Örgü Kuantum Renk Dinamiği II

Transkript

1 Örgü Kuantum Renk Dinamiği II Güray Erkol, Kadir Utku Can Özyeğin Üniversitesi ULUYEF Kış Okulu, 2012 Image: 1 / 52

2 2 / 52 Özet 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

3 3 / 52 İçerik Örgü Simülasyonları Giriş 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

4 4 / 52 Giriş Örgü Simülasyonları Giriş Örgü üzerinde bir gözlemlenebilirin beklenen değeri: O = 1 D[U]e SG[U] O[U] Z = Z D[U]e S G[U] Küçük örgüler dışında bu integrali hesaplamak mümkün değildir. Monte Carlo simülasyonu integrali N tane örnek ayar konfigürasyonu üzerinde hesaplanmış ortalaması şeklinde yaklaşık bir sonuca indirger: O 1 N e S[Un] olasılıkla U n O[U n ] U n : Markov zinciri şeklinde elde edilen konfigürasyon zinciri.

5 5 / 52 Örgü Simülasyonları Konfigürasyon Oluşturulması Importance sampling Giriş Bir f (x) fonksiyonunun ρ(x) yoğunluğu taşıyan bir olasılık dağılımına göre beklenen değeri: b a ρ(x)f (x) f = b a ρ(x) Importance sampling de bu beklenen değer yaklaşık olarak bulunabilir: 1 f = lim N N N f (x n ) n=1 x n (a, b) bir olasılık dağılımına göre örneklenir: dp(x) = ρ(x)dx b a dxρ(x)

6 Örgü Simülasyonları Giriş 6 / 52 Konfigürasyon Oluşturulması Importance sampling Biz de yol integralimizi bu yöntemle hesaplayabiliriz: 1 O = lim N N dp(u) = N O[U n ] n=1 e S[U] D[U] D[U]e S[U] U n ayar alan konfigürasyonları rastgele değişkenlerdir. İntegrali N tane konf. üzerinden hesaplarız. İstatistiksel hata 1/ N ile orantılıdır ve kesin sonuç N ile bulunur.

7 7 / 52 İçerik Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

8 8 / 52 Örgü Simülasyonları Konfigürasyon Oluşturulması Markov Zincirleri Metropolis Algoritması Rastgele bir konfigürasyon ile başla. Bağlantı değişkenlerinin stokastik bir zincirini oluştur. U 0 U 1 U 2... Bütün bağlantıları ziyaret et. U n 1 U n geçiş olasılığı (U n = U U n 1 = U). = T(U U) (= matris) 0 T(U U) 1, U T(U U) = 1 P (0) T P (1) T P (2) T... T P (= denge dağılımı)

9 9 / 52 Örgü Simülasyonları Konfigürasyon Oluşturulması Markov Zincirleri Metropolis Algoritması Denge dağılımı Geri döndürülebilir Markov Zincirleri olmalıdır T(U U)P(U) = T(U U )P(U ) U U T(U U)P(U) = T(U U )P(U ) (olası bir çözüm) Metropolis algoritması yukarıdaki denkleme dayanır

10 10 / 52 Örgü Simülasyonları Genel Metropolis Algoritması Metropolis Algoritması T 0 (U U) şeklinde bir seçim olasılığına göre bir U konfigürasyonu seç. Yeni konfigürasyonu kabul etme olasılığı ( T A (U U) = min 1, T 0(U U ) exp( S[U ) ]) T 0 (U U) exp( S[U]) Eğer yeni konfigürasyon kabul edilmezse eski konfigürasyonu Markov zincirine kat. Bu adımları tekrarla. Çoğu durumda simetrik seçim olasılığı alınır: T 0 (U U ) = T 0 (U U) Bu durumda T A (U U) = min(1, exp( S)) ve S = S[U ] S[U].

