Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Transkript

1 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz. X,,U, P olasılık uzayıda bir rasgele değişke ve g : R R foksiyou B B içi x : gx B B özelliğie sahip ise Y g X gx foksiyou da,u, P uzayıda bir rasgele değişkedir. Y i olasılık dağılımıı X i dağılım veya olasılık (yoğuluk) foksiyou yardımıyla belirleyeceğiz. Bir X rasgele değişkeii başka bir Y rasgele değişkeie döüştüre g foksiyouu taım kümesi X yı kapsamalıdır. Döüşüm foksiyouu taım kümesi açık olarak verilmediğide, R olduğuu varsayacağız. Kesikli bir X rasgele değişkeii değer kümesi X ve olasılık foksiyou f X olsu. g : X R olmak üzere Y gx rasgele değişkei de kesiklidir ve Y i olasılık foksiyou, f Y y PY y PgX y PX x : gx y dır. f X x, x:gxy y Y Örek: X rasgele değişkei olasılık foksiyou, fx 5, x,, 0,,

2 olsu. Y X rasgele değişkei olasılık foksiyouu bulalım. Y 0,, 4 olmak üzere, f Y y fx, y Y x:x y f Y 0 5, f Y 5, f Y4 5 dır. Sürekli X rasgele değişkei değer kümesi X olsu. g : A R ve X A olmak üzere, Y gx rasgele değişkeii dağılım foksiyou, olacaktır. F Y y PY y Pgx y, y Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, olsu. fx 3, x a) Y X rasgele değişkei olasılık dağılımıı bulalım. Y i dağılım foksiyou,

3 F Y y PY y PX y 0, y 0 P y X y, y 0 0, y 0 y fxdx, 0 y y y fxdx, y 4, y 4 0, y y, 0 y y, y 4, y 4 olmak üzere olasılık yoğuluk foksiyou, 3 y, 0 y f Y y 6 y, y 4 dır. F Y ve f Y foksiyolarıı grafikleri,

4 dır. b) gx 0, x 0, x 0 olmak üzere U gx rasgele değişkei dağılım foksiyou, F U u PU u PgX u 0, u 0 PX 0, 0 u PX 0 PX 0, u 0, u 0 3, 0 u, u dır. c) gx x, x, x olmak üzere V gx rasgele değişkei dağılım foksiyou

5 F V v PV v PgX v 0, v 0 P X v, 0 v, v 0, v 0 v, 0 v 3, v dır. d) gx x, x R olmak üzere Z gx rasgele değişkei dağılım foksiyou,

6 F Z z PZ z PX z P X z 0, z z dx, z 3, z 0, z 0 z 6, 0 z 6, z 6 dır. Z i olasılık yoğuluk foksiyou f Z z 6, 0 z 6 dır. X rasgele değişkei dört farklı döüşümüü olasılık dağılımıı belirledik. Bazı özel hallerde, döüşüm soucu elde edile rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyouu belirlemeside yararlı olacak bir teorem verelim. Teorem: Sürekli X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou f ve fxdx olsu. a, b i ayrık a, b,a, b a k, b k alt aralıkları içi g : a, b R foksiyouu a i, b i, i,, 3,,k aralıklarıa kısıtlamaları ola, g i : a i, b i c, d, i,, 3,,k foksiyoları, arta (yada azala), sürekli ve g : c, d a, b, i,, 3,,k türevleebilir olmak üzere, b a

7 x : gx c, d a i, b i ise, Y gx rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, c y d içi dır. k k i f Y y fg i y dg i y dy i Đspat: y c, d içi dır. Burada x : c gx y g i c, y g i c, y x : g i x c, y, i,,.., k dır. Eğer g i foksiyou arta ise g i c, y a i, g i y azala ise g i c, y g i y, b i olacaktır. Bua göre, k i PX g i c, y Pa i X g i y, Pg i y X b i, g i arta ise g i azala ise dır. y c, y olmak üzere, Fg i y Fa i, Fb i Fg i y, g i arta ise g i azala ise G gi y Fg i y Fa i, Fb i Fg i y, g i arta ise g i azala ise foksiyou içi F i türevleebildiği yerlerde, dg gi y dy fg i y dg i y dy, i,,,k olacaktır. Şimdi Y gx rasgele değişkei y c, d içi dağılım foksiyouu değerii bulalım.

