Matematik. Sayma ve Olasılık 1. FASİKÜL 10

Transkript

1 Matematik 1. FASİKÜL 10 Sayma ve Olasılık 439 soru Kavram Yanılgıları Müfredat Dışı Konu Uyarıları Bilgi Teknolojileri Uyarlamaları PISA Tarzı Sorular ÖSYM Çıkmış Sınav Soruları Video Çözümler

2 Teşekkürler Değerli öğretmenlerimiz Bekir İLHAN, Seyit ÇETİN, Ergün KIRAÇ ve Kübra Gülsüm PATKAVAK'a katkılarından dolayı teşekkür ederiz. Bu kitap MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI nın tarih ve 3 sayılı kararı ile belirlenen ORTAÖĞRETİM MATEMATİK DERS PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR. Bu kitabın her hakkı Çap Yayınlarına aittir ve 936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Yasası na göre Çap Yayınları nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz. GENEL YAYIN YÖNETMENİ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Gülten YILDIRIM - Hazal ÖZNAR DIZGI Çap Yayınları Dizgi Birimi SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ 1. BASKI Temmuz 018 İLETİŞİM ÇAP YAYINLARI Ostim Mah. 107 Sokak No: 3/C D Ostim / Ankara Tel: Fax: bilgi@capyayinlari.com.tr twitter.com/capyayinlari facebook.com/capyayinlari instagram.com/capyayinlari

3 Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsiye ederim.

4 Ön Söz Değerli Öğrenciler, Çap Yayınları olarak konuları en iyi şekilde kavrayabilmeniz için yeni bir anlayışla elinizdeki fasikülleri oluşturduk. Fasiküllerimiz aşağıdaki içeriklere sahiptir: Kazanım Sayfası: Bir konunun hangi sırayla ve toplam kaç kazanımda anlatılacağını gösterir. Bilgi Sayfası: Her alt konu ile ilgili gerekli bilgilerin ve kısa örneklerin yer aldığı sayfalardan oluşmuştur. Konu Kavrama Sayfaları: Her alt konuyu ilgilendiren bütün soru türleri kazanım başlığı altında kolaydan zora doğru ve sizi her soruda bir basamak yukarıya taşıyacak şekilde titizlikle oluşturulmuştur. Bu sorular duruma göre açık uçlu ya da çoktan seçmeli olarak planlanmıştır. Pekiştirme Testleri: Anlatılan konuların sizler tarafından iyice pekiştirilmesini sağlamak için biraz da farklı sorulara yer verilerek oluşturulmuştur. PISA: Ünite bitiminde sizi okulda öğrendiğimiz bilgi ve becerilerinizi günlük yaşamda kullanmayı, okuduğunuzu anlama ve yorumlama becerinizi ölçmektedir. Tam Tur: Karma testlere geçmeden önce ünitede öğrendiğiniz tüm bilgileri toplu hâlde bulabilmeniz ve konu tekrarlarında sizlere yardımcı olması amacıyla hazırlanan bölümdür. Acemi, Amatör, Uzman ve Şampiyon Testleri: Ünite bitiminde dört ayrı zorluk seviyesine göre oluşturulmuş TAMAMI VİDEO ÇÖZÜMLÜ olan karma sorulardan oluşmaktadır. Sizi acemi seviyesinden alıp şampiyon seviyesine taşımak hedeflenmiştir. ÖSYM Soruları: Üniversite giriş sınavlarında sorulmuş sorular, en son yapılan sınavdan geriye doğru ve yine TAMAMI VİDEO ÇÖZÜMLÜ bir şekilde sunulmuştur. Yayınevimize ait olan akıllı telefon uygulamasını (capp) indirip testlerin başında bulunan kare kodları okutarak soruların video çözümlerine ulaşabilirsiniz. Sağlıklı ve başarılı bir öğretim yılı geçireceğinize inanarak hepinize başarılar diliyoruz. Oğuz GÜMÜŞ Devrim ÖZATA Burhan SAYDAM

