Anahtar Kelimeler: Newton, En-dik iniș, Eșlenik Gradyen, Gauss-Newton ve Sönümlü En-küçük Kareler Ters-çözüm Yöntemleri, Tikhonov Düzgünleștiricisi.

Transkript

1 ÜREV ABANLI PARAMERE KESİRİM YÖNEMLERİ (DERIVAIVE BASED PARAMEER ESIMAION MEHODS) Ahmet uğrul BAȘOKUR Ankara Ünverstes Mühendslk Fakültes Jeofzk Müh. Bölümü, andoğankampusu, 61 Ankara ÖZE ers-çözüm kuramında çözüme karșılık gelen yanılgı enerjs değer, ön-kestrm parametrelernden çözüm cvarında aylor açılımı le kestrleblr. Böylece, yanılgı enerjs Hessan dzey ve gradyen yöney le temsl edleblr. Kare ve smetrk Hessan dzey yanılgı enerjsnn ön-kestrm parametrelerne göre knc, gradyen yöney se brnc türevlern kapsar. Hessan ve gradyen sırası le eğrsellk ve eğm blglern temsl ederler. Parametre kestrm problemlernde, Hessan ve gradyen model yanıtı cnsnden tanımlanmalıdır. Hessan A A ve Q dzeylernn toplamları le verlr. A dzeynn sütunları ön-kestrm parametrelerne göre model yanıtın türevlern kapsar ve Jacoban dzey olarak adlandırılır. Q dzey se ön-kestrm parametrelerne göre model yanıtın knc türevlern kapsar ve doğrusal problemler çn sıfırdır. Gradyen yöney se Jacoban dzeynn dönüğü le ver farkları dzeynn çarpımına eșttr. Parametre düzeltme yöney se Hessan dzeynn ters le gradyen dzeynn çarpımından elde edleblr. Bu șlem Newton ters-çözüm yöntem olarak adlandırılır ve brkaç yneleme le çözüme ulașmayı amaçlar. Ancak, ön-kestrm çözüme oldukça yakınsa ve problem çözüm cvarında doğrusallaștırmakta se yakınsama elde etmek olanaklıdır. Dğer durumlarda, algortmanın duraylılığını sağlamak amacı le Hessan veya sadece Q çn br yaklașımda bulunmak gerekeblr. Bu makale Hessan dzey çn yapılan yaklașımlar ıșığında çeștl türev tabanlı parametre kestrm yöntemlern tartıșmaktadır. Anahtar Kelmeler: Newton, En-dk nș, Eșlenk Gradyen, Gauss-Newton ve Sönümlü En-küçük Kareler ers-çözüm Yöntemler, khonov Düzgünleștrcs. ABSRAC In the nverson theory, an estmate for the error energy that corresponds to the soluton of the problem can be made by a aylor expanson for an ntal parameter set n the neghbourhood of the soluton. hs provdes the representaton of the error energy n terms of Hessan matrx and the gradent vector. he square and symmetrc Hessan matrx contans the second dervatves whle the gradent vector conssts of the dervatves of the error energy wth respect to ntal guess parameters. he Hessan and gradent matrces represent the curvature and gradent nformaton, respectvely. In the parameter estmaton problems the Hessan and gradent matrces should be defned n terms of the theoretcal model responses. he Hessan can be gven by the sum of A A and Q matrces. A s a matrx whose columns contans the dervatve of model response wth respect to ntal guess parameters and s referred to as the Jacoban matrx. Q conssts of the second dervatves of the model responses wth respect to the ntal guess parameters and becomes equal to 1

2 zero for the lnear problems. he gradent vector equals to the multplcaton of transpose of the Jacoban by the data dfferences vector. hen the parameter correcton vector s calculated by the multplcaton of the nverse of Hessan matrx wth the gradent vector. hs process s referred as the Newton nverson method. It requres a few numbers of teratons to reach the mnmum of the error energy functon. However, ths s only possble f the ntal guess s close to the soluton and provdes a lnearzed problem around the mnmum of the error energy. For other cases, an approxmaton for the Hessan or only for Q s made to obtan stable nverson steps. hs paper dscusses a varety of dervatve based parameter estmaton methods n vew of approxmatons made for the representaton of Hessan matrx. Key Words: Newton, Steepest-descent, Conjugate gradent, Gauss-Newton and Damped least-squares nverson methods, khonov Stablzer. 1. ERS-ÇÖZÜM İȘLEMİNİN ANIMI Gözlem veya deneylern amacı br sstem veya sürecn özellklern tanımlamaktır. Sstem veya sürecn özellkler br matematk model le betmlenmeye çalıșılır. Bu matematk model tanımlayan bağıntıda kullanılan ve sstemn yapısını belrleyen sabtler parametre ve bunların sınıflandırılması, anlamlandırılması ve sayılarının saptanması parametreleștrme olarak adlandırılır. Parametreler doğrudan ölçüleblen büyüklükler değldr. Ölçüleblen bașka büyüklüklerden, hesap yolu le saptanmaya çalıșılır. Örneğn, br depremn odak dernlğ doğrudan ölçüleblr br büyüklük değldr. Ancak, çeștl kayıt stasyonlarında ölçülmüș deprem versnden hesaplanablr. Yerblmlernde parametreleștrme, yeraltının sonlu sayıda brme bölünmes le gerçekleștrlr. Bu brmlern geometrsn ve fzksel özellklern betmleyen k tür parametre vardır. Farklı her jeolojk brmn yeraltındak konum ve bçmn tanımlayan kalınlık, genșlk gb uzaysal değșkenler geometrk parametreler olușturur. Fzksel parametreler se ölçülen alanın değșmne neden olan yoğunluk, özdrenç gb özellklerdr. Ver ve parametreler brbrne bağlayan matematk bağıntı düz çözüm (forward soluton) olarak adlandırılır ve modeln belrl br fzksel durumu çn deneysel gözlemler betmleyerek, ver ve parametreler arasındak lșky verr. Kuramsal ver veya model yanıtı (model response), parametrelere atanan bazı sayısal değerler yardımı le çeștl değșken değerler çn düz çözümden hesaplanan sayısal verdr ve parametreler le değșkenlern br fonksyonudur. Ver ve parametreler arasında dzey (matrx) denklemler le fade edleblen br lșk yok se parametreler doğrudan çözülemezler. Bu durumda, parametrelern hesabı çn dolaylı br yol zlenr. Önceden belrlenen br ölçüt çerçevesnde, ölçülen ver le çakıșma sağlayan br kuramsal ver kümes bulunmaya çalıșılır. Çakıșma sağlayan kuramsal vernn hesaplanmasında kullanılan parametrelern problemn br çözümü olduğu düșünülür. Ölçülen verye çakıșan kuramsal ver kümesnn aranması șlem se parametre kestrm (parameter estmaton) veya ters-çözüm (nverson) olarak adlandırılır.

