T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ

Transkript

1 T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ ÇOK TABAKALI BĠR YARIĠLETKEN KUANTUM NOKTASINDAKĠ DONOR SAFSIZLIĞININ OPTĠK ÖZELLĠKLERĠ HATĠCE TAġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI ġubat-2011 KONYA Her Hakkı Saklıdır i

2

3 TEZ BĠLDĠRĠMĠ Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranıģ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalıģmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. DECLARATION PAGE I hereby declare that all information in this document has been obtained and presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all material and results that are not original to this work. Hatice TAġ iii

4 ÖZET YÜKSEK LĠSANS TEZĠ ÇOK TABAKALI BĠR YARIĠLETKEN KUANTUM NOKTASINDAKĠ DONOR SAFSIZLIĞININ OPTĠK ÖZELLĠKLERĠ HATĠCE TAġ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı DanıĢman: Doç. Dr. Mehmet ġahġn 2011, 106 Sayfa Jüri Prof. Dr. Oğuz DOĞAN Prof. Dr. Haluk ġafak Doç. Dr. Mehmet ġahġn Bu tez çalıģmasında, çekirdek/kabuk/kuyu/kabuk Ģeklindeki çok tabakalı bir küresel kuantum noktasının, elektronik ve band içi optik özellikleri araģtırılmıģtır. Ġlk olarak, safsızlığın varlığında ve yokluğunda, bu yapıya ait enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları hesaplanmıģtır. Bunun için, Schrödinger denklemi, sonlu sınırlandırma potansiyelinde ve etkin kütle yaklaģımında, shooting metodu ile tamamen sayısal olarak çözülmüģtür. Elde edilen enerji değerleri ve dalga fonksiyonları kullanılarak safsızlık bağlanma enerjileri, band içi seviyeler arası optik soğurma katsayıları ve osilatör Ģiddetleri farklı tabaka kalınlıklarında hesaplanmıģtır. Safsızlığın olmadığı durumda gerçekleģtirilen optik özelliklerle ilgili hesaplamalar, kuantum noktasının merkezinde hidrojen tipi bir donor safsızlığının bulunması durumunda tekrar edilmiģtir. Sonuçlar, tabaka kalınlıklarının ve çekirdek yarıçapının fonksiyonu olarak ayrıntılı bir Ģekilde analiz edilmiģ ve fiziksel yorumları yapılmıģtır. Elektronik ve optik özelliklerin, tabaka kalınlıklarına sıkı bir Ģekilde bağlı olduğu gözlenmiģtir. Anahtar Kelimeler: Çok tabakalı küresel kuantum noktası, safsızlık bağlanma enerjisi, optik soğurma katsayısı, osilatör Ģiddeti. iv

5 ABSTRACT M.Sc. THESIS OPTICAL PROPERTIES OF A DONOR IMPURITY IN A MULTI-LAYERED SEMICONDUCTOR QUANTUM DOT HATĠCE TAġ The Graduate School of Natural and Applied Science of Selçuk University The Degree of Master of Science in Department of Physics Advisor: Assoc. Prof. Dr. Mehmet ġahġn 2011, 106 Pages Jury Prof. Dr. Oğuz DOĞAN Prof. Dr. Haluk ġafak Assoc. Prof. Dr. Mehmet ġahġn In this thesis, the electronic and the inter-sublevel optical properties of a core/shell/well/shell multi-layered spherical quantum dot have been investigated. First, the energy eigenvalues and the wave functions of this structure have been calculated for cases with and without the impurity. In order to determine the energy eigenvalues and the corresponding wave functions, the Schrödinger equation has been numerically solved using the shooting method in the effective mass approximation for a finite confining potential. The donor binding energies, the inter-sublevel optical absorption coefficients and the oscillator strengths for different layer thicknesses have been examined by using the computed energies and the wave functions. The performed calculations related to the optical properties in cases without impurity, have been repeated for cases with the on-center hydrogenic donor impurity in the quantum dot. The results have been analyzed in detail as a function of the layer thicknesses and of the core radii, and their physical reasons interpreted. It has found that the electronic and the optical properties are strongly dependent on the layer thicknesses. Keywords: Multi-layered spherical quantum dot, donor binding energy, absorption coefficient, oscillator strength. v

6 ÖNSÖZ Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak sunulan bu çalıģmada, hidrojen tipi safsızlığın varlığında ve yokluğunda çok tabakalı kuantum nokta yapıların, elektronik ve optik özellikleri teorik olarak incelenmiģtir. Teknolojideki son geliģmeler, yük taģıyıcıları üç boyutta sınırlandıran kuantum nokta yapıların üretilmesini mümkün hale getirmiģtir. Atomik özellikler sergilediği için yapay atomlar diye de adlandırılan sıfır boyutlu kuantum noktaları üzerinde yapılan çalıģmalar, hızla artmıģtır. Son yıllarda, kuantum nokta yapıların elektronik ve optik özellikleri üzerinde büyük değiģiklikler meydana getiren kuantum noktalarındaki safsızlık problemi, üzerinde yaygın bir Ģekilde çalıģılan konulardan birisidir. Bu ilgi, kuantum noktaların fotonik ve optoelektronik uygulamalarda, gelecek için oldukça güçlü bir Ģekilde ümit vaat etmelerinden kaynaklanmaktadır. Büyütme teknolojisindeki son geliģmeler, çok tabakalı yarıiletken kuantum noktasının üretilmesini de mümkün kılmıģ olup, çok tabakalı kuantum nokta yapılar üzerinde çalıģmalar artarak devam etmektedir. Bu tez çalıģmasında da çok tabakalı yarıiletken kuantum noktasının elektronik ve optik özelliklerinin daha iyi anlaģılabilmesi adına, bu özelliklerin tabaka kalınlıklarıyla değiģimi, donor tipi bir safsızlığın varlığında ve yokluğunda, ayrıntılı bir Ģekilde incelenmiģtir. Bu çalıģma süresince, bilgi ve deneyimleriyle bana her konuda yardımcı olan ve yön gösteren, bana zaman ayıran danıģman hocam Doç. Dr. Mehmet ġahġn e en içten teģekkürlerimi sunarım. Ayrıca, bu çalıģma boyunca bana her türlü maddi ve manevi destek sağlayan sevgili aileme de en içten Ģükranlarımı sunarım. Hatice TAġ KONYA-2011 vi

7 İÇİNDEKİLER TEZ BİLDİRİMİ... iii ÖZET... iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ... vi İÇİNDEKİLER...vii 1. GİRİŞ YARIİLETKEN DÜŞÜK BOYUTLU SİSTEMLER ve ÖZELLİKLERİ Giriş Katı Malzemelerin Band Yapısı ve Özellikleri Yarıiletkenlerde Katkılama Donor Katkılı Yarıiletkenler Akseptör Katkılı Yarıiletkenler Yarıiletken Düşük Boyutlu Sistemler Düşük Boyutlu Sistemlerin Enerji Durumları Kuantum Kuyuları ve Kuantum Telleri Kuantum Noktaları Kuantum Nokta Yapıların Üretim Teknikleri Asitle Aşındırma Yöntemi Modüle Edilmiş Elektrik Alan Yöntemi Kendiliğinden Büyüme MODEL VE TEORİ Giriş Tek Bir Küresel Kuantum Noktasındaki Bir Elektronun Enerjisi Bir Küresel Kuantum Noktasının Elektronik Kabuk Yapısı Küresel Kuantum Noktalarında Hidrojenik Safsızlık Problemi vii

8 3.5. Çok Tabakalı Yarıiletken Küresel Kuantum Noktası Yarıiletken Düşük Boyutlu Sistemlerin Optik Özellikleri Yarıiletken Küresel Kuantum Noktasında Optik Süreçler Band İçi Optik Geçişler İçin Seçim Kuralları Küresel Kuantum Nokta Yapıda Band İçi Geçişler FİZİKSEL YAKLAŞIMLAR VE HESAPLAMA TEKNİKLERİ Giriş Etkin Kütle Yaklaşımı Sonlu Farklar Yöntemi Shooting Metodu ve Çok Tabakalı Küresel Kuantum Noktasına Uygulanması HESAPLAMA SONUÇLARI ve TARTIŞMA Giriş Elektronik Özelliklerin Tabaka Kalınlıklarına Bağlı Olarak İncelenmesi Elektronik Özelliklerin Çekirdek Yarıçapı ile Değişimi Elektronik Özelliklerin Bariyer Kalınlığı ( - ile Değişimi Elektronik Özelliklerin Kuyu Genişliği ( - ile Değişimi Safsızlık Bağlanma Enerjilerinin Tabaka Kalınlıklarına Bağlı Değişimi Safsızlık Bağlanma Enerjisinin Çekirdek Yarıçapı ile Değişimi Safsızlık Bağlanma Enerjisinin Bariyer Kalınlığı ile Değişimi Safsızlık Bağlanma Enerjisinin Kuyu Genişliği ile Değişimi Optik Özelliklerin Tabaka Kalınlıklarına Bağlı Olarak İncelenmesi Optik Özelliklerin Çekirdek Yarıçapı ile Değişimi Optik Özelliklerin Bariyer Kalınlığı ( - ile Değişimi Optik Özelliklerin Kuyu Genişliği ( - ile Değişimi YORUM ve ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ viii

9 1 1. GİRİŞ Bilindiği gibi katılar, öncelikle bulk (hacimli malzemeler olarak ele alınmış ve incelenmiştir. Daha sonra teknolojideki gelişmelerle birlikte ince film tabakaların üretilmesi mümkün hale gelmiş ve gerek temel bilim, gerekse uygulamalı bilimlerde bu yönde yapılan çalışmaların sayısı hızla artmıştır. Üretim ve kristal büyütme teknolojisindeki son gelişmelerle birlikte, nanoyapılar olarak adlandırılan düşük boyutlu sistemler üretilmeye başlanmış ve sadece fizik veya mühendislik alanında değil, bunlara ilaveten kimya, biyoloji, tıp gibi birçok bilim dalının birlikte çalıştığı, çok disiplinli bir araştırma alanı ortaya çıkmıştır. Bu alana sadece fizik açısından bakılırsa, kuantum kuyuları, kuantum telleri, kuantum noktaları gibi taşıyıcı hareketlerinin bir, iki ve üç boyutta sınırlandırıldığı nano ölçekli yarıiletken heteroyapılar üzerinde yaygın bir şekilde çalışıldığı görülür (Bimberg ve ark., 1999; Jacak ve ark., Bu yapıların boyutları, parçacıkların de Broglie dalga boyu ile kıyaslanabilecek mertebededir. Bu yüzden, bu yapılar içerisine hapsedilmiş elektronların kuantum mekaniksel davranışları ortaya çıkmakta ve dolayısıyla optik ve elektronik özellikleri üzerinde baskın rol oynamaktadır (Bimberg, Boyutları nano mertebesindeki malzemelerin özellikleri, makroskobik ölçekten tamamen farklı olup nano ölçeğe yaklaştıkça oldukça ilginç ve yeni özellikler ortaya çıkmaktadır (Ferry ve Goodnick, 1997 ve bu durumda kuantum mekaniğin kuralları geçerlidir. Bu sebeplerden dolayı, düşük boyutlu sistemler geniş bir araştırma alanına sahiptir (Lin ve Singh, Çok kesin olmamakla birlikte, boyutları 1 ile100 nm arasında olan yapılara nanoyapılar veya düşük boyutlu kuantum mekaniksel sistemler denir. Bu nanoyapılar, tamamen kuantum mekaniksel bir davranış sergiler. Bunun sonucunda da enerjilerin ve durum yoğunluklarının yanı sıra pek çok özellikleri kuantumlu duruma dönüşür. Örneğin elektronik, optik ve manyetik davranışlar klasik değil, kuantum mekaniksel olarak tanımlanır. Elektronun içinde bulunduğu ortamı, farklı şekillerde küçülterek oluşturulan nanoyapılara, iki boyutlu kuantum halkaları, iki boyutlu kuantum kuyuları, tek boyutlu kuantum telleri ve boyutsuz kuantum noktaları örnek verilebilir. Kuantum kuyusu, daha yüksek iletim bandı enerjisine sahip, yani daha büyük bant aralıklı düzlem yarıiletken tabakalarla sandviç yapılmış, düşük bant aralıklı düzlem yarıiletken tabakadan oluşan çok ince bir yapıdır. Bu iki yarıiletken malzemenin iletim bandı enerjileri arasındaki fark, elektronu bu ince tabakaya bağlar. İki boyutlu