8 F Y y PY y PY c Pc Y y PY c P X k g i c, y i k PY c PX g i c, y i PY c G gi y Burada, y c, d içi k f Y y dg g i y dy i dır. k i k fg i y dg i y dy i Souç: olsu. Sürekli X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou f ve g : a, b c, d R b fxdx foksiyou arta veya azala sürekli bir foksiyo ve g türevleebilir ise Y gx rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou, dır. f Y y fg y dg y dy, c y d 0, diğer yerlerde a Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx 3, x olsu. Y X rasgele değişkei olasılık dağılımıı bulalım. a, b, olmak üzere, x, içi gx 0, 4

9 g :, 0 0, g : 0, 0, x g x x x g x x g : 0,, 0 y g y y g : 0, 0, y g y y g 3 :,, 4 x g 3 x x g 3 :, 4, y g 3 y y

10 fg y dg y dy fg y dg y dy, 0 y f Y y fg 3 y dg 3 y dy, y 4 3 y 3 y, 0 y 3 y, y 4 3 y, 0 y 6 y, y 4 Örek: X, rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx e x, x olsu. Y X rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou edir? g :, 0, x x

11 g :, 0 0, g : 0, 0, x g x x x g x x g 0,, 0 y g y y g foksiyolarıı göz öüe alarak, Y gx X içi, f Y y fg y dg y dy 0, 0, y fg y dg y dy g y y, 0 y y y e, 0 y elde edilir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou f olsu. Y 3X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Sürekli ve arta, g : R R g : R R x gx 3x y g y y 3 foksiyoları yardımıyla, Y gx 3X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou elde edilir. f Y y fg y dg y dy, y R 3 fg y, y R Bir döüşümü olasılık dağılımıı bulumasıda olasılık yoğuluk forksiyouu doğruda belirlemesi yötemie Değişke Değiştirme Tekiği ve öce dağılım foksiyouu belirlemesi yötemie de Dağılım Foksiyou Tekiği dediğii hatırlatalım. Şimdi ilgiç ola döüşümlerde birii ele alalım. Sürekli X rasgele değişkei-i dağılım foksiyou F olmak üzere Y FX rasgele değişkeii olasılık dağılımı edir? Bu döüşüme olasılık itegral döüşümü deir.

12 F Y y PY y PFX y 0, y 0 PFX y, 0 y, y Burada y 0, olmak üzere x 0 R içi Fx 0 y olsu. Bu durumda, PX x 0 PFX y Fx 0 y olacağıda 0, y 0 F Y y y, 0 y 0, y ve f Y y, 0 y 0, d.y. elde edilir. Sürekli X rasgele değişkei dağılım foksiyou F olsu. Öyle bir Z gx döüşümü bulalım ki sürekli Z rasgele değişkei dağılım foksiyou öcede bilie bir G foksiyou olsu. G foksiyou bir dağılım foksiyou olduğuda değerleri 0, aralığıdadır. y 0, içi olmak üzere, Z rasgele değişkeii, G y z R : Gz y Z G FX olarak taımlayalım. Şimdi Z i dağılım foksiyouu G olduğuu gösterelim. F Z z PZ z PG FX z PFX Gz FX rasgele değişkei bir itegral döüşümü olduğu içi PFX Gz Gz olacaktır. Burada F Z G dir. Böylece yukarıda verile g G F foksiyou ile belirlee Z gx rasgele değişkei dağılım foksiyou G dir.

13 Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx x, 0 x olsu. Bir Y gx rasgele değişkei dağılım foksiyou 0, y Gy y 9, y 4, y 4 olacak şekilde g foksiyouu belirleyiiz. X rasgele değişkei dağılım foksiyou 0, x 0 Fx x, 0 x, x dır. g G F : 0, R foksiyouu göz öüe alalım. x 0, içi Fx 0,, gx G FX G x olacaktır. G foksiyou, 4 aralığıda birebirdir ve G :, 4 0, G : 0,, 4 y Gy y 9 t G t 3 t olmak üzere, dır. Böylece gx G x 3x g : 0, R x 3x olmak üzere Y gx 3X rasgele değişkei dağılım foksiyou G dir. Örek: X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou,