3 . ERS-ÇÖZÜM İȘLEMİNİN YÜRÜÜLMESİ ers-çözüm șlem, parametrelernn sayısal değerler çn br ön-kestrm değernn yorumcu tarafından sağlanması le bașlar. Bu ön-kestrme karșılık gelen kuramsal ver hesaplanarak, ölçülen ver le karșılaștırılır. Eğer yeterl çakıșma elde edlememș se ölçülen ve kuramsal ver arasındak farkları azaltmak çn parametreler yenlenr ve șlem durdurma ölçütlernn sağlanmasına kadar devam eder (Șekl 1). ersçözüm șlemnn amacı, ölçülen ve kuramsal ver kümelernn çakıșmalarının sağlanmasıdır ve bu șlem çakıșmazlığın (msft) enküçüklenmes le denetlenr. Çakıșmazlık veya dğer adı le yanılgı enerjs (error energy), değșkenn her değernde ver farklarının mutlak değernn herhang br dereceden kuvvetn hesaplamak ve bunları toplamak le elde edleblr: n n L L L = = = 1 = 1. (1) E ( p) (d f( x ; p) e Burada; n; ver sayısı, p; parametreler, d ; ölçü ve x ; değșken değerler, f(x ; p) kuramsal verdr. e ; nc yatay eksen değerndek ölçülen ve kuramsal ver arasındak fark e = d - f(x ; p) ve L br tam sayıdır ve br problemn çözümü sırasında sabt olarak alınmalıdır. Çünkü sabt br L değer çn çakıșma ölçütü sadece parametre değerlerne bağımlı ve dolayısı le sadece parametrelern br fonksyonu olacaktır. En yaygın kullanılan L değer kdr ve bu durumda yöntem en-küçük kareler adını alır. Parametre değerler, gerçeğe ne kadar yakın se yanılgı enerjs de o kadar küçük olacağından, ters-çözüm șlem de yanılgı enerjs fonksyonunu enküçükleyen parametre kümesnn bulunmasına ndrgenmș olur (Bașokur, ). Model Düz Çözüm Kuramsal Ver Ölçülen Ver fzksel ve geometrk parametreler matematk bağıntı k ver kümesn karșılaștır parametre (ön-kestrm) ve değșkenn değerler model parametrelern değștr hayır durdurma ölçütler sağlandı mı? evet sonuçları yaz Șekl 1. ers-çözüm șlemnn yalınlaștırılmıș akıș șeması. 3

4 3. NEWON ERS-ÇÖZÜM YÖNEMİ Parametreler blnmedğnden (1) bağıntısı le verlen E(p) enerj yanılgısının değernn de blnmes olanaklı değldr. Ancak, ön-kestrm parametrelernden hesaplanablen E(p ) değernden yararlanılarak, çözüm parametrelerne karșılık gelen E(p) değerler kestrleblr. Șekl de, k parametrel br problem çn yatay ve düșey eksenler sırası le brnc ve knc parametrey göstermek üzere, herhang br parametre çftne karșılık gelen yanılgı enerjs değerlernden eș enerj çzgler çzlerek elde edlen harta görüntülenmștr. Bu harta anlatım amacı le hesaplanmıș ve görüntülenmș olup, parametre kestrm problemnde önceden blnemez. Çözüm parametreler en küçük yanılgı enerjs üreteceğnden, E(p) noktası yanılgı enerjs hartasının mnmumundadır. Newton ters-çözüm yöntemnn amacı, E(p ) noktasından çözüm parametrelerne karșılık gelen E(p) mnmumuna tek adımda ulașmaktır. E(p) değer, ön-kestrm parametrelernn çözüm parametrelerne yakın olduğu varsayımı le E(p ) değernden aylor açılımı le elde edleblr. Bu varsayım, doğrusal olmayan problemlern, çözüm cvarında doğrusal davranıș göstermes durumunda geçerldr. Üçüncü ve daha yüksek derecel türevler hmal edlr se zleyen açılım yazılablr: ( ) m E ( p m m ) ( ) ( j j ) 1 E p ( j j )( k k ). () E(p) = E p + p - p + p - p p - p p p p j=1 j j=1 k=1 j k Dzeyler ve yöneyler (vectors) kalın harfler le gösterlmek üzere, m adet parametre çn zleyen tanım le E( p ) / p 1 E( p ) / p E = γ =. E( p ) / p m mx1 (3) () bağıntısının sağ yanındak knc toplam, = ( p ) 1xm γ mx1 1x1 j=1 j ( ) ( pj - p j ) m E p (4) p olarak yazılablr ve sonuç br adet sayısal değer üretr. Burada, γ, yanılgı enerjsnn parametrelere göre kısm türevlern ve dolayısı eğm blgsn kapsar. p, çözüm parametreler le ön-kestrm parametreler arasındak farkları kapsayan parametre düzeltme yöneydr. smges se br dzeyn dönüğünü (transpose) göstermektedr. 4

5 Șekl. Ön-kestrm ve çözüm parametrelerne karșılık gelen E(p ) (üçgen) ve E(p) (dolu kare) değerlernn yanılgı enerjs harta üzernde gösterm (ön-kestrm parametreler p =.34, p =.83 ve çözüm parametreler p 1=1, p =1). 1 Benzer olarak, mxm boyutundak zleyen kare dzeyn tanımlanması le H E( p ) E( p ) E( p ). p1 p1 p1 p p1 pm E( p ) E( p ) E( p ). = p p1 p p p pm.... E( p ) E( p ) E( p ). pm p1 pm p pm p m (5) () bağıntısının sağ yanında ön-kestrm parametrelerne göre knc türevler kapsayan term, dzey denklem olarak, ( p ) ( 1xm H mxm p) mx1 = 1x1 m m E p ( ) ( )( pj pj pk pk ) p p j = 1 k = 1 j k (6) 5

