BİR İŞLETMENİN ÖDEMELER DENGESİNİN MARKOV SÜREÇLERİ YARDIMIYLA ANALİZİ

Transkript

1 Douz Eylül Üniversitesi Sosyl Bilimler Enstitüsü Dergisi Cilt 5, Syı:, BİR İŞLETMENİN ÖDEMELER DENGESİNİN MARKOV SÜREÇLERİ YARDIMIYLA ANALİZİ Yrd.Doç.Dr. Nursel S. Rüzgr ÖZET İşletmeler ticri işlemlerini (ödemeler dengesini) genel olr müşteri şiretlerinin yd bireysel müşterilerin tlelerine göre şeillendirirler. Müşterilerin ödeme lnlrı, ürün vey hizmet stn işletmeler için ise lclrın thsili son derece önemlidir. İşletmeler, lclrın thsili ornınd bütçelerini dengelemete ve ticri yşmını sürdürmetedir. Ödemeler dengesi, işletmelerin ileriye dönü ylşımlrınd birincil önceliği oluşturmtdır. Dolyısıyl, işletmelerin lclrını thmin etme üzere bir yöntem olr Mrov süreçleri ullnılbilir. Bu mçl, bir işletmenin bir yıllı tüm lc yıtlrı incelenmiş ve ylı lc syılrı orty çırılmıştır. Alclr; Peşin lclr (),,,,..., y vdeli lclr ve bir yıldn uzun vdeli lclr olm üzere 4 grut sınıflndırılmıştır. İşletmenin uzun dönem lclrının thmin ornlrının bulunmsı için Mrov süreçleri ullnılmış, geçiş olsılılrı mtrisinden ve denge-durum olsılılrındn yrrlnr ylr it lclrın elde edilme ornlrı heslnmış ve her ii sonuç rşılştırılmıştır. Anhtr Kelimeler: Alc thmini, Mrov süreçleri, geçiş olsılılrı, denge-durum olsılılrı GİRİŞ İşletmeler sttılrı ml ve hizmetler rşılığınd lclrını thmin ederleren geçmiş dönemdei bilgilerinden yrrlndılrı gibi, şu ndi bilgilerden de yrrlnbilirler. Geçmiş bilgileri dite lr bir thminde bulunulcğı zmn regresyon nlizinden yrrlnıren, şu ndi bilgiler dite lınr thminde bulunulcğı zmn ise Mrov süreçlerinden yrrlnılır. Bu çlışmd, bir işletmenin yılı bütçe yıtlrı incelenmiş 884 işlemden müşterilerin her y için ytılrı ödeme durumlrı ile ytılrı eşin ödemeler ve bir yıldn uzun vdeye srıttılrı ödeme durumlrı tesit edilmiştir. Bu veriler bir tblo olr düzenlendiğinde 4x4 lü bir mtris oluşturmuştur. Veriler stır olr yüzdeli dilime stndrtlştırılmış ve Tblo de gösterilmiştir. İşletmenin lclrın it ornlrı tesit etmede Mrov Mrmr Üniversitesi Teni Eğitim Fültesi Eletroni ve Bilgisyr Eğitimi Bölümü 64

