TRİGONOMETRİ-3. A. Üçgende Trigonometrik Bağıntılar. AHC dik üçgeninde, 1. Sinüs Teoremi
|
|
|
- Irmak Bilgin
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 TRİGONOMETRİ- A. Üçgende Trignmetrik Bğıntılr AHC dik üçgeninde, h C. Sinüs Teremi Bir üçgenin kenrlrının uzunluklrı ile krşılrındki çılrın üslerinin rnı sittir. Bu rn, üçgenin çevrel çemerinin çpın eşittir. Bir ABC üçgeninin kenr uzunluklrı;,,c ve çevrel çemerinin yrıçpı r irim lmk üzere, c r A B C Bu ğıntıy üs teremi denir. Şimdi u ğıntıyı isptlylım. İspt ı dr çılı üçgen için ypcğız. Diğer üçgen çeşitleri için enzer şekilde ypılilir. h. C h ABH dik üçgeninde, B c h c. B O hlde.c c.b lup c () elde edilir. C B Bu () ve () eşitliklerinden, c () elde edilir. A B C Şimdi ABC üçgeninin çevrel çemerini çizelim. İspt: Yndki şekle göre; ABD dik üçgeninde, h A c O merkez r yrıçplı çemer, ABC üçgeninin çevrel çemeri D Bˆ C çısı çpı gören çevre çı lduğundn DBˆC 90 m Aynı yyı göre çevre çılrın ölçüleri eşit lduğundn h c. A dir h CBD dik üçgeninde, C h. C O hlde. C c. A lup A edilir. Benzer şekilde; c () elde C BDˆ C mbâc m BDC dik üçgeninde B C r r B c c r r C Bu değerlerle irlikte () eşitliği, c r lur. A B C
2 Bir ABC üçgeninde  60 m ve BC 6 irim lduğun göre, u üçgenin çevrel çemerinin yrıçpının uzunluğu kçtır? c r ğıntısındn A B C r r r c Bu ğıntıy küs teremi denir. c..c.cs  c..c.csbˆ...csĉ Şimdi u ğıntılrdn c..c.cs  yı isptlylım. Diğerleri enzer şekilde isptlnır. İspt: Bir ABC üçgeninde mbˆ mĉ 90, AB ve AC irim lduğun göre, ct Ĉ kçtır? cs C C. Küs Teremi c B C C C 90 csc tn C C Bir üçgenin kenr uzunluklrı iliniyrs u üçgenin herhngi ir çısının ölçüsünü ulmk; y d iki kenr uzunluğu ile unlr rsındki çının ölçüsü iliniyrs diğer kenrının uzunluğunu ulmk için küs tereminden yrrlnılır. Bir ABC üçgeninin kenr uzunluklrı,,c lmk üzere Şekildeki ABC üçgeninin düzlemine dik krdint sistemini yerleştirelim. Üçgenin A köşei şlngıç nktsı, AB kenrını d O ekseni lrk llım. A 0,0, B c,0,, y cs Â.cs  y  y. Â,y C.cs Â,.  C lsun. CAC dik üçgeninde, lup, C elde edilir. ' C BC dik üçgenine pisgr teremi uygulnırs, CB CB CB CC.cs  c.  0.cs Â.c.cs  c. Â
3 . cs   c.c.cs  c.c.cs  elde edilmiş lur. Böylece terem isptlnmış lur.  m 90 lmsı durumund cs 90 0 lduğundn, küs tereminin ifdesi Bu, pisgr tereminin ifdesi Yukrıdki eşitliklerden cs  csbˆ c.c. c.c. c ye dönüşür. lduğun göre ABC dik üçgeninde  m cs değeri kçtır? 90 CD AB irim Küs teremi yrdımıyl çözelim: DAB ve CAB dik üçgenlerinde pisgr ğıntısı uygulnrk, BD, BC BCD üçgenine küs teremi uygulnırs, c csĉ yzılır... cs BD BC. BD. BC CD.. Kenrlrını uzunluklrı 7,, c 6 ln ABC üçgeninin A çısının ölçüsünü ullım cs  c.c. 6 6  6 cs  m..6 7 cs 9. Bir ABC üçgeninin kenrlrı rsınd c. c ğıntısı vrs A çısının ölçüsü kç derecedir? Herhngi ir üçgende lduğun göre c..c.cs  ğıntısı c.c ve c..c.cs  ğıntısının rtk çözümünü rştırlım; c..c.cs  c.c  cs  cs  m
4 BE BE BC CE BC tür. kç irimdir? Yndki şekilde ABCD dikdörtgen ve AC köşegen AC köşegeninin uzntısı üzerinde CE CB irim ise BE Şekildeki ABC ve DCE üçgenlerine yrı yrı küs teremi uygulnırs CDE dik üçgeninde ADC üçgeninde pisgr teremi uygulnırs AC irim csα, csβ cs0 α csα lur. BCE üçgeninde küs teremi uygulnırs... cs Ĉ tir. ABC üçgeninde csĉ lur. Yndki şekilde A,,c nktlrı dğrusl lduğu gii, D,B,E nktlrı d dğrusldır. AB 6, BC CD, DB, Şekilde Dˆ 90 m, BE irim lduğun göre AE kç irimdir? irim lduğun göre AB kç irimdir? CD, DE irim, CE AD ve BE CDE dik üçgeninde pisgr ğıntısındn CE irim CE AD ise AD irim AD AC CD AC irim BCD üçgeninde küs teremi uygulnırs, DC BD BC. BD. BC.csBˆ...csBˆ csbˆ ABE üçgeninde küs teremi uygulnırs, AE AB EB. AB. EB.csBˆ
5 csĈ 0 6.csĈ.csĈ csĉ 7 göre cs BĈD kçtır? ABCD kirişler dörtgeni AD, AB BC, CD irim lduğun Kirişler dörtgeninde, krşılıklı çılr ütünler 0 Yni mâ mĉ 0 m  ise Ĉ 0 0 m Bun göre, cs  cs0 Ĉ cs Ĉ B ve D nktlrını irleştirerek, ABD ve BCD üçgenlerini luşturlım. ABD üçgeninde küs teremini uygulylım, Kenr uzunluklrı,, c 7 ln ir üçgenin iç çılrındn küsü en küçük lnın ölçüsü kç derecedir? Kenr uzunluklrı verilen kenr uzunluklrı rsındki ğıntı c > > Bir üçgende en üyük iç çı, en uzun kenr krşısınd 0,0 rlığınd çının değeri üyüdükçe küsü küçülür. Bu durumd izden istenen ölçüsü en üyük ln çının küsüdür. Bun göre, cs Ĉ yi ulmlıyız. ABC üçgenine küs teremini uygulylım. AB BC AC. BC. AC.csĈ 7...cs Ĉ 0 6.csĈ csĉ Ĉ m 0 BD AB AD. AB. AD.cs  BD BD...cs Â.csĈ BCD üçgeninde küs teremini uygulylım, BD BC DC. BC. DC.csĈ B. Üçgenin Aln Frmülleri. İki Kenr Uzunluğu ve Bu Kenrlr Arsındki Açısı Bilinen Üçgenin Alnını Bulm Bir üçgenin lnı, üçgenin iki kenrının uzunluğu ile u kenrlrın luşturduğu çının üsünün çrpımının yrısın eşittir..csĉ...csĉ A ABC.c. Â.. Ĉ.c. Bˆ