6 șeklnde yazılablr. Dzey çarpımları sonucunda br adet sayısal değer elde edlr. H dzey, Hessan dzey olarak adlandırılır ve knc türevler kapsadığından yanılgı enerjs hartasının eğrsellk blgsn çermektedr. Bu dzeyn breyler arasında h ( ) E p = h = jk kj pj pk lșks bulunduğundan, köșegene göre bakıșımlıdır. (4) ve (6) sonuçları kullanılarak, () bağıntısından, yanılgı enerjlernn farkı çn 1 E( p) = E( p ) + p γ + p H p 1 E( p) E( p ) = p γ + p H p (7) elde edlr. Eğer, ön-kestrm parametreler, gerçek parametre değerlerne yaklașır se p yöney de sıfıra yaklașır. Bu nedenle, yanılgı enerjs farklarının p yöneyne göre türevler mnmum yapılmalıdır. (7) bağıntısının türevnn sıfıra eștlenmes le Șekl 3. Newton algortması le ters-çözüm adımlarının yörünges. () ön-kestrm parametreler ve dğer rakamlar yneleme numaralarıdır. oplam 4 ynelemenn son k yneleme adımı küçüktür. (ön-kestrm değerler p =.4, p =1.43 ve çözüm parametreler p 1=, p =). 1 6

7 E( p) E( p ) 1 1 = + + γ = p γ H p p H bulunur. p br yöney olduğundan H dzey le çarpımı da br yöneydr. Satır ve sütun yöneyler brbrne eșt olduğundan, ( H p) mx1 = ( p H ) 1xm yazılablr. Buradan, ( H p) = γ mx1 mx1 elde edlr. H, mxm boyutunda kare br dzey olduğundan ters (nverse) alınablr. Yukarıdak bağıntının her k yanı soldan H dzeynn ters le çarpılır se p = H. γ = ( H. γ ) (8) -1 1 mx1 mxm mx1 mx1 yazılablr. Newton algortmasının davranıșı Șekl 3 de gösterlmștr. 4. GRADYEN VE HESSIAN DİZEYLERİNİN HESAPLANMASI (8) bağıntısı le verlen parametre düzeltme yöneyn hesaplayablmek çn gradyen ve Hessan dzeylernn elde edlmes gerekr. f( x ; p ) değerler, ön-kestrm parametrelernden hesaplanan kuramsal değerler göstermek üzere (1) bağıntısı le verlen yanılgı enerjsnn L= çn sıra numarası k olan br parametreye göre kısm türev alınır se E( p ) f( x ; p ) e p p p n n = (d f ) = e k = 1 k = 1 k (9) elde edlr. Bu bağıntının her parametre çn yazılması ve bulunan denklem sstemnn dzey çarpımları olarak düzenlenmes le gradyen yöney, = -A d γ (1) olarak tanımlanablr. Burada, d ver farkları yöney olarak adlandırılır ve nx1 boyutundak ölçülen ver yöney (d) le ön-kestrm parametrelernden hesaplanan kuramsal ver yöneynn (f) farklarını kapsar ( d =d-f) ve nx1 boyutunda br yöneydr. Jacoban dzey olarak adlandırılan nxm boyutundak A dzeynn breyler se x yatay eksenndek kuramsal vernn, j nc parametreye göre türevnden olușur: a f( x ; p ) j = p j. (11a) 7

8 Jacoban dzeynn br kolonu bütün ölçü noktalarında belrl br parametreye göre kısm türevler kapsamaktadır: A f( x 1; p ) f( x 1; p ) f( x 1; p ).. p1 p pm f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ).. p1 p pm = f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ) n n n.. p1 p p m nxm. (11b) Hessan dzeyn hesaplamak çn yanılgı enerjsnn parametrelere göre knc türevlernn hesaplanması gerekmektedr. Bu amaçla önce brnc türevler kapsayan (9) bağıntısının q numaralı parametre çn br çarpımın türev özellğnden yararlanılarak, yenden türev alınır se Hessan dzeynn h numaralı elemanı elde edlr ve k ayrı toplama ayrılablr: n E( p ) e e e hjk = = + e. (1) pj p k = 1 p j pk p j p k jq n n e e e hjk = + e = 1 pj p k = 1 pj p k. (13) (9) bağıntısından, farkların parametrelere göre türevlernn kuramsal vernn parametrelere göre türevlernn negatfne eșt olduğu görüleblr: e f = ( d f( x ; p )) = p p p j j j. Bu bağıntının, q numaralı parametreye göre br kez daha türev alınır se e f p p p p = j k j k (14) elde edlr. Bu sonuçlar, (1) bağıntısında yerne yazılır se 8

9 n n f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ) hjk = + (d f( x ; p )) = 1 pj p k = 1 pj p k, (15) Hessan dzeynn elemanlarının kuramsal vernn parametrelere göre türevlernden hesaplanableceğ görülür. Bağıntının sağ yanındak k toplam, t f( x ; p ) f( x ; p ) = (16a) n jk = 1 p j pk n f( x ; p ) q jk = (d f( x ; p )) (16b) = 1 p j p k elemanları tanımlanır se hjq = t jq + q jq yazılablr. oplamdak sıra numaraları aynı olduğundan, bu bağıntı dzey toplamı olarak verleblr (Lnes and retel, 1984): H = + Q. (17) dzeynn elemanları le Jacoban dzeynn elemanları benzerdr. Daha önce verlen (11a) bağıntısından zleyen toplam bulunablr: t n n f f jq = = aj a k = 1 pj p k = 1. Buradan dzey, n n n a1a1 a1a. a1am = 1 = 1 = 1 n n n a a1 a a. a am = = 1 = 1 = n n n ama1 ama. ama m = = = mxm (18) șeklnde gösterleblr ve dzeynn = A A (19) 9