5 İÇİNDEKİLER SAYMA VE OLASILIK (38 Saat) Ünite Kazanımları... 6 Sayma Permütasyon (Sıralama)... 7 Konu Kavrama (Kazanım 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8)... 8 Pekiştirme Testi Tekrarlı Permütasyon Konu Kavrama (Kazanım 9, 10, 11, 1) Pekiştirme Testi Kombinasyon (Seçme) Konu Kavrama (Kazanım 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 0)... 0 Pekiştirme Testi Paskal Üçgeni ve Binom Açılımı... 6 Konu Kavrama (Kazanım 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8)... 7 Pekiştirme Testi Basit Olayların Olasılıkları Konu Kavrama (Kazanım 9, 30, 31, 3, 33, 34, 35, 36, 37, 38) Pekiştirme Testi PISA TAM TUR Acemi Testleri 1,, Amatör Testleri 1, Uzman Testleri 1, Şampiyon Testleri 1, ÖSYM Soruları İÇİNDEKİLER 5

6 KAZANIMLAR Kazanım 1,, 3, 4 : Saymanın temel ilkelerini kavrar. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. Kazanım 5 : Faktöriyeli kavrar ve faktöriyel ile ilgili işlemler yapar. Kazanım 6, 7, 8 : Permütasyonu kavrar ve permütasyon uygulamaları yapar. Kazanım 9, 10, 11, 1 : Tekrarlı permütasyonu kavrar ve tekrarlı permütasyonla ilgili uygulama yapar. Kazanım 13, 14, 15, 16, 17 : Kombinasyonu kavrar ve kombinasyon uygulamaları yapar. Kombinasyon kavramı alt küme sayısı ile ilişkilendirilir. Kazanım 18, 19, 0 : Kombinasyonun geometrik uygulamalarını kavrar. Kazanım 1 : Paskal üçgenini kavrar. Kazanım, 3,..., 8 : Binom açılımını kavrar ve binom açılımı içeren uygulamalar yapar. Kazanım 9, 30 : Örnek uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olay ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. Kazanım 31, 3,..., 38 : Basit olayların olasılıkları ile ilgili uygulama yapar. Anahtar Kelimeler Toplama Yöntemi Çarpma Yöntemi Sayma Permütasyon Tekrarlı Permütasyon Faktöriyel Kombinasyon Paskal Üçgeni Binom Açılımı Olasılık Örnek Uzay Olay Deney, Çıktı Kesin Olay İmkânsız Olay Bir Olayın Tümleyeni Ayrık Olaylar Ayrık Olmayan Olay Bilgi ve İletişim Teknolojisi Kullanımı Bilgisayar, tablet, cep telefonu vb. cihazlarınızdan KAZANIMLAR sitelerinden herhangi birine girerek, denklem çözümü, eşitsizlik çözümü, grafik çizimi vb. işlemleri yaparak öğrendiğiniz konularla ilgili daha detaylı ve görsel bilgilere ulaşabilirsiniz. 6

