Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Transkript

1 BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a a birinci, b e de ikinci bileşen adı verilir. İki sıralı ikilinin eşitliği demek,anı bileşenlerin eşit olması demektir. Yani ( ab, ) = ( cd, ) a = c veb = d dir. Örnek : ( +, ) = (4,) ise =? Çözüm : + = 4 = = = 5 = 5 = 5 Tanım : A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililer kümesine A kartezen çarpım B kümesi denir ve A B şeklinde gösterilir A B = {(,) A ve B } dır. Örnek : A ={ a, b, c } ve B ={,} ise Çözüm: A B = {( a,),( a, ),( b,),( b, ),( c,),( c, )} B A = {(, a),(, b),(, c),(, a),(, b),(, c )} A B ve B A bulunuz. Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi sıralı ikililerde sıra önem kazanacağından A B B A dır. Tanım : A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere, A B kümesinin β gibi herhangi bir alt kümesine A dan B e bir bağıntı denir. Bağıntılar α,β... gibi semboller ile gösterilir. 6

2 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : A = { abc,, } ve B = {, } kümeleri için A dan B e üç bağıntı azınınız. Çözüm : A B = {( a,),( a, ),( b,),( b, ),( c,),( c, )} kartezen çarpım kümesinin her bir alt kümesi A dan B e bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan üç tanesini azarsak, { a } { c c } β = (,) β = (,),(,) { a a b c } β = (,),(, ),(, ),(,) Analitik düzlemde, - ekseni üzerinde sağda büük, solda küçük saılar, - ekseni üzerinde de ukarıda büük, aşağıda küçük saılar bulunur. Örnek : A = {,, } ve B = {,} kümeleri için A B grafiğini analitik düzlemde gösteriniz. Çözüm : A B ={(,), (,), (,), (,), (,), (,) } olup A B kümesi düzlemde noktaları oluşturur. (B kümesi) A B (A kümesi ) 64

3 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek: A = { < ve } ve B { ve } A B bağıntısının grafiğini düzlemde gösteriniz. Çözüm: = kümeleri için A = [, ) arı açık aralığındaki tüm reel saılar, B = {,, } kümesindeki tam saılar olup A B kümesi düzlemde doğruları oluşturulur. Örnek: A B= {(, ),, ve } bağıntısının grafiğini düzlemde gösteriniz. Çözüm: olup [,] olup [,] O halde ve nin oluşturacağı ikililerin kümesi düzlemsel bir bölgei oluşturur. Bu bilgilerden sonra artık fonksion kavramını verebiliriz. 65

4 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Tanım : A ve B boş olmaan iki küme olmak üzere f, A dan B e bir bağıntı olsun. Eğer A kümesinin her elemanı B kümesinin alnız bir elemanı ile eşleşiorsa f bağıntısına A dan B e bir fonksion denir. A dan B e bir fonksion genellikle f : A B şeklinde gösterilir. Burada A kümesine fonksionun tanım kümesi B kümesine de fonksionun değer kümesi denir. Eğer f ( A )=C B ise C kümesine de fonksionun görüntü kümesi denir. A B C Görüntü Kümesi Tanım Kümesi Değer Kümesi Bu halde f bağıntısının A dan B e bir fonksion olması için: a) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmaacak, b) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde birden fazla görüntüsü olmaacaktır. Örnek: A = {,, } dan B = {,4,6,8} e tanımlı aşağıdaki bağıntılarda hangisi bir fonksiondur? {( ) ( )} f =,,,8 f fonksion değildir. Çünkü tanım kümesinde elemanı açıkta kalmıştır. 66

5 Taşkın, Çetin, Abdullaeva f = {(,),(,4),(,6),(,8) } f fonksion değildir. Çünkü tanım kümesindeki elemanının değer kümesinde iki görüntüsü oluşmuştur. f = {(,4),(,6 ), (,8) } f, fonksion tanımına ugundur. Örnek: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiondur? ) f :, f( ) = 7 fonksion değildir. Çünkü için f () = 7 = 5 dır. + ) g :, g ( ) = fonksion değildir Çünkü 4 için g(4) = = dır. h :, h ( ) = fonksiondur. ) Çünkü için dır. 67

6 Taşkın, Çetin, Abdullaeva... FONKSİYON ÇEŞİTLERİ - Birim Fonksion f : A A, fonksionunda A kümesinin her elemanının görüntüsü ine kendisi oluorsa ani A için f( ) = ise f fonksionuna A da birim(özdeşlik) fonksion denir. - Sabit Fonksion f : A B, fonksionunda A kümesinin her elemanı B de anı eleman ile eşleşiorsa diğer bir ifadele, A kümesinin bütün elemanlarının görüntüleri anı ise ani b B olmak üzere Aiçin f( ) = b ise f fonksionuna sabit fonksion denir. - Diğer Fonksion Çeşitleri f, A dan B e bir fonksion olmak üzere, a) Değer kümesinin en az bir elemanı görüntü kümesinin elemanı değilse ani f( A) B ise f e içine fonksion denir. b) Değer kümesi görüntü kümesine eşit ise ani f( A) örten fonksion denir. = B ise f e c) A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise ani, A için iken f( ) f( ) ise f e birebir fonksion denir. d) Hem birebir, hemde örten olan fonksiona birebir örten fonksion denir. Örnek: A = {,,}, B = {,,5 }, C = {,4 }, D ={,4,6} kümeleri için aşağıdaki fonksionların ne tür fonksion olduklarını inceleelim. 68

