Kinematik. FİZ1011 : Ders 4. İki ve Üç Boyutta Hareket. Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Vektörleri. Teğetsel ve Radyal İvme. Eğik Atış Hareketi

Transkript

1 FİZ1011 : Ders 4 Kinematik İki ve Üç Boyutta Hareket Yerdeğiştirme, Hız ve İvme Vektörleri Teğetsel ve Radyal İvme Eğik Atış Hareketi Düzgün Dairesel Hareket

2 İki ve Üç Boyutlu Hareketler Konum Vektörü P noktasında bulunan noktasal bir cismin konumu r = xi + yj + zk

3 Hız Noktasal bir cismin A noktasından B noktasına Dt sürede gittiğini varsayalım. Yerdeğiştirme: Dr r r B A Ortalama Hız: vort Dr rb r Dt t t B A A Ani Hız: v Dr dr lim D t dt D t 0 dr dx ˆ dy ˆ dz v i + j kˆ dt dt dt dt v x d x dt d y vy dt v z d z dt

4 İvme İvme bir boyutlu harekette olduğu gibi parçacığın hızının nasıl değiştiğini tanımlar. Hız (iki veya üç boyutlu) bir vektör olacağından ivme hızın hem büyüklüğündeki (süratini, şiddetini) hem de yönündeki değişiklikleri gösterecektir. Şekilde virajlı (eğri) bir yolda hareket eden arabanın (cismin) Dt sürede A noktasında B noktasına geldiğini düşünelim. Ortalama İvme: aort Ani İvme: Dv vb v Dt t t Dv a lim D t 0 D t dt B dv A A

5 İvmenin Paralel ve Teğet Bileşenleri Yola paralel (teğet) bileşen, sadece cismin hızının şiddetinin değiştirir yönünde bir değişim yapamaz. Yola dik (radyal) bileşen cismin hız vektörünün yönünü değiştirir şiddetinde bir değişim yapamaz.

6 Dairesel Hareket Problem 4.1 Bir parçacık için konum vektörünün, x = at + b ve y = ct 2 + d olmak üzere r = xi + yj olarak bilinmektedir. Burada a = 1,00 m/s, b = 1,00 m, c = 1,00 m/s 2, ve d = 1,00 m dir. (Serway, 2/101). a) t 1 = 2,00 s ile t 2 = 4,00 s zaman aralığında ortalama hızı ve b) t = 2,00 s deki hızını ve süratini bulunuz. Sonuçlar : a) b) v ort. = 1,00 i + 6,00 j m/s v ort. = 6,08 m/s v = a i + 2c t j m/s v = 1,00 i + 4,00 j m/s v = 4,12 m/s

7 Dairesel Hareket Problem 4.2 Başlangıçta orijinde bulunan bir parçacık, a = 3, 00 j m/s 2 lik bir ivme ile v o = 3, 00 i m/s lik bir hıza sahiptir. (Serway, 8/101). a) Herhangi bir t zamanındaki vektörel konumu ve hızını, b) Parçacığın t = 2, 00 s deki konumunu, orijine olan uzaklığını, hızını ve süratini bulunuz. Sonuçlar : a) b) r = 3,00 t i + 1,50 t 2 j m r = 6,00 i + 6,00 j m v = 3,00 i + 6,00 j m/s v = 3,00 i + 3,00 t j m/s r = r = 8,49 m v = v = 6,71 m/s

8 Eğik Atış Hareketi v o hızıyla yatayla a açısı yapacak şekilde fırlatılan m kütleli bir cismi ele alalım. (Problem: R men., h mak. ve t uçuş uçuş zamanını bulmak.) r = R t = x(t) i + y(t) j v = V t = v x (t) i + v y (t) j

9 Eğik Atış Hareketi Cisme uygulanan ivme g yerçekim ivmesidir. Oda negatif y yönündedir. a = a x (t) i + a y (t) j = g j

10 Eğik Atış Hareketi v ox = v o cos α v oy = v o sin α r = R t = v ox t x i + v oy t 1 2 g t2 y j v = V t = v ox v x i + v oy gt v y j tuçuş = 2v o sin α g h mak. = v o 2 sin 2 α 2g R men. = v o 2 sin 2α g

11 Problem 4.3 Yanan bir binadan 50,0 m uzakta bulunan bir itfaiyeci, şekildeki gibi hortumu 30º açı ile yanan binaya tutmaktadır. Suyun hızı 40,0 m/s ise, su hangi yükseklikte binaya çarpar. (Serway, 20/102). Sonuç : t = 1, 44 s, h = 13,7 m