10 2 sistemlerin elektronik ve optoelektronik uygulamalarında ortaya çıkan yeni ve ilginç özellikleri, araştırmacıların ilgisini çekmiştir. Dolayısıyla, üretim teknolojisinin hızlı şekilde gelişmesine ve yoğun araştırmalar yapılmasına yol açmıştır. Daha sonraki dönemlerde, özellikle çok hassas filme alma ve tekrarlama yoluyla küçültme (litografik tekniklerindeki hızlı gelişmeler, elektronların tek boyutlu yapıda sınırlandırılmasına ve dolayısıyla kuantum tel yapıların üretilmesine imkân sağlamıştır (Petroff ve ark., Kuantum telleri, teknolojik olarak, kuantum kuyusu içeren bir malzemeden, litografik yöntemlerle çok dar şeritler kesilerek veya elektromanyetik yöntemlerle, elektron hareketi kısıtlanarak elde edilir (Tandon ve Khokle, Daha sonraki zamanlarda, kuantum kuyuları ve kuantum telleri kullanılarak üretilen yüksek elektron mobiliteli transistörler (HEMT, iki boyutlu elektron gazı alan etkili transistör (TEGFET, çok eklemli alan etkili transistör(hfet, kuantum kuyu lazerleri, MOS ve MOSFET yapılar gibi cihaz uygulamaları gerçekleştirilmiş ve teorik olarak da yoğun şekilde çalışılmıştır (Lai ve Das Sarma, Elektronların serbest hareketinin tüm boyutlarda sınırlandırılması, kuantum nokta yapılar olarak adlandırılan, sanki sıfır boyutlu nanoyapıların ortaya çıkmasına yol açmıştır. Bir kuantum noktasında, elektron hareketi tüm boyutlarda sınırlıdır ve bu, atomlardaki gibi kesikli enerji seviyeleri ile keskin durum yoğunluklarının oluşmasına yol açar. Atomlara olan bu benzerliklerinden dolayı bu yapılar, yapay atomlar, süper atomlar veya kuantum nokta atomları olarak da adlandırılır. Sınırlandırıcı potansiyel, üretim tekniğine bağlı olarak çok çeşitli şekillerde olabilir (Xia, 1989; Sercel ve Vahala, 1990; Wagner ve ark.,1992;tulkki ve Henamaki, 1995; Bimberg, Kuantum nokta yapıların geometrilerinin, boyutlarının, enerji seviyelerinin ve içerdikleri elektron sayılarının kontrol edilebilmesi, onları hem fiziksel olarak hem de teknolojik olarak daha da ilgi çekici hale getirmiştir. Yarıiletken kuantum nanoyapıya safsızlığın eklenmesi, kuantum aygıtların özelliklerinde büyük değişikliklere sebep olmaktadır. Düşük boyutlu kuantum heteroyapılardaki hidrojen tipi safsızlık problemi, bu yapıların elektronik ve optik özelliklerinin anlaşılmasında kullanılan oldukça faydalı bir modeldir. Safsızlıkların varlığı, kuantum aygıtların performansı yanında optik ve iletim özelliklerini büyük oranda değiştirmektedir (Queisser ve ark., Daha sonraki yıllarda da kuantum noktalardaki hidrojenik safsızlık problemi üzerine yapılan çalışmalar artarak devam etmiştir. Zhu ve ark. (1990 ile Porras-Montenegro ve Perez-Merchancano (1992, kuantum noktalarda hidrojen tipi safsızlık üzerine ilk çalışmaları yapmışlardır. Bu

11 3 çalışmalarda, bağlanma enerjileri, kuantum noktasının boyutu ve safsızlığın konumunun fonksiyonu olarak, taban ve uyarılmış durumlar için incelenmiştir. Aynı yıllarda, Chuu ve ark. (1992, kuantum noktasının merkezinde bulunan hidrojenik safsızlığın taban durum bağlanma enerjisini, pertürbasyon ve varyasyon yöntemi kullanarak hesaplamışlardır. Bu çalışmalarla birlikte, donor bağlanma enerjisi, çeşitli geometrilere sahip kuantum noktalar (silindirik, küresel, piramit, dikdörtgen üzerinde de teorik olarak çalışılmıştır (El-Moghraby ve ark., 2003;Betancur ve ark., 2004; Oliveira ve ark., 2004; Peter 2006; Bose, Genelde hesaplamalarda tercih edilen yapı sonlu ve sonsuz sınırlandırıcı potansiyel altında (Ga, AlAs tabakası tarafından çevrelenmiş GaAs dır (Zhu ve ark., 1994; Niculescu ve ark., 1997; Kang ve ark., Kübik kuantum heteroyapılar, Riberio ve Latge (1994 tarafından çalışılmış olup, kübik ve küresel kuantum noktaları için bağlanma enerji değerinin, kuantum noktalar hemen hemen aynı hacimlerdeyken birbirine çok yakın olduğunu göstermişlerdir. Bose ve Sarkar (1998, etkin kütle yaklaşımı altında, sonsuz derin parabolik sınırlandırmaya sahip bir küresel kuantum noktasındaki hidrojenik safsızlığın bağlanma enerjilerini elde etmek için varyasyon ve pertürbasyon tekniklerini kullanmışlardır. Oyoko ve ark., (2001 tarafından donor bağlanma enerjisinin, kuantum noktasının boyutunun azalmasıyla ve tek yöndeki basıncın artmasıyla arttığı gösterilmiştir. Safsızlığın bağlanma enerjisi üzerindeki etkilerinin çalışılması, düşük eşikli lazer diyotlarının üretilmesini de mümkün kılmıştır (Groom ve ark., Jayam (2003, elektrik alanın ve Peter (2005, hidrostatik basıncın safsızlık bağlanma enerjisine etkisini araştırmışlardır. Sadeghi (2009, küresel kuantum noktasında uyarılmış durumlara ait safsızlık bağlanma enerjisini incelemiştir. Işık-madde etkileşmesi, teknolojik uygulamalar açısından son derece önemli olup birçok bilim insanı tarafından, düşük boyutlu kuantum heteroyapıların ışıkla etkileşmesi, hem teorik hem de deneysel olarak yoğun bir şekilde çalışılmaktadır (Milanoviç ve Ikonic, 1989; Li ve Xia, 1997; Jiang ve ark., 1999; Lin ve Singh, Gondar ve Comas, 2002; Han ve ark., 2005; Holovatsky ve ark., Rezonans durumların yaşam süreleri ve bunların kuantum yapının optik özelliklerine olan etkisi Buczko ve Bassani (1996 tarafından incelenmiştir. Bondarenko ve Zhao (2003, çok elektronlu küresel bir kuantum noktasında band içi soğurma tesir kesitini hesaplamışlardır. Lin (2004, SiGe/Si kuantum noktasının optik ve elektrik özelliklerini k.p metodu ile hesaplamıştır. Bir ve iki elektron içeren yarıiletken küresel kuantum noktalarının detaylıca çalışılması, Şahin (2008 tarafından yapılmış ve safsızlığın olduğu ve olmadığı

12 4 durumlar için hem fotoiyonlaşma tesir kesiti, hem de band içi seviyeler arası osilatör şiddetleri ve soğurma katsayıları hesaplanmıştır. Merkezinde safsızlık bulunduran küresel kuantum nokta yapıda, elektronun kuantum geçişlerinin osilatör şiddeti, Holovatsky ve ark. (2009 tarafından çalışılmıştır. Diğer taraftan, bu teorik çalışmaların yanında deneysel çalışmalarda gerçekleştirilmiş olup bunlara, Phillips ve ark. (1999 tarafından InAlAs/AlGaAs küresel kuantum noktasının fotolüminesans çalışmaları ve kuantum noktaların foton soğurma özelliklerinin Klimov ve ark. (1999 tarafından araştırılması örnek olarak verilebilir. Elektronik ve optik özellikler üzerinde yapılan bu teorik ve deneysel çalışmalar, aynı zamanda teknolojik aygıtların üretilmesine sebep olmuştur. Bunlara örnek olarak tek elektron transistörleri, kuantum nokta kızılaltı algılayıcılar (QDIP, hafıza elemanları, ışık yayan diyotlar vb. verilebilir (Ryzhii, 1996; Nomoto ve ark., 1998; Choi ve ark., 1998; Yusa ve Sakaki, 1999; Gammon, 2000; Sim ve ark., 2004; Han ve ark., Büyütme teknolojisindeki son birkaç yıl içindeki çok hızlı gelişmeler, çok tabakalı küresel kuantum noktaların üretilmesini mümkün hale getirmiştir (Bimberg ve ark.,2005. Son yıllarda, bu tür çok tabakalı heteroyapılar üzerinde de kuramsal çalışmalar gerçekleştirilmektedir (Hsieh, 2000; Zeng ve ark., Aktaş ve Boz (2008, bu çok tabakalı bir kuantum noktasında safsızlığın bağlanma enerjisini, bariyer kalınlığı ve merkezdeki kuantum nokta büyüklüğüne bağlı olarak, çeşitli sınırlandırma potansiyelleri için hesaplamışlardır. Boz ve ark. (2009 ise, aynı yapı için safsızlığın enerji durumlarını ve dalga fonksiyonlarını, yapının geometrik şekline bağlı olarak incelemişlerdir. Biz bu çalışmada, içerisinde tek elektron bulunduran çok tabakalı yarıiletken kuantum noktası için, enerji ve bu enerjilere karşılık gelen dalga fonksiyonlarını, sonlu fark denklemlerinden yararlanarak, shooting metodu ile etkin kütle yaklaşımında ve sonlu potansiyelde çözmeye çalıştık. Safsızlığın olmadığı (Z=0 ve safsızlığın olduğu (Z=1 durumda, taban durum ve uyarılmış durumlara ait enerji seviyeleri, dalga fonksiyonları ve safsızlık bağlanma enerjisi gibi elektronik özelliklerin tabaka kalınlıklarıyla değişimine bakıldıktan sonra, aynı yapı için band içi seviyeler arasındaki osilatör şiddeti ve soğurma katsayının tabaka kalınlıklarına bağlılığını incelenecektir.

13 5 2. YARIİLETKEN DÜŞÜK BOYUTLU SİSTEMLER ve ÖZELLİKLERİ 2.1. Giriş Düşük boyutlu sistemlerin üretim teknolojisindeki son gelişmeler, kuantum kuyuları, kuantum telleri, kuantum noktaları gibi taşıyıcı hareketlerinin bir, iki ve üç boyutta sınırlandırıldığı nano ölçekli yarıiletken heteroyapıların üretilmesini mümkün hale getirmiştir (Bimberg ve ark., 1999; Jacak ve ark., Yarıiletken ve yalıtkan malzemeler üzerine yapılan çalışmalar 1940 ve 1950 li yıllarda çok artmış olup 1950 li yılların ortalarına gelindiğinde yarıiletkenlerden bazılarının özellikleri metallerden daha iyi anlaşılmıştır. Yakın bir geçmişe kadar mikroelektronik, yüksek bir mekanik kararlılığa sahip, ısısal iletkenliği yüksek, tabiatta bol ve üretimi nispeten kolay bir malzeme olan Silisyum (Si a dayalı bir bilim dalıydı. Ayrıca, yasak enerji aralığı birçok opto elektronik uygulama için oldukça uygundur. Değişik elementlerle alaşım ve katkılama yapılarak, çok farklı elektronik özelliklere sahip malzemeler üretilebilmektedir. Ayrıca tek kristal, polikristal ve amorf yapıda üretilebilmektedir. Günümüzde ise birçok farklı yarıiletken malzeme, teknolojinin her alanında farklı amaçlar için yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu yarıiletkenlere GaAs, AlAs, InAs, InSb, AlGaAs, CdSe, ZnS gibi yarıiletken malzemeler örnek olarak verilebilir (Şahin, Yarıiletken heteroyapılar, kuantum sınırlandırma etkisi altında ilginç özellikler göstermektedir (Ferry ve Goodnick, Bu yapıların detaylı araştırmaları, Jacak ve ark. (1998 tarafından yapılmıştır. Bu yarıiletken kuantum nanoyapılar, tek elektron transistorü, kuantum kuyu ve kuantum nokta kızılötesi fotodedektörler (QWIP ve QDIP gibi optoelektronik ve elektronik aygıt olarak, çeşitli uygulama alanları bulmuşlardır (Lee ve ark., Bu yüzden bu malzemeler, yoğun madde fiziğinde ve uygulamalı fizikte hem deneysel hem de teorik olarak yoğun bir şekilde çalışılmaktadır (Şahin ve Tomak, Katı Malzemelerin Band Yapısı ve Özellikleri Kristal örgüdeki iyon korlarının periyodik dizilişiyle oluşan elektrostatik alan dağılımı içerisinde hareket eden elektronun enerji ve momentumu arasındaki bağıntı, katıların band teorisi ile açıklanmaktadır. Bu teori, pek çok katının yarıiletken veya

14 6 yalıtkan özellik göstermelerinin altında yatan gerçeği anlamamıza yardımcı olur (Durlu, Metal içerisinde hareket eden bir elektron, iyon korlarıyla, kristal yapı kusurları ile, kristaldeki safsızlıklarla, fononlarla ve diğer elektronlarla etkileşmeye girer (Martinez-Duart ve ark., Periyodik bir kristal yapı, içerisindeki elektronları düzgün bir biçimde hareket ettirirken, bahsedilen bu etkileşmeler, elektronun hareketinde bozulmalara sebep olmaktadır. Sabit bir potansiyel alanı içerisinde hareket eden bir elektronun, kinetik enerjisinde değişme meydana gelmez ve enerji, dalga vektörünün büyüklüğünün karesiyle orantılıdır. Bu eşitlik; (2.1 şeklinde verilmektedir. E(k -k +k Şekil 2.1. Elektron enerjisinin dalga vektörü ile değişimi Bu değişim Şekil 2.1 de görüldüğü gibi bir parabolik değişimle gösterilebilir. Katıyı meydana getirmek için çok sayıda atom bir araya geldiği zaman, her atomik seviye band şekline dönüşür. Böylece, kristalde bu şekilde oluşan enerji spektrumu, yasaklanmış ve izinli enerji durumlarına karşılık gelen bandlara bölünmüştür. Bu enerji seviyeleri birbirine çok yakındır ve enerji bandları olarak adlandırılır. Diğer taraftan enerji aralıkları yani elektron yörüngelerinin bulunmadığı yasak bölgeler, enerji bandlarını birbirinden ayırır (Durlu, Genel olarak bir kristal içerisinde hareket eden bir elektron için belirli yasaklanmış enerji bölgeleri olduğunu söyleyebiliriz. Bu yüzden dalga sayısının artmasıyla Şekil 2.2 den de görüleceği gibi, enerji belli bir yere kadar artarken bu yerden sonra, belli bir yere kadar süren bir enerji sıçraması göstermektedir.

15 Enerji 7 E İkinci izinli bölge Yasaklanmış bölge Enerji aralığı Birinci izinli bölge - /a /a k Şekil 2.2. Tek atomlu örgü için enerjinin k ya bağlılığı Bu şekilde oluşan kesiklilik ve süreklilik durumları sonucunda, enerji spektrumu izinli ve izinli olmayan bandlara ayrılır. Yasaklanmamış enerji bandları tümü ile dolu ya da boş ise kristal yalıtkan özelliktedir. Bandlardan biri veya daha çoğu kısmen doldurulmuşsa kristal metalik özellik gösterir. Bandların, birkaç tanesi çok az bir miktar dolu ya da boş iken diğer bütün bandlar tümü ile dolu ya da tümü ile boş ise bu tür kristal yarı iletken özelliktedir. İzinli enerji bandlarının dolum şekline göre malzemeler i Yalıtkanlar, ii Metaller ve iii Yarıiletkenler olmak üzere 3-ana grupta sınıflandırılır. Bu sınıflandırma Şekil 2.3 te şematik olarak gösterilmiştir. YALITKAN METAL YARI-İLETKEN Şekil 2.3. Enerji bandlarının doluluğuna göre kristallerin sınıflandırılması Bunlar içersinde yarıiletkenler, en fazla ilgi çeken özelliklere sahiptirler. Yarıiletkenlerin bu ilginç özellikleri, ısısal uyarılmalar, safsızlık atomlarının varlığı, kristal örgü kusurlarının yoğunluğu gibi parametrelere bağlı olarak birçok elektronik ve optik özelliklerinin kontrol edilebilmesinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, saf bir yarıiletken içerisine yabancı atomlar katkılanarak, tüm akım iletim mekanizması istenildiği gibi değiştirilebilir.

16 Yarı İletkenlerde Katkılama Düşük boyutlu yapılarda yarıiletken malzemelere yabancı atom katkılanmasıyla taşıyıcı sayısı ve dolayısıyla da iletkenlik arttırılabilir. Böylece, yarıiletkenlerin elektriksel özellikleri önemli ölçüde değişir ve bu değişiklikler kontrol edilebilir. Yabancı atom katkılanmış bir yarıiletkenin elektronik ve optik özelliklerinin anlaşılması, düşük boyutlu yapılar kullanılarak üretilen cihazların optik ve iletim özelliklerini anlamak için çok önemlidir (Niculescu, Donor Katkılı Yarıiletkenler Elektronik malzemeler olarak yarıiletkenlerin kullanılmasındaki en önemli teknolojik etken, safsızlıkları doğrudan örgü içine yerleştirebilme kabiliyetidir. Bu, mühendislerin ihtiyaçlarını karşılayacak biçimde elektronik özelliklerin düzenlenmesine imkân verir. Komşu atomlarla kimyasal bağ oluşturmak için gerekli sayıdan daha fazla ilave elektrona sahip atomlar kolaylıkla iyonize olur, böylece kristal örgüsüne bir elektron verirler. Böyle atomlara donor (verici safsızlığı ve donor safsızlığı katkılanmış bu tür yarıiletkenlere ise n-tipi yarıiletkenler denir. Örneğin, Si veya Ge gibi son yörüngesinde dört valans elektronu bulunan yarıiletkenlere, 5 valans elektronlu fosfor veya arsenik gibi atomlarının eklenmesiyle elde edilen yapılardır. Bu tip katkılama yapıldığında, 5 elektronlu atomun son yörüngesindeki elektronun dördü, komşu Si veya Ge atomlarının elektronlarıyla kovalent bağ kurarken beşinci elektron, yabancı atomla zayıf bir bağ kurar ve nispeten serbest bir elektron gibi davranır. Bu elektronun bağlanma enerjisi kadar bir enerjinin atoma verilmesi ile elektron iletkenlik bandına çıkar ve maddenin iletkenliğine katkıda bulunur (Durlu 1992, Davies 1999, Harrison 1999, Manasreh Akseptör Katkılı Yarıiletkenler Kimyasal bağları oluşturmak için gerekli elektron sayısından daha az elektrona sahip olan safsızlık atomları örgü içine yerleştirilebilir. Bu atomlar, valans bantta boşluk meydana getirerek komşu bağlardan elektron alabilirler. Bu tip atomlar akseptör (alıcı safsızlığı olarak bilinirler. Bu boşluk örgü içinde serbesttir ve iletkenliğe katkıda bulunur. Bu tür katkılanmış yarıiletkenlere p-tipi yarı iletken denir.

17 Yarıiletken Düşük Boyutlu Sistemler Çok küçük boyutlarda, özellikle nanometre boyutundaki elektronik malzemelerin fiziksel özelliklerinin çalışılmasındaki ilgi, çeşitli faktörlere bağlıdır. Bunlardan ilki, belli bir performansta daha düşük üretim maliyeti, daha yüksek işlevsellik, daha yüksek frekanslarda iş görmeyi beraberlerinde getiren, küçük boyutlardaki mikroelektronik entegre aygıtlara olan eğilimden dolayıdır. İkinci bir sebep, rezonans tünellemesi, kuantum iletkenlik, Coulomb engellemesi, kuantum Hall etkileri vb. gibi yeni temel fiziksel etkilerin ortaya çıkmasıyla ilişkilidir. Bu temel keşifler, kuantum kuyu lazerler, tek elektron transistörü, kuantum Stark etkili optik modülatörler gibi kullanışlı aygıtlarla bağlantılıdır (Martinez-Duart ve ark., Mezoskopik fizik, boyutları makroskobik ve mikroskobik (atomik yapılar arasında olan yapıları ele alır. Bu yapılar mezoskopik sistemler veya boyutlarının birkaç nanometreden 100 nm ye değişmesi nedeniyle konuşma dilinde nanoyapılar olarak da adlandırılır. Elektronlar, böyle mezoskopik sistemlerde dalga özelliği gösterir ve böylece elektronların davranışı, büyük ölçüde, malzemenin geometrisine bağlıdır. Bu durumda elektronlar, dalga biçimlidir ve kısmen dalga kılavuzundaki elektromanyetik dalgaya benzerdir. Elektronların katılardaki davranışını belirlemek için bir dizi karakteristik uzunluğun belirlenmesi uygun olur. Elektronun içinde bulunduğu katının boyutları, karakteristik uzunlukların mertebesinde veya daha küçükse, malzeme makroskopik durumundaki özelliklerinden daha ilginç ve farklı, yeni özellikler gösterebilir. Bu özellikler, kuantum mekaniğine dayanılarak açıklanır. Mezoskopik bir sistem, boyutları, karakteristik uzunluğun birkaç katı olduğu zaman makroskopik limite yaklaşır. Bu karakteristik uzunluklardan bazılarını kısaca şöyle tanımlayabiliriz. (i de Broglie dalga boyu: Kuantum mekaniğinden bilindiği gibi, momentumu p olan bir elektrona, de Broglie tarafından dalga boyu olan bir dalganın karşılık geldiği ileri sürülmüştür. Bu da; (2.2 şeklinde verilir. Burada elektronun etkin kütlesidir. Biliyoruz ki elektron yarıiletken içerisinde, boşluktaki kütlesi 0 yerine, etkin kütlesi ile

18 10 hareket etmektedir. Eğer, yarıiletkenin boyutları de Broglie dalga boyundan küçükse, sistem mezoskopik sistem diye nitelendirilebilir. (ii Ortalama serbest yol: Elektronlar katı içerisinde hareket ederken, kristaldeki safsızlıklar, kusurlar, fononlar vb. gibi etkileşmeler yüzünden saçılmaya uğrarlar. Bunlar çoğu durumda, elastik olmayan çarpışmalardır. İki arasındaki uzaklık ortalama serbest yol diye isimlendirilir. Bir yapının boyutları ortalama serbest yoldan küçükse, elektron bu yapıda çarpışmadan ilerleyebilir. Balistik iletim bölgesi olarak adlandırılan bu bölgede elektron demetinin hareketi, tek bir dalga fonksiyonu ile tanımlanabilir ve bu fonksiyon, tek elektron Schrödinger denkleminin çözümü olan fonksiyondur., elektronun hızı olmak üzere, ortalama serbest yol; (2.3 şeklinde verilir. Burada e durulma zamanı olarak da bilinen iki çarpışma arasında geçen ortalama süredir. (iii Difüzyon uzunluğu: Elektronlar, boyutu ortalama serbest yoldan çok büyük olan L boyutlu mezoskopik sistemdeyken, elektron iletimi difüzyon süreci olarak isimlendirilir. Bu durumda sistem, difüzyon sabiti D ile temsil edilir. Buna bağlı olarak, difüzyon uzunluğu L e ; L e =(D e 1/2 (2.4 biçiminde verilmektedir. Mezoskopik sistemler, pratikte taşıyıcıların belirli bir uzaysal bölgeye bir potansiyel engeli yardımıyla sınırlandırılması ile oluşturulur. Bu da, Şekil 2.4 de görüldüğü gibi, büyük yasak enerji aralığına (E g sahip bir yarıiletken malzeme (matris içerisine, daha küçük yasak enerji aralıklı başka bir yarıiletken malzeme, atom katmanları olarak büyütülür. Bu iki yarıiletken malzemenin E g lerinin farklılığından dolayı ara yüzeyde bir potansiyel engeli oluşur ve bu engel, elektronların ve deşiklerin bu bölgede sınırlandırılmasına yol açar.