7 Taşkın, Çetin, Abdullaeva ) ) ) 4) 5) 6) Tanım : f : tanımlanan bir fonksion olsun. a) için f( ) = f( ) ise f fonksionuna tek fonksion, b) için f( ) = f( ) ise f fonksionuna çift fonksion denir Örnek: f ( ) =, g( ) = + ve h( ) fonksion olup olmadığını inceleelim. = fonksionlarının tek vea çift Çözüm: f( ) ( ) f ( ) = = = olduğundan f çift fonksiondur ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g = + = = + = g olduğu için tek fonksion, h ( ) = ( ) ( ) = h ( ), h( ve ) h ( ) e eşit olmadığından ne tek ne de çift fonksiondur. O halde bir fonksion tek vea çift olmak zorunda değildir. 69

8 Taşkın, Çetin, Abdullaeva... FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER f : A, g : B fonksionları için A B boş olmaan küme olsun. ) f ± g:( A B) ( f ± g)( ) = f( ) ± g( ) ) f g: A B ( f g)( ) = f( ) g( ) ) A B için g ( ) olmak üzere f g : A B f f( ) ( ) = g g( ) 4) c olmak üzere ( c f)( ) = c f( ) dır. Örnek: f :, f( ) = 4 ve g : {} 4, g ( ) = 4 fonksionları verilior. Aşağıdakileri bulunuz? a) ( f + g)( ) =? b) ( f 5 g)( ) =? c) ( f g)( ) =? f d) ( ) =? g Çözüm: a) ( f + g)( ) = f( ) + g( ) = ( 4 ) + ( 4) = 4 b) ( f 5 g)( ) = f( ) 5 g( ) = ( 4 ) 5 ( 4) = 9+ c) ( )( ) ( ) ( ) ( 4 ) ( 4) 8 6 f g = f g = = + d) f g ( )= ( ) f g ( ) = 4 4 ( 4) = 4 = dır. 7

9 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek: f :, { }, verilior. 4 f f ( ) = + ve :{,} + g fonksionunun görüntü kümesi nedir? g, g ( ) = fonksionları Çözüm : 4 f + g fonksionu {, } {,} = { } kümesinden e tanımlıdır. Yani 4 f + g: {} olup, ( 4 f + g)() = 4 () () 4 ( ) ( ) 4 f + g = + + = + = bulunur.... BİR FONKSİYONUN TERSİ f : A B bir fonksion olduğu için f ={( ), A, B ve = f( ) } bağıntısı azılabilir. f fonksionunun tersi olan f bağıntısı da benzer şekilde f ={( ), B, A ve f ( ) = } azılır. f fonksionu ancak - ve örten ise f fonksionu vardır. Eğer f fonksionu - ve örten değilse f fonksionunun tersinden söz edilemez. f A B B f A f = f = dir. olup ( ) ( ) = = kümeleri için f {(, a), (, b), (, c) } Örnek: A {,, }, B { abc,, } varsa tersini bulunuz. f ( ) = ( ) f = = fonksionun A f B B f A a b c a b c 7

10 Taşkın, Çetin, Abdullaeva f = {(, a),(, c),(, b)} - örten olduğu için f vardır ve f {( a,),( c, ),( b,)} = olup f de - ve örten fonksiondur. { } Örnek : A= {,, }, B= { abc,, } kümeleri için g = (, a), (, a), (, b) fonksionunun varsa tersini bulunuz. A g B a b c g = {(, ), (, ), (, )} a a b - ve örten olmadığı için g {( a,),( a,),( b,)} = bağıntısı fonksion değildir Fonksion B g A a b c g fonksion değildir(tanım kümesinde c elemanı açıkta olup, a elemanının da tane görüntüsü vardır.) Fonksion değil Örnek: f : bulunuz., f( ) = 5+ olduğuna göre varsa f ( ) fonksionunu Çözüm: f, - ve örten olduğundan f vardır. ( ) ( ) f = f = olduğundan f( ) = 5+ = 5 = f ( ) = 5 Yani f 5 ( ) = bulunur. 5 7

11 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek: f : {} 8 {} 4, fonksionunu bulunuz. f( ) = olduğuna göre, varsa f ( ) Çözüm : f, ve örten olduğundan tersi vardır. ( ) ( ) f = f = olduğundan Örnek: f :, 4 + = 4 + = = 8 (4 ) = 8 8 = 4 8 f ( ) = f 4 f( ) 8 ( ) = 4 bulunur. = fonksionunun tersi oktur. Çünkü fonksion - değildir. ve + saıları için + olduğu halde f (-) = f () = dır. Osa f : + +, f( ) = fonksionun tersi var ve f ( ) = dir. NOT: f : tanımlanan f( ) ile f ( ) fonksionlarının analitik düzlemdeki görüntüleri Örnek: f : = doğrusuna göre simetriktir., f( ) = + fonksionunun (varsa) tersini bulup kendisini ve tersini anı düzlemde gösteriniz. Çözüm : f, - ve örten olduğundan tersi vardır. ( ) ( ) f = f = dır. + = = f ( ) = f ( ) = bulunur. 7