11 11 / 52 Metropolis Algoritması SU(3) Ayar Eyleminin Eklenmesi Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması Adım 1 U µ(n) = X U µ (n) kullanarak belirli bir µ yönü ve n köşesi için U µ(n) adayı seç burada X birim matrise yakın bir 3x3 matristir Adım 2 Dört boyutta altı plaquette değişecek. Yeni eylemi hesapla: S G [U µ(n)] = 1 2g 2 6 ReTr[I U µ(n)p i ] i=1 = 1 2g 2 ReTr[6I U µ(n)a]

12 12 / 52 Metropolis Algoritması SU(3) Ayar Eyleminin Eklenmesi Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması Adım 1 U µ(n) = X U µ (n) kullanarak belirli bir µ yönü ve n köşesi için U µ(n) adayı seç burada X birim matrise yakın bir 3x3 matristir Adım 2 Dört boyutta altı plaquette değişecek. Yeni eylemi hesapla: S G [U µ(n)] = 1 2g 2 6 ReTr[I U µ(n)p i ] i=1 = 1 2g 2 ReTr[6I U µ(n)a]

13 13 / 52 Metropolis Algoritması SU(3) Ayar Eyleminin Eklenmesi Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması Adım 2 S G [U µ(n)] = 1 2g 2 A = 6 P i = ν µ i=1 6 ReTr[I U µ(n)p i ] = 1 2g 2 ReTr[6I U µ(n)a] ( U ν (n + ˆµ)U µ (n + ˆµ + ˆν)U ν (n + ˆν) i=1 ) +U ν (n + ˆµ)U µ (n + ˆµ ˆν)U ν (n ˆν) [ (U böylece, S G = S G [U µ(n)] S G [U µ (n)] = 1 2g ReTr µ(n) U 2 µ (n) ) A ]

14 Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması 14 / 52 Metropolis Algoritması SU(3) Ayar Eyleminin Eklenmesi Adım 3 [0, 1) aralığında rastgele bir r sayısı üret r ile exp( S G ) yi kıyasla Eğer r exp( S G ) ise U µ(n) kabul et exp( S G ) 1 olduğunda yani eylem azaldığında ya da değişmediğinde, U µ(n) her zaman kabul et U µ(n) eylem arttığında da kabul edilebilir, bu durum Quantum salınımı olarak alınabilir. Adım 4 Bütün bağlantı değişkenleri güncellenene kadar yukarıdaki adımları tekrar et

15 Örgü Simülasyonları Metropolis Algoritması 15 / 52 Metropolis Algoritması SU(3) Ayar Eyleminin Eklenmesi Adım 3 [0, 1) aralığında rastgele bir r sayısı üret r ile exp( S G ) yi kıyasla Eğer r exp( S G ) ise U µ(n) kabul et exp( S G ) 1 olduğunda yani eylem azaldığında ya da değişmediğinde, U µ(n) her zaman kabul et U µ(n) eylem arttığında da kabul edilebilir, bu durum Quantum salınımı olarak alınabilir. Adım 4 Bütün bağlantı değişkenleri güncellenene kadar yukarıdaki adımları tekrar et

16 16 / 52 İçerik Örgü Simülasyonları Workflow 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

17 Örgü Simülasyonları Workflow 17 / 52 Ayar Konfigürasyonları Başlangıç Soğuk Başlangıç Bütün ayar değişkenlerini birim matrise eşitle. U µ = I Sıcak Başlangıç Grup uzayından rastgele matrisler seç. Birleşik Yarısı Soğuk, yarısı Sıcak ; seçim sizin!

18 Örgü Simülasyonları Workflow 18 / 52 Ayar Konfigürasyonları Başlangıç Soğuk Başlangıç Bütün ayar değişkenlerini birim matrise eşitle. U µ = I Sıcak Başlangıç Grup uzayından rastgele matrisler seç. Birleşik Yarısı Soğuk, yarısı Sıcak ; seçim sizin!

