SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

Transkript

1 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 1

2 SAYISAL ÇÖZÜMLEME 4. Hafta DENKLEM ÇÖZÜMLERİ 2

3 İÇİNDEKİLER Denklem Çözümleri Doğrusal Olmayan Denklem Çözümleri Grafik Yöntemleri Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Bisection) Yöntemi Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi Yer Değiştirme Yöntemi Açık Yöntemler Basit Sabit Noktalı İterasyon Newton-Raphson Yöntemi Kiriş (Secant) Yöntemi 3

4 Denklem Çözümleri Denklemler fizik kanunlarına ve fiziksel parametrelere dayanır. Problemlerin çözümünde ve sistemlere ait bağımlı değişkenlerin tahmin edilmesinde kullanılırlar. Denklemler mühendislikte tasarımda kullanılır. Sayısal analizdeki matematiksel modelleme aşaması denklemler ve denklem çözümlerinden oluşur. 4

5 Sayısal Analizde Denklem Köklerini Bulmada İzlenecek Yol Denklem köklerini aramaya belirli bir başlangıç değeri ya da değer aralığından başlanır. Kökü aramaya doğru bir noktadan başlamak çözüme ulaşmayı hızlandıracaktır. Fonksiyonun girişine değerler vererek, fonksiyonun çıkışı gözlemlenir. Fonksiyonun çıkışını gözlemlemenin kolay yolu, fonksiyonun grafiğini çizdirmektir. Grafik, köke yakın aralığı hızlı ve kolay tespit etmeyi sağlar. Kökü aramaya uygun yerden başlamayı sağlar. 5

6 Grafik Yöntemleri Sayısal analiz ile denklem köklerini hızlı ve kolay bulmayı sağlayan bir yöntemdir. Karmaşık denklem/problemlerin yaklaşık (kabaca) çözümlenmesini sağlar. Grafiksel yöntemlerin dezavantajları Hassas çözüm elde edilemez Bilgisayar kullanmadan grafik çizmek uzun zaman alır Çoğunlukla 3 ya da daha düşük bilinmeyenli denklem çözümü için uygundur. 6

7 Grafik Yöntemleri Örnek: f() = e fonksiyonunun kökünü, grafik yöntemi ile yaklaşık olarak bulunuz? 10 f()

8 Grafik Yöntemleri Örnek: f() = fonksiyonunun kökünü, MATLAB programında çizdireceğiniz grafik üzerinden kabaca bulunuz? 8

9 Denklem Çözümünde Kapalı Yöntemler Fonksiyonlar kök civarında işaret değiştirdikleri için, kökü sağından ve solundan kıskaca alarak bu aralığı gittikçe daraltıp köke ulaşmak mümkündür. Bunun için iki tane başlangıç değeri belirlemek gerekir. Kök, bu iki değerin arasındaki kapalı bölgede olduğu için bu yöntemlere kapalı yöntemler adı verilir. 8 f()>0 f()>0 8 kök 3 3 kök a ü f()< f()< Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır

10 Denklem Çözümünde Kapalı Yöntemler Doğru kökü hızlı ve sağlıklı olarak bulmak için, arada başka bir kök olmaması gerekir, bundan dolayı aralık mümkün olduğunca dar seçilmelidir. 2. kök (aradığımız) kök kök a ü Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. 10

11 Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi Denklem çözümünde kapalı yöntemlerin bir türü olan Bisection, ikiye bölme ya da yarılama olarak ta adlandırılmaktadır. Bisection, sürekli bir fonksiyonun bir sıfırının (kökünün) bulunması için kullanılan sistematik bir tarama tekniğidir. Tekrarlama (tarama) yöntemlerinin en basit ve en anlaşılırıdır. Kökün bulunduğu aralığı yarılayarak (ikiye bölerek) daraltma prensibine dayanır. Bu yöntem, içerisinde bir sıfır bulunan bir aralığın öncelikle tespitine dayanır. Aralık sonunda fonksiyon zıt işarete sahiptir. Sonra aralık iki eşit alt aralığa bölünür ve hangi aralığın bir sıfır değeri içerdiğine bakılır. Sıfır içeren alt aralıklarda hesaplamalara devam edilir. Dezavantajı, yavaş yakınsaması ve bazen tam olarak çalışmaması. 11

