ( c) c = (bc) = 11( c ) eflitli inden c c = 10 ç kr, doly s yl bu durumd çift olml. kinci durumd ise ( c 11) c = (bc) = 11( c ) eflitli inden, c c = ç kr gene çift olur. m çift rkmlr üzerinde de iflti inde 10 sy lr n n kümesi {16, 4}, sy lr n n kümesi {6, 14} olur. unlrdn yln zc 6 rd fl k iki sy n n çrp m oldu undnc c = c(c 1) teriminin lbilece i tek de er 6 d r. Yni tek çözüm, 6 = c(c 1) = c c = eflitli inden c = 3, = 8, b = c 11 = 0 olrk emek ki istenenlere uyn tek sy 803 tür polinomunun kç gerçel kökü vrd r? Çözüm: Polinom, ( 1)( )( 1) fleklinde yz lc ndn 3 gerçel kökü vrd r. 0. ir pozitif n tmsy s için n sy s n n onlr bsm 7 ise birler bsm kçt r? Çözüm: n tmsy s n n son iki bsm b olsun. O hlde, b, c rkmlr olmk üzere 70 c = n = ( b) = 100 0b b olckt r. Onlr bsm ndki 7 sy s tek oldu- u için 0b çift sy s n b sy s n n onlr bsm ndn gelen bir tek sy eklenmelidir. u özelli i s lyn b sy s 4 y d 6 olckt r, böylece her iki durum için de birler bsm c = 6 olur. 1. üçgeninde ç orty, m() = 40, m() = 0. (kz. bir sonrki sütundki flekil.) u rilere göre m() kçt r? Çözüm: nokts fl dki flekildeki gibi seçilsin. üçgeninde ç orty m() = 0 m() = dersek, m() = 0, m() = 0 m() = 40 (0 ) = 0 olur. Sonuç olrk, üçgeninin d flç orty, ise iç ç orty d r. unlr nokts nd kesifltiklerinden, nin d fl ç orty olur. un göre = (180 40)/ = 70. eflkenr üçgen, m() = 90, = = = cm ise dörtgeninin ln kç cm dir? Çözüm: den ye inilen dikme y olsun. m() = 60 oldu undn = / =, = = 6 = 4, = 3 olur. 6 fiimdi, / = / = 6/4 = 3/ orn ndn = 3/ = 3/ 3 = 3 3 ç kr. m yr c h = 3 3. emek ki //. =

4 Mtemtik ünys, 005 Güz 3 olc ndn, () = (6 3)3 3/ = 7 3/ 3. kre,, = 4 cm ise üçgeninin ln kçt r? ON = olck biçimde l nn N noktlr n n geometrik yerinin denklemi nedir? Çözüm: N(u, v) olsun nin koordintlr - n (, y) diyelim. fl dki resimden tkip edin. 4 Yok Çözüm: den ye dik inelim. ikme y- ise üçgeni üçgeni benzerdir. o ly s yl h = ise, h/4 = 4/ olur burdn h = 16 () = 8 cm 4. cos 36 =? Çözüm: Tepe ç s 36 tbn oln bir ikizkenr üçgeni düflünürsek ç orty b nt s ndn 1/ = /( 1) doly s yl 1 = 0 ç - kr. öylece = (1 5)/ cos 36 = ( 1)/ = / = (1 5)/4 5. y = 1 çemberi, merkezden geçen bir do ruyu nokts nd kessin bu do ru üzerinde y 1 O 36 ( + 1)/ N ( + 1)/ Kofluldn doly u y = 1. yr c benzer üçgen iliflkisinden u/ = v/y. emek ki = yu/v = u(1 v)/v. yr c y = 1. u ikisinden u (1 v) /v (1 v) = 1 1/(1 v) = u /v 1 ç kr. Yedek Sorulr 1., b, cpozitif tmsy lr rtn bir geometrik dizi olufltursun. b bir tmkre log 6 log 6 b log 6 c =6 ise b ckçt r? Çözüm: log 6 log 6 b log 6 c = log 6 (bc) = 6 burdn d bc = 6 6 olur. b = c oldu u için, bundn b 3 = bc = 6 6 b = 6 = 36 b sy s n n bir tmkre olms için, sy s 35, 3, 7, 0, 11 sy lr ndn biri olml d r. c = bc/b = 6 6 /6 = 6 4 = oldu undn yukr dki sy lr içerisinden sdece = 7 bulunur c = 48 ç kr. Sonuçt b c = 111 olur.. 7 tne pozitif tmsy böleni oln en küçük pozitif tmsy kçt r? Çözüm: n küçük tmsy y bulmk için, 3, 5, 7, gibi en küçük sllrl oluflturuln m 3 n 5 k 7 l sy lr n incelemeliyiz. 7 = (n 1)(m 1)(k 1)(l 1) koflulu göz önüne l nrk en küçük sy olrk 79

5 Mtemtik ünys, 005 Güz 3. üçgen, [], m() = 30, m() = 15, =. u rilere göre ç s kç derecedir? N ? 15 Çözüm: nokts ndn ye inilen dikmenin y N olsun. (ir sonrki syfdki flekilden izleyin.) N ile birlefltirilerek N eflkenr üçge ni elde edilir (N, üçgeninden doly ). m(n) = 180 m(n) - m(n) = = 45 olc ndn, N doly s yl N ikizkenr üçgen olur. O hlde m() = 180 (60 75 ) = 45 dir. 4. bir tm sy olmk üzere, yr tlr 1, birim, yüzey ln 54 birim kre oln bir dikdörtgenler prizms n n hcmi nedir? Çözüm: Yüzey ln hem ( ) hem de 54 tür. urdn d = 3 oly s yl hcim, = 18 birim küptür. 5. üçgen, =, m() = 100, m(m) = 30, m(m) = 0. u rilere göre kçt r? M 30 0 Çözüm: M nin uznt s üzerinde = olck biçimde l nn nokts için, 60 M m() = m(m) = 10 doly s yl m() = 60 emek ki orty ç kn ikizkenr üçgeni eflkenrd r. urdn ç hesplmlr ile = 0 80

Benzer belgeler

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?

1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir? 1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,