19 11 Kesikli enerji seviyeleri İletim bandı AlGaAs AlGaAs E g1 E g2 GaAs E g1 Valans bandı Şekil 2.4. Bir kuantum kuyusunun şematik gösterimi Kuantum kuyuları veya telleri kelimenin tam anlamıyla nanoyapı değildir. Çünkü bu tür yapılarda hala en az bir serbest doğrultu mevcuttur ve bu doğrultuda yapının boyutları, nm ölçeğinden çok daha büyüktür. Dolayısıyla bu tür yapılar (en azından bir doğrultu için prensipte sonsuz elektrona sahip olabildiklerinden, sürekli bir elektron yoğunluğundan söz edilebilir. Boyuta bağlı olarak elektronların fiziksel özelliklerine karşılık gelen karakteristik uzunlukların bazılarından yukarıda bahsedildi. Ayrıca, katının boyutlarını karakteristik uzunluğa eşdeğer ya da daha küçük bir boyuta indirgersek, parçacığın dalga biçimli hareket edeceği ve bu durumda kuantum mekaniğinin kullanılabileceği bilinmektedir. Şimdi bir elektronun, boyutları L x, L y ve L z olan bir kutuya hapsedildiğini düşünelim. Eğer karakteristik uzunluğumuz λ ise, aşağıdaki durumlara göre, yarıiletken yapı sınıflandırılır (Martinez-Duart ve ark., 2006: (i (ii (iii (iv λ <<L x, L y ve L z ; bu durumda elektron, üç boyutlu hacimsel bulk (3D malzeme içinde hareket etmektedir. λ >L x ve L x << L y ve L z ; bu durumda iki boyutlu (2D, x eksenine dik bir yarıiletken yapı elde edilir. Bu yapı kuantum kuyusu diye isimlendirilir. λ >L x, L y ve L x, L y << L z ; böylece, bir boyutlu yarıiletken bir yapı (1D yani z ekseni boyunca yerleşmiş, kuantum telini elde etmiş oluruz. λ >>L x, L y ve L z ; bu durumda sıfır boyutlu (0D yarıiletkene diğer bir deyişle, kuantum nokta yapıya ulaşmış oluruz.

20 12 Bu yapıların şematik gösterimi Şekil 2.5 te verilmiştir. Buradaki ilk şekil herhangi bir sınırlandırmanın olmadığı yani; elektronun, tüm yönlerde serbestçe hareket edebildiği hacimsel bir malzemeyi temsil etmektedir. İkinci şekilde ise, parçacığın hareketi iki boyutta serbest iken, bir boyutta sınırlandırılmıştır. Bu sınırlandırılmış boyutta, kuantum etkileri gözlenmektedir. Üçüncü şekilde ise elektron hareketi iki doğrultuda sınırlandırılmış ve bir doğrultuda serbest bırakılmış olan bir kuantum telini göstermektedir. Dolayısıyla bu iki boyutta kuantum etkileri gözlenmektedir. Son şekil ise her üç boyutta da sınırlandırmanın olduğu bir kuantum noktasını göstermektedir. (a (b (c (d Şekil 2.5. Sınırlandırılmış yapılar; (a Üç boyutlu hacimsel (bulk malzeme, 3D; (b Bir boyutta sınırlandırılmış kuantum kuyusu, 2D; (c İki boyutta sınırlandırılmış kuantum teli, 1D; (d Üç boyutta sınırlandırılmış kuantum noktası, 0D 2.4. Düşük Boyutlu Sistemlerin Enerji Durumları Düşük boyutlu sistemlerin nasıl belirlendiğinin anlaşılması için, yük taşıyıcılarının sahip olduğu serbestlik derecelerine ve sınırlandırma yönlerine dikkat edilmesi gerekmektedir. Yukarıda da bahsedildiği gibi hacimsel (bulk malzemeler üç doğrultuda da taşıyıcıların hareketi serbesttir ve hiçbir yönde sınırlandırma yoktur. Böyle hacimsel malzemeler, üç boyutlu sistemler olarak adlandırılır. Hacimsel malzemelerde enerji spektrumu süreklilik göstermektedir. Kuantum kuyuları, yük taşıyıcılarının iki boyutta serbestlik derecesine ve bir doğrultuda sınırlandırmaya sahip olduğu düşünülen iki boyutlu sistemler olarak görülmektedirler. Bu durumda, büyütme sınırlama doğrultusu boyunca yapılır. Böyle sistemlerde enerji, sınırlandırmanın olduğu tek boyutta kesikli değerlere sahiptir.

21 13 Diğer yandan kuantum telleri, tek serbestlik derecesine ve iki doğrultuda sınırlandırmaya sahiptir. Bunun için kuntum telleri, bir boyutlu sistemler olarak düşünülürler. Kuantum tellerinde ise enerji, iki doğrultu boyunca kesikli değerler alırken tek doğrultuda sürekli değer alır. Eğer yük taşıyıcıları, üç doğrultuda da sınırlandırılmışsa, bu tür sistemler kuantum nokta yapılar olarak isimlendirilir. Bu sistemde enerji, üç doğrultuda da kesikli değerlere sahiptir. Bu sistemler ve bu sistemlere ait durum yoğunluklarının enerjilere göre grafikleri Şekil 2.6 da verilmiştir. D ( E D ( E D ( E D (E E E E E Şekil 2.6. (a hacimsel (bulk malzeme ve malzemeye ait durum yoğunluğu (b kuantum kuyusu ve ona ait durum yoğunluğu (c kuantum teli ve ona ait durum yoğunluğu (d kuantum noktası ve ona ait durum yoğunluğu. Kuantum noktalarının keskin durum yoğunluğu, bu sistemleri lazer uygulamaları için çok uygun hale getirmiştir. Kuantum nokta yapıları kullanılarak yapılan kızıl ötesi fotodedektörler (QDIP, tek elektronlu transistörler, hafıza elemanları, kuantum bilgisayarları gibi cihaz uygulamaları da gerçekleştirilmeye başlanmıştır (Ryzhii, 1996; Nomoto ve ark., 1998; Choi ve ark., 1998; Yusa ve Sakaki, 1999; Gammon, 2000; Sim ve ark., Bu tür çalışmalar, kuantum noktalarının kuantum mekaniksel işleyişi hakkında yeni görüşler sağlamaktadır.

22 Kuantum Kuyuları ve Kuantum Telleri Kuantum kuyuları, yasak enerji aralığı küçük olan bir yarıiletken malzemenin çok ince bir tabakasının, daha büyük yasak enerji aralığına sahip başka bir malzeme arasına büyütülmesi ile elde edilir. x ve y doğrultusunda herhangi bir sınırlamanın söz konusu olmadığı böyle bir yapı içindeki elektron için dalga fonksiyonu, ( ( ( (2.5 şeklinde yazılabilir. Burada, ve, ve yönündeki dalga vektörleridir. Elektronların yalnızca iki boyutta serbest olduğu bu yapılar, iki boyutlu elektron gazı (2BEG olarak da adlandırılır. z yönündeki hareket için Schrödinger dalga denklemi yazılırsa; ( ( ( ( (2.6 ifadesi elde edilir. Burada E z, z boyunca hareketin enerjisidir. Eğer potansiyel engelleri sonsuz yükseklikte ise, kuyu içinde ( olur. Parçacığın toplam enerjisi; [ ( ] (2.7 ile verilir. Kuantum kuyularındaki durum yoğunluğu ise, ( (, (2.8 şeklinde olup, enerji ile değişimi Şekil 2.6.b de gösterildiği gibi basamaklı bir yapıdadır. Burada, bir adım fonksiyonudur. Elektronun hareketinin iki doğrultuda ( sınırlandırıldığı bir kuantum teli içindeki elektronun dalga fonksiyonu, ( ( (, (2.9

23 15 şeklinde yazılabilir. Denk.(2.9 daki dalga fonksiyonunda, sınırlandırmanın olduğu doğrultuları temsil eden (x,z kısmı, iki boyutta Schrödinger denklemine uygulanırsa; ( ( ( (2.10 ifadesi elde edilir. Sınırlandırma boyunca potansiyel engelleri sonsuz yüksek ve içeride ( olduğu zaman, ve doğrultusunda sınır şartları uygulandığında toplam enerji, [ ( ( ] (2.11 şeklinde ifade edilir. Bir kuantum teli için durum yoğunluğu ifadesi; ( (2.12 şeklinde olup enerji ile değişim grafiği Şekil 2.6.c de gösterilmiştir Kuantum Noktaları Elektronlar, boyutları de Broglie dalga boyutlarıyla kıyaslanabilecek bir ölçeğe hapsedildiğinde, hareketleri tüm uzayda sınırlandırılır. Bir elektronun mümkün olan tüm yönlerde hareketinin sınırlandırıldığı yapılara kuantum nokta yapılar denir. Bunlar, yarıiletken teknolojisinin gelişmesinde büyük öneme sahiptir. Boyutlarında, yerleşimlerinde ve içerdiği elektron sayılarındaki küçük değişiklikler, çok farklı etkiler meydana getirdiği için araştırmacılara yeni ufuklar açmaktadır. Bu yapının enerjileri üç boyutta da kesiklidir ve buna bağlı olarak durum yoğunlukları da kesikli ve keskindir. Üç boyutta güçlü bir sınırlamanın sonucu olarak kuantum nokta yapılar atomlara benzerler ve bu yüzden de sık sık yapay atomlar, süper atomlar gibi isimlerle de adlandırılırlar. Kuantum noktalarını bu denli sıra dışı yapan sebepler; şekillerini, boyutlarını, enerji seviyelerini ve içerdiği elektron sayısının kontrol edebilme

24 16 olanağıdır. Tüm doğrultularda ( vektörü bileşenleri,, potansiyeli sonsuz yüksek kabul edersek dalga ve (2.13 şeklinde kesikli olur. Bu durumda toplam enerji de kesikli olup, [( ( ( ] (2.14 ifadesiyle verilir. Kuantum noktalarında durum yoğunluğu ise Dirac-Delta fonksiyonuyla, ( ( (2.15 şeklinde tanımlanıp enerji ile değişimi Şekil 2.6.d de gösterildiği gibidir. Enerji spektrumunun kesikliliği, durum yoğunluğunun keskinliğini artırır. Bu özellikleri lazerlerin temelini oluşturur. Sergiledikleri atomik özellikler yüzünden yapay atomlar diye de isimlendirilen kuantum noktalar üzerinde, optoelektronik aygıtlar için kuantum kuyularına göre daha avantajlı olduklarından, büyük bir ilgi meydana gelmiştir. Bu yüzden, kuantum noktaların optik özellikleri, hem deneysel hem de teorik olarak birçok araştırmacı tarafından çalışılmıştır (Lee ve ark., 1999; Li ve Xia, 1997; Buczko ve Bassani, 1996; Bondarenko ve Zhao, 2003; Yilmaz ve Şafak, 2007; Milanoviç ve Ikoniç, 1989; Şahin, Kuantum noktaların geometrilerinin, boyutlarının, enerji seviyelerinin ve sınırlandırdıkları elektron sayılarının kontrol edilebilmesi, onları hem fiziksel olarak hem de teknolojik olarak daha da ilgi çekici hale getirmiştir. Kuantum noktaları veya yapay atomlar, son yıllarda teknolojik çalışmaların temeli olmuştur. Bu tür çalışmalar, kuantum noktalarının, kuantum mekaniksel işleyişi hakkında yeni görüşler sağlamaktadır. Bu çalışmaların temel amacı, kuantum noktalarının şeklinin, boyutunun, kompozisyonunun ve yerleşiminin istenildiği şekilde düzenlenmesi sonucunda daha kullanışlı elektronik ve optik, nano ölçekli aygıtların üretilmesidir.

