KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ"

Transkript

1 ADIYAMAN ÜNİVERTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ HARUN TEKİN MATEMATİK ANA BİLİM DALI TEZ DANIŞMANI Prof.Dr MANAF MANAFLI ADIYAMAN Her hakkı saklıdır

2 İÇİNDEKİLER ÖZET ABSTRACT.. TEŞEKKÜR.. SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ. i ii iii İv GİRİŞ.FLOQUET TEOREMİ. Floquet Teoremi... Hill Deklemi. 9.3 Sıırlılık ve Çözümleri Periyodikliği. 4.4 Kompleks Değerli Katsayılar....5 Diferasiyel Deklem Sistemleri.6 Tüm Çözümleri Periyodik Ola Sistemler. 6.KARARLILIK VE KARARSIZLIK ARALIKLARI.. 7. Giriş 7. Periyodik ve Yarı Periyodik Özdeğer Problemleri D( λ) Foksiyou PROBLEME GİRİŞ Floquet Teoremi t-periyodik Sıır-Değer Problemi Karalılık ve Kararsızlık Aralıkları Operatörü Spektrumu 65 KAYNAKLAR.. 7 ÖZGEÇMİŞ. 74

3 ÖZET Yüksek Lisas Tezi KATSAYILARI PERİYODİK FONKSİYON OLAN DİFERANSİYEL OPERATÖRLERİN SPEKTRAL ANALİZİ Haru TEKİN Adıyama Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma: Prof.Dr.Maaf MANAFLI Bu yüksek lisas tez çalışmasıda Periyodik Katsayılı Diferasiyel Operatörleri Spektral Aalizi icelemiştir. Aatar Kelimeler: Periyodik Katsayılı Diferasiyel Operatörler, Spektrum, Özfoksiyolar Ciside Açılım Formülleri. i

4 ABSTRACT Master Thesis SPEKTRAL ANALYSİS OF DİFFERENTİAL OPERATORS WİTH PERIODIC COEFFICIENTS. Haru TEKIN Adıyama Uiversity Istitute of Sciece Departmet of Mathematics Advisor: Prof.Dr.Maaf MANAFLI I this master thesis ivestigated spectral aalysis of differetial operators with periodic coefficiets Key Words: Differetial Operators with Periodic Coefficiets, Specktrum, Eigefuctio Expasios. ii

5 TEŞEKKÜR Tez çalışmam boyuca yardımlarıı esirgemeye hocam sayı Prof. Dr. Maaf MANAFLI ya teşekkürlerimi sumayı bir borç bilirim. iii

6 SİMGE ve KISALTMALAR DİZİNİ R Z N H l( y ) L λ ( λ) σ ( L) reel sayılar kümesi tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesi Hilbert uzayı diferasiyel ifade diferasiyel operatör özdeğer karakteristik determiat L operatörüü spektrum kümesi W m G L( ) Sobelev uzayı Gree foksiyou R kümeside ölçülebilir, heme heme solu yakısak ola ve. kuvvette Riama alamıda itegralleebile foksiyolar kümesi iv

7 .GİRİŞ So altmış yılda matematiksel yayılarda diferasiyel operatörleri spektral teorisi hızlı bir gelişim göstermiştir. Katı hal fiziğide ve kristalleri kuatum mekaiği ile ilgili metalleri teoriside ortaya çıka periyodik katsayılı diferasiyel deklemleri spektral aalizi fizikçileri ve matematikçileri ortak alalarıda biri olmuştur. Geel olarak periyodik katsayılı diferasiyel deklemler, P(x) ve Q(x) reel değerli ve ayı periyoda sahip periyodik foksiyolar olmak üzere P( x) y ( x) + Q( x) y( x) = λ y( x) { } biçimidedir. Bu deklemle ilgili çalışmaları bir kısmı W.Magus ve S.Wikler [ ] tarafıda icelemiş, kararlılık ve kararsızlık aralıkları tespit edilmiştir. M.S.P.Estham [ ], [ ] deki çalışmalarda faydalaarak periyodik katsayılı diferasiyel operatörleri Floquet teorisii temellerie dayaarak kararlılık ve kararsızlık aralıklarıı icelemiş ve çözümleri asimtotik formüllerii elde etmiştir.öte yada E.C. Titchmarsh [ 3 ] bu tür operatörleri spektrumu üzeride öz foksiyolar üzerie açılım formülleri elde etmiştir. Daha sora bu kou değişik durumlarda M.M. Hecktma, I.V. Stabevich [ 4 ], G.S. Guseiov [ 5 ], V.A. Mikhailets, A.V. Sobolev [ 6 ], M.Dzh.Maafov [ 7 ] ve başkaları tarafıda icelemiştir. Bu çalışmada lα[ y] y + ( q( x) ) + α σ ( x ) y= λ y, x R (3.) = biçimide katsayıları geelleşmiş foksiyolar ola ikici mertebede diferasiyel deklemi spektral yapısı icelemiştir. periyodik q( x+ ) = q( x), σ ( x) Dirac Burada q(x), reel, periyodik, parçalı sürekli bir fosiyo ( ) delta foksiyou, α reel sayı ve λ spektral parametredir.. ve. Bölümlerde iceleme içi gerekli ola Floquet teorisi, kararlılık ve kararsızlık aralıkları hakkıda geel taım, teorem ve yötemler üzeride durulmuştur. 3. bölümde ise. ve. bölümlerdeki bilgilerde faydalaılarak yukarıda bahsettiğimiz diferasiyel deklemi spektral yapısı icelemiştir

8 .FLOQUET TEOREMİ. Floquet Teoremi a ( x ) y "( x ) a ( x ) y '( x ) a ( x ) y ( x ) + + = (..) deklemii ele alalım. Burada a ( x ) komplex değerli parçalı sürekli ve a ya göre ayı periyottadır. r Böylece a reel sabit olmak üzere a ( x + a ) = a ( x ) ( o r ) r r Ayrıca a (x) i her oktada sağ ve sol limitlerii da farkı olduğuu kabul edelim ve böylece bu dekleme lieer diferasiyel deklemleri geel teorisi uygulaabilir.aksi söyleme- dikçe x değerleri ( -, ) aralığıdadır ve (..) eşitliğideki gibi x i foksiyolarıyla ilgili bağlatılar tüm x ler içi geçerlidir. (..) eşitliği hakkıda yapacağımız ilk işlem x yerie (x+ a ) alıdığıda deklemi değişmediğidir. Şuu gösterir ki eğer ψ ( x ) aşikar olmaya bir çözüm ρ sıfırda farklı bir sabit ike ψ ( x a ) ρ ψ ( x ) + = (..) özelliğii geçerli olduğu gösterilebilir. Bu souçlar ve buları ispatları G.Floquet (883) verdiği içi Floquet teorisi olarak biliir.

9 TEOREM..: ρ sıfırda farklı bir sabit ve ψ ( x ) aşikar olmaya bir çözüm olmak üzere (..) bağıtısı doğrudur. İSPAT: Varsayalım ki, Φ ( x ) ve Φ (x ) çözümleri (..) deklemii ( )=, Φ ( ) =, ( )=, '( )= (..3) Φ Φ Φ başlagıç şartlarıı sağlaya lieer bağımsız çözümleri olsular. Böylece Φ ( x + a ) ve Φ ( x + a ) (..) i lieer bağımsız çözümleridir. Bu durumda matris olmak üzere A ( i, j ) sabitler ve A = ( A ) sıfırda farklı i j i j Φ ( x + a ) = A Φ ( x ) + A Φ ( x ) Φ ( x a ) A Φ ( x ) + A Φ ( x ) + = (..4) (..) deklemii ψ ( x ) çözümü ψ ( x ) = c Φ ( x ) + c Φ ( x ), formua sahiptir, burada c ve c sabirlerdir. Bu durumda (A - ρ )c + A c = A c + (A - ρ )c = (..5) 3

10 c, c olduğuda ρ ler içi A- ρ A, A A -ρ = yai ρ ( A + A ) ρ + d e ta = (..6) olur. Bu ρ içi kuadratik deklemdir ve ρ i e az bir değeri içi sağlaır d e ta olduğu içi bu değer sıfırda farklıdır. Bu teoremi ispatlar. (..3) ve (..4) şartlarıda A = Φ ( a )A = Φ ( a )A = Φ ( a )A = Φ ( a ) (..7) elde edilir. Wroskiyei geel ifadeside a d et A = W ( Φ, Φ )( a ) = ex p - { a ( x ) / a ( x )} d x olmak üzere (..3) e göre W ( Φ, Φ ) ( ) = 'd i r Böylece (..6) ifadesi a { } ρ { } ρ Φ ( a) +Φ ( a) + exp - a ( x) / a ( x) dx = (..8) şeklidedir. 4

11 TEOREM..: (..) i lieer bağımsız iki çözümü ψ ( x ) ve ψ ( x ) olmak üzere Ya (i) ψ ( x ) = e p ( x ), ( ) m x ψ x = e p ( x ) ' d ir. m x Burada m ve m sabitler ve birbiride farklıdırla ve p ( x ) ile p ( x ), a periyotlu periyodik foksiyolardır. Ya da ; (ii) ( ) mx mx ψ x = e p ( x),, ψ ( x) = e { xp ( x) + p ( x) } İSPAT: Burada m sabit, p ( x ) ve p ( x ) a periyotlu periyodik foksiyolardır. Kabul edelim ki ; (..6), p ve p gibi iki farklı çözüme sahip olsu. Böylece Teorem (..) de (..) deklemii aşikar olmaya iki çözümü ψ ( x) ve ψ ( x) olmak üzere ψ ( x + a ) = p ψ ( x ) (k =, ) (..9) k k k ψ ( x) ve ψ ( x) ' i lieer bağımsız olduğu kolayca görülebilir. ρ v e p sıfırda farklı olduğu içi m ve m ' yi am e k = p k (..) şeklide taımlayabiliriz. 5

12 Şimdi ; p ( x) = e mk x ψ ( x) k k taımlaırsa (..9) ve (..) da p ( x+ a) = e pψ ( x) = p ( x) m k ( x+ a) k k k k elde edilir. Böylece (..) de p k ( x ), a periyotlu periyodik foksiyolar olmak üzere Ψ ( x) = e mk x p ( x)' dir. k k Daha sora (..6) ı (..) da olduğu gibi tekrarlamış ρ çözümü sahip olduğuu kabul edelim ve m yi e am = ρ biçimide taımlayalım. Teorem (..) de (..) deklemide Ψ ( x ) aşikar olmaya çözümü vardır ve şeklidedir. Ψ ( x + a ) = ρψ ( x ) (..) (..) i Ψ ( x ) ile lieer bağımsız başka bir çözümü Ψ ( x ) olsu. Bu durumda Ψ ( x a) (..) + deklemii sağlar. d v e d sabit olmak üzere Ψ ( x+ a) = d Ψ ( x) + d Ψ ( x) ' dir. Şimdi d 'yi hesaplayabiliriz. (..) ve (..3) de elde edilir. W( Ψ, Ψ )( x+ a) = ρd W( Ψ, Ψ )(x) 6