7 Sayma, Permütasyon (Sıralama) BİLGİ Toplama Yolu İle Sayma A ve B sonlu ayrık olaylar olmak üzere, bu olaylardan A olayı a farklı şekilde, B olayı b farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa A veya B olayları a + b farklı şekilde gerçekleşir. Çarpma Yolu İle Sayma Herhangi ikisi ayrık olan olaylardan, 1. olay a 1 farklı şekilde. olay a farklı şekilde AKLINDA OLSUN Her birinden istenilen sayıda koşulsuz ve sınırsız olarak kullanılabilen n çeşit nesne verilmiş olsun. Bu nesnelerden oluşturulabilecek "r"li dizilişlerin sayısı P ise, P = n r dir. h n. olay a n farklı şekilde gerçekleşiyorsa 1,, 3,..., n olayları birlikte a 1 a a a n farklı şekilde gerçekleşir. Faktöriyel ve Permütasyon (Sıralama) = n (n 1) (n ) = n (n 1)! = n (n 1) (n )! 0! = 1, 1! = 1 r n ve r, n N olmak üzere n farklı elemandan r tanesinin sıralanmasına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. Sonlu bir kümenin elemanlarının tamamının veya bir kısmının belirli bir sıra ile dizilişlerinden herbirine o kümenin bir permütasyonu denir. Pnr (, ) = şeklinde hesaplanır. ( n r)! Ayrıca P(n, r) = n (n 1) (n )... (n r + 1) dir. r tane çarpan Özellikler 1. Pn (, 0) = = 1. Pn (, 1) = = n ( n 1)! 3. Pnn (, ) = = 0! Sabit İbn Kurra 86'da Harran'da doğmuştur. Yaşadığı çağın en büyük matematikçilerindendir. Sayılar, geometri ve trigonometri üzerine birçok çalışma yapmıştır. 901 yılında Bağdat'ta vefat etmiştir. AKLINDA OLSUN n farklı nesne n farklı yere P(n, n) şekilde yerleştirilir. Çarpım kuralı yöntemi ile de n n 1 n... 1 n yer = n (n 1)... 1 = ayrı sonuç elde edilir. 4. Pnn (, 1) = = 1! BİLGİ 7

8 KAVRAMA KAZANIM pantolon ve 8 gömlek arasından bir pantolon veya bir gömlek kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 3 B) 5 C) 8 D) 13 E) = KAZANIM A B C A şehrinden B şehrine farklı, B şehrinden C şehrine 3 farklı yol vardır. Buna göre, A dan C ye kaç farklı yolla gidilebilir? A) 1 B) C) 3 D) 6 E) 9. Bir kahve evinde 8 çeşit kahve ve 13 çeşit pasta vardır. Bunlar arasından bir kahve veya bir pasta kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 13 B) 15 C) 8 D) 3 E) = Bir lokantada 5 çeşit çorba ve 7 çeşit yemek vardır. Bu lokantaya giren bir kişi bir çorba veya bir yemek çeşidini kaç farklı şekilde seçebilir? A) 35 B) 1 C) 7 D) 5 E) 3 = 6. Birbirinden farklı 3 tişört ve 5 pantolon arasından bir tişört ve bir pantolon kaç farklı şekilde giyilebilir? A) 53 B) 35 C) 15 D) 8 E) 3 5 = farklı Matematik ve 4 farklı Fizik kitabı arasından 1 Matematik ve 1 Fizik kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) 5 C) 0 D) 5 4 E) = = 0 4. Bir sınıfta 15 kız ve 8 erkek öğrenci bulunmaktadır. Buna göre, bu sınıftan kaç farklı sınıf başkanı seçilebilir? A) 8 B) 15 C) 3 D) 40 E) = 3 4. Bir okulun katı, her katta 5 sınıfı ve her sınıfta 1 öğrencisi vardır. Buna göre, bu okulda aynı anda en çok kaç öğrenci ders yapabilir? A) 10 B) 100 C) 96 D) 9 E) 90 KAVRAMA 5. Bir kişi 40 Türkçe, 1 İngilizce, 8 Fransızca yayın yapan televizyonda herhangi bir dilde yayın yapan bir kanalı kaç farklı şekilde izleyebilir? A) 60 B) 5 C) 48 D) 40 E) = D. E 3. B 4. C 5. A 5 1 = farklı oyuncak 3 çocuğa kaç farklı şekilde verilebilir? A) 7 B) 1 C) 36 D) 64 E) = D. C 3. C 4. A 5. E 8

