PROJE SEÇİMİ VE KAYNAK PLANLAMASI İÇİN BİR ALGORİTMA AN ALGORITHM FOR PROJECT SELECTION AND RESOURCE PLANNING

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "PROJE SEÇİMİ VE KAYNAK PLANLAMASI İÇİN BİR ALGORİTMA AN ALGORITHM FOR PROJECT SELECTION AND RESOURCE PLANNING"

Gonca Genç
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Dokuz Eylül Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Clt 3, Sayı:2, 2001 PROJE SEÇİMİ VE KAYAK PLALAMASI İÇİ BİR ALGORİTMA lgün MORALI 1 C. Cengz ÇELİKOĞLU 2 ÖZ Kaynak tahss problemler koşullara bağlı olarak br doğrusal programlama model, tamsayılı programlama model ya da karma tamsayılı programlama modelyle fade edlr. Bu modellerde amaç toplam getrnn maksmzasyonudur. Bu amaca, kaynak ayrılan faalyet sayısının maksmzasyonu şeklnde knc br amaç eklendğnde, problem amaç programlama teknkleryle çözüleblr. Bu çalışmada problemn amaç programlamayla çözülmes yerne kullanılmak üzere br yaklaşık çözüm algortması önerlmştr. Anahtar Sözcükler: Kaynak planlama, Karma tamsayılı programlama, Proe seçm A ALGORITHM FOR PROJECT SELECTIO AD RESOURCE PLAIG ABSTRACT The problems allocaton of resources are expressed n a lnear programmng model, an nteger programmng model or a mxed nteger programmng model, varyng wth condtons. In these models, the am s to maxmze the total proft. When an am of maxmzng the number of actvtes for whch resources are allocated s added to ths am, problem can be solved by ntenton programmng technques. In ths pece of work, nstead of solvng the problem by usng goal programmng, an approxmate soluton algorthm s proposed. Key Words: Resource plannng, Mxed nteger programmng, Proect selecton 1 Prof.Dr.; Dokuz Eylül Ünv. Fen-Edebyat Fak., İstatstk Bölümü, Buca-İZMİR (nlgun.moral@deu.edu.tr) (Kaynaklar Kampusü Buca-İZMİR) 2 Y.Doç.Dr.; Dokuz Eylül Ünv. Fen-Edebyat Fak., İstatstk Bölümü, Buca-İZMİR (cengz.celkoglu@deu.edu.tr) (Kaynaklar Kampusü Buca-İZMİR) 94

2 1. GİRİŞ Çeştl faalyetlern değşk düzeylerde gerçekleştrlebleceğ ve kaynakların sınırlı olduğu durumlarda, her faalyetn hang düzeyde gerçekleştrleceğnn, dolayısıyla her faalyete ne kadar kaynak ayrılacağının belrlenmes, kaynak tahss problem olarak adlandırılır. Böyle br kaynak tahss problemnde amaç fonksyonunu ve kısıtları belrleyen lşkler doğrusal olarak fade etmek mümkün olursa, problem br doğrusal programlama modelyle formüle edlr ve kolaylıkla çözülür. Ayrıca, çeştl faalyetlern daha önceden belrlenmş sabt mktarlarda kaynak kullanarak gerçekleştrlebleceğ durumlarda, hang faalyetlere kaynak ayrılacağının hanglerne ayrılmayacağının belrlenmes de kaynak tahss problem olarak adlandırılır. Bu durumda problem genellkle br 0-1 tamsayı programlama modelyle fade edlr ve dal-sınır algortması ya da dnamk programlama çözüm teknklernden yararlanılarak çözülür. Bu çalışmada kaynak tahss problem yukarıdak k yaklaşımın br brleşm olarak tanımlanmıştır. 1,2,..., çn p le smgelenen değşk faalyet çn en az l ve en çok u mktarda kaynağın gerektğ belrlenmş olsun. Her faalyetn sağlayacağı getr (fayda ya da kazanç) b ve eldek toplam kaynak B le gösterlsn. Bu koşullarda toplam getry maksmum kılmak üzere hang faalyetlern gerçekleştrleceğnn ve bunlara ne kadar kaynak ayrılacağının belrlenmes de br kaynak tahss problemdr. p faalyetne ayrılan kaynağı x karar değşkenyle ve faalyetne kaynak ayırmamayı ya da ayırmayı y 0-1 tamsayı değşkenyle göstermek üzere, problem br karma tamsayı programlama modelyle max Z b 1 x 1 + b 2 x b x x 1 + x x B x u 1,2,..., x [1 y ]+ [l x ]y 0 1,2,..., x 0 y 0 veya 1 1,2,..., bçmnde formüle edleblr. Bu problem de karma tamsayı programlama problemler çn varolan çözüm teknklernden bryle çözüleblr; ancak, alt sınıra bağlı kısıtın doğrusal olmaması nedenyle çözümün kolaylıkla elde edlmes mümkün değldr. Yukarıda tanımlanan problem gerçek hayatta br şletmenn değşk departmanlarından gelen yatırım proelernn desteklenmes ya da br ünverstede araştırma fonundan çeştl proelere kaynak dağıtılması bçmnde karşımıza çıkablr. Böyle durumlarda se karar verclern genellkle 95