12 Taşkın, Çetin, Abdullaeva f ve f fonksionlarının grafikleri = doğrusuna göre simetrik olup grafik an tarafta çizilmiştir. Tanım : f : A B, f( ) = ve g : B C, g( ) = z olmak üzere g f : A C, ( g f)( ) = z şeklinde tanımlanan g f fonksionunun f ile g fonksionlarının bileşke fonksionu denir ve g f ile gösterilir. A f B g C. =f().z g f ( g f)( ) = g( f( )) = g( ) = z Örnek : f ve g:, f( ) = 5 ve g ( ) = fonksionları için aşağıdakileri bulunuz. a) ( f g)( ) b) ( g f )( ) 74

13 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Çözüm : a) ( )( ) f g = f( g( )) = f( ) = 5 b) ( )( ) g f = g( f( )) = g( 5) = ( 5) = dır. Örnekte görüldüğü gibi ( f g) ( g f) dır. Örnek : f ve g:, ( ) 8 f = ve g ( ) = + ise ( g f)() nedir? Çözüm : ( g f)() = g( f()) olduğundan f () = 8 = g () = + = ( g f)() = g( f()) = g() = bulunur... DOĞRUSAL FONKSİYONLAR Tanım: a, a, a,, an ve an olmak üzere f :, ( ) n n n f = an + an + an +... a+ a ile tanımlanan fonksiona n. dereceden polinom fonksionu denir. Polinom fonksionlarının tanım kümeleri bütün reel saılar kümesidir. Tanım: ab, olmak üzere = a+ b ifadesine doğrusal (lineer) fonksion denir. = a+ b doğrusal fonksionunda in katsaısı olan a a doğrunun eğimi b e de kesen terim denir. = f( ) = a+ b fonksionu birinci dereceden bir polinom fonksion olup düzlemde bir doğru belirtir. Düzlemdeki bir doğru genel olarak a + b + c = şeklindedir. Bu doğru denkleminin a eğimi olup eğim, m = a şeklinde gösterilir. b b Örnek: Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulunuz. ) = 5 eğim = m = ) = + m = 75

14 Taşkın, Çetin, Abdullaeva ) = m= 4 4) = m= 5) = m =... DOĞRUSAL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ = a+ b doğrusal fonksionunun grafiğini çizmek için en az iki noktanın bulunması gerekir. Örneğin bunun için = değerine karşılık nin almış olduğu değer, = değerine karşılık nin almış olduğu değer bulunur. Bölece = a+ b doğrusu ve nin almış olduğu bu noktalardan geçecek şekilde çizilir. Örnek : Aşağıdaki doğruları çiziniz. = + ) = ise = = ise = olup doğru eksenleri (,) noktalarında keser. ve (,) - = + ) = 6 = ise = = ise = olup doğru, eksenleri (, ) ve (,) noktalarında keser. = 6 - ) = doğrusu çizilirken = ise = olup, doğru (,) noktasından geçer. 76

15 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Ancak bir nokta verilen bir doğruu çizmek için eterli değildir. Bu nedenle = doğrusunda in her değeri için anı değeri aldığından geçen. açıorta doğrusudur. = doğrusu orijinden 4) = doğrusu... İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE PARALEL VE DİK OLMASI = m+ n ve = m+ n iki doğru olmak üzere ) Bu iki doğru biri birine paralel ise eğimleri eşittir ( m = m) ) Bu iki doğru biri birine dik ise eğimleri çarpımı dir.( m m = ) 77

16 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek: = + 4 doğrusu ile = doğrusu biri birine paraleldir. Çünkü m = m = ( Eğimleri eşittir. ) Örnek: = doğrusu ile = + doğrusu biri birine diktir. Çünkü (Eğimleri çarpımı dır.) Örnek: = 5 ve k = denklemlerile verilen doğruların biri birlerine, a) Paralel olmaları için k ne olmalıdır? b) Dik olmaları için k ne olmalıdır? 78

17 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Çözüm : a) = 5 ise m = k = = k k k = m = k paralellik için m = m olduğundan = k = 6 b) Diklik için m m = olduğundan k = k = bulunur....iki NOKTASI VERİLEN DOĞRUNUN EĞİMİ Düzlemde A(, ) ve (, ) B noktaları verilsin. Bu iki noktadan geçen doğrunun eğimi, m = bağıntısı ile bulunur. Örnek: (, ) ve ( 5, ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz. Çözüm : (, ) ve ( 5, ) noktaları için m = = = 5..4.BİR NOKTASI VE EĞİMİ BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ Düzlemde A (, ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi = m ( ) dir. Örnek: A (, ) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm: A (, ), m = olduğundan, ( ) ( ) = m = = + bulunur. 79