9 Sayma, Permütasyon (Sıralama) PEKİŞTİRME TESTİ arkadaş bir sinemadaki 5 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 15 B) 10 C) 5 D) 0 E) 15 P(5, 5) = 5! = Birbirinden farklı matematik, 3 fizik ve biyoloji kitabı bir rafa aynı tür kitaplar yanyana gelecek şekilde kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 10 B) 13 C) 144 D) 15 E) 160 M 3F B! 3!! 3! = 6 6 = 144. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 8 B) 30 C) 3 D) 34 E) ( 4 33 = 36 { 135,, } 6. 3 erkek ve 5 kız bir sırada kızlar yanyana gelecek şekilde kaç farklı oturabilirler? A) 8! B) 7! C) 5! 4! D) 6!! E) 6! 3! 5K EEE ( 4! 5! 3. A şehrinden B şehrine 6 farklı yol ve B şehrinden C şehrine 5 farklı yol vardır. Giderken kullanılan yol kullanılmamak ve B şehrine uğramak koşuluyla kaç değişik yoldan A şehrinden C şehrine gidilip dönülebilir? A) 600 B) 500 C) 400 D) 300 E) = Bir doktor, bir hemşire ve 6 sağlık memurdan oluşan bir ekip yan yana bir uçta doktor, diğer uçta hemşire olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 1440 B) 1380 C) 160 D) 100 E) 960 H SSSSSS D ( 6! = 1440 PEKİŞTİRME kişinin katıldığı bir yarışmada ilk derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 90 B) 86 C) 84 D) 80 E) 76 P(10, ) = 10 9 = Aynı anda oynanan üç futbol maçı kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 81 B) 7 C) 9 D) 6 E) = 3 3 = 7

10 Ürün Kodlama PISA Bir firma her gün stoklarına giren ürünleri kodlamak için 8 haneli bir kodu aşağıdaki gibi oluşturuyor. Ürün hangi ay geldi ise o ayın isminin ilk ve son harfi kodun ilk hanesini, kaçıncı gün geldi ise o günün sayısı kodun 3 ve 4. hanelerini, Türk alfabesinden iki harf ile sıfırdan farklı bir rakam kullanılarak da kodun son 3 hanesini oluşturuyor. Örneğin ŞT 1 AB9 kodu ürünün 1 ŞUBAT günü geldiğini gösteriyor. 1. TZ 5 AB3 kodlu ürün hangi ayın kaçıncı günü gelmiştir? 5 TEMMUZ. Eylül ayının herhangi bir gününde stoğa girebilecek ürün miktarı en çok kaçtır? = Eylül ayında toplam stoğa girebilecek toplam ürün miktarı en çok kaçtır? = 7070 PISA 41

11 Permütasyon, Kombinasyon, Binom, Olasılık TAM TUR Toplama Yolu İle Sayma A ve B sonlu ayrık olaylar olmak üzere, bu olaylardan A olayı a farklı şekilde, B olayı b farklı şekilde gerçekleşebiliyorsa A veya B olayları a + b farklı şekilde gerçekleşir. Çarpma Yolu İle Sayma Herhangi ikisi ayrık olan olaylardan, 1. olay a 1 farklı şekilde. olay a farklı şekilde h n. olay a n farklı şekilde gerçekleşiyorsa 1,, 3,..., n olayları birlikte a 1 a a a n farklı şekilde gerçekleşir. Faktöriyel ve Permütasyon (Sıralama) = n (n 1) (n ) ! = 1, 1! = 1 r n ve r, n N olmak üzere n farklı elemandan r tanesinin sıralanmasına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. Pnr (, ) = şeklinde hesaplanır. ( n r)! Özellikler 1. Pn (, 0) = = 1. Pn (, 1) = = n ( n 1)! 3. Pnn (, ) = = 0! Tekrarlı Permütasyon n r tanesi r. türden özdeş ve n 1 + n n r = n olmak üzere, n tane elemanın yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilecek farklı sıralamaların sayısı; P(n; n 1, n,..., n r ) = olur. ( n!) ( n!)... ( n!) 1 r Kombinasyon n, r! N, n r olmak üzere n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerine n nin r li kombinasyonu denir. n C(n, r) = b l = şeklinde gösterilir ve hesaplanır. r ( n r)!! r Özellikler n n c m = b l ise p + k = n veya p = k dır. 4. p k n n b l= b l = 1 5. n 0 n n b l = b l = n 1 n 1 n n n n b l+ b l+ b l b l = n 0 1 n n n n+ 1 c m+ c m= c m r r + 1 r+ 1 TAM TUR 43