13 Böylece, Wroskia içi Liouville formülüde, itegratı periyodu a olduğu içi x+ a a ρd = exp { a ( t) / a ( t) } dt = exp { a ( t) / a ( t) } dt ' dir. a Fakat ρ (..8) i tekrarlı çözümü olduğuda sağ taraftaki terim ρ 'd ir. Böylece d = ρ 'd ir. Böylece (..3) eşitliğide Ψ ( x+ a) = d Ψ ( x) + ρψ ( x) (..4) elde edilir. Üzeride düşüülecek iki durum vardır.biricisi, d = ise Ψ ( x+ a) = ρψ ( x) elde edilir.bu ise (..) ile birlikte (..9) daki ayı durumu elde ettiğimizi, fakat ρ = ρ ρ olduğuu gösterir. Böylece Teoremi ispatıı iki kısmıdaki gibi = ψ ( x) = Ψ ( x) k k ve m = m = m olduğu alaşılır. İkicisi ; eğer d ise p ( x) = e Ψ ( x) mx ve 7

14 p ( x) = e Ψ ( x) ( d / aρ ) xp ( x) mx taımlaır. Böylece (..) ve (..4) de p ( x ) ve p ( x ) a periyotludur. Böylece Ψ ( x) = e p ( x) mx ve { ρ } Ψ ( x) = e ( d / a ) xp ( x) + p ( x) ' dir. mx Bu ise Ψ ( x) =Ψ ( x) ve ψ ( x) = ( aρ / d ) Ψ ( x) olduğu teoremi (ii) kısmıdaki durumuda yer alır. Böylece ispat taımlaır. Yukarıdaki ispat icelediğide Teoremi (i)kısmıı (..) i iki lieer bağımsız çözümü- ü ρ i (..) deki ayı veya farklı değerlerii sağladığıda meydaa gelir. (ii) kısmı ise, yalızca bir çözüm olduğuda meydaa gelir. Şimdi c ve c yi içere sütu matrisi T A traspoz matrisii özvektörü olduğu durumuda (..5) de (..) elde edilir. Böylece teoremi (i) ve (ii) kısımları T A bu durumda A ı lieer bağımsız iki özvektörüe veya sadece bir özvektörüe göre oluşur. Özel olarak eğer rak (A-ρ I)= ise (..8) i tekrarlaa bir çözümü olduğuda teoremi (i) kısmı meydaa gelir. Eğer rak (A-ρ I)= ise teoremi (ii) kısmı meydaa gelir. 8

15 (..8) i veya (..6) ı ρ ve ρ çözümleri farklı olsu veya olması (..) i karakteristik çarpaları olarak adladırılır. (..) da taımlaa m ve m (..) i karakteristik üsleri olarak adladırılır.. Hill Deklemi: P(x) ve Q(x) reel değerli ve ayı a periyodua sahip foksiyo olsu ayrıca p(x) sürekli ve her yerde sıfırda farklı, p (x) ve Q(x)'i parçalı sürekli olduğuu kabul edelim. p(x)y (x) + Q( x) y( x) = (..) { } deklemi Hill deklemi olarak adladırılır. (..) (..) i özel bir durumdur ve G.W.Hill 897 çalışmalarıda sora bu ismi almıştır. Burada reel katsayılı (..) deklemii (..) tipideki dekleme döüşebileceği iki durumda bahsedeceğiz. Biricisi x A( x) = { a ( t) / a ( t) } dt olmak üzere (..) delemii { } a ( x) exp A( x) ile çarpılırsa deklem (..) formuu p(x) = expa(x) ve { } Q(x) = a ( x) / a ( x) exp A( x ) olmak üzere a { } a ( t) / a ( t) dt = (..) ile alır. 9

16 Burada A(x) a periyodudadır. Bua bağlı olarakta p(x) ve Q(x) a periyodudadır. İkicisi (..) deklemi içi a ( x) / a ( x ) parçalı sürekli türeve sahip olduğuu kabul ederek (..) de x y( x) = Z ( x) exp - { a ( t) / a ( t) } dt değişikliği yapılsı. Böylece deklem a ( x) a ( x) z x + a x z x = ( ) ( ) ( ) 4 a ( x) a ( x) halii alır. (..) deklemi bu çalışmada temel koumuz olacaktır. Şimdi teorem (..) de verile ve (..) e uygulaa ψ (x) ve ψ ( x) çözümleri içi daha detaylı iceleme yapacağız. (..) içi (..8) kuadratik delemi ; olmak üzere ρ. ρ = { a a } ρ Φ ( ) +Φ ( ) ρ + = halii alır. (..) i (..3) sağlaya Φ (x) ve Φ ( x) çözümleri p(x) ve Q(x) reel değerli olduğu içi reeldir.

17 D= Φ ( a) +Φ ( a) (..5) gibi taımlaa D(..) diskirmiatı olarak taımlaır ve aşağıdaki 5 durumda iceleir. A. D> (..3) de ρ ve ρ reel ve farklıdırlar. Ayrıca pozitiftir acak e eşit değildir. Böylece sıfırda farklı reel m sayısı (..) dolayı (..4) tarafıda e am = ρ, e = ρ gibi taımlaır. Bu durumda teorem (..) i (i) kısmıda -am p (x) ve p (x) a periyotlu olmak üzere olur. ψ (x) = e p (x), ψ (x) = e p (x),... (..6) mx -mx B. D<- Bu durum ρ ve ρ egatif ve - de farklı olmak üzere A, durumu ile ayıdır. Böylece (..6) da m yerie m + π i / a yazılmalıdır. C. -<D< (..3) deki ρ ve ρ reeli olmaya ve farklı olsular. (..4) modüllerii e eşit olduğuu gösterir.çükü olar kompleks eşleiktir.böylece < aα < π veya -π < aα < olacak şekilde bir reel α sayısı vardır. Öyle ki; iaα e = ρ, e = ρ ' dir. -iaα Böylece Teorem (..) i (i) kısmıda p ( x) ve p ( x ) a periyotlu olmak üzere ψ ( x) = e p ( x), ψ ( x) = e p ( x)... (..7) ia α iaα D. D= Bu durumda (..3) ρ = ρ = eşit çözümlere sahiptir. Teorem (..) i (i) kısmımı yoksa (ii) kısmımı uygulaacağıa karar vermek içi A ı (..7) verile (Aij) matrisi olduğu ξ.'i souda alatıldığı gibi A-I ı rakıı belirlemeliyiz.

18 Burada iki alt durumu icelememiz gerekir. Φ ( a) =Φ ( a) = ; - W ( Φ, Φ )( a) = W ( Φ, Φ )() = olduğuda bu durumda ayrıca Böylece Φ ( a ) Φ ( a ) =, D= Φ ( a) +Φ ( a) = ' dir. Φ ( a) = Φ ( a) = Bu edele rak (A-I)= ve teorem (..) deki (i) kısmı uygulaır. Karakteristik üsler m ve m 'i her ikiside sıfırdır. Teorem (..) de p ( x) ve p ( x ) a periyodua sahip olmak üzere ψ ( x) = p ( x) ve ψ ( x) = p ( x) elde edilir. Bu durumda (..) bütü çözümleri a periyodudadır. Φ ( ) ve Φ ( a) her ikiside sıfır olması. Bu durumda rak ( A - I) 'd ı r - a ve teorem (..) (ii) kısmı m= olduğuda uygulaabilir. Bu edele p ( x ) v e p ( x ) a periyotlu olmak üzere ψ ( x) = p ( x), ψ ( x) = xp ( x) + p ( x) 'dir.

19 E. D=- Bu durumda (..3) ü ρ = ρ = olmak üzere eşit çözümleri vardır. D deki gibi bezer alt durumları iceleyelim. Φ ( ) = Φ ( a) = D deki gibi rak (A+I)= ve m = m = π i / a olmak üzere - a Teorem (..) i (i) kısmı uygulaabilir. Böylece p ( x) ve p ( x ) a periyotlu olmak üzere; dir. ψ ( x) = e p ( x), ψ ( x) = e p ( x)... (..8) π ix / a π ix / a Bu ise (..8) de soucuu verir. ψ ( x+ a) = ψ ( x) (k=,) k k Böylece (..) bütü çözümleri ψ ( x+ a) = ψ ( x) şartıı sağlar. Φ ( ) ve Φ ( a) her ikiside sıfırda farklı olduğu durum. Burada - a rak( A+ I) ve m= πi / a olduğu durumda Teorem (..) (ii) kısmı uygulaabilir. Böylece olmak üzere π ix / a k ( ) = k ( ) (k=,) p x e p x ψ ( x) = p ( x), ψ ( x) = xp ( x) + p ( x) 'dir. Bu halde pk ( x+ a) = pk ( x) sağlar. 3

20 Bütü x ler içi a semi-periyotlu ve f ( x+ a) = - f ( x) özelliğie sahip bir f(x) foksiyoua semi-periyodik deir. Açıkca böyle bir foksiyo a periyotludur. Yukarıdaki E olması durumuda (..) tüm çözümleri a yarı periyodua sahiptir..3 Sıırlılık ve Çözümleri Periyodikliği Teorem.3.: (i) Eğer D > ise (..) i tüm çözümleri (-, )'da sıırsızdır. (ii) Eğer D < ise (..) i tüm çözümleri (-, )'da sıırlıdırlar. İSPAT: (..6) mevcuttur. Açıkca bu durumda (..) i tüm çözümleri (-, ) da sıırlıdır. ψ ( x) ve ψ ( x) ' i herhagi bir aşikar olmaya kombiasyou ya x ya da x - içi veya her ikisi içi sıırsızdır. D<- durumu ise durum Bye bezerdir. Bu ise (i) durumuu ispatlar. Eğer D < ise, C durumuu elde ederiz ve (..7) şartı geçerlidir. Bu yüzde, ψ ( x) = p ( x) (k=,) k k Şimdi p ( x) ve p ( x), (-, ) aralığıda periyodik olarak sıırlıdır. Bu edele ψ ( x) ve ψ ( x), (-, ) aralığıda sıırlıdır. Bu ise (ii) kısmıı ispatlar. Taım.3.: (..) deklemie (a) Eğer bütü aşikar olmaya çözümler (-, ) aralığıda sıırsız ise kararsızdır. 4

21 (b) Eğer aşikar olmaya bütü çözümler (-, )'da sıırlı ise, koşullu kararlıdır. (c) Eğer bütü çözümler (-, )'da sıırlı ise kararlıdır diyeceğiz. Böylece kararsız olmaya bir deklem koşullu kararlı olabili veya kararlı olmayabilir. Teorem.3. de; Eğer D > ise (..) kararsız, ve Eğer D < ise kararlıdır. Periyodik ve yarı-periyodik foksiyolar (-, )'da sıırlı olduğu içi D ve E durumlarıda (..) de kararlıdır. Eğer D = ve Φ ( a) = Φ ( a) = ise ayrıca kararlıdır. Souç olarak eğer D = ve Φ ( a) ve Φ ( a) her ikisi sıfırda farklı ise D ve E durumlarıda (..) de kararlı değildir. D ve E durumuda, (..) i periyodik ve yarı periyodik çözümleri varlıkları hakkıdaki teorem verilebilir. Teorem.3.: (..) deklemii a periyotlu aşikar olmaya çözümleri olması içi gerek ve yeter şart D= olmasıdır ve yarı periyodik olması içi D=- olmasıdır. İSPAT: (..) i tüm çözümleri a periyodua sahiptir veya a yarı periyodua sahiptir. Φ ( a) =Φ ( a) = ' dır. İlerideki souçlarda k a periyoduyla ola çözümleri göstereceğiz. 5