14 fx, 0 x olsu. Bir Y gx rasgele değişkei dağılım foksiyou, Gy olacak şekilde g foksiyouu belirleyiiz. X rasgele değişkei dağılım foksiyou, 0, y 0 e y, y 0 0, x 0 Fx x, 0 x, x dır. y 0 içi Gy 0, ve t 0, içi dir. Şimdi G t l t g G F : 0, foksiyouu göz öüe alalım. x 0, içi dır. gx G Fx G x l x Y l X rasgele değişkei dağılım foksiyou G dir. Rasgele Vektörleri Döüşümleri Kesikli rasgele değişkeleri döüşümleride olduğu gibi kesikli boyutlu rasgele vektörleri döüşümlerii olasılık dağılımıı bulumasıda bir soru yoktur. X, X,,X boyutlu kesikli rasgele vektörü değer kümesi D X,X,,X ve olasılık foksiyou f X,X,,X olmak üzere

15 Y u X, X,,X Y u X, X,,X Y m u m X, X,,X döüşümü soucu elde edile Y, Y,,Y m, mboyutlu rasgele vektörü de kesiklidir ve olasılık foksiyou, y, y,,y m D Y,Y,,Y m içi, f Y,Y,,Y my, y,,y m P Y i y i, i,,,m P u i X,,X y i, i,,,m P X,,X x,,x : u i x,,x y i, i,,,m x,,x :u ix,,x y i, i,,,m f X,,X x,,x dır. Sürekli rasgele değişkeleri döüşümleride olduğu gibi sürekli rasgele vektörler ile ilgili döüşümlerde izleebilecek iki yol vardır. Biricisi: dağılım foksiyou dee tekik, yai döüşüm soucu elde edile rasgele vektörü dağılım foksiyouu buluması ve burada, dağılım sürekli ise türev alarak yoğuluk foksiyouu buluması, ikicisi: yoğuluk foksiyou dee tekik, yai döüşüm soucudaki rasgele vektörü olasılık yoğuluk foksiyouu doğruda, döüştürüle vektörü olasılık yoğuluk foksiyouda elde edilmesidir. Yoğuluk foksiyou tekiği çok katlı itegrallerde değişke değiştirme yötemie dayamaktadır. X, X,,X boyutlu sürekli rasgele vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou f X,X,,X olsu. Y u X, X,,X olmak üzere, i,,, içi Y u X, X,,X Y u X, X,,X u i : R R x, x,,x u i x, x,,x foksiyoları herbir değişkee göre kısmi türevlere sahip,

16 u, u,,u x, x,,x det u x u x u x ve u, u,,u : R R döüşümü D X,X,,X kümesi üzeride birebir olsu. u, u,,u foksiyouu D X,X,,X kümesie kısıtlamasıı ters foksiyou, u x u x u x h, h,,h : D Y,Y,,Y D X,X,,X olsu. Bu durumda Y, Y,,Y boyutlu rasgele vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou g içi, y, y,y D Y,Y,,Y olduğuda, gy, y,,y f X,,X h y,,y,h y,,y h,,h y,,y ve y, y,,y D Y,Y,,Y olduğuda, gy, y,,y 0 dır. 0 Örek: X, X i olasılık foksiyou f X,X x, x x x p x x q x x, x 0,,,, x 0,,, olsu. Burada 0 p, q p ve ile doğal sayıdır. X ve X bağımsız ve marjial olasılık foksiyoları sırasıyla f X x x p x p x, x 0,,,, f X x dır. Aşağıdaki döüşümü göz öüe alalım. x p x q x, x 0,,,, Y X X Y X Bu döüşümle taımlaa Y ve Y rasgele değişkelerii ortak olasılık foksiyouu bulalım. D X,X x, x : x 0,,,, ve x 0,,,, 0,,,, 0,,,, D Y,Y y, y : y x x, y x, x, x D X,X y, y : y 0,,..., ve max0, y y miy, olmak üzere,

