a 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "a 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2"

Süleiman Kurtuluş
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 1.1. ELİPS 1.2. HİPERBOL 1.3. ORTAK özellikler =-a 2 /c =a 2 /c K =-a 2 /c B(b,0) K =a 2 /c Asal Eksen Uzunluğu: AA =2a Yedek Eksen Uzunluğu: BB =2b p A'(-a,0) F'(-c,0) p p Odak Uzaklığı: FF =2c Dış Merkezlik: ee = cc aa F'(-c,0) A'(-a,0) p B(-b,0) L Doğrultman Doğruları: =± a2 c L. 2 aa bb 2 = 1 PF + PF =2a Geometrik Yer Denklemi Dış Merkezlik: e<1 Asal Çember: =a 2 Yedek Çember: =b 2 Doğrultman Çemberler: (±c) =4a 2 Monj (Monge) Çemberi: Elips: =a 2 +b 2 Hiperbol: = a 2 -b 2 KL =2p= aa 2 aa 2 2 bb 2 = 1 a 2 = b 2 +c 2 a 2 +b 2 =c 2 Alanı: ππππππ Basıklık:11 bb aa Odaktan Geçen En kısa (Dik) Kirişin Uzunluğu: p-parametre PF - PF =2a Geometrik Yer Denklemi Dış Merkezlik: e>1 ASİMPTOTLARI: = ± bb aa İkizkenar Hiperbol de a=b dir. 1

2 Asal, Yedek, Monj(Dik kesişen teğetlerinin kesişimlerinin geometrik eri) ve Doğrultman Çemberler: Elipsle hiperbolünki anıdır. B(b,0) =a 2 Asal Çember F' F Yedek Çember =b 2 F' F F' F (+c) =4a 2 (-c) =4a 2 Doğrultman Çemberler Monj Çemberi =a 2 +b 2 *Merkezil (merkezi orijinde olan) Hiperbol -eksenini kesmediğinden B noktası şekilde görünmez. Aşağıda B die niteleebileceğimiz noktaı; a, b ve c arasındaki Pisagor ilişkisini ve asimptotların durumunu görüorsunuz. B(a,b) B(a,b) c c b F'(-c,0) A'(-a,0) a b F'(-c,0) A'(-a,0) a =b/a =-b/a =b/a ASİMPTOTLAR =-b/a 2

2. Parabol =-c 2 =4c K L Bir Noktaa (Odak: F) ve Bir Doğrua (Doğrutman: =-c) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri die tanımlaabileceğimiz

Odaktan geçen en kısa (dik) kirişin uzunluğu KL =2p=4c, parametre ise p=2c dir. Bu sebeple denklemi 2 =2p şeklinde de azabiliriz. 3.

elde edilen değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem) deltasının - vea diskriminant- sıfır olmasıdır.

3 2. Parabol =-c 2 =4c K L Bir Noktaa (Odak: F) ve Bir Doğrua (Doğrutman: =-c) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik eri die tanımlaabileceğimiz Parabolün denklemi 2 =4c şeklindedir. Bu tanım sebebile dış merkezlik e=1 dir. Odaktan geçen en kısa (dik) kirişin uzunluğu KL =2p=4c, parametre ise p=2c dir. Bu sebeple denklemi 2 =2p şeklinde de azabiliriz. 3. TEĞETLİK KOŞULU =m+n şeklindeki bir doğrunun Elips, Hiperbol vea Parabole teğet olma koşulu, ortak çözümün ( konik denkleminde erine azılarak elde edilen değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem) deltasının - vea diskriminant- sıfır olmasıdır. Bu hesap apıldığında aşağıdaki formüllere ulaşılır. [Hatırlatma: Anı durum çemberde de geçerliken, biz, merkezin doğrua uzaklığının arıçap uzunluğu kadar olmasını kullanıorduk.] 2 (mmmm + nn)2 + aa2 bb 2 = 1 2 (mmmm + nn)2 aa2 bb 2 = 1 (mmmm + nn) 2 = 4cccc 3