12 1 İyi bir başlangıç, yarı yarıya başarı demektir. Andre Gide ACEMİ atletin katıldığı bir koşuda ilk iki derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 100 B) 90 C) 80 D) 70 E) Bir zar iki kez atılıyor. Zarın üst yüzünde okunan sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) = 90 {(1, 1), (, ), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 6 1 = Ankara'dan İzmir'e 5 otobüs, 4 tren ve 3 uçak gitmektedir. Ankara'dan İzmir'e gidecek bir kişi kaç farklı seçim yapabilir? A) 1 B) 60 C) P(5,3) D) P(5,) E) P(5,5) 6. 13! 1! 11! + 10! işleminin sonucu kaçtır? A) 80 B) 90 C) 110 D) 10 E) ! 1! 1 1! = = ! + 10! 1 10! = 1 3. Şekildeki eş karelerin bir kısmının zemini mavi ile boyanmıştır. Seçilen 1 br lik bir karenin zemininin mavi boyalı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta veriliyor. Bu noktalardan kaç doğru geçer? A) 8 B) 10 C) 1 D) 15 E) 0 6 c m= 15 7 P(M) = 0 4. Bir yüzü beyaz, yüzü mavi, 3 yüzü sarı boyalı bir zar atılıyor. Üst yüzde görünen rengin sarı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) = 6 8. (3x 4y) 15 açılımında oluşan terimlerin katsayıları toplamı kaçtır? A) 1 B) 0 C) 1 D) E) 3 ( ) 15 = -1 ACEMİ 45

13 Yapmakta ısrar ettiğimiz şey giderek kolaylaşır. İşin doğası değiştiğinden değil, bizim yapma yeteneğimiz geliştiğinden. Ralph Waldo Emerson 1 AMATÖR sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 75 B) 96 C) 10 D) 144 E) 180 7! - 6! = = 75 4!.! 4! 5. 3 kız 4 erkek bir platformda erkekler ve kızlar kendi aralarında yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde resim çektirebilirler? A)! 3! 4! B) 3! 4! C) 7! D)! 7! E) KKK EEEE 3! 4!! 7! 4! 3!. 7 kişiden 3'ü bir minibüsü kullanabilmektedir. Minibüsü kullanabilen 3 kişi önde oturmak şartıyla 7 kişi üçü önde dördü arkada kaç farklı şekilde seyahat edebilir? A) 3! 4! B) 3 6! C) 3! 6! D) 3 5! E) 4! 5! 3! 4! 6. İki zar atıldığında, zarların üst yüzüne gelen sayılardan en az birisinin 5 gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) tane 5 ya da tane 5 olabilir. (1,5), (,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5) (5,1), (5,), (5,3), (5,4), (5,6) 11 olur Üç zar atıldığında zarların yüzlerindeki sayıların toplamının 5 olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) {(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (,, 1), (, 1, ), (1,, )} = Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten küçük ve tek olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) Sadece 1 olabilir harf ve 10 rakam kullanılarak Denizli iline ait 0 biçiminde 3 harf ve rakamdan oluşan (örneğin 0 BJK 06) kaç plaka hazırlanabilir? A) 4 10 B) 4 10 C) D) E) = Bir çift zar birlikte atıldığında üste gelen sayıların toplamının 8 den küçük olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) (, 6) (3, 5) (4, 4) (4, 5) (4, 6) (3, 6) 15 (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 1 - = 36 (6, ) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) 7 1 AMATÖR 51