25 Kuantum Nokta Yapıların Üretim Teknikleri İlk kuantum nokta yapı, 250 nm kenar uzunluğu olan kare biçiminde bir geometrik yapıya sahip olup, Texas Instrument Incorporated şirketindeki bilim adamları tarafından gerçekleştirilmiştir (Reed ve ark., Daha sonra üretilen kuantum noktaların boyutları nm ye kadar düşürülebilmiştir (Cibert ve ark., 1986; Temkin ve ark., Teknolojideki bu hızlı gelişmeler, daha sonraları çok değişik geometrilere (küresel, piramit şekilli, kübik, elipsoid vs. sahip kuantum nokta yapıların üretimine imkân sağlamıştır (Bimberg ve ark., Kuantum nokta yapılar, çok çeşitli teknikler kullanılarak üretilebilir. Bu tekniklerden bazıları, asitle aşındırma, modüle edilmiş elektrik alan ve kendiliğinden büyüme olarak özetlenebilir Asitle Aşındırma Yöntemi Kuantum noktası üretiminde kullanılan ilk yöntemdir (Reed ve ark Bu yöntemde, iki boyutlu elektron gazı içeren bir yapıdan bir kuantum noktası elde edilmektedir. Bu işlemin aşamaları, Şekil 2.7 de gösterilmiştir. Elektron demeti demeti Polimer maske Metal Kuantum a b c kuyusu Aktif iyonlar Kuantum noktası d e f Şekil 2.7. Asitle aşındırma yöntemi ile bir kuantum noktasının elde edilmesi

26 18 Bu yöntemde, bir veya daha fazla kuantum kuyusundan oluşan örnek yüzey, polimer bir maske ile kaplanır ve kuantum nokta oluşturulacak yüzeyin sınırları elektron demeti ile belirlenir. Işına maruz bırakılan bölgelerdeki maske yüzeyden uzaklaştırılır. Daha sonra bütün yüzey ince bir metal tabakayla kaplanır. Özel bir çözücü kullanılarak polimer film ve bu film üzerindeki koruyucu metal tabaka çıkarılır ve daha önce ışına maruz bırakılmış bölgelerin dışındaki numunenin temiz yüzeyi elde edilir (Reed, 1993; Jacak ve ark.,1998; Jacak, Modüle Edilmiş Elektrik Alan Yöntemi Modüle edilmiş elektrik alan yönteminde, Şekil 2.8 de görüldüğü gibi litografik yöntemler yoluyla kuantum kuyusunun yüzeyinde küçük elektrotlar oluşturulur. Elektrotlara uygulanan voltajlar, elektronları küçük alanlar içinde sınırlandıracak modüle edilmiş elektrik alanlarını üretir. Bu yolla, tek bir kuantum kuyusu üretilebileceği gibi, geniş bir kuantum noktası dizisi de üretilebilir. İçteki dört elektrot elektronları hapsetmekte, dıştaki dört elektrot ise elektronların kuantum noktasından dışarı ya da kuantum noktası içine tünelleme yapmasını sağlamaktadır (Reed Elektrotlar Şekil 2.8. Elektrik alanı ile oluşturulmuş bir kuantum noktası Kendiliğinden Büyüme Bir diğer yöntem, kuantum noktalarının kendiliğinden kristalleştirilmesi yöntemidir. Alt tabaka ve kristalleşen malzemenin örgü sabitleri önemli ölçüde farklılık

27 19 gösteriyorsa (GaAs/InAs örneğinde olduğu gibi, sadece ilk olarak çökeltilen tek tabakalar, örgü sabiti alt tabakanınkine eşit katmanlar olarak epitaksiyel formda kristalleşir. Kritik kalınlık aşıldığında tabaka içerisinde meydana gelen önemli ölçüdeki gerilme, bu tip düzenli bir yapının bozulmasına ve benzer boyutlarda, düzenli biçimlere sahip, gelişigüzel dağılmış küçük adacıkların kendiliğinden oluşmasına neden olur. Epitaksiyel yapıdan, gelişigüzel adacıklara meydana gelen faz geçişi, Stranski- Krastanow geçişi olarak adlandırılır. Bu faz geçişi ile meydana gelen kuantum nokta yapılar kendiliğinden meydana gelen kuantum nokta yapılar olarak adlandırılır. Küçük boyutları, şekillerinin homojenliği, kenar kusurları olmayan mükemmel kristal yapıları sayesinde elektronik ve opto-elektronik alanlarında, uygulamalar bulmaktadırlar. Bu tekniklerin amaca uygun olarak değiştirilmesiyle farklı biçimlerde kuantum noktaları üretilebilmektedir. Bunlardan bazıları Şekil 2.9 da gösterilmiştir. Şekil 2.9. Farklı biçimlerdeki kuantum nokta yapı örnekleri

28 20 3. MODEL VE TEORİ 3.1.Giriş İleri fizik çalışmalarında karşılaşılan birçok problemi çözmek, çoğu zaman oldukça zor ve karmaşık olabilir ya da bilinen yöntemlerle analitik olarak çözmek mümkün olmayabilir. Bilindiği gibi, herhangi bir kuantum mekaniksel sistemin fiziksel özelliklerini belirlemek için öncelikle göz önüne alınan sistem, yeterince iyi bir teorik modele oturtulmalıdır. Göz önüne alınan sistem ne kadar iyi modellenirse, elde edilecek çözümler bu sistemin gerçek çözümlerine o kadar yakın olacaktır. Daha sonra, seçilen modelin Hamilton ifadesi oluşturulmalıdır. Sistemin özelliklerine bağlı olarak oluşturulan Hamilton ifadesi kullanılarak etkin kütle yaklaşımı gibi bazı fiziksel yaklaşımlar altında Schrödinger denklemi yazılır. Bu bölümde, öncelikle tek bir küresel kuantum nokta modeli göz önüne alınacak ve sonsuz yüksek potansiyel engeli için analitik çözümleri verilecektir. Sonra böyle bir yapının elektronik kabuk yapısı açıklanacaktır. Daha sonra, kuantum heteroyapıların incelenmesinde yaygın bir şekilde kullanılan ve bu yapıların elektronik ve optik özelliklerinin anlaşılmasında oldukça faydalı bir model olan, hidrojenik safsızlık problemi ele alınacaktır. Tek bir kuantum noktası için yapılan bu incelemeler, çekirdekengel-kuyu-engel şeklindeki çok tabakalı kuantum nokta yapıya genişletilecektir. Son olarak, optik süreçlerin anlaşılmasında yaygın bir şekilde kullanılan elektrik dipol yaklaşımı ve buna bağlı olarak bu yapılardaki optik süreçler açıklanacaktır Tek Bir Küresel Kuantum Noktasındaki Bir Elektronun Enerjisi Küresel bir kuantum noktasında, potansiyel duvarlarının varlığı sebebiyle elektron, bu yapı içine hapsolmaktadır. Böyle bir yapıda tek elektronun davranışını anlayabilmek için, Şekil 3.1 de gösterilen a yarıçaplı bir küresel kare kuyu içindeki bir elektronun hareketini incelemek yeterli ve uygun olacaktır (Banyai ve Koch, Böyle küresel potansiyel kuyusu içerisinde hareket eden bir parçacık için Schrödinger denklemi,

29 21 V(r V b 0 a r Şekil 3.1. Küresel bir kare kuyu potansiyeli ( (3.1 şeklindedir. Bunun küresel koordinatlardaki açık ifadesi ise, [ ( ( ( + (3.2 olarak yazılabilir. Burada dalga fonksiyonu ( koordinatlarına bağlı bir fonksiyon olur. Değişken ayrımı yöntemini dalga fonksiyonuna uyguladığımızda, ( ( ( (3.3 şeklinde bir çözüm aranabilir. Kısmi türevleri alındıktan sonra, eşitliğin her iki tarafı ( ( ile bölünüp, ye bağlı terimler bir tarafa ayrılırsa, Denk. (3.4 elde edilir. ( [ ( ] * ( + (3.4 Görüldüğü gibi eşitliğin sol tarafı ye bağlı bir ifade, sağ tarafı ise ( ye bağlı bir ifade olup bunlar birbirine eşit olmaktadır. Bu eşitliğin, her ( için sağlanabilmesinin tek yolu, her iki tarafında aynı bir sabite eşitlenmesi ile mümkündür.

30 22 Eşitliğin sol tarafı ye bağlı olup radyal Schrödinger denklemi adını alır ve ayrıntılı çözüm için ( potansiyelinin bilinmesi gerekir (Karaoğlu, Sağ tarafta ise ( potansiyeli yoktur. O halde tüm küresel simetrik potansiyeller için dalga fonksiyonunun açısal bağlılığı ( fonksiyonu ile belirlenmiş olacaktır. Denk.(3.4 ile verilen eşitlik λ gibi bir sabite eşitlenip çözülürse, küresel harmoniklere bağlı kısmın ( açısal momentum özdeğerlerini verdiği görülür (Karaoğlu, 1994; Merzbacher, 1998; Liboff, Bu durumda, tüm küresel simetrik potansiyeller için, radyal Schrödinger denkleminde ( özdeğeri yerine konulursa, ( [ ( ( ] ( (3.5 ifadesi elde edilir. Problem, sonsuz derin küresel bir potansiyel kuyusuyla sınırlandırılırsa ve potansiyel ifadesi ( { (3.6 şeklinde seçilirse, radyal Schrödinger denklemi küresel koordinatlarda ( ( * ( + ( (3.7 şeklinde olur. Burada, (3.8 dönüşümü yapılırsa, Denk. (3.7, ( ( [ ( ] (3.9

31 23 şeklini alır. Bu denklem ise küresel Bessel diferansiyel denklemi formundadır. Bu tip bir denklemin genel çözümü ( ( ( (3.10 şeklindedir. Dolayısıyla Denk.(3.9 ile verilen denklemin çözümü, ( ( ( (3.11 olur. Bu dalga fonksiyonları, her yerde sonlu değer alan bir fonksiyondur. r=0 noktasında Neumann fonksiyonları ıraksak olduğundan B=0 alınır. Böylece küresel kuyu içindeki bir parçacığın ye bağlı dalga fonksiyonu ( ( (3.12 olur. Bunun daki çözümü yakınsaktır. sınırında ise potansiyel sonsuz olduğundan ( sınır şartı olmalıdır. Dolayısıyla, l nin değerlerine göre elde edilecek Bessel fonksiyonlarının köklerinden, parçacığın kuyu içerisindeki enerji değerleri belirlenebilir (Karaoğlu, l=0 durumunda; ( ( (3.13 olması için olması gerektiğinden olur. Buradan da, (3.14 olarak bulunur. l=1 için; ( ( ( ( (3.15