22 Teorem.3.3: k pozitif tamsayı olsu. (..) i ka periyotlu aşikar olmaya çözümleri olması içi gerek ve yeter şart D=cos( lπ / k ) olacak şekilde l tamsayısı olmasıdır. İSPAT: Periyodik çözümler (-, )'da sıırlı olduğuda.'i A ve B durumları ortaya çıkmaz. k= olduğuda ve l = seçildiğide Teorem D durumu ile çakışır. k= olduğuda C durumu meydaa gelmez, çükü (..7) deki ψ ( x) ve ψ ( x) ' i a periyotlu lieer kombiasyouu sıfırda farklı olduğu kolayca görülebilir. Böylece D ve E durumuda l = ve l = seçimide teorem ile çakışır. k> alıdığıda ve çözümler a veya a periyotlu olmadığıda C durumu meydaa gelir. (..7) deki ψ ( x) ve ψ ( x) ' i c ψ ( x) + c ψ ( x) Kombiasyou ka periyodua sahip olması içi gerek ve yeter şart ikaα c ψ ( x)( e ) + c ψ ( x)( e ) = ika α ika olmasıdır veya acak ve acak e α = olmasıdır. Böylece herhagi bir l tamsayısı içi kaα = lπ ' dır ve D = ρ + ρ = cos ( aα ) = cos ( lπ / k )' dır. SONUÇ.3.: (..) i a periyotlu aşikar olmaya bir çözümüü ya periyodu a dır ya da yarı-periyodu a dır. 6

23 Şimdi açıklaa gerçekte yola çıkarak k= olduğuda D ve E durumu gerçekleşir. SONUÇ.3.: k pozitif tamsayı ve k> olmak üzere, eğer (..) i k a periyotlu aşikar olmaya çözümü varsa ( a veya a periyotlu değil) tüm çözümleri k a periyotludur. (.3.) i geçerli olduğu durumlarda C durumu oluşur. Böylece (..7) de verile ψ ( x ) v e ψ ( x ) Souçta verildiği gibi a periyodua sahiptir. Ayrıca (.3.), α = lπ / ka soucuu verdiği içi (..7) de görebiliriz ki,.3. soucuu durumlarıda da, (..) i her Ψ (x ) çözümü c ve c sabit olmak üzere ψ ( x) = c exp( lπ ix / ka) p ( x) + c exp( lπ ix / ka) p ( x) biçimidedir. (..) de verile deklem içi, tüm çözümler a periyotlu ise a periyotlu çözümler bir aradadır diyebiliriz. Bezer olarak a yarı-periyotlu çözümler içi (aslıda k a periyotlu (k>)) (..) içi birlikte var olma problemi, bu tipteki çözümleri birii varlığı durumuda tüm çözümleri ayı tipte olup olmadığıı belirleme problemidir. Souç (.3.) da gösterildiği gibi, k> gibi k a periyotlu çözümlerde var olma problemi hakkıda söyleecek fazla bir şey yoktur. Buula birlikte periyodu a ola veya yarı-periyotlu çözümler içi var olma problemi daha ilgiçtir. Eğer (..) de p(x) ve Q(x) x i çift foksiyoları ise yai P(x)=P(-x) ve Q(x)=Q(-x) 7

24 Aşağıdaki gibi çift ve tek periyodik çözüm olasılıkları vardır. TEOREM.3.4: ρ (x) ve Φ (x) çift olsu bu durumda (..) aşikar olmaya çözüme sahiptir. Öyle ki; ( i) çift ve a periyotludur Φ a = ( ii) tek ve a periyotludur Φ a = ( iii) çift ve a semi - periyotludur Φ a = ( i ) tek ve a semi - periyotludur Φ a = İSPAT: p(x) ve Q(x) çift olduğu içi (..) i ψ (x ) çözümü olduğuda ψ (-x)'de (..) i çözümüdür. Özel olarak Φ ( x) ve Φ ( x) x= oktasıda ayı başlagıç koşulu sağlarlar. Böylece; Φ ( x) = Φ ( x) dir. O halde Φ ( x) çifttir. Bezer olarak Φ ( x) = Φ ( x) Böylece Φ ( x) tektir. 8

25 (..) i Φ ( x) i katı ola her çift çözümü ve Φ ( x) şekildedir. i katı ola her çözümü bu Şimdi Φ a =Φ a 'dır, ve böylece içi gerek ve yeter şart Φ ( x)' i periyoduu a olması Φ a =Φ a olmasıdır. Fakat Φ ( x) tek olduğu içi Φ a = Φ a dır. Kısım (i) gerçekleşir. Kısım (iii) içi Φ ( x) a yarı-periyodua sahiptir (.3.4) e göre Φ a = Φ a ' dır. Fakat (.3.3) de Φ a =Φ a ve kısım (iii) gerçekleşir. (ii) ve (iv) kısmı Φ ( x) kullaılarak bezer şekilde ispatlaır..4 KOMPLEKS DEĞERLİ KATSAYILAR Bu kesimde (..) tipideki deklemi iceleyeceğiz. Acak kompleks değerli katsayılarla ola bir yada iki durum vardır. D umarası hala (..5) ile taımlaır 9

26 fakat şimdi kompleks alacağız ve bu edele.'i A-E durumlarıa ek olarak bir durum daha vardır. F-D reel değildir. Burada ρ ve ρ reel değil ve farklıdır. Ayrıca ρ ve ρ 'i modül uyumu yoktur, çükü; iφ iφ Q u reel olduğuda ve ρ= e ise (..4) de ρ = e ve böylece D= ρ + ρ = cos Φ sayısı reeldir. Böylece reel olmaya m (rem ) vardır. Öyleki rem e am = ρ, e = ρ - am Böylece (..6) göre (.4.) de dolayı ψ ( x) = e p ( x), ψ ( x) = e p ( x) mx mx elde edilir. Burada (.3.) i (i) kısmıda olduğu gibi (..) i aşikar olmaya tüm çözüm- lerii sıırsız olduğu soucua varılır. Gerçek yada karmaşık değerli katsayılarla (..) de tam olarak görülebile.. öreği x ψ ( x) = exp g( t)costdt cos x biçimide taımlaa ψ ( x) foksiyouu gözde geçirerek elde edilir.burada g (x) mevcut ve parçalı süreklidir. ψ ( x)' i { x } y (x)+ +3g(x)six-g (x)cosx-g ( ) cos x y( x) =

27 diferasiyel deklemii sağladığı kolayca görülür. Eğer g(x)'i π periyotlu ise, bu bir periyodik diferasiyel deklemdir ve (..) de a= π içi sağladığı görülür ve π ρ = exp g( t)costdt a Burada eğer g( x) [ a, π ] aralığıda cosx ile ortogoal ise ρ ='dir..5 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ C(x) kompleks değerli, parçalı sürekli ve tipide bir matris olmak üzere.'deki Floquet teorisi y (x)=c(x)y(x) (.5.) lieer sistemie geişletilebilir. Bu kısımda, küçük harflere -bileşeli vektör foksiyolarıı, büyük harflerle matrisleri belirteceğiz. TEOREM.5.: ρ sıfırda farklı sabit ve (.5.) i aşikar olmaya bir çözümü ψ (x) olsu, öyle ki; ψ ( x + a ) = ρψ ( x ) (.5.) İSPAT: İspatımız teorem.. e bezerdir. Φ (x) (..5) i temel çözümler matrisi olsu. tipide birim matris olmak üzere

28 dır. Φ ()=I (.5.3) Φ ( x+ a) ' da ayrıca (.5.) i bir temel matrisi olduğu içi, sıfırda farklı bir A matrisi vardır, öyle ki; Φ ( x + a ) = Φ ( x ) A (.5.4) (.5.) i her ψ (x) çözümü ψ (x)= Φ (x) c formudadır. C sabit vektördür ve eğer Ac= ρ c ise (.5.4) ve (.5.) sağlaır. Eğer det( A - ρ I) = ise, bu deklem sıfırda farklı c vektörü tarafıda sağlaır. Bu; g içi dereceli bir poliomdur ve ρ 'i e az bir değeriyle çözülür; değeri sıfırda farklı olması gerekir. Çükü A tekil değildir. Böylece teorem kaıtlamış olur. Bir soraki teoremi ispatı A ı Jardo ı kaoik formua bağlıdır. ρ,.., ρ,.., ρ,.., ρ + N+M kök olsular ve ρ,.. ρ ise (.5.5) i açık kökleri olarak adladırılsı, çarpaı olsu bu durumda A ı kaoik formu p +j ise J i - A=JBJ dir. Burada J tekil olmaya, ve B ise diagoel bölümlü matristir. B = dg( ρ,.., ρ ) olmak üzere dg(b,b,...,b M )'dir.

29 B ( j M), r r tipide matristir. ve i i i ρ N + j L ρ N + j. O. O O L ρ N + j TEOREM.5.: (.5.) i lieer bağımsız çözümleri ψ ( ),..., ( ) x ψ x olsu. Öyle ki; ψ ( x) = e mk x p ( x) ( k N) k k ψ (x)=e p m N+ N+ N+ (x) ψ ( ) x( x a) x ( s ) a p x p x k mn+ N+ k (x)=e N+k ( ) s N+k ( ) s + s= s!( aρ N+ ) ( k r ) Ψ ( x) = e p ( x) m N + N+ r+ N+ r+ İSPAT: Burada m,.., m N + M sabit ve p ( x),.., p ( x ) ise a periyotlu olsu. Ψ (x), (.5.) i temel matrisi olsu ve Ψ(x)= Φ (x)j biçimide taımlası. Bu durumda (.5.4) ve (.5.6) da Ψ ( x+ a) = Ψ ( x) B ' dir. 3

30 ψ (x) sütuuu ψ( x),.., ψ ( x) ile işaretlemiştir. (.5.7) ve (.5.) da ψ ( x+ a) = pψ ( x) ( k N) k k k m ve ρ (x) ise k k amk mk x e = ρ ve p ( x) = e ψ ( x) k k k Daha sora.5.8 ile.5. da ψ ( x+ a) = ρ ψ ( x) (.5.) N+ N + N+ ve elde edilir. Burada, ψ ( x+ a) = ρ ψ ( x) + ψ ( x) N+ N+ N+k N+k m N+, pn+( x) ve p N+k ( x ) ise e = ρ, p ( x) = e ψ ( x), am N+ m N+ x N+ N+ N+ ( ) x( x a) x ( s ) a p ( x) e ( x) p ( x) k mn+ x N+k = ψ N+k s N+k s s= s!( aρ N+) (.5.) de k 'e idirgeyerek ρ ( x)'i N+k a periyoduda olduğuu elde ederiz. M + terimii içere teorem ve M +,...,M N+M içere teorem ispatı bezerdir. (.5.) i bütü çözümleri (-, )'da sıırlıdır 4

