MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "MATRİS İŞLEMLER LEMLERİ"

Transkript

1 MTRİS İŞLEMLER LEMLERİ

2 Temel matris işlemlerinin doğrudan matematik açılımını 2 yapmadan önce, bir eşanlı denklem sisteminin matris işlemleri kullanılarak nasıl daha kolay ve sistematik bir çözüm verdiğini, basit bir piyasa modeliyle görmeye çalışalım. Bu modeli tanımlayalım ve ilk olarak sıradan denklem çözüm yöntemiyle (yerine koyma ya da yok etme yollarından biriyle) sonuca ulaşalım, daha sonra da aynı modeli matris yoluyla çözelim.

3 Tek mallı basit bir piyasa modeli düşünelim. Bu piyasaya ilişkin 3 talep ve arz denklemlerinin şöyle olduğunu varsayalım: Q = a bp a, b> 0 d Q = c+ dp c, d > 0 s Piyasa Dengesi: Q d = Q s

4 Şekil 2.a. İki Ürünlü Piyasa Modeli 4 Q a S Q = a bp d Q = c+ dp s * Q E 0 c cd * P D ab P

5 Şekil 2.b. İki Ürünlü Piyasa Modeli 5 P ab * P E S P P a = b b c = + d Q d d Q s cd D c 0 * Q a Q

6 Buna göre piyasa dengesini sağlayan (yani piyasanın arz ve 6 talep miktarını eşitleyen) denge fiyatı ve denge miktarını basitçe bulabiliriz: Q = Q a bp = c+ dp d s P * a+ c = b + d * * * * * a+ c Qs = Qd = Q = a bp Q = a b b + d Q * = ad b bc + d

7 7 Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım: Q = a bp Q+ bp = a d Q = c+ dp Q dp = c s b Q a = d P c

8 8 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz: Q * bc ad ad bc = = = ( ) b+ d b+ d b = = b+ d d ( ) a b = = bc ad c d

9 9 P * ( ) a+ c a+ c 2 = = = ( ) b+ d b+ d b = = b+ d d ( ) a 2 = 2 = a+ c c ( )

10 0 Buna bir sayısal örnek verelim: Q d = 53 3P Q s = 0 + 6P Bu örneği ilk olarak yok etme yöntemiyle çözelim: Q = Q 53 3P = 0 + 6P d s P = 7, Q = 32 * *

11 Şimdi bu çözümü, matris işlemleriyle yapalım: Q = 53 3P Q+ 3P = 53 d Q = 0 + 6P Q 6P = 0 s 3 Q 53 = 6 P 0

12 2 Cramer yöntemiyle denge fiyatı ve miktarını çözebiliriz: Q * 288 = = = = = [()( 6) (3)()] = = = [(53)( 6) (3)( 0) ] =

13 3 P * 63 2 = = = = = = =

14 Yukarıda incelediğimiz tek ürüne ilişkin piyasa modelini iki ürüne genişletelim ve piyasanın denge fiyatları ve miktarlarını bulalım. Bu çözümlemeyi yerine koyma yöntemiyle ya da matris yöntemiyle yapabiliriz. Bu andan itibaren matrisleri kullanarak çözümlemeyi yapalım. Modelimiz şöyledir: 4 Q = a + a P + a P d Q = b + b P + b P s Q =α +α P +α P d Q =β +β P +β P s piyasa 2. piyasa

15 Her iki piyasada da arz ve talep eşit olduğunda, piyasa dengesi kurulmuş olacaktır. 5 Q = Q a + a P + a P = b + b P + b P d s ( a b ) P ( a b ) P ( b a ) + = Q = Q α +α P +α P =β +β P +β P d2 s ( ) P ( ) P ( ) α β + α β = β α

16 6 ( a b ) P + ( a b ) P = ( b a ) ( α β ) P + ( α β ) P = ( β α ) ( a ) ( ) ( ) b a2 b 2 P b0 a 0 = ( α β ) ( α β ) P ( β α ) Her iki piyasanın denge fiyatını, Cramer yöntemiyle bulabiliriz.

17 7 ( a ) ( ) b a2 b2 ( α β ) ( α β ) 2 2 ( )( ) ( )( ) = = a b α β a b α β ( b ) ( ) 0 a0 a2 b2 ( β α ) ( α β ) ( )( ) ( )( ) = = b a α β a b β α ( a ) ( ) b b0 a0 ( α β ) ( β α ) ( )( ) ( )( ) = = a b β α b a α β

18 8 P = = ( b )( ) ( )( ) 0 a0 α2 β2 a2 b2 β0 α0 ( )( α β ) ( )( α β ) a b a b P 2 2 = = ( a )( ) ( )( ) b β0 α0 b0 a0 α β ( )( α β ) ( )( α β ) a b a b Q = a + a P + a P ve Q = α +α P +α P

19 9 Bu modeli çözerken, öncelikle denge fiyatlarını eşanlı olarak (matris biçimiyle) çözdük, ardından arz-talep miktarlarını belirledik. Modelin tümünü matris biçimde ifade ederek, tüm denge miktar ve fiyatları aynı anda belirleyebiliriz. Bunun için modeli Q ları da içerecek şekilde matris biçiminde yazalım.

20 20 Q = Q = Q ve Q = Q = Q d s d2 s2 2 Q = a + ap+ ap Q+ 0Q ap ap = a Q = b + bp+ bp Q + 0Q bp bp = b Q =α +α P +α P 0Q + Q α P α P =α Q =β +β P +β P 0Q + Q β P β P =β

21 2 0 a a2 Q a0 0 b b Q b 2 2 = 0 0 α α2 P α0 0 β β P β a a a a a a b b2 ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = b b2 + b b2 0 α α2 0 β β2 0 α α2 0 β β2

22 22 ( ) + ( ) ( ) 2+ = b ( ) β2 b2β + aβ2 a 2β ( ) ( bα b α ) + ( ) ( a α a α ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a β +α a α +β + b β +α b β +α

23 0 a a2 Q a0 0 b b Q b 2 2 = 0 0 α α2 P α0 0 β β P β a 0 a a b0 0 b b2 ( ) 3+ 2 = = 0 2 α0 α α2 β0 β β2 β0 β β2 ( ) 4+ 2 a a a b b b a a a b b b 0 2 α α α 0 2

24 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = a bβ bβ + b aβ a β +β a b a b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + a bα b α + b a α a α +α a b a b ( ) ( ) ( ) ( ) = a 0 b α2 β2 b2 α β + b 0 a2 α 2 +β2 a α +β ( ab ab) ( ab ab) +α +β

25 25 Q = = a ( ) ( ) ( ) ( ) 0 b α2 β2 b2 α β + b 0 a2 α 2 +β2 a α +β ( ) ( ) 0 ab 2 ab 2 0 ab 2 ab 2 ( β +α ) ( α +β ) + ( β +α ) ( β +α ) +α +β a a b b Q =, P =, P =

26 26 Örnek : Q = 0 2P + P Q d 2 = 2+ 3P s. piyasa Q = 5 + P P Q d 2 2 = + 2P s piyasa

27 27 Q = Q = Q ve Q = Q = Q d s d2 s2 2 Q + 0Q + 2P P = Q + 0Q 3P + 0P = Q + Q P + P = Q + Q + 0P 2P = 2 2

28 0 2 Q Q 2 2 = 0 P P ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = ( ) ( )( ) ( ) ( 3) ( ) ( ) = = 4

29 ( ) 3+ 2 ( ) 4+ 2 = = = + ( ) ( 2)( 4) ( ) ( 3)( 2) ( ) 2+ 2 ( )( ) ( ) ( 3)( 25) = 28

30 30 Q 28 = = = Q2 = =, P = =, P2 = = 7 7 7

31 Yukarıda incelediğimiz piyasa modeline benzer şekilde, Keynesyen bir basit makro model dikkate alalım ve bu modeli her iki yöntemle de çözelim. 3 Y = C + I + G 0 0 C = C + cy 0 İlk olarak yerine koyma yöntemini kullanarak denge ulusal gelir ve denge tüketim düzeylerini belirleyelim.