14 1 Bir şeyi gerçekten yapmak isteyen bir yol bulur; istemeyen mazeret bulur. E. C. McKenzie UZMAN 1. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı en çok 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 8 B) 3 C) 34 D) 36 E) 40 1 basamaklı + basamaklı + 3 basamaklı = ( n+ 5)! ( n+ 4)! 13 = ( n+ 5)! + ( n+ 4)! 15 eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 ( n+ 4)!( n+ 5 1) 13 = ( n = 9 ( n+ 4)!( n+ 5+ 1) 15. e 9 o+ e 9 o+ e 9 o+ e 9 o+ e 9 o toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) e o+ e o+ e o+ e o+ e o+ e o+ e o + e o+ e o+ e o= ABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBC ABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBC x x x = 9 x = 8 6. A = {1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin 5 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 3 bulunur? A) 1 B) 35 C) 70 D) 91 E) 16 {3, -, -, -, -} 8 c m= {0, 1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları ile rakamları farklı 3 basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir? 7. A B C Şekildeki birbirine dik çizgiler bir şehrin sokaklarını göstermektedir. Buna göre, A dan C ye, B den geçmek şartıyla en kısa yoldan kaç faklı şekilde gidilebilir? A) 38 B) 40 C) 4 D) 46 E) { 0} {, 4} = 5 A) 48 B) 60 C) 7 D) 80 E) 96 A'dan B'ye kez sağa ve 1 kez aşağıya gidileceğinden 3! (s, s, a) = 3 farklı şekilde gidilebilir. B den C'ye! 3 kez, sağ ve 3 kez aşağı gideceğinde (s, s, s, a, a, a) 6! = 0 3 0= 60 3! 3! 4. E örnek uzayında A E dir. P(A) = 3 P(A ı ) olduğuna göre, P(A) kaçtır? A) B) C) D) E) A A ı = E P(A A ı ) = P(A) + P(A ı ) PA ( ) PE ( ) = PA ( ) PA ( ) 1= 3 3 PA ( ) = evli çiftten oluşan bir gruptan iki kişi seçilip tatile gönderilecektir. Seçilen iki kişinin evli olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) c m 1 10 c m 1 = 9 UZMAN 55

15 1 Profesyonel, içindeki amatör ruhu her zaman muhafaza eden ve ondan coşku ve heyecan duyan kişidir. ŞAMPİYON 1. A = {1,, 3, 4, 5} kümesinin elemanları birer kez kullanılarak küçükten büyüğe dört basamaklı sayılar yazılıyor. 76. sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 413 B) 413 C) 4135 D) 431 E) 431 Binler basamağı 1 olan (4 tane) Binler basamağı olan (4 tane) Binler basamağı 3 olan (4 tane) Binler basamağı 4 olan (76. sayı) 5. "TÜRKİYE" sözcüğündeki harfler rastgele düzenlendiğinde R ve K harflerinin birlikte bulunma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) !! = 7! 7 6. Aşağıdaki şekilde bir hareketli A noktasından sağa ve aşağı hareket ederek çizgiler üzerinden B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir? A. A = {0, 1,, 3, 4} kümesinin elemanları ile baştan ve sondan aynı okunan kaç tane 3 basamaklı sayı yazılabilir? A) 18 B) 0 C) 4 D) 30 E) 36 Yüzler basamağı Yüzler basamağı Yüzler basamağı Yüzler basamağı = 0 tane B A) 70 B) 68 C) 64 D) 6 E) 58 Tüm durumlardan geçemeyeceği yolları çıkarırsak, A 8! 3! 4! = 58 4! 4! 1 444! 444 3! 3 C A dan C ye, D den B ye D B 3. Paskal üçgeninin 16. satırındaki sayıların toplamı, 16. satırdan önceki tüm satırlarda bulunan sayıların toplamından kaç fazladır? A) 16 1 B) 15 C) 1 D) 15 E) 16 Her satırdaki sayıların toplamı, kendisinden önceki tüm satırlardaki sayıların toplamından 1 fazladır. n(n 1)(n ) 4. P(n + 1, 3) + = P(8,3) eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? 7. C = {1,, 3, 4, 5, 6, 7} kümesinin elemanları ile yazılan 7 basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesinde 1 rakamı 3'ten önce gelir? 7! A) 7! B) 6! C) D) 6! E) 5! Permütasyon içinde 1 rakamının 3 ten önce geleni kadar 7! 3 rakamının 1 den önce geleni vardır. olur daireli bir apartmanda 4 çift (karı-koca) oturmaktadır. Bu dört çift arasından içlerinde karı-koca olmayan 3 kişi kaç farklı biçimde seçilebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 ( n+ 1)! n( n 1)( n ) + = 876 ( n )! 3n nn ( 1) a k = 876 ( n = 8 A) 16 B) 18 C) 0 D) 4 E) 3 4 d n c m c m c m = çiftten Seçilençiftlerden 3üseçildi 1erkifliseçildi ŞAMPİYON 59

