Gruplanmış serilerde standart sapma hesabı

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Gruplanmış serilerde standart sapma hesabı"

Esen Erdem
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Gruplanmış serilerde standart sapma hesabı Örnek: Verilen gruplanmış serinin standart sapmasını bulunuz? Sınıflar f i X X X m i f i. m i m i - (m i - ) f i.(m i - ) 0 den az 3 4 den az dan az den az Σf ,65 6,891 0, ,65 0,391, ,375 1,891 7, ,375 11,391, ,756 fi.mi 58 X = 3, 65 N 16 1

2 fi ( i m X) 53, = 3,36 1, 83 N ' S = 1,83 3,01 1,

3 Sınıflar f i 0 den az 4 den az dan az den az 5 Σf 16 X X X m i f i. m i m i - (m i - ) f i.(m i ) X = fi.m N fi i ( i m X) = 3,5 1, 87 N 3

4 Düzeltilmiş standart sapma S ' = 1,87 3,3 1,

5 Standart sapma hesabında. yöntem: Basit, frekans ve gruplanmış bütün seriler için kolay yoldan standart sapma hesabı için uygun olan bu formül öncelikle kareli ve aritmetik ortalamaların hesaplanmasını gerektirir. Gruplanmış seriler için bu yolla bulunan standart sapmada da düzeltme yapılması zorunludur. K X K: Kareli Ortalama X : Aritmetik Ortalama 5

6 Basit Seri X i X i X = Σf 306 K X N İ , 14 K X = 7, , 87 6

7 Frekans Serisi X i f i f i. X i X i f i. X i Σf fi.xi 14 X 6, fi 0 K fi.x fi i , 3 6, 73 K X ,, 45, 3 38, 4 6, 9, 6 7

8 Gruplanmış Seri Sınıflar f i m i m i f i. m i 0 den az 3 4 den az dan az den az Σf fi. mi 58 X = fi 16 K fi. m fi i , 5 4, 06 8

9 K X 4, 06 3, 65 16, 5 131, 3, 4 1, 83 S ' = 1, 83 3, 03 1,

10 Aritmetik Ortalama ve Standart Sapma Hesabında Kısa Yol: X X fi. d N i o. X o : Grup orta noktası değerleri içerisinden seçilen keyfi nokta (orijin orta değeri). d i : Grup orta değerlerinden seçilen keyfi noktadan farklarının grup aralığına bölümü [ d=x i X o / s ]. s : Sınıf aralığı. Standart sapmanın çalışma orijininden faydalanılarak hesaplanması sık kullanılan kısa ve kolay bir metottur. Frekans dağılım tablosunun ortalarında yer alan ve tercihen en fazla frekansa sahip bir sınıf başlangıç (orijin) olarak alınır. Orijin olarak seçilen sınıfa sıfır değeri verilir ve orijinden uzaklığa göre sınıflar -1, -, -3, ve +1, +, +3,.. değerlerini alır. Bu değerler (d) ile gösterilir. s Standart Sapma ( = n = Σf i S. S s. f i. d i ( fi. d n 1 i ) / n 10

11 Örnek: Döküm makinası ön flanş sıcaklığı ölçülmüş ve 100 adet veri elde edilmiştir. Standart sapmayı bulunuz? Sınıflar fi

12 Sınıflar f i d i d i.f i d i.f i Toplam

13 Ortalama sıcaklık değeri: X fidi 8 X o. s x N 100 o C Örneklemin Standart Sapması: S s. fi. di ( fi. di) n 1 / n ( 8) 99 / o 8.5 C Anakütlenin Standart Sapması: 5x.87 o 8.47 Ödev : Kısa yoldan çözülen örneği diğer iki yöntemle çözünüz? C 13

