FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü

Transkript

1 FEM ile, Hapsolmuş Kuantum Mekaniksel Sistemlerin Çözümü Yöntem Bir boyutlu bir problem için etkin kütle yaklaşımı ve zarf fonksiyonu (envelope function) yaklaşımı çerçevesinde Hamiltoniyen ve Schrodinger denklemi H = h2 2 d d + V (z) () Hψ = Eψ (2) şeklinde verilsin. Ölçekleme yapılarak denklem boyutsuz hale getirlisin. Ölçekleme; z,ẽ, boyutsuz nicelikler olmak üzere z = za E = ẼE h (3) = m e ile yapılır. Burada E h, Hartree enerjisidir, E h = h2 m e a Bu işlemden sonra, boyutsuz Hamiltoniyen ve Schrodinger denklemi ( kullanmayarak) H = d d + V (z) (4) 2 Hψ(z) = Eψ(z) (5) şeklinde yazılacaktır. (5) in çözümü olan ψ(z) yerine g(z) deneme çözüm fonksiyonunu alalım. Çözüm olarak bu fonksiyonun kullanılmasıyla (5) ψ g, (H E)g(z) = (6) haline gelir. (4) ü, soldan çözüm fonksiyonunun kompleks eşleniği ile çarpıp çözüm aralığında integre ederek G = g (z)hg(z) E g (z)g(z) (7) şeklinde tanımlanan G, değişim (varyasyon) yöntemi ile minimize edilecek. Çözülecek olan sistem kuşatılmışsa, yani uzayın belli bir bölgesine hapsolmuşsa sisteme ait dalga fonksiyonu uzayın hapsolduğu kısmın sınırlarında sıfır olmalıdır. Bu koşul sistemin kesin çözümü olan ψ için geçerli olduğu gibi deneme fonksiyonu g için de geçerlidir. (7) de (4) yazılsın G = g d (z) 2 [ g( ) = g(z b ) = (8) ] dg(z) + z b g (z)v (z)g(z) E g (z)g(z) (9)

2 İlk terime kısmi integrasyon uygulanırsa G = 2 g + ( ) dg z b + 2 g V (z)g E g g ( dg ) ( ) dg () olacaktır. (8) den g ( ) = g (z b ) = olduğu kullanılırsa () G = {( dg 2 ) ( ) } dg + 2g [V (z) E]g () haline gelir. () in minimizasyonu yapılacak (Ritz yöntemi).. Çözüm Uzayının Parçalara Ayrılması Çözüm uzayını z = ve z N+ = z b olmak üzere N + parçaya bölelim. z z z j z j+ z N+ z z b [,z b ] [z,z ] + [z,z 2 ] + [z j,z j+ ] + [z N,z N+ ] = [z j,z j+ ] (2) j= () deki fonksiyonların (2) ile oluşturulan bölgelerde g(z) g j (z) m j(z) (3) şeklinde tanımlanmasıyla integraller V (z) V j (z), z [z j,z j+ ] j= z j+ z j (4) haline gelir. Yani, () G = j= z j+ z j [ ( dg ) j 2 m j (z) ( dgj ) ] + g j (V j (z) E)g j (5) olur. s = z z j z j+ z j, L j = z j+ z j = L j (6) udv = uv zb vdu; u = g (z), dv = d [ ] dg(z) 2