10 bağıntısı le Jacoban dzeynden hesaplanableceğ görülür. Q dzey se (16) bağıntısından, Q= - f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ) f( x ; p ).... n n n e e. e = 1 p1 p1 = 1 p1 p = 1 p1 pm n n n e e. e = 1 p p1 = 1 p p = 1 p pm n n n f( x ; p ) f( x ; p ) f( x e e ; p ). e = 1 pm p1 = 1 pm p = 1 pm pm mxm () olarak yazılablr. Böylece, Hessan dzey, Jacoban ve Q dzeylernden yararlanılarak, H = A A + Q (1) bağıntısından hesaplanablr. Hessan dzeynn ters se -1-1 H = ( + Q) / () verleceğnden, parametre düzeltme yöney, (1) ve () bağıntılarının (8) bağıntısında yerne yazılması le = + 1 p ( Q ) A ( d-f ) (3) = ( + ) 1 p A A Q A d (4) șeklnde elde edlr. A ve Q dzeyler herhang br yneleme adımındak parametre değerlerne göre kuramsal vernn türevlernden hesaplanablr. Böylece parametre kestrm ön-kestrm değerlerne parametre düzeltme yöneynn eklenmesne ndrgenr: p = p + p. (5) Ön-kestrm değerler çözüm parametrelerne çok yakın değl se (1) bağıntısı le verlen aylor açılımı E(p) değerne br yaklașımı verr. Bu nedenle, (5) bağıntısı da gerçek parametre değerler yerne, onlara br yaklașımı verr. Yen parametre değerler ön-kestrm değerlernden daha küçük yanılgı enerjs üretr se çözüme br adım daha yaklașıldığı düșünüleblr. Bu durumda, hesaplanan parametre değerler yen br adımın ön-kestrm olarak kabul edlr ve yanılgı enerjs önceden belrlenen br değerden daha küçük olduğunda șlem durdurulur. Yen br ynelemede hesaplanacak parametre değerler, br öncek ynelemedek parametre değerlernden 1

11 r + 1 r r r r 1 r r p = p + ((A ) A + Q ) (A ).(d-f ) (6) bağıntısı le elde edleblr. Yukarıdak bağıntıda sağ taraftak dzeylern r nc adım çn verldğ ve r+1 nc parametre değerlernn hesaplanmaya çalıșıldığı blndğnden, ters-çözüm problemnn çözümü olarak daha yalın olan (3) veya (4) bağıntılarını kullanmak yeterldr. Hessan dzey yanılgı enerjs hartasının eğrsellk blgsn, gradyen yöney se eğm blgsn çermektedr. Newton yöntem bu blgler kullanarak, doğrudan yanılgı enerjs hartasının mnmumuna yönlenr (Șekl 3). Ancak, bu yönlenme Hessan dzeynn terslenmes sırasında çok büyük p değerlernn hesaplanması ve parametre uzayında büyük br adım atılarak, yanılgı enerjs hartasının mnmumundan oldukça uzakta br noktaya ulașılmasına neden olablr. Bu nokta daha büyük yanılgı enerjs üreteceğnden, algortma durdurulmak zorundadır. Newton yöntemnn dğer zayıf yanı Q dzeynn hesaplanmasındak güçlüklerdr. Parametre sayısının yüzlerle fade edlebldğ yerblm problemlernde Q dzeynn elde edlmes, çok sayıda knc türevn hesabı ve bunların toplanmasını gerektrdğnden oldukça fazla blgsayar zamanı alır. Ayrıca, sonlu-farklar yaklașımı ve benzer sayısal yöntemlerle knc türev hesabında yeterl doğruluğun sağlanması zordur. Bu nedenler le Q dzeyn () bağıntısından doğrudan hesabından kaçınılır. Bunun yerne çeștl yaklașımlar kullanılır ve böylece çeștl ters-çözüm yöntemler türetlr. 5. ÇEȘİLİ ERS ÇÖZÜM YÖNEMLERİ a. En-dk nș yöntem Bu yöntem sadece eğm blgsnden yararlanır. Ön-kestrm değerlerne karșılık gelen E(p ) konturu üzerndek br noktadan bașlayarak, yanılgı enerjs hartasında kontura dk yönde eğm așağı gdlr se yanılgı enerjs daha küçük olan br kontura erșlr. Böylelkle, çözüm yönünde br adım atılmıș olur. Bu adımın atılması le parametrelerde olușan değșklk, E(p ) değernn parametrelere göre gradyen le orantılıdır. Eğrsellk blgsn kapsayan Hessan dzeyn katkısını yok etmek çn (8) bağıntısında yerne µ sabt le çarpılmıș brm dzey yerleștrlrse en-dk nș yöntemnn parametre düzeltme yöney elde edlr: p = µ. γ. (7) Burada, γ yöney, yanılgı enerjsnn ön-kestrm parametrelerne göre kısm türevlern kapsamaktadır. Gradyen (1) bağıntısı le verldğnden yerne yazılarak, p = µ A d (8) bulunur. Burada, yanılgı enerjsnn gradyen yukarıda değnldğ gb parametre uzayında atılan adımın yönünü belrler. Șekl 4 de, çeștl ön-kestrm değerler çn 11

12 yanılgı enerjs hartası konturlarına dk yönde lerleyerek mnmuma ulașılması görüntülenmștr. Bu stratej mnmuma erșlmesn garantlemekle brlkte, yöntemn hızı adım büyüklüğüne bağlıdır. En uygun adım büyüklüğüne µ gerçel sabtnn değernn ayarlanması le br yaklașım yapılablr. Bu amaç çn parametre düzeltme yöneynn doğrultusundak en yakın mnmum noktası saptanmaya çalıșılır. Bu mnmum çn br yaklașım arantola(1987) tarafından zleyen bağıntı le verlmștr: µ = γ γ. (9) γ γ + ( A. γ ) ( A. γ ) Șekl 5 den de görülebleceğ üzere bașlangıçta büyük olan parametre düzeltme yöneynn değer mnmuma yaklaștıkça küçülmektedr. Çünkü ölçülen ve kuramsal ver arasındak farklar ve çözüm cvarında eğm değer gttkçe küçülmektedr. Bu nedenlerle yöntem mnmuma erșmek çn çok fazla sayıda yneleme gerektrr. Yöntemn dğer zayıf yanı se yanılgı enerjs hartasında dar br vad boyunca lerlemek gerektğnde zg-zag çzerek lerlemes ve bunun da așırı sayıda ynelemeye yol açmasıdır. Șekl 4. Çeștl ön-kestrm değerler (üçgenler) çn en-dk nș yöntem adımları. Herhang br adımın büyüklüğü k nokta arasında kalan değer kadardır. 1