31 p k ( k N) ve p < ( j M) N+j ve (.5.) i a periyotlu çözüme sahiptir. ρ ='i (.5.5) i köküdür. Teorem (.5.) i bir soucu matrisi üssü fikri kullaılarak tam olarak yazılabilir. (.5.) daki B matrisi tekil olmadığı içi, M matrisi vardır, öyle ki; B=ex p am Şimdi P(x)= Ψ (x)exp(-xm) taımlayalım. O halde (.5.) da P x+ a =Ψ x+ a am xm =Ψ x BB xm - ( ) ( ) exp(- ) exp(- ) ( ) exp(- ) Böylece ρ (x) periyodiktir ve (.5.) de Ψ (x) ρ(x)exp (xm)'dir. (.5.) i her Ψ ( x) temel çözümler matrisi durumuda.5.4 ve.5. ilişkisi devam etmektir. Bu ise B sigüler olmaya matris olmak üzere biçimide B matrisi vardır. Ψ ( x+ a) =Ψ ( x) B (.5.) da (.5.3) e kadar devam ede tartışma p ( x) a periyotlu foksiyo olmak üzere ψ ( x) ' e uygulaabilir ve Ψ ( x)' iψ ( x) = p ( x)exp xm şeklide yazılabileceği soucua varılır..6 TÜM ÇÖZÜMLERİ PERİYODİK OLAN SİSTEMLER Bir öceki bölümdeki tartışma.'i ikici derecede deklemler içi direk bir uzatısıdır. Bu bölümde deklemler içi zıt bir bölüm olmada sistemler içide meydaa gele durum olarak bitirebiliriz. 5

32 TEOREM.6.: C(x) a periyotlu f ( t), f ( t ) [t,t ] aralığıda sürekli diferasiyelleebilir foksiyolar olsu. Öyle ki, (i) t C{ t } t C{ t } f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) [t,t ] (.6.) (ii) f ( t ) = f ( t ) (.6.) ve f ( t) = f ( t ) (.6.3) Bu durumda (.5.) i bütü çözümleri a periyotludur. İSPAT: (.5.) i temel çözümleri matrisi Φ (x) (.5.3) ü sağlası ve i { t } y ( t) =Φ f ( ) (i=,) i her t [t,t ] içi şekilde taımlası. O halde { } y ( t) = C f ( t) Φ f ( t) f ( t) = E( t)y ( t)' dir. i i i i i Burada E( t) f ( t) C{ f ( t) } = şeklidedir. i i i = ve i = içi E(t) bezer şekildedir ve böylece y i ( t) her ikisi içide y (t)=e(t)y(t)'i [t,t ] aralığıda bir çözümdür. 6

33 (.6.4) ve (.6.) de y ( t) = y ( t) ' dir. Böylece [t,t ] aralığıda y ( t) = y ( t) 'dir. Ayrıca (.6.4), (.6.3) ve (.5.4) de { } { } y ( t ) =Φ f ( t ) + a =Φ f ( t ) A= y ( t ) A 'dır..kararlilik VE KARARSIZLIK ARALIKLARI. GİRİŞ: Paragraf. ve.3 de Q(x)=λ.S(x)-q(x) şeklide forma girdiğide icelee problem belirli bir öem kazaır. Burada λ reel parametre, s(x) ve q(x) a periyotlu parçalı sürekli olmak üzere öyle s> sabiti vardırki s(x) s'dir. Eğer P(x) yerie p(x) yazıldığıda (..) deklemi aşağıdaki şekle döüşür. p(x)y (x) + s(x)-q(x). y( x) = (..) { } { λ } (..3) Başlagıç şartlarıı sağlaya (..)'i çözelerii λ bağımlılığıı belirtmek içi bu çözümleri Φ(x,λ) ve Φ(x,λ) olarak yazalım. Bu durumda (..5)'e karşılık gele diskrimiat D( λ) =Φ ( a, λ) +Φ ( a, λ) (..) şeklide yazılır. Yukarıda bakıla problemde λ parametresi gerçek yada karmaşık olabilir. 7

34 Söylediklerimizde bağımsız olarak her kaydolmuş x'ler içi Φ( x, λ) ve Φ ( x, λ) ve oları türevleri λ 'i aalitik foksiyolarıdır. Farklı şekilde ifade edilmedikçe λ gerçek olarak kabul edilecektir. D( λ) λ'ısürekli foksiyou olduğuda D( λ ) < şartıı sağlaya λ değerleri gerçek x ekseide açık bir küme oluşturdular. Boş olmadığıı göstereceğimiz bir küme ayrışık açık aralıkları sayılabilir toplamıı birleşimi olarak ifade edilebilir. Böylece teorem (.3.) i (ii) bölümü gereği λ 'ı bu aralıkları (..) problemii kararlıklı aralıklarıdır ve bu edele bu küme (..) kararlılık aralıkları olarak adladırılır. Bezer olarak D( λ ) > şartıı sağlaya aralıklar (..) i kararsızlık aralıklarıdır. Souç olarak kararlılık aralıklarıı kapamasıyla oluşa aralıklar D( λ) şartıı sağlamak koşuluyla (..) problemii şartı kararlılık aralıklarıdır. Bu bölümde kararlılık ve kararsızlık aralıkları taımlamıştır.. PERİYODİK VE YARI-PERİYODİK ÖZDEĞER PROBLEMLERİ Bu bölümde (..) deklemi içi iki özdeğer problemii ele alacağız. Bu problemler (..) i temel terimleridir.burada bahsedeceğimiz özellikler.3'teki D( λ )'ı icelemeside kullaılacaktır. (i) (..) i periyodik özdeğer problemi derke, [,a ] aralığıda bakıla ve y( a) = y(), y ( a) = y () (..) periyodik sıır şartlarıı sağlaya problem alaşılır. Bu problem öz eşleiktir ve sayılabilir sayıda özdeğerlere sahiptir. λo λ λ... ve λ 8

35 λ ( =,,,..) özdeğerlerie karşılık gele özfoksiyoları ψ ( x)' le gösterirsek bularda aşağıdaki özelliğe sahiptirler. ( m= ) ise ψ m( x) ψ ( x) s( x) dx= ( m ) ise a (..) deklemie göre ψ ( x) a periyotlu sürekli diferasiyelleebile foksiyolar olmak üzere (-,+ ) aralığı sürekli devam ettirilebilir. Bu edele bu foksiyolar bu özdeğerlere karşılık gele (..) problemii çözümleridir. Başka bir.'i D değişle bakıla problem iki kat özdeğere sahipse (..) tüm halleride ayı durumua göre a periyodua sahip olacaktır. Ouda kaydedelim ki D( λ )- foksiyouu iki kat λ özdeğeri olması içi gerek ve yeter şart Φ ( a, λ ) =Φ ( a, λ ) = olmasıdır. (ii) (..) i yarı-periyodik özdeğer problemi derke [,a ] aralığıda bakıla ve y( a) = - y(), y ( a) = - y () (..) Yarı-periyodik sıır şartlarıı sağlaya problem alaşılır.bu problemde öz eşleiktir ve sayılabilir sayıda özdeğerlere sahiptir. µ (,,...) = ile bu problemi özdeğerlerii ve ξ ( x)' le bu özdeğerlere karşılık gele öz foksiyoları gösterelim. µ µ µ..., µ Yukarıdakilere bezer olarak söyleebilirli bu özdeğerlerde iki katı olabilirler ve s(x) ağırlık foksiyoua göre bu öz foksiyolar [,a ] ortaormal küme oluştururlar. 9

36 Ouda kaydedelim ki - i e durumua göre D( λ )+ foksiyouu sıfırlarıı iki katlı µ özdeğeri olması içi gerek ve yeter şart Φ ( a, µ ) =Φ ( a, µ ) = olmasıdır. (..3) İlerleye bölümlerde λ ve µ 'leri asimtotik durumuyla ilgili bazı souçlar verilecektir. µ souçları λ 'e bezerdir ve böylece burada λ ' i durumuyla ilgili souçları vereceğiz. F ile [,a ] sürekli ve ayı aralıkta parçalı sürekli türeve sahip kompleks değerli f(x) foksiyolar kümesii işaretleyelim. Bu durumda f ( x), g( x) F ola foksiyolar içi J(f,g) Dirichlet itegrali taımlamıştır ve a { } J ( f, g) = p( x) f ( x) g ( x) + q( x) f ( x) g( x) dx (..4) şeklide gösterelim. Eğer g (x) varsa ve [ ], a ' da parçalı sürekli ise kısmi itegrasyo formülü gereği; a = = a (..5) J ( f, g) = - f ( x)[{ p( x) g ( x)} q( x) g( x)] dx+ [ p( x) f ( x) g ( x)] α α Eğer f(x) ve g(x) (..) sıır şartlarıı sağlıyorsa bu formüldeki tümleşik terimler iptal edilir. Özel olarak g(x)= µ ( x) olduğuda (..5) te J(f, ψ )= λ f buluur. (..6) 3

37 Burada f Fourier katsayıdır. a f ( x). ψ ( x). s( x). dx özel olarak (..6) J( ψ m, ψ )= λ ( m= ) = (m ) (..7) TEOREM (..): f(x) F içi (..) sıır şartlarıı sağladığıı varsayalım. Bu durumda f fourier katsayıları içi İSPAT: λ f J ( f, f ) (..8) = Öcelikle q(x) olduğuu farzedelim. Bu durumda (..4) gereği g(x) F içi J(g,g) Özel olarak N N J f- fψ, f - fψ, = = burada N herhagi pozitif tamsayıdır. J'i dağılma özelliği gereği N N N J(f,f) - f J ( ψ, f ) f J ( f, ψ ) + λ f f = = = 3

38 J( ψ,f)=j(f, ψ ) olduğuda ve (..6) yı kullaarak N = λ f J ( f, f ) elde ederiz. Souçta N şartıa geçilirse teoremi ispatı tamamlamış olur., [ a] (..8)'i q(x) farzetmede kaıtlamak içi q 'ı, 'da q = sabit olmak şartıyla q(x)+q s( x) olduğuu farzedelim Bu durumda (..)'i p(x).y (x) + Λs( x) Q( x) y( x) =, { } { } burada Λ = λ+q, Q( x) = q( x) + q s( x)' dir. Q( x) olduğuda ispatı ilk bölümüe göre a { } ( λ + q ) f p( x) f ( x) + q( x) + q s( x) f ( x) ' dir. = Her tarafta q ile ilgili ola terimler içi 3

39 = a f = f ( x) s( x) dx (..9) Parseval formülü doğru olduğuda (..8) geel durumu elde edilir. λ λ olduğuda (..8) ve (..9) = J(f, f) λ f = λ f(x) s( x). dx a bağıtısı verir. f(x), λ ' a karşılık gele özfoksiyo olduğuda λ > λ ' daki gibi tüm sayılar içi f = olduğuda eşitlik geçerlidir. Böylece λ = mi J ( f, f ) f ( x) s( x). dx a (..) Burada λ ' a karşılı gele f(x)'i bir özfoksiyo olduğuda miimum kullaılır. Souçta [, a ]'da iki farklı periyodik özdeğer problemideki özdeğerleri karşılaştırıyoruz. Bu ve sorasıdaki teoremdede p - p ifadesii heme heme her yerde kullaırız. Geellikle p-p terimii parçalı sürekli foksiyolarla alakalı ifadelerde kullaıyoruz ve o zama izole oktalar dışıda kısaca bir ifade olur. TEOREM (..): ( λ, ) ( ) ile [, a ]'da periyodik özdeğerlerii işaretleyelim. p(x),q(x) ve s(x) ile p (x),q (x) ve s (x) yer değiştirelim öyleki 33