2 süreçleri bir yöntem olr ullnılcğı için bu Tblo ile oluşn 4x4 lü mtris, Mrov süreçleri için ynı zmnd geçiş mtrisi olctır. İşletmelerin muhsebe yıtlrının süreli tutuluyor olmsı ve bilnço nlizleri ile mevcut durumlrın orty onulmsı, berberinde lclrın thsil edilme ornlrını d gündeme getirmetedir. İşletmeler, lclrının thsilinde geçmiş deneyimlerine dynr hreet etmetedirler. Bu çlışmd mç, bilgisyr tenoloisinin sğldığı olnlrdn yrrlnr mevcut durumlrdn hreetle lclrın thsil edilme ornlrını Mrov süreçleri yrdımıyl belirlemetir. Muhsebe yıtlrının tutulmsı, elde edilen bilgilerle geçiş mtrisinin rhtlıl urulbilmesi ve süreli yenilenmesi değişen oşullr göre gelecele ilgili belentilerin de nsıl değişim gösterdiğini belirlememize oln sğlmtdır. Dolyısıyl, eldei mevcut bilgilerle gelecetei belentileri lnlmy yöneli lterntif bir ylşım yöntemi olr Mrov süreçleri ullnılbilir.. MARKOV ÖZELLİĞİ VE MARKOV SÜREÇLERİ Mrov süreci bir olsılı sürecidir ve gelecetei olylrın bir durumunu içerir. Mrov süreçleri ileride orty çımsı olsı durumlrın gerçeleşme olsılılrının, geçmiş verilerden değil şu ndi verilerden yrrlnr bulunduğu süreçlerdir. Mrov süreçlerinin temel özelliği, belirli bir zmn diliminde çeşitli durumlrd bulunmnın ve bir durumdn diğer durum geçişin olsılılrının göz önüne lınmsıdır. Bir durumdn diğer durum geçiş dh öncei durumlr bğlı olmyı, sdece bir öncei durum bğlıdır. Bu çıdn, Mrov süreci için öncei durum hriç, dh öncei durumlrın bilinmesi geresinimi yotur. Bu özelliğe Mrov özelliği denir (Lin, 99, 876). Mrov özelliği oln bir sistemde, bir durumdn diğer durum geçiş, sdece bir öncei durum bğlı oln şrtlı olsılıl ifde edilir. Şöylei, n ve Z ile t n olsılığı t nındi durum olsılığı x n, t n nındi durum olsılığı x n rstsl değişenler olm üzere, t n nınd x n de olmsı Zt n- ( Z x Z x ) x,x P n n t n n t n n oşullu olsılığı ile gösterilir ve bu oşullu olsılı sistemin t n nındn t n nın geçişi tnımldığındn bun bir dımlı geçiş denir. dımlı geçiş olsılığı ise Z rstsl değişen olm üzere, P t n ( Z x Z x ) x,x n n t n n t n n () () 65

3 ile ifde edilir. t < t < Κ < t n (n,,,...) zmn it notlrı gösteriyors { Z t n } rstsl değişenler ilesi, Z t, Z t, Z t, Κ, Z t lerin bütün olsı n değerleri için, ( Z x Z x,z x,,z x ) PZ ( x Z x ) P tn n tn n tn n Κ t xn,xn tn n t n n () biçiminde verilen Mrov özelliğine shi ise bun bir Mrov sürecidir denir (Th,99,7).. MARKOV MATRİSİ (GEÇİŞ MATRİSİ) E, (,,,...) bir sistemin herhngi bir zmndi yrı oly durumlrını göstersin. Sistem t bşlngıç nınd E durumlrdn herhngi birinde olbilir. () (,,,...) Mrov özelliğine shi bir sistemin t bşlngıç nınd E durumund bulunm olsılığı ve ( Z Z i) ı P t n t n, sistemin t n dei i durumundn t n nındi durumun bir dımd geçiş olsılığını gösterme üzere, i olsılığının zmnl sbit olctır. E i durumundn E durumun i geçiş olsılılrının gösterildiği Κ Κ P Κ (4) Ο mtrisine homoen geçiş mtrisi denir (Th,99,7). P geçiş mtrisi; i, i için, (5-) i, i, için, (5-b) özellilerini sğlıyors bu mtrise stosti mtris, olsılı mtrisi vey Mrov mtrisi denir (Anton ve Rorres, 994, 66). P geçiş mtrisi, E durumlrının 66

4 { () }bşlngıç olsılılrı ile birlite bir Mrov zinciri vey Mrov süreci tnımlr (Th,99,7).. CHAPMAN KOLMOGOROV DENKLEMLERİ Bir sistemin { () } bşlngıç olsılılrı ve P geçiş mtrisi verildiğinde, bir dım sonri durumundn durumun geçişin esin olsılığı; () () () () () Κ i i (6) İi dım sonri durumundn durumun geçişin esin olsılığı; i () Κ () () () () i () i i i 4 i i 4 i () () i i () i () () i (7) i Üç dım sonri durumundn durumun geçişin esin olsılığı; () Κ () () () i i 4 () () i 4 () () () i () i i i () () i (8) i şelindedir. Benzer biçimde, tümevrım ile durumundn durumun geçiş için n dım sonri olsılılr bşlngıç olsılılrı cinsinden (n) () (n-) () (n) i i (9) i 67