18 Taşkın, Çetin, Abdullaeva..5. İKİ NOKTADAN GEÇEN DOĞRU DENKLEMİ (, ) B, noktalarından geçen doğrunun denklemi, = bağıntısıla bulunur. A ve ( ) Örnek : (,) ve (,4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm : = = = + 4 bulunur...6. İKİ DOĞRUNUN KESİM NOKTASI = a+ bve = a+ bdoğrularının kesim noktası bu iki doğrunun oluşturduğu lineer denklem sisteminin çözümü ile bulunur. Örnek : = ve = + 6 doğrularının kesim noktasını bulunuz. Çözüm : Verilen doğru denklemlerinin sağ tarafları eşitlenirse, Örnek : + = ve 5+ = doğrularının kesim noktasını bulunuz. Çözüm : Verilen doğru denklemlerinin çözüm kümesi bu iki doğrunun kesim noktasıdır. 8

19 Taşkın, Çetin, Abdullaeva + = / 5+ = denklem sistemi çözülürse + = / + 4 = 9 7 = = için birinci denklemde i hesaplaalım. + = + = = 5 olup bu iki doğru ( 5,) noktasında kesişirler...7.düzlemde İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK (, ), (, ) A B noktaları arasındaki uzaklık şekildeki ABC üçgeninden Pisagor teoremi ile bulunur. d= AB ( ) ( ) = + dir. Örnek : A(,) ve B(,4) noktaları arasındaki uzunluk kaç birimdir? ( ) ( 4 ) AB = + AB = birim bulunur. 8

20 Taşkın, Çetin, Abdullaeva. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ve PARABOL Tanım : abc,, ve a olmak üzere f ( ) = a + b + c fonksionuna ikinci dereceden polinom fonksion denir. İkinci dereceden polinom fonksionların grafiklerine parabol denir. PARABOLÜN ÇİZİMİ ( ) = + + parabolünü çizmek için aşağıdaki adımlar izlenir. f a b c ) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur. ( = =?, = =?) b 4ac b ) Trk (, ) = T, noktasına parabolün tepe noktası adı verilir. a 4a ) a > ise tepe noktası çukur (kollar ukarı). a < ise tepe noktası tümsek (kollar aşağıdır). Örnek : = + parabolünü çiziniz. Çözüm : = + ) = ise = ise, ) T( r k) = olup parabol eksenini (,) de, = + = = olup parabol eksenini (,) ve (,) ( ) ( ) b 4ac b 4, =, =, =, a 4a 4 4 ) a = > olup parabolün kolları ukarı doğrudur. O halde verilen parabolün grafiği aşağıdaki gibidir. da keser. 8

21 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : Çözüm : = parabolünü çiziniz. = ) = ise =, = ise = =, = olup parabol (, ), (,),(,) noktalarından geçer. ) a =, b = ve c = olup tepe noktası T (,) dir. ) a = < olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur. O halde verilen parabolün grafiği aşağıdaki gibidir. 8

22 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : = ( + ) parabolünü çiziniz. Örnek: = ( + ) = parabolünü çiziniz. = 4 Örnek : = parabolünü çiziniz. Örnek : = parabolünü çiziniz. = =.4. RASYONEL FONKSİYONLAR Tanım : P ( ) ve Q ( ) birer polinom fonksion ve S kümesi de Q ( ) fonksionun P ( ) gerçel köklerinin kümesi olsun. f : S, f( ) = şeklindeki fonksionlara Q ( ) rasonel fonksionlar denir. f : {}, f( ) = g :, g ( ) = + + h : {,}, h ( ) = fonksionları birer rasonel fonksionlardır. 84

23 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Rasonel fonksionların tanım kümeleri bazen açık olarak verilmez. Bu durumda padanın kökleri dışında kalan tüm gerçel saıların kümesi bu fonksionun tanım kümesi olarak alınır. Örnek : f ( ) = rasonel fonksionunun tanım kümesini bulunuz. + Çözüm : Padanın köklerini bulalım. + = = olup, fonksionun tanım kümesi TK. = dir. Örnek : f ( ) = fonksionunun grafiğini çizelim. Bu fonksion = için tanımlı olmaıp, fonksionun tanım kümesi {} dir. Bu tanım kümesine ait bazı noktaların f fonksionu altındaki görüntülerini bularak aşağıdaki tablou oluşturalım., f ( ) = 5 5, 5 5,, ( ), 5, 5 5 5, ( ), Tabloda görüleceği gibi (,) ve (,+ ) aralığında ler büüdükçe ler küçülüor. O halde verilen fonksionun grafiği aşağıdaki gibidir. 85

24 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : Aşağıdaki grafikleri de benzer şekilde çizebiliriz. a) = TK.. = {} 86