13 Șekl 5. Parametre düzeltme yöney yünündek en yakın mnmumu bularak lerleme (1a-1b). Dar br vad boyunca zg-zag çzerek lerleme (bașlangıç nolu ön-kestrm). b. Eșlenk Gradyen Yöntem Bu yöntemde parametre düzeltme yöneynn doğrultusu br öncek ynelemedek doğrultuya Hessan dzey uzayında dkgen (orthogonal) olacak șeklde seçlr. Yneleme șlem zleyen bağıntı le yürütülür: r 1 r r p + = p + µ Φ. (3) Burada, Φ ; ardıșık adımlar arasında dkgen olma koșulunu sağlayan arama doğrultusu (search drecton) yöneydr. µ gerçel sayısı adım büyüklüğüdür ve en-dk nș yöntemnde olduğu gb arama doğrultusundak en yakın mnmuma erșm sağlamayı amaçlar: γ γ µ = Φ Φ + ( A. Φ ) ( A. Φ ). Ardıșık k ynelemeye at arama doğrultusu yöneynn H uzayında dkgen olma koșulu, r r 1 ( Φ ) H Φ = Φ Φ (3) 13

14 le verlr. Gradyen yöney ve bu koșulun gerçekleșmesn sağlayan br α katsayısı yardımı le herhang br ynelemeye at arama doğrultusu, r r Φ = γ + α. r 1 Φ (33) 1 bağıntısı le verleblr. Bașlangıç çn br Φ yöney tanımlı olmadığından, yöntemn lk adımı en-dk nș yöntem le gerçekleștrlr. Bu durumda, lk arama doğrultusu yöney, gradyen yöneyne eșt alınır ( Φ = γ ). Dğer adımlar çn (33) bağıntısı kullanılır. α katsayısı çn br yaklașım veren çeștl bağıntılar gelștrlmștr. Bunlardan, Polak-Rbere bağıntısı, r r r 1 r r r r 1 ( γ ) γ ( γ ) γ ( ) α = = γ γ γ r 1 r 1 r 1 r 1 ( γ ) γ ( γ ) γ (34) ve așağıda verlen Fletcher-Reeves bağıntısı, r r ( γ ) γ α = ( γ ) γ r 1 r 1 (35) en yaygın kullanılan bağıntılardır. Polak-Rbere bağıntısı hızlı br șeklde yakınsamayı sağlar. Fletcher-Reeves bağıntısının hesaplanması braz daha az zaman gerektrmekle brlkte, sadece çözüm cvarında verlmș ön-kestrm değerler çn yakınsama sağlayablr. Șekl 6 da k parametrel br probleme at yanılgı enerjs hartasında eșlenk gradyen yöntem le mnmuma erșlmes gösterlmștr. Her yneleme adımı, br öncek adıma göre dkgen olma koșulunu sağlamaktadır. Arama doğrultusunun dkgen olma koșulu H uzayı çn verldğnden, yanılgı enerjs hartasının konturları elptk durumdan küresel duruma getrldğnde brbrne dk olacaktır. Parametre düzeltme yöneynn büyüklüğü eğm le orantılı olduğundan eğmn büyük olduğu doğrultularda bu yöney de büyüktür. Eğmn çok küçük olduğu herhang br yönde çok küçük br adım atılacağından, șekller üzernde bu yönlerdek adımlar açık br bçmde görülemeyeblr. Șekl 7 de se en-dk nș ve eșlenk gradyen yöntemlernn karșılaștırılmıștır. (1) le șaretlenen bașlangıç noktasından lk yneleme en-dk nș yöntem le gerçekleștrlerek () le gösterlen noktaya erșlmștr. Bu noktadan sonra en-dk nș yöntem le yanılgı enerjs konturuna dk yönde br yneleme le (ed) yazılan noktaya gelnmș ve algortma zg-zag çzerek lerlemeye bașlamıștır. Eșlenk gradyen yöntem se br öncek doğrultu yöneyne H-dkgen yönde, () noktasından (egr) yazılan noktaya erșmștr. Devam eden yneleme adımları aynı kuralın uygulanması le gerçekleștrlmștr. Eșlenk gradyen yöntemnn en-dk nș yöntemne göre daha hızlı çalıștığı görülmekte se de sadece gradyen blgsnn kullanılması neden le çözüm cvarında parametre düzeltme yöney küçülmekte ve yneleme sayısı Newton yöntemne göre oldukça büyük kalmaktadır. 14

15 Șekl 6. Br öncek parametre düzeltme yöneyne dkgen lerleme. Bașlangıç üçgen, btș noktası se dolu kare le gösterlmștr. Noktalar arası br adımı göstermektedr. Șekl 7. En-dk nș ve eșlenk gradyen yöntemlernn karșılaștırılması. Bașlangıç noktası üçgen (1), brnc yneleme adımı nokta () ve mnmum se dolu kare le gösterlmștr. () nolu noktadan sonra en-dk nș algortması (ed) ve eșlenk gradyen algortması (egr) yazılan noktalara erșerek farklı yol zlemektedr. 15

16 c. Gauss- Newton Yöntem Yukarıda değnldğ gb Newton yöntem hızlı olmakla brlkte ön-kestrm parametrelernn çözüm parametrelerne yakın olmadığı durumlarda aylor sers açılımında knc derecel türevlern hesaplanmasında yeterl doğruluk sağlanamaz. Ayrıca ver fakları da büyük olduğundan Q dzeynn elemanları da büyük olacak ve (4) bağıntısında Q dzey baskın hale gelecektr. Ancak bu durum parametre düzeltme yöneynn çok büyük olmasına yol açarak, algortmanın ıraksamasına neden olablr. Öte yandan, çözüme yakın br ön-kestrm çn hem knc türevler hem de ver farkları küçük olacağından Q dzeynn hesaplanmasındak zorluklara oranla çözüme katkısı çok öneml olmayacaktır. Bu nedenler le (4) bağıntısında Q dzey hmal edlerek, = ( ) 1 p A A A d (36) yazılablr. Șekl 8 de, üçgen le gösterlen ön-kestrm değernden bașlayarak dört yneleme le mnmuma erșlmes gösterlmștr. Șekl 7 de aynı problem çn verlen en-dk nș ve eșlenk gradyen yöntemler le karșılaștırıldığında Gauss-Newton yöntemn oldukça hızlı br șeklde sonuca yakınsadığı görülmektedr. Șekl 8. Gauss-Newton yöntem le doğrudan mnmuma yönlenmeye çalıșarak lerleme. Șekl 7 de verlen en-dk nș ve eșlenk gradyen yöntemler le karșılaștırınız. 16