40 p (x) p(x) g (x) g(x) s (x) s(x) (..) Bu durumda (i) Eğer s (x)=s(x) p.p ise tüm ler içi λ, λ (ii) yoksa λ olduğu zama λ, λ olur. İSPAT: ψ, (x)'i λ, 'ye kabul ede öz foksiyou ve J ( f, g) 'i p(x), q(x) i yerie ve q (x) yazıldığıda (..4) Dirichlet itegrali gösterdiğii farzedelim. (..) gereği p (x) J ( f, f ) J( f, f ) (..) olduğuu alırız. = içi teoremi kaıtlamak içi f(x)= ψ ( x) olduğu durumu ele alalım:, a,,,,,, λ = J ( ψ, ψ ) J( ψ, ψ ) λ ψ ( x). s( x). d( x) (..3) (..) gereği a a ψ, x s x d x ψ, ( ). ( ). ( ) ( x). s ( x). d( x) = bu ise teoremi (i) eşitlik durumuu ve (ii) eşitsizlik durumuu geçerli olduğuu gösterir.bu edele (..3) ilk durumda λ, λ olduğuu verir ve acak. durumda 34

41 λ olduğuda λ λ olduğu görülür., Dolayısıyla teorem = içi doğrudur. = içi f(x)=c ψ ( ) ψ ( ) foksiyoua bakalım öyleki olmak üzere, x + c, x c ve c reel sabitler c + c = ve c A + c A = Burada a = A ψ ( x) ψ ( x). s( x) dx (r=,) r, r Böyle c ve c şartlarda her zama buluabilir. İlk durumda a f ( x) s ( x). dx= ve ikici durumda a f = f ( x). ψ ( x). s( x). dx= alalım. J 'e (..7) uygulaırsa; J ( f, f ) = λ c + λ c λ ( c + c ) = λ,,,, Ayrıca (..8)'e göre ve f = gerçeğiyle, Parseval (..9) formülüü kullaarak a λ λ λ J( f f ) f f = f ( x). s( x). dx 35

42 elde edilir.böylece (..)'e göre λ, a λ f ( x). s( x). dx elde edilir. Souçta = içi teoremi doğruluğu ispat edilmiş olur. Geel durumu içi bu tartışma ispatlaabilir. f(x)=c ψ ( x) cψ ( x),, Burada c r reel sabitlerdir, öyleki ve c c = (..4) fr = ( r -) Bu durumda + tae C,..., C sayılarıı buluması içi homoje lieer cebirsel deklemi ve ormalleşmiş (..4) şartı elde edilir. Eğer (..) de λ, λ f eşitsizliği kesi ise bu durumda p ( x) = p( x) ve q ( x) = q( x) p. p olmadıkça sağlaır. (..) i tam olarak çözülebildiği ve λ ve µ 'i belirleebildiği iki basit örekle bu bölümü bitereceğiz. - p(x)=q(x)=, q(x)= bu iyi bilie bir örektir. Bu durumda λ = ve m içi 36

43 λm+ = λm = 4( m+ ) π / a + µ m = µ m = (m+ ) π / a + - p(x)=, q(x)= s( x) = (- < x ) = 9( < x ) a a öcelikle bu periyodik problemi λ = özdeğerie karşı (ormalleştirilmemiş) ψ ( x) = öz foksiyouu olduğu açıktır. Şimdi çözümü aşağıdaki forma sahiptir. λ durumua bakılırsa deklemi geel ACos. x λ + B.si x λ (- x ) a C. Cos3 x λ + D.si 3 x λ ( x ) a Burada A,B,C,D sabitlerdir. Çözümü sürekliliği ve x='daki türevi A=C, B=3D verir. [-/ a,/ a ] aralığıa ilişki periyodik sıır şartları 3 3 C Cos( λ ) - Cos( λ ) + D si( λ ) + 3si( λ ) = a a a a 3 3 C 3si( λ ) + Si( λ ) 3 D Cos( λ ) - Cos( λ ) = a a a a olduğuda problem çözümleir. Bu deklemlerde her ikiside sıfır olmaya C ve D içi λ λ 8Cos a Cosa 7= 37

44 (..5) veya Cosa λ = 7 / 8 ad Cosa λ = elde ederiz.soraki durumda C ve D ler keyfidir ve bu edele karşılık gele özdeğerler iki katlıdır. Öceki durumda ise özdeğerler basittir. Bu edele λ = vardır ve m içi 4m+ = 4( m + ) / a 4m+ = 4 ( m+ ) - / a λ π λ π α a λ4m+3 = λ4m+4 = 4( m+ ) π / a Burada α =Cos (7 / 8) ve < α < π - Yarı-periyodik problem içi (..5)'e dek gele özdeğerler içi deklem 8Cos a λ Cosa λ = veya Cosa λ = (± 33) /6 Bu durumda özdeğerleri tümü basittir ve µ = 4( mπ + / β ) / a µ = 4( mπ + / γ ) / a 4m 4m+ { } { } 4m+ = 4 ( m+ ) -/ / a 4m+ 3 = 4 ( m+ ) -/ / a µ π γ µ π β Burada { + } { } β γ β γ π - - =Cos ( 33) /6 =Cos ( 33) /6 ve < < < 'dır..3 D(λ) FONKSİYONU D( λ) foksiyouu icelemek içi.'i (i) ve (ii) özdeğer problemide λ ve µ özdeğerlerii varlığıı kullaacağız. 38

45 TEOREM.3.: i) λ ve µ sayıları λ < µ µ < λ λ < µ µ 3 <... sırasıı oluşturur. [ ] ii) λ, µ aralığıda D( λ ) 'de -'ye azalır. m m [ λ µ ] iii), aralığıda D( λ) -'de 'ye artar. m+ m+ i ν )(-, λ ) ve ( λ, λ ) aralığıda D( λ)> m+ m+ ν )( µ, µ ) aralığıda D( λ)< m m+ ispatı birkaç durumda vereceğiz. a) Öyle bir Λ sayısı vardır ki λ Λ içi D( λ)> s(x) s> olduğuda, Λ sabitii seçebiliriz. Öyleki q(x)-λ s(x)> (.3.) Varsayalım ki y(x) (..)'i aşikar olmaya herhagi bir çözümü olsu öyleki öyleki y() ve y () Bu durumda (, δ ) itervalie bakalım, öyleki y(x)>'dır. y(x)> olacak şekilde (,X) itervalie bakalım.bu itervalde tüm λ Λ içi p(x)y (x) = q( x) s( x) y( x) > ' dır. { } { λ } Bu edele p(x).y (x), (,x)'de artar. Buda (,x) ' de y (x)>'ı verir ve böylece y(x),(,x)'de artadır.burada y(x) (, ) arlığıdaki x=x'de a sahip olmadığı kaaatie varırız ve bu edele p(x)y (x) ve y(x) (, )'da artadır. Özel olarak 39

46 Φ ( a, λ) >Φ (, λ) = Φ ( a, λ) >Φ (, λ) = Böylece λ içi D(x)> b) D( λ) < sağlaya λ değerleri içi D ( λ) ' dır. (..)'de y(x)= Φ ( x, λ) alarak λ parametresie göre türev alalım: d dx d Φ ( x, λ) Φ ( x, λ) { λ } dx x x (p(x)) + s( x) q( x) = s( x) Φ( x, λ) (.3.3) Ayrıca Φ ( x, λ) içi (..3) başlagıç şartlarıda Φ(, x) d Φ(, x) = = x dx x (.3.4) elde ederiz. (.3.3) ve (.3.4)'e sabitleri değişim formülüü uygularsak { } Φ ( x, λ) / x ( p / ) = = { } Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) s( t) Φ ( t, λ) dt Burada p(x).w( Φ, Φ)(x) sabittir. (.3.5) p() değerie eşit olduğu dikkate alımıştır. Bezer olarak { } Φ ( x, λ) / x ( p / ) = { } Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) s( t) Φ ( t, λ) dt 4

47 (.3.6)'da x'e göre türev alıırsa x { } d Φ ( x, λ) / dx= ( p / ) { } Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) Φ ( x, λ) Φ ( t, λ) s( t) Φ ( t, λ) dt elde ederiz. Bu (.3.5) ile a { p } D ( λ)= ( / ) { Φ Φ λ + Φ Φ Φ λ Φ λ Φ Φ λ } ( t, ) ( ) ( t, ) ( t, ) ( t, ) s( t) dt (.3.7) Bu formülleri çıkarılışıda ΦΦ Φ Φ = W ( Φ, Φ )( a) = p() / p( a) = (.3.8) dikkate alımıştır. (.3.7)'i aşağıdaki dek formuda yazabilriz. a { } λ λ 4 Φ p() D ( x) = Φ Φ ( t, ) + ( Φ Φ ) Φ ( t, ) s( t) dt a Φ { λ } - 4-D ( ) ( t, λ) s( t) dt (.3.9) Burada D ( λ ) = 4 + ( Φ Φ ) + 4 Φ Φ eşitsizliği dikkate alımıştır. ( c) D( λ)-'i λii sıfırıda D ( λ )= ve Φ ( a, λ ) =Φ ( a, λ ) = 4

48 Üstelik D ( λ )= ise D ( λ )< (.3.) sağlarsa.'i D'deki durumu gibi Φ ( a, λ ) =Φ ( a, λ ) = O zama (.3.7)'de D ( λ )= aksie D ( λ )= ise (.3.9)'u sağıdaki ilk itegrat sıfırdır. Φ ve Φ içi bağımsız ola Φ ( a, λ ) = ve Φ ( a, λ ) =Φ ( a, λ ) o zama (.3.7) de Q ( a, λ ) = D ( λ ) hakkıdaki soucu ispat etmek içi (.3.7)'i λ'ye göre türev alalım, D ( λ)'yı Φ ve Φ ' iλ türevleri ciside ifade etmek içi. i i O zama λ= λ koyarız ve.3.5 ve.3.6 ' yı kullaarak λ türevlerii yer değiştiriiz..3. ve.3. de { a } D ( λ ) = p( ) elde edilir. Böylece Schwarz eşitsizliğide D ( λ ) ve üstelik eşitsizliği durumu kural dışıdır. Çükü Φ( t, λ ) ve Φ ( t, λ ) bağımsızdır. D( λ)+' i M sıfırları içi (c) ye karşılık ola bir souç vardır, tek farkla D (M )> D (M )= ise İki mertebede yüksek D( λ ) ± ' i sıfırı olmadığıı ispat ettik. Hemde D( λ)-'i bir λ sıfırı sadece D( λ) λ 'de bir maksimum farz edilirse.mertebededir. 4

49 D( λ)+'i bir M sıfırı sadece D( λ) M 'de bir miimum farz edilirse.mertebededir. (d) Şimdi λ - 'da 'a artarke D( λ)'ı davraışlarıı icelemek içi ( a)-(c) souçlarıı kullaacağız. λ büyük ve egatif ike ( a)'da D( λ) > Böylece λ- ' da artarke, λ D( λ)-'i ilk λ ' a ulaşaa kadar D( λ ) 'de daha büyük kalır. D( λ), λ ' da bir maksimuma sahip olmadığı farz edildiğide, λ D( λ )-'i basit sıfırdır ve burada λ ' ı sağıda göre D( λ)< olduğu heme alaşılır. 3.PROBLEME GİRİŞ Bu bölümde. ve. bölümdeki taım, teorem ve yötemlerde faydalaarak aşağıdaki diferasiyel deklemi spektral yapısı icelemektedir. lα[ y] y + ( q( x) ) + α σ ( x ) y= λ y, x R (3.) = Burada q(x) reel, periyodik (q(x+)=q(x)), parçalı sürekli bir foksiyo; σ ( x) Dirac delta foksiyou, α reel sayı ve λ spektral parametredir. Bu tür deklemler matematiksel fiziği bir çok problemleride ortaya çıkmıştır. Bu deklemleri matematiksel olarak icelemesi Geçe Asrı 6. yıllarıda [8,9] makaleleride başlamıştır.bu kou so 3 yılda daha çok icelemiştir. Berezi-Milos-Faddeyev teorisi deile bu teori [] moografiside daha da deride icelemiştir. Diğer yötem ise sıırlı salıımlı foksiyoları türevi ola potasiyeller içi []-[3] de verilmiştir.[4,5] da ise daha yüksek mertebeli öz eşleik formdaki diferasiyel deklemler içi bu yötem kullaılarak icelee operatörü taım kümesi elde edilmiştir. 43