17 f Y,Y y, y PY y, Y y, y, y D Y,Y PX X y, X y PX y y, X y PX y y PX y y y p y y q y y y p y q y y y y p y q y dır. Y i marjial olasılık foksiyou, f Y y PY y f Y,Y y, y y p y q y miy, y max0,y y y y y p y q y, y 0,,,, olmak üzere, Y y bilidiğide Y i koşullu olasılık foksiyou, olarak elde edilir. f Y /Y y y PY y /Y y y y y y Örek: X, X i olasılık yoğuluk foksiyou f X,X x, x, 0 x, 0 x olsu. a) Y X X rasgele değişkei dağılım foksiyou, F Y y PY y PX X y ve f X,X x, x dx dx x,x :x x y

18 0, y 0 x,x :x x y f X,X x, x dx dx yyx 0 dx dx, 0 y 0 yyx dx dx, y, y olmak üzere, 0, y 0 F Y y y, 0 y y, y, y dır. Y i olasılık yoğuluk foksiyou, f Y y y, 0 y y, y dır. b) Y X X Y X döüşümü ile taımlaa Y ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. X, X i değer kümesi olmak üzere, D X,X x, x : 0 x, 0 x y x x y x döüşümü altıda bu küme şekilde gösterile, y, y : 0 y, 0 y y y, y : y, y y kümesie (D Y,Y döüşmektedir. Döüşüm birebirdir.

19 Ters döüşüm x y ve x y y x, x y, y det x x y y x x y y det 0 olmak üzere Y, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, f Y,Y y, y f X, X y, y y x, x y, y, y, y D Y,Y, y, y D Y,Y dır. Y i marjial olasılık yoğuluk foksiyou,

20 y dy, 0 y 0 f Y y dy, y y y, 0 y y, y olarak elde edilir. c) Y X X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. Böyle durumlarda, bir yardımcı Y değişkei taımlaır, Y ile Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyou buluur ve burada Y i marjial olasılık yoğuluk foksiyou elde edilir. Yardımcı değişke Y X olarak taımlaırsa, y x x y x döüşümü içi D Y,Y kümesi aşağıdakişekilde gösterilmiştir. Döüşüm birebir olup ters döüşüm, x y y ve x y y x, x y, y det y y 0 y dır. Böylece, ve f Y,Y y, y y, 0 y y

21 f Y y y dy, 0 y y l y, 0 y dır. D X,X x, x : 0 x, 0 x D Y,Y y, y : 0 y y d) Y X /X Y X X döüşümü ile taımlaa Y ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. y x /x döüşümü altıda D X,X kümesi, y x x D Y,Y y, y : 0 y y y, y : y, 0 y /y kümesie döüşmektedir. Ters döüşüm, x y y / x y /y /

22 olmak üzere, x, x y, y det y y 3 y y / / y y / / y y y dır. Böylece Y, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, f Y,Y y, y f X,X y y /, y y / y, y, y D Y,Y y, y, y D Y,Y olarak elde edilir. e) Y mix, X Y maxx, X döüşümü ile taımlaa Y ve Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. D Y,Y y, y : 0 y y A x, x : 0 x x A x, x : 0 x x olmak üzere, A 3 x, x : 0 x x

23 D X,X A A A 3 yazabiliriz. Acak, PX, X A 3 0 olduğuda, A 3 kümesii döüşümde gözöüe almayabiliriz. y, y : A A D Y,Y x, x y, y mix, x, maxx, x y x y x, x, x A y x y x, x, x A olmak üzere, ayrık A ve A kümelerii herbiride döüşüm birebirdir. Ters döüşümler, u, u : D Y,Y \y, y : 0 y y A y, y y, y s, s : D Y,Y \y, y : 0 y y A y, y y, y olmak üzere, u, u y, y det 0 0 s, s y, y det 0 0 dır. Böylece, Y, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, y, y D Y,Y içi, f Y,Y y, y fu y, y, u y y u, u y, y ve y, y D Y,Y içi f Y,Y y, y 0 dır. Burada, fs y, y, s y y s, s y, y

24 f Y,Y y, y, 0 y y olarak elde edilir. Y ve Y i marjial olasılık yoğuluk foksiyoları, f Y y dy, 0 y y y, 0 y ve f Y y 0 y dy, 0 y y, 0 y dır. f Y l X / cosx Y l X / six döüşümü (Box-Muller döüşümü) ile taımlaa Y ve Y rasgele değişkelerii ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. Bu döüşüm kümesii, D X,X x, x : 0 x, 0 x D Y,Y y, y : y, y kümesie döüştürmekte ve y, y : y 0 veya y 0 kümesi dışıda birebir olmaktadır. Ters döüşüm,