17 d. Sönümlü En-küçük Kareler (Levenberg-Marquardt) Yöntem Gauss-Newton yöntem hızlı yakınsayan br yöntem olmakla brlkte ön-kestrm değerler çözüm parametrelerne yakın değl ya da yanılgı enerjs hartası karmașık br topografya olușturmakta se A A dzeynn bazı özdeğerler (egenvalues) çok küçük olablr ve dzeyn terslenmes sırasında yeterl sayısal doğruluğun sağlanamaması neden le parametre düzeltme yöneynn bu özdeğerlere karșılık gelen elemanları çok büyür. Bașka br olasılıkta eğrsellk blgsnn yanılgı enerjs hartasının mnmumunun bulunduğu yönden farklı br yöne adım atılması sonucuna yol açan parametre düzeltme yöney üretmesdr. Her k durumda da yneleme le daha büyük yanılgı enerjs üreten br model elde edlr. Șekl 9 da aynı önkestrmden bașlamak üzere en-dk nș, Gauss-Newton ve sönümlü en-küçük kareler yöntemler karșılaștırılmıștır. Gauss-Newton yöntemnde üçüncü ynelemeden sonra çözüme çok uzak br noktada yneleme șlem durdurulmaktadır. En-dk nș yöntem çözüme erșmekle brlkte dar br vad boyunca lerlemek durumunda kaldığından çok sayıda yneleme yapmak zorunda kalmıștır. Sönümlü en-küçük kareler se gerektğnde hem Gauss-Newton hem de en-dk nș yöntem gb davranarak çözüme daha az sayıda yneleme le erșeblmștr. Bu davranıș (36) bağıntısında A A dzeynn köșegenlerne ε gb br gerçel sabtn eklenmes ve bu sabtn değernn yneleme șlem sırasında özdeğerlern küçük değerler almasını engelleyecek șeklde değștrlmes le gerçekleștrleblr. Bu durumda, I brm dzey olmak üzere parametre düzeltme yöney zleyen bağıntı le verlr: 1 p = ( A A+ ε I ) A d. (37) Șekl 9. En-dk nș (ed), Gauss-Newton ve sönümlü en-küçük kareler yöntemlernn (LM) aynı ön-kestrm değer çn karșılaștırılması. 17

18 Șekl 9 dan görülebleceğ gb sönümlü en-küçük kareler algortması, lk yneleme adımlarında en-dk nș ve Gauss-Newton algortmalarının arasında br davranıș göstermștr. Üçüncü ynelemede yanılgı enerjsnn az olduğu düz topografyalı br bölümde en-dk nș yöntemnn davranıșına uygun olarak küçük düzeltme yöney le zg-zag çzerek lerleme sağlanılmıștır. Bu bölgeden sonra Gauss-Newton davranıșına geçș sağlanarak brkaç adımda mnmuma varılmıștır. e. khonov Düzgünleștrcs Bazı jeofzk problemlerde parametrelern değșmnn brbrlerne bağımlı olması stenlr. Örneğn k- ve üç-boyutlu problemlerde komșu hücrelere at fzksel özellklernde keskn değșmlere zn verlmek stenmeyeblr. Bu durumda br yuvarlatıcı șlemcye gereksnm duyulur. Bu amaç çn (37) bağıntısındak brm dzey, L L șeklnde br dzey le yer değștrlr: 1 p = ( A A+ ε L L ) A d. (38) L dzeyn brnc veya knc türev șlemcs olarak seçm le komșu parametre değerlernn brbrlerne bağımlı olarak değșmeler sağlanablr. Bu yöntem algortmaların duraylılığını (stablty) sağlamak amacı le de kullanılmaktadır. Çeștl duraylayıcı (stablzer) dzeyler Zhadanov() tarafından verlmștr. 6. AĞIRLIK AAMA Yorum çn kullanılan yöntemn yanı sıra, ölçü yanılgıları ve gürültüler parametre kestrmne öneml ölçüde etk eder. Bu etklern uygun yöntemler le azaltılması, tersçözüm yöntemlernn hız ve yakınsamasını yleștrr. Ölçme koșullarından kaynaklanan, k tür gürültü kaynağı vardır. Bunlar, rasgele ve sstematk gürültüler olarak adlandırılır (Bevngton, 1969). Rasgele gürültüler, değșkenn br değer çn ynelenen ölçümlerdek kararsız değșmelerdr. Ölçüm aygıtlarının duyarlılığının sınırlı olması, rasgele gürültülern bașlıca kaynağıdır. Ölçüler, değșkenn br değer çn ynelenr se, ölçü değerlerndek görece belrszlk statstk analz yardımı le tanımlanablr. Örneğn, bu amaç çn ölçü değerlernn standart sapmaları kullanılablr. Her ölçüm değerne, standart sapması le ters orantılı br ağırlık katsayısı atanarak, gürültülü vernn duyarlı ölçülere göre tersçözüm sonuçlarına daha az etk etmes sağlanablr. Eğer, araz uygulamalarında, ölçüler ynelenmemș se standart sapmalar blnemez ve bu durumda rasgele gürültüyü temsl etmek üzere bütün ölçülern genel ntelğne bağlı br ağırlık katsayısı bütün ölçü noktalarına atanır. Sstematk yanılgılar, ölçüm sstemnn ayarlarının yanlıș yapılmasından, ölçüm aygıtlarının yanlıș konumlara yerleștrlmesnden, ölçü sstem le ona bağlı aygıtların bağlantılarının kötü veya yanlıș yapılmasından ve gözlemcnn yaptığı gözlem yanılgılarından olușur. Bu koșullarda, statstk analze bașvurmak, genellkle kullanıșlı değldr. Ölçülern tekrar edlmes, ölçülern duyarlılığını (precson) arttırmakla brlkte 18

