Algoritma Analizi Big O

Transkript

1 Algoritma Analizi Big O 0 {\} /\ Suhap SAHIN Onur GÖK

2 Giris Verimlilik Karsılastırma

3 Giris Hangisi daha iyi? Hangi kritere göre?

4 Giris Hangisi daha iyi? Hangi kritere göre?

5 Giris

6 Giris?

7 Verimin ölçülmesi Çalısma Zamanı Bellek kullanımı

8 Verimin ölçülmesi insan maliyeti

9 Verimin hesaplanması Çalısma Süresi Karmasıklık Parametre sayısı X (artım) Çalısma süresi Çalısma süresi karsılastırma iki farklı bilgisayar Aynı bilgisayar farklı zaman Kullanılan veri Gerekli islem miktarı

10 Verim hesaplama Veri, bilgisayar ve gerçeklestirime baglı Matematiksel bir analiz Kıyaslama Algoritma Analizi

11 Algoritma Analizi Matematiksel ifadesi nedir? Temel hesap birimi kaç adet yapılmalı? n f(n) Parametre sayısı Verimlilik n T(n) Çalısma süresi S(n) Bellek gereksinimi

12 Çalısma Süresi Hesabı Çalısma Süresi (Tn): Algoritmanın belirli bir isleme (Temel hesap birimi) kaç kez gereksinim duydugunu gösteren bagıntıdır. Temel hesap birimi: Programlama dilindeki deyimler Döngü sayısı Toplama islem sayısı Dosyaya erisim sayısı Atama sayısı

13 ÇSH: Aritmetik Ortalama float bulorta(int A[ ],int n){ 2 float ortalama, toplam=0; 3 int k; 4 for (k=0; k<n;k++) 5 toplam +=A[k]; // döngü içinde gerçekleşen işlem 6 ortalama=toplam/n; 7 return ortalama; 8 }

14 ÇSH: Aritmetik Ortalama Temel Hesap Birimi islem tekrarı Toplam,,,(n+),n 2n+2 float bulorta(int A[ ],int n){ 2 float ortalama, toplam=0; 3 int k; 4 for (k=0; k<n;k++) 5 toplam +=A[k]; n n 6 ortalama=toplam/n; 7 return ortalama; 8 } T(n)=3n+4

15 ÇSH: En Küçük eleman int bulenkucuk(int A[], int n){ 2 int enkucuk; 3 int k; 4 enkucuk=a[0]; 5 for (k=0; k<n;k++) 6 if(a[k]<enkucuk) 7 enkucuk=a[k]; 8 return enkucuk; 9 }

16 ÇSH: En Küçük eleman Temel Hesap Birimi islem tekrarı Toplam,,,n,(n+) 2n int bulenkucuk(int A[], int n){ 2 int enkucuk; 3 int k; 4 enkucuk=a[0]; 5 for (k=0; k<n;k++) 6 if(a[k]<enkucuk) n- n- 7 enkucuk=a[k]; n- n- 8 return enkucuk; 9 } T(n)=4n

17 ÇSH: Matris Toplama void toplammatris(int A[2][2], int B[2][2]){ 2 int C[2][2]; 3 int i,j; 4 for(i=0;i<2;i++) 5 for(j=0;j<2;j++) 6 7 C[i][j]=A[i][j]+B[i][j]; }

18 ÇSH: Matris Toplama Temel Hesap Birimi tekrarı Toplam,,,n,(n+) 2n+2,, n*(2m+2) 2nm+2n n*m nm void toplammatris(int A[2][2], int B[2][2]){ 2 int C[2][2]; 3 int i,j; 4 for(i=0;i<2;i++) 5 for(j=0;j<2;j++) 6 7 islem C[i][j]=A[i][j]+B[i][j]; } T(n)=3nm+4n+2

19 ÇSH: Faktöriyel Hesabı int faktoriyel(int n){ } if(n<=) return ; else return (n*faktoriyel(n-));

20 ÇSH: Faktöriyel Hesabı Temel Hesap Birimi tekrarı Toplam n n n- n- int faktoriyel(int n){ 2 if(n<=) 3 return ; 4 else 5 6 islem return (n*faktoriyel(n-)); } T(n)=2n

21 Karmasiklik Karmasıklıgı ifade edebilmek için matematiksel ifadeler kullanılmaktadır. Küçük-o (small-o) Büyük-O (big-o, veya big-oh diye de geçer) Teta (Theta Θ, sadece büyük tetadan bahsedebiliz) Büyük omega (big-ω ) Küçük omega(small-ω )