25 y x e y ve x arcta y y x, x y, y det y e y y y y e y y /y y /y /y y /y olmak üzere, dır. y y e f Y Y y, y y y e, y, y Örek: X, X i olasılık yoğuluk foksiyou f X,X x, x x x e x x, x 0, x 0 olsu. Burada ile sabit ve 0, 0 dır. Y X X Y X X X döüşümü ile verile Y ve Y rasgele değişkelerii ortak olasılık yoğuluk foksiyouu ve marjial olasılık yoğuluk foksiyolarıı bulalım. y x x döüşümü soucu D X,X kümesi y x x x D Y,Y y, y : 0 y, 0 y kümesie döüşmektedir. Döüşüm birebirdir. Ters döüşüm,

26 x y y ve x y y x, x y, y det y y y y y olmak üzere f Y,Y y, y y y y y e y y, y 0 0 y y y y e y, y 0 0 y

27 f Y y f Y,Y y, y dy, y 0 0 y e y y y dy, y 0 0 y e y, y 0 y e y, y 0 f Y y f Y,Y y, y dy, 0 y 0 y y y e y dy, 0 y 0 y y, 0 y olarak elde edilir. Örek: X, X, X 3, 3 boyutlu rasgele vektörü olasılık yoğuluk foksiyou,

28 f X,X,X 3 x, x, x 3 e x x x 3, x 0, x 0, x 3 0 olsu. Y X X X Y X X X X X 3 Y 3 X X X 3 döüşümü ile verile Y, Y ve Y 3 rasgele değişkelerii ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. Bu döüşüm altıda D X,X,X 3 kümesi D Y,Y,Y 3 y, y, y 3 : 0 y, 0 y, y 3 0 kümesie döüşmektedir. Ters döüşüm, x y y y 3 x y y y 3 y y 3 olmak üzere, x 3 y y 3 y 3 x, x, x 3 y, y, y 3 det y y 3 y y 3 y y y y 3 y y 3 y 3 y y y 0 y 3 y y y 3 ve f Y,Y,Y 3 y, y, y 3 y y 3 e y 3, 0 y, 0 y, y 3 0 dır. Burada, marjial olasılık yoğuluk foksiyoları sırasıyla,

29 f Y y y y 3 e y 3 dy dy 3, 0 y 0 0 y dy y 3 e y 3 dy3, 0 y 0 0 3, 0 y f Y y y y 3 e y 3 dy dy 3, 0 y 0 0 y, 0 y ve f Y3 y 3 y y 3 e y 3 dy dy, y y 3 e y 3, y 3 0 olarak elde edilir. Örek: A a ij, reel sayıları tipide bir matrisi ve deta 0 olsu. X, X,,X

30 rasgele değişkelerii ortak olasılık yoğuluk foksiyou g olmak üzere, Y a X a X a X a k X k k Y a X a X a X a k X k k Y a X a X a X a k X k döüşümü ile taımlaa Y, Y,,Y rasgele değişkelerii ortak olasılık yoğuluk foksiyouu bulalım. k A a ij olmak üzere ilgili ters döüşüm, x a y a y a y a k y k k ve x a y a y a y a k y k k x 3 a y a y a y a k y k x, x,,x y, y,,y k deta deta dır. Böylece Y, Y,,Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyou, fy, y,,y g a k y k, a k y k,, a k y k deta k dır. A matrisii ortogoal A A AA I olması durumuda deta ve A A a ji olmak üzere fy, y,,y g olacaktır. Bu durumda, ayrıca k k k a k y k, a k y k,, a k y k k k