32 32 Y = C + I + G C = C + cy ( ) C = C + c C + I + G C = C + c I + G c ( ) Y = C+ I0 + G0 Y = C + c( I + G ) + I + G c Y = C + I + G c ( ) 0 0 0

33 Şimdi bu modeli matris işlemlerini kullanarak çözelim. 33 Y = C + I + G 0 0 Y C = I + G 0 0 C = C + cy 0 cy + C = C 0 Y I + G 0 0 = c C C 0

34 Cramer yöntemiyle ulusal gelir ve tüketim denge değerlerini belirleyelim. I0 + G0 = = c = = C + I + G c C I0 + G0 = = C + c I + G c C ( ) Y = = = = ( ) C + I + G C + c I + G C c c 0 0 0

35 35 Matrisler ve Vektörler: Genel olarak n değişkenli, m sayıda denklemli bir doğrusal denklem sistemini şöyle yazabiliriz: a x + a x a x = d 2 2 n n a x + a x a x = d n n 2... a x + a x a x = d m m2 2 mn n m

36 36 Yukarıdaki genel doğrusal denklem sisteminin üç temel öğesi vardır: a ij katsayıları kümesi x j değişkenler kümesi d i sabit terimler kümesi Bu öğeleri matris biçimde şöyle ifade edebiliriz: a a2... an x d a2 a22... a 2n x 2 d 2 = x = d = a a... a x d n n2 nn n m

37 37 Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini, matris biçimde ifade edelim. 6x + 3x + x = x + 4x 2x = x x + 5x = x x 2 = 2 ya da x = d 4 5 x 3 0 x d

38 Bir matriste bulunan sütun ve sıra sayısı, matrisin boyutunu 38 belirler. Yukarıda genel olarak yazdığımız doğrusal denklem sistemi m tane sıraya, n tane de sütuna sahiptir. Dolayısıyla bu denklem sisteminden oluşan katsayılar matrisi (), mxn boyutundadır. Katsayılar matrisinde yer alan her bir elemanı, a ij ile gösteriyoruz. i satır sayısını, j sütun sayısını ifade etmektedir. Satır ve sütun sayısının eşit olduğu matrise, kare matris diyoruz.

39 39 Yalnızca bir sütuna sahip matrise, vektör diyoruz. Örneğin x ve d, birer vektördür. x in boyutu nx, d nin boyutu mx dir. x x 2 x = x = x x2... xn x n

40 Matrislerde EşitlikE 40 İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse ve karşılıklı elemanları özdeş ise eşittirler =

41 Matrislerde Toplama ve Çıkarma 4 İki matris ancak ve ancak aynı boyuta sahiplerse toplanabilirler. Çıkarma işlemi de aynı özelliklere sahiptir. a a2 a3 b b2 b3 a + b a2 + b2 a3 + b3 + = a a a b b b a + b a + b a + b a ij b ij cij

42 Örnek 2: = Örnek 3: =

43 Matrislerde Skaler Çarpımı 43 Bir matrisi bir sayı (skaler) ile çarpma işlemi, bu matrisin her bir elemanı bu skaler ile çarpılarak yapılır. a a ka ka k = a a ka ka =

44 Matrislerde Çarpma 44 İki matrisin çarpımın yapılabilmesi için, ilk yazılan matrisin sütun sayısının ikinci matrisin satır sayısına eşit olması gerekir. b b2 a a2 a3 ab + a2b2 + a3b3 ab2 + a2b22 + a3b32 b b = 2 22 a2 a22 a 23 a2b + a22b2 + a23b3 a2b2 + a22b22 + a23b 32 c b b 3 32 B C n i =,2,..., m = a b j =, 2,..., n ij ik kj k=

45 Örnek 4: = = Örnek 5: 6 3 x 6x + 3x + x x2 = x+ 4x2 2x3 4 5 x 4x x + 5x 3 2 3

46 Vektörlerde Çarpma 46 mx boyutlu u sütun vektörü ile xn boyutlu v satır vektörünün çarpımı, mxn boyutlu bir matris verir. a a = =... a m 2 u, v b b2... b n a ab aa2... ab n a a b a b... a b uv = b b... b = n 2... n a m amb amb2... ambn 3 u=, v = [ 4 5 ] uv = 2 3() 3(4) 3(5) 2() 2(4) 2(5) uv = 2 8 0

47 Birim Matris 47 na köşegen elemanlarının, diğer elemanlarının da 0 olduğu kare matrise, birim matris diyoruz. I 0 = I =

48 I = I = = I = = = I = 0 0= =

49 Boş Matris 49 Tüm elemanlarının sıfır olduğu matrise, boş matris diyoruz = 0= = 0+ = 0= 0 ve 0= 0

50 Devrik (Transpose( Transpose) ) Matris 50 Bir matrisin satırlarının sütunlara ve sütunlarının da satırlara dönüştüğü matrise, devrik matris diyoruz. a a a a a a a a a = = 2 22 a2 a22 a

51 Devrik Matrislerin Özellikleri 5 ( ) = + B = + B ( ) ( B) = B

52 52 Ters Matris Bir matris kare matris ise tersi alınabilir. Bir matrisinin tersini - biçiminde gösteririz. Bir kare matrisinin, tersiyle çarpımı birim matrise eşittir. = = I

53 53 Ters Matrislerin Özellikleri ( ) = ( ) B = B ( ) ( = )

54 54 Ters Matris ve Doğrusal Denklem Sisteminin Çözümü x = d x= d Ix = d x = d

55 55 Bir Matrisin Tekil Olmama Koşullar ulları Bir matrisin tersinin alınabilmesi için, kare matris olmasının yanında tekil olmama koşulunu da sağlaması gerekir. Bir kare matrisin satırları ya da sütunları arasında bir doğrusal bağımlılık yoksa, buna tekil olmayan kare matris diyoruz. Bu tür bir matrisin tersi alınabilir. şağıdaki gibi bir kare matrisini dikkate alarak, tekil olmama koşuluna bakalım.

56 56 a a2... an v a2 a22... a 2n v 2 = = a a... a v n n2 nn n n i = kv = i i 0 (x n)

57 Örnek 6: v v = = v 3 n i = kv = i i 0 (x n) 2v + 0v v = [ ] [ ] [ ] = [ 0 0 0]

58 58 Determinant Yoluyla Tekil Olmamanın n SınanmasS nanması Bir kare matrisinin determinantı sıfıra eşitse, o matris tekildir. Bu durumda matrisinin tersi belirlenemez. Bir matrisinin determinantının nasıl bulunacağını, basit bir 2x2 matristen başlayarak görelim.