12 Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi Bir f() fonksiyonu, [ a, ü ] aralığında bir sıfır noktasına (köke) sahip olduğunu varsayalım. İlk olarak, f() fonksiyonunun belirtilen aralıkta kökü olup olmadığı [ f( a )* f( ü ) < 0 ] kontrol edilir. Şart sağlıyorsa kök vardır. Çünkü fonksiyonlar zıt işaretlidir. [ f( a ) * f( ü ) > 0 ] ise kök yoktur. [ f( a ) * f( ü ) = 0 ] ise kök a ya da ü İlk iterasyonda, belirtilen fonksiyon aralığının orta noktası tespit edilir. a ü o 2 Kök [ a, o ] ya da [ o, ü ] aralığından birisinde olmalıdır f( a )* f( o ) < 0 ise kök [ a, o ] aralığında f( o )* f( ü ) < 0 ise kök [ o, ü ] aralığında f( o )* f( ü ) = 0 ise kök o dur Bir sonraki iterasyonda kök yeni aralıkta aranır ve 2. adımdan itibaren işlemler tekrarlanır. Tekrarlama işlemi a ü 2 s şartı sağlanana kadar devam eder. 12

13 f() f() Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi o a 2 ü f( a ).f( o ) <0 f( a ).f( o ) >0 a ile o farklı bölgelerde a ile o aynı bölgelerde Güncellenecek sınır ü (yeni)= o a (yeni)= o a o ü a o ü! o a!!o ü! kök kök f( o ) -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f( a ). a 2 ü s Kök, a, o arasında Kök, o, ü arasında Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. 13

14 Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi Örnek: 2-5=0 fonksiyonunun kökünü δ s =0,13 duyarlılıkla başlangıç aralığınızı [1-3] olacak şekilde bulunuz. 14

15 Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi Örnek: f() =.e fonksiyonunun kökünü δ s =2*10 6 duyarlılıkla bulalım, Not: Grafik yönteminde, [-1,0] aralığı için kabaca sonuç =-0.51 Tablo.4.1. İkiye bölme yöntemiyle fonksiyonun kökünün yaklaşık olarak bulunması n a ü o f( a ).f( o ) a ü = Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. 15

16 Kapalı Yöntemler İkiye Bölme (Yarılama, Bisection) Yöntemi Algoritması Başla Başla İlk Değerleri Ata Gelişmiş Algoritması İlk değerleri ve sabitleri ata Verilen Aralıkta Kök Yoktur E f( a ).f( ü )>0? Kökü yaz E < s? E H f( a ).f( ü )=0? H İkiye bölme ile yeni kök tahmini o a 2 ü Kök=a E f( a ) =0? H Kök=ü H o H a ü 2 f( a ).f( o )<0? E H f( a ).f( o )<0? E a=o ü=o a = o ü = o ü - a /2 < s H n=n+1 = Hatayı bul ü a Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. 2 E kök= o kök ve tekrar sayısını yazdır n>=n ma? E Maksimum tekrarda yakınsama sağlanamadı H 16

17 Kapalı Yöntemler Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi Ardışıl yaklaşım yöntemi olarak ta bilinir. Bir başlangıç değerinden başlanarak, adım adım ( h, sabit mesafeler) köke yaklaşılır. Önce büyük adımlar ile başlanır. [ f()* f(+h) > 0 ] şartı sağlandığı sürece Bir adım daha ilerlenir. Adım büyüklüğünde (h) değişiklik yapılmaz. [ f()* f(+h) < 0 ] ise kök geçilmiştir. En son kalınan başlangıç değerinden, adım küçülterek tekrar ilerlemeye devam edilir. Hata sınırlaması sağlanana kadar köke yaklaşmaya devam edilir. h < s 17