4 2 + 2 aa 2 bb 3.1. Elips: 2 = 1 ve =m+n için Teğetlik Koşulu a 2 m 2 +b 2 =n aa 2 bb 3.2. Hiperbol: 2 = 1 ve =m+n için Teğetlik koşulu a 2 m 2 b 2 =n Parabol: 2 = 4cc ve =m+n için Teğetlik Koşulu c=m.n (vea p=2mn) *Dikkat edilecek olursa Elipsle Hiperbol arasındaki fark b 2 lerin önünün (eksi vea ters işaretli) olmasıdır Teğet Denklemleri (Koniğin üzerindeki T(0,0) noktasından çizilen teğeti) Elips ve hiperbol ine anı olduğundan ± işaretile ortak gösterilecektir. Tıpkı çemberde olduğu gibi kareli terimleri aırarak lerin ve lerin birine verilen (T(0,0) )noktanın koordinatlarını azıoruz aa22 ± bb 22 = 11 aa22 ± bb 22 = 11 tt: 00 aa 22 ± 00 bb 22 = = = 2222( + ) tt: 00 = 2222( + 00 ) *Normal denklemlerinise teğete dik olduğundan ve T noktasından geçmesinden dolaı bulabiliriz Kutup Doğrusu (Değme Kirişi) Koniğe (Çember, Elips, Hiperbol vea Parabol) dışındaki bir noktadan; P(1,1), çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğru parçasına Değme Kirişi, bu doğru parçasını taşıan doğrua ise Kutup Doğrusu denir aa22 ± bb 22 = 11 aa22 ± bb 22 = 11 KKKK: 11 ± 11 aa 22 bb 22 = = = 2222( + ) KKKK: 11 = 2222( + 11 ) 4

5 Elips Hiperbol Parabol = = = = 1 2 = 12 2 = 12 Odakları: Dış Merkezliği Doğrultman Doğ. Doğrultman Çemb. Monj Çemberi Parametresi Basıklığı Alanı Asimptotları 6.Ötelenmiş Konikler: I. ( 3) ( + 4)2 16 = 1 a=5, b=4 ve c=3 bulunur. Merkezil elips olsadı, odaklar F(±3,0) bulunurdu. O halde merkezin ötelendiği {M(3,-4)} gibi her bir nokta da ötelenmelidir ani F1(3+3,0+4) ve F2(-3+3,0+4) olarak bulunacağından odaklar F1(6,4) ve F2(0,4) olur. Buna benzer şekilde her eleman bulunabilir. Bu durum diğer konikler için de geçerlidir. 5

II. =2 2 +12 10 parabolünün odağını bulalım.

6 II. = parabolünün odağını bulalım. =2( 2 +6) = 2( 2 +6) = 2( 2 +6) = 2( ) +28 =2(+3) 2 ½(+28)= (+3) 2 Ölese T(-3,-28) [Tepesi vea Merkezi] olur ancak ine de derecesi 1 olanın {} önündeki saı 4c dir. Dolaısıla 4c=1/2 c=1/8 bulunur. Tepe Orijinde olsa F(0,1/8) olurdu. Ancak tepe T(-3,-28) olduğundan F(0-3,-28+1/8) ani F(-3, -223/8) bulunur. Tabii ki Tepe {T(t,t)} t=-b/2a formülü ile de bulunabilir. Ancak bizim buradaki hedefimiz tepe değil odak noktası ve c saısıdı. Dolaısıla verilen denklemi 4c( - t ) = (- t) 2 vea ( - t) 2 = 4c (- t) modeline getirmelidik. Örnekler 1) =36 elipsi verilsin a) Üzerindeki T(1,-1) noktasından geçen Teğet ve Normal denklemini b) Dışındaki P(2,3) noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Cevap 1.a) Üzerindeki noktadan teğet için 4.1. başlığındaki işlemi apacağız. 9+4=36 9(1)+4(-1)=36 9-4=36 Yani t: =0 ve Normal denklemise t e dik olacağından N:4+9+c=0 ve T noktasını sağlaacağından 4(1)+9(-1)+c=0 olduğundan c=5 bulunur ve N: 4+9+5=0 bulunur. 1.b) Dışındaki noktadan şeklinde tarif edilen Kutup Doğrusudur başlığındaki işlemle istenilen doğru 9+4=36 9(2)+4(3)= =36 6 ile sadeleştirme aparsak 3+2-6=0 şeklinde bulunur. 2) 12(-3) 2 16(+4) 2 =192 hiperbolünün monj çemberinin denklemini bulalım. Cevap: Öncelikle Kapalı (lineer- genel) denklem halinden standart denklem modeline dönmeliiz. Bütün denklemi 192 e bölersek: ( 33) (+44) = 11 elde edilir ki buradan a=4, b=22 33 ve c=22 77 bulunur. Merkezse M(3,-4) tür. Monj çemberi (başlık 1.3.) hiperbolle anı merkezde olacağından (-3) 2 +(+4) 2 = den (-3) 2 +(+4) 2 =4 bulunur. 3) 2 =8 parabolünün =0 doğrusuna paralel teğetinin (en akın noktasından geçen) denklemini bulunuz. Cevap: Verilen doğrunun eğimi ile teğetin eğimi anı olacağından m=3 ve c=8/4=2 dir. Ancak teğetin eksenini kestiği noktanın ordinatı n i bulmalıız. Başlık 3.3. den c=mn olduğundan 2=3n n=2/3 bulunur. =3+2/3 3= =0 teğetin denklemi olur. 6