19 Örgü Simülasyonları Workflow 19 / 52 Ayar Konfigürasyonları Başlangıç Soğuk Başlangıç Bütün ayar değişkenlerini birim matrise eşitle. U µ = I Sıcak Başlangıç Grup uzayından rastgele matrisler seç. Birleşik Yarısı Soğuk, yarısı Sıcak ; seçim sizin!

20 Örgü Simülasyonları Workflow 20 / 52 Ayar Konfigürasyonları Dengeye Ulaşma Metropolis Algoritmasını and Monte Carlo metodlarını kullanarak bütün örgüyü tara ve bütün ayar değişkenlerini güncelle! Monte Carlo algoritmaları: Heat Bath, Overrelaxation, Microcanonical, Hybrid Monte Carlo, Langevin Kontrol etmeyi unutma Soğuk başlangıç ve Sıcak başlangıç değerlerini kıyasla: Wilson ve Polyakov Döngüleri ve Quark Propagatörleri. İki başlangıç için değerler birbirine yaklaşana kadar taramaya devam et!

21 21 / 52 İçerik Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

22 22 / 52 Quark Propagatorü Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Quark propagatörü Dirac operatörünün tersine eşittir. ψ(n)αψ(m) β = a 4 D 1 (n m) αβ D = I κ H a b F ab ±4 1 H(n m) αβ = (I γ µ ) αβ U µ (n) ab δ n+ˆµ,n κ = 2(a m+4) ab µ=±1 Matris iteratif nümerik teknikler kullanılarak ters çevrilebilir: Gauss-Seidel Successive OverRelaxation (SOR) / Symmetric SOR Conjugate Gradient (CG) / BiCG / BiStabCG

23 23 / 52 Quark Propagatörü Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Hopping açılımı D 1 = (I κ H) 1 = κ j H j j=0 Fermion determinantı 1 det[d] = det[i κ H] = exp(tr[ln(i κ H)]) = exp j κj Tr[H j ] j=1 Hopping teriminin trace ini almak n = m demek. Bu durumda fermion determinantı fermion düğümlerine karşılık gelir.

24 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler 24 / 52 Quark Propagatörü Matthews-Salam formülü N Z F = dη N d η N... dη 1 d η 1 exp η i M ij η j = det[m] i,j=1 Partition fonksiyonu Z = D[U]e S G[U] det[d u ]det[d d ]

25 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler 25 / 52 Hadron Spektroskopisi Örgü üzerinde fermionları simüle ederek hadron spektroskopisi hesaplanabilir. Öncelikle her bir konfigürasyon için quark propagatörü hesaplanır. Bunlar birleştirilerek hadron propagatörleri oluşturulur. Bütün konfigürasyonlar üzerinden ortalama alınarak spektroskopi hesaplanır. Spektral açılım O 2 (t)o 1 (0) = m e ten 0 Ô 2 n n Ô 1 0 O 2 (t)o 1 (0) = p O p 0 2 e tep + p O p 0 2 e te p +...

26 26 / 52 Meson Interpolatorleri Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Genel Durum O M (n) = ψ (f 1) (n) Γ ψ (f 2) (n) ve O M (m) = ψ (f 2) (m) Γ ψ (f 1) (m) Table: Bazı Meson Interpolatorleri Interpolator J PC I, I z O π +(n) = d(n)α (γ 5 ) αβ u(n) βc c 0 + 1, 1 O K +(n) = s(n) γ 5 u(n) 0 + 1/2, 1/2 O ρ +(n) = d(n) γ i u(n), i = 1, 2, 3 1 1, 1 Hadronların sahip olduğu kuantum sayılarına göre kurulur

27 27 / 52 Meson Interpolatorleri Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Genel Durum O M (n) = ψ (f 1) (n) Γ ψ (f 2) (n) ve O M (m) = ψ (f 2) (m) Γ ψ (f 1) (m) Table: Bazı Meson Interpolatorleri Interpolator J PC I, I z O π +(n) = d(n)α (γ 5 ) αβ u(n) βc c 0 + 1, 1 O K +(n) = s(n) γ 5 u(n) 0 + 1/2, 1/2 O ρ +(n) = d(n) γ i u(n), i = 1, 2, 3 1 1, 1 Hadronların sahip olduğu kuantum sayılarına göre kurulur