25 Taşkın, Çetin, Abdullaeva b) = TK.. = {} Bu tip fonksionların grafiklerinin çizimini türevin ugulamaları konusunda daha detalı şekilde vereceğiz..5. CEBİRSEL FONKSİYONLAR Tanım : Toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerin anı sıra rasonel kuvvetleri de içeren ve kurallarla verilen fonksionlara cebirsel fonksion denir. Polinom ve rasonel fonksionlar da birer cebirsel fonksiondur. Cebirsel fonksionların tanım kümesi açıkça belirtilmediği zaman, fonksion altındaki görüntüsü, bir gerçel saı olan tüm gerçel saıların kümesi tanım kümesi olarak alınır. Bu fonksionların tanım kümelerinin bulunması genellikle bazı eşitsizliklerin çözümleri ile bulunur. Örnek : ( ) = + 5 f cebirsel fonksionunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: Ancak pozitif saıların karekökü tanımlı olduğundan, bu fonksion + 5 eşitsizliğini sağlaan değerleri için tanımlıdır olup f nin tanım kümesi TK 5.. =, aralığıdır. 87

26 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : ( ) f = cebirsel fonksionunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm : Fonksionun köklü teriminin derecesi tek olduğu için f ( ), in her değeri için tanımlıdır. Dolaısı ile f in tanım kümesi TK.. = dir. Örnek : f ( ) = fonksionunun grafiğini çiziniz. olduğundan fonksionun tanım kümesi TK.. = [, ) dır. Bu aralığa ait bazı değerlerin f altındaki görüntülerini bularak aşağıdaki tablou oluşturup fonksionun grafiğini çizelim. ( ) f = (, ) (,) (,) 4 ( 4,) 9 ( 9,) 4 9 =.6. PARÇALI FONKSİYONLAR Tanım : İki a da daha çok fonksionun bir araa gelerek oluşturduğu koşullu fonksiona parçalı fonksion denir. Şimdi bu tip fonksionların grafiklerini çizelim. 88

27 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek: f :, <, f( ) = fonksionu parçalı fonksion olup grafiği iki arı, aralığında,+ aralığında ise aralıkta incelenir. (,) = parabolünün, [ ) = doğrusunun grafiği çizilir. = = Örnek : f :, <, f ( ) = fonksionunun grafiği aşağıdaki şekildedir., = = Örnek : f ( )= < 4, +, > fonksionunun grafiği aşağıdaki şekildedir. 89

28 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : f( ) = fonksionunun grafiği aşağıdaki şekildedir., f( ) =, < = = - Örnek : ( ) f = fonksionunun grafiği aşağıdaki şekildedir. f ( )= ; ( ) ; < ; + ; < = + = 9

29 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : = fonksionunun grafiği aşağıdaki şekildedir., =, <.7. ÜSTEL FONKSİYONLAR + Tanım : a, a verilsin. : +, ( ) f f = a şeklinde tanımlanan fonksiona a tabanlı üstel fonksion denir. + a ve a olduğundan, üstel fonksionlar için iki arı durum vardır. a ) a > ise a a >, > =, = <, < a ise ) < a < ise a a <, > =, = >, < ise < a < a > Yukarıdaki tablolardan görüleceği gibi a > ise = a fonksionu artan, < a < ise = a fonksionu azalan bir fonksiondur. 9

30 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Şimdi bu tip fonksionların grafiklerini çizelim. Örnek : Çözüm: = fonksionunun grafiğini çiziniz. = fonksionuna ait değerler tablosunu oluşturalım. olup fonksionun grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir. + = Örnek : = fonksionunun grafiğini çiziniz. Çözüm : = grafiğini çizelim. fonksionuna ait değerler tablosunu oluşturup fonksionun + = + 4 9

31 Taşkın, Çetin, Abdullaeva.7.. ÜSTEL FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ a, b >, a, b ve, olsun. Bu durumda ) a) aa = a + b) ( ) a = a a a c) = b b a d) = a a ) a = a = ) için a = b a = b.7.. ÜSTEL DENKLEMLER Tanım: a > o, a, a ve b ise denir. a = b ifadesine üstel denklem 9

32 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Eğer b < ise Eğer b > ise a a = b denkleminin çözümü ok. = b denklemin çözümü var. Bir üstel denklemi çözmek için denklemin, her iki tarafındaki ifadeler anı tabana göre azılır. Üslü özellikler kullanılarak sonuca gidilir. Örnek : 4 = 6 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: = 4 = olup ÇK.. = } bulunur. Örnek : 9 = = + + Çözüm: 9 = ( ) = ( ) 4 = 4 = { denkleminin çözüm kümesini bulunuz. + 6 = = olup 6 ÇK.. = 6 bulunur. Örnek : + 4 = 5denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: + 4 = 5 denkleminde = a dielim. ( a > ) 4 a+ = 5 a + 4= 5a a 5a+ 4= denkleminden a = 4 ve a = bulunur. a = a = 4 a = 4 ise = = = a = a = ise = = Ç. K =, bulunur. { } 94

33 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Not: f = ( ) a üstel fonksionunda a erine e alınırsa f = ( ) e fonksionu elde edilir. ( ) e ve f = f ( ) = e fonksionlarının grafikleri aşağıdaki gibi olup buradaki e saısının değeri,788 şeklindedir..7.. ÜSTEL EŞİTSİZLİKLER Tanım: a, a >, a ve b ise a > b, a < b, a b, a b ifadesine üstel eşitsizlikler denir. Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözümünü aşağıdaki örneklerle verelim. Örnek : 7 (,5) 4 < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: (,5) < (,5) 7 7 > < 9 < ÇK.. =, bulunur. olup ( ) Örnek : Çözüm: + 6 > 6 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. + 6 > > 6 + > + > 95

34 Taşkın, Çetin, Abdullaeva olup ÇK.. = (, ) (, + ) bulunur..8. LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Tanım: Herhangi bir a, a >, a saısı verilsin. Bu durumda in a tabanına göre logaritması log a = a = şeklinde tanımlanır. Bu tanıma göre = loga fonksionu ile = a üstel fonksionu birbirlerinin tersi olan fonksionlardır. Arıca = a her zaman pozitif olacağından eğer ise = loga + değerini hesaplama imkanı oktur. Yani f :, f( ) = a üstel fonksionun tersi olan logaritma fonksionu; f : +, f( ) = log a şeklindedir. = loga ifadesinde a = ise buna baağı (adi) logaritma, a = e ise buna da doğal logaritma denir. Bölece adi logaritmaı = log = log, doğal logaritmaı da = log e = ln şeklinde göstereceğiz. Örnek: Aşağıdaki denklemleri çözünüz: 4 ) log 6 = = 6 = = 4 ) log5 = 5 = 5 = 5 = 5 5 ) log 7 = = 7 = = 4) log = 7 = 7 = 7 dır. 7 = Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz: a) log ( + ) = 4 = + = = Ç. K = b) log ( ) = 4 = 8+ = 84 = = 4 Ç. K = Örnek : Aşağıdaki değerleri hesaplaınız: {4} 4 a) log= log = = = = 4 log 4 = b) log(,) = log = = = log(,) = c) lne = ln e = e = e = 8 lne = 8 d) log = e 96

35 Taşkın, Çetin, Abdullaeva e) log = Şimdide logaritmik fonksionların grafiklerini çizmee çalışalım. Örnek : = log fonksionun grafiğini çiziniz. Çözüm: Fonksionun önce değişim tablosunu oluşturup, sonra da grafiğini çizelim = log + Örnek : = log fonksionun grafiğini çiziniz. Çözüm: Fonksionun önce değişim tablosunu oluşturup, sonra da grafiğini çizelim. = log

36 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Örnek : = log ve = fonksionlarının grafiklerini anı koordinat sisteminde gösteriniz. Çözüm: = log ve = fonksionları birbirlerinin tersi olan fonksionlardır. Bu durumda grafikleri = doğrusuna göre simetriktir. = Örnek : = log ve gösteriniz. = fonksionlarının grafiklerini anı koordinat sisteminde 98

37 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Çözüm: = log ve = fonksionları birbirlerinin tersi olan fonksionlardır. Bu durumda grafikleri = doğrusuna göre simetriktir. Örnek : = log4 fonksionunun tersini bulunuz. 7 Çözüm: ve değişkenlerinin erlerini değiştirelim. = log4 = log4 4 = = = 4 f( ) = log f ( ) = 4 7 bulunur. Örnek : ( ) = fonksionunun tersini bulunuz. Çözüm: ve değişkenlerinin erlerini değiştirelim. ( ) ( ) ( ) = = = = 7 log7 = = log f( ) = 5 ( 7 ) 4 f ( ) = log7 + 5 bulunur. 99

38 Taşkın, Çetin, Abdullaeva.8.. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ ) Yalnız pozitif saıların logaritmaları alınabilir. ) log a = a ) log = a 4) log ( ) = log + log a a a 5) loga = loga loga n n 6) log m = log a m a 7) 8) logb log a = dır. log a log a b b = log a b Örnek : log 8? Çözüm: = log 8 = log = log = = Örnek : log =, ise log 8 =? Çözüm: log 8 = log = log = (,) =,99 Örnek : log 7 =, 77 ve log 5 =, 465 ise log 5 =? Çözüm: log5 = log (5 7) = log5 + log7 =, 465 +, 77 =, 6

39 Taşkın, Çetin, Abdullaeva.8.. LOGARİTMİK DENKLEMLER Tanım: a >, a ve a, b, > ise log a = b ifadesine logaritmik denklem denir. Bu denklemlerin çözümünü aşağıdaki örneklerle verelim. Örnek : 5 = ise nedir? Çözüm: 5 = ise logaritmanın tanımından = log5 olup { } ÇK.. = log bulunur Örnek : = 7 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 5 4 Çözüm: Logaritmanın tanımına göre = 7 denklemini log7 = 5 4 azabiliriz. 5 = log7 + 4 = ( log ) olup 5 ÇK. = [ log7 + 4] bulunur. 5 Örnek : = log( 9) fonksionun tanım aralığını bulunuz. Çözüm: Logaritma fonksionu sadece pozitif reel saılar kümesinde tanımlı olduğundan 9 > eşitsizliğinin çözüm aralığı istenen tanım aralığıdır. 9 = = 9 = + 9 > + - +

40 Taşkın, Çetin, Abdullaeva olup.k. = (, ) (, + ) T bulunur. Örnek : log ( + ) + log ( + ) = denklemini çözünüz. Çözüm : [ ] log ( + ) ( + ) = ( + ) ( + ) = + 4+ = + 4= ( + 4) = = ve = 4 Ancak + > ve + > olduğundan, 4 > ve > eşitsizliklerinin ortak çözümü > olur. = çözüm kümesine dahil olmaıp ÇK.. = {} bulunur..8..logaritmik EŞİTSİZLİKLER Tanım: a >, a ve a, b, > ise log a< b,log a b,log a> b,log a b ifadelerine logaritmik eşitsizlikler denir. Örnek: log (5 ) > eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz. Çözüm: log (5 ) > log > 5 < 9 > > < 5 < olup ÇK 5.. =, bulunur. Örnek: log 4( ) < eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

41 Taşkın, Çetin, Abdullaeva Çözüm: log ( ) < log < 6 < 8 > > olup ÇK.. = (,8) bulunur. BÖLÜM ALIŞTIRMALARI ) f :, f ( ) = a + b fonksionu verilior ) f (-) = 9 ve f () = ise a+ b=? {,,,, }, {,,, 4,5} { 4,,,,,,,, 4} A= B= ve C = kümeleri verilior. f : A C, f( ) = + ve :, ( ) g B C g = + fonksionları için aşağıdakileri bulunuz. a) f ( A ) b) ( f + g) ( ) c) ( f g) ( ) d) ( f g) ( ) ) f :, f( ) = 7 ise f (4+ ) =? 4) Aşağıdaki fonksionların tersi olup olmadığını belirtiniz. Varsa tersini bulunuz. a) f : b) f : c) f :, f( ) = 7 5, g ( ), h ( ) = = + 5) Aşağıda verilen noktalar için, bu noktalar arasındaki uzaklıkları ve bu noktalardan geçen doğru denklemlerini azınız.

42 Taşkın, Çetin, Abdullaeva a) A (, 5) ve B (,5 ) b) A (, ) ve B (, ) c) A (, ) ve B (, ) 6) Aşağıda verilen doğruları çiziniz. a) = + b) = 6 c) d) = + = 7) Aşağıda verilen parabolleri çiziniz. a) = b) = 9 c) = ( ) + d) = ( ) 9 e) = ) Aşağıda verilen, tanımlanmış fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f ( ) +, =, > b) f ( ) 4, = +, > 4

43 Taşkın, Çetin, Abdullaeva, g =, <, < c) ( ) +, < g = + 5, <, d) ( ) e) h( ) = f) f ( ) =, 9) Aşağıda verilen üstel fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f ( ) = 4 b) g( ) = c) ( ) = h 4 d) k( ) = ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. 4+ a) = (,) b) 9 5 = 7 c) ( ) 8 = d) ( ) 4 = e) 4( ) = = f) ( ) 5

44 Taşkın, Çetin, Abdullaeva g) 9 + = h) = i) e e 6 = ) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çiziniz. a) = log b) = log c) = ( ) log d) = ( log ) + ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) lne ( 4) = 5 b) e ln ( ) = c) log(,) = 4 d) log ( 4) = 9 log 6 e) ( log 9) = 6 f) ( + 4) log log = ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) log( 9) = 4 + log( ) b) ( ) = log ( ) log + c) + log ( ) 5 log = d) ( 4) + log log = 6

45 Taşkın, Çetin, Abdullaeva e) log log9 49 = log f) ( log ( log )) log = g) ( + ) + log ( ) log 4 4 = 4) Aşağıdaki fonksionların grafiklerini anı düzlemde gösteriniz. a) = log ve 4 4 = 4 b) = log ve = 4 5) Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz. a) b) c) 5 4,5, 4 + >,6 < 7 d) log( ) > log( + ) e) log 4 > 7

46 Taşkın, Çetin, Abdullaeva BÖLÜM TESTİ ) (+, + ) = (5, ) olduğuna göre ve aşağıdakilerden hangisidir? A) = 4, = B) =, = C) =, = D) =, = E) =, = 4 ) ( +, + ) = (, 4) eşitliğini sağlaan (, ) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ) ) A = {, }, B = {, 4} olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {(, ), (, 4), (, ), (, 4)} B) {(, ), (, ), (, 4), (, 4)} C) {(, ), (, 4), (, 4)} D) {(, ), (, 4)} E) {(, 4)} 8

47 Taşkın, Çetin, Abdullaeva {,,, } 4) ( ) α = bağıntısının grafiği aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? A) B) C) - - D) E) - - {, ve,, } 5) ( ) β = bağıntısının grafiği aşağıdaki taralı bölgelerden hangisidir? 6) Aşağıdaki grafikleri verilen ve [,] aralığında tanımlı olan bağıntılardan hangisi fonksion değildir? 9

48 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 7) Aşağıda grafikleri verilen ve[, ] aralığında tanımlı olan bağıntılardan hangisi fonksion değildir? 4 8) f ( ) = fonksionunun en geniş tanım kümesi hangisidir? 9 A) B),9 C), D), E) 9 [ ] { } [ ] {} 9) f ( ) = fonksionunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki aralıklardan hangisidir? A),4 B), C), D), E),4 ( ] ( ] ( ) [ ] [ ] ) f( ) = + 5 ve g() = + olduğuna göre h ( ) = ( f g)( ) bileşke fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? A) h( ) = 6 + B) h( ) = C) h( ) = D) h( ) = E) h( ) = ) f( ) = + 5 ve g() = ise f( g( )) =? A) + 5 B) + C) ( + )( ) D) E) +

49 Taşkın, Çetin, Abdullaeva ) f( ) = + ve g ( ) = 5 fonksionları için ( f g)() değeri kaçtır? A) 45 B) 4 C) 4 D) 6 E) 9 ) f( ) = ve g( ) = ise ( g f)() nedir? A) B) C) D) E) 4) Denklemi ( ) f = olan fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) ) = + parabolünün grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) - D) - E)

50 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 6) Yandaki şekilde görülen parabol aşağıdaki fonksionlardan hangisinin grafiğidir? A) f ( ) = B) f ( ) = C) f ( ) = ( ) D) f ( ) = E) f ( ) = ( +) 4-7) ( ) A)[,] + f = fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 4 B){,} C) E){,,} D) {, } = 8) f ( ) ise ( ) f değeri nedir? 5 A) B) C) 4 D) 5 4 E) 9) f ( ) = fonksionu için ( ) f değeri kaçtır? A) B) C) D) E)4 ) ( ) + f = 6 fonksionunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A)[ 6,6] B)[ 6,) D)[,6] E) (,6) C) ( 6,) ) fonksionunun tanımlı olduğu aralık nedir? A)[,+ ) B) (,] C) (,+ ) D) (,) E) (,)

51 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 5, +, < ) f ( ) = olduğuna göre, f ( ) + f ( ) A) 7 B) 5 C) 4 D) E) 6 kaçtır? ) ( ) +, < f = + 5, < olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi anlıştır?, A) f ( ) = 5 B) ( 4 ) = D) f ( ) = E) f ( ) = 4) ( ) f C) f () =, < f = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?, A) B) C) D) E) - - -

52 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 5) ( ), f = parçalı fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?, < A) B) - - C) D) E) ) - Yukarıdaki grafiği verilen fonksionun kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) f ( ) = ( + ) B) f ( ) = + C) f ( ) = f +, D) ( ) =, > f E) ( ) +, < =, 4

53 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 7) -4 Yukarıdaki grafiği verilen parçalı fonksionun kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) f ( ) = B) f ( ) + = 4 C) f ( ) f E) ( ) +, =, <, =, > D) f ( ) +, =, > 5

54 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 8) ( ) f = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) - - C) D) E) - - 9) m + 4 = doğrusunun eğiminin olması için m ne olmalıdır? A) B) C) D) E) - ) Aşağıdakilerin hangisinde verilen iki doğru paralel değildir? A) = + = B) + = + 4 = C) + = + = D) = = E) = = 5 ) = ve a + 6 = doğrularının birbirine dik olması için a saısı kaç olmalıdır? A) B) 5 C) D) E) 6

55 Taşkın, Çetin, Abdullaeva ) (,) noktasından geçen ve eğimi olan doğrunun denklemi nedir? A) = B) + = C) = D) + = E) + = ) ( 4,) ve (.8) hangisidir? 4 noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden A) 4 = B) + 4 = C) 4 = D) = E) + = 4) f( ) = + fonksionunun ters fonksionu nedir? A) f ( ) = B) f ( ) = - - C) f ( ) = D) f ( ) = + E f = - ) ( ) ( ) + 5) f ( ) = fonksionunun ters fonksionu olan hangisidir? f ( ) aşağıdakilerden A) C) + E) + B) + D) 7

56 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 6) Denklemi = 5 olan fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) B) C) D) E) Yandaki grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisi olabilir? A) = 4 D) = B) = E) = C) = 8) Aşağıdaki eşitliklerden hangisi anlıştır? ( ) A) log mn = log m+ log n m B) log = log m log n n n C) log m = n log m ( ) D) log m+ n = log m log n E) log = log m m 8

57 Taşkın, Çetin, Abdullaeva 9) Aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) log 5 = log 5 B) log 56 C) log 4 4 = D) log 6 = + log 6 E) log 5 = log 7 + log8 = log 5 4) f( ) = log olduğuna göre f değeri kaçtır? 6 A) B) C) D) 4 E) 4 4) log 5 5 log 5 5 değeri kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 4) log log değeri kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 6 4) log + log = eşitliğini sağlaan değeri nedir? A) B) C) D) 4 E) 5 44) log =, ve log =,48 olduğuna göre, log8 in değeri kaçtır? A),6 B),5 C),99 D),88 E),8 9