32 24 olur. Bu denklemin kökleri ise grafik yöntemlerle veya nümerik yollarla belirlenecek olursa 4,493; 7,723; 10,904;... olarak bulunur. Bu durumda Bessel fonksiyonunun ilk kökü için enerji değeri; ( (3.16 ikinci kökü için enerji değeri; ( (3.17 olarak bulunur. l=2 için; ( ( ( ( ( ( (3.18 denklemi elde edilir. Bunun kökleri ise, 5,763; 9,095; 12,323;... şeklindedir. Bu durumda enerji seviyeleri ise, için, ( (3.19 n=2 için, ( (3.20 olarak bulunur Bir Küresel Kuantum Noktasının Elektronik Kabuk Yapısı Atomlardaki elektronlar, çekirdeğin oluşturduğu Coulomb potansiyeli içerisinde hareket ettiklerinden dolayı açısal momentum kuantum sayısı, hiçbir zaman baş kuantum sayısından büyük olamaz. Yani en fazla değerini alabilir. Dolayısıyla,

33 25 atomlardaki kabuk yapısı 1s, 2s, 2p, 3s, 3p,... şeklindedir (Zhu ve Chen, Bir kuantum noktasında elektronu yapı içine hapsetmek için sadece potansiyel duvarlarına ihtiyaç vardır. Yani fazladan herhangi bir çekici Coulomb potansiyeli olması gerekmemektedir. Küresel kuantum noktasındaki bir elektronun bağlı durumlar için elektronik kabuk yapısı, atomlardaki gibi baş kuantum sayısı ve açısal momentum kuantum sayısıyla belirlenir. Küresel bir kuantum noktasındaki elektronlar, bir Coulomb potansiyeli içerisinde hareket etmedikleri için, açısal momentum kuantum sayısında herhangi bir sınırlama söz konusu değildir. Bu yüzden, küresel bir kuantum noktasındaki bağlı durumların kabuk yapısı 1s, 1p, 1d, 2s, 1f, 2p,... şeklindedir. Bu gösterim gerek Coulomb potansiyelindeki bir elektron için, gerekse bir kuantum noktası içindeki bir elektron için şeklindedir. Dolayısıyla enerji seviyeleri de şeklinde etiketlenmektedir (Şahin, Kuantum noktalarında kullanılan bir diğer gösterim ise baş kuantum sayısı n yi şeklinde almak ve etiketlemeyi buna göre yapmaktır. Bu durumda 1s kabuğu yine aynen kalırken 1p kabuğu 2p olarak adlandırılmakta, 1d kabuğu ise 3d olarak adlandırılmaktadır. Buna göre küresel bir kuantum noktasında bağlı durumlar için kabuk yapısı 1s, 2p, 3d, 2s, 4f, 3p,... şeklinde de gösterilmektedir (Zhu ve ark Benzer şekilde enerji seviyeleri de şeklinde olmaktadır Küresel Kuantum Noktalarında Hidrojenik Safsızlık Problemi Kuantum noktaları çoğunlukla yarıiletken malzemelerden üretilirler. Kuantum noktalarında hidrojen tipi safsızlık, hem elektronik hareketliliği hem de elektron ve safsızlık iyonu arasındaki Coulomb etkileşmesinden dolayı, yapının optik özelliklerini etkiler. Yarıiletken heteroyapıların elektronik durumları üzerine safsızlığın etkilerinin anlaşılması, yarıiletken fiziğinde önemlidir. Çünkü onların varlığı kuantum aygıtların performansını ve optiksel ve iletim özelliklerini büyük oranda değiştirmektedir (Perez- Merchancano ve ark., Yabancı atom katkılanmasıyla bu yapılarda iletkenlik kontrollü bir şekilde değiştirilebilir. Ayrıca, bu katkılanan yabancı atomun elektronik ve optik özelliklerinin iyi bilinmesi, oluşan kuantum nokta yapıların elektronik ve optik özelliklerinin bilinmesinde ve böylece bu yapılardan oluşturulan cihazların, elektronik ve iletim özelliklerinin anlaşılmasında çok önemlidir.

34 26 Üç boyutta sınırlandırma, yarıiletken kuantum noktasının yapısına bağlı olarak, artan etkileşme büyüklüğü yüzünden, elektronun safsızlık iyonuna yaklaşmasına sebep olur. Bu kuantum nokta yapılarda safsızlığın konumu ve güçlü uzaysal sınırlandırma, enerji seviyelerinde ve safsızlığın bağlanma enerjisinde kendilerini gösterirler (Bimberg, 1999; Sadeghi, 2009; Peter, Düşük sıcaklıklarda, yarıiletken yapılarda iletim mekanizması, iyonize safsızlıklar tarafından kontrol edilir ( Okan ve ark., Küresel kuantum nokta yapıda hidrojenik safsızlığın bağlı durumları üzerine sayısız teorik çalışmalar yapılmıştır. GaAs ve Ga 1-x Al x As de küresel kuantum nokta yapıda hidrojenik donorun bağlanma enerjileri, parabolik sınırlandırma altında incelenmiştir (Jayam, Etkin kütle yaklaşımını parabolik sınırlandırmaya sahip küresel kuantum nokta yapıda, hidrojenik safsızlığın bağlanma enerjilerini elde etmek için varyasyon ve pertürbasyon teknikleri sonsuz bariyer varsayılarak kullanılmıştır (Bose, 1998; Bose ve Sarkar, Oyoko ve ark. (2001, donor bağlanma enerjisinin kuantum nokta yapının boyutunun azalmasıyla ve tek yöndeki basıncın artmasıyla arttığını göstermişlerdir. Ayrıca, safsızlığın uyarılmış durum bağlanma enerjisi, Zhu ve ark. (1990 tarafından hesaplanmıştır. Son gelişmelerle birlikte çok tabakalı bir GaAs- (Ga,AlAs küresel kuantum noktasında hidrojenik safsızlığın bağlanma enerjisi, bariyer kalınlığı ve çekirdek malzemenin kalınlığının fonksiyonu olarak, çeşitli potansiyeller için hesaplanmıştır. Aynı çalışmada, kuantum nokta yapının merkezine yerleşmiş olan hidrojenik safsızlığın taban durum bağlanma enerjisi, varyasyonel yöntemle çalışılmış ve etkin kütle yaklaşımında, taban durum enerjisi 4. derece Runga-Kutta metodu kullanılarak hesaplanmıştır (Aktaş, Hacimsel bir yarıiletken içerisindeki yüksüz bir donor safsızlığı Şekil 3.2 de görülmektedir. GaAs veya CdTe gibi bileşik yarıiletkenlerde, katkılanan safsızlık, bir pozitif yük merkezi gibi davranır. Dolayısıyla, Şekil 3.2 nin örgü atomları Ga veya Cd olabilir. GaAs bileşik yarıiletkeninde, Si tipik bir donor safsızlığıdır. Kristali büyütme sırasında yüksek As basıncı altında, Si Şekil 3.2 deki gibi bir Ga atomunun yerine geçer. IV. grup elementi olan Si un elektron sayısı, III. grup elementi olan Ga un elektron sayısından bir fazladır ve bu fazla olan elektronunu örgüye bırakır. Şekilden anlaşılacağı gibi yüksüz donor, bir hidrojen atomundaki elektron proton çiftine benzemektedir (Harrison, Böyle bir sistem için Schrödinger denklemi, etkin kütle yaklaşımında yazılırsa, fazlalık elektron bir Coulomb potansiyelinde hareket ettiğinden denklem

35 27 Şekil 3.2. Hacimsel bir yarıiletken içerisindeki yüksüz safsızlık e - ( (3.21 şeklindedir. Burada, 0 boşluğun dielektrik geçirgenliği, r ortamın dielektrik katsayısı, r ise yabancı atom (safsızlık ve elektron arasındaki mesafedir (Mitin ve ark., Eğer safsızlık, bir kuantum noktasının merkezinde olursa, bu durumda sınırlandırıcı potansiyelle birlikte pozitif bir Coulomb merkezi gibi davranan safsızlık potansiyeli de Hamiltoniyen ifadesine girer ve etkin kütle yaklaşımı altında Schrödinger denklemi, ( ( (3.22 şeklini alır. Bu denklem çözülerek bir kuantum noktası içindeki yüksüz hidrojen tipi safsızlığın enerji seviyeleri ve karşılık gelen dalga fonksiyonları belirlenmiş olur Çok Tabakalı Yarıiletken Küresel Kuantum Noktası Teknolojide gelinen son noktada araştırmacılar farklı şekillerdeki kuantum nokta yapıların yanı sıra, çok tabakalı küresel kuantum noktaların üretimine başlamışlardır. Etrafı Ga 1-x Al x As ile çevrelenmiş GaAs içinde iyonize olmuş bir verici atom elektronunun hareketi üç boyutta sınırlanmış ise bu sistem GaAs kuantum noktası olarak adlandırılır. Bu yapılara, CdS ve ZnS yapısına Se katkılanarak üretilen CdSSe ve ZnSSe yapıları da iyi birer örneklerdir. Çok tabakalı kuantum noktasında bir elektronu tutmak için bir potansiyel duvarı olması yeterlidir. Bu sınırlandırıcı potansiyel temelde,

36 28 z R 4 GaAs AlGaAs R 4 x y Şekil 3.3. Çok tabakalı yarıiletken küresel kuantum nokta yapısının şematik gösterimi kuantum nokta yapısının geometrik şekliyle ilişkilidir. Küresel bir kuantum noktası için sınırlandırıcı potansiyel, küresel simetrik kare kuyu veya parabolik bir potansiyel seçilebilir. Göz önüne alınan çok tabakalı küresel kuantum noktasının şematik biçimi Şekil 3.3 te gösterilmiştir. Bu yapı içinde bir elektron sınırlandırılmıştır ve biri diğeri içinde yer alan iki tane GaAs nokta yapıdan oluşmaktadır. Ayrıca bu sistemde, nokta yapılar aralarında sonlu bir potansiyel meydana getiren AlGaAs tabakasıyla birbirlerinden ayrılmaktadırlar. Yapının dış kısmı ise tamamen AlGaAs tabakasıyla kaplanmıştır. İki küresel kuantum noktası arasında elektronun tünellemesine izin veren, potansiyel bariyerleri vasıtasıyla küresel kuantum noktalar etkileşmektedir. Şekil 3.3 ten görüldüğü gibi, içteki kuantum noktanın yarıçapı dir ve bu yapı kendinden daha büyük band aralığına sahip ve bariyer kalınlığı T b = - olan AlGaAs malzemesiyle çevrilmiştir. Bu yapı tekrar kuyu bölgesinin genişliği T k = - olan GaAs malzemesiyle kaplanmıştır. En dış kısımda da yapı kalınlığı R max - olan AlGaAs kabuk yapısıyla çevrelenmiştir. Göz önüne alınacak sınırlandırıcı potansiyelin matematiksel ifadesi, denklem 3.23 te verilmiştir. { (3.23

