ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP. Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2006"

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LISANS TEZİ MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 26 Her hakkı saklıdır

2 Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT u daışmalığıda, Serhat DUMAN tarafıda hazırlaa bu çalışma 27/2/26 tarihide aşağıdaki jüri tarafıda oybirliği ile İstatistik Aabilim Dalı da yüksek lisas tezi olarak kabul edilmiştir. Başka : Prof. Dr. Müslim EKNİ Gazi Üiversitesi, İstatistik Aabilim Dalı Üye : Yrd. Doç Dr. İhsa KARABULUT Akara Üiversitesi, İstatistik Aabilim Dalı Üye : Yrd. Doç Dr. Halil AYDOĞDU Akara Üiversitesi, İstatistik Aabilim Dalı Yukarıdaki soucu oaylarım Prof. Dr. Ülkü MEHMETOĞLU Estitü Müdürü

3 ÖZET Yüksek Lisas Tezi MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP Serhat DUMAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dalı Daışma : Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT Efro (982), gözlemleri birbiride bağımsız ayı dağılımlı olması durumuda, istatistikleri bilimeye öreklem dağılımlarıı tahmi edilmesi problemie çözüm yolu olarak, bootstrap metoduu öermiştir. Acak markov bağımlılığı ile taımlı markov zicirleri içi bootstrap metoduu kulaılabilir olup olmadığı sorusu öemli bir problem olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu çalışmada Markov bağımlılığı ile taımlı solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleri içi Basawa et al. (99) i bootstrap tekikleri ile ilk uğrama zamaı rasgele değişkei içi Kulperger ad Rao (989) u çalışmaları açıklamaya çalışılmıştır. 26, 54 sayfa ANAHTAR KELİMELER: Markov ziciri, bootstrap, geçiş matrisi, geçiş olasılıkları, koşullu bootstrap, ilk uğrama zamaı i

4 ABSTRACT Master Thesis BOOTSTRAPPING MARKOV CHAINS Serhat DUMAN Akara Uiversity Graduate School of Natural ad Applied Scieces Departmet of Statistics Supervisor : Asst. Prof. Dr. İhsa KARABULUT Efro (982) proposed the bootstrap method as a way to solve the problem of estimatig ukow samplig distributios of statistics, whe the observatios are idepedet ad idetically distributed. Howewer, for markov chais, which are defied by markov depedece, the questio if it is possible to use bootstrap method for markov chais, becomes a importat problem, which we are faced with. I this study, for ergodic markov chais, which are defied by markov depedece ad has a fiite state space, the bootstrap techiques of Basawa et al. (99) ad for the hittig time radom variables the works of Kulperger ad Rao (989) are tried to explai. 26,54 pages KEY WORDS: Markov chai, bootstrap, trasitio matrix, trasitio probabilities, coditioal bootstrap, hittig time ii

5 TEŞEKKÜR Başta baa duyduğu güve ile her zama destek ola, bilgisii beimle cömertçe paylaşa, her aşamada bei öerileri ile yöledire ve böylece bu çalışmaı ortaya çıkmasıı sağlaya sayı hocam Yrd. Doç. Dr. İhsa KARABULUT a (Akara Üiversitesi Fe Fakültesi İstatistik Bölümü), ayrıca tüm İstatistik bölümü hocalarım ve çalışalarıa, her zama yaımda ola eşim ve aileme, çalışmam boyuca maddi ve maevi emeği geçe herkese teşekkürü borç bilirim. Serhat DUMAN Akara, Şubat 26 iii

6 İÇİNDEKİLER ÖZET...i ABSTRACT. ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ.. vi SEKİLLER DİZİNİ vi ÇİZELGELER DİZİNİ... vii. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Markov Süreci Geçiş Olasılıkları ve Chapma- Kolmogorov Deklemi Durumları Sııflaması Klasik Bootstrap Yötemi ve Algoritması MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP YONTEMİ UYGULAMA Markov Ziciride Adım Sayısı Ola Bir Gerçekleşmesii Simülasyou Markov Ziciride Bootstrap Yötemie İlişki Uygulamalar SONUÇ..52 KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

7 SİMGELER DİZİNİ i ij F * x sup mi maks İMKB TCMB P P ˆ i. adımda yapıla geçişleri sayısı i. adımda j. adıma geçişleri sayısı Empirik dağılım foksiyou Bootstrap öreklemi Supremum Miimum Maksimum İstabul Mekul Kıymetler Borsası Türkiye Cumhuriyet Merkez Bakası Bir adım geçiş olasılıkları matrisi Markov zicirii birimlik gerçekleşmesie dayalı P i e çok Q ˆ olabilirlik tahmi edicisi T S {,..., k} Bir adım geçiş olasılıkları matrisii bootstrap tahmii = durum uzayı içi k. duruma ilk uğrama zamaı rasgele hhhy log L δ ij I D P değişkei Heme heme heryerde Doğal logaritma Olabilirlik foksiyou Kroecker delta Gösterge foksiyou Dağılımda yakısama Olasılıkta yakısama v

8 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 2. Şekil 4. Bir idirgeemez markov zicirii sııfladırılması..3 4.duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımı..43 Şekil 4.2 IMKB verileri kullaıldığıda 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımı vi

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 2. Markov süreçlerii durum uzayıa ve parametre uzayıa göre sııfladırılması.. 4 Çizelge 4. Markov zicirii = adım sayısıa sahip bir gerçekleşmesi...4 Çizelge 4.2 Markov zicirii = 25 adım sayısıa sahip bir gerçekleşmesi...42 Çizelge 4.3 İMKB edeksii 24 yılıa ait değerleri...46 Çizelge 4.4 İMKB edeksii 24 yılıa ait logaritmik getiri değerleri.48 Çizelge 4.5 İMKB edeksii 24 yılı kodlamış logaritmik getiri değerleri.5 vii

10 .GİRİŞ Üzeride çalışılmakta ola kitlei parametreleri hakkıda bir bilgiye sahip olamadığımız acak sadece o kitleye ait bir öreklemi gözlemleebildiği durumlarda simülasyoda farklı olarak bootstrap metodu o kitlei bilimeye parametrelerie ait tahmileri yapılması, güve aralıklarıı oluşturulması, istatistiksel hipotezleri test edilmesi problemleride çözüm yolları suabilmektedir. Ayrıca Efro u bootstrap metodu bilie bir kitlede gözlemlemiş ola öreklemi birbiride bağımsız ayı dağılımlı olması koşulu altıda aalitik olarak elde edilmesi güç ola çeşitli tahmi edicileri öreklem dağılımlarıa yaklaşımda buluabilmek içi kullaışlı bir araç olarak görülmektedir. Acak bazı rasgele olguları modellemeside bağımsızlık varsayımıda bulumak söz kousu olmayabilir. Markov bağımlılığı ile taımlı markov zicirleride görüle böyle bir durum karşısıda bootstrap metoduu kulaılabilir olup olmadığı sorusu öemli bir problem olarak karşımıza çıkmaktadır. Bu çalışmaı kousu markov ziciri oluşturduğu bilie rasgele süreçler içi bootstrap yötemii kullaımıı icelemektir. Çalışmaı ikici bölümü bazı temel bilgiler içi ayrılmıştır. Bu bölümde markov süreci geçiş olasılıkları ve Chapma- Kolmogorov deklemi, durumları sııflaması ile klasik bootstrap yötemi ve algoritmasıa ilişki bazı temel bilgilere ve souçlara yer verilmiştir. Üçücü bölümde solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleride geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii hesaplaması ve asimptotik dağılımı üzeride durulmuş, solu durum uzayıa sahip ergodik markov ziciride geçiş matrisii veya tahmi edicisii öreklem dağılımıı bootstrap tahmii ile ilgili Basawa et al. (99) ı çalışmalarıa yer verilmiştir. Ayrıca geçiş matrisii bootstrap tahmiii yığı dağılımıa yaklaşım hızları ile ilgili Datta ad McCormick (992) i değerledirmelerie yer verilmiştir. Daha sora özel bir uygulama olarak solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleri içi k.cı duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımıı bootstrap tahmii ile ilgili Kulperger ad Rao (989) u çalışmaları kou edilmiştir.

11 Dördücü bölümde ise ilk olarak dört durumlu ve geçiş matrisi bilie bir ergodik markov ziciride adımlık bir gerçekleşmei simülasyouu asıl yapıldığı kousua değiilmiş, daha sora geçiş matrisi bilie zicirde bir öreklem gözleerek, geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii kullaarak bootstrap tahmileri Basawa et al. (99) i öerdiği koşullu bootstrap ve stadart bootstrap yötemleri kullaılarak yapılmıştır. Ayrıca, bu markov ziciri içi 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımı stadart bootstrap yötemie göre elde edilmiştir. Daha sora 24 yılıa ait İMKB edeksi i logaritmik getirilerii kullaılmasıyla E = {, 2, 3, 4} durum uzayıa sahip ergodik bir markov ziciri olduğu varsayılmış ve bu zicirde 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii örekleme dağılımıı bootstrap tahmii yapılarak ulaşıla souçlara ilişki grafiklere yer verilmiştir. 2

12 2. KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde tezi daha alaşılır olması içi gerekli bazı temel bilgiler verilecektir. Bu sebeble markov süreci geçiş olasılıkları ve Chapma-Kolmogorov deklemi markov ziciride durumları sııfladırılması ve bootstrap yötemi ile ilgili bazı temel kavramlar suulmaktadır. 2.. Markov Süreci Taım 2..{ X, t T}, ayı olasılık uzayıda taımlı X t rasgele değişkelerii t bir sııfı olmak üzere bu sııfa bir stokastik süreç deir. Burada T kümesi parametre kümesi olarak adladırılır. T kümesi solu veya sayılabilir ise bu sürece kesikli parametre stokastik süreci, şayet T kümesi sayılamaz ise bu sürece sürekli parametre stokastik süreci adı verilir. Taım 2..2{ : t T } bir stokastik sürec olsu. t < t 2 < < X t t koşuluu sağlaya her t, t 2,..., t T, =,2,... içi ( Xt x ) ( ) Xt x X t x X 2 2 t x X t x Xt x = Pr,,..., Pr eşitliği sağlaıyorsa { t T } X t : stokastik sürecie markov süreci adı verilir. Taım 2..3{ : t T } stokastik sürecide x R olmak üzere X t ( x h X x h) Pr < < + > h > t eşitsizliğii sağlaya t T buluabiliyorsa x' e bu stokastik süreci bir durumu adı verilir. Bütü durumları oluşturduğu kümeye bu süreci durum uzayı adı verilir (Parze 962). 3

13 Parametre uzayıı kesikli ve sürekli olarak ayırabildiğimiz şekilde durum uzayıı da kesikli ve sürekli olarak ayırmak mümküdür. { t T } X t : stokastik sürecii durum uzayı E olsu. E kümesi solu veya sayılabilir ise bu sürece kesikli durum süreci şayet E kümesi sayılamaz ise bu sürece sürekli durum süreci adı verilir. Markov süreçleri durum uzayıa ve parametre uzayıa göre 4 temel başlık altıda sııfladırılabilir. Bu sııfladırma çizelge 2. de gösterilmektedir. Çizelge 2. Markov süreçlerii durum uzayıa ve parametre uzayıa göre sııfladırılması DURUM UZAYI Kesikli Sürekli PARAMETRE Kesikli Kesikli Parametreli Markov Ziciri Kesikli Parametreli Markov Süreci UZAYI Sürekli Sürekli Parametreli Markov Ziciri Sürekli Parametreli Markov Süreci Taım 2..4 { t T } X t sayılabilir olmak üzere : bir stokastik süreç olsu. E durum uzayı solu veya ( X = j X X X ) = ( X = j X ) j E t T Pr,,..., Pr t+ t t+ t ise { t T } X t : stokastik sürecie markov ziciri adı verilir. Yukarıdaki taıma göre bir markov zicirii X t rasgele değişkei verildiğide X, X,..., X t rasgele değişkeleride koşullu olarak bağımsız ola t+ X rasgele değişkelerii bir dizisi olduğu söyleebilir (Çılar 975). Daha açık bir ifade ile markov ziciri, süreci şimdiki durumu X t bilidiğide bir soraki durum ola X t+ süreci geçmiş durumları ola X, X,..., X t rasgele değişkeleride bağımsız olma 4

14 özelliği ola rasgele değişkelere sahip bir stokastik süreçtir. Bu özellik literatürde markov özelliği olarak bilimektedir (Ross 996) Geçiş Olasılıkları ve Chapma-Kolmogorov Deklemi Kesikli parametre uzayıa sahip { t T } X t : markov zicirii olasılık yasasıı taımlayabilmek içi aşağıdaki olasılık foksiyolarıa ihtiyacımız vardır (Parze 962). Taım 2.2.{ X : =,,... } bir markov ziciri olsu. π ( ) = Pr ( X j) j = ve j E (2.2.) ile verile ( ) adı verilir. π foksiyoua{ : t T } markov zicirii olasılık foksiyou j X t X = bir markov ziciri olsu. m, T öyleki Taım { :,,... } m, ve j, k Eiçi ( ) ( ) p jk, m, = Pr X = k X m = j (2.2.2) ile verile p ( m ) foksiyou { t T } jk,, foksiyou veya geçiş olasılık foksiyou olarak adladırılır. X t : markov zicirii koşullu olasılık Kesikli parametre uzayıa sahip { t T } X t : markov zicirii q bileşeli ortak olasılık foksiyouu (2.2.) ve (2.2.2) de taımlaa foksiyolar yardımı ile asıl belirleebileceği aşağıda gösterilmektedir. q N içi < 2 < < q zamalar ve k k 2 k q durumlar olmak üzere Pr( X = k, X = k,..., X = k ) 2 2 q q 5

15 Pr( X ) Pr(,..., ) = k X = k X = k = *...* q q * Pr( X = k, X = k 2 2,..., X = k ) q q Pr( X = k ) Pr( X = k,..., X = k ) q q Pr( X = k, X = k 2 2) Pr( X = k, X = k 2 2,..., X = k ) q q = Pr( X = k ) * * * Pr( X = k ) Pr( X = k, X = k,..., X = k ) 2 2 q q = Pr( X = k ) * Pr( X = k X = k ) * * Pr( X = k X = k,..., X = k ) 2 2 q q q q = Pr( X = k ) * Pr( X = k X = k ) * * Pr( X = k X = k ) 2 2 q q q q = k π ( )* pk, k 2 (, 2) * * pk (, ) q, k q q q q bileşeli ortak olasılık foksiyouu süreci markov özelliği kullaılarak (2.2.) ve (2.2.2) de taımlaa foksiyolar yardımı ile bulumuş olur. Taım Eğer bir{ X : =,,... } markov zicirii geçiş olasılık foksiyou ( ) ( ) p, m, = Pr X = k X = j sadece m farkıa bağlı ise bu markov ziciri jk m homoje markov ziciri, zamaa göre homoje markov ziciri ya da durağa geçiş olasılıklı markov ziciri deir. Taım { t T } X t : bir homoje markov ziciri olsu. ( ) ( + ) p, = Pr X = k X = j, t, T jk t t foksiyoua homoje markov zicirii -adımlı geçiş olasılık foksiyou adı verilir. { t T } X t : homoje markov zicirii i. durumda başlayarak adım sora j. durumda buluması içi l adım sora k gibi bir adımda buluması ve sora da k. durumda j. duruma -l adımda ulaşmasıı gerektirmektedir. Bu bağıtıyı göstere 6

16 dekleme Chapma-Kolmogorov deklemi adı verilmekte olup aşağıdaki şekilde gösterilmektedir. p ( ) = p ( l)* p ( l) ; i, j E ve,l öyleki l > t i, j i, k k, j k E Chapma-Kolmogorov deklemii elde edilmesi ise aşağıdaki gibi olmaktadır. pi, j( ) = Pr( X = j X = + i) = Pr( X = j X = i) t t = l k E Pr( X = jx, = k X = i) Pr( X = jx, = kx, = i) Pr( X = i) l = k E Pr( X = jx, = kx, = i) Pr( X l = k, X = i) * Pr( X = i) Pr( X = k, X = i) l = k E l Pr( X = j, X = k, X = i) Pr( X = k, X = i) Pr( X = k, X = i) Pr( X = i) l l = * k E l Pr( X = j X = k, X = i)*pr( X = k X = i) = l l k E Pr( X = j X = k)*pr( X = k X = i) = l l k E p ()* l p ( l) = ik, k, j k E Markov Zicirii homoje olarak kabul etmek hesaplamalar açısıda fayda sağlarke ayı zamada kuramı geellemekte de bir kayıba yol açmamaktadır (Çılar 975). Bu 7

17 sebeble aksi belirtilmedikçe tezi buda soraki bölümleride { : t T } stokastik sürecii homoje markov ziciri olduğu varsayılacaktır. Bilidiği gibi { t T } X t : markov zicirii homoje olması demek ( ) ( ) p, m, = Pr X = k X = j olasılığıı sadece m farkıa bağlı olması jk m alamıa gelmektedir. Buu başka bir şekilde X t j, ( m ) = ( ) p k p jk, m, = Pr ( X = k Xm = j) olarak ifade edebiliriz. Taım i, j E içi taımlı p, sayıları i j a- pi, j i, j E b- p i, j= j E j şartlarıı sağlıyorsa P= ( p i, j ) ile verile P matrisie E üzeride taımlı bir markov matrisi deir (Çılar 975). { : t T } durum uzayı { } X t,,... kümesi ola bir homoje markov ziciri ve p, bu ziciri bir adım geçiş olasılıkları olmak üzere bir adım geçiş olasılıkları matris formuda i j P p, p,... p, k... p p... p...,,, k = ( pi, j) = M M L M L pm, pm, L pm, k L M M L M L 8

18 şekilde gösterilebilmektedir. P matrisi bu markov zicirii geçiş matrisi olarak adladırılmaktadır. Ayrıca P geçiş matrisii geçiş olasılıkları p i, j {,,2,... } a-, i j i j j {,,2,... } j b- p, = şartlarıı sağlamaktadır. Böylece bir markov zicirii geçiş matrisi bir markov matris olmaktadır (Çılar 975). 2.3 Durumları Sııfladırılması { X,, = } kesikli parametreli bir markov ziciri olsu. Ziciri herhagi bir durumuda diğer bir duruma geçişi olup olmamasıa göre, bu ziciri süreç boyuca asıl bir gelişim içide olacağıı icelemek içi durumları sııfladırılmasıa ihtiyaç duyulur. Taım 2.3. Bazı N tamsayısı içi p, ( N ) > oluyorsa j. duruma i. durumda ulaşılabilir (accessible) durum adı verilir ve i i j j olarak gösterilir. j. durum i. durumda erişilebilir ve i. durum j. durumda erişelebilir ise i. ve j. durumlar iletişimli (commuicate) durumlar olarak adladırılır ve i j olarak gösterilir. bağıtısı E üzeride bir deklik bağıtısıdır. Bu bağıtı ile herbir i durumu içi bir deklik sııfı oluşturulur. Deklik bağıtısıı özellikleride dolayı durumları herhagi iki sııfı ya ayıdır ya da ayrıktır. Böylece iletişimlilik kavramı durum uzayıı bir takım ayrı sııflara böler. Ziciri tek bir deklik sııfıı olmasıa göre aşağıdaki taımlama yapılabilir. Taım { X,,,... = } markov zicirii E durum uzayı bir tek deklik sııfıda oluşuyor, yai i, j S içi i j ise markov ziciri, idirgeemez deir. 9

19 Bir markov zicirii zama içideki gelişimii icelemek içi ziciri durumlarıı sayılamaz yada sayılabilir sıklıkta geçişe sahip olmalarıa göre sııflamak mümküdür. Bu edele bir durumu meşgul olma zamaı (occupatio time) kavramı ortaya çıkmaktadır (Parze 962). Taım i herhagi bir durum olmak üzere N içi ilk adımda ziciri i. durumda buluma sayısıı, Ni( ) olarak gösterelim. Ni( ), i. durumu ilk adımdaki meşgul olma zamaı (occupatio time) olarak adladırılır. N ise i. durumu toplam meşgul olma zamaı, ya da ziciri i durumuda buluduğu adımları (zamaları) sayısı olarak taımlaır. i Yukarıdaki taımda N ( ) = lim N ( ) i i olduğu açıktır. Markov zicirii başlagıçta i. durumda olduğu bilidiğide j. durumaa kesi olarak geçiş yapmasıı olmasıı koşullu olasılığı ve j. duruma sosuz sıklıkta geçiş yapmasıı koşullu olasılığı sırasıyla fi, j= P N j( ) > X = i ve gi, j= P N j( ) = X = i olarak taımlaır.

20 Markov zicirlerii asimptotik davraışlarıı icelemek içi haberleşe durumları kapalı yada kapalı olmamalarıa göre sııflamak gerekmektedir. Bu edele bir durumu tekrarlı yada geçişli durum olduğu kavramı ortaya çıkmaktadır (Parze 962). Taım i. durumda başlaya markov zicirii i durumua geri döme olasılığı, yai f ii, = ise i. durum tekrarlı durum olarak adladırılır. i. durumda başlaya ziciri i durumua asla geri dömemesi olasılığı ola - f ii, pozitif, yai f ii, < ise i durumua geçişli durum deir (Parze 962). Taım { X N} durum uzayı E {, 2,..., k}, = ola bir markov ziciri olmak üzere olmak üzere Vk ( ) ziciri ilk defa. adımda k durumua girmesi olayı, yai V ( ) = ( X = k, X k, m =,2,..., ) k m olsu. Bu durumda f ( ) = P( V ( ) X = j) jk, k ile taımlaa f, ( ) olasılığıa zicir başlagıçta j durumuda ike k durumua ilk jk defa. adımda geçmesi olasılığı deir. Durum uzayı E {,2,..., k} = ola idirgeemez bir markov ziciride verile j ve k f = olasılıkları bir olasılık dağılımı oluşturur (Parze durumları içi { jk, ( ),,2,... } 962). m = f jk, jk, = ( ) diyelim. m jk,, j de başlaya ziciri ilk defa k durumua giriceye kadar geçe beklee (ortalama) zamadır.

21 Taım { X N}, markov ziciride herhagi bir tekrarlı k durumu içi m f = ( ) < kk, kk, = ise k. duruma etkili tekrarlı durum deir. Eğer yukarıdaki seri ıraksak ise k. duruma etkisiz tekrarlı durum adı verilmektedir. Taım İdirgeemez bir markov zicirii k. durumuu peryodu { kk, } d( k) = OBEB : p ( ) > ile taımlaa dk ( ) sayısıa, yai p, ( ) > şartıı sağlaya doğal sayılarıı kk kümesii ortak böleleri e büyüğüe k. durumu peryodu deir. Eğer bir durumu peryodu ise o durum aperiyodik olarak adladırılır (Parze 962). Bir idirgeemez markov zicirii tüm durumları etkili tekrarlı ve aperiyodik ise o zicire ergodik markov ziciri deir. Yukarıda kesikli parametreli markov zicirii durumlara göre sııfladırılması ele alımıştır.taımlamalar çerçeveside bir idirgeemez markov zicirii durumlara göre sııfladırılmasıı aşağıdaki tablo yardımı ile özetlemek mümküdür (Parze 962). 2

22 Şekil 2. Bir idirgeemez markov zicirii sııfladırılması (Parze962) İdirgeemez Markov Ziciri Geçişli Tekrarlı Etkisiz Tekrarlı Etkili Tekrarlı Aperiyodik Periyot= Periyodik Periyot> 2.4 Klasik Bootstrap Yötemi ve Algoritması Bootstrap tekiği bootstrap öreklemi olarak taımlaa, eldeki öreklemi yeide örekleyerek veya bu örekleme dayalı bir modeli kullaarak bir tahmi edicii veya bir test istatistiğii dağılımıı tahmi etmek veya dağılımıa yaklaşımda bulumak içi kullaıla bir yötemdir. ˆF, X, X2,..., X birbiride bağımsız ayı dağılımlı rasgele değişkeleri olasılıkla gözlemlediği ampirik dağılım foksiyou olmak üzere ˆF dağılımıda birimlik rasgele bir öreklemi * * * * X = ( X, X2,..., X ) olarak gösterelim. X = ( X, X,..., X ) öreklemi bootstrap öreklemi olarak taımlamaktadır. * * * * 2 X = ( X, X,..., X ) de yapıla gözlem soucuda elde edilecek gözlemi * * * * 2 * * * * x = ( x, x2,..., x ) olarak gösterelim. Başka bir deyişle, bootstrap öreklemi X = ( X, X,..., X ) de gözlee birimlik * * * * 2 bir gerçekleşmesi x = ( x, x2,..., x ) değerleride yerie koyarak birimlik rasgele 3

23 öreklem çekilmesi soucuda oluşmaktadır. Bu sebeble bootstrap öreklemii gözlem değerleri x = ( x, x2,..., x ) orjial gözlemleride oluşmakta olup bu gözlemleri bazıları bootstrap öreklemide hiç bulumayabilmekte bazıları bir kere buluabilmekte bazıları da bir kerede fazla buluabilmektedir (Efro ad Tibshirai 993). birimlik rasgele bir öreklemi gözlem değerleri * x, bir bootstrap öreklemi olmak üzere ˆ θ = sx ( ) istatistiğii stadart sapması σ ı tahmii içi bootstrap algoritması aşağıdaki şekilde olacaktır. x = ( x, x,..., x ) öreklemide yerie koyarak seçilmiş birimlik. 2 2 * * * birbiride bağımsız B tae, x, x,..., x olarak adladırala, bootstrap öreklemi seçilir. B 2. ˆ * ( ) ( * b s x b ) θ = b=,2,..., B olacak şekilde her bir bootstrap öreklemi içi istatistiği değerleri hesap edilir. 3. Herbir bootstrap öreklemi içi bulua değerleri stadart sapması ˆ θ = olmak üzere ˆ θ ı tahmii içi X öreklemie dayalı stadart B B ˆ* (.) θ ( b) b= sapmasıı bootstrap tahmii ˆ σ B ( ˆ θ( b) ˆ θ(.) ) 2 2 B = b= B olarak hesap edilir. 4

24 ˆ θ = sx ( ) istatistiği stadart sapmasıı bootstrap yötemie göre tahmii, σ olmak üzere σ = lim ˆ σ B B dır (Efro ad Tibshirai 993). 5

25 3. MARKOV ZİNCİRLERİNDE BOOTSTRAP YÖNTEMİ Efro (982), gözlemleri birbiride bağımsız ayı dağılımlı olması durumuda, istatistikleri bilimeye öreklem dağılımlarıı tahmi edilmesi problemie bir çözüm yolu olarak, bootstrap metoduu öermiştir. Klasik bootstrap yötemii, birçok istatistiği öreklem dağılımlarıa, rasgele değişkeleri birbiride bağımsız ayı dağılımlı olması durumuda, tutarlı yaklaşımlarda buluulduğu görülmüştür. Acak rasgele değişkeleri her zama birbiride bağımsız olması söz kousu değildir. Böyle bir duruma örek olarak gözlemleri m-bağımlı olması gösterilebilir. Klasik bootstrap yötemii temeli ola birbiride bağımsız ve ayı dağılımlı yeide örekleme, m- bağımlı dataı öreklem ortalamasıı dağılımıı tahmi edilmesi problemide, rasgele olguu bağımlılık yapısıı yasıtmadığı, Liu ad Sigh (988) tarafıda gösterilmiştir. Klasik bootstrap yötemi kullaılarak elde edile bootstrap tahmilerii tutarsız olduğu görülmüştür. Bu soruu aşılmasıa yöelik Liu ad Sigh (988), Shi ad Shao (988) makaleleride hareketli bloklarla bootstrap adı verile yeide örekleme yötemii kullamışlardır. Bezer olarak markov bağımlılığıı görüldüğü markov zicirleride geçiş olasılıklarıı tahmi edilmesi ve ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımıı tahmi edilmesi problemlerie çeşitli bootstrap yötemleri öerilmiştir. Solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleri içi, Basawa et al. (99) makaleleride geçiş olasılıklarıı tahmii problemi içi koşullu bootstrap adıı verdikleri metodu kullaarak geçiş sayılarıı bilimesi koşulu altıda elde edile geçiş olasılıklarıı bootstrap tahmileri ile tutarlı yaklaşımlarda buluduklarıı göstermişlerdir. Ayrıca klasik bootstrap yötemii kullaılmasıyla tutarlı yaklaşımlar elde edilebileceğii göstermişlerdir. Kulperger ad Rao (989) makaleleride solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleride ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii örekleme dağılımıı bootstrap tahmiii yaparak, tahmii asimptotik olarak geçerli olduğuu göstermişlerdir. Datta ad McCormick (99) makaleleride Basawa et al. (99) i öerdiği koşullu bootstrap yötemii yaklaşım hızları üzeride durarak olası e iyi yaklaşım hızıı O( ) olduğuu göstermişlerdir. 6

26 Ayrıca makaleleride birbiride bağımsız ayı dağılımlı öreklemeye dayalı yei bir bootstrap metodu öererek, stadartlaştırılmış p ˆij geçiş olasılıklarıı kullaılması ve p ij geçiş olasılıklarıı irrasyoel olması koşulu altıda etmişlerdir. o( ) yaklaşım hızıı elde Sayılabilir durum uzayıa sahip markov zicirleri içi Athreya ad Fuh (989) makaleleride üç farklı bootstrap metodu öermişlerdir. Öerdikleri yötemleri kullaarak tahmi edicileri asimptotik olarak tutarlı olduklarıı göstermişlerdir. Tezi bu bölümüde, solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirleride geçiş matrisii klasik bootstrap yötemi ve koşullu bootstrap yötemi kullaılarak tahmi edilmesi kousuda Basawa et al. (99) i çalışmalarıa değiilecektir. Ayrıca ayı markov zicirleri içi ilk uğrama zamaı rasgele değişkeleri ile ilgili Kulperger ad Rao (989) u çalışmalarıda bahsedilecektir. { X; } stokastik süreci durum uzayı S = {,2,..., k}, k 2 ve geçiş matrisi P= ( p ij ) ola bir ergodik markov ziciri olsu. Süreci zamaıa kadar gözlemlemesi soucudaki gerçekleşmesii x = ( x, x,..., x ) olarak gösterelim. + uzuluğudaki bu gözleme dayalı olabilirlik foksiyou, L, aşağıdaki gibi olacaktır. L = Pr( X = x ).Pr( X = x X = x )...Pr( X = x X = x ) { X; } stokastik süreci durum uzayı S = {,2,..., k}, k 2 ola bir ergodik markov ziciri seçilmesii sebebi π j k >, π = j = j π k = π p ve i S içi j i ij i = p ( ) ij π j olmak üzere 2 kayaklamaktadır (Fuh 993). ( π, π,..., π ) değişimsiz olasılık ölçüsüü varolmasıda k 7

27 Teorem 3. i içi π i markov zicirii ilk durum olasılıkları olmak üzere i π hhhy i olacaktır (Athreya ad Fuh 992). Ayrıca teorem 3. de dolayı π i tahmi edicisi π i i tutarlı bir tahmi edici olduğu görülmektedir. x x x x = (,,..., ) öreklemide i. adımda j. adıma tek adımda geçişleri i j olarak ve bu adımları sayısıı ij ile gösterirsek olabilirlik foksiyouu 2 k t t t t t t L= Pr( X = x ). Pr( X = X = ). Pr( X = 2 X = )... Pr( X = k X = ) k t t t t t t Pr( X = X = 2). Pr( X = 2 X = 2)... Pr( X = k X = 2)... k k2 kk t t t t t t Pr( X = X = k). Pr( X = 2 X = k)... Pr( X = k X = k) k = Pr( X = x ). Pr( X = j X = i) t t i, j ij olarak yazabiliriz. Faktorizasyo teoremide dolayı sayısı 2 k tae ola ij leri oluşturduğu küme, geçiş matrisi P= ( p ij ) içi yeterli istatistik olmaktadır. k Pr( X t = jxt = i) =, i, j S olması halide yai i. durumda diğer durumlara tek j= adımda mutlaka bir geçiş olması halide P= ( p ij ) i e çok olabilirlik tahmi edicisi Pˆ = ( pˆ ij ), i. adıma geçişleri sayısı i = ij olmak üzere j 8