31 Y i j i k a ik X k i a ij X j j a ik X k k a ij a ik X j X k i j k j k X j X k a ij a ik i elde edilir. (j k içi i X j j a ij a ik ve j k içi a ij a ik 0 i Örek: X, X,,X rasgele değişkeleri sürekli, bağımsız ve ayı dağılımlı (bu dağılımı olasılık yoğuluk foksiyou f ve dağılım foksiyou F olsu. a) Y maxx, X,,X rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Y i dağılım foksiyou, F Y y PY y PX y, X y,,x y PX y PX y PX y Fy olmak üzere, olasılık yoğuluk foksiyou, f Y y Fy fy, y dır. b) Y mix, X,,X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Y i dağılım foksiyou, F Y y PY y PY y PX y, X y,,x y Fy olmak üzere, olasılık yoğuluk foksiyou, f Y y Fy fy, y dır. c) Y, Y i ortak olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Y, Y i ortak dağılım foksiyou,

32 F Y,Y y, y PY y, Y y, y y PY y PY y, Y y PY y P y X j y, j,,, PY y Py X j y j olmak üzere, f Y,Y y, y F Y,Y y, y y y Fy Fy Fy dır. Fy Fy fy fy, y y d) R Y Y rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Z Y yardımcı değişkei ile birlikte, R Y Y döüşümü içi, Z Y y, y r, z det 0 olmak üzere, f R,Z r, z Frz Fz frfz, r 0 z dır. Burada z üzeride itegral alarak R i olasılık yoğuluk foksiyou buluur. PROBLEMLER

33 . X rasgele değişkei olasılık foksiyou fx 0 x, x,, 0,, olsu. Y X ve U X rasgele değişkelerii olasılık foksiyolarıı buluuz.. X rasgele değişkeii olasılık foksiyou olsu. fx 3 x 3, x,, 3, a) Y X b) U X rasgele değişkelerii olasılık foksiyolarıı buluuz. 3. X rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou, fx 6x x, 0 x olsu. Y X 3 rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 4. X rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou olsu. fx, x a) Y X b) U X c) V X

34 d) Z si X e) gx si x, x 0 cosx, x 0 içi W gx rasgele değişkeleri olasılık yoğuluk foksiyolarıı buluuz ve grafiklerii çiziiz. 5. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, olsu. fx 5, x 3 a) Y 9 X 5 b) U X c) gx x, x 0, x içi V gx, x 0 d) W SgX, Sgx 0, x 0, x 0 rasgele değişkelerii dağılım foksiyolarıı buluuz. 6. X rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyou,

35 fx, 0 x olsu. a) gx x, x 0 b) gx l x, 0 x c) gx l x, 0 x olmak üzere Y gx rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 7. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou, fx, 0 x olsu. Bir Y gx rasgele değişkei dağılım foksiyou, a) Gy 0, y 0 e y, y 0 b) Gy 0, y 0 e y, y 0 0, y 0 c) Gy 5, 0 y 5, y 5

36 0, y 0 d) Gy y y 4, 0 y, y e) Gy arctay, y olacak şekilde g foksiyouu belirleyiiz. 8. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou f olsu. a 0 olmak üzere Y ax b rasgele değişkeii olasılık yoğuluk foksiyouu olduğuu gösteriiz. f Y y a f y b a, y 9. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk foksiyou f ve dağılım foksiyou F olsu. X ve X rasgele değişkelerii olasılık yoğuluk foksiyolarıı f ve dağılım foksiyolarıı F foksiyou yardımıyla ifade ediiz. 0. Bir X rasgele değişkei içi, X ile X i olasılık dağılımları ayı ise X e simetrik rasgele değişke deir. Bua göre, a) X rasgele değişkei simetrik X i f olasılık foksiyou çift bir foksiyo X i F dağılım foksiyou içi Fx Fx, x R, olduğuu gösteriiz. b) Sürekli X rasgele değişkei simetrik ise PX 0 olduğuu gösteriiz. c) Problem 9 u, X i simetrik olması hali içi çözüüz.. X rasgele değişkei olasılık yoğuluk ve dağılım foksiyolarıı grafikleri aşağıda gösterilmiştir.