50 Öcelikle L α ile l α [y] diferasiyel deklemii oluşturduğu operatörü gösterelim. İkici yötemi kullaarak (3.) deklemii x değişkeie göre her iki tarafıı [-ε,+ ε ] aralığıda itegrali alıır ve ε ike limite geçilirse l α [y] diferasiyel ifadesii oluşturduğu L α operatörüe dek ola aşağıdaki operatör elde edilir. L : y( x) y ( x) + q( x) y( x), Öyle ki,,, y( x) H ( R) / Z) H ( R) ve Z içi y( ) = y( + ) = y( ), y ( + ) y ( ) = α y( ) Burada m, H uygu Sobelev uzaylarıdır.[6] Bölüm 4 alt bölümde oluşur.. altbölümde Floquet teoriside yaralamak (3.) deklemii kararlık ve karasızlık aralıkları belirleerek ve buları baz olarak L α operatörüü spektrumu iceleecektir. 3. FLOQUET TEOREMİ Bu kısımda spektrum aralıklarıı belirlemeside öemli bir role sahip ola Floquet teorisii kullaacağız. Öcelikle x yerie x+ alıdığıda (3.) deklemi değişmediğide, yai ψ ( x, λ ), (3.) deklemii çözümü olduğuda, ψ ( x+, λ) da bu deklemi çözümü olacaktır. Acak, geel olarak bu çözümler birbirie eşit olmayabilir, yai öyle bir ρ = ρ( x) sayısı buluabilirki; ψ ( x+, λ) = ρψ ( x, λ), ψ ( x+, λ) αψ ( x+, λ) = ρψ ( x, λ) (3.) yukarıdaki olarak adladırılır. bölümlerde söylediğimiz gibi, bu souçlar ve ispatları Floquet teorisi 44

51 TEOREM 3..: Öyle bir ρ =ρ (x) sabiti ve (3.) i aşikar olmaya ψ ( x) çözümü varki, (3.) özelliği sağlaır. İSPAT: θ ( x, λ) ve ψ ( x, λ ) ( ) λ y + q x y= y deklemii θ (, λ ) = ψ (, λ) =, θ (, λ) = ψ (, λ) = başlagıç şartlarıı sağlaya iki lieer bağımsız çözümleri olsu Bu durumda geel çözüm c ve c sabit sayılar olmak üzere ψ ( x, λ) = cθ ( x. λ) + cψ ( x, λ) (3.3) biçimide yazılabilir. Şimdi (3.3) ifadesi (3.) eşitlikleride yerie yazılırsa cθ ( x+, λ) + cψ ( x+, λ) = ρ( cθ ( x, λ) + cψ ( x, λ)) cθ ( x+, λ) + cψ ( x+, λ) αλ( cθ ( x+, λ) + cψ ( x+, λ)) = ρcθ ( x, λ) + cψ ( x, λ) Bu deklem sistemii aşikar olmaya çözümüü olması içi katsayı matrisii determiatıı sıfır olması gerektiğide alımış eşitlikte bazı düzelemeler yapılırsa ve W[ θ, ψ ] = θ ( x, λψ ) ( x, λ) θ ( x, λψ ) ( x, λ) = (3.4) eşitliği kullaılarak 45

52 [ ] ρ θ λ ψ λ αψ λ ρ (, ) + (, ) (, ) + = (3.5) biçimide ρ ya bağlı ikici derecede bir deklem elde edilir. Bu deklem her zama ρ köküe sahiptir ve ρ dır. Bu ise (3.) deklemii (3.) koşuluu sağlaya, aşikar olmaya çözüme sahip olduğuu gösterir. Şimdi λ parametreli F( λ ) foksiyou F( λ)= θ (, λ) + ψ (, λ) αψ (, λ) (3.6) biçimide taımlaırsa (3.5) deklemi aşağıdaki biçimde yazılabilir. ρ F( λ) ρ+ = (3.7) Bu deklemi kökleri F( λ) F( λ) ρ, ( λ) = ± (3.8) şeklidedir ve aşağıdaki eşitliği sağlar: ρ( λ). ρ( λ ) = (3.9) Verilmiş bir λ değeri içi F ( λ) 4 ise (3.7) deklemi iki farklı ρ ve ρ köklerie sahiptir ve dolayısıyla öyle iki aşikar olmaya ψ( x, λ) ve ψ ( x, λ ) çözümleri vardır ki; bu çözümler (3.) eşitliğii sağlar. Burada (3.) eşitliklerii kullaarak [ ] W ψ ( x+, λ), ψ ( x+, λ) = ρρ = 46

53 eşitliği yazılabilir. Dolayısıyla böyle taımlamış ψ( x, λ) ve ψ ( x, λ ) çözümleri m m lieer bağımsızdır. ρ ve ρ sıfır olmadığıda ρ= e ve ρ = e olacak biçimde m = m( λ) ve m = m ( λ) sayıları taımlaabilir ve burada ψ ( x+, λ) = e ψ ( x, λ), ψ ( x+, λ) = e ψ ( x, λ) m m eşitlikleri elde edilir. Şimdi kabul edelim ki, P ( x, λ) = e ψ ( x, λ), P ( x, λ) = e ψ ( x, λ) m x m x olsu. Bu durumda P ( x, λ) ve P ( x, λ ) x değişkeie göre -periyotlu foksiyolardır. Böylece F ( λ) 4 olduğuda (3.) i Floquet formudaki geel çözümü aşağıdaki biçimde olur: y( x, λ) = c e P ( x, λ) + c e P ( x, λ) m x m x Eğer λ (, ) ise, α R ve q(x) foksiyou reel değerli olduğuda θ ( x, λ), ψ ( x, λ), ψ ( x, λ) foksiyoları ve dolayısıyla F( λ ) foksiyou reel değerli olacaktır. Şimdi F( λ ) ı aşağıdaki durumlarıı iceleyelim. - F( λ )> ise (3.8) de ρ ve ρ reel, ayrık ve pozitif sayılardır. Dolayısıyla (3.9) da sıfırda farklı reel bir m sayısı vardır, öyle ki ρ = e, ρ = e m m yazılabilir. Böylece (3.) deklemii geel çözümü y( x, λ) = c e ρ ( x, λ) + c e ρ ( x, λ) mx mx 47

54 biçimide olur. Burada ρ ( x, λ ) ve ρ ( x, ) λ, periyotlu foksiyolardır. - F( λ )<- ise ρ ve ρ. durumda farklı olarak m yerie m (3.) deklemii geel çözümü + iπ olur. Böylece y( x, λ) = c e P ( x, λ) + c e P ( x, λ) ( m+ iπ ) x ( m+ π ) x gibidir. 3- F( λ ) < ise ρ ve ρ ayrıktır ve birbirii eşleiği ola iki karmaşık sayıdır. Burada öyle bir γ sayısı vardır ki, <γ <π veya -π <γ < olmak üzere (3.) deklemii geel çözümü y( x, λ) = c e P ( x, λ) + c e P ( x, λ) iγ x iγ x formudadır. 4- F ( λ )=4 ise bu durumda, F( λ)= ise ρ = ρ = ρ = (3.) -, F( λ)=- ise olur. Dolayısıyla (3.) deklemii (3.) şartlarıı sağlayacak e az bir aşikar olmaya ψ ( x, λ ) çözümü buluacaktır. ψ ( x, λ ) (3.) i ψ ( x, λ ) ile bağımsız başka bir çözümü olsu. Bu durumda öyle bir d, sabiti vardır ki, lieer ψ ( x+, λ) = dψ ( x, λ) + ρψ ( x, λ) (3.) halii alır. Burada iki durum söz kousudur. 48

55 a-) d = ise (3.) aşağıdaki biçimde olur, ψ ( x+, λ) = ρψ ( x, λ) (3.) dolayısıyla (3.), (3.) ve (3.) dikkate alıdığıda (3.) deklemii tüm çözümleri F( λ ) = ike periyodik, F( λ ) =- ike ati-periyodiktir. Kolayca gösterilebilir ki, d = eşitliği acak ve acak θ (, λ) = α, ψ (, λ) = (3.3) olduğuda sağlaır. b-) Kabul edelim ki, d olsu, yai (3.3) eşitlikleride e az biri sağlaması. Bu durumda (3.) da, F( λ)= ise m= i π, F( λ)=- ise m biçimide taımlamış bir m sayısı vardır, öyle ki, ρ = e dir. Şimdi P ( x, λ) e ψ ( x, λ), P ( x, λ) e ψ ( x, λ) xp ( x, λ) ρ mx mx d = = diyelim. Kolayca görülebilir ki, P ( x+, λ) = P ( x, λ), P ( x+, λ) = P ( x, λ) dir. Böylece (3.) deklemii temel çözümleri aşağıdaki biçimdedir: mx mx d ψ( x, λ) = e P ( x, λ), ψ ( x, λ) = e xp ( x, λ) + P ( x, λ) ρ 49

56 5) Şimdi λ ı reel sayı olmadığı durumu iceleyelim. Burada iki alt durum vardır. F( λ ) reel sayı değil ise, o zama (3.8) de ρ ve ρ farklı değerlere sahip olacaktır. i Çükü e γ i ρ =, γ (, ) ise (3.9) da ρ = e γ ve F( λ)= ρ+ ρ = cosγ olacak. Dolayısıyla F( λ ) reel çıkacaktır ki, bu da yukarıdaki kabulle çelişecektir. Böylece Re m koşuluu sağlayacak öyle m sayısı vardır ki, m ρ = e, ρ = e dir m ve (3.) deklemii aşağıdaki gibi lieer bağımsız iki çözümü buluur: ψ ( x, λ) = e P ( x, λ), ψ ( x, λ) = e P ( x, λ) mx mx Böylece,. ve. deki souçları baz alıp, yukarıda yaptığımız icelemelerde şu souca ulaşırız: TEOREM 3..: λ (, ) olmak üzere F( λ ) > ise (3.) deklemi kararsız, F( λ ) < ise kararlıdır. F( λ ) = ise bu durumda Φ (, λ) = α, ψ (, λ) = eşitliklerii her ikisi sağlaıyor kararlı olmayacaktır. ise (3.) deklemi kararlı, e az biri sağlamıyorsa şartlı kararlı olup, 3. t- PERİYODİK SINIR DEĞER PROBLEMİ x aralığıda + λ ( ) = (3.4) y q x y deklemii ve 5