28 pˆ ij ij = (3.) i olacaktır (Basawa ad Rao 98). p ij geçiş olasıklarıı e çok olabilirlik tahmi edicisi buluurke k log( L) = log(pr( X = x )) + log( Pr( X = j X = i) ) ij t t i, j = log(pr( X = x )) + log(pr( X = j X = i)) ij t t i, j ifadesii p ij geçiş olasıklarıa göre maksimizasyou yapılmaktadır. Bu optimizasyo sırasıda log(pr( X = x)) i ilk durum olasılığıı logaritması p ij geçiş olasılıkları hakkıda bilgi verici olmadığı varsayılmakta olup büyük değerleri içi bu katsayıı etkisi gözardı edilebilmektedir (Basawa ad Rao 98). p ˆij ; geçiş olasılıklarıı e çok olabilirlik tahmi edicisii asimptotik dağılımı icelediğide φ = ( p, p2,..., pk, p2, p22,..., p2k..., pk, pk2,..., pkk) 2 k boyutuda parametre vektörü, ˆ φ = ( pˆ, pˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2,..., pk, p2, p22,..., p2k,..., pk, pk2,..., pkk) 2 k boyutuda tahmi vektörü, Σ ı elemaları δ ij Kroecker delta olmak üzere ( ( pij pij p )) σ = δ δ içi, π * * * * * * ij, i j ii jj i j i ( ˆ φ φ) D 2 (, Σ ) N k olacaktır (Basawa ad Rao 98). 9

29 Sabit bir i değeri içi (,,..., ) vektörü olasılıkları (,,..., ) i i i2 ik i i2 ik p p p ve ideksi i i2 ik =,,..., ola multiomial dağılımlı bir vektör olarak davramaktadır. Geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii tutarlılığı ve yukarıda ifade edile asimptotik ormal dağılma özelliği buluurke multiomial dağılımlı olma özelliğide yararlaılmaktadır (Basawa ad Rao 98). Geçiş matrisi P ola { X ; } solu durum uzayıa sahip ergodik markov zicirii gözlemesi soucuda elde edile gerçekleşmesi x { x x x } =,,..., ve geçiş matrisi P i bu gerçekleşmeye dayalı e çok olabilirlik tahmi edicisi P ˆ P(, x) olsu. Tahmii yapılmak istee bir parametre G ve bu parametrei x gözlemie dayalı tahmi edicisi G ˆ olsu. yötemie göre yaklaşımı aşağıdaki gibi olmaktadır. R( xg, ) = ( Gˆ G) i öreklem dağılımıı bootstrap () P ˆ geçiş matrisie dayalı adımlı bir markov ziciri gerçekleşmesi Bootstrap öreklemi olarak adladırılır x * { x * * *, x,..., x} tahmi edici ˆ ifade edelim. = olmak üzere bu bootstrap öreklemii * * G da x yerie koyarak elde edeceğimiz değeri G G(, x ) olarak (2) R( xg, ) = ( Gˆ G) i öreklem dağılımıa R( x, G ) = ( G G ) i x * * * ˆ verildiğideki koşullu dağılımı ile Mote Carlo yötemi yardımıyla yaklaşımda buluabilir (Fuh 993). Burada öemli ola okta adım () de x * olarak adladırıla bootstrap öreklemii elde edilmesidir. Basawa et al. (99) makaleleride, solu durum uzayıa sahip ergodik markov ziciride tek adım geçiş olasılıklarıı tahmi edilmesi problemie çözüm yolu olarak klasik bootstrap ve koşullu bootstrap yötemlerii öermektedir. Klasik bootstrap yötemide bootstrap öreklemii elde edilmesi gözleee x, x,..., x değerlerii olasılıkla gözlemlediği ampirik dağılım foksiyou 2

30 ˆF dağılımıda yerie koyma usulüe göre birimlik rasgele bir öreklem seçilmesiyle oluşturulmaktadır. Modeli ve modelde gözlee süreci birimlik gerçekleşmesii markov bağımlı olmasıda dolayı bu bağımlılığı yasıtacak bir bootstrap öreklemesi içise aşağıda örekleme yötemi alatılmaya çalışıla koşullu bootstrap yötemii öermektedirler. Ziciri x = ( x, x,..., x ) gerçekleşmesie dayalı geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmii P ˆ = ( pˆ ) (3.) de taımlaa foksiyo yardımıyla hesaplaabilir. Öyleyse ij ziciri x = ( x, x,..., x ) gerçekleşmesi temel alıarak ve i leri bilimesi koşulu altıda t ve i, j k içi olasılık foksiyoları Pr( U = i) = pˆ i ve Pr( W ˆ it, = j x) = p ij ola birbiride bağımsız U ve değişkeleri kullaarak W it rasgele değişkelerii taımlayabiliriz. Bu rasgele X % olarak adladıracağımız bir ziciri X % = U, X % = W,..., X % = W t > 2 X%, t X% t, m olacak şekilde taımlayabiliriz. Yukarıdaki ifade de m değeri X %, X % 2,..., X % rasgele t değişkeleri içeriside X j = X t % % leri sayısıı göstermektedir. Öreği S = {, 2, 3 } durum uzayıa sahip bir markov zicirii yeide öreklemesi ola X % zicirii aşağıdaki gibi olduğuu farzedersek bu yeide öreklemeyi X% = = U, X% = 2 = W, X% = 2 = W, X% = 3 = W, X% = 2 = W, X% = = W,, 2 2, 3 2,2 4 3, 5 2,3 2

31 X% = 3 = W, X% = = W, X% = 2 = W, X% = 3= W 6,2 7 3,2 8,3 9 2,4 olarak göstermek mümkü olacaktır. Görüleceği üzere burada m = 4 değeri X % = 2 değerii bu zicirdeki gerçekleşme sayılarıı göstermektedir. j X rasgele değişkeie ilk durumda buluma olasılığı taımladığı zama ( X%, X%,..., X% ) = ( X, X,..., X ) D olacaktır (Basawa et al. 99). Bu sebeple I foksiyou gösterge foksiyo olmak üzere D = I( X % = i) I( X % = j) (3.2) ij t t+ t= ( W,, W,...,,2 W, ) = % leri içide Wit, i i i i = j şartıı sağlaya W it, leri sayısı öyleki % i sayısı % i = I( X % t = i) t= olarak gösterilebilir. Yai X % öreklemideki i.ci durumda geçişleri sayısı olacaktır.o zama (3.2) ifadesii D i ij % t= = I( W = j) i, t ve 22

32 i D = % i olarak yazmak mümkü olmaktadır (Basawa et al. 99). Markov zicirii gözlemlemesi soucuda oluşa adımlık gerçekleşme = (,,..., ) bilidiğimesi koşulu altıda birbiride bağımsız ola x x x x değişkelerii * W im rasgele * Pr( W ˆ im = j X, X,..., X) = pij olarak taımlayabiliriz. Daha sora i.ci adımda j.ci adıma geçişleri sayısıı i * * ij it t= = I( W = j) olarak taımlayabiliriz. X, X,..., X ~ biom(, p ) ve i j * ˆ ij i ij koşullu olarak bağımsız olacaktır. Ayrıca i S içi içi ( * * * i, i2,..., ik) ile ( * * * j, j2,..., jk) * * * ( ),,..., ~ multiomial(, pˆ, pˆ,..., p ˆ ) i i2 ik i i i2 ik olacaktır (Basawa et al. 99). Böylelikle multiomial(, pˆ ˆ ˆ, p 2,..., p ) dağılımıda birbiride bağımsız adet * * i i i ik W,..., W rasgele değişkeleri multiomial( 2, p2, p22,..., p 2k ) dağılımıda birbiride bağımsız 2 adet W,..., + W + rasgele değişkeleri... multiomial(, p, p 2,..., p ) * * 2 k k k kk dağılımıda birbiride bağımsız değişkeleri üretilecektir. k adet W * * ,..., W k k + rasgele k 23

33 Souç olarak markov bağımlılığı yapısıa uygu ola toplam adet * * W,..., W W,..., + W +... W * * 2,..., W * * k k + k rasgele değişkeleri üretilecektir. Elde edile bu rasgele değişkeler kullaılarak geçiş matrisii bootstrap tahmii ise aşağıdaki gibi olacaktır. i, j S içi i * * ij it t= = I( W = j) foksiyou yardımıyla i. adımda j. adıma geçişleri sayısı buluabilir. p = i, j k * * ij ij i tahmi edicisi ile geçiş matrisii bootstrap tahmii hesaplaabilmektedir. Basawa et al. (99) makaleleride multiomial dağılımı ormal dağılıma yakısadığı gerçeğii kullaarak * ( ij ij ) pˆ pˆ, i, j k dağılımı ile ( ij ij ) pˆ p, i, j k dağılımıa yaklaşımda buluabileceğii göstermiştir. 24

34 Datta ad McCormrick (992) yukarıda Basawa et al. (99) i bootstrap yötemi olarak alatıla metod ile yapıla yaklaşımı yakısama hızları kousuda aşağıdaki souca ulaşmışlardır. Teorem 3.2 < p ij < olmak üzere ( ˆ ) ( ( ˆ ˆ i ij ij Pr i ij ij) ) (i) sup Pr ( ) x * * log p p x p p x = O * * log log p p x p p x = O i i (ii) sup Pr ( ˆ ) Pr ( ˆ ˆ ij ij ij ij ) x (iii) ( pˆ ij pij ) * ( pˆ ˆ ij pij ) i * i sup Pr ( pˆ ij pij ) x Pr x x π ( ) ˆˆ( ˆ ipij p ij πip p ) ij ij = O olacaktır (Datta ad McCormick 992). Görüldüğü üzere ergodik markov zicirii geçiş matrisii tahmii problemide koşullu bootstrap metodu kullaılabilmektedir. Ayrıca Basawa et al. (99) makaleleride markov bağımlılığı durumuda klasik bootstrap metoduu kullaılmasıyla e gibi souçlar elde edileceğii tartışmışlardır. Koşullu bootstrap metoduda farklı olarak stadart bootstrap yötemide tahmiler gerçek parametreler olarak kabul edilip * ij değerleri tahmi edilmiş modelde üretilmektedir.yai başka bir ifadeyle koşullu bootstrap metodudaki metoduda i değerleri yerlerie stadart bootstrap = * * i ij j 25

35 değerleri kullaılmaktadır (Basawa et al. 99). Aşağıda stadart bootstrap metodu ele alımaktadır. = I( X = i) I( X = j) ve ij t t+ t= i = I( Xt = i) olmak üzere tahmi edile geçiş t= matrisii idirgeebilir olmasıı öüe geçebilmek içi bu değerler yerie % ij = ij + ve % i = i + kullaılarak ve p% ij rasgele değişkeii p% ij = % % ij i olarak taımlayalım. Böylece geçiş olasılıkları p% ij ola P % geçiş matrisi tahmi edicisii hem idirgeemez hem de ergodik olacaktır (Basawa et al. 99). Olasılık foksiyoları Pr( U = i) = p% i ve Pr( Wit, = j x) = p% ij ola U ve W it birbiride bağımsız rasgele değişkeleri taımlayabiliriz. Bu rasgele değişkeleri kullaarak X * olarak adladıracağımız bir ziciri koşullu bootstrap metodudaki sürece bezer olarak X = U, X = W,..., X = W t > 2 * * * * * X, t Xt, m 26