3 şeklinde tanımlanan dönüşüm ile de z j+ z j L j g j (z) g j (s) (7) olacaktır. Dolayısıyla (4) olur. Bu dönüşümden sonra (5) G = L j j= m j(z) m j(s) V j (z) V j (s), s [,] j= z j+ z j [ ( dg ) j 2 j= L 2 j m j(s) L j (8) ( ) ] dgj + gj (V j (s) E)g j halini alır. (6) dönüşümüyle geçilen [, ] uzayında FEM bazları (ϕ lerin kümesi) oluşturulabilir. Bu uzayın n parçaya bölünmesi ile uzayda n. dereceden polinomla verilebilen n+ tane baz fonksiyonu (9) z j z j+ s s s k s k+ s n s oluşturuluyordu. [,] [s,s ] + [s,s 2 ] + [s k,s k+ ] + [s n,s n ] (2) Burada s = ve s n = dir. Baz fonksiyonları ϕ i (s) = n (s s n k ) (k i) (i,k =,,2,...,n) (2) (s i s k ) k= k= ile tanımlıydı. Şekilden görülebilir ki çözüm uzayının (j + ). bölgesi, s uzayının n parçaya bölünmesi ile n parçaya bölünmüştür. Dolayısıyla (2) den görünen, çözüm uzayında (N +).n+ nokta olduğudur. (5) in çözümü olan ψ nin bu noktalardaki değerleri ψ ψ ψ n zj ψ jn ψ jn+ ψ jn+n zn ψ Nn ψ Nn+ ψ Nn+n z z z j+ z N+ ψ,ψ,ψ 2, ψ (N+)n (22) 3

4 s Şekil : s uzayının bire (n = ) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları s Şekil 2: s uzayının ikiye (n = 2) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları olsun. (8) gereği ψ = ψ (N+)n = olacaktır. (9) daki fonksiyonlar, oluşturulan baz fonksiyonlarının lineer birleşimi olarak yazılabilir : g j (s) = m j(s) = V j (s) = ψ jn+k φ k (s) k= k= m jn+k (s) φ k(s) V jn+k φ k (s) k= (23) Burada φ k lar (2) ile tanımlanan baz fonksiyonları, ψ j ler ise (22) deki çözüm fonksiyonunun uzaydaki noktalarda aldığı bilinmeyen değerlerdir. V jn+k,m jn+k da potansiyel ve kütle fonklsiyonlarının uzayın z jn+k noktasındaki değeridir. (23) ile verilen fonksiyonlar (9) da yerlerine yazılsın (Bkz. EkA) : G = n L j j= l =l 2= { n k= [ ] } A (k) (l,l 2 ) 2L 2 j m + V jn+k B (k) (l,l 2 ) EC(l,l 2 ) ψjn+l ψ jn+l2 (24) jn+k 4

5 s.2 Şekil 3: s uzayının üçe (n = 3) bölünmesi ile oluşan baz fonksiyonları elde edilecektir ki burada, A (k) (l,l 2 ) = B (k) (l,l 2 ) = C(l,l 2 ) = Bu işlemlerden sonra G şunlara bağlı olacaktır: φ k ( dφl φ k φ l φ l2 φ l φ l2 ) ( ) dφl2 (25) ψ,ψ 2, ψ (N+).n ψ,ψ 2, ψ (N+).n m jn+k,l j,v jn+k,e Problemin çözümü için gerekenler enerji özdeğerleri (E) çözüm fonksiyonunun uzayın bölünmesi sonucu oluşan (N + )n sayıda noktada aldığı değerler (22)..2 Değişim (varyasyon) Yöntemi ile Minimizasyon (24) ün minimizasyonu G nin ψ u lara göre türevlerinin sıfıra eşitlenmesi sonucu olur. 2 (24), (26) da yazılırsa n { n = L j j= l =l 2= k= G ψ u = ; u =,2, (N + )n (26) [ ] } A (k) (l,l 2 ) 2L 2 j m + V jn+k B (k) (l,l 2 ) EC(l,l 2 ) δ u,jn+l ψ jn+l2 (27) jn+k j üzerinden olan ilk toplam alınırsa Kronecker delta dan dolayı gelen sıfırdan farklı terim indisleri, [ ] u l u = jn + l j = (28) n 2 G nin ψ u lara göre türevi alınıp da sıfıra eşitlenebilir. Bu sefer elde dilen denklem sisteminde çözülmesi gereken değişkenler ψ u lar olacaktır. 5