59 59 a a2 = a 2 a 22 a a2 ( ) + ( ) + 2 = = a a + a a = a a a a a a = = 0( 5) 4( 8) =

60 a a a a a a 2 3 = a a a a a2 a3 a a a a = a2 a22 a ( ) 23 = a a a + ( ) a2 a a a a a ( ) a a 2 22 a3 a 3 a 32 ( ) ( ) ( ) = a a a a a a a a a a + a a a a a

61 6 2 3 = ( ) + ( ) + 2 ( ) + 3 = = ( ) ( ) ( 5) = = 9

62 n x n matrisine genelleştirme: 62 a a... a a a... a a a... a a a... a = = a a... a a a... a 2 n 2 n n n n n2 nn n n2 nn n ( ) ( )... ( ) = a M + a M + + a M 2 2 n n n ( ) + j = a M, = a C j j j j j= j= n

63 63 a a... a a a... a a a... a a a... a = = a a... a a a... a 2 n 2 n n n n n2 nn n n2 nn n+ 2 ( ) ( )... ( ) = a M + a M + + a M n2 n2 n ( ) i + 2 = a M, = a C i2 i2 i2 i2 i= i= n

64 64 Örnek 8: = =

65 ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

66 ( ) ( ) 3+ ( ) ( ) 3+ 2 ( ) ( ) 3+ 3 = ( 5) ( ) + 3 ( ) ( ) 2+ 3 ( ) ( ) ( 5) ( ) + 3 ( ) ( ) 2+ 3 ( ) ( ) ( 4)

67 67 = ( 3) ( 8)( 4) ( 3)( ) + ( 5)( ) ( 4)( 9) + ( 5)( 8) ( ) ( )( ) = 382

68 Örnek 9: 68 7x 3x 3x = x + 4x + x = x 3x = denklem sisteminin çözümü tek midir? Bu soruya yanıt verebilmek için, bu sistemin katsayılar matrisinin determinantının sıfırdan farklı olup olmadığına bakarız.

69 69 = ( ) ( ) ( ) ( ) = (7) (2) 9 6 = 76 0 matrisinin determinantı sıfırdan farklı olduğundan, denklem sistemindeki tüm içsel değişkenlerin tek çözümü vardır.

70 Ters Matrisin Bulunması 70 Bir matrisin tersi bulunurken, şu işlemler yapılır.. Tersi bulunacak matris bir kare matris olmalıdır. 2. Kare matris tekil olmamalıdır. Yani determinantı sıfırdan farklı olmalıdır. 3. Matrisin kofaktör matrisi bulunarak, devriği determinantına oranlanır. Yukarıdaki aşamaları, bir örnek matrisle görelim. Bunun için öncelikle kofaktör kavramını inceleyelim.

71 Kofaktör 7 a a2... an a2 a22... a 2n, ( ) i+ j = Cij = M an an2... a nn ij a a... a n C + + ( ) M ( ) = = a a... a n a a... a n2 n3 nn

72 72 a a... a n C ( ) M ( ) = = 2 2 a a... a n a a... a n n3 nn a a... a 2 3 n C ( ) M ( ) = = 2 2 a a... a n a a... a n2 n3 nn

73 73 C C C2... C n C2 C22... C 2n = Cn Cn... C nn

74 Örnek 0: 74 şağıdaki matrisinin, kofaktör matrisini bulalım. 4 3 = C = ( ) M = =, C2 = ( ) M2 = = C3 = ( ) M3 = = 2, C33 = ( ) M33 = =

75 C =

76 C = ve = C =

77 7 4 = C = =

78 Cramer Kuralı 78 x = d x = d x = C d x C C2... C n d x 2 C2 C22... C n2 d 2 = x C C... C d n n n 2n nn

79 x d C + d C d C x... 2 d C + d C + + d C = x d C + d C d C 2 2 n n n n2 n n 2 2n n nn 79 x x 2 =... x n n n di C x = d i 2 i C i = i = n n d C x = d C i = i = n n di C x i = di C i i = i = 2 i2 i in n i in

80 80 n n n d C =, d C =,..., d C = i i i i2 2 i in n i= i= i= x = x 2 j x 2 2 x2 = x j = = j =,2,..., n x n n n xn =

81 8 j x j = = a a... d... a 2 n a a... d... a n a a... d... a n n2 n nn j. sütunun yerine d vektörü geldi.

82 Örnek : 82 7x x x = x 2x + x = x + 3x 2x = denklem sisteminin çözümünü yapalım.

83 83 x = d 7 x x 2 = x 3 7 x d

84 = 0 2 = 6 = 8 2 = = 0 8 = 83 = =

85 85 x 6 = = = 6 x = = = 6 3 x = = = 6 4

86 IS-LM Modeli 86 Matris işlemlerinin ekonomi uygulamasında IS-LM modelini inceleyelim. Bu model mal piyasaları (reel kesim) ve para piyasasından (parasal kesim) oluşmaktadır. Reel kesimde ulusal gelir tüketim, yatırım ve kamu harcamaları tarafından belirlenmekte; parasal kesimde para arz ve talep dengesi, bir yandan para arzı merkez bankası tarafından dışsal olarak, diğer yandan para talebi de işlem amaçlı ve spekülatif amaçlı olarak içsel biçimde belirlenmektedir. macımız, her iki kesimi de dengede tutacak olan ulusal gelir, tüketim, yatırım düzeylerinin ve faiz oranının belirlenmesidir.

87 Modelin denklemleri ve kısıtlamaları şöyledir: 87 Reel Kesim Parasal Kesim Y = C + I + G M = L C = C + c( t) Y M = M I = I er L= fy gr G = G f, g > 0 0 0< c <, 0< t < e > 0

88 Bu modelin içsel değişkenleri Y, C, I ve r ; dışsal değişkenleri C 0, 88 I 0, G 0 ve M 0 dır. Modeli bir bütün olarak oluşturduktan sonra, matris biçime dönüştürebilmek için içsel değişkenleri eşitliğin sol yanına, dışsal değişkenleri de sağ yanına toparlarız. Y = C + I + G Y C I + 0r = G 0 0 C = C + c( t) Y c( t) Y + C + 0I + 0r = C 0 0 I = I er 0Y + 0C + I + er = I 0 0 fy gr = M fy + 0C + 0I gr = M 0 0

89 89 0 Y G0 c( t) 0 0 C C 0 = 0 0 e I I0 f 0 0 g r M 0 x d Y =, C =, I =, r = 2 3 4

90 90 G 0 0 Y = = C I 0 e M g 0 G 0 0 c( t) 0 0 =, = 0 0 e C I e f 0 0 g M g

91 9 = 0 c( t) e f 0 0 g c( t) 0 0 ( )( ) ( )( ) = 0 0 e + c( t) 0 f 0 g f 0 g

92 92 0 e ( )( ) + 2 ( )( ) 3+ 3 = + g f g c( t) ( [ ( )]) = ef + g c t

93 93 G 0 0 = C I e M g 0 G ( )( ) ( )( ) = C 0 e + I e g M 0 g 0 0

94 94 0 ( C )( )( ) = + 0 e g e ( M )( ) ( g)( ) G I 0 0 = gc em g I + G = em + g C + I + G ( ) ( )

95 95 Y = = ( ) em + g C + I + G ef + g c t ( [ ( )]) Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G ef + g c t

96 Şekil 2.2. IS-LM Modeli 96 r LM * r E 0 Y * IS Y

97 Dışsal değişkenlerde meydana gelebilecek değişmelerin, denge 97 gelir düzeyi (Y*), tüketim düzeyi (C*), yatırım düzeyi (I*) ve faiz oranı (r*) üzerindeki etkilerini, karşılaştırmalı durağanlık analiziyle görebiliriz. Örneğin para arzını artıran bir para politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakalım. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge değerinin, para arzı değişkenine (M 0 ) göre türevini alırız.