6 İspt: CH AB çizelim. ABC üçgeninin lnı, Küs tereminden, c..c.csbˆ... Diğer yndn, BHC dik üçgeninde, Bˆ c.h c AABC HC h c h. Bˆ elde edilir. BC c c.h c h. Bˆ değerini AABC eşitliğinde yzrsk, c c.. Bˆ..c. Bˆ AABC Diğer eşitlikler enzer şekilde isptlnilir. Bir ABC üçgeninde  0 lduğun göre A ABC kçtır? A m, ve c irim.c. Â. 0 ABC mâ 60 lduğun göre ABC ve Ĉ yi ulunuz. A ABC 0 Yndki ABC üçgeninde, BC, AB ve A yi, AC uzunluğunu....c. Bˆ Sinüs tereminden, c B C 7 Ĉ. Ĉ Ĉ. Kenr Uzunluklrı ve Çevrel Çemerinin Yrıçpı Verilen Bir Üçgenin Alnı Kenr uzunluklrı,,c ve çevrel çemerinin yrıçpı r ln ABC üçgeninin lnı İspt: A ABC..c r ABC üçgeninin lnının ABC önce isptlmıştık. Sinüs tereminden Burdn.c.  A lduğunu dh r  r   r Bulunn u değer ABC yzılırs,.c.  A eşitliğinde yerine.c..c. Â..c r A ABC r 6
7 . Üç Kenr Uzunluğu Verilmiş Oln Bir Üçgenin Alnını Bulm Bir ABC üçgeninin kenr uzunluklrı,,c lsun. u c lmk üzere ABC üçgeninin lnı A ABC u.(u ).(u ).(u c) İspt: u c c u dur.  cs   cs A () c Küs tereminden, cs Â.c. cs  nın u değerini () eşitliğinde yerine yzrsk,        c.c. c c.c c c c c.c c c.c c. c. c. c.c u. u. u c. u.c u.u. u c.. u.c   u. c u. u c. u.c u. u c. u u A ABC.c. Â.c.. u c A ABC A u. u c. u ABC uu. u c. u elde edilir. Böylece terem isptlnmış lur. Kenr uzunluklrı, cm, cm, ve 7 cm ln ir üçgenin çevrel çemerinin yrıçpı kç cm dir? 7,, c 7 ise u A ABC... u 7 6 dır. Bun göre, AABC Çözümlü Srulr..c r. rc ct rctn..7 6 r..7 6 r 6 6 lduğun göre kçtır? 7
8 rctn rc ct lsun. Bu durumd tn ve ct Bun göre, tn.ct.. rc ct rctn rc lduğun göre kçtır? rc ct lsun. Bu durumd ct tür. Bu kşul uygun dik üçgen çizelim. ABC dik üçgeninde tn rctn dır. Bun göre,. AD DC, AB BD AD, AB DC rc ct rctn rc rc 90 rc 90 lur. lduğun göre BCD üçgeninin lnı kç irim kredir? mbdˆ A ve BDˆ C y ABC dik üçgeninde pisgr ğıntısı uygulndığınd, DB 7 m lsun. y 90 lduğundn, cs y ABD dik üçgeninde, y DB 7 cs tür. AD CBD üçgeninin lnı, A CBD DB. DC. y cs fnksiynunun ess periydu kç rdyndır?. f,,c,d irer reel syı ve m pzitif ir tm syı lmk üzere, m.cs c d g fnksiynunun ess periydu, m tek syı ise idi. f cs cs. fnksiynund, tek syı lduğu için, ess periyt,. Yndki şekilde ACD ile ABE üçgenleri verilmiştir. Verilenlere göre c kçtır?
9 ACD üçgeninde küs teremini uygulrsk, DC AC AD. AC. AD.cs  cs  cs  60 ABE üçgeninde küs teremini uygulrsk, EB AB AE. AB. AE.cs  lur rc ct 9 denkleminin çözüm kümei ulunuz..rc ct 9 ise, rc ct 9 ct , 7. Ynd verilen dikdörtgenler prizmsınd AE, EB, BD lduğun göre, BAC çısının küsü kçtır? AB AHC dik üçgeninde pisgr ğıntısı uygulnırs, AC AEB dik üçgeninde pisgr ğıntısı uygulnırs, BDC dik üçgeninde pisgr ğıntısı uygulnırs, BC BAC üçgenine küs teremini uygulylım, BC AB AC. AB. AC.cs Â...cs  cs Â. Kenr uzunluklrı, ve c ln ir ABC üçgeninde c c 0 lduğun göre, u üçgenin A çısı kç derecedir? c c 0 c c lmk üzere ABC üçgeninde küs teremini uygulrsk, c..c.cs  ise, c..c.cs  lur. Yukrıdki eşitlikle u eşitliğin rtk çözümünden, c..c.cs  cs  cs   m 60 9
10 lmk üzere tn göre f i ulunuz? rctn lsun. f lduğun EC irim, EK irim ise, KC irim lur. Bu durumd tn lur. KAC üçgeninde küs teremini uygulylım. Bu kşul uygun dik üçgeni çizelim. KA KC CA. KC. CA.csĈ BC AC...cs0 0. Bun göre, 6 tn rctn rctn f rctn f f 0. Aşğıdki şekilde, FACD ir eşkenr dörtgen göre kçtır? Ĉ m 0 EC, DE GA, EG lduğun Eşkenr dörtgenin tüm kenr uzunluklrı eşittir. Prlel kenrın krşılıklı kenr uzunluklrı eşittir. EG // KA çizelim. Bu durumd EK GA irim lur.. rccs f fnksiynunun en geniş tnım rlığınd kç frklı tmsyı vrdır?, 0, rccs : lduğu için rccs in tnım rlığı, Bun göre, f rccs ise, Bu durumd, 6 Bu rlıktki tmsyılr 0,, lup üç tne 0
11 fnksiynunun grfiği cs, ve, nktlrındn geçtiğine göre. çrpımı kçtır?. f. İspt: f. fnksiynunun grfiği cs, f f f ve, nktlrındn geçtiğine göre ve f.. cs cs C. İki Yy Tplmının Vey Frkının Trignmetrik Ornlrı. ve herhngi iki reel syı lmk üzere Birim çemer üzerinde, ve + syılrın krşılık gelen nktlr sırsıyl P,Q ve R lsun. A,0, P cs,, cs, R cs Şimdi AR AR AR AR, AR yi hesplylım: Q ve cs 0.cs.cs cs.cs lur. Orjin yine O nktsınd lmk üzere OP ışını O ekseni lck şekilde yeni ir Oy dik krdint sistemini seçelim. Bu krdint sistemine göre, A nktsı Acs, cs, P nktsı P,0 R nktsı R cs, lur. Bu krdint sisteminde AR yi hesplylım: cs cs..cs
12 AR cs cs cs cs. cs. cs cs. cs..cs.cs..cs.cs. lur. AR her iki krdint sisteminde de ynı lduğundn,.cs.cs..cs lur. Burdn d, R için, cs cs..cs Bu ğıntıdn yrrlnrk hesplrız: cs cs cs cs cs yi de şöyle cs..cs cs.cs.. ve herhngi iki reel syı lmk üzere İspt:.cs cs. cs cs Burdn, cs.cs. lur..cs cs. Bu ğıntıdn yrrlnrk hesplrız: yi de şöyle.cs cs..cs cs. O hlde,.cs cs. nin değerini ullım. 0 0.cs0 cs tn 0.cs0 0 lduğunu gösterelim. tn tn 0.cs0 0 lsun. tn cs 0 0.cs0 tn cs0 0 cs 0 0 cs 0. tn 60. 0
13 rc rc ifdein eşitini ullım. rc tir. y rc y tir. cs cs.cs cs..cs.cs.cs.cs.cs 0.cs.cs..cs.cs Bu iki durum uygun dik üçgen çizilirse vey cs ğıntısındn, cs ve cs y y.cs y cs.y. y y. rc rc y nin değerini ullım. dır. Bun göre, cs. cs cs ifdein değerini ullım. cs Bir üçgenin iç çılrının ölçüsü,y,z lmk üzere cs.cs y.y işleminin snucunun z türünden değerini ulunuz.