6 olacaktır, burada [ ] tam değeri temsil etmektedir. 3 (28), (27) de kullanılarak [ = L [ u l D ([ ] u l n ]) (l,l 2 ) EC(l,l 2 ) ψ u l+l 2 (29) l =l 2= D = k= n ] [ ] A (k) (l,l 2 ) 2L 2 j m + V jn+k B (k) (l,l 2 ) jn+k (29) un (26) dan elde edildiği hatırlanırsa, (29) denklemlerinin sayısının (N + )n olduğu görülebilir. Yani tüm bu işlemlerden sonra (N + )n bilinmeyen (ψ,ψ 2, ψ (N+).n ) ve (N +)n denklemden oluşan bir sistem elde edilmiş olur. Bu sistem matris formunda yazılabilir. Burada (3) K. ψ = E M. ψ (3) K : denklem sistemindeki E içermeyen katsayıların matrisi ((N + )n ) ((N + )n ) boyutunda ψ : denklem sistemindeki bilinmeyenler matrisi ((N + )n ) boyutunda E : skaler M : denklem sistemindeki E içeren katsayıların matrisi ((N + )n ) ((N + )n ) boyutunda Enerji özdeğerlerinin bulunması ile olur. Enerji özdeğerleri M..3 Sonuçlar M. K ψ = E ψ (32) K matrisinin özdeğerleri olacaktır. (23) de m =, = 5, z b = alınıp çözüm uzayı eşit uzunluktaki parçalara ayrılarak farklı N ve n ler için enerji özdeğerleri hesaplandı. Problemin kesin enerji özdeğerleri E n = h2 π 2 2mL 2 n2 (33) ile veriliyordu. İlk özdeğerin sabit n için farklı N sayılarına göre ve sabit N için farklı n sayılarına göre değişimi şöyle : Şekil (??) den görüldüğü gibi çözüm uzayı daha fazla sayıda parçaya bölündükçe ilk özdeğer belli değerlere yakınsamaktadır. N artıkça eğriler arasındaki ayrım da azalmaktadır. Şekil (??) den de yukarıdakine benzer bir yorum yapılabilir. Buradaki tek fark artan n ler için elde edilen özdeğerlerin gerçek değerlere daha çabuk yakınsamasıdır. Şekilden görüldüğü gibi n = 4 ve n = 5 için elde edilen özdeğerler birbirine çok yakındır. 3 tam değer fonksiyonu, argümanını tamsayı kısmına götürür 6

7 2 Bir Boyutta Poisson Denkleminin FEM ile Çözümü (3) deki boyutsuzlaştırma işleminin yapılması sonucu bir boyutta Poisson denklemi d 2 V H 2 = ρ(z) (34) ε haline gelir. Burada V H, Hartree potansiyeli, ε = ε.ε r ve ρ(z) çizgisel yük yoğunluğudur. ρ(z), n çizgisel parçacık yoğunluğu ve q e elektron yükü olmak üzere ρ(z) = nq e ψ g (z) 2 (35) ile verilir. Tüm yüklerin taban durumunda olduğu kabul edilmiştir ve ψ g (z) normalize taban durum dalga fonksiyonudur. bir boyutta [,z b ] olan sistemdeki toplam yük ρ(z) = nq e ψ g (z) 2 olacaktır. Bu problem FEM ile çözülmek istendiğinde (34) den 4 I = ω(z) ( d 2 V H 2 ) + ε ρ(z) = (36) olmalıdır. ω(z) ler ağırlık fonksiyonlarıdır ve FEM ile oluşturulan çözüm uzayına taşınmış ([,z b ]) baz fonksiyonları olarak seçilebilirler (Galerkin Yöntemi). Çözüm uzayına taşınmış baz fonksiyonu sayısı (N + )n + dir, bu fonksiyonları ω m ile gösterek (36) nın bir kez kısmi integrasyonu ile I m = [( )( ) dωm dv + ] ε ω ρ(z) + ω m (z) dv m =,,...,(N + )n z b = (37) () dan farklı olarak bu problemde (37) nin ikinci terimi değildir. Çözüm uzayı (2) deki gibi parçalara bölündüğünde (3) ile tanımlanan fonksiyonların benzerleri (V j,ρ j ) bu problem için de tanımlanmış olacak ve (37) deki integral (4) deki gibi yazılacaktır. I m = j= z j+ z j [( dωm ) ( dvj z ) + ε ] b ω mρ j + dv j ω m = (38) j= (6) dönüşümü ile s uzayına ([, ]) geçildiğinde (38) deki integral ve fonksiyonlar (7) dekiler gibi dönüşecektir. Dolayısıyla (38), (8) ve (6) ile I m = j= [ L j ( dωm )( dvj ) + ε ] N ω mρ j + j= ( ω m dv j = (39) haline gelir. (38) deki fonksiyonlar z nin fonksiyonu iken (39) dakiler yapılan (6) dönüşümü ile s nin fonksiyonu haline gelirler. 4 (34) çözümü için önerilen deneme çözüm fonksiyonu (34) ü yaklaşık olarak sağlar. Yani d2 V H 2 + ρ(z) = deneme ε çözüm fonksiyonu için doğru değildir. Bunun yerine d2 V H 2 + ρ(z) nın çözüm aralığındaki ağırlıklı ortalaması ε olmalıdır (36) 7