37 29 V V 0 0 r Şekil 3.4. Çok tabakalı küresel kuantum nokta yapının potansiyel profili Çok tabakalı yarıiletken kuantum nokta yapıya ait potansiyel profili, Şekil 3.4 te verilmiştir. Kuantum mekaniksel bir sistemin doğasını anlamak için, bildiğimiz gibi sisteme ait Hamilton eşitliği ve buna bağlı olarak Shrödinger denklemi yazılmalıdır. Bu denklem gerekli yaklaşım yöntemleri ve hesaplama teknikleri kullanıldıktan sonra çözülür. Bunun sonucunda, sisteme ait enerji özdeğerleri ve dalga fonksiyonları bulunur. Çok tabakalı küresel kuantum nokta yapı için Hamilton ifadesi Denk. (3.24 te verilmiştir. * ( ( + ( (3.24 Denklem (3.24, yapı içinde safsızlığın bulunmadığı durum, için yazılmıştır. Bu denklem, küresel simetrik bir yapı için safsızlık terimini ve açısal momentum kuantum sayısını da içerecek şekilde yeniden yazıldığında Denk. ( 3.25 halini alır. ( ( ( (3.25 Hamilton ifadesinden faydalanılarak sisteme ait radyal Schrödinger denklemi Denk. (3.26 daki gibi elde edilir. ( ( ( ( ( ( ( (3.26

38 Yarıiletken Düşük Boyutlu Sistemlerin Optik Özellikleri Yarıiletken düşük boyutlu sistemlerin optik özelliklerinin anlaşılması teknolojide yeni uygulama alanları açmaktadır. Bu özellikler, kuantum kuyu lazer, kuantum nokta lazer, kızılötesi fotodedektörler ve elektrooptik modülatörler gibi yeni nesil elektronik aygıtların temelini oluşturur (Martinez-Duart ve ark., Ayrıca, yarıiletkenlerde foton ve elektronlar arasındaki etkileşme, optik iletişim ve optik bellekler gibi teknolojilerin temelini oluşturmaktadır. Bu etkileşmeyi tanımlamak için ışık, parçacık olarak görülür. Elektron foton etkileşmeleri, fotonun soğrulması veya salınmasıyla saçılma teorisi aracılığı ile açıklanır (Singh, Işık yariletken bir malzeme üzerine düştüğü zaman, yansıma, geçirme ve soğurma gibi bir dizi optik olaylar gözlemlenir. Ardışık optik spektrumları kaydedilerek çalışılan bütün bu olaylar, yarıiletkenlerde bir dizi elektronik süreçlere yol açar. Bir yarıiletkenin soğurma spektrumu, çeşitli önemli özellikler gösterir. En baskın soğurma spektrumu, gelen fotonun enerjisi, yarıiletkenin enerji aralığına eşit veya büyük olduğunda gerçekleşir. Böylece, dolu olan değerlik bandından, boş iletim bandına olan elektronik geçiş baskın olur. Soğurma katsayısı ise zamana bağlı pertürbasyon teorisi ile hesaplanır (Martinez-Duart ve ark., Herhangi bir malzemenin optik özellikleri, malzeme ile fotonun etkileşmesi sonucu ortaya çıkmaktadır. Yarıiletken malzemelerde fotonun elektronlarla etkileşmesi, pek çok fiziksel olaya sebep olduğundan çok önemlidir. Yarıiletken malzemelerde elektronlar, foton soğurarak değerlik bandından iletim bandına uyarılabilirler. Bu oluşum, bandlar arası geçiş olarak isimlendirilir. Bu sürecin tersi, elektronlar iletim bandı gibi daha yüksek bir enerji seviyesinden değerlik bandı gibi daha düşük enerji seviyesine geçtiklerinde oluşur. Bu durumda, fotonlar yayılır. Lazer diyotların ve ışık yayan diyotların (LED temeli buna dayanmaktadır (Manasreh, Elektronlar, iletim bandı gibi belirli bir band içerisinde, bir seviyeden diğerine uyarılabilirler. Bu geçiş, band içi geçiş olarak adlandırılır. Kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktaları gibi düşük boyutlu sistemlerde elektronlar, seviyelerin birinden diğerine, fotonlarla uyarılarak geçebilirler. Örneğin elektronlar, kuantum kuyusunun iletim bandında bağlı bir seviyeden diğer bir bağlı seviyeye uyarıldıklarında, bu geçiş alt-bandlar arası geçiş olarak isimlendirilir. Bu geçişler hacimsel malzeme için ve kuantum yapılar için Şekil 3.5 te gösterilmiştir.

39 31 Şekil 3.5. (a hacimsel bir malzeme ve (b kuantum yapı için çeşitli elektronik geçişlerin gösterimi. Hacimsel malzemede, bandlar arası geçişin gerçekleştiği band aralığı, genelde optik band aralığı olarak bahsedilir. Kuantum yapılarda ise optik band aralığından bahsedilmez. Onun yerine, etkin band aralığından bahsedilir. Bu aralık da, Şekil 3.5 ten görüleceği gibi değerlik bandındaki taban durumdan, iletim bandındaki taban duruma olan geçişi anlatmaktadır. Kuantum yapılarda etkin band aralığı, hacimsel malzemedeki bilinen optik band aralığından daha büyüktür. Eğer bir yarıiletkendeki elektron, foton soğurarak değerlik bandından iletim bandına uyarılırsa, geride pozitif yüklü bir deşik oluşur. Bu süreç, elektron deşik çifti üretimi diye isimlendirilir. Elektron-deşik çifti, birbirleriyle Coulomb etkileşmesiyle çekilirlerse bu da ekziton olarak isimlendirilir (Manasreh, Ekzitonik enerji seviyeleri, Şekil 3.5.a. daki gibi genelde temel band aralığında oluşur. Ekziton soğurması, keskin pikler halinde gözlenir (Martinez-Duart ve ark., Biz çalışmamızda yalnızca iletim bandını göz önüne alacağımızdan ekzitonik süreçleri göz ardı edeceğiz. Işığın bir yarıiletkende soğrulması, soğurma katsayısı ile açıklanır. Katıya nüfuz eden ışığın şiddeti I o ve katı yüzeyinden z mesafesi kadar uzakta değişim, ( (3.27 ile verilir. Burada α, soğurma katsayısı diye adlandırılır. Birimi 1/cm ile verilir. GaAs gibi yarıiletkenlerde optik geçiş doğrudan olduğundan foton enerjisi, E g yi geçtiğinde α,

40 32 çok keskin bir şekilde artarken Si ve Ge gibi optik geçiş doğrudan olmayan ve geçiş için fononlara da ihtiyaç olan yarıiletkenlerde α nın artışı daha yavaştır (Martinez-Duart ve ark., Yarıiletkenlerdeki elektronik geçişleri araştırmak için pek çok deneysel metotlar kullanılmaktadır. Temeli yarıiletken malzemelere ve onların düşük boyutlu yapılarına dayanan optoelektronik aygıtlarda en baskın süreç, elektron foton etkileşmesidir (Manasreh, Yarıiletken Küresel Kuantum Noktasında Optik Süreçler Üç boyutta sınırlandırmanın olduğu kuantum nokta yapıların optik özellikleri, yakın bir zamanda geliştirilmiş olan kuantum nokta lazerler ve fotodedektörlerde uygulama alanı bulan, yeni olgulara sebep olmuştur. Kuantum nokta yapıların optik özellikleri, bu yapıların büyütülmesinde kullanılan büyütme tekniklerine büyük oranda bağlıdır (Martinez-Duart ve ark., Kuantum noktalarında sınırlandırma potansiyeli, elektronları üç boyutta da sınırlandırır. Böylece enerji seviyeleri, yalıtılmış atomlarda olduğu gibi tüm doğrultularda kesikli hale gelir. Elektronik dalga fonksiyonlarının sınırlandırılması, optik özellikler bakımından önemlidir. Bu sisteme ait genel optik özelliklerden bazılarından bahsedecek olursak bunlar: (i (ii Band aralığı genişlemesi; kuantum nokta yapıların optik özelliklerinin ilk karakteristiği band aralığı genişlemesidir. Küresel olduğu farzedilen kuantum noktasının R büyüklüğüne bağlı olarak, birkaç şekilde düşünülebilmektedir. R büyüklüğünün α B, bohr yarıçapıyla kıyaslanması sonucunda, eğer; R 2α B ise ekzitonik etkiler gözardı edilir. R 4α B olduğu durumda, ekziton kütle merkezinin hareketine bağlı olarak kendi kinetik enerjisini artırmasına rağmen, gerçekte zarf fonksiyonu etkilenmez. Böylece, onun bağlanma enerjisinde bir azalma olur. Osilatör şiddetinin artırılması; Durum yoğunluğunun enerjiye bağlılık grafiklerinden de görüldüğü gibi, yarıiletken düşük boyutlu sistemlerde boyutun azalmasıyla birlikte izinli elektron seviyelerinin enerji değerlerinin daha keskin olduğunu görürüz. Neredeyse sıfır boyutlu kuantum noktaları, keskin enerji seviyeleriyle atomlar gibi davranır ve optik geçişlerin osilatör şiddetleri daha büyüktür (Martinez-Duart ve ark., 2006.

41 33 (iii (iv Optik geçişler; kuantum kuyularında optik geçişlere, ışık kuantum kuyusunun yüzeyine dik geldiğinde izin verilirken kuantum noktalarında, herhangi bir yönde kutuplu olarak gelen ışık soğrulabilir. Spektrumların genişlemesi; Kuantum noktalarının başka bir özelliği de, elektronlar için sürekli seviyeler olmadığından, spektrumların çizgi genişliğinin sıcaklığa bağlılığının olmamasıdır. Ancak, kuantum kuyularında ve tellerinde ise sırayla iki ve tek yönde sürekli seviyeler vardır. Kuantum noktalarının beklenen çizgi spektrumu, kuantum nokta yapının boyutunun temel sonucu olarak, tamamen keskin değildir ve gerçekte yaklaşık 10 mev kadarlık bir genişliğe sahiptir. Yapıdaki küçük değişimlerden dolayı, kuantum nokta yapının band aralığının sapmaları, çizgi genişlemesine sebep olur. Bunun yanında safsızlıklar, yüzey veya ara yüzey durumları da çizginin genişlemesine sebeptir (Martinez-Duart ve ark., Band İçi Optik Geçişler İçin Seçim Kuralları Kuantum nokta yapının tek parçacık uyarmalarının enerjisine karşılık gelen ışığın dalga boyu ( λ, yapının boyutundan ( daha büyük olduğundan, bu ışınımın tetiklediği elektromanyetik alanın salınımları, kuantum yapının her tarafında aynıdır. Elektron ve elektromanyetik dalga arasındaki etkileşmeyi tanımlayan pertürbasyon Hamiltonyeni dipol yaklaşımı altında, olmak üzere, Denk. (3.28 deki gibi verilir. ( ( ( (3.28 Burada e, elektronun yükü; E 0, elektrik alanın titreşiminin genliğidir. Yarıiletken kuantum nokta yapıların optik tepkilerini hesaplamak için, ilk seviye ve geçişin yapıldığı seviyeler arasındaki dipol geçiş matris elemanının hesaplanması gerekmektedir (Haugh ve Koch, 2004; Aygün ve Zengin, Elektromanyetik alanla elektronların etkileşmesi durumunda, elektronların herhangi bir ilk seviyeden (, başka bir son seviyeye ( geçiş hızı, zamana bağlı pertürbasyon teorisinden türetilen Fermi Altın Kuralı ile belirlenir ve bu süreçler için Fermi Altın Kuralı geçiş hızı yi