5 68 şelinde olctır. Burd (n) ye n dım geçiş olsılığı denir. Bşlngıç durumunun n dım sonr buluncğı durum, P geçiş mtrisinden elde edilen P (n) n-dım geçiş olsılılrı mtrisi ile () bşlngıç mtrisinin çrımı olctır. P (n) n inci geçiş olsılılrı mtrisi P (n) P (n-).p dır. <m<n olm üzere P (n) n inci geçiş olsılılrı mtrisi P (n) P (n-m).p (m) olr yzılbilir. Bu denlemlere Chmn-Kolmogorov denlemleri denir (Th, 99, 74).. DÜZENLİ MARKOV ZİNCİRİ VE DENGE DURUMU Bir geçiş mtrisinin tüm uvvetlerinde bulunn tüm elemnlrın hesi sıfırdn frlı ve ozitif ise bu geçiş mtrisine düzenli mtris (regulr mtris) denir. Bir Mrov zincirinin düzenli geçiş mtrisi vr ise bun düzenli Mrov zinciri denir (Anton ve Rorres, 994, 6). Mrov zincirlerinde ço syıd geçişin rdındn yd n in büyü değerleri için P (n) geçiş olsılılrı mtrisi sbit olm eğilimindedir. durum içeren P mtrisi düzenli geçiş mtrisi ise i ler... oşulunu gerçeleyen ozitif syılr için n ien n Ο ) ( P () olur. Diğer bir deyişle, n-dım geçiş mtrisi belirli ondlılrl her stırı diğer stırlr eşit ve tolmlrı e eşit oln bir mtris hline dönüşür. [ ] olm üzere; () P (n) [ ] [ ] [ ] ( ) ()

6 bulunur. Burdn, P düzenli geçiş mtrisi ve i herhngi bir olsılı vetörü ise n için () P n () olur. Burd, tüm bileşenleri ozitif oln ve n den bğımsız bir sbit olsılı vetörüdür. formülünden görüldüğü üzere düzenli bir Mrov zinciri, gibi sbit bir durum vetörüne ylşır. Bu vetörüne Mrov zincirinin durğn vey denge durumu denir. Denge durumund P (n) P (n-) (yni; n, P (n) P (n-) ) dır. Diğer bir deyişle, n sonsuz olr büyüdüğü durumd bşlngıç oşulunun sürecin belirli bir durumd olmsı üzerindei etisi zlctır ve (n) (n-) olctır. Mrov zincirlerinde P geçiş mtrisinin ne zmn denge durumun geleceği hınd esin bir ylşım yotur. Anc geçiş olsılılrının ve den uzlştığı ornd n in üçüleceği söylenir (Anton ve Rorres, 994, 6).. DENGE DURUM VEKTÖRÜNÜN HESABI. Yöntem: Yurıd değinildiği üzere P geçiş mtrisinin uvvetleri lınr denge durumun ulşılır. P nin yeteri dr büyü uvvetlerinde her bir sütundi elemnlr endi içlerinde belirli ondlılrl birbirine eşit durum gelecetir.. Yöntem: n inci dımdi ulşılc bşlngıç durumun (n), n- inci dımdi bşlngıç oşulun (n-) ile P geçiş olsılılrı mtrisinin çrımın yni, (n) (n-).p () eşittir. n dım sonr ulşılc bşlngıç durumu Mrov özelliğinden dolyı (n-) inci dım bğlı olctır. n in yeterince büyü değerleri için (n) (n-) olduğundn denge durumund.p eşitliği denge-durum olsılılrını verecetir. P geçiş olsılılrı mtrisinin sonlu elemndn oluştuğunu (r-stır, r-sütun) bul edildiğinde. xr xr. P rxr mtris yzılımı r-bilinmeyenli r-denlemden oluşn homoen bir sistemin çözümünü geretirecetir. Bu homoen sistemin sbitler mtrisi (iinci trf mtrisi) sıfır olduğu için bütün değerleri sıfır olur. Bu ise r () 69