19 doğruluğunu (accuracy) arttırma konusunda yardımcı olmaz. Araz çalıșmasının yapıldığı sırada, sstematk yanılgılar fark edleblrse, bunlar hesapla veya bașka br çare düșünülerek, ölçülerden gderleblr ve ölçü doğruluğu arttırılablr. Aks takdrde, sstematk yanılgıların düzeltlme fırsatı ortadan kalkar. Sstematk yanılgılar brçok ölçme șlemnde br blnmeyen olarak kalablr (Bevngton, 1969). Hem rasgele hem de sstematk yanılgılar neden le verde küçük saçılmalar gözlenr se sstematk yanılgılar, rasgele yanılgılar le brleștrlerek, ölçü belrszlkler statstk yöntemler le nceleneblr. Ölçü noktalarının gürültü çerkler farklı olduğundan, ölçü değerlerne atanacak ağırlık katsayıları le gürültü çerğ fazla ölçü noktalarının parametre kestrmn daha az etklemes stenr. Bu amaç çn (1) bağıntısı le verlen amaç fonksyonu, en-küçük kareler çn toplam ve dzey denklemler olarak, n [ ] [ W d f ] [ W d f ] (39) E ( p) = w (d - f( x ; p)) = ( - ) ( - ) = 1 șeklnde yazılablr. Burada, w ; ölçü noktalarına uygulanacak ağırlık katsayılarını göstermektedr. W; köșegen breyler ağırlık katsayıları ve dğer öğeler sıfır olan nxn boyutunda br kare dzeydr. (39) bağıntısı le verlen yanılgı enerjsnn enküçüklenmes le Gauss-Newton çözümü elde edlr: =. (4) 1 (( p WA) ( WA) ) ( WA) ( W d) Bu bağıntı, (36) le verlen Gauss-Newton çözümü le karșılaștırılır se A dzeynn yerne W.A dzeynn ve d dzeynn yerne W. d dzeynn kullanıldığı görülmektedr. Dğer yöntemlerde enküçüklenecek amaç fonksyonu farklı olmakla brlkte, Jacoban ve ver farkları dzeylernn ağırlık dzeyler le çarpılması le belrl br yönteme at ağırlıklı parametre kestrm bağıntıları elde edlr. Ağırlık katsayılarını saptamak amacı le çeștl yöntemler kullanılablr. Örneğn, ölçülern tekrarlanma olanağının bulunduğu durumlarda, br ölçü noktasındak gürültünün, dğer ölçü noktalarındak gürültülerden bağımsız ve standart sapmasının σ olduğu düșünülür ve ağırlık dzey, W 1 / σ1 1 / σ = dag(1 / σ ) =. 1 / σ n 1 1 / σ n nxn (41) olarak tanımlanır. Ölçü tekrarlarının bulunmadığı koșullarda, Bașokur(1999) tarafından önerlen ağırlık atama yöntem uygulanablr. Bu yöntemde ölçülen vernn davranıșına göre seçlen br fonksyondan m aded, yatay eksen boyunca yerleștrlr ve bunların doğrusal bleșm (lnear combnaton) le yuvarlatılmıș br ver elde edlr. 19

20 Yuvarlatma șlem çn farklı br yöntemlerden de yararlanılablr. Bu durumda ağırlık katsayıları zleyen bağıntı le verleblr: { ( ) } * w = exp - d - d / α. (4) * Burada, d ve d sırası le ölçülen ve yuvarlatılan ver noktalarını göstermektedr. α se bçm etmen olup, zleyen n 1 * α = d - d (43) n = 1 bağıntısı le hesaplanır ve br ver noktasına at ağırlık katsayısının hesaplanmasında tüm vernn gürültü çerğnn göz önüne alınmasını sağlar. (41) bağıntısı sıfır le br arasında ağırlık katsayıları üretr. Eğer, ölçülen ve yuvarlatılan verler arasındak fark küçük se bu noktadak ağırlık katsayısı brme yakın olur. 7. DİZEY DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMÜ En-dk nș ve eșlenk gradyen çözümlernde Jacoban dzeynn tümü le bellekte tutulmasına gerek bulunmamaktadır. Br hesaplama adımında Jacoban dzeynn br sütunu le çarpma șlem gerçekleștrldğnden, bellek kullanımının sorun olduğu çok parametrel problemlerde br sütun le șlem yapıldıktan sonra ardıșık sütunun hesaplanmasına geçleblr. Kuramsal verlern, parametre dzey le Jacoban dzeynn çarpımı, f = A.p (44) șeklnde tanımlanma olanağı var se bunlar doğrusal problemler olarak adlandırılır. Bu tür problemlerde Jacoban dzey, ver çekrdek dzey adını alır ve parametreler kapsamaz. Bu nedenle kuramsal vernn parametrelere göre brnc türev, ver çekrdek dzeyne ve knc türev se sıfıra eșt olur : f = A, p f p =. (45) Newton yöntemnde yneleme bağıntısı (6), brnc yneleme çn yazılır se knc türevler sıfır olduğundan (Q=), p p = ( A A) A.(d-f ) = ( A A) A d ( A A) A f elde edlr. (44) bağıntısından, p p = ( A A) A.d ( A A) A Ap 1 1 1