42 34 ( (3.29 şeklinde ifade etmektedir (Duart ve ark.,2006; Aygün ve Zengin., 1998; Paiella Görüldüğü gibi, bir kuantum sisteminde geçişin oluşturulabilmesinde biri uyarıcı etkenin (pertürbasyon operatörünün matris elemanı, diğeri de ilgili enerji seviyelerinin yoğunluğu olmak üzere iki çarpan etkilidir. Burada,, zamana bağlı Schrödinger denkleminde, Hamiltoniyene gelen birinci derece pertürbasyonu, ρ(e de enerji seviyelerinin yoğunluğunu temsil eder (Aygün ve Zengin, 1998; Paiella, Geçiş hızı W, spektrumdaki çizgilerin şiddetini belirler. Birinci derece pertürbasyonda, optik geçişin olasılığı pertürbasyon Hamiltonunun matris elemanının karesiyle orantılıdır (Jacak ve ark. 1998; Karaoğlu, Bu matris elemanı herhangi bir sebeple sıfır oluyorsa, o zaman ( geçişi gerçekleşmez. Bu tür geçişler, yasak geçiş adını alır. Matris elemanının sıfırdan farklı olduğu durumda ise geçiş izinli geçiş diye adlandırılır. Bir kuantum sisteminde, hangi geçişlerin gerçekleşebileceği bir takım seçim kuralları ile belirlenir. Bir elektrik alanla sistemin etkileşmesi sonucunda, elektrik dipol geçişin olabilmesi için, ilk durum (taban durum ve son durum (uyarılmış durum arasında seviyelerin kuantum sayıları arasında şu bağıntılar olmalıdır. l= 1; m=0, 1 (3.30 Küresel kuantum noktalarında, elektronun, z-yönünde kutuplu fotonla uyarıldıktan sonra geçeceği son seviyeyi, l= 1 olan seçim kuralı belirler Küresel Kuantum Nokta Yapıda Band İçi Geçişler Son zamanlarda, band içi geçişlere dayalı olarak çalışan dedektörler büyük bir ilgi çekmektedir (Singh, Kuantum nokta infra-red fotodedektörleri (QDIP kullanmanın, kuantum kuyu infra-red fotodedektörleri (QWIP kullanmaya göre avantajlı olduğu görülmektedir. Bunun sebebi, üç boyutta sınırlandırma sayesinde, gelen dik geçişlerin daha güçlü olmasıdır. Böylece, (QDIP lerin gece görüşü ve tıbbi tanılar için ısısal görüntüleme gibi görüntüleme uygulamalarında kullanılması mümkündür. Kuantum nokta yapılarda, band içi soğurma, kızılötesi dalga boylarının

43 35 geniş bir spektrumunu içine alır. Kuantum nokta yapılarda, ilk gözlenen band içi soğurma 13 m-15 m aralığında yer almaktadır. Band içi soğurma spektrumu, yapının boyutunun, bileşiminin ve bariyer kalınlıklarının değiştirilmesiyle farklı değerler almaktadır. Genelde, kuantum yapıda oluşabilecek iki tip band içi geçiş vardır. Birincisi, taban durum elektronlarının kuantum yapının uyarılmış seviyelerine geçtiği, bağlı durumlar arası geçiş; diğeri ise taban durum yada uyarılmış seviyedeki elektronun, sürekli enerji seviyelerine uyarıldığı geçiştir. İki durumda da, kuantum nokta yapının bağlı bir durumunda elektronun varlığı gerekmektedir. Elektronlar, yapıya doğrudan katkılama, modülasyon katkılama veya aygıt bağlantılarından enjekte edilen elektronların hapsedilmesiyle katılabilirler. Düşük katkılama yoğunluğunda soğurma etkinliği azalırken yüksek katkılama yoğunluğunda ise akım artar. Soğurma katsayısı, verilen kuantum yapının uygulanabilirliğini belirlemede önemli bir niceliktir. Soğurma katsayısı, Denk. (3.31 de verilmiştir (Şahin, ( ( (3.31 Burada,, yarıiletkenin kırıcılık indisi olup GaAs için değeri 3,2; ise ince yapı sabiti olup değeri 1/137 dir., kuantum nokta yapının hacmini;, gelen ışığın enerjisini;, ilk ve son durumdaki elektron sayısı farkını; ve, ilk ve son duruma ait enerji özdeğerlerini;, ilk ve son durumlar arasındaki dipol matris elemanını;, Dirac-Delta fonksiyonunu temsil etmektedir (Şahin, S-1P geçişleri için dipol matris elemanı Denk. (3.32 de verilmiştir. ( ( (3.32 Buradaki 1/3 çarpanı, küresel harmoniklerin integralinin karesinden gelmektedir. ise sırasıyla ilk ve son durumlara ait radyal dalga fonksiyonunu göstermektedir. ve Ayrıca, soğurma denklemindeki yer değiştirebilmektedir. fonksiyonu, Denk. (3.33 ile verilen Lorentziyen ile

44 36 ( {[ ( ] ( } (3.33 Buradaki niceliği, Lorentziyen eğrisinin yarı yükseklikteki maksimum genişliğini vermektedir ve değeri 10 mev olarak alınmıştır. Soğurma katsayısı, hem aygıtın kuantum etkinliğini, hem de spektrumlarının biçimini ve ışıkla etkileştiği dalga boyu aralığında, olası uygulamalarını belirlemek için önemli bir niceliktir (Paiella, Optik özelliklerin incelenmesinde önemli olan bir diğer nicelik, osilatör şiddetlerinin belirlenmesidir. Osilatör şiddeti, soğurmanın büyüklüğü hakkında bilgi veren bir niceliktir. Yani, osilatör şiddeti ne kadar büyükse geçişin gerçekleşmesi o kadar büyüktür. 1S-1P geçişlerinde osilatör şiddetinin değeri ( ( ( (3.34 ifadesiyle hesaplanabilir. Denklemden görüldüğü gibi osilatör şiddeti, enerji farkları ve dipol matris elemanının karesiyle orantılıdır.

45 37 4. FİZİKSEL YAKLAŞIMLAR VE HESAPLAMA TEKNİKLERİ 4.1.Giriş Bilindiği gibi, kuantum mekaniksel bir sistemin fiziksel özelliklerini anlamak için Schrödinger denkleminin çözülmesi ve sisteme ait enerji seviyeleri ile bu seviyelere karşılık gelen dalga fonksiyonlarının belirlenmesi gerekmektedir. Bununla birlikte, hidrojen atomu, küresel kare kuyu, parabolik potansiyel gibi az sayıda problem için Schrödinger denklemi analitik olarak çözülebilmektedir. Göz önüne alınan sisteme ait Hamiltoniyen ifadesindeki potansiyel terimleri karmaşık hale geldikçe, Schrödinger denkleminin analitik çözümleri mümkün olmamaktadır. Bu durumda, bazı fiziksel yaklaşım yöntemleri ve yaklaşık hesaplama teknikleri kullanmak kaçınılmaz hale gelmektedir. Bu alanda birçok yöntem geliştirilmiştir. Bunlara varyasyon yöntemi ve pertürbasyon yöntemi, örnek olarak verilebilir. Bazı durumlarda bu fiziksel yaklaşımlar altında formalize edilen bir problemi, bilinen analitik yöntemlerle çözmek yine mümkün olmayabilir veya ancak bir noktaya kadar çözüm gerçekleştirilebilir. Bu durumda da, Newton-Raphson yöntemi, interpolasyon teknikleri, sonlu farklar yöntemi, matris köşegenleştirme teknikleri gibi sayısal analiz teknikleri kullanılarak çözüme ulaşılmaya çalışılır.bu yaklaşımlar kullanılırken kuantum mekaniğinin temel varsayımlarına dikkat edilmeli ve bu varsayımlara aykırı bir yaklaşım yapılmamalıdır. Aksi halde yapılan hesaplamalar yanlış sonuçlar verebilir. Bu bölümde, ilk olarak etkin etkin kütle kavramından bahsedilecektir. Sonra, sayısal bir hesaplama tekniği olan sonlu fark denklemleri ve Schrödinger denkleminin, bu fark denklemleriyle ifade edilecektir. Ayrıca, özdeğer problemini başlangıç değer problemine dönüştürerek çözüm yapmamızı sağlayan shooting yöntemi açıklanacak göz önüne aldığımız çok tabakalı kuantum noktasına uygulanacaktır Etkin Kütle Yaklaşımı Kristal potansiyeli etkisi altında grup halinde hareket eden elektronların sahip olduğu kütle, serbest halde iken sahip olduğu kütleden farklıdır.

46 38 Serbest olarak v hızı ile hareket eden bir elektronun kinetik enerjisi, (4.1 ve momentumu ise, (4.2 şeklinde tanımlanır. Eğer elektron, periyodik bir potansiyel içerisinde hareket ediyorsa (katılarda kristal potansiyeli, p momentumu kristal momentumu olarak adlandırılır ve elektronun serbest durumuna karşılık gelen momentumundan farklıdır. Elektronun içerisinde hareket ettiği kristal potansiyeli k dalga vektörüne bağlı olduğundan, p kristal momentumu da k ya bağlı olacaktır. Periyodik bir örgüde hareket eden bir elektrona dışarıdan bir F uy kuvveti uygulanacak olursa, elektronun hareket denklemi, (4.3 şeklinde yazılabilir. Burada F örgü, kristal potansiyeli ile elektronun etkileşmesi sonucu örgü atomları tarafından elektrona uygulanan net kuvvettir. Buna göre, bu iç kuvveti de içerecek şekilde bir etkin kuvvet tanımlanabilir veya daha uygun bir şekilde, bir F dış kuvveti uygulandığında elektronun bu kuvvet altındaki hareketini, iç kuvvetlerin etkisini de içerecek biçimde tek bir ifade ile; (4.4 şeklinde tanımlamak mümkündür. Burada gösterilen m * niceliği etkin kütle olarak adlandırılır ve elektronun üzerine etkiyen iç kuvvetlerin etkisini de içerir (Harrison 1999, Davies 1999, Mitin ve ark Bir kristal içerisindeki elektronun etkin kütlesi;

47 39 (4.5 ifadesinden belirlenir. Bir yarıiletken kuantum noktası içerisindeki elektron için zamandan bağımsız Schrödinger denklemi; (4.6 şeklinde olur ve bu, etkin kütle yaklaşımı olarak bilinir. Enerji özdeğerleri ise; (4.7 ifadesiyle verilir (Harrison Sonlu Farklar Yöntemi Bildiğimiz gibi ileri fizik çalışmalarında karşılaşılan birçok problemi çözmek, çoğu zaman zor ve karmaşık olabilir ya da bilinen analitik yöntemlerle çözmek mümkün olmayabilir. Bir kuantum mekaniksel sistem için karşılaşılan problem, herhangi bir potansiyelde, dalga fonksiyonlarını ve enerji özdeğerlerinin çözümü için nümerik bir metot bulmaktır. Bu amaçla, sonlu farklar denklemlerinden faydalanılarak Schrödinger denkleminin çözümüne gidilir. Genel bir düşünceyle ve basit bir biçimde zamandan bağımsız Schrödinger denklemiyle işe başlayacak olursak; (4.8 Burada, bir boyuttaki potansiyel ve, etkin kütle yaklaşımında parçacığı temsil eden dalga fonksiyonunu göstermektedir. Böylece bu denklem,

48 40 [ ] (4.9 şeklinde yazılabilir. Şimdi karşılaşılan sorun, herhangi bir özdeğerleri olan E yi ve özfonksiyonlarını bulmaktır. potansiyeli için, enerji Şekil 4.1. Herhangi bir fonksiyona ait birinci türev Bu amaçla, sonlu farklar denklemlerinde ikinci derece türevden yararlanılarak denklem çözülmeye çalışılır (Harrison, Şekil 4.1 de, herhangi bir fonksiyona ait birinci derece türev şematik olarak verilmiştir. Buradan görüleceği gibi birinci derece türev ifadesi; (4.10 olarak belirlenir ve buradaki amaca uygun şekilde bu ifade, (4.11 biçiminde verilmektedir. İkinci dereceden türev ifadesi ise, * + * + (4.12