22 Lineer Döngü Asagıdaki kod kaç defa döner: i= loop( i <= 000 ) (loop body) i=i+ end loop

23 Logaritmik Döngü Çarpım Döngüsü Bölüm Döngüsü i= loop( i <= 000 ) (loop body) i=i*2 end loop i = 000 loop( i >= ) (loop body) i=i/2 end loop

24 Logaritmik Döngü Çarpım çarpım: bölüm: 2iterasyon < / 2iterasyon >= Bölüm iterasyon i iterasyon i çıkıs 024 çıkıs 0

25 iç içe döngüler Karesel (Quadratic) Bagımlı Karesel (Dependent Quadratic) Lineer Logaritmik (Linear Logarithmic)

26 Karesel i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= 0 ) (loop body) j=j+ end loop i=i+ end loop

27 Bagımlı Karesel i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= i ) (loop body) j=j+ end loop i=i+ end loop

28 Lineer Logaritmik i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= 0 ) (loop body) j=j*2 end loop i=i+ end loop

29 Big O Gösterimi f(n) fonksiyonundan O(n) degerini hesaplamak için asagıdaki adımlar gerçeklestirilir: ) Tüm katsayılar yapılır 2) En büyük terim alınır, digerleri gözardı edilir. Terimlerin küçükten büyüge sırası asagıdaki gibidir: sabit log2n n nlog2n n2 n3 nk 2n n!

30 Big O Gösterimi

31 Big O Gösterimi

32 Big O Gösterimi Big O Degisim sekli O() Sabit, degismiyor O(log n) Logaritmik artıyor O(n) Dogrusal artıyor O(n log n) Dogrusal çarpanlı logaritmik O(n2) Karesel artıyor O(n3) Kübik artıyor O(2n) iki tabanında üssel artıyor O(0n) On tabanında üssel artıyor O(n!) Faktöriyel olarak artıyor

33 Big O Gösterimi Lineer Döngü i= loop( i <= 000 ) (loop body) i=i+ end loop Logaritmik Döngü //Çarpım Döngüsü i= loop( i < 000 ) (loop body) i=i*2 end loop 2iterasyon<000 f(n)=n/2 => f(n)=n => O(n) 000/2iterasyon>= //Bölüm Döngüsü i = 000 loop( i >= ) (loop body) i=i/2 end loop 2i=n => f(n)=log2n O(log n)

34 Big O Gösterimi // Karesel i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= 0 ) (loop body) j=j+ end loop i=i+ end loop f(n)=n*n => O(n2) // Bağımlı Karesel i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= i ) (loop body) j=j+ end loop i=i+ end loop f(n)=[n*(n+)]/2 => O(n2) // Lineer Logaritmik i= loop( i <= 0 ) j= loop( j <= 0 ) (loop body) j=j*2 end loop i=i+ end loop f(n)=n*log2n O(n log n) :

35 Büyük O Gösterimi Big O : her seyin ters gittigi durum

36 Büyük O Gösterimi Algoritmanın büyüme katsayısı

37 Büyük O Gösterimi

38 Sabit Zaman O() Sana pepsi veriyorum

39 Sabit Zaman O() char *icecekler[4]={"kola","sprite","pepsi","fanta"}; char* icecek =icecekler[2]; Sana pepsi veriyorum

40 Lineer Zaman O(N) ilk içecek pepsi mi? ikinci içecek pepsi mi? üçüncü içecek pepsi mi? dördüncü içecek pepsi mi? Buldum

41 Lineer Zaman O(N) #include <stdio.h> int icecekvarmi(char *istenilen, char *icecekler[]){ char* esya; int i=0; for(i=0;i<4;i++){ esya = esyalar[i]; if(esya == istenilen) return ; } return 0; } int main() { char *icecekler[4]={"kola","sprite","pepsi","fanta"}; int gelen = icecekvarmi("kola",esyalar); if(gelen) printf("buldum :)"); else printf("bulamadım :("); return 0;

42 Logaritmik Zaman O(log N) Sayı ile 9 arasında tahmin et Sayı 4? Degil Sayı 4 den küçük? Evet

43 Logaritmik Zaman O(log N)

44 Logaritmik Zaman O(log N) int find(int intarray[],int MAX, int data) { int low= 0; int high= MAX-; int mid= 0; while(low<=high){ mid=(low+high)/2; if(intarray[mid]==data){ return mid; if(intarray[mid]>data){ high=mid-; else low=mid+; } return -; }

45 Üstel Zaman O(n^2)

46 Üstel Zaman O(n^2)

47 Üstel Zaman O(n^2) void sort(int intarray[],int MAX) { int temp,i,mov; for(mov=0; mov<max-; mov++) { for(i=0; i<max--mov; i++) { if(intarray[i]>intarray[i+]){ temp=intarray[i]; intarray[i]=intarray[i+]; intarray[i+]= temp; } } } }

48 Sorular