36 olacak şekilde taımlayabiliriz. Buda sora * ij * t * t+ t= = I( X = i) I( X = j) ve * ( * i = I X j = i) olmak üzere geçiş olasılıklarıı bootstrap tahmii t= p * ij = * ij * i olacaktır. Teorem 3.3 * * * ξ = ( pˆ p ) ve ξ = ( p p% ) olmak üzere ij i ij ij ij i ij ij (,...,,..., ) N 2 (, ) ξ = ξ ξ ξ Σ 2 kk D k ve D (,..., 2,..., kk ) N 2 (, ) * * * * ξ = ξ ξ ξ Σ k dır ve ij ( ) δ Kroecker delta olmak üzere Σ ı elemaları σ * * = δ *( δ p * * * ij, i j ii jj ij pij pi j ) olacaktır (Basawa et al. 99). Görüldüğü üzere ergodic markov zicirii geçiş matrisii tahmii problemide stadart bootstrap metoduu kullaılması durumuda elde edilecek tahmi edicii kullaılmasıyla ayı asimptotik dağılıma yakısadığı görülmektedir. İlk uğrama zamaı rasgele değişkeii dağılımıı tahmii problemide ise bootstrap yötemii asıl souçlar vereceği aşağıda tartışılmaktadır. Geçiş matrisi P ve ilk durumu X = ola bir markov ziciri içi k.cı duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkei T olarak adladıralım. 27

37 { } T = if X = k olarak ifade edilebilir. Eğer yukarıdaki şartı sağlaya bir tamsayı değeri buluamıyorsa T = olarak taımlayabiliriz. k.cı duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkei olarak ifade taımladığımız T i dağılımıı ise ( tp) ( T tx P) = = t {,2,... } Pr ; Pr, olarak ifade edebiliriz. Geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisi ola P ˆ = ( pˆ ) matrisii değişimsiz (ivariat) olması edeiyle, k.cı duruma ilk uğrama zamaıı dağılımı Pr ( tp ; ) yi tahmi etmek içi kullaabiliriz. Bu oktada Pr ( ; ˆ ) ij tp ile yapıla tahmii e kadar iyi bir tahmi olacağı sorusu akla gelecektir. Bu soruu cevabıı bulabilmek içi ( ( ˆ ) ( )) Pr t; P Pr t; P, t (3.3) ifadesii asıl dağıldığıa bakmamız gerekmektedir. (3.3) olu ifadede yer ala dağılımı elde edilmesi P geçiş matrisii bilimesi durumuda Mote Carlo metodu kullaılarak mümkü olabilmektedir (Kulperger ad Rao 989). Eğer P geçiş matrisi bilimiyorsa (3.3) ü asıl dağıldığıı bulabilmek içi geçiş matrisi P ˆ ola bir markov ziciride gözlemlee öreklemde seçile bir alt öreklemi geçiş matrisii kullaılarak elde edeceğimiz Q ˆ olarak adladıralım ve Q = P geçiş matrisii ˆ ( ˆ ) G(; tq) = Pr(; tq) Pr(; tq) (3.4) 28

38 dağılımı ile yaklaşımda buluulabilir (Kulperger ad Rao 989). (3.4) olu ifadede yer ala dağılımı elde edilmesi Q = P geçiş matrisii bilimeside dolayı Mote Carlo ˆ metodu kullaılarak mümkü olabilmektedir. İşte bu oktada (3.3) de ifade edile dağılıma (3.4) de ifade edile dağılım yardımıyla asıl yaklaşımda buluacağı sorusuu cevabı bootstrap yötemi olarak verilecektir. Tezi buda soraki bölümüde bootstrap yötemi kullaılarak yaklaşımı asıl yapılacağı hususua değiilecektir. A = ( a ij ) bir kare matris olmak üzere; ormuu A = a (3.5) i, j ij olarak taımlayalım. S = {,2,..., k}, k 2 durum uzayıa ve P geçiş matrisie sahip markov ziciri içi P = k olacağı açıktır. Amacımız (3.5) olu ifadede taımı verile orm tarafıda oluşturula topolojide (3.4) olu dağılımı uygu süreklilik özelliklerie sahip olduğuu göstermek olacaktır. Acak sözkousu dağılımı bu topolojide sahip olduğu süreklilik özelliklerii doğruda olarak icelemek yerie markov zicirii geçiş matriside bir değişiklik yaparak elde edeceğimiz yei geçiş matrisi yardımıyla süreklilik özellikleri iceleecektir A= A( P) matrisi P geçiş matrisii so satırı ola k.ıcı satırıı (,...,,) olarak değiştirdiğimizde elde edeceğimiz geçiş matrisii gösterimi olsu. AP ( ) geçiş matrisie sahip bir markov ziciride k.ıcı durum soğurucu durum ve diğer durumlar {,2,..., k } ise geçişli durumlar olacaktır. 29

39 x = verildiğide k içi k.ıcı duruma ilk uğrama zamaıı dağılımı Pr T t X =, P = ( A ( P)) olacağıda A ˆ = A( P ˆ ) olmak üzere gözlemlediğide ( ) t, k ( ˆ t t ) D (; t P) = A A (3.6) matris değerli stokastik süreci süreklilik özelliklerii icelemek (3.4) olu ifadedeki dağılımı süreklilik özellikleri kousuda fikir verecektir. Başka bir deyişle ( T t X P) t A t matris dizisii A da sürekli olduğu gösterilerek Pr =, t dağılımıı P de sürekli olduğu gösterilecektir (Kulperger ad Rao 989). (3.3) ve (3.4) de ifade edile dağılımları asimptotik olarak yakı olduklarıı göstermek içi Kulperger ad Rao (989) aşağıdaki teoremleri elde etmişlerdir. Teorem 3.4 Aˆ = A( Pˆ ) olmak üzere t =,2,... içi varyas kovaryas matrisi t Z p P i bir foksiyou olmak üzere; ( ˆ t t) D 2 (, t k p) A A N Z olacaktır. Teorem 3.5 A % = AQ ( ˆ ) olmak üzere t =,2,... içi varyas kovaryas matrisi t Z p teorem 3.4 de ifade edile matris olmak üzere; ziciri heme heme tüm gözlemleri içi ( % t ˆ t) D 2 (, t k p) A A N Z olacaktır. 3

40 Teorem 3.4 ve Teorem 3.5 de alaşılacağı üzere (3.3) de ifade edile öreklemi dağılımıa (3.4) de ifade edile öreklemi yardımıyla yaklaşımda buluabileceği görülmektedir. Böylelikle k.cı duruma ilk uğrama zamaıı dağılımıı tahmi edicisii dağılımıa yaklaşımda buluma problemide bootstrap yötemii kullaılabileceği görülmektedir. Bootstrap yötemii k.cı duruma ilk uğrama zamaıı dağılımıı tahmii problemide kullaılabilir olmasıı detayları aşağıda verilmektedir. A = ( a ij ) matrisi S = {,2,..., k}, k 2 uzayıda taımlı bir stokastik matris k.ıcı durum S durum uzayıı tek soğurucu durumu J {,2,..., k } = γ = (,...,,) ve B satırları γ ola bir matris olmak üzere A stokastik matrisi tekil durağa dağılıma sahip ve A = ( a ) B olacaktır (Parze 962). i, j Lemma 3. c = mi( aik, : i J) > ve d = max( ai, j: i, j J) < olmak üzere A = ( a ) B olacaktır. Ayrıca i, j (i) ( ) ai, j ( c) d, j J ( ) (ii) a ( c) ( k ) d ik, olacaktır (Kulperger ad Rao 989). İspat. (i) j J {,2,..., k } M ( ) a + = içi + = olsu. k. durum S {,2,..., k} ( ) j i, j M ( ) = max( a : i J) ve i j ( ) i, j J olmak üzere = durum uzayıı tek soğurucu durumu olduğuda a = olacaktır. Böylelikle ( ) k, j M ( + ) = a = a a ( + ) ( ) j i, j i, l l, j l J 3

41 M ( ) a ( J = {,2,..., k }) j l J i, l = M j ( )( c) ( c= mi( aik, : i J)) dir. M ( + ) M ( )( c) j j olduğuda a, M ( )( c) M ( 2)( c)... M ()( c) = d( c) ( ) 2 i j j j j dır. (ii) j S a = a + a = ( ) ( ) ( ) i, j i, j i, k j J a = a ( k )( c) d j J ( ) ( ) i, j i, k dir. Lemma 3.2 A ve B i k k boyutlu matrisler olduğu farzedilsi. t içi t t t t q q A B = A ( A B) B q= dır (Kulperger ad Rao 989). İspat. Lemmayı ispatlamak içi tümevarım yötemii kullaabiliriz. Bu sebeble ilk olarak t = içi bu eşitliği doğru olduğu gösterilecek daha sora t = k içi eşitliği doğru olduğu farzedilip t = k içi doğruluğu gösterilecektir. 32

42 t = olduğu durumda t t q q q q A ( A BB ) = A ( A BB ) = A( A BB ) = A B q= q= olacaktır. t = içi eşitliği doğruluğu gösterilmiştir. t = k içi k 2 k k k 2 q q A B = A ( A B) B q= olduğu varsayılsı. t = k olsu. t k t q q k q q A ( A BB ) = A ( A BB ) q= q= k 2 = A ( A BB ) + A ( A BB ) q= k q q k ( k ) k k k k = AA ( B ) + ( A BB ) (varsayımda dolayı) = A AB + AB B k k k k k = A B k olacaktır. M k k boyutlu k. satırı (,...,,) ola stokastik matrisleri kümesi, : 33

43 M : k k 2 boyutlu j {,2,..., k} içi V, = ve i k içi V, k j k j= i j = koşullarıı sağlaya V stokastik matrisleri kümesi ve M : A = sup t A t ormuu taımlaabildiği k k boyutlu stokastik matrisleri oluşturduğu {,,...} A A dizilerii kümesi olarak taımlası. 2 Lemma 3.3 H : Taım kümesi M M 2 ve değer kümesi M ola H( AV, ) = H( t, AV, : t ) öyleki t HtAV (,, : t ) A VA = q= t q q olmak üzere öyleki K = K ( A) ve 2. HtAV (,, ) HtAV (, 2, ) K V A A2 açık komşuluğudadır. olacaktır. 2. HtAV (,, ) HtAV (,, 2) K2 V V2 A A i öyleki K 2 A ya bağlı solu bir sabit Lemma 3.3 de dolayı H foksiyou sürekli bir foksiyodur (Kulperger ad Rao 989). Yukarıda taımladığımız H foksiyou yardımıyla ve t içi t t q q q (,,, ) ( ) EtAVB = A V B A q= olmak üzere (3.4) olu ifadedeki D ( t, P ) foksiyouu D( tp, ) = HtA (, ˆ, A ( ˆ A)) + EtA (, ˆ, A ( ˆ A)) 34