14 Örnek: Bir fabrikada üretilen cam eşyadan alınan 194 parçalık örneğin ısıya dayanıklılık ölçümlerinin dağılımları tablodaki gibidir. Dağılımdaki gözlemlerin yüzde kaçının ±1 σ içinde olduğunu hesaplayınız? ısı sınıfları f i m i 90-9 den az den az dan az den az den az den az den az dan az den az dan az 109 Toplam

15 fi. X = / 194 = m fi Standart sapma ( = 3.94 i ( 1 içine giren kısım ve * * /194= %67.47 Gözlemlerin %67.47 si 1 st.sapma içine giriyor den az den az den az den az 1 15

16 Örnek: 74 kişilik bir sınıfta yaşlara göre dağılım aşağıda verilmiştir. Standart sapmayı hesaplayınız. x Serinin standart sapması 1 yaştan daha azdır (0.97). 16

17 Örnek: sınıflar frekans(f i ) m i (m i - ) f i. (m i - ) x x 0 - den az 3 1 6,891 0,673-4 den az 7 3 0,391, dan az 4 5 1,891 7, den az 7 11,391, ,756 x aritmetik ortalama = / ' S 1, 83 3, 03 1,

18 Örnek: Bir grup öğrencinin matematik dersinden aldıkları puanlar verilmiştir. Dağılımın standart sapmasını hesaplayınız? n=30 Σx=1400 x=46,66 Σx²=7550 S= ,33 = ,67 SSx 341,95 9 = SSx 18, 49 18

19 3.Varyans ( ) Standart sapmanın karesine varyans denir. Anakütle için: Xi N X Örneklem için: Xi X S N 1 19

20 Örnek: 0

21 Örnek: Verilen serinin standart sapmasını ve varyansını hesaplayınız. 1

23 4. Değişim Katsayısı (D.K. ) Oransal değişkenlik ölçüsü niteliğindeki değişim katsayısı herhangi bir serinin standart sapmasının aritmetik ortalamasına bölünmesi ve 100 ile çarpılması ile elde edilir. Formülde standart sapma aritmetik ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilmektedir. Diğer bir ifadeyle oransal olmayan değişkenlik ölçülerinin aksine değişim katsayısının ölçü birimi yoktur. Basit, frekans ve gruplanmış bütün seriler için uygun olan bu ölçü; seriler arasındaki cins ve büyüklük farklılığını ortadan kaldırmaktadır. Değişim katsayısı genelde 0 ile 100 arasında değerler alır. Katsayı 0 a yaklaştıkça değişkenlik azalmakta, 100 e yaklaştıkça değişkenlik artmaktadır. Katsayı 100 den büyük çıkarsa standart sapmanın aritmetik ortalamadan büyük çıkması durumu olup; dağılımın fazla olduğunu yani heterojenliğin fazlalığını belirtmektedir. D.K..100 X 3

24 Standart sapma dağılımın yaygınlığını gösteren bir ölçüdür ancak standart sapma ile dağılım hakkında çok fazla bir şey söylemek olanaksızdır. Örneğin; bir dağılımın standart sapması 6 ise bu değer büyük müdür yoksa küçük müdür? Bir karar verebilmek için değişim katsayısını hesaplamak gerekir. Değişim katsayısı, standart sapmanın ortalamaya göre yüzde kaçlık bir değişim gösterdiğini belirtir. 4

y Örnek: x serisi için, A. Ortalama = 13 ve σ x =.7386 y serisi için, A. Ortalama = 57 ve σ y = 11.9373 Görüleceği gibi, σ y > σ x dir.