37 g : R R foksiyouu, a) gx x b) gx x c) gx Sgx d) gx x a, a R b, x b e) gx x, b x b b, x b durumları içi Y gx rasgele değişkei dağılım foksiyouu grafiğii biçimsel olarak çiziiz. Y sürekli ise olasılık yoğuluk foksiyouu grafiğiide çiziiz.. Belli bir ölçü aleti ile ölçümlerde yapıla hata, E (birim) olmak üzere E i olasılık yoğuluk foksiyou fe, e dır. Gerçek kear uzuluğu, a 0(birim) ola bir kareii kearı bu aletle ölçüldüğüde bulua ölçüm değeri X olmak üzere, X a E dır. X i olasılık dağılımıı buluuz. Ölçüm değerie dayaarak hesaplaa ala, Y X olmak üzere Y i olasılık dağılımıı buluuz ve P X ile P Y 00 0 olasılığıı hesaplayıız. 3. Teorik fizikteki Maxwell-Boltzma kauua göre gaz moleküllerii hızıı büyüklüğü, V i olasılık yoğuluk foksiyou,

38 fv kv e v, v 0 dır. Burada, C T, Tmutlak sıcaklık, M molekülü kütlesi, C Boltz-ma M sabitidir. k sabitii değerii ve kietik eerji i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. E mv 4. X, X i olasılık foksiyou, x fx, x x 3 3 x x, x, x 0, olsu. Y X X Y X X döüşümü ile taımlaa Y ve Y i ortak ve marjial olasılık foksiyolarıı buluuz. 5. X, X i olasılık foksiyou, x x, fx, x 4 x, x,, 3, olsu. Y maxx, X olmak üzere, a) Y rasgele değişkeii olasılık foksiyouu buluuz. b) X, Y rasgele vektörüü olasılık foksiyouu buluuz. 6. X, X i olasılık (yoğuluk) foksiyou, a) fx, x 4, 0 x, 0 x b) fx, x 9, x, x, 0,

39 c) fx, x 6 ex 3x, x 0, x 0 d) fx, x x x e, x, x olmak üzere; i) Y X X ii) Y X X iii) Y mix, X iv) Y maxx, X rasgele değişkelerii olasılık (yoğuluk) foksiyolarıı buluuz. 7. X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y x y, 0 x y olsu. Z X Y i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 8. X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y x y, 0 x, 0 y olsu. Z XY i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. 9. X, Y i olasılık yoğuluk foksiyou, fx, y y ye x, x, y 0 olsu. Z XY i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz.

40 0. X, X i olasılık yoğuluk foksiyou, olsu. a) fx, x x x e, x, x Y X X b) Y X X Y X X Y X /X olmak üzere, Y, Y i olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz. Y ile Y i bağımsızlığıı araştırıız.. X, X, X 3 ü olasılık yoğuluk foksiyou, fx, x, x 3 8x x x 3, 0 x, 0 x, 0 x 3 olsu. Y X Y X X Y 3 X X X 3 döüşümü ile taımlaa Y, Y, Y 3 ü ortak olasılık yoğuluk foksiyouu buluuz.. X, X, X 3 vektörüü olasılık yoğuluk foksiyou, fx, x, x 3 3 x x x 3 3 e x x x 3, x 0 x 0 x 3 0 olsu 0, 0, 3 0.

41 Y X X X X 3 Y X X X X 3 Y 3 X X X 3 olmak üzere, Y, Y, Y 3 ve Y, Y i olasılık yoğuluk foksiyolarıı buluuz. 3. X, X,,X rasgele değişkeleri bağımsız ve herbirii sahip olduğu olasılık dağılımıı yoğuluk foksiyou, a) fx 4, 0 x 4 b) fx e x, x 0 olsu. Y mix, X,,X Y maxx, X,,X W Y Y olmak üzere, Y, Y, Y, Y, W u olasılık yoğuluk foksiyolarıı buluuz. 4. X, X,,X rasgele değişkeleri bağımsız ve herbirii sahip olduğu olasılık dağılımıı yoğuluk foksiyou, a) fx, 0 x

42 b) fx x, 0 x olsu. Y mix, X,,X Y maxx, X,,X W Y Y olmak üzere: i) Y, Y, Y, Y, W u olasılık yoğuluk foksiyolarıı buluuz. ii) 5 ve 0 içi, PY 0., PY 0. 9, P Y 0. ve Y 0. 9 P Y 0. ve Y 0. 9, PW 0. 9 olasılıklarıı hesaplayıız. iii) PY olacakşekilde e küçük değerii buluuz.