44 olarak ifade edebiliriz. Ayrıca i, j J {,2,..., k } = içi Q geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii yer aldığı q ( ˆi, j qi, j) öreklemii dağılımı, i, j k içi ortak dağılımı ( ) k 2, V ( Q) Z ( Q), i, j J ve i, j i, j olmak üzere N Σ ola Z i, j rasgele değişkelerie yakısadığıda dolayı = ve V j S { k}, =, =,2,..., içi V = V( Q) = ( Vi, j( Q)) k j t t q q (, ( ), ( )), HtAP VQ = A VA t q= ifadesii dağılımı V i dağılımıda dolayı P ve Q geçiş matrislerie bağlı bir süreç olacaktır (Kulperger ad Rao 989). Lemma 3.4 (i) Bazı K ( ) = K A sabitleri içi H( t, Aˆ, ( Aˆ A)) H( t, A, ( Aˆ A)) K ( Aˆ A) Aˆ A dır. Burada A ˆ A ı tutarlı tahmi edicisi olduğu içi sıır t de düzgü olarak O p ( ) olur. (ii) Q de düzgü olacak şekilde P limsup HtAP (, ( ), VQ ( )) = t öyleki bazı sabit δ > içi c A( Q) ( ) δ > > dır. (iii) Q de düzgü olacak şekilde 35

45 ( ( ) ( ) ( )) P sup E t, A P, V Q, A Q t dır (Kulperger ad Rao 989). İspat. (i) Lemma 3...(i) de verile eşitsizlikte değerler yerie koulduğuda yukarıdaki souca ulaşılmaktadır. (ii) B = ( b i, j ) öyleki j k içi b i, j= ve b ik, = olsu. Lemma 3... de dolayı bazı K sabitleri içi ( ( )) t A B K c A t dır. L M O M M B = L L ve p, = j S i j olduğuda VB = ve BV = olacaktır. Buda dolayı t t q q HtAP (, ( ), VQ ( )) A B V A B q= ( ( )) 2 t K V t c A t (iii) (,,, ) t q q q= E t A V A V A A 36

46 t q= q q { } V A B + A B V K t 2 q= t ( ( )) c A t 2 q= t q ( ( )) ( ) ( ) + V K c A c A q t 2 2 t 2 t q ( ( ) ) ( ) ( ) V K c A + K V c A q= t 2 + V K t q= 2 ( c( A) ) q K V t c A + c A + c A t t t 2 2 ( ( )) ( ( )) ( ( )) dır. Büyük t değerleri içi yukarıda bulua üst sıır t de göre düzgü olarak küçük olacaktır. t =,,..., t ve t sabiti içi ise A ve A yakı olmak üzere üst sıır küçük olacaktır. Böylelikle (iii) de belirtile yakısama elde edilmektedir. Teorem 3.6 E L( H( A( Q ˆ )), ( ( ˆ A Q) A( Q) ); P) sürekli olduğu küme ve δ δ şartıı sağlaya pozitif reel sayıları bir dizisi olsu. ( ( ˆ ) ( ˆ ) )( ) lim sup L H A( Q ), A( Q ) A( Q ) ; Q E Q P δ ( ( ˆ ) ( ˆ ) )( ) L H A( P ), A( P ) A( P) ; P E = 37

47 dır (Kulperger ad Rao 989). İspat. Lemma 3.2 ve lemma 3.3 ve (3.2.) deki deklemde dolayı (, ( ˆ ( ˆ ), ( ) ( ) )) H t A Q A Q A Q (, ( ), ( ( ˆ ) ( ))) = H t A P A Q A Q ( ( ˆ ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) + O A Q A Q + O A Q A P p öyleki P ye yakı komşuluğudaki Q içi düzgü olarak Op(.) olacaktır. Ayrıca P i yakı komşuluğudaki Q içi düzgü olarak ( ˆ ) A( Q ) A( Q ) Z( Q) D olduğuda ve δ ( ) Q P δ şartıı sağlaya t leri solu sııfları içi dır. (, ( ), ( ( ˆ ) ( ) )), ( ), ( ) ( ) H t A P A Q A Q H t A P Z P 38

48 4. UYGULAMA Çalışmaı bu bölümüde ilk olarak geçiş matrisi bilie bir markov ziciride adımlık bir gerçekleşmei simülasyouu asıl yapıldığı hususu bir örekle açıklamaya çalışılmış, daha sora geçiş matrisi bilie bir markov ziciri taımlamış ve bu markov ziciride öreklem çapı 25 ola bir gözlem alıarak bu gözleme dayalı geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisi hesaplaarak elde edile e çok olabilirlik tahmi edicisi yardımıyla Basawa et al. (99) i öerdiği koşullu bootstrap tekiği ile klasik bootstrap tekiği kullaılarak markov ziciri geçiş matrisii bootstrap tahmileri yapılmıştır. Buda sora, 5 adet simülasyo yapılarak taımladığımız markov ziciri içi 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımı klasik bootstrap yötemie göre elde edilmiştir. Elde edile dağılım foksiyouu grafiği Şekil 4. de verilmiştir Ayrıca 24 yılıa ait İMKB edeksi i logaritmik getirileri hesap edilerek elde edile getiriler kullaılarak S = {, 2, 3, 4} durum uzayıa sahip bir markov ziciri olduğu farzedilmiş ve bu zicirde 4.ücü duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii örekleme dağılımıı bootstrap tahmii yapılarak ulaşıla souçlara ilişki grafiklere yer verilmiştir. 4.. Markov Ziciride Adım Sayısı Ola Bir Gerçekleşmesii Simülasyou { ; } X stokastik sürecii {, 2, 3} S = durum uzayıa sahip ve geçiş matrisi P = ola bir markov ziciri olduğuu kabul edelim. P geçiş matrisie sahip bir markov ziciri içi = adımlık bir gerçekleşmesii simülasyouu asıl yapılacağı aşağıda açıklamaktadır. İlk olarak, Düzgü (,) dağılımıda gözlemek istee adım sayısı kadar rasgele sayılar üretilir. Her adım içi 39

49 üretile rasgele sayılar ve bu sayılara karşılık gelecek ola durumlar Çizelge 4. de gösterilmektedir. P geçiş matrisie sahip bir markov zicirii simülasyouda kullaılacak foksiyoları, Y, Y2, Y 3 olarak adladırlalım,, < x p, < x.25 Y = 2, p < x p+ p2 = 2,.25 < x.65 3, p p2 x + < 3,.65< x, < x p2, < x.3 Y2 = 2, p2 < x p2+ p22 = 2,.3 < x.8 3, p2 p22 x + < 3,.8< x, < x p3, < x. Y3 = 2, p3 < x p3+ p32 = 2,. < x.65 3, p3 p32 x + < 3,.4< x şeklide olacaktır. İlk adımı X = olduğuu farzedildiği içi ziciri gerçekleşmesii. adımıda hagi durumda buluacağı sorusua Y foksiyou cevap verecektir.. adım içi üretile rasgele sayı x =.47 olduğuda, Y foksiyouda yerie koulduğu takdirde. adımda 2. durumda oluacağı görülecektir. Bezer şekilde ziciri gerçekleşmesii 2. adımıda hagi durumda buluacağı sorusua bu kez Y 2 foksiyou cevap verecektir. 2. adım içi üretile rasgele sayı x =.72 olduğuda, Y 2 foksiyouda yerie koulduğu takdirde 2. adımda 2. durumda oluacağı 4

50 görülecektir. Bu şekilde arzu edile adım sayısı kadar P geçiş matrisie sahip markov ziciride bir gerçekleşme elde edilebilir. Çizelge 4. Markov ziciride = adım sayısıa sahip bir gerçekleşmesi ADIM ÜRETİLEN RASGELE SAYILAR GÖZLENEN MARKOV ZİNCİRİ KULLANILACAK FONSİYON.47 2 Y Ayrıca, Çizelge 4. de her adım içi kullaılacak foksiyo ve = adımlık bir simülasyo yapılarak elde edile markov zicirii bir gerçekleşmesi verilmiştir. Y Y Y Y Y Y Y Y Y 4.2. Markov Ziciride Bootstrap Yötemie İlişki Uygulamalar { ; } X stokastik sürecii {, 2, 3, 4} S = durum uzayıa sahip ve geçiş matrisi P = ola bir markov ziciri olduğuu kabul edelim. Bu markov ziciride X = olduğu farz edilerek yapıla simülasyo soucuda = 25 adım sayısıa sahip bir öreklemi aşağıdaki şekilde elde edebiliriz. 4

51 Çizelge 4.2 Markov zicirii = 25 adım sayısıa sahip bir gerçekleşmesi Yukarıda elde edile veri setie ait P geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisi, P ˆ, ˆ P = olacaktır. Yukarıdaki veri setie Basawa et al. (99) i öerdiği koşullu bootstrap tekiği uyguladığıda elde edile geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii bootstrap tahmii Q ˆ ise ˆ Q = olacaktır. Klasik bootstrap tekiği uyguladığıda elde edile geçiş matrisii e çok olabilirlik tahmi edicisii bootstrap tahmii Q ˆ ise 42

52 ˆ Q = olacaktır. S = {, 2, 3, 4} olduğuda 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkei olarak taımladığımız T rasgele değişkeii dağılımı ( tp) ( T tx P) Pr ; Pr, = = t {,2,... } foksiyouu tahmii problemide klasik bootstrap metodu uyguladığı takdirde elde edilecek dağılım foksiyou P ˆ ve Q ˆ geçiş matrislerie göre grafikleri sırasıyla seri 2 ve seri olmak üzere Şekil 4. deki gibi olacaktır Seri Seri 2 Şekil 4. 4.duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkeii öreklem dağılımı Çizelge 4.3 de verile İMKB edeksii 24 yılıa ait verileri kullaılarak Çizelge 4.4 de verile logaritmik getiriler hesap edilmiştir. Tüm veriler TCMB de alımıştır. Elde edile getiriler kullaılarak S = {, 2, 3, 4} durum uzayıa sahip bir markov ziciri, logaritmik getiri < - %2 ise.durum,-%2 logaritmik getiri < % ise 43