18 Kapalı Yöntemler Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi f() Çalışması h adım Algoritması Başla İlk Değerleri Ata = a,, h, s a k ü H h>= s ve f() ~=0 mı? Kökü yazdır f().f(+h) >0 (yeni)=+h H E f().f(+h)<0? =+h f().f(+h)<0 h(yeni)=h/10 E h=h*0.1 Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. 18

19 Kapalı Yöntemler Adım Küçülterek Köke Yaklaşma Yöntemi Örnek: 2-5=0 fonksiyonunun kökünü δ s =0,02 duyarlılıkla başlangıç adım değerini h=0.2 alarak, adım küçültme oranını h/10 olacak şekilde bulunuz. 19

20 ÖDEV f() = e. 2-5 fonksiyonunu [ -1, 1 ] aralığında s = 0.01 hata sınırlamasına göre 20 iterasyonda bisection ve adım küçülterek köke yaklaşma metodunu kullanarak çözünüz? Adım küçülterek yaklaşma metodunda Başlangıç h= 0.1, küçültme oranı h=h/10; 20

21 Kapalı Yöntemler Yer Değiştirme Yöntemi (Regula Falsi) En eski kök bulma yöntemlerinden birisidir. Eğrinin bir doğruyla yer değiştirmesi sonucunda, kökün konumunun yanlış belirlenmesi nedeniyle, latince yanlış nokta anlamında olan Regula Falsi olarak adlandırılır. Regula Falsi yönteminde köke yakınsama yavaş olmasına rağmen, mutlaka yakınsama vardır. Bisection dan hızlı, kiriş yönteminden yavaş f() fonksiyonunun [a, b] aralığında kökü hesaplanmak istensin [a, f(a)] ve [b, f(b)] noktaları arasına bir kiriş (doğru) çizilir. Doğrunun eksenini kestiği noktanın (a 1 ) alt ve üst kısmında iki benzer üçgen oluşur. İki üçgenin benzerliğinden eksenini kestiği nokta (a 1 ) hesaplanır. İstenilen hassasiyet (hata sınırı) sağlanmadıysa yukarıdaki işlemler [a 1, f(a 1 )] ve [b, f(b)] noktaları için tekrar ettirilir. 21

22 Kapalı Yöntemler Yer Değiştirme Yöntemi (Regula Falsi) f ( ü ) Benzer Üçgenler a r f ( a ) ü f ( ü ( f ( ü ) a ü f ü ) ) ( f ( ) Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. a ü ü r a ü r ü a r ü f ( ) f ( ) 22 a ü

23 f() Kapalı Yöntemler Yer Değiştirme Yöntemi (Regula Falsi) f() r ü f ( ) ü a ü f ( ) f ( ) a ü f( a ).f( r ) < 0 a ile r farklı bölgelerde f( a ).f( r ) > 0 a ile r aynı bölgelerde Güncellenecek sınır ü (yeni)= r a (yeni)= r a r ü a r ü kök kök -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5-2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 f( a ). % a s Kök, a, r arasında Serhat Yılmaz ın Sunusundan Alınmıştır. Kök, r, ü arasında 23

24 Kapalı Yöntemler Yer Değiştirme Yöntemi (Regula Falsi) Örnek : f()= denkleminin [1,2] aralığındaki kökünü yer değiştirme yöntemini kullanarak 2 iterasyon için çözünüz. r ü f ( ) ü a ü f ( ) f ( ) a ü 24

25 ÖDEV-2 f()= fonksiyonunu [1, 2] aralığında δ s = 10-5 hata sınırlamasına göre bisection metodunu kullanarak çözünüz? 25

26 KAYNAKLAR Serhat YILMAZ, Bilgisayar İle, Kocaeli Üniv. Yayınları Cüneyt BAYILMIŞ, Sayısal Analiz Ders Notları, Sakarya Üniversitesi. Mehmet YILDIRIM, Sayısal Analiz Ders Notları, Sakarya Üniversitesi İlyas ÇANKAYA, Devrim AKGÜN, MATLAB ile Meslek Matematiği Seçkin Yayıncılık İrfan Karagöz, Sayısal Analiz ve Mühendislik Uygulamaları Vipaş Yayıncılık 26