14 y z 0 y 0 z Bun göre, cs.cs y Kurl. y cs y 0 z cs z cs, R lmk üzere K..cs ifdein lileceği en üyük değer ve en küçük değer Bu kurlın dğruluğunu K nin her trfı ile ölünüp, tn dönüşümü ypıldıktn snr tplm cs frmülü uygulnrk gösterileilir...cs ifdein lileceği en üyük değer kçtır? Verilen ifdenin en üyük değeri, tir. Cevını ulduğumuz sru ile..cs y ifdein lileceği en üyük değer kçtır? srusunu iririne krıştırmmk gerekir...cs y ifdein lileceği en üyük değer, 90, y 0 için, + = 7..cs ifdein lileceği en küçük değer, tir...cs ifdein lileceği en üyük değer, 0 tir.. ve herhngi iki reel syı lmk üzere İspt: tn tn tn tn. tn tn cs.cs cs. tn cs.cs. lup py ve pydyı cs cs tn. cs.cs cs.cs ye ölersek. tn tn tn. tn Bulunn u ğıntıd yerine yzırs, tn tn tn tn. tn tn tn tn elde edilir. tn. tn Hluki..cs ifdein lileceği en üyük değer tir.
15 Snuç.cs cs..cs cs. cs cs..cs cs cs.cs. tn tn tn tn tn. tn tn tn tn. tn tn ifdein tn türünden eşitini ulunuz. tn lmk üzere, tn tn tn tn lur. tn. tn tn tn 7 nin değerini ullım. 7 0 lup, Bir ABC üçgeninin iç çılrının ölçüleri, A,B,C tn A tnb tn C ifdein snucu kçtır? tn A. tnb. tn C tn 0 tn tir. ABC üçgeninde, m  mbˆ mĉ 0 m  mbˆ 0 mĉ tna B yi 0 C tn tn ye eşitleyerek snucu ullım. A B tn0 C tn A tnb tn C tn A. tnb tn A tn A tnb tnc tn A.tnB.tnC tnb tnc tn A.tnB.tnC tn A tnb tn C tn A. tnb. tn C tn 70 lmk üzere, ct 0 yi türünden ulunuz. Tplmlrı 90 ln iki çıdn irinin tnjntı diğerinin ktnjntın eşittir. tn 7 tn 7 tn 0 tn tn 0 tn. tn 0.. ct 0 tn 0, tn 70.ct 70 Bun göre, ct 0 tn 0 tn 0 ct 70 ve tn 70 0
16 ct 0 tn 70 tn 0 tn 70. tn 0 tn 70 ct 70 tn 70.ct 70 Yndki şekilde ABCD ir kre ct 0 tn 70 tn 70 DE EC lduğun göre ct CÂE kçtır? ct 0 tn lmk üzere, ct ifdei türünden ulunuz. Önce tn in eşitini ullım. tn tn tn tn. tn tn tn tn y ct ABCD kre lduğu için AC köşegen Ve ctcâd y CÂE ct ct CÂE ct ct y tn tn y tn y tn. tn y tn Bun göre, lur. ct tn ct DE tn y DA tn y tn y DE DA tn y Bun göre, ct CÂE ct y tür. 6
17 D. Yrım Açı Frmülleri Burd, herhngi ir reel syının trignmetrik değerini, u syının yrısının trignmetrik değeri cinden veren ğıntılrı tplm frmüllerinden yrrlnrk ulcğız. Bir önceki ölümde elde ettiğimiz frmüller yrdımıyl ifdede yerine yzrk cs,, tn frmüllerini elde edelim;..cs cs. ise yerine yzrsk,.cs cs...cs elde edilir.. cs cs lduğunu iliyruz. cs cs cs cs cs.cs. cs. vey unun eşiti ln, Snuç Yrım çı frmülleri,..cs cs. cs. tn tn tn ct ct dır..ct.cs Py ve pydyı cs ifdein en sde hlini ullım. ile çrplım,...cs. cs cs cs cs. tn tn tn tn tn. tn. tn tn tn. ct ct ct ct.ct ct ct.ct ct.cs çrpımını ullım...cs.cs.cs. cs ifdein snucu kçtır? tür. 7
18 cs cs cs. cs cs cs cs cs tn ifdein snucun ullım.. tn lsun. tn tn.. tn tn Bu denklemin köklerini ullım;..c. cs0. 0 lur ve 0 O hlde tn. ve, Dik kenr uzunluklrı er irim ln ir DBC dik üçgeni çizelim: BD pisgr tereminden irim CA dğru prçsınd BC ve AB irim lsun. BD irim lduğu için, ABD ikizkenr üçgen İkizkenr üçgenin iki çısının ölçüsü iririne eşittir. BÂD madˆ B m () Üçgenin ir dış çısının ölçüsü, u çıy kmşu lmyn iki iç çının tplmın eşittir. m CBˆD mbâd madˆ B BÂD mbâd m.m BÂD BÂD, m ACD dik üçgeninde A çısının tnjntını ullım. tn lur. DC ulunmuş CA AĈD tn tn 0 lduğundn kök lmz.
19 E. Dönüşüm Ve Ters Dönüşüm Frmülleri Tplm durumundki trignmetrik ifdeleri, çrpım içimine getirmeye yryn trignmetrik eşitliklere dönüşüm frmülleri denir. Bu frmüller, tplm ve frk frmüllerinden elde edilir. I. Dönüşüm Frmülleri ve herhngi iki reel syı lmk üzere ) cs.cs.cs cs ) cs.. cs c)..cs d).cs. İspt: Tplm ve frk frmüllerinden, ) csp q csp. q p.cs q cs p q csp.csq p. q eşitlikleri trf trf tplnırs, cs p q csp q csp.cs q () elde edilir. ) csp q csp. q p.cs q cs p q csp.csq p. q eşitlikleri trf trf çıkrılırs, cs p q csp q p.q elde edilir. p ve q değerleri u eşitlikte yerine yzılırs, cs cs.. c) p q p.csq csp. q p q p.csq csp. q eşitlikleri trf trf tplnırs, p q p q p.cs q elde edilir. p ve q değerleri u eşitlikte yerine yzılırs,..cs d) Sn eşitlikte yerine yzılırs, p q p q eşitliklerinden, p, q..cs Bu değerler () eşitliğinde yerine yzılırs, cs cs.cs.cs..cs elde edilir. Böylece terem isptlnmış lur. 9
20 ise, cs cs cs cs ifdein değerini ulunuz..cs..cs.cs.cs.cs ct ct..cs Tplmı 90 ln iki çıdn irinin üsü diğerinin küsüne eşit lduğu için cs 70 0 Verilen ifdedeki cs 70 yerine 0 yi yzıp snr d dönüşüm frmülünü uygulylım. 70 cs cs 0 cs cs ct 60..cs... cs0 0 cs0 0 ifdein değerini ullım. cs0 cs0 0 cs0 0 lsun. cs cs.cs 0.cs 70.cs cs cs işleminin snucunu ullım. cs 0 cs cs0 cs 0.cs.cs 60.cs 0.cs.. cs ec sec 6 ifdein değeri kçtır? cs. lmk üzere türünden değeri nedir? 70 cs70 ifdein Tplmı 90 ln iki çıdn irinin sekntı diğerinin ksekntın eşit lduğu için sec 6 csec 0
21 Bun göre, cs ec sec 6 csec csec. 0.cs 0.cs 0.cs 0 0 cs 0 0.(.cs 0 cs 0.(.cs 0 ) cs 0 ) 0 cs0 0 cs0 Bun göre, 0 cs cs 0 cs 0 0 cs0.cs...cs cs 6 işleminin snucu kçtır? 0 0.cs.0.cs( 0 ) 0.cs cs0 0.cs.cs0.cs( 0 ) 0 0 cs 0 cs 0 0.cs0.cs0 tn 0 Snuç tn tn cs.cs tn tn cs.cs ct ct. ct ct. tn 7 tn ifdein değerini ullım. tn 7 tn 7 cs 7 cs 7.cs cs cs 7 7 cs. cs