53 2. durum, % logaritmik getiri < %2 ise 3.durum, logaritmik getiri > %2 ise 4.durumda olduğu varsayılarak taımlamıştır. Hisse seetlerii markov sürecie uyguluğu hisse seedi piyasasıda etki pazar kuramıı zayıf şekli geçerli ise söz kousudur. Bu durumda yai hisse seedi piyasası zayıf formda ise geçmiş zama aralıklarıda fiyat hareketleri belirli bir olasılıkla mevcut adaki fiyatlara; mevcut adaki fiyatlar ise gelecek periyotlardaki fiyatlara yasıyacaktır. Hisse seedi piyasasıdaki rekeabet hisse seedi fiyatlarıı markov sürecie uyduğuu doğrulamaktadır (Alpa vd 2). İMKB edeksii 24 yılı logaritmik getiri değerleri kullaılarak elde edile durumlar çizelge 4.5 de verilmiştir. 24 yılıa ait İMKB edeksi verileri kullaılarak taımlaa markov zicirii geçiş matrisi Q = olarak hesap edilmiştir. İMKB edeksii değerleride oluşturula markov ziciride 4. duruma ilk uğrama zamaı rasgele değişkei ola T rasgele değişkeii dağılımı ( tp) ( T tx P) Pr ; Pr, = = t {,2,... } foksiyouu tahmii problemide klasik bootstrap metodu uyguladığı takdirde elde edilecek dağılım foksiyou grafiği Şekil 4.2 deki gibi olacaktır. 44

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr

İSTATİSTİK 2. Tahmin Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI. aysecagli@beykent.edu.tr İSTATİSTİK 2 Tahmi Teorisi 07/03/2012 AYŞE S. ÇAĞLI aysecagli@beyket.edu.tr İstatistik yötemler İstatistik yötemler Betimsel istatistik Çıkarımsal istatistik Tahmi Hipotez testleri Nokta tahmii Aralık

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE İSTATİSTİKSEL YORUMLAMA TAHMİNLEME SÜRECİ VE YORUMLAMA SÜRECİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI VE ÖRNEKLEME DAĞILIMLARI Yorumlama

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin

4/16/2013. Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyansı için Tahmin 4/16/013 Ders 9: Kitle Ortalaması ve Varyası içi Tahmi Kitle ve Öreklem Öreklem Dağılımı Nokta Tahmii Tahmi Edicileri Özellikleri Kitle ortalaması içi Aralık Tahmii Kitle Stadart Sapması içi Aralık Tahmii

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahminleme ve Hipotez Testlerine Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTATİSTİK İstatistiksel Tahmileme ve Hipotez Testlerie Giriş Dr. Öğr. Üyesi Aslı SUNER KARAKÜLAH Ege Üiversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim AD. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise

Bağımsızlık özelliğinden hareketle Ortak olasılık fonksiyonu (sürekli ise YTÜ-İktisat İstatistik II Örekleme ve Öreklem Dağılımları BASİT RASSAL ÖRNEKLEME N tae ese arasıda taelik bir öreklem seçilmesii istediğii düşüelim. eseli olaaklı her öreklemi seçilme şasıı eşit kıla seçim

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp

Detaylı

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P.

4. Ders Fisher informasyonu s f rdan büyük ve sonlu, yani 0 < I() < 1; R f(x; )dx (kesikli da¼g l mlarda R yerine P. 4. Ders tkilik Küçük varyasl olmak, tahmi edicileri vazgeçilmez bir özelli¼gidir. Bir tahmi edicii, yal veya yas z, küçük varyasl olmas isteir. Parametrei kedisi () veya bir foksiyou (g()) ile ilgili tahmi

Detaylı

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş

İstatistik Ders Notları 2018 Cenap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI. 5.1 Giriş İstatistik Ders Notları 08 Ceap Erdemir BÖLÜM 5 ÖRNEKLME DAĞILIMLARI 5. Giriş Öreklem istatistikleri kullaılarak kitle parametreleri hakkıda çıkarsamalar yapmak istatistik yötemleri öemli bir bölümüü oluşturur.gülük

Detaylı

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9

EME 3117 SİSTEM SIMÜLASYONU. Girdi Analizi Prosedürü. Dağılıma Uyum Testleri. Dağılıma Uyumun Kontrol Edilmesi. Girdi Analizi-II Ders 9 ..7 EME 37 Girdi Aalizi Prosedürü SİSTEM SIMÜLASYONU Modelleecek sistemi (prosesi) dokümate et Veri toplamak içi bir pla geliştir Veri topla Verileri grafiksel ve istatistiksel aalizii yap Girdi Aalizi-II

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları Alteratif üretim

Detaylı

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler

3. Ders Parametre Tahmini Tahmin Edicilerde Aranan Özellikler 3. Ders Parametre Tahmii Tahmi Edicilerde Araa Özellikler Gerçek düyada rasgelelik olgusu içere bir özellik ile ilgili ölçme işlemie karş l k gele X rasgele de¼gişkeii olas l k (yo¼guluk) foksiyou, F ff(;

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları

7. Ders. Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları Hatırlatma: ( Ω, U, P) bir olasılık uzayı ve 7. Ders Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları : Ω ω R ( ω) foksiyou Borel ölçülebilir, yai B B içi { ω Ω : ( ω) B } U oluyorsa foksiyoua bir Rasgele Değişke deir.

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI

ALTERNATİF SİSTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI µ µ içi Güve Aralığı ALTERNATİF İTEMLERİN KARŞILAŞTIRILMAI Bezetimi e öemli faydalarıda birisi, uygulamaya koymada öce alteratifleri karşılaştırmaı mümkü olmasıdır. Alteratifler; Fabrika yerleşim tasarımları

Detaylı

İSTATİSTİK DERS NOTLARI

İSTATİSTİK DERS NOTLARI Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü umutokka@balikesir.edu.tr İSTATİSTİK DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Umut OKKAN idrolik Aabilim Dalı Balıkesir Üiversitesi İşaat Mühedisliği Bölümü Bölüm 5 Örekleme

Detaylı

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ

NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ NOT: BU DERS NOTLARI TEMEL EKONOMETRİ-GUJARATİ KİTABINDAN DERLENMİŞTİR. KULLANILAN ŞEKİLLERİN VE NOTLARIN TELİF HAKKI KİTABIN YAZARI VE BASIM EVİNE AİTTİR. HAFTA 1 İST 418 EKONOMETRİ Ekoometri: Sözcük

Detaylı

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ

ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ 8. HAFTA ISF404 SERMAYE PİYASALARI VE MENKUL KIYMETYÖNETİMİ PORTFÖY YÖNETİMİ II Doç.Dr. Murat YILDIRIM muratyildirim@karabuk.edu.tr Geleeksel Portföy Yaklaşımı, Bu yaklaşıma göre portföy bir bilim değil,

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1.

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1. 06 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI Soru Toplam hasar miktarı S i olasılık ürete foksiyou X x i PS ( t) = E( t ) = exp λi( t ) ise P S(0) aşağıdaki seçeeklerde hagiside verilmiştir? A) 0 B) C) exp λ i

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II

İSTATİSTİKSEL TAHMİN. Prof. Dr. Levent ŞENYAY VIII - 1 İSTATİSTİK II 8 İSTATİSTİKSEL TAHMİN 8.. İstatistiksel tahmileyiciler 8.. Tahmileyicileri Öellikleri 8... Sapmasılık 8... Miimum Varyaslılık 8..3. Etkilik 8.3. Aralık Tahmii 8.4. Tchebysheff teoremi Prof. Dr. Levet

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı

Veri nedir? p Veri nedir? p Veri kalitesi p Veri önişleme. n Geometrik bir bakış açısı. n Olasılıksal bir bakış açısı Veri edir? p Veri edir? Geometrik bir bakış açısı p Bezerlik Olasılıksal bir bakış açısı p Yoğuluk p Veri kalitesi p Veri öişleme Birleştirme Öreklem Veri küçültme p Temel bileşe aalizi (Pricipal Compoet

Detaylı

4/4/2013. Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi. Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler

4/4/2013. Ders 8: Verilerin Düzenlenmesi ve Analizi. Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Ders 8: Verileri Düzelemesi ve Aalizi Betimsel İstatistik Merkezsel Eğilim Ölçüleri Dağılım Ölçüleri Grafiksel Gösterimler Bir kitlei tamamıı, ya da kitlede alıa bir öreklemi özetlemekle (betimlemekle)

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ

İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ İSTATİSTİKSEL TAHMİNLEME VE HİPOTEZ TESTİ Bu bölümdeki yötemler, bilimeye POPULASYON PARAMETRE değeri hakkıda; TAHMİN yapmaya yöelik ve, KARAR vermekle ilgili, olmak üzere iki grupta icelemektedir. Parametre

Detaylı

Burçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA

Burçin Gonca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 2007 ANKARA UYUM İYİLİĞİ İÇİN AMICO TEK-ÖRNEK TESTİ VE İĞER UYUM İYİLİĞİ TESTLERİ İLE KARŞILAŞTIRILMASI Burçi Goca OKATAN YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞUSTOS 7 ANKARA TEZ

Detaylı

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n )

5. Ders Yeterlilik. f(x 1 ; x 2 ; :::; x n ; ) = g (T (x 1 ; x 2 ; :::; x n ); ) h(x 1 ; x 2 ; :::; x n ) 5. Ders Yeterlilik Yeterlilik Ilkesi: Bir T(X ; X ; :::; X ) istatisti¼gi, hakk da yeterli bir istatistik olacaksa hakk da herhagi bir souç ç kar m T arac l ¼g ile (X ; X,...,X ) öreklemie ba¼gl olmal

Detaylı

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI

{ 1 3 5} { 2 4 6} OLASILIK HESABI OLASILIK HESABI Bu derste, uygulamalarda sıkça karşılaşıla, Olasılık Uzaylarıda bazılarıa değieceğiz ve verilmiş bir Olasılık Uzayıda olasılık hesabı yapacağız. Ω. Ω solu sayıda elemaa sahip olsu. Ω {

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

MONTE CARLO BENZETİMİ

MONTE CARLO BENZETİMİ MONTE CARLO BENZETİMİ U(0,) rassal değişkeler kullaılarak (zamaı öemli bir rolü olmadığı) stokastik ya da determiistik problemleri çözümüde kullaıla bir tekiktir. Mote Carlo simülasyou, geellikle statik

Detaylı

Ki- kare Bağımsızlık Testi

Ki- kare Bağımsızlık Testi PARAMETRİK OLMAYAN İSTATİSTİKSEL TEKNİKLER Prof. Dr. Ali ŞEN Ki- kare Bağımsızlık Testi Daha öceki bölümlerde ölçümler arasıdaki ilişkileri asıl iceleeceğii gördük. Acak sıklıkla ilgileile veriler ölçüm

Detaylı

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI

ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7 ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.. Niçi Örekleme Yapılır 7.. Olasılıklı Örekleme 7... Basit Şas Öreklemesi 7... Tabakalı Örekleme 7... Küme Öreklemesi 7..4. Sistematik Örekleme 7.. Olasılıklı Olmaya