12 Problem 4.4 Bir gemi rıhtıma 45,0 cm/s süratle yaklaşıyorken, kıyıdaki fenerin tepesinden gemiye yatayla 60º ve 15,0 m/s hızla bir paket atılacaktır. Fener gemi güvertesinden 8,75 m daha yüksektedir. Bu paketin gemiye düşmesi için gemi fenere hangi uzaklıkta iken paket atılmalıdır? t = 3,20 s t = 0,556 s D = 25,4 m

13 Problem 4.5 Bir kayak sporcusu, kayak pistini yatayla 10º açı yapacak şekilde 25,0 m/s lik bir hızla terk eder. İnişinde 35º eğimi bir düzleme inmekte olduğuna göre, pisti terk ettiği nokta ile eğik düzleme değdiği nokta arasındaki mesafe nedir? α = 10º t = 4,41 s x = 109 m y = 76,2 m d = 133 m α = 0 t = 3,58 s x = 89,4 m y = 62,5 m d = 109 m

14 Dairesel Hareket Dairesel yolda hızlanan hareket Dairesel yolda yavaşlayan hareket Düzgün Dairesel hareket a = a 2 + a 2

15 Düzgün Dairesel Hareket (a) (AOB) üçgeni ve (b) de hız vektörlerinin oluşturduğu üçgen benzerdir. Benzerlik oranlarından Dv Ds s Dv v D v R R B a rad Dv v Ds Dt R Dt Dv arad lim D t 0 D t v Ds v Ds v ds arad lim lim Dt 0 R Dt R Dt 0 Dt R dt a rad 2 v R

16 Problem 4.6 Dünyanın çevresindeki ayın yörüngesi, yaklaşık olarak r Ay = 3, m yarıçaplı (yaklaşık) dairedir. Ayın, dünya etrafındaki bir devrinin tamamlaması (periyodu) T = 27, 3 gün alır. (Serway, 24/103). a) Ayın ortalama yörünge hızı b) Merkezcil ivmesini bulunuz. v = 1,02 km/s a = 2, m/s 2

17 Problem 4.7 Dünyanın yarıçapı yaklaşık olarak r D = 6380 km dir. Dünya, kendi etrafındaki 24 saatte dönmektedir. a) Ekvatordaki bir cismin radyal ivmesi ne kadardır, b) Eğer ekvatordaki merkezcil ivme g den büyük olsaydı cisimler dünya yüzeyinden uzaya savrulurdu. Böyle bir olayın olabilmesi için dünyanın periyodu minimum ne olmalıdır. a = 3, m/s 2 T = 5064 s = 84,4 dk = 1,41 h

18 Düzgün Olamayan Dairesel Hareket Bu harekette cisme ait hızın şiddeti değişmektedir. a rad 2 v R a tan d v dw r r a dt dt Düşey doğrultuda bir ipin ucuna bağlı m kütleli bir cismin döndürülmesi durumunda yapacağı harekete ilişkin ivme ve hızın değişimleri görülmektedir.

19 Problem 4.8 Sallanan top 0,50 m uzunluğunda bir ipin ucuna bağlanan m kütleli bir top, şekildeki gibi, yerçekiminin etkisi altında düşey bir daire çevresinde salınmaktadır. İp düşeyle 20º lik açı yaptığı zaman, top 1,50 m/s lik hıza sahip olduğu bilindiğine göre topun sahip olduğu ivmeyi ve iple yaptığı açıyı bulunuz? a = 3,35 m/s 2 a = 4,50 m/s 2 a = 5,61 m/s 2 φ = 0,640 = 36,7

20 Problemler 1. Durgun suda 15.0 km/h hızla giden bir motor, 3.00 km/h akıntısı olan bir nehirde, a) Akıntıya karşı, b) Akıntı yönünde 40.0 km mesafeyi ne kadar zamanda gider? 2. Bir cisim yerden 60,0 m yükseklikten 20,0 m/s lik hızla, düşey olarak aşağıya doğru atılıyor. Cismin; a) Atıldıktan 1 saniye sonra yerden yüksekliğini, b) Yere çarpma hızını, bulunuz Uzunluğu 8,00 m olan bir otobüs 72,0 km/h hızla gitmekte iken uzunluğu 17,0 m olan ve 54,0 km/h hızla yol alan bir tırı yetişip onu geçiyor. a) Geçiş süresini, b) Bu süre içinde her bir aracın aldığı yolu bulunuz. Bir jet, uçak gemisine 140 mi/saat (63,0 m/s) hızla 2,00 s de iniyor. a) Jet 2,00 s sonra duruyorsa ivmesi nedir? b) Jet yavaşlarken yerdeğiştirmesi nedir? Bir şoför, yolu kapatan bir ağaç gördüğü anda frene basar ve -5,60 m/s 2 lik ivme ile 4,20 s de 62,4 m lik fren izi bırakarak ağaca çarpar. Otomobilin ağaca çarpış hızını bulunuz?