22 ct ct ifdein eşiti ln ifdeyi ullım. cs cs ct ct Kurl.cs cs... cs ec. cs cs cs ifdein eşitini ullım.,, syılrının rdışık terimleri rsındki frk sittir. Aynı zmnd, tür. Bu durumd, cs cs cs cs cs cs y y y cs cs cs y y cs cs cs y y y tn y y ct ct ct tür. 9 cs cs cs 9 cs ifdein eşitini ullım. 7 ifdein eşitini ullım. cs cs cs cs cs cs 7 7 cs cs cs 7 7 tn tn tir. Yukrıdki örneği genelleştireiliriz: Yukrıdki örnekteki gii; py ve pyd rdışık iki terimin çılrının rtış miktrının sit lduğu dizilimlerde ilk terimin çı değeri ile sn terimin çı değerinin rtlmsı (tplmın yrısı) snucun çı değerini verir. Kesrin pyındki terimler üslü, pydsındki terimler de küslü ise snuç tnjntlıdır. Eğer kesrin pyındki terim küslü, pydsındki terimler de üslü ise snuç ktnjntlıdır.,, 9, te rdışık iki terimin frkı sit lduğu için yukrıdki nltılnlr göre,
23 9 cs cs cs 9 cs cs tn tn 7 lur. II. Ters Dönüşüm Frmülleri Çrpım durumundki trignmetrik ifdeleri tplm içimine getirmeye yryn trignmetrik eşitliklere ters dönüşüm frmülleri denir. Bu frmüller tplm ve frk frmüllerinden elde edilir. ve herhngi iki reel syı lmk üzere ) cs.cs. cs cs 7 9.cs.cs ifdein eşitini ullım. ).. cs cs 9 7 cs cs. 9 9.cs..cs...cs 7 7.cs..cs.cs.cs.cs..cs.cs.cs.cs () 7 9 ()..cs..cs.cs.cs.. cs cs.cs.cs ()...cs.cs.cs.cs c).cs. d) cs.. İspt: Tplm ve frk frmüllerinden, cs cs cs.cs. cs.cs. eşitlikleri önce trf trf tplnır, snr çıkrılırs, cs cs cs.cs.cs cs.. Burdn, cs.cs. cs () cs ve cs () cs Tplm ve frk frmüllerinden,.cs cs..cs cs.
24 eşitlikleri önce trf trf tplnır, snr çıkrılırs,..cs.cs. Burdn,.cs () ve (). cs cs 0.cs60.cs0.cs 0 ifdein şitini ulunuz. cs. 7.cs ifdein eşitini ullım. cs 0.cs 0. cs0. cs 0 cs 0 7.cs 7 7 cs 0.cs60.cs0.cs 0. cs 0.cs 0 lur...cs 0.cs 0.cs 0.cs 0. cs 60 cs 0 70 ise nedir? cs.cs cs.cs ifdein türünden değeri.[cs(. cs 90 ) cs 0 cs( )].cs 0.cs 60.cs 0.cs ifdein en sde hlini ulunuz.. cs cs lduğundn,
25 .... cs.cs () dur cs cs 9 lduğu için cs 9.. cs..cs lur..cs 7 ifdein değerini ullım..cs.cs 7 lduğundn, Bun göre, cs.cs 9.cs.cs.cs 9.cs..cs..cs 9 9 cs cs 6 cs.cs.cs ct 0 lmk üzere cs 0.cs0.cs 0 ifdein türünden değerini ulunuz işleminin snucu kçtır? Çrpımı, ters dönüşüm frmülünü kullnrk çözeiliriz. Anck urd şk ir yöntem kullncğız. Çözüm için üsün yrım çı frmülünden yrrlnmk için; ifdeyi. 0 ile çrpıp,. 0 ile ölelim cs cs 9 cs 0.cs0.cs 0
26 . 0.cs0.cs 0.cs cs 0 cs 0 0.cs cs0.ct Çözümlü Srulr. y lmk üzere, değerini ulunuz. y y.. cs cs y y y y..cs cs cs y ifdein y y 6 y cs cs 6 cs.cs.cs işleminin snucunu ullım.. tn rctn rc ct ifdein değerini ulunuz. Bir önceki örnekte ypıln işlemleri tekrr ettirirsek, ifdeyi. ile çrpıp,. ile ölelim...cs.cs.cs..cs....cs..... cs.cs. rctn ve rc ct lsun. Bu durumd tn ve ct lur. ct tn Bun göre, tn rctn rc ct tn tn tn tn. tn. 6
27 . rc ct tn rc lduğun göre kçtır? rc ct ct tür. rctn tn Bu iki durum uygun dik üçgenler çizilirse, 0 cs rc ct tn rc rc 0 cs.cs cs lmk üzere değerini ulunuz. lmk üzere, Tplmı cs 0 ifdein türünden cs cs 90 ln iki çıdn irinin küsü diğerinin üsüne eşit lduğu için, cs 0 0 Bun göre, cs cs.. 6. tn lmk üzere cs in değeri kçtır? tn kşulun uyn dik üçgeni çizersek, lduğun göre, cs. 6 cs 6 işleminin snucu kçtır? cs cs..cs.cs... 6 cs 6 cs 6.cs. cs 6..cs lmk üzere eşiti kçtır? cs cs.cs 7 ifdein 7
28 Bu durumd, Bun göre, 7 cs 7 70 lur... cs cs.cs 7.cs 7... cs 7.cs 7 cs 7. Aşğıdki şekilde ABEK dikdörtgen HE. KH, BC. CE, KH CE,. AB. BE, m HÂC lduğun göre θ kçtır? Aşğıdki şekilde ABEK dikdörtgeninde, mcâh y lsun. KH, KA CB, AB mkâh, lmk üzere.cs lduğun göre cs kçtır? ikinci ölgede lduğu için cs 0 dır..cs cs tür. cs cs.cs lduğun göre,.cs. cs. cs cs 6 6 cs tür. 6 HE. KH, BC. CE, KH CE,. AB. BE Bun göre, 90 y cs y cs.cs y.y
29 9
GeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit
www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz
(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC
![(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC](/thumbs/67/57138703.jpg "(, ) ( ) [ ] [ ] ve [ ] [ ] ( ) ( ) ÜÇGENLERDE TRİGONOMETRİK ÖZELLİKLER. A. Kosinüs Teoremi: Herhangi bir ABC")
ÜÇGNLR TRİGONOMTRİK ÖZLLİKLR. Kosinüs Teoremi: Herhngi ir üçgeninin, kenr uzunluklrı,, ise; = +... os = +... os = +... os İspt: Şekilde görüldüğü üçgeni, köşesi ile orijin, kenrı ile ekseni ile çkışk şekilde
11. SINIF GEOMETRİ. A, B ve C noktaları O merkezli çember üzerinde. Buna göre, BE uzunluğu kaç cm dir? B) 7 3 C) 8 3 A) 5 2 E) 9 5 D) 7 5 (2008 - ÖSS)
ÇMR ÖSS SRULRI 1., ve noktlrı merkezli çember üzerinde m( ) = m( ) =. ir dik üçgeni için, = cm ve = 4 cm olrk veriliyor. Merkezi, yrıçpı [] oln bir çember, üçgenin kenrını ve noktlrınd kesiyor. un göre,
11. BÖLÜM. Paralelkenar ve Eşkenar Dörtgen A. PARALELKENAR B. PARALELKENARIN ÖZEL LİKLERİ ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK
G O M T R İ www.kdemivizyon.com.tr. ÖÜM Prlelkenr ve şkenr örtgen. PRNR rşılıklı kenrlrı prlel oln dörtgenlere prlelkenr denir. [] // [] [] // [] = =. PRNRIN ÖZ İRİ. rşılıklı çılr eş ve rdışık çılr ütünlerdir.