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi

İstanbul Göztepe Bölgesinin Makine Öğrenmesi Yöntemi ile Rüzgâr Hızının Tahmin Edilmesi Makie Tekolojileri Elektroik Dergisi Cilt: 8, No: 4, 011 (75-80) Electroic Joural of Machie Techologies Vol: 8, No: 4, 011 (75-80) TEKNOLOJİK ARAŞTIRMALAR www.tekolojikarastirmalar.com e-issn:1304-4141

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ

DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkanı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ DÖNEM I BİYOİSTATİSTİK, HALK SAĞLIĞI VE RUH SAĞLIĞI DERS KURULU Ders Kurulu Başkaı : Yrd.Doç.Dr. İsmail YILDIZ ARAŞTIRMADA PLANLAMA VE ÇÖZÜMLEME (03-09 Ocak 014 Y.ÇELİK) Araştırma Süreci (The research

Detaylı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı

Öğrenci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı Öğreci Numarası İmzası: Not Adı ve Soyadı SORU 1. a) Ekoomii taımıı yapıız, amaçlarıı yazıız. Tam istihdam ile ekoomik büyüme arasıdaki ilişkiyi açıklayıız. b) Arz-talep kauu edir? Arz ve talep asıl artar

Detaylı

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ

ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL MAKİNELİ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Öğreme Etkili Hazırlık ve Taşıma Zamalı Paralel Makieli Çizelgeleme Problemi HAVACILIK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 2006 CİLT 2 SAYI 4 (67-72) ÖĞRENME ETKİLİ HAZIRLIK VE TAŞIMA ZAMANLI PARALEL

Detaylı

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi,

12. Ders Büyük Sayılar Kanunları. Konuya geçmeden önce DeMoivre-Stirling formülünü ve DeMoivre-Laplace teoremini hatırlayalım. DeMoivre, genel terimi, . Ders Büyü Sayılar Kauları Kouya geçmede öce DeMoivre-Stirlig formülüü ve DeMoivre-Laplace teoremii hatırlayalım. DeMoivre, geel terimi, a!,,, 3,... e ola dizii yaısa olduğuu göstermiş, aca limitii bulamamış.

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE

ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:-Sayı/No: : 355-366 (9) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE TEK DEĞİŞKENLİ KARARLI DAĞILIMLAR,

Detaylı

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR?

NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? İÇİ ÖREKEME YAPIIR? Zama Kısıdı Maliyeti Azaltma Hata Oraıı Azaltma Souca Ulaşma Hızı Doç.Dr. Ali Kemal ŞEHİRİOĞU Araş.Gör. Efe SARIBAY Örekleme Teorisi kousuu içide, Örekleme Tipleri populasyoda örek

Detaylı

KALİTE VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME İÇİN MÜŞTERİ GERİ BİLDİRİMLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ

KALİTE VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME İÇİN MÜŞTERİ GERİ BİLDİRİMLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ Altı Sigma Yalı Koferasları (9- Mayıs 8) KALİTE VE SÜREÇ İYİLEŞTİRME İÇİN MÜŞTERİ GERİ BİLDİRİMLERİNİN DEĞERLENDİRİLMESİ Serka ATAK Evre DİREN Çiğdem CİHANGİR Murat Caer TESTİK ÖZET Ürü ve hizmet kalitesii

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

x 2$, X nın bir tahminidir. Bu durumda x ile X arasındaki farka bu örnek için örnekleme hatası x nın örnekleme hatasıdır. X = x - (örnekleme hatası)

x 2$, X nın bir tahminidir. Bu durumda x ile X arasındaki farka bu örnek için örnekleme hatası x nın örnekleme hatasıdır. X = x - (örnekleme hatası) 4 ÖRNEKLEME HATASI 4.1 Duyarlılık 4. Güveilirik 4.3 Örek hacmi ve uyarlılık arasıaki ilişki 4.4 Örek hacmi ve göreceli terimler ile uyarlılık arasıaki ilişki 4.5 Hata kareler ortalaması Örekte ele eile

Detaylı

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak

x A şeklinde gösterilir. Aksi durum ise x A olarak BÖLÜM I OLSILIK Küme teorisi, matematiği geliştirilmesi ve öğretimide gittikçe daha fazla yararlaıla koularda biridir. yrıca olasılıkla ilgili birici bölümü temel aracıdır. Bu kısımda amaç, olasılık kousuda

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası 13. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı 18 22 Nisa 2011, Akara ANA NİRENGİ AĞLARINDA NİRENGİ SAYISINA GÖRE GPS ÖLÇÜ SÜRELERİNİN KURAMSAL OLARAK BULUNMASI

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz

TĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme

Standart Formun Yapısı. Kanonik Form. DP nin Formları SİMPLEX YÖNTEMİ DP nin Düzenleniş Şekilleri. 1) Optimizasyonun anlamını değiştirme 5.0.06 DP i Düzeleiş Şekilleri DP i Formları SİMPLEX YÖNTEMİ ) Primal (özgü) form ) Kaoik form 3) Stadart form 4) Dual (ikiz) form Ayrı bir kou olarak işleecek Stadart formlar Simplex Yötemi içi daha elverişli

Detaylı

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ

AKIŞKAN BORUSU ve VANTİLATÖR DENEYİ AKIŞKA BORUSU ve ATİLATÖR DEEYİ. DEEYİ AMACI a) Lüle ile debi ölçmek, b) Dairesel kesitli bir borudaki türbülaslı akış şartlarıda hız profili ve eerji kayıplarıı deeysel olarak belirlemek ve literatürde

Detaylı

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ

SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ SBE 601 ARAŞTIRMA YÖNTEMLERİ, ARAŞTIRMA VE YAYIN ETİĞİ ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİ Prof. Dr. Ergu Karaağaoğlu H.Ü. Tıp Fakültesi Biyoistatistik ABD ÖRNEKLEM BÜYÜKLÜĞÜNÜN SAPTANMASI

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım

Normal Dağılımlı Bir Yığın a İlişkin İstatistiksel Çıkarım Normal Dağılımlı Bir Yığı a İlişi İstatistisel Çıarım Bir üretici edi ürüleride, piyasadai 3,5 cm li vidalarda yalıca boyları 3,4 cm ile 3,7 cm aralığıda olaları ullaabilmetedir. Üretici, piyasadai bu

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM

İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM 17 Şubat 01 CUMA Resmî Gazete Sayı : 807 TEBLİĞ Bilgi Tekolojileri ve İletişim Kurumuda: İNTERNET SERVİS SAĞLAYICILIĞI HİZMETİ SUNAN İŞLETMECİLERE İLİŞKİN HİZMET KALİTESİ TEBLİĞİ BİRİNCİ BÖLÜM Amaç, Kapsam,

Detaylı

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir.

HİPOTEZ TESTLERİ. İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adlandırılır. Ortaya atılan doğru veya yanlış iddialara hipotez denir. HİPOTEZ TETLERİ İstatistikte hipotez testleri, karar teorisi olarak adladırılır. Ortaya atıla doğru veya yalış iddialara hipotez deir. Öreği para hilesizdir deildiğide bu bir hipotezdir. Ortaya atıla iddiaya

Detaylı

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi

TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordinatlarının Gri Sistem ile Tahmin Edilmesi TMMOB Harita ve Kadastro Mühedisleri Odası, 5. Türkiye Harita Bilimsel ve Tekik Kurultayı, 5 8 Mart 5, Akara. TUTGA ve C Dereceli Nokta Koordiatlarıı Gri istem ile Tahmi Edilmesi Kürşat Kaya *, Levet Taşcı,

Detaylı

3. TEKNE FORM PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİ

3. TEKNE FORM PARAMETRELERİNİN BELİRLENMESİ . TEKNE FOR ARAETREERİNİN EİRENESİ Kovasiyoel gemi formlarıı performası büyük ölçüde ekesit alaları ve dizay su hattı eğrilerii formua bağlıdır. u edele bu eğrileri taımlaya blok katsayısı (), orta kesit

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye. (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem

Tahmin teorisinde amaç örneklem (sample) bilgisine dayanarak anakütleye. (population) ilişkin çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar örneklem YTÜ-İktisat İstatistik II Nokta Tahmii 1 Tahmi teoriside amaç öreklem (sample) bilgisie dayaarak aakütleye (populatio) ilişki çıkarsamalar yapmaktır. Bu çıkarsamalar aakütlei dağılımıı belirleye bilimeye

Detaylı

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ

TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ SAĞLIK BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLAM KOLESTEROL, LDL, HDL VE TRİGLİSERİT SEVİYELERİNİN YAŞA GÖRE DEĞİŞİMİNİN DEĞİŞİK REGRESYON MODELLERİYLE İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ EMRE DİRİCAN

Detaylı

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI

YENĐ BĐR ADAPTĐF FĐLTRELEME YÖNTEMĐ: HĐBRĐD GS-NLMS ALGORĐTMASI Uludağ Üiversitesi ühedislik-imarlık Fakültesi Dergisi, Cilt 3, Sayı, 008 YENĐ BĐR ADAPĐF FĐLRELEE YÖNEĐ: HĐBRĐD GS-NLS ALGORĐASI Sedat ĐRYAKĐ * eti HAUN ** Osma Hilmi KOÇAL ** Özet: Bu makalede, adaptif

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ

TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR GİRİŞ İstatistik kelimesii kökei Almaca olup devlet alamıa gelmektedir. İstatistik kelimesi gülük hayatta farklı alamlarda kullaılmaktadır. Televizyoda bir futbol müsabakasıı izleye bir

Detaylı

Tek Bir Sistem için Çıktı Analizi

Tek Bir Sistem için Çıktı Analizi Tek Bir Sistem içi Çıktı Aalizi Bezetim ile üretile verile icelemesie Çıktı Aalizi deir. Çıktı Aalizi, bir sistemi performasıı tahmi etmek veya iki veya daha fazla alteratif sistem tasarımıı karşılaştırmaktır.

Detaylı

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.

T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU. T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202

Detaylı

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ

ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ ÖRNEKLEME TEORİSİ VE TAHMİN TEORİSİ 1 TEMEL KAVRAMLAR PARAMETRE: Populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve aakütledeki tüm elemalar dikkate alıarak hesaplaabilir. Aakütledeki tek bir elema dahi işlemi

Detaylı

Hipotez Testleri. Parametrik Testler

Hipotez Testleri. Parametrik Testler Hipotez Testleri Parametrik Testler Hipotez Testide Adımlar Bir araştırma sorusuu belirlemesi Araştırma sorusua dayaa istatistiki hipotezleri oluşturulması (H 0 ve H A ) Hedef populasyoda öreklemi elde

Detaylı

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ

KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ KİMYASAL DENGE (GİBBS SERBEST ENERJİSİ MİNİMİZASYONU) MODELLEMESİ M. Turha ÇOBAN Ege Üiversitesi, Mühedislik Fakultesi, Makie Mühedisliği Bölümü, Borova, İZMİR Turha.coba@ege.edu.tr Özet: Kimyasal degei

Detaylı