98 98 Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G ef + g c t Y e = > M ef + g c t 0 ( + ) [ ( )] ( + ) ( + ) ( + ) 0

99 Şekil 2.3. IS-LM Modelinde Para Politikası 99 r LM 0 LM * r 0 * r E 0 E IS * Y 0 * Y Y

100 00 Ya da vergi oranını azaltan bir maliye politikasının, ulusal gelir denge düzeyini nasıl etkileyebileceğine bakabiliriz. Bunun için, matris işlemleriyle çözümünü yaptığımız ulusal gelir denge değerinin, ortalama gelir vergisi oranına (t ) göre türevini alırız.

101 0 Y = ( ) [ ( )] em + g C + I + G ef + g c t ( em g ( C I G ))( gc) Y = < 2 t ef + g c t ( [ ( )]) 0

102 Şekil 2.4. IS-LM Modelinde Maliye Politikası 02 (Vergi Oranındaki ndaki zalış ış) r IS 0 IS LM * r E * r 0 E 0 * Y 0 * Y Y

103 IS-LM Modeli İçin Sayısal Örnek: 03 Bir ekonomi için şu bilgilere sahip olduğumuzu düşünelim: Marjinal tüketim eğilimi, 0.75; ortalama gelir vergisi oranı, 0.30; yatırımların faize olan duyarlılık katsayısı, 60.0; işlem amaçlı para talebi katsayısı, 0.20; spekülatif amaçlı para talebi katsayısı, 50; kamu harcamaları, 000; otonom tüketim harcamaları, 600; otonom yatırım harcamaları, 200; para arzı, 700. Bu ekonomini denge ulusal gelir düzeyi, tüketim düzeyi, yatırım düzeyi ve faiz oranını belirleyelim.

104 Modeli, yukarıdaki verileri dikkate alarak yeniden yazalım. 04 c = 0.75, t = 0.30, e = 60, f = 0.20, g = 50 G = 000, C = 600, I = 200, M = = + + = + + Y C I G0 Y C I ( ) C = C + c t Y C = ( 0.3) Y I = I er 0 fy gr = M 0 I = r 0.2Y 50r = 700

105 Y C I 0r = Y + C + 0I + 0r = 600 0Y + 0C + I + 60r = Y + 0C + 0I 50r = Y C 600 = I r 700

106 = 0 0 = = =

107 07 Y * = = = * * * C = , I = 88.2, r = 6.36 Bu denge ulusal gelir düzeyinde yatırım-faiz esnekliği nedir? * Ir 6.36 ε ( 60) Ir = = ε 0.47 * Ir = r I 88.2

108 Basit Bir Duopol Modeli 08 Bu uygulamada, iki firmanın yer aldığı ve homojen bir ürünün üretildiği bir oligopol piyasa dikkate alalım. macımız, eşanlı olarak her iki firmanın da kârını maksimize eden firma üretim düzeylerinin ve dolayısıyla piyasa fiyatının belirlenmesidir. Öncelikle her iki firma için kâr fonksiyonlarını kuralım, ikinci aşamada kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşulları elde edelim ve denge üretim miktarları için çözelim.

109 09 ( ) P = a bq = a b q + q, Q = q + q, a, b> TC = cq, i =,2 i π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq

110 0 Bu aşamada şöyle bir varsayım yapalım: Firmalar, rakibinin üretim davranışını dikkate almadan kendi kârını maksimize eden üretim düzeyini belirlemektedir. Bu varsayıma, COURNOT varsayımı diyoruz. Bu varsayıma dayalı duopol modeli, COURNOT DUOPOL MODELİ olarak adlandırıl-maktadır. Bu varsayımın matematik olarak anlamı şudur: Bir firma üretim düzeyini değiştirirken, rakibinin üretim düzeyi kendisi için dışsaldır (sabittir).

111 π = a bq bq c = q π 2 = a bq bq c = q 2 2 ( ) P = a b q + q 2 2 0

112 2 0P + 2bq + bq = a c 2 0P + bq + 2bq = a c 2 P+ bq + bq = a 2 0 2b b P a c 0 b 2b q = a c b b q 2 a

113 3 P = 0 2b b a c 2b b = 0 b 2 b, = a c b 2b b b a b b

114 2b b = ( )( ) = 3b b 2b b 2b 2b b + 2+ = ( a c)( ) + ( a c)( ) b b b b ( a)( ) b b b 2b ( )( 2 2) ( )( 2 2) ( )( ) = a c b b + a c b b + a b b ( )( ) ( )( ) ( ) = 2 a c b + a 3b = a+ 2c b 2 2 2

115 5 P ( + 2 ) a c b 2 = = = 2 3b ( 2 ) a+ c a c P =, q = q2 = 3 3b Q = q + q = D 2 2 ( a c) 3b

116 Tam rekabet piyasası durumunda P fiyatı içsel değil, dışsal 6 (veri) olacaktır. Tam rekabetteki bir firmanın denge üretim düzeyinde P=MC olacağını dikkate alalım ve tam rekabetçi piyasanın toplam üreteceği miktarı belirleyelim. P = MC a bq = c Q = C C a b c

117 7 Piyasa tekel olsaydı: MR = MC a 2bQ = c Q = M M a c 2b Şimdi her üç piyasanın toplam üretim miktarlarını bir arada yazalım: 2( a c) a c a c QM =, QD =, QC = 2b 3b b

118 Genel olarak, Cournot varsayımı altında piyasadaki firma sayısıyla (n) toplam üretim miktarı (Q) arasındaki şu ilişkiyi yazabiliriz: 8 Q n a c = ( n+ ) b Firma sayısı sonsuza giderse, toplam piyasa üretimi tam rekabetçi piyasa üretimine yaklaşır: n a c a c lim Q = lim n n ( n ) = b + b L Hospital kuralını uygulayarak

119 Şekil 2.5. Cournot Duopol Modelinde Denge 9 P P M P D B PC = c E M E C MC ( ) P = a b q + q 2 QM QD QC MR = a 2bq Q

120 20 Cournot varsayımı altında duopoldeki firmaların eşanlı dengesini bir de tepki fonksiyonları adını verdiğmiz bir araçla ve geometrik olarak görelim. Tepki fonksiyonlarını, kâr maksimizasyonu birinci sıra koşulundan elde ediyoruz. π q a c = a 2bq bq c = 0 q = q 2b π q 2 2 a c = a bq 2bq c = 0 q = q 2b 2 2 2

121 Şekil 2.6. Duopolde Cournot-Nash Dengesi 2 q 2. Firmanın tepki fonksiyonu: q a c = q 2b 2 2 Cournot-Nash Dengesi q 2 E 2. Firmanın tepki fonksiyonu: q a c = q 2b 2 2 q q