21 yazılablr. Burada, ( ) 1 A A A A șlem brm dzeye eșt olduğundan denklemn her k yanındak ön-kestrm parametreler ( p ) sadeleșr. Böylece, doğrusal problemlerde parametrelern tek br adımda çözülebleceğ görülür: 1 ( p A A ) A d =. (47) Newton (4), Gauss-Newton (36), sönümlü en-küçük kareler (37), khonov düzgünleștrcs (38) yöntemlernde, parametre düzeltme yöney ( p ), lgl bağıntılardan çarpma, dönüğünü ve tersn alma gb dzey șlemler le çözüleblr. Dzeylern tersn alma çn çok çeștl yöntemler önerlmștr. Gauss-Newton ve sönümlü en-küçük kareler yöntemler le brlkte yaygın olarak kullanılan dzey șlemlernden br ekl Değer Ayrıșımı dır (Sngular Value Decomposton, SVD). Bu yöntemde ağırlık dzey le çarpılmıș Jacoban dzey A * = wa bașka üç dzeyn çarpımı olarak fade edlr: A * = U S V. (48) Burada, U ve V sırası le ver ve parametre özyöneyler (egenvectos) olarak adlandırılır. U dzey nxm ve V dzey mxm boyutlarındadır. S se mxm boyutunda ve parametre özdeğerlern ( λ ) çeren br köșegen dzeydr. Böylece, parametre düzeltme yöney zleyen toplamdan hesaplanablr: λ p v a m j k = kj j j = 1 λj + ε k=1,,m (49) a n j = u j w d j=1,,m. = 1 Burada, v kj, u j ve w sırasıyla U, V ve W dzeylernn öğelern göstermektedr. Parametre düzeltme yöneynn hesaplanması çn dğer br yol doğrusal denklem sstemlernn çözümünden yararlanmaktır. Bu amaç çn ters-çözüm problem, B. p = x (5) mxm mx1 mx1 doğrusal denklem sstem le fade edlr. Burada, x = ( A ) d mx1 mxn nx1 B = A A + Q (Newton) B = A A (Gauss-Newton) 1

22 B = A A+ ε I (sönümlü en-küçük kareler)) B=A A+ ε L L (khonov) olarak tanımlanır. B; kare ve bakıșımlı br dzeydr. Böylece, doğrusal denklem sstemlern çözeblen herhang br algortma yardımı le parametre düzeltme yöney hesaplanablr. 8. YEREL MİNİMUMLAR SORUNU Brçok problemde yanılgı enerjs hartasında brden fazla mnmumlar bulunablr. Bunlardan en küçük yanılgı enerjs değer olanı global mnmum dğerler se yerel mnmum olarak adlandırılır. Br problemde brden fazla yerel mnmum olması olası ken br adet global mnmum vardır. Parametrelern doğru çözümü, ters-çözüm algortmasının global mnmuma erșmes le olanaklıdır. Ancak, global mnmuma erșm ön-kestrme bağımlıdır. Șekl 1 da çeștl ön-kestrm değerlernden bașlayarak sönümlü en-küçük kareler yöntem le problemn çözülmeye çalıșılması görüntülenmștr. Yan yana duran k ön-kestrm değern temsl eden syah üçgenlerden de anlașılableceğ gb brbrne yakın ön-kestrm değerler kullanımı le algortmanın farklı mnmuma yönlenmes olasıdır. Bu durum kullanılan yöntem le lșkl olmayıp, tüm türev tabanlı algortmaların ortak sorunudur. Ayrıca, bazı durumlarda gürültü neden le yerel mnmumlardan brnn yanılgı enerjs, global mnmumun yanılgı enerjsnden daha küçük hale geleblr. Bu tür problemler așmanın en öneml aracı, ele alınan problemn doğasının y blnmes ve hesaplanan parametre değerlernn fzksel olarak olası olup, olmadığının denetlenmesdr. Șekl 1. Çözümü 1 p =.5 ve p =.5 olan br problemde global (mav) ve yerel (sarı) mnmumlar. Kırmızı üçgenler mnmumları ve syah üçgenler ön-kestrm değerlern göstermektedr. Beyaz çzgler sönümlü en-küçük kareler yöntemnn zledğ çözüm yolunu göstermektedr. Noktalar arasında kalan doğrular, adım büyüklüğünü göstermektedr (Bașokur, Akça ve Syam, 7).

23 9. SONUÇLAR ürev tabanlı ters-çözüm algortmaları yanılgı enerjsnn eğm ve/veya eğrsellk blgsn kullanır. Sadece eğm blgsn kullanan en-dk nș yöntem yanılgı enerjs hartası üzerndek en yakın mnmuma erșr. Çoğu problemde yakınsama elde edlmesne rağmen düzeltme yöneynn küçük olması neden le çok sayıda yneleme gerektrr. Eșlenk gradyen yöntem, en-dk nș yöntemne benzer șeklde hareket etmekle brlkte yakınsamayı hızlandırmak çn yanılgı enerjs hartasında br öncek ynelemeye dkgen olan düzeltme yöneyler kullanır. Newton ve Gauss-Newton algortmaları doğrudan mnmuma erșmey hedefleyen hızlı yöntemler olmakla brlkte kötü ön-kestrm veya karmașık yanılgı enerjs topografyasının bulunduğu durumlarda mnmuma yakınsamayablrler. Sönümlü en-küçük kareler ve khonov yöntemlernde Gauss-Newton algortmasının karșılaștığı duraylılık sorunları gderlmeye çalıșılır. Uygulanacak duraylaștırıcılar probleme özgü olduğundan çeștl uygulama örnekler konu le lgl derglerde bulunablr. ürev tabanlı kestrm yöntemlernde, parametre ayrımlılığı standart sapma dzeynn hesaplanması le nceleneblr. Parametre ayrımlılığı le lgl konular çeștl kaynaklardan nceleneblr (örneğn Bașokur, ). Yazar tarafından gelștrlen FORRAN ve PV-WAVE dllernde yazılmıș blgsayar programlarının kaynak kodlarına adresnden erșleblnr. KAYNAKLAR Bașokur, A.., 1999, Automated 1-D nterpretaton of resstvty soundngs by smultaneous use of the drect method and teratve methods. Geophyscal Prospectng 47, Bașokur, A..,, Doğrusal ve Doğrusal Olmayan Problemlern ers-çözümü, MMOB Jeofzk Mühendsler Odası, 166 sayfa. Bașokur, A.., Akça, İ. and Syam, W. A., 7, Hybrd genetc algorthms n vew of the evoluton theores wth applcaton for the electrcal soundng method, Geophyscal Prospectng 55, Bevngton, P. R. 1969, Data reducton and error analyss for the physcal scences, McGraw-Hll Book Co. Lnes L.R. and retel S., utoral: A revew of least-squares nverson and ts applcaton to geophyscal problems, Geophyscal Prospectng 3, arantola, A Inverse Problem heory, Elsever, ISBN Zhadanov, M. S.,, Geophyscal nverse theory and regularzaton problems, Elsever. 3