7 tnımın yırıdır. Dolyısıyl r denlemden bir tnesi sistem dışı tutulr sisteme () denlemi ilve edilir. Böylece, A ve B mtrisleri ( r ) r Κ, Κ Κ r A Κ r, Ο r r r rr Κ r r B (4) r şelinde yzılbilir. Bu mtrisler ullnılr lineer denlem sistemi A (5) t r r r B r şelinde yzılbilir. Bu sistemin çözülebilmesi için A mtrisinin tersinin lını B mtrisi ile çrılmsı gereir (Hlç, 99, 9-). Dolyısıyl, A B (6) t r r r r ifdesi denge durumundi olsılılrını verecetir. 4. ALACAKLARIN TAHMİNİ İÇİN BİR UYGULAMA Bir işletmenin bir yıllı süreçte sttığı ml ve hizmetlere rşılı lclrının her y için elde edilme olsılılrı tesit edilmeye çlışılmıştır. İşletmenin dh öncei yıllr it lc yıtlrının tümünün incelenmesi yerine sdece yılın it 884 yıt incelenmiş ve her y için ç det lcğın olduğu tesit edilmiştir. Ayrıc; ml ve hizmet stın lındığınd yıln eşin ödemeler ve bir yıldn uzun vdeye bırıln ödemeler yrı yrı ele lınmıştır. Yıln rştırmnın sonuçlrı stır olr yüzdeli ornlr göre stndrtlştırılr stır tolmı olc şeilde Mrov özelliğine shi durum getirilmiştir. i yerine bsmlı syılrın roblemde indis olr ullnılmsı nedeniyle i; gösterimi ullnılctır. i; : i inci ydi lcğın inci yd thsil edilme ornıdır. Ayrıc ; ; bşlngıçti lcğın inci yd thsil edilme olsılığını ve ; ; bir yıldn uzun vdeye lmış bir lcğın inci yd thsil edilme olsılığını göstermetedir. Bu ornlr Tblo de gösterilmiştir. Tblo de stndrtlştırılmış olr oluşturuln veriler mevcut durumu ullnr ileriye dönü çırımlrın yılcğı geçiş mtrisidir. Dolyısıyl, Tblo bir geçiş mtrisi olr ele lındığınd 7

8 i;, (i,,,...,) ve i; (i,,,,...,) (7) oşullrını sğlr. Bu durum, P geçiş mtrisinin bir yıllı süreç içindei bütün durumlrı belirlemesini sğlr ve bir Mrov zincirini tmmen tnımlr. Ele lınn roblem Mrov özelliğine shi olduğun göre mevcut durumu ullnr ileriye dönü ylr it thsil edilme olsılılrı yurıd değinildiği gibi ii yoll bulunbilir. Birincisi P geçiş mtrisinin rdışı uvvetlerini lr büyü n ler için denge durumun gelinceye dr oln süreç incelenebilir. İincisi ise denge durumu dite lınr denlem sistemlerinin çözümü bulunr denge-durum olsılılrın ulşılır. Her ii süreç ileride dengedurumun ulşıldığındi ylr it elde edilme olsılılrını verecetir.. Yöntem: Sistemin P geçiş mtrisi Tblo de verilmiştir. P geçiş mtrisinin P () ve P () rdışı uvvetleri ise sırsıyl Tblo ve Tblo te gösterilmiştir. Tblo ve Tblo te gösterilen mtrislerde, sütunlrın endi içlerinde büyü ornd birbirine ve ondlıl eşit oldulrı görülmetedir. P geçiş mtrisinin P (n) uvvetleri n,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 4, 5 ve için lınmış ve bunlrın sdece birer stırlrı lınr, diğer sütun elemnlrı ile ç ondlıt ylşı değer ldılrı Tblo 4 te gösterilmiştir. Tblo 4 ten sitemin n5 için denge durumun ulştığı görülmetedir.. Yöntem: P geçiş mtrisi denge durumun göre incelendiğinde, n nin yeterince büyü değerleri için.p homoen denlem sisteminin çözülmesi gereir. Tblo de gösterilen P geçiş mtrisi ile ( Κ ) mtrisi ele lındığınd, ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Ο ; ; ; ; (8) mtris sisteminin çrımındn yrrlnr denlem sisteminin çözümü şğıdi biçimde bulunur. 7