Çevre ve Alan. İlköğretim 6. Sınıf
Çevre ve Aln İlköğretim 6. Sınıf Çevre Merhb,ilk olrk seninle birlikte evin çevresini bulmy çlışlım Kırmızı çizgiler evin çevre uzunluğunu verir. Çevre Şimdi sır futbol shsınd Çevre Şimdi,Keloğlnın Pmuk
1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
TEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
Örnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ
ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
G E O M E T R İ. Dar Açılı Üçgen. denir. < 90, < 90, < 90 = lik açının karşısındaki kenara hipotenüs denir. > 90
G O M T R İ. ÖLÜM Üçgende çılr. ÜÇGN oğrusl olmyn üç noktyı birleştiren doğru prçlrının birleşim kümesine üçgen denir. ış çı ış çı ış çı. ÇILRIN GÖR ÜÇG N ÇŞİTLR İ r çılı Üçgen Üç çının ölçüsü de 90 den
TYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
1993 ÖYS. 1. Rakamları birbirinden farklı olan üç basamaklı en büyük tek sayı aşağıdakilerden hangisine kalansız bölünebilir?
ÖYS. Rkmlrı birbirinden frklı oln üç bsmklı en büyük tek syı şğıdkilerden hngisine klnsız bölünebilir? D) 8 E) 7. +b= b olduğun göre, b kçtır? D) 8 E). İki bsmklı, birbirinden frklı pozitif tmsyının toplmı
1997 ÖYS A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50. olduğuna göre, k kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7 ÖYS. 0,00 0,00 k 0,00 olduğun göre, k kçtır? 6. Bir ust günde çift ykkbı, bir klf ise günde çift ykkbı ypmktdır. İkisi birlikte, 8 çift ykkbıyı kç günde yprlr? 0 C) 0 D) 0 C) D). (0 ) ( 0) işleminin
ÜÇGENDE ALAN. Alan(ABC)= 1 2. (taban x yükseklik)
ÜÇGN LN Üçgende ln Şekilde verilen üçgeninde,, üçgenin köşeleri, [], [], [] üçgenin kenrlrıdır. c b üçgeninin kenrlrı dlndırılırken, her kenr krşısınd bulunn köşenin hrfi ile isimlendirilir. üçgeninin
Trigonometri - I. Isınma Hareketleri. 1 Aşağıda verilenleri inceleyiniz. 2 Uygun eşleştirmeleri yapınız. 3 Uygun eşleştirmeleri yapınız.
Isınm Hreketleri şğıd verilenleri inceleyiniz. Yönlü çı: Trigonometrik irim Çember: Merkezi orjin, yrıçpı br oln çemberdir. O + yön éo Pozitif yönlü (Stin tersi) O yön éo Negtif yönlü (St yönü) O y x Denklemi:
12. a = log 5 7, b = log 3 2 ve c = log 2 13 sayıları arasındaki. 13. log 3 75 sayısı aşağıdaki aralıkların hangisinde bulunur?
www.mtemtikclub.cm, 00 MC Cebir Ntlrı Gökhn DEMĐR, gdemir@h.cm.tr Lgritm. lg TEST I lg + lg 9 işleminin snucu C) 4. lg + = ise kçtır? 9 C) 4 9. lg 7! = ise lg 8! C) + 0. lg = ve lg = b ise lg 9 0 nin ve
ÜÇGEN VE PİSAGOR BAĞINTISI
ÜÇGEN VE PİSGOR ĞINTISI KZNIMLR Üçgen kvrmı Üçgen çizimi Üçgenin kenrlrı rsındki ğıntılr Üçgen eşitsizliği Üçgenlerde yükseklik Üçgenlerde kenrorty Üçgenlerde çıorty Kenr ort dikme kvrmı Pisgor ğıntısı
Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya birim çember denir. y B(0,1) C(1,0)
BÖLÜM TRİGONOMETRİ.. TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR... BİRİM ÇEMBER Tnım : Merkezi orijin ve yrıçpı birim oln çembere trigonometrik çember vey birim çember denir. Trigonometrik çemberin denklemi + y dir.yni
1988 ÖYS. 1. Toplamları 242 olan gerçel iki sayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 4, kalan 22 dir. Küçük sayı kaçtır?
988 ÖYS. Toplmlrı 4 oln gerçel iki syıdn üyüğü küçüğüne ölündüğünde ölüm 4, kln dir. Küçük syı kçtır? A) 56 B) 5 C) 48 D) 44 E) 40. 0,5 6 devirli (peryodik) ondlık syısı şğıdkilerden hngisine eşittir?
2009 Soruları. c
Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı
İkinci Dereceden Denklemler
İkini Dereeden Denkleler İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :,, R ve olk üzere + + denkleine, ikini dereeden ir ilineyenli denkle denir Bu denkledeki,, gerçel syılrın ktsyılr, e ilineyen
ÜÇGENDE AÇI-KENAR BAĞINTILARI
ÜÇGN ÇI-NR ĞINTILRI ir üçgende üük çı krşısınd üük kenr, küçük çı krşısınd küçük kenr ulunur. 3 Şekildeki verilere göre, en uzun kenr şğıdkilerden hngisidir? 3 3 üçgeninde, kenrlr rsınd > > ğıntısı vrs,
HİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
1987 ÖSS A) 0 B) 2. A) a -2 B) (-a) 3 C) a -3 D) a -1 E) (-a) 2 A) 1 B) 10 C) 10 D) 5 10 E) a+b+c=6 olduğuna göre a 2 +b 2 +c 2 toplamı kaçtır?
987 ÖSS. Yukrıdki çıkrm işlemine göre, K+L+M toplmı şğıdkilerden hngisine dim eşittir? A) M B) L C) K M K 5. 4 işleminin sonucu kçtır? A) 0 B) C) 5 4 5. Aşğıdki toplm işleminde her hrf sıfırın dışınd fklı
c
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
7.SINIF: ÇOKGENLER ÇOKGENDE AÇILAR. Doğrusal olmayan üç veya daha fazla noktanın birleşmesiyle oluşan kapalı geometrik şekillere çokgen denir.
7.SINIF: ÇOKGNLR oğrusl olmyn üç vey dh fzl noktnın birleşmesiyle oluşn kplı geometrik şekillere çokgen denir. n kenrlı bir çokgenin bir dış çısının ölçüsü 360/n dir. n kenrlı bir çokgenin bir iç çısının
[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br.
![[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br.](/thumbs/65/52892858.jpg "[BC] // [AD] [AC] ve [BD] AD =6 br BC =10 br. olduğuna göre, EF MN k a ç birimdir? Ayr ı c a. [AC] ve [BD] EF =6 br BC =8 br.")