28 28 / 52 Meson Korelatörleri Fermion Çarpımı Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Iso-Triplet operator O T = d Γ u O T (n)ō T (m) F = d(n)α 1 c 1 Γ α1β 1 u(n) β1 c 1 ū(m)α 2 c 2 Γ α2β 2 d(m) β2 c 2 F = Γ α1β 1 Γ α2β 2 u(n) β1 c 1 ū(m)α 2 c 2 u d(m) β2 c 2 d(n)α 1 c 1 d = Γ α1β 1 Γ α2β 2 D 1 u (n m) β1α 2 D 1 d (m n) β 2α 1 c 1c 2 c 2c 1 = Tr [ Γ D 1 u (n m) Γ D 1 (m n)] d η 1 η 2 = η 2 η 1 ve... F =... u... d kullanarak

29 29 / 52 Meson Korelatörleri Fermion Çarpımı Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Iso-Singlet operator O S = (ū Γ u + d Γ d)/ 2 O S (n)ō S (m) F == Tr[Γ D 1 u Tr[Γ D 1 u Tr[Γ D 1 u (n m) Γ D 1 (m n)] d (n n)] Tr[Γ D 1 (m m)] u (n n)] Tr[Γ D 1 (m m)] + u d d D 1 u (n n) içeren terimler ayrık parçalara karşılık gelir. Iso-triplet operatör durumunda u ve d terimleri arasında göreceli bir eksi işareti vardır. Isospin simetrisi ile (D u = D d ) ayrık terimler yok olur.

30 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Baryon Interpolatorleri I=0, J=0 diquark ({ }} ){ Nucleon için en basit operatör O N (n) = ɛ abc u(n) a u(n) T b Cγ 5 d(n) c Bazı Interpolatorler O N± = ɛ abc P ± Γ A u a ( u T b Γ B d c ), ŌN± = ɛ abc (ūa Γ B d T b )ūc Γ A P ± O Σ± = ɛ abc P ± Γ A u a ( u T b Γ B s c ), ŌΣ± = ɛ abc (ūa Γ B s T b )ūc Γ A P ± O Λ± = ɛ abc P ± Γ A ( 2s a ( u T b Γ B d c ) + da ( u T b Γ B s c ) ua ( d T b Γ B s c ) ) (Γ A, Γ B ) = { (I, Cγ 5), (γ 5, C), (I, iγ 4Cγ 5) for J P = 1/2 + (I, Cγ i) for J = 3/2 P ± = 1 2 (I ± γ 4), C Yük konjuge operatörü 30 / 52

31 31 / 52 Baryon Korelatörü Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Nucleon Örnek olarak nucleon için fermion çarpımını verebiliriz. Baryonlar için ayrık parçalar ortaya çıkmaz. O N± (n) α Ō N± (m) α F = ɛ abcɛ a b c (Cγ5) α β (Cγ5) αβ(p ±) γγ D 1 d (n m) β β x b b ( ) D 1 u (n m) α α D 1 u a a (n m) γ γ c c D 1 u (n m) α γ a c D 1 u (n m) γ α c a

32 32 / 52 Hadron Spektroskopisi Momentum projeksiyonu Interpolatorler, Korelatörler Interpolator Õ(p, n t) = N n Λ 3 O(n, n t)e i a n p Korelatör Õ(p, n t)ō(0, 0) = N n Λ 3 e i a n p O(n, n t)ō(0, 0) ( ) = Ae a nt E(p) 1 + O(e a nt E ) Sıfır Momentum Projeksiyonu E(p) = m 2 Hadron + p2 p = 0, E(0) = m Hadron