9 ( ) ( ),446,,55,78,98,54,5,76,4,96,95 Ο,4,89,54,59,78 (9),446,98,4,89,54,,96,54,5,55,95,59 Κ Κ Κ Κ,78,76,4 Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ,78 () sistemde gereli sdeleştirmeler yılır ise -,8554,98,4,89, -,8466,96,54,55,5 -,948 Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ Κ,59 Κ,78 Κ,76 Κ,4 Κ -,68 () Bu sistem 4 bilinmeyenli 4 denlemden oluşmtdır ve tsyılr determinntı sıfırdn frlıdır. Sistemin çözümü nc... ise mümündür. Bu ise i tnımın yırıdır. O hlde sistemden bir i denlem dışrı lını bunun yerine i denlemi ilve edilmelidir. Sistemden rstgele seçilen,8554,,55...,78 denlemini dışrı lır bunun yerine... denlemi ilve edilir ise sistemin tsyılr mtrisi A i 7

10 A,98 -,8466,5,,86,5,,79,6,49,976,686,978,4,96 -,948,4,6,97,49,86,86,845,76,9,4,995,7,696 -,895,64,8,47,9,7,77,866,78,,464,65,66,74 -,9496,698,587,687,78,8,8,8,8,69,88,6,65,57 -,98,86,8,65,88,7,764,7,75,4,6,49,47,675,64,69 -,9,696,669,8,775,78,794,649,7,7,55,789 -,9,77,67,56,568,46,68,54,47,4,6,67,794,75 -,59,5,659,64,56,6,47,699,477,5,757,77,44,49 -,947,65,94,69,49,5,76,55,7,69,664,46,599,6 -,9475,444,85,5,68,76,6,58,46,68,59,78,67,647 -,965,455,4,55,498,49,66,489,6,4,75,56,757,48 -,98,6,89,54,59,695,89,796,464,779,79,45,665,745,76 -,6,76,4,66,,,66,,,,8,74 olur. Bu lineer denlem A.B şelinde ısc mtris gösterimi ile yzılbilir. stır mtrisini bulbilme için A -.B işleminin yılmsı gereir. A mtrisinin tersi lını B iinci trf y d sbitler mtrisi ile çrılır ise,, 9, 9, 996,786,5968,69,64,568,479,445,459,465,94, 964 bulunur. Bu mtrisi oşulunu d sğlmtdır. i i Her ii yöntem ile bulunn sonuçlr (Tblo 4 ve mtrisi) rşılştırıldığınd çözümlerin en z üç ondlıl ynı değerleri ldığı görülmetedir. Alclrın ödeme thmininin yılmsı için sistem Mrov süreçleri ile tnımlnmış, sistemin denge durumun ulşmsı ii frlı yöntem ile çözülmüş ve birbirine en z üç ondlıl yın sonuçlr bulunmuştur. Bun göre işletmenin il yd oln lcğının eşin thsil etme olsılığı,9; birinci yd thsil etme olsılığı,9; iinci yd thsil etme olsılığı,996; üçüncü yd thsil etme olsılığı,786; dördüncü yd thsil etme olsılığı,5968; beşinci yd thsil etme olsılığı,69; ltıncı yd thsil etme olsılığı,64; yedinci yd thsil etme olsılığı,568; seizinci yd thsil etme olsılığı,479; douzuncu yd thsil etme olsılığı,445; onuncu yd thsil etme olsılığı,459; onbirinci yd thsil etme olsılığı,465; oniinci yd thsil etme olsılığı,94 ve bir yıldn dh uzun sürede thsil etme olsılığı,964 tür. SONUÇ İşletmelerin mevcut lclrının thsil edilme ornlrı mrov süreçlerinde geçiş mtrisi yrdımıyl bulunbilir. Yurıd elde edilen sonuçlr göre, şiret birimli lcğının birimini eşin, birimini birinci yd, birimini iinci yd, 7 birimini üçüncü yd, 5 birimini 7