YU ( YU TII ORT T YU LI İİZR YU İ YU ) YU TII ORT T Y l n ı z ik i k e n r ı b i r b i r i n e p r l e l l n d ö r t g e n e Y U d e n i r. [ ] / / [ ] i s e y m u k t u r. y m u ğ u n d, ve L kenr rt
G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br
![G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br](/thumbs/60/44844201.jpg "G E O M E T R İ ÖRNEK. AB = 8 br. BC = x br ÇÖZÜM. Cevap C dir. ÖRNEK. [AF] [BF] [AF açıortay BE = EC EF = 1 br AB = 7 br")
G O M T R İ www.kemivizyon.om.tr 3. ÖLÜM Üçgene çı Kenr ğıntılrı 1. < < + < < + < < + ir üçgene ir kenr uzunluğu, iğer iki kenr uzunluklrının toplmınn küçük; mutlk frkınn üyüktür. ÖRNK m() m() m() = r
ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 11. SINIF TEST SORULARI
EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 7. MATEMATİK YARIŞMASI. SINIF TEST SORULARI. + işleminin sonucu kçtır? 5 5 A) 0 B) 0 C) 0 7 D) 0 9 E). y = x x + prbolünün y = x doğrusun en ykın noktsının koordintlrı toplmı
Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.
Sunum ve Sistemtik ÖLÜM: ÖRTNLR LIŞTIRMLR u bşlık ltınd her bölüm kznımlr yrılmış, kznımlr tek tek çözümlü temel lıştırmlr ve sorulr ile trnmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf içinde öğrencilerle işlenmesi
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 19. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
OKULLAR ARASI 9. MATEMATİK YARIŞMASI. 700 doğl syısı için şğıdkilerden kç tnesi doğrudur? I. Asl çrpnı tnedir. II. Asl çrpnlrının çrpımı 0 dir. III. Tmsyı bölenlerinin toplmı 0 dır. IV. Asl çrpnlrının
İntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
KÜRESEL TRİGONOMETRİ. q z
KÜRESEL TRİGONOMETRİ Düzlemden küreye geçtiğimize göre küre üzerindeki ir noktnın yerini elirten geometrik kon düzeneklerini tnımlmk gerekir. Genelde iki tür kon düzeneği kullnılır : - Dik kon düzeneği
), 10!+ 11! en küçük do ai sayısının karesine e it olur? A) 5 B)7 C) 13 D) 14 E) a!+ b!= 10.a! A)8 B) 10 C) 15 D)17 E)23
FAKTÖR yeı- ı-rrvı (n + 1)! (n - 'l)! 1",-]!]-_ı^ (n - 1)! (n - 2)! ldu un göre, n kçtır? A)g B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 ), 10!+ 11! tplmı ıdki syılrdn hngisi ile çrpıldı ınd en küçük d I syısının kresine
RASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
9. log1656 x, log2 y ve log3 z
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Logritm Alm Kurllrı Dersin Konusu. log4 loge ln4 işleminin sonucu kçtır? D) ln E) ln 6. olduğun göre, 8 9 log 9 4 ifdesi nee eşittir? D) E). log
MUTLAK DEĞER. Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile. gösterilir. x x. = a olarak tanımlanır.
gösterilir. MUTLAK DEĞER Syı doğrusu üzerinde syısının sıfır oln uzklığın in mutlk değeri denir ve ile B O A 0 OA = OB =, 0 =, < 0 olrk tnımlnır. < 0 < y için y = y işleminin eşitini bulunuz. < 0 için
Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...
![Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...](/thumbs/84/89541332.jpg "Örnek...3 : Örnek...1 : ABCD yamuk [AC] köşegen E [AC] [AB] // [CD] AB = AE. Örnek...2 : ABCD yamuk [AB] // [CD] BC = CE AE = BE. Örnek...")
YU ( YU TNII ORT TN YU NI İİZNR YU İ YU ) YU TNII Ylnız iki kenrı birbirine prlel oln dörtgene YU denir. [] // [] ise ymuktur. rlel oln kenrlr ymuğun tbnlrıdır. [] ve [] tbn. iğer iki kenr yn kenrlrdır.
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 27 Kasım Matematik Sorularının Çözümleri
Akdemik Personel ve Lisnsüstü Eğitimi Giriş Sınvı ALES / Sonbhr / Syısl II / 7 Ksım 0 Mtemtik Sorulrının Çözümleri. Bölüm şeklindeki kreköklü ifdenin pydsını krekökten kurtrmk için py ve pydyı, pydnın
JEODEZI. Referans Yüzeyi Dönel Elipsoidin Genel Özellikleri. Dönel Elipsoidin Geometrik Parametreleri
.0.013 1 JEODEZI.0.013 Referns Yüeyi Dönel Elipsidin Genel Öellikleri Dönel Elipsidin Gemetrik Prmetreleri Elips: iki nkty uklıklrı tplmı sbit ln nktlr kümesine denir. Bir elipsin küçük ekseni çevresinde
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
Örnek...2 : Örnek...3 : Örnek...1 : Örnek...4 : a 3 DÜZGÜN ALTIGEN DÜZGÜN ALTIGEN TANIM VE ÖZELLİKLERİ. ABCDEF düzgün
ÜZGÜN TIGN ( ÜZGÜN TIGN TNIMI, ÖZİİ V NI ĞNİM ) ÜZGÜN TIGN Örnek...2 : TNIM V ÖZİİ enr syısı 6 oln çok - gene lt ıgen denir. ltıgeni için [], [] ve [] köşegenlerinin kesim noktsı oln noktsı dü zgün ltıge
Cebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
(bbb) üç basamaklı sayılardır. x ile y arasında kaç tane asal sayı vardır? A)0 B)1 C) 2 D) 3 E) x, y, z reel sayılar olmak üzere, ifadesinin
4 () ve (bb) iki bsmklı syılr, () ve 1 x=15! +1 y=15!+16 olmk üzere, (bbb) üç bsmklı syılrdır x ile y rsınd kç tne sl syı vrdır? A)0 B)1 C) D) 3 E) 4 b + bb + bbb = 6 olduğun göre, b çrpımı en çok kçtır?
a 4 b a Cevap : A Cevap : E Cevap : C
TYT / TETİK Deneme - 8., 8 - - - - 8-8 - & - - $ c- m + 5 5 0 0 -. 5 5 $ 75. 5 75 89 5 75 5-9 ^5-9h$ ^5 + 9h 5 ^5-9h$ ^5+ 9h $ 7 evp : 5.. 00 + 0 + 00 + 0 + + 00 + 0 + ( + + ) 55 - - 0 & - 0 & olmlıdır.
ek tremum LYS-1 MATEMATİK MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte Matematik Alanına ait toplam 80 soru vardır.
LYS- MTEMTİK MTEMTİK TESTİ. u testte Mtemtik lnın it toplm 0 soru vrdır.. evplrınızı, cevp kâğıdının Mtemtik Testi için yrıln kısmın işretleyiniz.. = 5! +! olduğun göre,! syısının türünden eşiti şğıdkilerden
Matematik Olimpiyatları İçin
ONU NLTIMLI Mtemtik Olimpiytlrı İçin enzerlik LİS MTMTİ OLİMPİYTLRI İÇİN Mustf Yğı, Osmn kiz enzerlik Mustf Yğı Osmn kiz İki çokgenin köşeleri rsınd ire-ir eşleme ypılırs eşleştirilen köşelere krşılıklı
ÜNİTE - 7 POLİNOMLAR
ÜNİTE - 7 BÖLÜM Polinomlr (Temel Kvrmlr) -. p() = 3 + n 6 ifdesi bir polinom belirttiğine göre n en z 5. p( + ) = + 4 + Test - olduğun göre, p() polinomunun ktsyılr toplmı p() polinomund terimlerin kuvvetleri
7.SINIF: PARALELKENARIN ve ÜÇGENİN ALANI
7.SINIF: PRLLKNRIN ve ÜÇGNİN LNI ikdörtgen şeklindeki ir krtonu şekildeki gii işretlenen yerden kesip diğer trf eklediğimizde krtonun eksilmediğini,sdece görüntüsünün değiştiğini görürüz. Prlelkenrd Yükseklik
1992 ÖYS. 1. Bir öğrenci, harçlığının 7. liralık otobüs biletinden 20 adet almıştır. Buna göre öğrencinin harçlığı kaç liradır?