122 Cournot Duopol Modeli İçin Bir Sayısal Örnek: 22 Şimdi yukarıdaki Cournot varsayımına dayalı duopol modeline sayısal bir örnek yapalım. Piyasaya ve firmalara ilişkin talep ve toplam maliyet fonksiyonları aşağıda verilmiştir. Bu fonksiyonlardan yararlanarak, ilk olarak kâr fonksiyonlarını oluşturalım ve birinci sıra koşulları elde edelim. P = 00 2 Q, Q = q + q, a, b> 0 TC = 5 q, i =,2 i 2

123 23 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = 00 2( q + q ) q 5q 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq π = 00 2( q + q ) q 5q

124 24 π = q q2 = q π 2 = q q2 = q P+ 4q + 2q = P+ 2q + 4q = 95 2 P+ 2q + 2q = 00 2

125 0 4 2 P q = q = = = 36.7, = = P q q = = 2, = =

126 Yukarıda incelediğimiz duopol modeli Cournot varsayımına dayanmaktaydı. Yani firmalar, rakiplerinin üretim miktarını veri (dışsal) alarak kendi kârlarını maksimize etmeye çalışıyorlardı. Şimdi bu varsayımı kaldıralım, yerine her bir firmanın rakibinin üretim davranışını izlediğini ve buna tepki vererek kendi kârını maksimize etmeye çalıştığı varsayımını getirelim. 26 Bu varsayım matematik olarak, kâr fonksiyonlarında kısmi türevler alınırken, rakip firma üretim miktarını bir değişken gibi dikkate almamızı gerektirir.

127 Yukarıdaki varsayım değişikliği dışında, modelimizin yapısı önceki incelememizle aynıdır. 27 ( ) P = a bq = a b q + q, Q = q + q, a, b> TC = cq, i =,2 i π = Pq cq = a b( q + q ) q cq 2 π = Pq cq = a b( q + q ) q cq

128 Kâr maksimizasyonu için gereken birinci sıra koşulları oluşturalım: 28 π q ( ) q 2 = a b q + q 2 b + q c = q q q 0 π 2 q ( ) q 2 = a b q + q 2 b + q2 c = q 2 q2 q2 0

129 macımız, kârı maksimize eden üretim miktarları ve fiyatı aynı anda belirlemektir. Bunu elde edebilmek için, üç bilinmeyen (q, q 2, P) yanında üç denklem gereklidir. Denklemlerden ikisi birinci sıra koşullardan, üçüncüsü de piyasa talep denkleminden gelmektedir. q ( ) 2 a b q + q 2 b + q c = 0 q q ( ) a b q + q 2 b + q2 c = 0 q2 P = a bq bq 2 29

130 30 q 2 a c 0P+ 2+ q + q2 = q b q a c 0P+ q + 2+ q2 = q2 b P+ q + q = 2 a b

131 3 q a c q P b q a c 0 2+ q = q 2 b q2 a b

132 32 q q q =, = q q 2

133 33 a c 0 b 2 a c = 0 2+ b q q 2 a b

134 34 q 2 q q a c = 2+ 2+, 2 = + q q2 q 2 b q q a c + q b 2 2 = = q2 q q q 2

135 Şimdi üç firmalı (triopol) bir sayısal örneği yapalım. Firmaların maliyetlerinin farklı olduğu varsayımını da ekleyelim. Piyasa talep fonksiyonu, firmaların maliyet fonksiyonları ve varsayımsal değişimler aşağıda verilmiştir. 35 P = 00 2Q TC = 2 q, TC = 5 q, TC = 0q q q q q q q = = = = = = q q q q q q , 0.5, 0.8, 0.5,,

136 Kâr fonksiyonları: 36 ( ) π = 00 2 q + q + q q 2q 2 3 ( ) π = 00 2 q + q + q q 5q ( ) π = 00 2 q + q + q q 0q

137 37 Kâr maksimizasyonu için birinci sıra koşullar: π q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q q 2 = 0 q q q q π 2 q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q q2 5 = 0 q 2 q2 q2 q2 π 3 q ( ) q2 q 3 = 00 2 q + q2 + q q3 0 = 0 q 3 q3 q3 q3

138 38 Varsayımsal değişim değerlerini ilgili yerlere yazalım: ( ) ( ) 00 2 q + q2 + q q 2 = ( q ) ( ) + q2 + q q2 5= 0 ( ) ( ) 00 2 q + q2 + q q3 0 = 0

139 Talep denklemini de dikkate alarak, yukarıdaki denklemleri düzenleyelim: 39 0P+ 7.6q + 2q + 2q = P+ 2q + 8.4q + 2q = P+ 2q + 2q + 6q = P + 2q + 2q + 2q =

140 40 Yukarıdaki denklemleri matris biçimde tanımlayalım: P q 95 = q q 00 3

141 = = = =

142 42 q = = = q 2 3 = = 8.47, q2 = = 6.94 P = = 49.4

143 Leontief Girdi-Çıkt ktı Modeli 43 Wassily W. Leontief tarafından ortaya konulan girdi-çıktı modeli, nihai talebin karşılanabilmesi için bir ekonomide yer alan n tane sektörün her birinin ne kadar üretim yapması gerektiğine yanıt vermektedir. sektörlerin bazıları, kendi aralarında girdi alış-verişi yaparlar. Örneğin tekstil sektörü mobilya, otomobil sektörleri gibi çok sayıda endüstriye girdi sağlar. şağıda matris işlemlerini kullanarak bu modeli anlatacağız. Öncelikle varsayımlarımızı belirleyelim ve bazı kavramları tanıyalım.

144 44 Varsayımlar: Her bir sektör yalnızca bir türdeş mal üretmektedir. Her bir sektörün çıktısını elde edebilmek için, girdiler sabit bir oranda kullanılmaktadır. Her bir sektör ölçeğe göre sabit getiriyle çalışmaktadır.

145 Girdi Katsayılar ları Matrisi: 45 Girdi katsayıları matrisi, belirli bir ürünün bir liralık üretimi için, diğer sektörlerden ne kadar girdi alması gerektiğini tanımlar. a ij, j. maldan bir birim üretmek için gerekeli olan i. girdi miktarını göstermektedir. Girdi-çıktı matrisinin her sütunu, belirli bir sektörün bir birim üretim için ne kadar girdilere gereksinimi olduğunu gösterir. Örneğin a 23, üçüncü sektörün bir birim üretim yapabilmek için ikinci sektörden ne kadar girdi alacağını gösterir. Kapalı model durumunda sütun toplamı e eşittir.