25 y Örnek: x serisi için, A. Ortalama = 13 ve σ x =.7386 y serisi için, A. Ortalama = 57 ve σ y = Görüleceği gibi, σ y > σ x dir. Ancak bu sonuç, y serisindeki gözlem değerlerinin x serisine göre daha büyük olmasından kaynaklanmış olabilir. Eğer, sadece standart sapmalarla bu iki seri karşılaştırılırsa, y serisindeki değişkenliğin x serisine göre daha büyük olduğu ifade edilecektir. Eğer karşılaştırılan serilerin standart sapmaları ilişkin oldukları serilerin ortalama değerinin bir yüzdesi olarak ifade edilirse, karşılaştırmalarda ölçü birimlerindeki farklılıklar ve gözlem değerlerinin büyüklüğünden oluşan sakıncalar, giderilebilir. Bu yaklaşımla hesaplanan değişkenlik ölçüsüne, değişim katsayısı adı verilir ve kısaca «D.K.» ile gösterilir. 5

26 D. K..100 X 6

İsteği riski az olan yatırımı seçebilmektir.

27 Örnek: Büyük anneniz yapacağı yatırım için sizden yardım istemektedir. İki alternatif yatırımdan birini seçmek konusunda kararsız kalmıştır. İsteği riski az olan yatırımı seçebilmektir. Her iki alternatifin geçmiş dönem getirileri şu şekilde gerçekleşmiştir: A Yatırımı : {103/110/115/105/95/15/145} B Yatırımı : {4/1/17/3/5/8/16} 7

28 -gözlemlerin büyüklüğünün standart sapmayı etkilediği biliniyor veya öyle düşünülüyorsa, -gözlemler farklı ölçü birimi ile ifade edilmişlerse, standart sapma yeterli bir değişim ölçüsü olmayıp yanıltıcı sonuçlara neden olabilir. İşte bu gibi durumlarda, yani gözlem değerlerinin büyüklüğünden ileri gelen farklılığı ortadan kaldırmak hem de farklı ölçü birimi ile ifade edilmiş gözlem değerlerini karşılaştırılabilir duruma getirmek için yeni bir değişim ölçüsü kullanılması gerekmektedir. Bu da «varyasyon katsayısı» (değişim katsayısı) olup bu, standart sapmanın ortalamaya oranının yüzle çarpılmasıyla bulunur ve yüzde ile ifade olunur. 8

29 Varyasyon (değişim) katsayısı ne kadar küçük olursa denemenin veya çalışmanın sonucuna olan güvenilirlik o oranda artar. Yalnız biyolojik çalışmalarda bu değerin % 30 un altında olması istenir. Aynı konuda yapılan çalışmalardan hangisinin sonucuna daha çok güvenmemiz hususunda karar vermede yardımcı olan tek kriter varyasyon (değişim) katsayısıdır. Düşük varyasyon katsayılı çalışma, diğerlerine nispetle daha sağlıklı yürütülmüş demektir. 9

30 30

31 Örnek: A işletmesinin 003 yılı aylık satışlarının ortalaması 108. bin TL ve standart sapması 19.7 bin TL dir. Aynı malı satan B işletmesinin ise aynı yıl için aylık satışlarının ortalamasının 465 adet ve standart sapmasının 38.4 adet olduğu belirlenmiştir. Bu dağılımları karşılaştırınız A D. K..100 x100 A X 108. A B 38.4 D. KB..100 x100 X 465 B %18.0 %8.5 (B) işletmesinde (A) işletmesine göre aritmetik ortalama etrafında daha yoğun bir dağılım olduğu görülmektedir. 31

32 Örnek: X =8 ve varyans 9 ise değişim katsayısını hesaplayınız. D.K X 8 = %37,5 Örnek: Verilen basit serilerin değişim aralığını, ortalama sapmasını, standart sapmasını, varyansını ve değişim katsayılarını hesaplayarak sonuçları karşılaştırınız. X i y i

33 33

Benzer belgeler

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek,

8.Hafta. Değişkenlik Ölçüleri. Öğr.Gör.Muhsin ÇELİK. Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, İSTATİSTİK 8.Hafta Değişkenlik Ölçüleri Hedefler Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Uygun değişkenlik ölçüsünü hesaplayıp yorumlayabilecek, Serilerin birbirlerine değişkenliklerini yorumlayabileceksiniz. 2