57 [ α ] it it y() = e y(), y () = e y () + y() (3.5) Sıır şartlarıı oluşturduğu probleme t-periyodik sıır - değer problemi deir. Kabul edelim ki, y( x) ve q(x) olsu (3.) deklemii spektral özelliklerii icelemesi açısıda (3.4),(3.5) sıırdeğer problemii bazı özelliklerii verelim. Teorem 3..: F( λ ), (3.6) formülü ile taımlaa foksiyo olmak üzere (3.4), (3.5) sıırdeğer problemii özdeğerleri aşağıdaki deklemi sıfırlarıdır, F( λ )-cost= (3.6) İspat: (3.4) deklemii geel çözümü y( x, λ) = cθ ( x, λ) + cψ ( x, λ) biçimidedir. Bu çözüm (3.5) sıır şartlarıda yerlerie yazılır ve θ (, λ) = ψ (, λ) =, θ (, λ) = ψ (, λ) = başlagıç şartları kullaılırsa aşağıdaki deklem sistemi buluur. it ( θ λ e ) c ψ λ c (, ) + (, ) = ( it it θ λ α) ( ψ λ ) (, ) e. c + (, ) e c = Bu sistemi aşikar olmaya çözüme sahip olabilmesi içi gerek ve yeter şart 5

58 it θ (, λ) e ψ (, λ) it θ (, λ) e. α ψ (, λ) e it = olmasıdır. Burada it it θ (, λ) + ψ (, λ) αψ (, λ) = e + e = cos t eşitliği buluur. F( λ)=cost Teorem 3..: (3.4), (3.5) sıır- değer problemii özdeğerleri reeldir ve sıfırda farklıdır. İspat: Varsayalım ki, λ - (3.4), (3.5) sıır - değer problemii özdeğeri ve y( x ) de bu özdeğere karşılık gele ve (y,y)= şartıı sağlaya öz foksiyo olsu. Bu durumda (3.4) deklemii her iki tarafıa y(x) ile iç çarpım uygulaırsa { } λ α + y() y ( x) + q( x) y( x) dx= Biçimide λ ya bağlı.derecede bir deklem elde edilir. Yukarıdaki şartlar dikkate alıdığıda bu deklemi köklerii reel ve sıfırda farklı olduğu ortaya çıkar. Teorem 3..3 t mπ ( m=, ±, ±,...) olduğuda (3.4), (3.5) sıır-değer problemii özdeğerleri tek katlıdır, yai her bir özdeğere bir tek özfoksiyo karşılık gelir. 5

59 İspat: Kabul edelim ki, t mπ ( m=, ±, ±,...) olsu ve (3.4), (3.5) sıır - değer problemii λ özdeğerie iki lieer bağımsız y ( x) ve y( x ) öz foksiyoları karşılık gelsi bu durumda her bir λ değeri içi (3.4) deklemii y(x) çözümü y ( x) ve y( x ) i kombiasyou biçimide yazılabilir ve ayı zamada (3.5) sıır şartlarıı sağlar. Özel olarak θ ( x, λ) ve ψ ( x, λ ) foksiyoları bu şartları sağlayacaktır. Bu durumda F( λ)= θ (, λ) + ψ (, λ) αψ (, λ) [ ] it it it = e θ (, λ) + e ψ (, λ) + αψ (, λ) αeψ (, λ) = e it elde edilir. Öte yada, Teorem 3.. gereği λ özdeğeri (3.6) eşitliğii sağladığıda cos t= e Elde edilir. Bu eşitlik ise acak ve acak t ki, bu da yukarıdaki varsayımla çelişir. it = mπ ( m=, ±, ±,...) durumuda sağlaır t= mπ ( m Z) olmak üzere m çift sayı ise (3.5) şartları y() = y() y () = y () + α y() (3.7) Biçimii alır, m tek sayı olduğuda sıır şartları y() = y() y () = y () α y() (3.8) gibi olur. 53

60 Teorem 3.. gereğice (3.4), (3.7) sıır-değer problemii özdeğerleri F( λ )= deklemii, (3.4) ve (3.8) sıır-değer problemii özdeğerleride F( λ )=- deklemii sıfırlarıdır ve bu özdeğerler iki katlı olabilir. (3.7) sıır-değer şartıa (3.) deklemii periyodik, (3.8) e ise ati-periyodik şartları deir. Teorem 3..4: (3.4), (3.7) ve (3.4), (3.8) sıır-değer problemlerii λ özdeğerlerii iki katlı olması içi gerek ve yeter şart θ (, λ) = α, ψ (, λ) = (3.9) olmasıdır. İspat: İspatı (3.4),(3.8) sıır - değer problemi içi yapalım. (3.4), (3.7) problemi içi de ayı işlemler yapılabilir. Varsayalım ki, λ, (3.4), (3.8) sıır - değer problemii iki katlı özdeğerleridir. Bu durumda taım gereği, ayı özdeğere iki lieer bağımsız y (x) ve y (x) özfoksiyoları karşılık gelir. Dolayısıyla bu özfoksiyoları lieer kombiasyou (3.4) deklemii ve (3.8) şartlarıı sağlar. Özel olarak y (x) = θ ( x, λ ) ve y (x) = ( x, ) ψ λ alıırsa θ (, λ ) = ψ (, λ ) =, Φ (, λ) = ψ (, λ) = şartıda (3.9) eşitlikleri elde edilir. Aksii varsayalım ki, (3.4), (3.8) sıır-değer problemii λ özdeğeri içi (3.9) eşitlikleri sağlası. Bu durumda λ ı iki katlı özdeğer olduğuu gösterelim. Gerçekte (3.9) ve W[ θ, ψ ] = özdeşliğide θ (, λψ ) (, λ) = elde edilir. Burada 54

61 Olur ve (3.9) da [ ] F ( λ)= θ (, λ) + ψ (, λ) αψ (, λ) = 4= 4 θ (, λψ ) (, λ) [ θ λ ψ λ ] (, ) + (, ) = 4 θ (, λψ ) (, λ) θ (, λ) = ψ (, λ) Eşitliği elde edilir. F( λ )=- eşitliğide θ (, λ) = ψ (, λ) = (3.) Soucua varılır. θ (, λ) = ψ (, λ) =, θ (, λ) = ψ (, λ) = şartıda ve (3.9), (3.) de (3.8) şartlarıı sağladığı görülür. Şimdi (3.4), (3.5) t-periyodik sıır-değer problemii özdeğerlerii varlığıı gösterelim. [ 3 ] deki formüller gereğice yeterice büyük λ değerleri içi aşağıdaki asimptotik formüller doğrudur: Imλ Imλ Imλ e siλ e e θ ( x, λ) = cosλ+, ψ ( x, λ), ψ ( x, λ) cosλ λ = + = + λ λ λ Bu formüller (3.6) daki F( λ ) ı ifadeside yerlerie yazılırsa F( λ)= θ (, λ) + ψ (, λ) αλψ (, λ) Im cos e λ = λ+ λ (3.) İfadesi elde edilir. (3.) asimptotik formülüde Rouche Teoremi [ 7 ] gereğice F( λ )=cost deklemii sayılabilir sayıda λ ( t ) (k=, ±, ±,...) köklerie k 55

62 sahip olduğu söyleebilir. Ayrıca Teorem 3.. ve Teorem 3.. de bu λ ( t ) ler reeldir, sıfıra eşit değildir ve aşağıdaki sıralamaya sahiptir: k... λ ( t) λ ( t) λ ( t) λ ( t) λ ( t)... (3.) Bu formüldeki her bir λ ( t ) sayısı ou katıa eşit sayıda tekrarlaabilir. k 3.3 KARARLILIK VE KARARSIZLIK ARALIKLARI Bu bölümde 3. kısmıda elde edile bilgilerde yararlaarak (3.) deklemii kararlılık ve kararsızlık aralıkları hakkıda daha somut bilgiler edimeye çalışacağız.ayı zamada bu bölümde kararlılık ve kararsızlık aralıklarıı varlığı ispatlaacak ve bu aralıkları kesi tasviri verilecektir. Bütü bular F( λ ) foksiyouu özellikleri araştırılarak yapılacaktır. Teorem 3.3. Eğer F( λ ) < ise θ (, λ) + αθ (, λ), ψ (, λ) ve θ (, λ) + αθ (, λ) ile ψ (, λ) ters işaretlidir. İspat: F( λ ) < F ( λ)<4 ( θ (, λ) + ψ (, λ) αψ (, λ)) < 4 burada ve [ ] W θ, ψ = dikkate alıırsa 56

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.

Detaylı

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ

5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ 5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii

Detaylı

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.

(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6. Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit

Detaylı

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ

POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı

Detaylı

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi

f n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi 4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie

Detaylı

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.

1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz. Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )

Detaylı

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ

ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze

Detaylı

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ

DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ DIRAC SİSTEMİ İÇİN BİR SINIR DEĞER PROBLEMİ UFUK KAYA Mersi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aa Bilim Dalı YÜKSEK LİSANS TEZİ Tez Daışmaı Prof. Dr. Nazım KERİMOV MERSİN Hazira - 8 ÖZ Bu çalışmada

Detaylı

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI

BASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei

Detaylı

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2

LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2 LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık

Detaylı

2.2. Fonksiyon Serileri

2.2. Fonksiyon Serileri 2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m

Detaylı

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005

18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005 8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi

Detaylı

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322

0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322 Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı

Bir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı 5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...

İÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler... İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı

Detaylı

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,

POLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri, POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x

Detaylı

Analiz II Çalışma Soruları-2

Analiz II Çalışma Soruları-2 Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II

Detaylı

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri

Aralığın İç Noktasında Süreksizliğe Sahip Dirac Operatörünün Spektral Özellikleri C.Ü. Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi 5Cilt 6 Sayı Aralığı İç Notasıda Süresizliğe Sahip Dirac Operatörüü Spetral Özellileri R. Kh. AMİROV ve Y. GÜLDÜ Cumhuriyet Üiversitesi Fe Edebiyat Faültesi

Detaylı

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR

TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.

Detaylı

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz

GAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı

Detaylı

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1

Örnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1 Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault

Detaylı

TÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...

Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+... MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız

Detaylı

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri

Tahmin Edici Elde Etme Yöntemleri 6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme

Detaylı

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler.

İşlenmemiş veri: Sayılabilen yada ölçülebilen niceliklerin gözlemler sonucu elde edildiği hali ile derlendiği bilgiler. OLASILIK VE İSTATİSTİK DERSLERİ ÖZET NOTLARI İstatistik: verileri toplaması, aalizi, suulması ve yorumlaması ile ilgili ilkeleri ve yötemleri içere ve bu işlemleri souçlarıı probabilite ilkelerie göre

Detaylı

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)

OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza

Detaylı

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER

BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii

Detaylı

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.

(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız. Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..