33 33 / 52 Hadron Spektroskopisi Momentum projeksiyonu Interpolatorler, Korelatörler Interpolator Õ(p, n t) = N n Λ 3 O(n, n t)e i a n p Korelatör Õ(p, n t)ō(0, 0) = N n Λ 3 e i a n p O(n, n t)ō(0, 0) ( ) = Ae a nt E(p) 1 + O(e a nt E ) Sıfır Momentum Projeksiyonu E(p) = m 2 Hadron + p2 p = 0, E(0) = m Hadron

34 34 / 52 Hadron Spektroskopisi Momentum projeksiyonu Interpolatorler, Korelatörler Interpolator Õ(p, n t) = N n Λ 3 O(n, n t)e i a n p Korelatör Õ(p, n t)ō(0, 0) = N n Λ 3 e i a n p O(n, n t)ō(0, 0) ( ) = Ae a nt E(p) 1 + O(e a nt E ) Sıfır Momentum Projeksiyonu E(p) = m 2 Hadron + p2 p = 0, E(0) = m Hadron

35 35 / 52 İçerik Hadron Spektroskopisi Yöntem 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

36 36 / 52 Ne hesaplayalım? Hadron Spektroskopisi Yöntem 2 noktalı hadron Korelatörü π-mesonu için O T (n)ō T (m) = 1 Z D[U]e S G[U] deniz quarkları { }} { det[d u ] det[d d ] Tr [ Γ D 1 u (n m) Γ D 1 d (m n)] Z = D[U]e SG[U] det[d u ] det[d d ] Dirac operatorünün 12 Λ x 12 Λ elemanı vardır O(10 9 ) O(10 15 ) Hesaplama kaynakları yeterli değil, bir çözüm bulmalıyız!

37 37 / 52 Quark Kaynakları Hadron Spektroskopisi Yöntem Quark kaynağı oluşturmak için Dirac matrisinin bir kolonunu seç D 1 (n m 0 ) βα0 ba 0 = m,α,a Nokta ve yayılmış kaynaklar D 1 (n m) βα S m0,α0,a0 0 (m)α γ 5 D 1 γ 5 = D 1 ba a Dirac Delta S m0,α0,a0 0 (m)α = δ(m m 0 )δ αα0 δ aa0 a N Yayılmış kaynak S n0,α0,a0 = F(U), N # iterasyon sayısı. 2 = 3 j=1 i F(U) = { e σ 2, gaussian smearing σ 0, wall smearing ( ) U j (n, n t )δ(n + ĵ, m) + U j (n ĵ, n t )δ(n ĵ, n t )

38 38 / 52 Quark Kaynakları Hadron Spektroskopisi Yöntem Quark kaynağı oluşturmak için Dirac matrisinin bir kolonunu seç D 1 (n m 0 ) βα0 ba 0 = m,α,a Nokta ve yayılmış kaynaklar D 1 (n m) βα S m0,α0,a0 0 (m)α γ 5 D 1 γ 5 = D 1 ba a Dirac Delta S m0,α0,a0 0 (m)α = δ(m m 0 )δ αα0 δ aa0 a N Yayılmış kaynak S n0,α0,a0 = F(U), N # iterasyon sayısı. 2 = 3 j=1 i F(U) = { e σ 2, gaussian smearing σ 0, wall smearing ( ) U j (n, n t )δ(n + ĵ, m) + U j (n ĵ, n t )δ(n ĵ, n t )

39 39 / 52 Sonuca doğru Hadron Spektroskopisi Yöntem 2 noktalı hadron korelatörü π-mesonu için O T (n)ō T (m) = 1 Z D[U]e S G[U] deniz quarkları { }} { det[d u ] det[d d ] Tr [ Γ D 1 u (n m) Γ D 1 d (m n)] Z = D[U]e SG[U] det[d u ] det[d d ] Propagatörleri ve Monte Carlo metodunu kullanarak!