Ekstra Bilgiler =m+n doğrusu için ELİPS HİPERBOL PARABOL DEĞME NOKTASI T aa2 mm nn, bb2 nn T aa2 mm nn, bb2 nn Ortak çözüm apılarak bulunabilir. 0 = 2c mn m 2 EŞLENİK KÖŞEGEN 7.

7 Ekstra Bilgiler =m+n doğrusu için ELİPS HİPERBOL PARABOL DEĞME NOKTASI T aa2 mm nn, bb2 nn T aa2 mm nn, bb2 nn Ortak çözüm apılarak bulunabilir. 0 = 2c mn m 2 EŞLENİK KÖŞEGEN 7. KONİKLERİN GENEL DENKLEMİ da = bb2 bb2 aa 2 = mm aa 2 mm 2cc = mm veeaa = p mm Koniklerin genel tanımı, bir noktaa (odak) ve bir doğrua (doğrultman) uzaklıkları oranlı olan noktaların geometrik eridir. Bu orana Dış Merkezlik denilir ve e ile gösterilir. ee = PPPP PPPP 0<e<1 Elips e=1 Parabol 1<e< Hiperbol I. <0 ise çember, elips, nokta vea boş küme (e<1) a) A=C ve B=0 ise Çember, nokta vea boş küme b) A C vea B 0 ise Elips, nokta vea boş küme II. >0 Hiperbol vea kesişen iki doğru (e>1) a) Denklem çarpanlara arılıorsa Kesişen iki doğru b) Denklem çarpanlara arılmıorsa Hiperbol III. =0 ise Parabol vea Paralel iki doğru (e=1) Koniklerin genel Denklemi: AA 22 + BBBBBB + CC 22 + DDDD + EEEE + FF = 00 = BB ise Konik Deltasıdır*. *diskriminant a) Denklem çarpanlara arılıorsa Paralel vea çakışık iki doğru b) Denklem çarpanlara arılmıorsa Parabol 7

8 Örnekler 1) 2 2 =0 denkleminin ne belirtiğini bulalım. A=1,B=0 ve C=-1 olduğundan =0-4.1(-1)=4>0 olduğundan II. durum söz konusudur. (+).(-)=0 olduğundan +=0 ve -=0 şeklinde kesişen iki doğru bulunur. 2) =0 denkleminin ne belirtiğini bulalım. = =0 olduğundan III. durum söz konusudur. (+) 2 +2(+)=0 (+)[(+)+2]=0 bulunur ki bu +=0 ve ++2=0 şeklinde paralel iki doğrudur 3) =0 denkleminin ne belirtiğini bulalım. = =4>0 olduğundan ve çarpanlara arılmadığından Hiperbol belirtir. 4) =0 denkleminin ne belirtiğini bulalım. = =0 olduğundan ve çarpanlara arılmadığından Parabol belirtir. 5) F(3,0) noktasına uzaklığının =4 doğrusuna uzaklığı oranı 33 olan noktaların geometrik er denklemini bulalım. 22 Verilen noktanın odak, doğrununsa doğrultman olduğu ve oranınsa dış merkezlik (e<1) olduğu görülürse bir elips denklemi bulacağımız açıktır. ee = PPPP PPPP = 3 2 = ( 3) her iki tarafın karesini alalım 3 4 = ( 3)2 + 2 ( 4) 2 içler-dışlar çarpımı aparken parantezleri de açalım = = = 1 8

Benzer belgeler

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin