PASTERNAK ZEMİNİNE OTURAN TIMOSHENKO KİRİŞİNİN DEĞİŞKEN HIZLI VE ŞİDDETİ ZAMANLA ARTAN TEKİL YÜK ALTINDA DİNAMİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ

Transkript

1 PASTERNAK ZEMİNİNE OTURAN TIMOSHENKO KİRİŞİNİN DEĞİŞKEN HIZLI VE ŞİDDETİ ZAMANLA ARTAN TEKİL YÜK ALTINDA DİNAMİK DAVRANIŞININ İNCELENMESİ Oan ÇELİK*, İbrahim BAKIRTAŞ* *İtanbul Teknik Üniveritei, İnşaat Fakültei,İnşaat Mühendiliği Bölümü, Malak- İtanbul 1. Giriş Elatik eminlere oturan kirişlerin titreşim, burkulma ve eğilme problemleri pek çok araştırmacı tarafından incelenmiş bir konudur. Bu araştırmaların temel nedeni demiryolu, yapı temelleri için pratik yaşamda karşılaşılabilecek öel bir takım problemlere cevap aramak olmuştur. Achenbach ve Sun [1], onu uunlukta bir kirişin üerinde abit hılı hareket eden tekil yük altında davranışını incelemiştir. Chen, Huang ve diğ. [4] harmonik hareketli yük altında vikoelatik emine oturan Timohenko kirişinin dinamik rijitlik matriini harmonik yükün hıı ve uyarılma frekanına bağlı bir fonkiyon olarak tanımlamışlardır. Sun [1], vikoelatik emine oturan bir kirişin hareketli tekil yük altında davranışını incelemiştir. Çöüm yöntemi olarak Fourier dönüşümü kullanılmış ve çöümün Green fonkiyonu elde edilmiştir. Kargarnovin, Youneian ve diğ. [8], nonlineer vikoelatik emine oturan hareketli harmonik yük altında onu kirişleri incelemişlerdir. Bu amaçla problemi ifade eden denklemler karmaşık Fourier dönüşümleri ile birlikte pertürbayon metodu kullanılarak çöülmüştür. Mallik, Chandra ve diğ. [9], bir ve iki parametreli elatik emin üerindeki üniform onu bir kirişin amandan bağımı davranışını incelemişlerdir. Çöüm için Fourier dönüşüm yöntemleri kullanılmıştır. Kien [10], iki parametreli elatik emin üerine kımi yada tamamen oturan öngerilmeli Timohenko kirişinin dinamik davranışını onlu elemanlar yöntemiyle incelemiştir. Chang-yong ve Yang [3], Paternak eminine oturan Bernoulli varayımına dayanan elatik kirişin hareketli tekil yük altındaki davranışını incelemişlerdir. Çöüm yöntemi olarak çift katlı (hılı) Fourier dönüşümü ve ter dönüşümü metodunu kullanmışlardır. Arboleda-Monalve, Zapata Medina ve diğ. [], iki parametreli elatik emin üerinde genelleştirilmiş ınır koşullarına ahip onlu bir Timohenko kirişi için yük vektörü ve dinamik rijitlik matriini tanımlamışlardır. 1

2 . Problemin Yönetici Denklemi Şekil 1 : Paternak emini üerinde hareketli tekil yük Paternak emini üerinde yer alan bir Timohenko kirişi için dinamik yönetici denklem: 4 4 Gp wxt (,) m wxt (,) kb Gp wxt (,) m wxt (,) 1 4 GA x GA x t GA EI x EI t kb 1 1 q ( x, t) wxt (, ) q xt, EI EI GA x (1) Burada G kayma modülü, A keit alanı, ortalama gerilme çarpanı, m birim boy keit kütlei, EI eğilme rijitliği olarak tanımlanmaktadır. Ayrıca yükleme: q ( x, t) q( x, t) kbw( x, t) G p wxt (, ) bağıntıı ile verilir. () bağıntıında yer alan k uama ve ve N. N. Leontiev tarafından: E k H (1 )(1 ) EH Gp 6(1 ) bağıntıları ile verilmiştir. katman yükekliğidir. x () G kayma rijidlikleri, V. Z. Vlaov p E emin Young modülü, emin Poion oranı ve H emin Kiriş üerinde tekil yüklemeyi ifade etmek için mekanikte tekil yüklemeler için oldukça yaygın olarak kullanılabilen ve ö konuu problem için yeter düeyde kullanışlı olan Dirac delta fonkiyonu kullanılmaktadır. 4 4 Gp wxt (,) m wxt (,) kb Gp wxt (,) m wxt (,) 1 4 GA x GA x t GA EI x EI t kb P t P t ( x ( t)) wxt (, ) ( xt ( )) EI EI T GA T x (4) (3)

3 Şekil 1 de tekilliğin konumunu belirtmek adına kullanılan t () fonkiyonu P tekil kuvvetinin kiriş üerinde amana bağlı konumu(x=0' dan uaklığını) belirtmektedir; 1 t () 0 vt at (5) Bunun yanında problemin öel bir diğer koşulu da hareket eden tekil kuvvetin şiddetinin artıyor olmaıdır. Pt () kuvvetinin şiddeti; t Pt () P T (6) denklemine uygun olarak amanla artmaktadır. Burada t parametrei yüklemenin kiriş üerinde kaldığı üreyi tanımlarken T ie itenilen şekilde eçilebilmektedir. 3. Çöüm Çöüm için uygulanacak onlu Fourier dönüşümünün hangi tipte olduğuna karar vermek için ınır koşullarını değerlendirmek yeterli olacaktır. Sonlu kirişin ınır koşulları iki ucu mafallı abit menet olarak düşünülüre kiriş eneklik eğriinin bir tek fonkiyon şeklinde davranacağı gö önünde bulundurulabilir. Bu halde çöüme uygun bir yöntem olarak onlu Fourier inü dönüşümü eçilebilir. Gerekli tüm dönüşümlerin yapılmaının ardından on formda adi türevli denkleme indirgenmiş ifade aşağıdaki gibi yaılabilir. w ( n, t) t n () t w (, ) in n t t T L (7) Problemin çöümü için ikinci derece adi türevli denkleme iki adet başlangıç koşulu tanımlanmaı gerekecektir. Dinamik davranış göterecek kirişin başlangıçta şeklinin dü ve hıının ıfır olduğu kabul edilerek; wx (,0) 0 wx (,0) 0 t şeklinde başlangıç koşulları belirlenmiştir. Belirlenen bu başlangıç koşullarına onlu Fourier inü dönüşümü uygulanıra: w ( n,0) 0 w ( n,0) 0 t (9) elde edilir. Sonlu Fourier inü dönüşümü uygulanarak bayağı türevli denkleme indirgenen yönetici denklem (9) başlangıç koşulları kullanılarak çöülecektir. Buradan elde edilecek fonkiyona ie ter Fourier dönüşümü uygulanarak dinamik davranış göteren kirişimiin çökme fonkiyonu bulunmuş olacaktır: n x wxt (, ) w ( nt, )in L n1 L (6) (8) (10) 3

4 4. Sayıal Örnek ve Analiler Çöüm fonkiyonunun elde edilmeinin ardından onuçları anali etmek için gerçek bir demiryolu profili (UIC 60) üerinden parametrik bir çalışma unulacaktır. Hareketli yükün etkiindeki Timohenko kirişinin verilen fiiki koşullar altında yapacağı yer değiştirmeler incelenecektir. Verilen onuçlarda okunmaı gereken büyüklüklerin birimleri yer değiştirme için metre, aman için aniye ve konum için yine metredir. 5. Kaynaklar Şekil : Hareketli yükün etkiindeki Timohenko kirişinin yer değiştirmeleri [1] Achenbach, J.D., Sun, C.T., Moving Load On A Flexibly Supported Timohenko Beam, Int. J. Solid Structure, 1965, Vol. 1, pp. 353 to 370. Pergamon Pre Ltd. []Arboleda-Monalve, L. G., Zapata-Medina, D.G., Aritiabal-Ochoa, J.D., Timohenko beam-column with generalied end condition on elatic foundation: Dynamic-tiffne matrix and load vector, Journal of Sound and Vibration, 310 (008) [3] CAO Chang-yong, ZHONG Yang, Dynamic repone of a beam on a Paternak foundation and under a moving load [J]. J Chongqing Univ: Eng Ed [ISSN ], 008, 7(4): [4] Chen, Y.-H., Huang, Y.-H., ve Shih, C.-T., Repone Of An Infinite Timohenko Beam On A Vicoelatic Foundation To A Harmonic Moving Load, Journal of Sound and Vibration, (001) 41(5), [5] Friba, L., Vibration of Solid and Structure Under Moving Load, ASCE Pre, 197, USA, ISBN: [6] Gradhteyn, I.S., Ryhik, I.M., Table of Integral, Serie, and Product, Academic Pre, 1965 [7] Hayır, A., Dynamic Behavior Of An Elatic Beam On A Winkler Foundation Under A Moving Load. Fifth International Conference on Recent Advance in Geotechnical Earthquake Engineering and Soil Dynamic and Sympoium in Honor of Profeor I.M. Idri,San Diego, California, May 4-9, 010. [8] Kargarnovin, M. H., Youneian, D. ve diğ., Repone of beam on nonlinear vicoelatic foundation to harmonic moving load, Computer and Structure, 83 (005) Orlando, Florida, USA, April [9] Mallik, A.K., Chandra, S., B. Singh, A., Steady-tate repone of an elatically upported infinite beam to a moving load, Journal of Sound and Vibration, 91 (006)

5 [10] Nguyen, D. K., Dynamic Repone of Pretreed Timohenko Beam Reting On Two- Parameter Foundation to Moving Harmonic Load, Techniche Mechanik, Band 8, Heft 3-4, (008), [11] Sun, L., Dynamic diplacement repone of beam-type tructure to moving line load, International Journal of Solid and Structure, 38 (001) [1] Sun, L., A cloed-form olution of beam on vicoelatic ubgrade ubjected to moving load, Computer and Structure, 80 (00) 1-8 [13] Url-1 < alındığı tarih