3 olabldğnce fazla sayıda proeye olumlu yanıt vermek gb br amaçları daha vardır. Bu amaç matematksel olarak max Z 2 y 1 + y y şeklnde fade edlr. Bu amacın da yukarıdak modele eklenmesyle problemn çözümü amaç programlama teknkleryle mümkün olur. Bu çalışmada yukarıda tanımlanan çok amaçlı karar model çn br yaklaşık çözüm algortması gelştrlmş ve örnek br problem üzernde elde edlen yaklaşık optmal çözüm değşk bütçe sınırları çn tartışılmıştır. 2. YÖTEM Karar vercnn kolaylıkla benmseyebleceğ br çözüm elde edlmes amacıyla aşağıda br yaklaşık çözüm algortması önerlmştr. Başlangıçta her proe çn desteklenme oranı bu proeye ayrılan kaynağın gerekl en büyük kaynak mktarına oranı olarak (x /u ) şeklnde tanımlanmış ve proelern desteklenme oranlarının getrleryle orantılı olmaları lkes kabul edlmştr. Bu lke daha açık olarak x / u b x / u x / u veya x / u b b b bçmnde yazılır. Bu koşulun tüm proeler çn geçerl olması x1 bu 1 1 x2 x... bu b u 2 2 şeklnde blnmeyenl -1 denkleml br sstem oluşturur. Bu sstemde x 1 sabt kabul edldğnde bu x bu x 1 23,,..., 1 1 elde edlr. Ayrıca kaynak kısıtı da eştlk bçmnde dkkate alındığında x 1 + x x B denklem bçmn alır ve her x çn çözüm x bu bu bu bu x 1 B B bu bu b u bu 12,,...,

4 bulunur. Bu çözümde l x u 1, 2,..., kısıtı sağlanıyorsa, bütün proelern desteklenmesne karar verlmş ve ayrılacak kaynak mktarları belrlenmş olur. Buna karşın, kısıtlardan en az br sağlanmazsa, bulunan çözümün geçerl çözüm olmadığı anlaşılır. Bu durumda öncelkle desteklenecek proelern seçlmes ve sonra seçlen proelere kaynak tahss şeklnde k aşamadan oluşan br algortma aşağıdak gb uygulanablr. Eğer bütçe tüm proeler çn mnmum kaynak gereksnmn karşılamaya yetyorsa, tüm proelern desteklenmesne karar verlr ve algortmanın doğrudan knc aşaması uygulanır. 1. AŞAMA : Desteklenecek proelern seçlmes proesnn desteklenmes çn herşeyden önce x l olması gerekr. Daha açık olarak B bu bu b u bu l C b u b u... b u bu ya da B l olmalıdır. Bu koşulu sağlayan n proe olduğunu varsayalım. Bu n proe çn gerekl kaynakların üst sınırları toplamı bütçey aşıyorsa knc aşamaya geçlr. Aks halde, eldek proeler çn gerekl kaynakların alt sınırları toplamı bütçeden küçükse, kalan tüm proelern desteklenmesne karar verlr ve knc aşamaya bu geçlr; büyükse mn{ } olan proe sstemden çıkarılarak yenden x l bu değerler hesaplanır. mn{ } olan brden fazla proe varsa, bunlar arasından l en az kaynak gereksnm en büyük olan proe sstemden çıkarılır. Bu şlemlere knc aşamaya geçme koşulu sağlanana kadar devam edlr. 2. AŞAMA : Her proe çn ne kadar kaynak ayrılacağının belrlenmes Seçlen proeler en az alt sınırda destekleneceğne göre proes çn ayrılan kaynağın alt sınırın üstünde kalan kısmını w karar değşkenyle gösterrsek x l + w ( 1,2,...,n) olur. Bu durumda desteklenme oranı w /(u - l ) le tanımlanır. Proelern desteklenme oranlarının getrleryle orantılı olmaları lkesne göre w1 w2 wn... b ( u l ) b ( u l ) b ( u l ) elde edlr ve bütçe kısıtı n n n