8 s uzayının (2) deki gibi n parçaya bölünmesi ile (39) daki fonksiyonlar (23) deki gibi tanımlanmış olacaktır. V j (s) = V jn+k φ k (s) ρ j (s) = Tüm bunlardan sonra (39) şu hale gelir : [( dωm I m = L j= j k= )( dvjn+k k= ρ jn+k φ k (s) k= ) + ε ] N ω mρ jn+k + j= ( ω m dv jn+k (4) = (4) Çözüm uzayındaki (N +)n+ tane baz fonksiyonunun seçimi ile (4), (N +)n+ tane denklem verir ve bu denklem sisteminden bilinmeyen (N + )n + tane potansiyel değeri (V jn+k, j =,,...,N k=,,...,n) çözülür. Çözüm uzayı sınırları olarak = 5 ve z b = seçimi durumunda farklı N ve n değerleri için çözüm uzayındaki (N + )n + tane baz fonksiyonu aşağıda görülebilir Şekil 4: N = 5 ve n = için [5,] uzayında baz fonksiyonları Şekil 5: N = 5 ve n = 2 için [5,] uzayında baz fonksiyonları 8

9 Şekil 6: N = 5 ve n = 3 için [5,] uzayında baz fonksiyonları Şekil 7: N = ve n = için [5,] uzayında baz fonksiyonları A Ek A G = j= L j g j (s) = [ ( dg ) j 2 m j (s) ( dgj ) ] + g j (V j (s) E)g j n ψ jn+k φ k (s) gj (s) = ψjn+k φ k(s) k= k= dg j(s) = m j(s) = dφ ψ l2 (s) jn+l2 l 2= k= m jn+k (s) φ k(s) dg j (s) = ψ dφ l (s) jn+l l = V j (s) = V jn+k φ k (s) k= Bunlar G de yerlerine yazıllırsa n { n [ ] } A (k) (l,l 2 ) G = L j 2L 2 j m + V jn+k B (k) (l,l 2 ) EC(l,l 2 ) ψjn+l ψ jn+l2 jn+k j= l =l 2= k= 9

10 Şekil 8: N = ve n = 2 için [5,] uzayında baz fonksiyonları Şekil 9: N = ve n = 3 için [5,] uzayında baz fonksiyonları elde edilecektir ki burada, A (k) (l,l 2 ) = B (k) (l,l 2 ) = C(l,l 2 ) = φ k ( dφl φ k φ l φ l2 φ l φ l2 ) ( ) dφl2 dır.