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000 6. Bir lstik çekilip uztıldığınd
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU BANKASI ANKARA
YÜKSEKÖĞRETİM KURUMLARI SINAVI MATEMATİK SORU ANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Fonksionlr... Polinomlr... II. Dereceden Denklemler... 7 II. Dereceden Fonksionlrın Grfiği (Prbol)... 7 Krmşık Sılr... 9 Mntık...
Üslü İfadelerde İşlemler (Temel Kurallar) - Çalışma Kağıdı Ortaokul Matematik Kafası $ = k) 81 $ 243 = Kerim Hoca. p) 125 $ 625 = w) 3
.Sınıf Mtemtik ÜSLÜ İFADELER Yyın No : / Kznım :... + Üssün Üssü ve Sırlm Bir üslü ifdenin üssü lındığınd üsler çrpılır.. Alıştırmlr Aşğıdki işlemlerin sonuçlrını üslü biçimde yzınız. y ^ h y ) ^ h b)
1992 ÖYS A) 0,22 B) 0,24 C) 0,27 D) 0,30 E) 0, Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi havuzun
99 ÖYS. Bir öğrenci, hrçlığının 7 si ile, 000 lirlık otobüs biletinden 0 det lmıştır. Bun göre öğrencinin hrçlığı kç lirdır? 0 000 B) 0 000 C) 60 000 D) 80 000 E) 00 000. Bir stıcı, elindeki mlın önce
SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
DOĞRUDA AÇILAR. Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar. Açı Ölçü Birimleri. Açı Türleri. çözüm. kavrama sorusu
OĞRU ÇILR Temel Kvrmlr ve oğrud çılr Nokt: Nokt geometrinin en temel terimidir. ni, boyu vey yüksekliği yoktur. İnce uçlu bir klemin kğıt üzerinde bırktığı iz olrk düşünebilirsiniz. oğru: üz, klınlığı
DRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.
Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c
MATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. 1. y 1 1 + 1 1ʺ 1 1ʹ 17 0ʹ 1 1ʹ ʹ + ʹ 1ʺ ʹ + ʹ 1ʺ 7 0ʹ 1ʺ 0 0ʹ 1ʺ bulunur. 1 y < + 1 y dir. y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri
SAYI ÖRÜNTÜLERİ VE CEBİRSEL İFADELER
ÖRÜNTÜLER VE İLİŞKİLER Belirli bir kurl göre düzenli bir şekilde tekrr eden şekil vey syı dizisine örüntü denir. ÖRNEK: Aşğıdki syı dizilerinin kurlını bulunuz. 9, 16, 23, 30, 37 5, 10, 15, 20 bir syı
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
ÇOKGENLER Çokgenler çokgen Dışbükey (Konveks) ve İçbükey (Konkav) Çokgenler dış- bükey (konveks) çokgen içbükey (konkav) çokgen
ÇONLR Çokgenler rdışık en z üç noktsı doğrusl olmyn, düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenr syılrın göre isimlendirilirler. Üçgen, dörtgen, beşgen gibi. ışbükey (onveks) ve İçbükey (onkv) Çokgenler
Geometri Notları. Üçgen [ ] [ ] [ ] Mustafa YAĞCI,
![Geometri Notları. Üçgen [ ] [ ] [ ] Mustafa YAĞCI,](/thumbs/52/29267446.jpg "Geometri Notları. Üçgen [ ] [ ] [ ] Mustafa YAĞCI,")
www.mustfygi.m, 005 Gemetri tlrı Mustf YĞI, ygimustf@yh.m,, dğrudş lmyn (ynı dğru üzerinde ulunmyn) üç nkt ise [], [], [] dğru prçlrının irleşimine üçgeni denir. vey ile gösterilir. = [ ] [ ] [ ] Söyleyemeyeni
ÜÇGENDE BENZERLİK. Benzerlik. Benzerlik Oranı. Uyarı
ÜÇN NZRLİK enzerlik eometride benzerlik kvrmı görsel olrk birbiri ile ynı oln şekiller için kullnılır. enzer iki şeklin krşılıklı kenrlrı rsınd sbit bir orn vrdır. iz bu bölümde sdece üçgenler rsındki
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİTE 2. ÜNİT
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER. Kznım : Gerçek syılr kümesinde birinci dereceden eşitsizliğin özelliklerini belirtir.. Kznım : Gerçek
1983 ÖYS A) 410 B) 400 C) 380 D) 370 E) işleminin sonucu kaçtır. 7. a, b, c birer pozitif tam sayıdır. a= 2 A) 9 B) 3 C) 2 E) 8 D) 4
98 ÖYS. işleminin sonucu kçtır. 6. Bir stıcı ir mlı üzde 0 krl strken, stış fitı üzerinden üzde 0 indirim prk 8 lir stıor. Bu mlın mlieti kç lirdır? A) 0 B) 00 C) 80 D) 70 E) 60 7.,, c irer pozitif tm
ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTALAR
ORTÖĞRETĐM ÖĞRENĐLERĐ RSI RŞTIRM ROJELERĐ YRIŞMSI (2008 2009) ORTĐK ÜÇGEN ve EŞ ÖZELLĐKLĐ NOKTLR rojeyi Hzırlyn Öğrencilerin dı Soydı : Sinem ÇKIR Sınıf ve Şuesi : 11- dı Soydı : Fund ERDĐ Sınıf ve Şuesi
İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK SÖZEL YETENEK
İÇİNDEKİLER SAYISAL YETENEK Mtemtiğe Giriş... 1 Temel Kvrmlr... 9 Doğl Syılrd Bölme İşlemi... 65 EBOB - EKOK... 93 Rsyonel Syılr... 111 Bsit Eşitsizlikler... 131 Mutlk Değer... 151 Çrpnlr Ayırm... 169
RASYONEL SAYILAR. ÖRNEK: a<0<b<c koşulunu sağlayan a, b, c reel sayıları. tan ımsız. belirsiz. basit kesir
RASYONEL SAYILAR 0 ve, Z olmk üzere şeklindeki syılr rsyonel syı denir. 0 0 tn ımsız 0 0 elirsiz 0 sit kesir ileşik kesir Genişletilerek vey sdeleştirilerek elde edilen kesirlere denk kesirler denir. Sıfır
ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER TANIMLAR :, b, R ve 0 olmk üzere denklem denir. b = 0 denklemine, ikini dereeden bir bilinmeyenli Bu denklemde, b, gerçel syılrın
LYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
TYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
II. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
Diğer kitaplar ve testler için aşağıdaki linki tıklayınız. www.izmirkpsskursu.net. EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ www.izmirkpsskursu.net 0 232 445 21 25
EĞİTİM BİLİMLERİ MERKEZİ 0 5 5 DÜZLEMDE ÇILR Prlel Ġki Doğrunun Bir Kesenle Yptığı çılr: Tnım: Bşlngıç noktsı ortk iki ışının irleşim kümesine çı denir. d 6 5 d 7 8 O OB OB = BO ÇI ÇEġĠTLERĠ. Dr çı: Ölçüsü
Örnek...1 : İNTEGRAL İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI 2 UYARI 3 ALAN HESABI UYARI 1 A 2 A 1. f (x )dx. = a. w w w. m a t b a z.