40 40 / 52 İçerik Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 1 Örgü Simülasyonları Giriş Metropolis Algoritması Workflow 2 Hadron Spektroskopisi Interpolatorler, Korelatörler Yöntem Hadron kütlelerini bulalım

41 41 / 52 Efektif kütle Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım Kütle terimi nerede? N T limitinde, C(n t) = m,n m Ô2 n n Ô 1 m e nt En e (N T n t) E m 1 + e nt E 1 + e nt E = n Ô T 0 2 n e t E 0 + n Ô T } {{ } 0 2 } {{ } A 0 A 1 n e t E Büyük n t değerleri için en alt durum baskındır, C(n t ) = A 0 e nt E 0 Efektif kütle m eff (n t ) = ln C(n t) C(n t + 1)

42 42 / 52 Efektif kütle Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım Kütle terimi nerede? N T limitinde, C(n t) = m,n m Ô2 n n Ô 1 m e nt En e (N T n t) E m 1 + e nt E 1 + e nt E = n Ô T 0 2 n e t E 0 + n Ô T } {{ } 0 2 } {{ } A 0 A 1 n e t E Büyük n t değerleri için en alt durum baskındır, C(n t ) = A 0 e nt E 0 Efektif kütle m eff (n t ) = ln C(n t) C(n t + 1)

43 43 / 52 Efektif kütle Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım Kütle terimi nerede? N T limitinde, C(n t) = m,n m Ô2 n n Ô 1 m e nt En e (N T n t) E m 1 + e nt E 1 + e nt E = n Ô T 0 2 n e t E 0 + n Ô T } {{ } 0 2 } {{ } A 0 A 1 n e t E Büyük n t değerleri için en alt durum baskındır, C(n t ) = A 0 e nt E 0 Efektif kütle m eff (n t ) = ln C(n t) C(n t + 1)

44 Efektif kütle Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım Figure: Hadronların efektif kütle platoları (örgü biriminde); m π = (129). [PACS-CS Kolaborasyonu] m eff (n t ) = ln C(n t) C(n t + 1) m eff = E 0 civarında efektif kütle platosu oluşturur 44 / 52

45 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 45 / 52 Analiz Ham Data Sonuçlar boyutu olmayan M a örgü birimlerinde belirlenir Oranlar düşünülebilir Boyutu olan niceliklerle ilintirilendirilebilir. Sonlu boyut etkileri ve sonsuz boyut limiti V Süreklilik limiti a 0 Kiral ekstrapolasyon m q 0

46 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 46 / 52 Analiz Limitler ve Ekstrapolasyon Kütle oranları Örgü birimlerine bağlılığı kaldırmak için oranları al. Farklı kuark kütleleri için hesapla ve gerçek kuark kütlesine ekstrapole et Figure: ρ ve nucleon için kiral extrapolation [PACS-CS Kolaborasyonu]

47 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 47 / 52 Analiz Limitler ve Ekstrapolasyon Boyutu olan nicelikler Örgü aralığını (a) statik kuark potansiyelinden belirle Sommer ölçeği Belirlediğimiz boyutu olmayan sayılara boyut vermeliyiz. 1 = c = MeV fm 1 fm 1 = MeV Bilinen hadron kütleleri ile kıyasla Farklı kuark kütleleri için hesapla ve Chiral Perturbation Theory kullanarak gerçek kuark kütlesine ekstrapole et

48 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 48 / 52 Analiz Limitler ve Ekstrapolasyon Sonlu boyut etkileri, V Hadron kütlelerinin hacim bağımlılığı 1/L n, n 2 3 Eğer L 3 fm ve L M π 4 ise göz ardı edilebilir Süreklilik limiti a 0 a 0 limitinde, hacimi sabit tutmak için N. Daha pahalıya mal olur Farklı a ile simülasyon yap ardından a 0 noktasına ekstrapole et Kiral limit m q 0 Fiziksel kuark ve pion kütlesine ulaşmak için Problemleri var. Kiral limitte pion kütlesi cinsinden bir açılıma karşılık gelen Chiral Perturbation Theory yardımcı olabilir M N = c 0 + c 2 m 2 π + c 3 m 3 π + c 4 m 4 π ln(mπ) + O(m4 π ) c n:lec Farklı m q ile simüle et ardından m q 0 noktasına ekstrapole et

49 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 49 / 52 Analiz Limitler ve Ekstrapolasyon Sonlu boyut etkileri, V Hadron kütlelerinin hacim bağımlılığı 1/L n, n 2 3 Eğer L 3 fm ve L M π 4 ise göz ardı edilebilir Süreklilik limiti a 0 a 0 limitinde, hacimi sabit tutmak için N. Daha pahalıya mal olur Farklı a ile simülasyon yap ardından a 0 noktasına ekstrapole et Kiral limit m q 0 Fiziksel kuark ve pion kütlesine ulaşmak için Problemleri var. Kiral limitte pion kütlesi cinsinden bir açılıma karşılık gelen Chiral Perturbation Theory yardımcı olabilir M N = c 0 + c 2 m 2 π + c 3 m 3 π + c 4 m 4 π ln(mπ) + O(m4 π ) c n:lec Farklı m q ile simüle et ardından m q 0 noktasına ekstrapole et

50 Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım 50 / 52 Analiz Limitler ve Ekstrapolasyon Sonlu boyut etkileri, V Hadron kütlelerinin hacim bağımlılığı 1/L n, n 2 3 Eğer L 3 fm ve L M π 4 ise göz ardı edilebilir Süreklilik limiti a 0 a 0 limitinde, hacimi sabit tutmak için N. Daha pahalıya mal olur Farklı a ile simülasyon yap ardından a 0 noktasına ekstrapole et Kiral limit m q 0 Fiziksel kuark ve pion kütlesine ulaşmak için Problemleri var. Kiral limitte pion kütlesi cinsinden bir açılıma karşılık gelen Chiral Perturbation Theory yardımcı olabilir M N = c 0 + c 2 m 2 π + c 3 m 3 π + c 4 m 4 π ln(mπ) + O(m4 π ) c n:lec Farklı m q ile simüle et ardından m q 0 noktasına ekstrapole et

51 51 / 52 Hadron kütleleri Hadron Spektroskopisi Hadron kütlelerini bulalım m AWI ud FIG. 23 (color online). Same as Fig. 2+1 çeşni örgü QCD ile elde edilmiş hadron kütlelerinin deneyle kıyaslanmış değerleri mass [GeV] Ω Ξ Σ Ξ Λ Σ φ K * N ρ vector meson octet baryon decuplet baryon FIG. 24 (color online). Light hadron spectrum extrapolated to the physical point using m, m K and m as input. Horizontal bars denote the experimental values. Figure: PACS-CS Kolaborasyonu [PRD79, (2009)] FIG ud

52 Özet 52 / 52 Özet QCD eylemi a ve U µ (n) örgü parametreleri cinsinden diskritize edilebilir. Örgü konfigürasyonları Metropolis Algoritması kullanılarak yaratılır. Propagatörler kullanılarak iki noktalı korelasyon fonksiyonu hesaplanabilir ve hadron spektrumu belirlenebilir. Artan hesaplama kaynakları ve gelişen nümerik tekniklerle Örgü QCD hadron fiziğinin geleceğini belirleyecek.

53 Appendix Kaynaklar 53 / 52 Kaynaklar I Gattringer C., Lang C.B. (Kapsamlı en iyi kaynak, derste sıkça başvurdum.) Quantum chromodynamics on the lattice:an Introductory Presentation. Lect. Notes Phys. 788, doi: / Ph. Hagler Hadron structure from lattice quantum chromodynamics Physics Reports, 490:49-175,2010. doi: /j.physrep G. Peter Lepage Lattice QCD for Novices arxiv:hep-lat/ Daha fazlası için benimle iletişime geçebilirsiniz.