11 dördüncü yd, 6 birimini beşinci yd, 6 birimini ltıncı yd, 5 birimini yedinci yd, 4 birimini seizinci yd, 4 birimini douzuncu yd, 4 birimini onuncu yd, 4 birimini onbirinci yd, birimini oniinci yd ve 9 birimini bir yıldn dh uzun sürede thsil edecetir. Mrov süreçleri ullnılr, içinde bulunuln yıldn ç yıl sonrsı için thmin yılm isteniyors P geçiş mtrisinin o dr uvveti lınr thmin yılbilir. Örneğin; yıl sonr şiretin içinde buluncğı durumun thmini için, P geçiş mtrisinin üçüncü uvveti lınr bşlngıç olsılı vetörü ile çrılır. Böylece, Mrov süreçleri bir yöntem olr gelecetei belentilerin thmininde ullnılbilir. Bu çlışmd thsil edilece fturlrın değerleri göz önüne lınmmış, sdece şiretin ylr göre bir yıl boyunc ve dh uzun sürede thsil edilen fturlrın thsil edilme yüzdeleri dite lınr gelecele ilgili thmin yılmıştır. İşletmeler genel olr lclrı ile ilgili thminlerinde geçmiş deneyimlerinden yrrlnmt ve gelecele ilgili ytırımlrını vey belentilerini bu deneyimlere göre ymtdırlr. İşletmelerin lclrı ile ilgili roesiyonlrınd geçmiş verilerinin ullnılmsı ise son derece fzl verinin işlenmesini geretirecetir. Mrov süreçleri yrdımıyl yıln işlemler için ulşıln bir yıllı verilerin çoluğu dite lındığınd, yıllrdır vr oln verilerin işlenmesi ve değerlendirilmesi olduç uzun zmn lctır. İşletmeler çısındn ulşılm istenen sonuç, esin thmin edilece ornın belirlenmesinden ço, gelecele ilgili lnlr yılıren belentilerin ylşı olr nsıl oluşcğının belirlenmesidir. Bu nedenle, işletmelerin gelecete ymyı düşündüleri işlemleri lnlybilmeleri ve bir bilgi oluşturmsı çısındn lclrın thsil edilme ornlrının thmini işletmeler çısındn önemlidir. Bu d şunu gösteriyor i, en z birç yıllı veriye geresinim duyulr yıln thmin yöntemleri yerine, sdece içinde bulunuln dönemdei verilerle Mrov süreçleri yrdımıyl gelecete lclrın thsil edilme ornlrı hınd thminler yılbilir. İşletmelerin muhsebe yıtlrının bilgisyr ortmınd tutuluyor olmsı ve bilgilerin geçiş mtrisine olyc dönüştürülebilmesi Mrov süreçlerinin bir yöntem olr işletmelerin lclrının thsil edilme ornlrının thmininde ullnılbileceğini göstermiştir. Geçiş mtrisinin rhtlıl oluşturulbilmesi, yeni işlemlerin süreli değerlendirilebilmesine oln sğlmt ve değişen oşullr göre gelecetei belentilerin nsıl değişim göstereceğinin thmin edilmesine de yrdımcı olmtdır. Şiretin thsil ettiği vey edeceği ftur değerlerinin işleme tılmsı ile ilgili çözümler gelecetei çlışmlr bırılmıştır. 74

12 KAYNAKÇA Anton, Howrd ve Rorres, Chris. (994). Elementry Liner Algebr: Alictions Version, John Wiley & Sons Inc., Cnd. Curvin, Jon; Slter, Roger. (988), Quntittive Methods For Business Decisions, Vn Nosrnd Reinhold Co. Ltd., London. Hlç, Osmn. (99), Kntittif Krr Verme Tenileri, Evrim Bsım Yyım Dğıtım, İstnbul. Roberts, A. Wyne, (98), Elementry Liner Algebr, The Benmin Publishing Comny Inc., Cliforni. Th, A. Hmdy. (99), Oertion Reserch, Prentice Hll, New Jersey. 75