5 B x 1 + x x n (l 1 -w 1 ) + (l 2 -w 2 ) (l n -w n ) bçmn alır. Sonuç olarak çözüm w B ( l1 + l ln ) b (u l ) 12,,...,n b ( u l ) + b ( u l ) b ( u l ) n n n formülüyle belrlenr. Bu çözümün geçerl olması çn w u - l olması gerekr. w u - l se ya da daha açık olarak C 2 b1( u1 l1) + b2( u2 l 2) bn( un ln) b B ( l + l l ) 1 2 koşulunu sağlayan proe varsa, getrs en yüksek olan proe çn w u - l (kısaca x u ) alınır ve dğer proeler çn kalan bütçe yenden paylaştırılır. Böyle br durum ortaya çıkmazsa, elde edlen çözüm yaklaşık optmal çözümdür. 3. ÖREK Yukarıda önerlen algortmanın nasıl şledğn ncelemek amacıyla on proe önersnn dkkate alındığı br kaynak tahss problem gelştrlmş ve proelern getrler, gerekl kaynak mktarları ve değşk bütçe kısıtları çn yaklaşık optmal çözümler Tablo 1 de verlmştr. Bu problemde bütün proelern destekleneblmes çn gerekl mnmum bütçe kısıtlaması 5720(x10 6 ) lradır. Bu nedenle bütçe kısıtlamaları sırasıyla 4000, 5000, 6500 seçlmştr. Tablo1. Örnek Problem Ver ve Sonuçları Proe J b l (x10 6 ) u (x10 6 ) b u /l B (x10 6 ) İçn çözüm B (x10 6 ) çn çözüm B (x10 6 ) çn çözüm 1 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Toplam B olduğunda bütün proeler en az alt sınırda desteklemek mümkün olduğu çn doğrudan 2. aşamaya geçlr. C 2 1,56 hesaplanır ve bu değer bütün b lerden büyük olduğu çn x değerler kolaylıkla bulunur. 98 n

6 B olduğunda, C 1 0,97 bulunur; 1. ve 2. proe seçlr; u 1 +u 2 <5000 olduğundan 10. proe sstemden çıkarılarak yenden C 1 değer hesaplanır. Benzer şeklde 8. ve 9. proe de sstemden çıkarıldıktan sonra, eldek bütçe kalan yed proenn en azından alt sınırda desteklenmesne yettğ çn 2. aşamaya geçlr. C 2 3,89 bulunduğundan x değerler kolaylıkla elde edlr. B olduğunda, C 1 1,22 bulunur; yne 1. ve 2. proe seçlr; u 1 +u 2 <4000 olduğundan 10. proe sstemden çıkarılarak yenden C 1 değer hesaplanır. Benzer şeklde 8. ve 9. proe de sstemden çıkarıldıktan sonra, 5. veya 7. proelerden brnn daha sstemden çıkarılması gerekr. Bu durumda en az kaynak gereksnm daha yüksek olan 5. proenn sstemden çıkarılması terch edlr. Eldek bütçe kalan altı proenn en azından alt sınırda desteklenmesne yettğ çn 2. aşamaya geçlr. C 2 1,89 bulunduğundan x değerler hesaplanır. 4. SOUÇ Bu çalışmada tanımlandığı bçmyle karşılaşılan br kaynak tahss problemnde proeler az sayıdaysa, varolan matematksel programlama teknkler ve eldek blgsayar olanaklarından yararlanarak problemn kesn çözümünü elde etmek mümkün olablr. Buna karşın, proe sayısı bu olanakları kullanmaya zn vermeyecek kadar çok olduğunda, yukarıda verlen algortma aracılığıyla br yaklaşık çözüm kolaylıkla bulunablr. KAYAKÇA Acar A. (1989). Lnear Programmng for Manageral Decsons, ODTÜ, Ankara. Moralı. (1994). Usng AHP n Prortzaton of the Procurement Proposals n Unverstes, Proceedngs of the 3 rd Internatonal Symposum on the Analytc Herarchy Process, Wasngton D.C., ss Kwak.K. ve Dmnne, C.B. (1987). A Goal Programmng Model for Allocatng Operatng Budgets of Academc Unts, Soco-Economc Plannng Scences, c. 21, ss

Benzer belgeler

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır.

kadar ( i. kaynağın gölge fiyatı kadar) olmalıdır. KONU : DUAL MODELİN EKONOMİK YORUMU Br prmal-dual model lşks P : max Z cx D: mn Z bv AX b AV c X 0 V 0 bçmnde tanımlı olsun. Prmal modeln en y temel B ve buna lşkn fyat vektörü c B olsun. Z B B BB c X