İNTEGRAL İLE ALAN HESABI UYARI =f() =f() =f() [,] rlığınd f() işret değiştiriors, f onksi on prçlr rılır =f() Şekilde =f() eğrisile ekseni ltınd kln lnı ulmk için eğrinin ltınd kln ölgei dikdörtgenlere
Ö.Y.S. 1998. MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.Y.S. 998 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Üç bsmklı bir doğl syısının ktı, iki bsmklı bir y doğl syısın eşittir. 7 Bun göre, y doğl syısı en z kç olbilir? A) B) C) 8 D) E) Çözüm y 7 7y (, en küçük bsmklı,
Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: ÖR: 3x 2-4x cebirsel ifadesine göre aşağıdaki. Terimler: Sabit Terim: Katsayılar: Terimler: Sabit Terim:
08 8. SINIF CEBiRSEL ifade VE ÖZDESLiK Ceirsel İfde:En z ir ilinmeyen ve ir işlem içeren ifdelere ceirsel ifdeler denir. Terim ÖR: x 2 -y+5 ceirsel ifdesine göre şğıdki sorulrı cevplyınız.. 2x + 3y - 5
0;09 0;00018. 5 3 + 3 2 : 1 3 + 2 3 4 5 1 2 işleminin sonucu kaçtır? A) 136 87 0;36 0;09. 10. a = 0,39 b = 9,9 c = 1,8 d = 3,7.
MC. + + +.. Rsyonel Syılr TEST I sonsuz kesrinin eşiti kçtır? A) B) C) D) E) 4 www.mtemtikclu.com, 006 Ceir Notlrı. 8. Gökhn DEMĐR, gdemir@yhoo.com.tr 0;0 0;0008 = 0; x ise x kçtır? A) 0,0 B) 0,000 C)
sayısından en az kaç çıkarmalıyız ki kalan sayı 6,9,12 ve 15 ile kalansız bölünebilsin? ()
1. x,y,z,t rdışık çift syılrdır. Bun göre (xy)-(zt)=. İki smklı () syısının değeri, rkmlrı toplmının 7 ktıdır. Üç smklı () syısının ile ölümünden elde edilen ölüm kçtır. En z dört smklı ir doğl syının
LOGARİTMA. Örnek: çizelim. Çözüm: f (x) a biçiminde tanımlanan fonksiyona üstel. aşağıda verilmiştir.
LOGARİTMA I. Üstl Fonksiyonlr v Logritmik Fonksiyonlr şitliğini sğlyn dğrini bulmk için ypıln işlm üs lm işlmi dnir. ( =... = 8) y şitliğini sğlyn y dğrini bulmk için ypıln işlm üslü dnklmi çözm dnir.
ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Trigonometrik Fonksiyonlar tanx. 1 cos x sinx ifadesi, aşağıdakilerden hangisine eşittir?
ÖĞRENİNİN I SOYI: NUMRSI: ersin dı KONU: Trignmetrik Fnksiynlar ersin Knusu. cs x sinx ifadesi, aşağıdakilerden. cs x ct x sin x sec x + sec x ) cs x csec x + csec x ) cs x. ct x cs ec x ct x. sec x csec
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (
6 ise. = b = c = d. olsun. x 3 = 0. x = 3 için Q(3 + 2) = 6. ve sayılarının sayısına uzaklığı sayısı kadar ise c a = d. Q(5) = 6 dır.
TYT / MTEMTİ eneme - 9. 7 + + + = + 9 = + = + = = bulunur. 0 evp : ^ + h. ^+ h = ^+ h $ ^+ h & ^+ h = & ^+ h = $ ^+ h = ^ h $ ^+ h & ^+ h = 6 ^+ h@ = ^ + h urdn = bulunur. evp :. 0,, ^ h + 0, $ ^0, h,,
1. x 1 x. Çözüm : (x 1 x. (x 1 x )2 = 3 2 x 2 2x = 1 x + 1 x2 = 9. x x2 = 9 x2 + 1 x2. 2. x + 1 x = 8 ise x 1 x
MC www.mtemtikclub.com, 006 Cebir Notlrı Çrpnlr Ayırm Gökhn DEMĐR, gdemir3@yhoo.com.tr Đki ifdenin çrpımı ypılırken, sonuc çbuk ulşmk için, bzı özel çrpımlrın eşitini klımızd tutr ve bundn yrrlnırız. Bu
1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...
İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE
TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi
TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35
2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ 1 PROBLEMLERİ. Prof.Dr.Burhan Celil Işık (YTÜ) Doç.Dr. Erol Yavuz (Okan Üniversitesi)
KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ * Prof.Dr. Burhn Celil Işık - ** Doç.Dr. Erol Yvuz * Yıldız Teknik Üniversitesi - ** Okn Üniversitesi KONU ANLATIMLI DÜZLEM TRİGONOMETRİ Prof.Dr.Burhn Celil Işık (YTÜ)
DOĞRUDA AÇILAR GEOMETRİ KAF01 TEMEL KAVRAMLAR NOKTA: AÇI ÖLÇÜ BİRMLERİ: DERECE: = 360 2π DOĞRU: RADYAN: KOMŞU AÇI: KAPALI DOĞRU PARÇASI: TÜMLER AÇI:
ĞRU ÇILR GMTRİ 01 TML VRMLR NT: ĞRU: ÇI ÖLÇÜ İRMLRİ: R: RYN: R = 360 2π PLI ĞRU PRÇSI: MŞU ÇI: YRI ÇI ĞRU PRÇSI: TÜMLR ÇI: ÇI ĞRU PRÇSI: ÜTÜNLR ÇI: PLI YRI ĞRU (IŞIN): R ÇI: ÇI YRI ĞRU: İ ÇI: ÇI: GNİŞ
I. b çift ise a b tek (doğru) II. b tek ise a + b çift (doğru) x, y ve z çift sayı olmamalıdır. III. a 6 + a b (yanlış)
TYT / MATEMATİK Deneme -. olsun. 0 0 0,, 0 09 9 + + + + 0,, 0 0$ ulunur. 0 0 4. ^5 5h 5 5 $ $ 6 ulunur. ^5 5 h ^ 5 5 h Cevp : D Cevp : D. + + 0 + + + + 8 8 Toplm 8 8 ^4h ulunur. 5. Asl syılr {,, 5,,,,,
2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğrenciler, Matematik ilköğretimden üniversiteye kadar çoğu öğrencinin korkulu rüyası olmuştur. Buna karşılık, istediğiniz üniversitede okuyabilmeniz büyük ölçüde YGS ve LYS sınavlarında matematik
Vektörler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Yrd.Doç.Dr.Nevin MAHİR
Vektörler zr rd.doç.dr.nevin MAHİR ÜNİTE 3 Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; Düzlemde vektör kvrmını öğrenecek, İki vektörün eşitliği, toplmı, doğrusl bğımlılığı ile bir vektörün bir gerçel syı ile çrpımı,
Tek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
DRC. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat. c m. m m. y Cevap A. Cevap D 21, 25, = = =. 21.
Deneme - / Mt MATMATİK DNMSİ. - + -. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur.. + + ulunur. ( ) c m + c m. cc m m. c m.. ulunur. evp evp. Sekiz smklı herhngi ir özel syı cdefgh
YGS-LYS GEOMETRİ ÖZET ÇÖZÜMLERİ TEST 1
YGS-YS GOMTRİ ÖZT ÇÖZÜMRİ TST 1 1. ʹ. y 1 1 1ʹ y < + 1 y dir. m ^ h olsun. + 1. 1 + 1 1 17 0 17 0 1 1 olur. + + y < 7 + 1 < 7 0 < < 1 in en büyü tm syı değeri 17 in en üçü tm syı değeri + 17 7 bulunur.
MATEMATİK.
MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Matris Cebiri...3. Elementer İşlemler Determinantlar Lineer Denklem Sistemleri Vektör Uzayları...
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Mtris Cebiri... Elementer İşlemler... Determinntlr...7 Lineer Denklem Sistemleri...8 Vektör Uzylrı...6 Lineer Dönüşümler...48 Özdeğerler - Özvektörler ve Köşegenleştirme...55 Genel