16 ÇIKMIŞ SORULAR 1. Bir anaokulunda; sarı renkli küplerden oluşan dört basamaklı bir oyuncağın en üst basamağında bulunan bir çocuk, şekilde gösterilen mavi renkli minderlerden herhangi birine ulaşmak istemektedir. 4. Pelin; bir kafeteryaya ait, yalnızca sıcak içecekler kısmı yırtılmış olan aşağıdaki menüyü evinde buluyor. Bu çocuk ilk üç adımda, bulunduğu küple ortak ayrıta sahip olan bir basamak aşağıdaki küplerden herhangi birine, son adımda ise bulunduğu küple ortak ayrıta sahip olan minderlerden herhangi birine zıplayacaktır. Buna göre, bu çocuk minderlere kaç farklı yoldan ulaşabilir? A) 8 B) 1 C) 16 D) 18 E) / TYT. Bir elektronik tartı; her ölçümde, üzerine konulan ağırlığı % 0 olasılıkla gerçek ağırlığından 1 kilogram fazla, % 30 olasılıkla gerçek ağırlığından 1 kilogram az, % 50 olasılıkla da doğru tartmaktadır. Gerçek ağırlıkları sırasıyla 80 ve 81 kilogram olan Ali ile Mehmet bu tartıda birer kere tartılacaklardır. Buna göre, ölçüm sonunda Ali ile Mehmet in ağırlıklarının birbirine eşit çıkma olasılığı yüzde kaçtır? A) 40 B) 35 C) 30 D) 5 E) / TYT Pelin bu kafeteryayı arayıp bir çeşit gözleme ve bir çeşit soğuk içecek veya bir çeşit poğaça ve bir çeşit sıcak içecek siparişi vermek istiyor. Kafeterya çalışanı bu siparişi farklı şekilde verebileceğini söylüyor. Buna göre, bu kafeteryada kaç farklı sıcak içecek çeşidi vardır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) / YGS 5. Aşağıda düzgün altıgen şeklindeki hücrelerden oluşturulmuş bir düzenek verilmiştir. Beyaz hücrelerin bazıları turuncu renge boyanacaktır. 3. Bir sözcükte harflerin soldan sağa sıralanışıyla sağdan sola sıralanışı aynıysa bu sözcüğe bir palindrom sözcük denir. Örneğin; NEDEN, bir palindrom sözcüktür. Engin, birbirinden farklı 3 sesli ve 4 sessiz harfin her birini istediği sayıda kullanarak 5 harfli bir palindrom sözcük oluşturacaktır. Bu sözcükte iki sesli harfin yan yana gelmemesi ve iki sessiz harfin de yan yana gelmemesi gerekmektedir. Buna göre, Engin bu koşulları sağlayan kaç farklı palindrom sözcük oluşturabilir? A) 7 B) 84 C) 96 D) 108 E) / AYT 1 3 Her bir mavi hücrenin içerisinde yazan sayı, o mavi hücre ile ortak kenarı olan ve turuncuya boyanacak toplam hücre sayısını göstermektedir. Buna göre, hücreler kaç farklı biçimde boyanabilir? A) 4 B) 8 C) 30 D) 3 E) / LYS ÖSYM 63