146 46 GİRDİ ÇIKTI [ I II III... N ] I II III... N a a a... a a a a... a a a a... a a a a... a 2 3 n n n n n2 n3 nn

147 Bir sektör, girdi-çıktı sektörleri dışındaki bir sektörün çıktısına 47 da (örneğin işgücüne) gereksinim duyuyorsa, girdi-çıktı modeli açık k modele dönüşmüş olacaktır. Bu durumda ilgili sektörün bir birimlik üretim için gereksindiği girdileri gösteren sütun toplamı den küçük olur. n i = a <, j =,2,..., n ij

148 Şimdi her bir için toplam arz ve toplam talebi eşitleyerek 48 yazalım. çık sektörün talebini de ( d i ) dikkate alalım. x = a x + a x + a x a x + d n n x = a x + a x + a x a x + d n n 2... x = a x + a x + a x a x + d n n n2 2 n3 3 nn n n

149 macımız, her bir sektörün girdi gereksinimini tam olarak karşılanması için sektörlerin denge üretim düzeylerini belirlemektir. Yani x, x 2,,x n için eşanlı çözüm yapacağız. Bunun için, yukarıdaki denklemleri matris biçimine uygun olarak düzenleyelim ve daha sonra ters matris yoluyla çözelim. x a x a x a x... a x = d n n 49 x a x a x a x... a x = d n n 2... x a x a x a x... a x = d n n n2 2 n3 3 nn n n

150 50 ( ) a x a x a x... a x = d n n ( ) a x + a x a x... a x = d n n 2... ( ) a x a x a x... + a x = d n n2 2 n3 3 nn n n

151 5 ( a ) a2... a n x d a ( ) 2 a22... a2n x2 d2 = a ( ) n an2... ann xn dn

152 a a2... an x d a2 a22... a2n x2 d2 = an an2... a nn xn dn I x d ( I ) x = d

153 53 ( ) = ( ) ( ) = ( ) I x d I I x I d I ( ) ( ) Ix = I d x = I d

154 Leontief girdi-çıktı modeline sayısal bir örnek verelim ve 54 çözümü ters matris yoluyla yapalım. Ekonominin girdi-çıktı matrisi ve nihai talep şöyledir: a a2 a = a2 a22 a23 = a3 a32 a d = 0, d = 5, d = 6 2

155 55 I II III =

156 ( ) x = I d = ( I ) = ( I )

157 Şimdi (I-) matrisinin tersini bulalım. 57 ( ) I = C ( I ) ( I ) = =

158 58 C = C = ( ) + ( ) + C = M C = = ( ) 2+ 3 ( ) 2+ 3 C23 = M23 C = =

159 59 I = C = ( ) ( I ) = ( I )

160 ( ) x = I d 60 x x2 = x x x 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = ( )( ) ( )( ) ( )( ) = = 20.68

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13

İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT

.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT SAKARYA ÜNİVERSİTESİ İŞLETME FAKÜLTESİ İŞLETME BÖLÜMÜ.:: BÖLÜM I ::. MATRİS ve DETERMİNANT Halil İbrahim CEBECİ BÖLÜM I 1. Matris Cebirine Giriş MATRİS VE DETERMİNANT Sayıların, değişkenlerin veya parametrelerin

Detaylı

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını

İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan. seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını OPTİMİZASYON İktisat bilimi açısından optimizasyon, amacımıza en uygun olan seçeneğin belirlenmesidir. Örneğin bir firmanın kârını maksimize edecek olan üretim miktarının belirlenmesi; bir bireyin toplam

Detaylı

İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi

İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi N. K. Ekinci Ekim 2015 İktisadi Analiz Ders Notu: Doğrusal Üretim Modelleri ve Sraffa Sistemi 1. Tek Sektörlü Ekonomide Gelir Dağılımı Tek mal (buğday) üreten bir ekonomi ele alalım. 1 birim buğday üretimi

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

MATEMATiKSEL iktisat

MATEMATiKSEL iktisat DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV

KARŞILAŞTIRMALI DURAĞANLIK VE TÜREV KARŞILA ILAŞTIRMALI DURAĞANLIK ANLIK VE TÜREV Karşılaştırmalı durağanlık, dışsal değişkenlerin ya da parametrelerin farklı değerler alması durumunda oluşabilecek farklı denge değerlerini karşılaştırılarak

Detaylı

OLİGOPOL PİYASALAR: OYUN TEORİK YAKLAŞIM MATEMATİKSEL İKTİSAT DERSİ ÖĞRETİM YILI GÜZ DÖNEMİ

OLİGOPOL PİYASALAR: OYUN TEORİK YAKLAŞIM MATEMATİKSEL İKTİSAT DERSİ ÖĞRETİM YILI GÜZ DÖNEMİ OLİGOPOL PİYASALAR: OYUN TEORİK YAKLAŞIM MATEMATİKSEL İKTİSAT DERSİ 2010-2011 ÖĞRETİM YILI GÜZ DÖNEMİ İÇERİK Oligopol Piyasasının Tanımı ve Çeşitleri Saf Oligopol Piyasası Rekabet Çözümü Cournot Çözümü

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA

BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA BİRDEN ÇOK DEĞİŞ ĞİŞKEN DURUMUNDA OPTİMİZASYON Şekil.1 i dikkate alalım. Maksimum nokta olan A ve minimum nokta olan B de z=f(x) fonksiyonunun bir durgunluk değeri vardır. Bir başka ifadeyle, z nin bir

Detaylı

Monopol. (Tekel) Piyasası

Monopol. (Tekel) Piyasası Monopol (Tekel) Piyasası Sonsuz sayıda alıcı karşısında tek satıcının olduğu piyasa yapısına tekel diyoruz. Tekelci firmanın sattığı malın ikamesi yoktur ya da tanım gereği piyasaya giriş engellenmiştir.

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

TAM REKABET PİYASASI

TAM REKABET PİYASASI TAM REKABET PİYASASI 2 Bu bölümde, tam rekabet piyasasında çalışan firmaların fiyatlarını nasıl oluşturduklarını, ne kadar üreteceklerine nasıl karar verdiklerini ve piyasadaki fiyat ile miktarın nasıl

Detaylı

Üretim Girdilerinin lması

Üretim Girdilerinin lması Üretim Girdilerinin Fiyatlandırılmas lması 2 Tam Rekabet Piyasasında Girdi Talebi Tek Değişken Girdi Durumu İlk olarak firmanın tek girdisinin işgücü () olduğu durumu inceleyelim. Değişken üretim girdisi

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 =

Nazım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları ax 1 + bx 2 = α cx 1 + dx 2 = Naım K. Ekinci Matematiksel İktisat Notları 0.6. DOĞRUSL DENKLEM SİSTEMLERİ ax + bx = α cx + dx = gibi bir doğrusal denklem sistemini, x ve y bilinmeyenler olmak üere, çömeyi hepimi biliyoru. ma probleme

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri

Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı. 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri Karşılaştırmalı Durağan Analiz ve Türev kavramı 6. Bölüm :Alpha Chiang,Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri 1 Karşılaştırmalı durağan analiz 6. Karşılaştırmalı Durağanlıklar ve Türev Kavramı 6.1 doğası

Detaylı

9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 9. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.8. TAM REKABET PİYASALARI A.8.1. Temel Varsayımları Atomisite Koşulu: Piyasada alıcı ve satıcılar,

Detaylı

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ

1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ DERS NOTU 06 IS/LM EĞRİLERİ VE BAZI ESNEKLİKLER PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ TOPLAM TALEP (AD) Bugünki dersin içeriği: 1. KEYNESÇİ PARA TALEBİ TEORİSİ... 1 2. LM EĞRİSİ VE PARA TALEBİNİN

Detaylı

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ

İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ İKTİSADİ DİNAMİKLİK K VE İNTEGRAL İŞLEMLER LEMLERİ 2 İktisat biliminde dinamiklik kavramı, değişkenlerin değişim süreçlerini, dengeye geliş ya da uzaklaşmalarını içeren bir analiz tipidir. Daha önce karşılaştırmalı

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

MATRİS - DETERMİNANT Test -1

MATRİS - DETERMİNANT Test -1 MRİS - DEERMİNN est - x y x 3., B olmak üzere, y y = B olduğuna göre, y x farkı kaçtır? 5. 5 4 0, B 4 3 7 3 matrisleri veriliyor. + B matrisi aşağıdakilerden hangisidir? 3 4 5 6 5 3 0 8 5 6 6 5 0 5 6 0

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem

3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü Primal Simpleks Yöntem 3.2. DP Modellerinin Simpleks Yöntem ile Çözümü 3.2.1. Primal Simpleks Yöntem Grafik çözüm yönteminde gördüğümüz gibi optimal çözüm noktası, her zaman uygun çözüm alanının bir köşe noktası ya da uç noktası

Detaylı

İçindekiler kısa tablosu

İçindekiler kısa tablosu İçindekiler kısa tablosu Önsöz x Rehberli Tur xii Kutulanmış Malzeme xiv Yazarlar Hakkında xx BİRİNCİ KISIM Giriş 1 İktisat ve ekonomi 2 2 Ekonomik analiz araçları 22 3 Arz, talep ve piyasa 42 İKİNCİ KISIM

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Önsöz... iii. KİTABIN KULLANIMINA İLİŞKİN BAZI NOTLAR ve KURUM SINAVLARINA İLİŞKİN UYARILAR... 1 BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSATIN TEMELLERİ

İÇİNDEKİLER. Önsöz... iii. KİTABIN KULLANIMINA İLİŞKİN BAZI NOTLAR ve KURUM SINAVLARINA İLİŞKİN UYARILAR... 1 BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSATIN TEMELLERİ İÇİNDEKİLER Önsöz... iii KİTABIN KULLANIMINA İLİŞKİN BAZI NOTLAR ve KURUM SINAVLARINA İLİŞKİN UYARILAR... 1 BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSATIN TEMELLERİ 1. İKTİSATIN TEMELLERİ... 9 1.1. İKTİSADIN TANIMI... 9 1.2.

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

Oligopol. Murat Donduran

Oligopol. Murat Donduran Oligopol Murat Donduran Mart 18, 2008 2 İçindekiler 1 Piyasa Yapıları 5 1.1 Oligopol.............................. 5 1.1.1 Cournot Oligopolü.................... 5 1.1.2 En İyi-Cevap Fonksiyonları...............

Detaylı

K ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil

K ve L arasında ikame yoktur. Bu üretim fonksiyonu Şekil MALİYET TEORİSİ 2 Maliyet fonksiyonunun biçimi, üretim fonksiyonunun biçimine bağlıdır. Bir an için reçel üreticisinin, bir birim kavanoz ve bir birim meyve toplayıcısı ile bir birim çıktı elde ettiği

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

3 x = ax a by b cet ce (1) t y = rx r + sy s qe q x = ax by (2) y = rx + sy x = ax bxy (3) y = rx + sxy

3 x = ax a by b cet ce (1) t y = rx r + sy s qe q x = ax by (2) y = rx + sy x = ax bxy (3) y = rx + sxy Daha önce beşinci bölümde denklemlerini ele almıştık. Burada tek değişken durumunda fark değişken sayısının iki ya da daha fazla olduğu diferansiyel denklemlerden oluşan bir sistemin çözümü üzerinde duracağız.

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 589 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Lineer Cebir Yazar: Yrd.Doç.Dr. Nezahat ÇETİN Öğr.Grv.Dr. Nevin ORHUN Editör: Prof.Dr. Orhan

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

1. Yatırımın Faiz Esnekliği

1. Yatırımın Faiz Esnekliği DERS NOTU 08 YATIRIMIN FAİZ ESNEKLİĞİ, PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ ETKİNLİKLERİ, TOPLAM TALEP (AD) EĞRİSİNİN ELDE EDİLİŞİ Bugünki dersin içeriği: 1. YATIRIMIN FAİZ ESNEKLİĞİ... 1 2. PARA VE MALİYE POLİTİKALARININ

Detaylı

PARA, FAİZ VE MİLLİ GELİR: IS-LM MODELİ

PARA, FAİZ VE MİLLİ GELİR: IS-LM MODELİ PARA, FAİZ VE MİLLİ GELİR: IS-LM MODELİ Bu bölümde faiz oranlarının belirlenmesi ile faizin denge milli gelir düzeyinin belirlenmesi üzerindeki rolü incelenecektir. IS LM modeli, İngiliz iktisatçılar John

Detaylı

DENEME SINAVI A GRUBU / İKTİSAT

DENEME SINAVI A GRUBU / İKTİSAT DENEME SINAVI A GRUBU / İKTİSAT 2 1. A malının fiyatındaki bir artış karşısında B malına olan talep azalıyorsa A ve B mallarının özellikleriyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur? A) A ve B

Detaylı

Makro İktisat II Örnek Sorular. 1. Tüketim fonksiyonu ise otonom vergi çarpanı nedir? (718 78) 2. GSYİH=120

Makro İktisat II Örnek Sorular. 1. Tüketim fonksiyonu ise otonom vergi çarpanı nedir? (718 78) 2. GSYİH=120 Makro İktisat II Örnek Sorular 1. Tüketim fonksiyonu ise otonom vergi çarpanı nedir? (718 78) 2. GSYİH=120 Tüketim harcamaları = 85 İhracat = 6 İthalat = 4 Hükümet harcamaları = 14 Dolaylı vergiler = 12

Detaylı

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2

OPTIMIZASYON Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu...2 OPTIMIZASYON.... Bir Değişkenli Fonksiyonların Maksimizasyonu.... Türev...3.. Bir noktadaki türevin değeri...4.. Maksimum için Birinci Derece Koşulu...4.3. İkinci Derece Koşulu...5.4. Türev Kuralları...5

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

Mikroiktisat Final Sorularý

Mikroiktisat Final Sorularý Mikroiktisat Final Sorularý MERSĐN ÜNĐVERSĐTESĐ ĐKTĐSADĐ VE ĐDARĐ BĐLĐMLER FAKÜLTESĐ MALĐYE VE ĐŞLETME BÖLÜMLERĐ MĐKROĐKTĐSAT FĐNAL SINAVI 10.01.2011 Saat: 13:00 Çoktan Seçmeli Sorular: Sorunun Yanıtı

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Bölüm 1 Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi 1.1 Dizeylere İlişkin Temel Kavramlar 1.1.1 Tanımlar Dizey cebiri kullanmaksızın k değişkenli bir bağlanım modeliyle uğraşmak son derece karmaşık bir iştir. Burada,

Detaylı

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi

Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Dizey Cebirinin Gözden Geçirilmesi Yrd. Doç. Dr. A. Talha YALTA Ekonometri 2 Ders Notları Sürüm 2,0 (Ekim 2011) Açık Lisans Bilgisi İşbu belge, Creative Commons Attribution-Non-Commercial ShareAlike 3.0

Detaylı

10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 10. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.9. TEKEL (MONOPOL) Piyasada bir satıcı ve çok sayıda alıcının bulunmasıdır. Piyasaya başka

Detaylı

Tekelci Rekabet Piyasası

Tekelci Rekabet Piyasası Tekelci Rekabet iyasası 1900 lü yılların başlarında, ürünlerin homojen olmaması, reklamın giderek 2 artan önemi, azalan maliyet durumlarının yaşanması tam rekabet piyasasına karşı yapılan tartışmaları

Detaylı

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama

2.3. MATRİSLER Matris Tanımlama 2.3. MATRİSLER 2.3.1. Matris Tanımlama Matrisler girilirken köşeli parantez kullanılarak ( [ ] ) ve aşağıdaki yollardan biri kullanılarak girilir: 1. Elemanları bir tam liste olarak girmek Buna göre matris

Detaylı

SORU SETİ 7 IS-LM MODELİ

SORU SETİ 7 IS-LM MODELİ SORU SETİ 7 IS-LM MODELİ Problem 1 (KMS-2001) Marjinal tüketim eğiliminin düşük olması aşağıdakilerden hangisini gösterir? A) LM eğrisinin göreli olarak yatık olduğunu B) LM eğrisinin göreli olarak dik

Detaylı

8. DERS: IS/LM MODELİ

8. DERS: IS/LM MODELİ 8. DERS: IS/LM MODELİ 1 Mal Piyasası ve Para Piyasası...2 2. Faiz Oranı, Yatırım ve IS Eğrisi...2 A.IS eğrisi nin özellikleri:...3 B.Maliye Politikası IS Eğrisini Nasıl Kaydırır?...5 3. Para Piyasası ve

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 3- LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Bilimsel ve teknolojik çalışmalarda karşılaşılan matematikle ilgili belli başlı

Detaylı

TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI

TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI BÖLÜM 10 TOPLAM TALEP I: IS-LM MODELİNİN OLUŞTURULMASI IS-LM Modelinin Oluşturulması Klasik teori 1929 ekonomik krizine çare üretemedi Teoriye göre çıktı, faktör arzına ve teknolojiye bağlıydı Bunlar ise

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

2.BÖLÜM ÇOKTAN SEÇMELİ

2.BÖLÜM ÇOKTAN SEÇMELİ CEVAP ANAHTARI 1.BÖLÜM ÇOKTAN SEÇMELİ 1.(e) 2.(d) 3.(a) 4.(c) 5.(e) 6.(d) 7.(e) 8.(d) 9.(b) 10.(e) 11.(a) 12.(b) 13.(a) 14.(c) 15.(c) 16.(e) 17.(e) 18.(b) 19.(d) 20.(a) 1.BÖLÜM BOŞLUK DOLDURMA 1. gereksinme

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

UYGULAMALARI. Dr. Sanlı ATEŞ

UYGULAMALARI. Dr. Sanlı ATEŞ OYUN TEORİSİ VE UYGULAMALARI Dr. Sanlı ATEŞ Bu dersin amacı, oyun teorisini teknik olarak tanıtıp, başta ekonomi alanı olmak üzere değişik alanlara nasıl uygulanabileceğini tartışmaktır. Günümüzde bireylerden

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN

2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN 2. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 C.1.2. Piyasa Talep Fonksiyonu Bireysel talep fonksiyonlarının toplanması ile bir mala ait

Detaylı

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.

Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. 1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya

Detaylı

1. Mal Piyasası ve Para Piyasası

1. Mal Piyasası ve Para Piyasası DERS NOTU 06 IS/LM MODELİ Bugünki dersin içeriği: 1. MAL PİYASASI VE PARA PİYASASI... 1 2. MAL PİYASASI İLE PARA PİYASASININ İLİŞKİSİ... 1 3. FAİZ ORANI, YATIRIM VE IS EĞRİSİ... 2 IS EĞRİSİNİN CEBİRSEL

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira

Doğrusal Denklem Sistemlerini Cebirsel Yöntemlerle Çözme. 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 2 tişört + 1 çift çorap = 16 lira 1 tişört + 2 çift çorap = 14 lira 1 16 soruluk bir testte 5 ve 10 puanlık sorular bulunmaktadır. Soruların tamamı doğru cevaplandığında 100 puan alındığına göre testte

Detaylı

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces

biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

İKTİSAT BİLİMİ VE İKTİSATTAKİ TEMEL KAVRAMLAR

İKTİSAT BİLİMİ VE İKTİSATTAKİ TEMEL KAVRAMLAR İÇİNDEKİLER Önsöz BİRİNCİ BÖLÜM İKTİSAT BİLİMİ VE İKTİSATTAKİ TEMEL KAVRAMLAR 1.1.İktisat Bilimi 1.2.İktisadi Kavramlar 1.2.1.İhtiyaçlar 1.2.2.Mal ve Hizmetler 1.2.3.Üretim 1.2.4.Fayda, Değer ve Fiyat

Detaylı

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol

17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 17 ÞUBAT 2016 5. kontrol 3 puanlýk sorular 1. Tuna ve Coþkun un yaþlarý toplamý 23, Coþkun ve Ali nin yaþlarý toplamý 24 ve Tuna ve Ali nin yaþlarý toplamý 25 tir. En büyük olanýn yaþý kaçtýr? A) 10 B)

Detaylı

IKTI 101 (Yaz Okulu) 04 Ağustos, 2010 Gazi Üniversitesi İktisat Bölümü DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ

IKTI 101 (Yaz Okulu) 04 Ağustos, 2010 Gazi Üniversitesi İktisat Bölümü DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ DERS NOTU 05 ÜRETİCİ TEORİSİ Bugünki dersin işleniş planı: 1. Kârını Maksimize Eden Firma Davranışı... 1 2. Üretim Fonksiyonu ve Üretici Dengesi... 5 3. Maliyeti Minimize Eden Denge Koşulu... 15 4. Eşürün

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

1. Cournot Duopol Modeli

1. Cournot Duopol Modeli Oligopol Piyasası 1. Cournot Duopol Modeli 2 Bilinen en eski duopol modeli, 1838 yılında Augustin Cournot tarafından geliştirilmiştir. Burada konu Cournot un orijinal çalışmasına dayanılarak anlatılmaktadır.

Detaylı

1 MAKRO EKONOMİNİN DOĞUŞU

1 MAKRO EKONOMİNİN DOĞUŞU İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MAKRO EKONOMİNİN DOĞUŞU ve TEMEL KAVRAMLAR 11 1.1.Makro Ekonominin Doğuşu 12 1.1.1.Makro Ekonominin Doğuş Süreci 12 1.1.2.Mikro ve Makro Ekonomi Ayrımı 15 1.1.3.Makro Analiz

Detaylı

Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30

Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30 Adı Soyadı: No: 05.04.2010 Saat: 08:30 ID: Z Mikro 2 Ara 2010 Çoktan Seçmeli Sorular Cümleyi en iyi biçimde tamamlayan veya sorunun yanıtı olan seçeneği yanıt anahtarına işaretleyiniz. 1. Çapraz satış

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

1 TEMEL İKTİSADİ KAVRAMLAR

1 TEMEL İKTİSADİ KAVRAMLAR ÖNSÖZ İÇİNDEKİLER III Bölüm 1 TEMEL İKTİSADİ KAVRAMLAR 11 1.1. İktisat Biliminin Temel Kavramları 12 1.1.1.İhtiyaç, Mal ve Fayda 12 1.1.2.İktisadi Faaliyetler 14 1.1.3.Üretim Faktörleri 18 1.1.4.Bölüşüm

Detaylı

2009 VS 4200-1. Gayri Safi Yurt içi Hasıla hangi nitelikte bir değişkendir? ) Dışsal değişken B) Stok değişken C) Model değişken D) kım değişken E) içsel değişken iktist TEORisi 5. Kısa dönemde tam rekabet

Detaylı

2009 S 4200-1. Değeri zamanın belirli bir anında ölçülen değişkene ne ad verilir? ) Stok değişken B) içsel değişken C) kım değişken D) Dışsal değişken E) Fonksiyonel değişken iktist TEORisi 5. Yatay eksende

Detaylı