21 de Jules Verne, 220 m uzunluğundaki bir top içerisine yerleştirilen bir kapsülü 10,97 km/s hıza ulaşacak şekilde fırlatarak insanları aya göndermeyi önerdi. Fırlatma esnasında uzay yolculuğu yapacak kişinin gerçek olmayacak kadar büyük olan ivmesi nedir? Bu değeri 9,81 m/s2 ile karşılaştırınız km yüksekte 600 km/h hızla yatay uçmakta olan uçaktan yerdeki bir noktaya yardım paketi atılacaktır. Pilotun yardım paketini bırakacağı anda hedef doğrultusunun düşeyle yapacağı açı ne olmalıdır? Başlangıçta orjinde yerleştirilmiş bulunan bir parçacık, a=3.00 j m/s 2 lik bir ivmeyle ve v i =5.00 i m/s lik bir ilk hıza sahiptir. a) Herhangi bir t anındaki konum vektörü ve hızı, b) t=2 s deki parçacığın koordinatı, hızı ve hızının büyüklüğünü bulunuz? Garip bir gezegende bulunan bir astronot, ilk hızı 9.00 m/s iken 15.0 m lik maksimum yatay bir uzaklığa sıçrayabilmektedir. Bu gezegende 1.00 kg kütleli bir cismi 1.00 m yükseklikten serbest bırakırsak kaç saniyede yere düşer? 10. Bir gemi rıhtıma 45.0 cm/s süratle yaklaşıyorken, kıyıdaki fenerin tepesinden gemiye yatayla 60.0º ve 15.0 m/s hızla bir paket atılacaktır. Fener gemi güvertesinden 8.75 m daha yüksektedir. Bu paketin gemiye düşmesi için gemi fenere hangi uzaklıkta iken paket atılmalıdır?

22 11. Bir kayak sporcusu, kayak pistini yatay 25.0 m/s lik bir hızla terkeder. İnişinde 35 o eğimi bir düzleme inmekte olduğuna göre, pisti terk ettiği nokta ile eğik düzleme değdiği nokta arasındaki mesafe nedir? 12. Başlangıçta orjinde yerleşmiş bulunan bir parçacık, a = 3.00 j m/s 2 lik bir ivmeyle ve v i = 5.00 i m/s lik bir ilk hıza sahiptir. a) Herhangi bir t zamanındaki konum vektörünü ve hızı nedir? b) Parçacığın t = 2.00 s deki koordinatlarını ve hızının büyüklüğünü (süratini) bulunuz? Bir barda, müşteri, yeniden doldurulmak üzere boş bir bira bardağını tezgah üzerinde kaydırır. Barmen bir an dalar ve bardak tezgahın kenarından kayarak tabandan 1.40 m uzakta döşemeye çarpar. Tezgahın yüksekliği 0.86 m ise, a) Bardak tezgahı hangi hızla terkeder? b) Tam döşemeye çarpmadan önce bardağın hızının dorultusu nedir? Namlu hızı 1000 m/s olan bir top bir dağın yamacı üzerinde bir çığ başlatma için kulanılmaktadır. Hedef toptan yatay olarak 2000 m ve yukarıya doğru 800 m uzaktadır. Top hangi açıyla ateşlenmelidir?

23 15. Bir ipin ucuna bağlı 2,00 kg kütleli bir cisim şekildeki gibi 1,20 m yarıçaplı dairesel bir yörüngede döndürülmektedir. Cismin A ve B noktalarındaki hızın şiddeti v i =1,50 m/s ve dairenin merkezi yerden 1,50 m yukarıda olduğu bilinmektedir. a) A noktasında b) B noktasında cisim serbest bırakılırsa taşın yere düştüğü noktanın O noktasına olan uzaklığı (menzili) nedir? c) A ve B noktalarında cisim bırakılmadan önce taşın ivmesi nedir?