13 Tblo. Geçiş Mtrisi ,446,98,4,995,464,69,75,6,68,6,49,5,4,89,,54,96,7,65,88,4,49,54,47,5,68,55,54,55,5,95,696,66,6,47,649,47,699,76,76,498,59,7,,4,5,74,65,675,7,4,477,55,6,49,695 4,87,86,6,64,54,57,64,7,6,5,7,58,66,89 5,86,5,97,8,698,66,69,55,67,757,69,46,489,796 6,7,,49,47,587,86,879,789,794,77,664,68,6,494 7,86,79,86,9,687,8,696,687,75,44,46,59,4,779 8,947,6,86,7,78,65,669,77,75,49,599,78,75,79 9,796,49,845,77,8,88,8,67,5,56,6,67,56,45,9,976,76,866,8,7,775,56,659,65,55,647,757,665,65,686,9,78,8,764,78,568,64,94,444,46,48,745,869,978,4,,8,7,794,46,56,69,85,455,97,76,78,76,4,66,,,66,,,,8,74,6,78 76

14 Tblo. P () Mtrisi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

15 Tblo. P () Mtrisi,9,4544,884,795,657,77,657,5776,4957,4544,4665,4645,9975,895,7,589,9,798,657,7,69,574,48494,4585,4597,4684,946,998,478,57,54,7869,59447,68544,6475,5685,4764,44,45947,4646,9,98,4,78,96,7899,66,696,6574,56559,4864,448,464,4656,9795,955,49,6,98,7885,67,6944,6659,56559,486,44747,46,46458,954,9597,88,99,968,7894,65,69,66748,56585,4857,4488,4659,46549,9655,95446,8,4,8948,794,664,6979,678,5698,49469,457,46944,4698,44,986,45,,95,7884,64,697,66469,566,4854,4485,464,4664,97,95575,986,54,95,7878,66,694,67,56686,487,44984,46689,46756,987,95998,87,74,88,797,647,698,6688,578,49498,4556,4745,474,4447,99,947,45,95,78867,6477,6949,6656,56895,487,458,466,4675,987,94,99,556,99,7867,685,6979,6489,5649,4877,44796,4647,467,99,95975,997,865,99,788,6477,69486,657,5658,4888,4494,46495,46766,996,959,6765,65,58,7489,5775,6457,57867,576,467,9444,44,46,55, 78

16 Tblo 4. P (n) Mtrisinin n,, 4, 5, 6, 7, 8, 9,,,, 4, 5 ve için Değerleri (n) ; ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ; ; ; ; sy. *Or.on.,87,499,87,7968,69,798,5946,5995,4968,4765,45,44987,8684,744,9,4544,884,795,657,77,657,5776,4957,4544,4665,4645,9975,895 4,8,6,958,7897,6,6977,6486,5679,4867,4485,466,469,95, ,4,4,989,787,5986,69,655,5647,4844,4458,4598,46,974,96 4 6,654,,998,7865,5974,698,654,5697,479,44495,4599,4658,98, ,78,5,9947,7864,5974,6899,65,5675,4788,44467,45884,464,95, ,765,59,9956,7868,5969,68985,66,5668,4787,44459,45876,466,94, ,77,6,9958,7867,59689,6898,645,5666,47866,44456,45874,464,99, ,776,6,9959,7866,59688,6898,69,5666,47865,44455,4587,464,98,9667 6,777,6,9959,7866,59687,6898,67,5666,47864,44455,4587,464,97,9667 6,777,6,9959,7866,59687,6898,67,5666,47864,44455,4587,464,97, ,777,6,9959,7866,59687,6898,67,5666,47864,44455,4587,464,97, ,777,6,9959,7866,59687,6898,67,5666,47864,44455,4587,464,97,9667 6,777,6,9959,7866,59687,6898,67,5666,47864,44455,4587,464,97, *Or. on. Sy.: Alınn uvvet mtrislerinde sütun elemnlrının birbirine ç ondlıl ylşı değer ldığını göstermetedir. 79