Detaylı

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri

( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı

Detaylı

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak

Venn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt

Detaylı

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI

6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI 6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay

Detaylı

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler

Sınır Koşullarının Spektral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sınır-Değer Problemi İçin Düz ve Ters Problemler CÜ Fe-Edebiyat Faültesi Fe Bilimleri Dergisi (6)Cilt 7 Sayı Sıır Koşullarıı Spetral Parametreyi İçerdiği İmpulsive Sturm-Liouville Sıır-Değer Problemi İçi Düz ve Ters Problemler R Kh Amirov, B Kesi, A

Detaylı

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi

Journal of Engineering and Natural Sciences Mühendislik ve Fen Bilimleri Dergisi Joural of Egieerig ad atural Scieces Mühedislik ve Fe Bileri Dergisi Sigma 6/4 Araştırma Makalesi / Research Article O SPEKTRUM OF A SEF ADJOIT DIFFERATIA OPERATOR OF HIGHER ORDER WITH UBOUDED OPERATOR

Detaylı

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme

SAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace

Detaylı

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy

denklemini sağlayan tüm x kompleks sayılarını bulunuz. denklemini x = 64 = 2 i şeklinde yazabiliriz. Bu son kompleks sayıları için x = 2iy Ders Sorumlusu: Doç. Dr. Necp ŞİMŞEK Problem. deklem sağlaya tüm kompleks sayılarıı buluu. Çöüm deklem şeklde yaablr. Bu so y kompleks sayıları ç y yaalım. Bu taktrde deklemde, baı y ( ) y elde edlr. Burada

Detaylı

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI

FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI 44 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları

Detaylı

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları

PROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?

Detaylı

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri

Kuyruk Teorisi Ders Notları: Bazı Kuyruk Modelleri uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017 11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki

Detaylı

v = ise v ye spacelike vektör,

v = ise v ye spacelike vektör, D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,

Detaylı

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER

TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI

Detaylı

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Diziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı

Detaylı

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ

AKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X

Detaylı

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi

Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi 3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada

Detaylı

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS

Detaylı

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem

DENEY 4 Birinci Dereceden Sistem DENEY 4 Birici Derecede Sistem DENEYİN AMACI. Birici derecede sistemi geçici tepkesii icelemek.. Birici derecede sistemi karakteristiklerii icelemek. 3. Birici derecede sistemi zama sabitii ve kararlı-durum

Detaylı

H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel

Detaylı

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004 DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI

HARDY-CROSS METODU VE UYGULANMASI HRY-ROSS MTOU V UYGUNMSI ğ şebekelerde debi bir oktaya çeşitli yollarda gelebildiği içi, şebekei er agi bir borusua suyu agi yolda geldiğii ilk bakışta söyleyebilmek geellikle mümkü değildir. Çözümleme

Detaylı

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ

Problem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar

Detaylı

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK

DOKTORA TEZİ. Ali ÇEVİK ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ MATRİS ORTOGONAL POLİNOMLARININ ve MATRİS FONKSİYONLARININ BAZI ÖZELLİKLERİ Ali ÇEVİK MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 9 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.

HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

Detaylı

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir

sorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak

Detaylı

BAĞINTI VE FONKSİYON

BAĞINTI VE FONKSİYON BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı

Detaylı

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.

REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir. 203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem

Detaylı

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI

T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla

Fonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya

Detaylı

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr.

SAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Karma Eğitim Ders Notları. Doç. Dr. SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9- Döemi Karma Eğitim Ders Notları Doç. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ. T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE PROBLEMİNİN BAZI ÖZELLİKLERİ VE GREEN FONKSİYONU Yaemi KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR HAZİRAN T.C. AHİ

Detaylı

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R

M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R İ H S A N T İ M U Ç İ N D O L A P C İ, Y İ Ğ İ T A K S O Y M Ü H E N D İ S L E R İ Ç İ N S AY I S A L YÖ N T E M L E R P U B L I S H E R O F T H I S B O O K Copyright 13 İHSAN TİMUÇİN DOLAPCİ, YİĞİT AKSOY

Detaylı

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)

İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS) T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650

Detaylı

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal

ÖZET Doktora Tezi KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN Akara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü İstatistik Aabilim Dal ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ KISITLI DURUM KALMAN FİLTRESİ VE BAZI UYGULAMALARI Esi KÖKSAL BABACAN İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır ÖZET Doktora Tezi

Detaylı

Matematik Olimpiyatları İçin

Matematik Olimpiyatları İçin KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,

Detaylı

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz.

ˆp x p p(1 p)/n. Ancak anakütle oranı p bilinmediğinden bu ilişki doğrudan kullanılamaz. YTÜ-İktisat İstatistik II Aralık Tahmii II 1 ANAKÜTLE ORANININ (p GÜVEN ARALIKLARI (BÜYÜK ÖRNEKLEMLERDE Her birii başarı olasılığı p ola birbiride bağımsız Beroulli deemeside öreklemdeki başarı oraıı ˆp

Detaylı

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve

BÖLÜM III. Kongrüanslar. ise a ile b, n modülüne göre kongrüdür denir ve BÖLÜM III Kogrüaslar Taım 3. N sabit bir sayı, a, b Z olma üzere, eğer ( a b) ise a ile b, modülüe göre ogrüdür deir ve a b(mod ) şelide gösterilir. Asi halde, yai F ( a b) ise a ile b ye modülüe göre

Detaylı

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI

GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma

Detaylı

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI

SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici

Detaylı

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK

GERC EL ANAL IZ H useyin IRMAK GERÇEL ANALİZ Hüseyi IRMAK Prof. Dr. Hüseyi IRMAK Çakırı Karateki Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü Öğretim Üyesi Çakırı 207 2 . BÖLÜM DİZİ KAVRAMI Dizi kavramı matematik bilimide oldukça kullaışlı

Detaylı

KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ

KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ KESĠRLĠ MERTEBEDEN DEĞĠġKEN KATSAYILI DĠFERENSĠYEL DENKLEM VE DENKLEM SĠSTEMLERĠNĠN HERMĠTE COLLOCATION YÖNTEMĠ ĠLE YAKLAġIK ÇÖZÜMLERĠ Nilay AKGÖNÜLLÜ PĠRĠM DOKTORA TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN

Detaylı

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül

BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ. A.Saide Sarıgül BİR ÇUBUĞUN MODAL ANALİZİ A.Saide Sarıgül DENEYİN AMACI: Akastre bir çubuğu modal parametrelerii (doğal frekas, titreşim biçimi, iç söümü) elde edilmesi. TANIMLAMALAR: Modal aaliz: Titreşe bir sistemi

Detaylı

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54 Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: 0.5578/fmbd.66855 54

Detaylı

MATEMATİK ANABİLİM DALI

MATEMATİK ANABİLİM DALI ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN

Detaylı

Cahit Arf Matematik Günleri 10

Cahit Arf Matematik Günleri 10 Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve

Detaylı

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR

ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR ASAL ÇARPANLARINA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1) 60 sayısıı asal çarpalarıa ayrılmış şekli aşağıdakilerde hagisidir? A)..5 D)..5 B)..5 E)..5 C)..5 1.Yötem: 60 180 90 45 60..5 tir. 15 5 5 1.Yötem: Öğrecilerimizi1.Yötemde

Detaylı

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.

2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır. Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide

Detaylı

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1

Bir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1 S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri

Detaylı

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1.

2016 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI RİSK ANALİZİ VE AKTÜERYAL MODELLEME. aşağıdaki seçeneklerden hangisinde verilmiştir? n exp 1. 06 YILI I.DÖNEM AKTÜERLİK SINAVLARI Soru Toplam hasar miktarı S i olasılık ürete foksiyou X x i PS ( t) = E( t ) = exp λi( t ) ise P S(0) aşağıdaki seçeeklerde hagiside verilmiştir? A) 0 B) C) exp λ i

Detaylı

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir:

Bileşik faiz hesaplamalarında kullanılan semboller basit faizdeki ile aynıdır. Temel formüller ise şöyledir: 1 BİLEŞİK FAİZ: Basit faiz hesabı kısa vadeli(1 yılda az) kredi işlemleride uygulaa bir metot idi. Ayrıca basit faiz metoduda her döem içi aapara sabit kalmakta olup o döem elde edile faiz tutarı bir soraki

Detaylı

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU

BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BİR STURM-LIOUVILLE TİPİNDE PROBLEMİN ÇÖZÜM FONKSİYONLARININ ASİMPTOTİĞİ VE GREEN FONKSİYONU Oka KUZU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR

Detaylı

YÜKSEK LİSANS TEZİ. Müh. Özkan KARABACAK. Yrd.Doç.Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR. Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.)

YÜKSEK LİSANS TEZİ. Müh. Özkan KARABACAK. Yrd.Doç.Dr. Neslihan Serap ŞENGÖR. Prof.Dr. Leyla GÖREN (İ.T.Ü.) İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ANAHTARLANMIŞ DOĞRUSAL SİSTEMLERİN KARARLILIĞININ İNCELENMESİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Müh. Özka KARABACAK Tezi Estitüye Verildiği Tarih : 25 Aralık 2006

Detaylı

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir.

35 Yay Dalgaları. Test 1'in Çözümleri. Yanıt B dir. 35 Yay Dalgaları 1 Test 1'i Çözümleri 1. dalga üreteci 3. m 1 2m 2 Türdeş bir yayı her tarafıı kalılığı ayıdır. tma türdeş yay üzeride ilerlerke dalga boyu ve hızı değişmez. İlk üretile ı geişliği büyük,

Detaylı

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı)

TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ Sapmasızlık 3.2. Tutarlılık 3.3. Etkinlik minimum varyans 3.4. Aralık tahmini (güven aralığı) 3 TAHMİNLEYİCİLERİN ÖZELLİKLERİ 3.1. Sapmasızlık 3.. Tutarlılık 3.3. Etkilik miimum varyas 3.4. Aralık tahmii (güve aralığı) İyi bir tahmi edici dağılımı tahmi edilecek populasyo parametresie yakı civarda

Detaylı

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.

( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z. KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS

POLĐNOMLAR YILLAR ÖYS YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır

Detaylı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı

İstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi

Detaylı

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ

STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ. Sezgin OĞRAŞ T.C DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Sezgi OĞRAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Temmuz DİYARBAKIR TEŞEKKÜR

Detaylı

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ

LİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel

Detaylı

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ .C SELÇUK ÜNİVERSİESİ FEN BİLİMLERİ ENSİÜSÜ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI UYGULAMALARI NEJLA ÇALIK YÜKSEK LİSANS EZİ İLKÖĞREİM ANABİLİM DALI KONYA, 00 ÖZE YÜKSEK LİSANS EZİ CHEBYSHEV POLİNOMLARI VE BAZI

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 3: MERKEZİ EĞİLİM VE DAĞILMA ÖLÇÜLERİ Prof. Dr. İrfa KAYMAZ Taım Araştırma souçlarıı açıklamasıda frekas tablosu ve poligou isteile bilgiyi her zama sağlamayabilir. Verileri

Detaylı

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s -

Bu bölümde kan tlayaca m z teoremi, artan ve üstten s - 18. S rl ve Arta Diziler Bu bölümde ka tlayaca m z teoremi, arta ve üstte s - rl bir gerçel say dizisii üsts ra çarpmas a ramak kal r biçimide özetleyebiliriz. (Üsts r kavram Bölüm 19 da görece iz.) flte

Detaylı

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( )

1. TEMEL KAVRAMLAR Derleyen: Osman EKİZ ( ) . TEMEL KAVRAMLAR Derleye: Osma EKİZ Bu çalışmaı temelii Jiri Herma, Rada Kucera, Jaromir Simsa., Elemetary Problems ad Theorems i Algebra ad Number Theory isimli kitap oluşturmaktadır. İlgili bölümü çevirisi

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ

T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI UZAY-ZAMAN KESİRLİ DİFÜZYON SİSTEMLERİNİN OPTİMAL KONTROLÜ DOKTORA TEZİ DERYA AVCI BALIKESİR, OCAK - 3 T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı