Çoğul-Değerli Fonksiyonların Almost D-Süreklilikleri Üzerine

Transkript

1 C.Ü. en-edebiat akültesi en Bilimleri Dergisi (23)Cilt 24 Saı Çğul-Değerli nksinların Almst D-Süreklilikleri Üzerine Metin AKDAĞ ve Savaş TEMİZİŞLER Cumhuriet Üniversitesi en Edebiat akültesi Matematik Bölümü 584 Sivas E-psta: Received;7.2.23, Accepted; Özet: Bu çalışmada bir tpljik uza üzerindeki ve kümelerden ararlanılarak üzerinde D ve D tpljileri tanımlandı. Bilinen Vietris tpljileri ile karşılaştırılarak D V ve D V lduğu görüldü. Daha snra : çğul-değerli fnksinu için a-d-ü..s. ve a-da..s. lması tanımları verildi ve denk kşulları veren teremler ifade ve ispat edildi. Bu sürekliliklerin daha zaıf tipleri lan w-d-ü..s., w-d-a..s. tanımları çğul-değerli fnksinların bu tür süreklilikleri için karakterizasnlar verildi. Anahtar Kelimeler: Çğul-değerli fnksinlar, D-Süreklilik. 2 On the Almst D-Cntinuit f Multifunctins Abstract: In this paper, we stud upper ( lwer ) almst D-cntinuus f multifunctins and btain sme characterizatins and sme basic prperties f such a multifunctin. Als we give sme cmparisins with upper ( lwer ) D-cntinuit and weakl upper ( lwer ) D-cntinut. Kewrds: Multifunctin, D-cntinuit

2 . Giriş ve Bazı Tanımlar Tek değerli fnksinların zaıf süreklilikleri ile ilgili çalışmalar 922 ılında H.Blumberg ile başladı. 966 ılında T.Husain [ ve 968 de Singal and Singal [ 3] tek değerli fnksinların almst sürekliliklerini tanımladılar ve çalıştılar. Bu çalışmamıza örnek lan tek değerli fnksinların sürekliliği 922 ılında J.K.Khli tarafından tanımlandı [] [ 4]. Bu makale üç bölümden luşmaktadır. Birinci bölümde makalede geçen kavramlar ve önceki çalışmalar özetlenmekte İkinci bölümde bir tpljik uza üzerindeki σ ve G δ kümelerden ararlanılarak 2 üzerinde D ve 2] D tpljileri tanımlandı. Bilinen Vietris tpljileri ile karşılaştırılarak D V ve D V lduğu görüldü. Daha snra : çğul-değerli fnksinu için D-ü..s. ve D-a..s. lması tanımları verildi. Çğul-değerli fnksinların bu tür süreklilikleri için karakterizasnlar araştırıldı. Sn larak bu makalede geçen süreklilik türleri arasındaki ilişkiler incelendi., tpljik uzalar ve, den e bir çğul-değerli fnksin, A, B lsun. ( ) ( ) { A} # ( A ) = ( ) = { }, ( B) { x ( x) B } A x x A ve ( B) = { x ( x) B =, altındaki büük görüntüsü, B nin altındaki büük ters görüntüsü A nın altındaki )., tpljik uzalar ve, den e bir çğul-değerli fnksin lsun. Her kapalı alt kümesi için ( B), in kapalı alt kümesi lursa e üstten arı süreklidir vea kısaca ü..s. dir denir, her A açık alt kümesi için ( A), in Herringtn, 975 [6] ), tpljik uzalar ve : bir çğul-değerli } kümelerine sırasıla A nın küçük görüntüsü, B nin altındaki küçük ters görüntüsü denir (Pnmarev, 964 [5] B açık alt kümesi lursa çğul-değerli fnksinu ü..s. ve a..s. ise e alttan arı süreklidir vea kısaca a..s. dir denir, e süreklidir denir.(lng and fnksin lsun. G) (, nin grafiği lmak üzere her bir ( x, ) G( ) için ( U V ) G( ) = ( U V) G() = lacak şekilde içinde nktasının bir U, içinde nktasının bir V kmşuluğu varsa e grafiği kapalıdır (kuvvetli kapalıdır) denir. x 2

3 (, τ ) bir tpljik uza lsun. kümesi üzerindeki τ tpljisinden ararlanılarak 2 kümesi üzerinde çeşitli tpljiler tanımlanabilir. Bunlardan ikisini şöle tanımlaacağız. G τ lmak üzere ( G) = { A A G } ve G = { A A G} küme ailelerini tanımlaalım. 2 kümesi üzerinde tplji, { G G {( G) G τ} ailesini taban kabul eden tpljie alt Vietris τ } ailesini alt taban kabul eden tpljie üst Vietris tplji denir. Bu tpljiler sırasıla V ve V ile gösterilir. Arıca 2 üzerinde V = V V tpljisine de Vietris tplji denir (Michael, 95 [7])., tpljik uzalar ve : çğul-değerli bir fnksin lsun. fnksinunun a..s.(ü..s., sürekli) lması için gerekli ve eterli kşul { } den 2 e tanımlı lan ve e karşılık gelen f tek-değerli fnksinunun V ( V, V) tpljisine göre sürekli lmasıdır [8]. (, τ ) bir tpljik uza lsun. Bir A için A nın her açık örtüsünün kapanışları A ı örten bir snlu altörtüsü varsa, A a quasi H- kapalıdır denir. Eğer uzaının kendisi quasi H-kapalı ise uzaa quasi H- kapalıdır denir. Eğer uzaı hem quasi H-kapalı hem de Hausdrff ise uzaa H-kapalıdır denir [9]. uzaının bütün kapalı alt kümeleri quasi H- kapalı ise uzaa C-kmpakt uza denir []. uzaında her nktasının quasi H-kapalı lan bir U açık kmşuluğu varsa uzaa erel H- kapalı uza denir. Bir uzaında her farklı x, nktaları için x U, ve U V = lacak biçimde U ve V açık kümeleri varsa Urshn uza denir (Singal and Ara, 969 []). (, τ ) x V uzaına bir tpljik uza ve A lsun. Eğer A= A (A= A) ise A a regüler kapalı (regüler açık) küme denir. Her bir x ve x nktasını bulundurmaan her bir A regüler kapalı kümesi için x U, A V ve U V = lacak şekilde U, V açık kümeleri varsa (, τ ) a hemen hemen regüler (almst regüler) uza denir [] (Drsett, 982 []). Her bir x ve x nktasını bulundurmaan her bir A arı kapalı kümesi için x U, A V ve U V = lacak şekilde U, 3

4 V arı açık kümeleri varsa (, τ ) a arı regüler (semiregular) uza denir Üzerinde D, D Tpljileri Bu bölümde bir tpljik uzadaki ve G -kümelerinden δ ararlanarak 2 üzerinde iki eni tplji tanımlaacağız. Öncelikle - küme ve G -küme tanımlarını verelim. δ Tanım 2.: (Eisenberg, 974 [2]) (A) (, τ ) bir tpljik uza ve A lsun. Eğer A kümesi saılabilir tane kapalı kümenin birleşimine eşit ise A a de bir - K küme denir. Semblik larak A= U n, n τ ise A bir -küme (B) (, τ ) bir n= tpljik uza ve A lsun. Eğer A kümesi saılabilir tane açık kümenin keşimi larak azılabilir ise A a de bir G -küme denir. Semblik larak A= U n, δ I n= U n τ ise A bir G -küme δ Önerme 2.: (, τ ) bir tpljik uza lmak üzere β = {2 \( V) V, kapalı - küme} ve β 2 = {2 \ < V > V, kapalı -küme} aileleri sırasıla { } 2 üzerinde farklı iki tplji için taban ve alt taban lurlar. İspat: (i) V = bir kapalı -kümedir ve ( V ) = lacağından 2 \( V ) = 2 β lur. (ii) 2 ( V, lsun. = 2 \( V V ) ve ) 2 \( V2) β 2 \( V) 2 \( V2) 2 (V ) kapalı -küme lacağından, 2 V2 β üzerinde bir tplji için taban lur. β 2 nin de alt taban luşu benzer biçimde gösterilir. Önermedeki β ve β2 ailelerinin taban ve alt taban lduğu tpljileri sırasıla D ve D ile gösterelim. Önerme 2.3: (, τ ) bir tpljik uza lmak üzere 2 üzerindeki D, D, V ve V tpljileri arasında aşağıdaki ilişkiler vardır. a) D V 4

5 b) D V İspat:(a) 2 ( V ) β lsun. Burada V kapalı -küme 2 ( V ) = < \V > lduğundan ve \V açık bir küme lduğundan < \V > V lur. O halde D V (b) Benzer biçimde 2 < V >= ( \V) lduğundan D V Tanım 2.4:[4] : bir çğul-değerli fnksin ve x lsun. ( x) V = lan bir \ V açık -kümesi için x U ( x) V = x gerektirmesini sağlaan en az bir U açık kümesi varsa, e nktasında D-üstten arı sürekli vea kısaca D-ü..s. denir. x lması için gerekli ve eterli kşul e karşı gelen her x için f( x) = ( x) biçiminde tanımlı f : (2, D ) tek değerli f fnksinunun İspat ( ): V, kapalı -küme, f( x ) 2 \( V) lsun. f( x ) < \ V > ve x Terem 2.5: : çğul-değerli fnksinunun x de D-ü..s. x de sürekli lmasıdır. f( x ) \ V lur. O halde f( x ) = ( x ) lduğundan ( x ) V = lur. \V açık -küme ve, D-ü..s. lduğundan ı bulunduran bir U açık kümesi x U x ( x) = lacak şekilde vardır. Bu durumda x x x U x f( x) V ani f( x) 2 \( V) lur. Bölece f : (2, D ) fnksinu x de sürekli lur. ( ): f, da sürekli lsun. ( x ) V = lan \ V açık -kümesi x alalım. ( x ) \ ( x) < \V > ( x ) 2 \ ( V) lur. f( x) = ( x) lduğundan f( x ) 2 \( V) lur. f, da sürekli lduğundan en az bir x Ux açık kümesi vardır öle ki x U x f( x) 2 \( V) Buradan ( x) < \ V > ise ( x) \ V ve ( x) V = lur. Her x U için elde edilir. Bölece, D-ü..s lur. Önerme 2.6:, bir C-kmpakt, regüler ve Hausdrff uza lsun. kuvvetli kapalı grafikli bir çğul-değerli fnksin ise x, D-ü..s. : 5

6 İspat : Kabul edelim ki G( ) kuvvetli kapalı lsun. K tümleeni açık -küme ve x ( K) lsun. ( x) K = tur. Her K için ( x, ) G ( ) tir. G ( ) kuvvetli kapalı lduğundan x U ( x), V açık kümeleri vardır öle ki U ( ( )) V = tur. { V K ailesi K nın bir x açık örtüsünü luşturur. K tümleeni açık -küme lduğundan kapalıdır ve uza C-kmpakt lduğundan K quasi H-kapalı küme, 2,, n K } nktaları vardır öle ki n V i i= K U Her i için V e karşı gelen U ( i x) i ler n için U = IU ( x) lsun. x U ve U açıktır. Arıca her i için i i= U ( ( x)) V = lduğun- dan U ( ) V i i i = ve U ( ) n U V i i= = tur. n K U V lduğundan ( ( U)) ( K) = dır ve U ( ( U)) i= i lduğundan U ( K) = tur. Snuç larak x U ( K) lur. Buradan ( K) açık ve ( K) kapalıdır. Bölece, de D-ü..s. lur. Tanım 2.7:[3], tpljik uzalar, : bir çğul değerli fnksin ve x lsun. ( x) ve V kapalı -küme lan bir V kümesi için x U x ( x) gerektirmesini sağlaan en az bir Ux açık kümesi varsa e x nktasında D-alttan arı sürekli vea kısaca D-a..s. denir. Önerme 2.8:, tpljik uzalar, : bir çğul değerli fnksin lsun. nin x de D-a..s. lması için gerekli ve eterli kşul e karşı gelen f : ( 2, ) tek-değerli fnksinu- nun x de sürekli D lmasıdır. İspat: Terem 2.5. e benzer larak apılır. 6

7 3. Çğul Değerli nksinların Almst D-Üstten ve Alttan Sürekliliği Tanım 3.: (Khli, 992 [4]) (, τ ) bir tpljik uza ve β, (, τ ) tpljik uzaının bütün açık alt kümelerinin ailesini göstersin. İki açık - kümenin kesişimi bir açık -küme lduğundan β ailesi üzerinde bir τ tpljisi için bir taban lur. Açıkça τ τ lur. Özellikle (, τ ) kmpakt, saılabilir kmpakt, lindelöf, bağlantılı vea arılabilir ise bu durumda (, τ ) da öle Ek larak eğer deki her bir tek nkta kümesi bir G - δ küme ise bu durumda (, τ ) T-uza lduğunda (, τ ) da T-uzadır. Tanım 3.2 :(Heldermann, 98 [4]) (, τ ) bir tpljik uza ve x lsun. x i içeren her bir U açığı için x V U lacak şekilde in bir V açık -alt kümesi varsa (, τ ) uzaına D-regüler uza denir. σ Tanım 3.3: : çğul-değerli fnksin lsun. ( x ) V = lan her V kapalı -kümesi için x U ( x) V = x gerektirmesini sağlaan x ın bir U açık kmşuluğu varsa da almst D-üstten arı süreklidir x x denir ve bu durum kısaca almst D-ü..s. biçiminde ifade edilir. Önerme 3.4: : çğul-değerli fnksinu x nktasında almst D- ü..s. lması için gerekli ve eterli kşul f : (2, D ), f( x) = ( x) tek değerli fnksinunun almst sürekli lmasıdır. İspat ( ):, nktasında almst D-ü..s. lsun. G kapalı bir G -küme x lmak üzere f( x ) 2 \( G) alalım. Bu durumda f( x ) < \ G > lur. Buradan f( x ) = ( x ) \ G elde edilir. \G açık -küme ve, almst D- ü..s. lduğundan ın öle bir U açık kmşuluğu vardır ki x x δ x U x ( x) G gerektirmesi sağlanır. Buradan f( x) = ( x) < G > ve f( x) 2 almst sürekli ( G) Dlaısıla f( Ux ) 2 ( G) ve bölece, x da f 7

8 ( ): ( x ), V açık -küme lsun. Bu durumda f( x ) = ( x ) ( V) f( x ) 2 \( ). f, da sürekli lduğundan x ı V x bulunduran bir U açık kümesi vardır öle ki x f( U ) 2 \( V). Buradan x x U x ( x) 2 \( V) lur. Bölece x U ( x) ( V) ( x) < \ V >. Terem 3.5: bir tpljik uza, semiregüler uza, : çğuldeğerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğer a), x da almst D-ü..s. x b) ( x ) lan her V açık -kümesi için x ( V) c) ( x lan her regüler açık -kümesi için ) x ( V) d) ( x) lan her regüler açık -kümesi için x U x ( x ) gerektirmesini sağlaan ın bir U açık kmşuluğu vardır. x x e) x a akınsaan her ( ) ağı ve ( x ) lan her V regüler açık -kümesi için λ λ iken a ( λ ) lan en az bir λ vardır. a λ λ İspat : (a) (b):, da hemen her erde D-ü..s. lsun. ( x ) lan x bir V açık σ-kümesini alalım. Tanım den ın bir açık x U x kmşuluğu vardır öle ki x U ( x) sağlanır. Bu durumda nın x tanımından x Ux x V elde edilir ki bu da demektir. x ( V) lması (b) (c):, ( x ) lan bir regüler açık -küme lsun. V regüler V açık lduğundan V = V O halde (b) de bunu erine azarsak x ( V) = [ ( V )] elde edilir. (c) (d):, ( x ) lan bir regüler açık -küme lsun. (c) den V 8

9 x ( V) x x U ( x) U dersek ( ) lur. Buradan x = V x Ux x ( V) V lur. (d) (a): ( x ) lan açık -küme V lsun. V, açık -küme ve V kapalı lduğundan V da açık -küme Buradan x ( ) lur. (d) den x U x ( x) V gerektirmesini sağlaan x ın bir açık U x kmşuluğu vardır. V = V lduğundan da, da hemen her erde D-ü..s. x lur. (d) (e): ( ), x a akınsaan bir ağ lsun. V, ( x ) lan a λ λ bir regüler açık -küme lsun. (d) den ın x x U ( x) V x gerektirmesini sağlaan bir U kmşuluğu vardır. (c) (d) lduğundan x Ux = ( V) alınabilir. ( a ) x U lduğundan en az bir λ vardır λ x öle ki her λ λ için aλ ( V) ( V) lduğundan aλ ( V) ve a ( ) elde edilir. Bölece λ için a ( ) Vlur. λ a ( u ) (e) (d): Kabul edelim ki (d) dğru lmasın. G regüler açık - a ( u ) V x G lur. ϑ x = { U x UveUaçık } ve Ω= {( au, U) U ϑ x ve } Φ:( Ω, ),, lsun. ( au, U) ( a,, U ) U U kşulu ile i önlendirelim. u her bütün ( a, ) u U Ω ler için a ( u ) V lur. Bu ise hiptezle çelişir. O halde Terem 3.6: bir tpljik uza, semiregüler uza ve : bir a), almst D-ü..s. λ kümesi için, ı bulunduran her U açık kümesinde öle ki a U vardır ki (d) dğrudur. ( ) λ, Φ au, U = au üzerinde x a akınsaan bir ağdır. Ancak Terem 3.6., Terem 3.7., Terem 3.8. ve Terem 3.9. in ispatı Terem 3.5. in ispatına benzer lduğundan apılmaacaktır. çğul-değerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğer Ω u 9

10 b) V açık -kümesi için ( V) V c) V regüler açık -kümesi için ( V) açıktır. d) V açık -kümesi için V açıktır. e) H kapalı -kümesi için ( H) ( H) dır. f) H regüler kapalı -kümesi için ( H) kapalıdır. Terem 3.7: bir tpljik uza, semiregüler uza, : bir çğuldeğerli fnksin lsun. Aşağıdakiler denktirler. a), x da almst D-ü..s. b) ( x ) lan her açık küme için x ( V) c) ( x lan her regüler açık küme için ) x ( V) d) ( x ) lan her regüler açık küme için gerektirmesini sağlaan açık bir U kmşuluğu vardır. x e) x a akınsaan her ( ) ağı ve ( x ) lan her regüler x U ( x) V açık V kümesi için λ λ iken a ( λ ) lacak şekilde en az bir λ vardır. Terem 3.8: a λ λ herhangi bir tpljik uza, semiregüler uza, bir çğul-değerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğer a), almst D-ü..s. x : b) Her V açık kümesi için ( V) V c) Her V regüler açık kümesi için ( V) açıktır. d) Her V açık kümesi için V açıktır.

11 e) Her V kapalı kümesi için V ( V) f) nin regüler kapalı her V alt kümesi için ( V) kapalıdır. Terem 3.9: : eşdeğer herhangi bir tpljik uza, semiregüler uza lsun. bir çğul-değerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler a), almst D-ü..s. b) Her V açık kümesi için ( V) V c) Her V regüler açık kümesi için ( V) açıktır. d) ( x ) lan her V açık kümesi için x ın x U x ( x) gerektirmesini sağlaan bir U açık kmşuluğu vardır. x e) x a akınsaan her ( ) ağı ve ( x ) lan her regüler a λ λ açık V kümesi için λ λ için a ( λ ) lacak şekilde en az bir λ vardır.

12 4.Çğul-Değerli nksinların Almst D-Alttan arı Süreklilikleri Bu bölümde çğul-değerli fnksinların almst D-a..s. lması tanımlanarak bu sürekliliğe denk kşullar verildi. Tanım 4.: : bir çğul-değerli fnksin, ( x ) ile tümleeni kapalı -küme lan her V kümesi için x U ( x) x gerektirmesini sağlaan bir U açık kümesi varsa e x de x almst D-alttan arı süreklidir denir ve bu durum kısaca da almst D- a..s. biçiminde ifade edilir. x Terem 4.2: : çğul-değerli fnksinunun x de almst D- a..s. lması için gerekli ve eterli kşul f : (2, D ) her x için f( x) = ( x) biçiminde tanımlı f, tek-değerli fnksinunun almst sürekli lmasıdır. İspat ( ): : bir çğul-değerli fnksinu x de almst D-a..s. lsun. için f( x ) 2 < G > β alalım. 2 < G >= ( G) ve x 2 ( x ) = f( x ( G ) ) = G lduğundan ( x ) ( G) Buradan ( x ) ( G) ve kapalı -küme, x da almst D-a..s. lduğundan x ın x U ( x) G gerektirmesini sağla- an açık bir U x x kmşuluğu vardır. ( G) = ( G) = 2 < G > ve f( x) = ( x) 2 < G > lduğundan x U x f ( x) 2 < G > lur. O halde, x da almst f sürekli ( ): f : (2, D tek-değerli fnksinu x da almst sürekli, ) ( x ) ve V, kapalı -küme lsun. Buradan f( x ) = ( x ) ( V ) = 2 < V > β 2 lur. f, da almst sürekli lduğundan ın x x x U x f( x) 2 < V > gerektirmesini sağlaan açık bir U kmşuluğu x 2

13 vardır. Buradan almst D-a..s. x Ux f( x) = ( x) V, ( x) b) -açık her V kümesi için ( V) ( V) lur., x da Aşağıdaki Terem 4. 3., Terem 4. 4., Terem 4. 5., Terem ve Terem nin ispatları Terem 3. 7 nin ispatına benzer lduğundan apılmaacaktır. Terem 4.3: herhangi bir tpljik uza, semiregüler uza, bir çğul-değerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğer a), almst D-a..s. c) -açık her V regüler açık kümesi için ( V) açıktır. : d) -açık her V kümesi için V açıktır. e) -kapalı her H kümesi için ( H ) ( H) lur. f) H, kapalı, regüler kapalı küme ise ( H) kapalıdır. Terem 4.4: uza ve :, herhangi bir tpljik uza, D-regüler ve semiregüler bir çğul-değerli fnksin lsun. Aşağıdakiler eşdeğerdir a), almst D-a..s. b) Her V açık kümesi için V açıktır. c) Her V regüler açık kümesi için V açıktır. ( ) d) -açık her V açık kümesi için V açıktır. e) Her H kapalı kümesi için ( H ) ( H) lur. f) Her H regüler kapalı kümesi için ( H) kapalıdır. Terem 4.5: :, herhangi bir tpljik uza, semiregüler uza ve bir çğul-değerli fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler 3

14 eşdeğer ( V) a), x da almst D-a..s. b) ( x) lan -açık her V kümesi için x ( V) c) ( x ) lan -açık her regüler V açık kümesi için x d) ( x ) lan açık her regüler açık V kümesi için ın x x U x ( x ) gerektirmesini sağlaan bir U açık kmşuluğu x vardır. e) x a akınsak lan her (aλ) λ ağı ve ( x) lan açık her regüler açık V kümesi için λ λ iken a ( λ ) lacak şekilde en az bir λ vardır. Terem 4.6:, herhangi bir tpljik uza, semiregüler uza, çğul-değerli bir fnksin lsun. Bu durumda aşağıdakiler eşdeğer a), x da almst D-a..s. : b) ( x ) lan her V açık kümesi için x ( V) c) ( x ) lan her V regüler açık kümesi için x ( V) d) ( x ) lan her V regüler açık kümesi için x ın x U x ( x ) gerektirmesini sağlaan bir U açık kmşuluğu x vardır. e) a akınsak lan her ( ) ağı ve ( x ) lan her V x a λ λ regüler açık kümesi için en az bir λ vardır öle ki her λ λ için a ( ) λ lur. Terem 4.7: : çğul-değerli fnksinu D-a..s. ise almst D-a..s. İspat:, D-a..s. lsun. Bir x için ( x) lan bir V açık - 4

15 kümesini alalım. D-a..s. lduğundan z U iken ( z) lan x içinde x i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z U x için ( z) lduğundan öle ki ( z) V lur. Bu nin x de almst D-a..s. lmasını verir. x kefi lduğun-dan, üzerinde almst D-a..s. lur. Terem 4.8: : çğul-değerli fnksinu D-ü..s. ise almst D-ü..s. İspat : D-ü..s. lsun. Bir x için ( x) lan bir V açık - kümesini alalım. D-a..s. lduğundan z U x iken ( z) lan içinde x i bulunduran bir U x açık kümesi vardır. V açık ve her z U x için ( z) lduğundan öle ki ( z) lur. Bu nin x de almst D-ü..s. lmasını verir. x kefi lduğundan, üzerinde almst D-ü..s. lur. Snuç 4.9:, C-kmpakt ve Hausdrff uza lsun. Eğer : fnksinu kuvvetli kapalı grafikli ise, almst D-ü..s. İspat :, kuvvetli kapalı grafikli lduğundan Önerme 2.6 dan, D- ü..s. Terem 4.8. den de, almst D-ü..s. Terem 4.:, C-kmpakt, Hausdrff ve kapalı kümeleri G -küme lan uza ve : çğul-değerli fnksinu nkta kmpakt ise aşağıdakiler eşdeğer a), almst D-ü..s. b) G(), kuvvetli kapalıdır. c), D-ü..s. Terem 4.:, regüler ve kapalı kümeleri -kümelerden luşan uza lsun. Bu durumda : çğul-değerli fnksinu almst D-a..s., a..s. İspat ( ):, bir de almst D-a..s. lsun. V, ( x ) lan bir x açık küme lsun. ( x ) alalım. Bu durumda ( x ) ve V, δ regüler uza lduğundan G G V lan bir açık G kümesi vardır. Dlaısıla ( x ) G dır. G, kapalı Gδ -küme ve, x da almst 5

16 D-a..s. lduğundan ın x x U x ( x) G gerektirmesini sağlaan bir açık Ux kmşuluğu vardır. Buradan G V lduğundan x U x iken ( x) lur. Dlaısıla, x da a..s. x kefi lduğundan, üzerin- de a..s. lur. ( ):, a..s. lduğundan V açığı için ( V) açıktır. V,, herhangi bir tpljik uza,, regüler ve kapalı alt açık -küme lduğunda ( V) de açık lur. O halde, D-a..s. Dlaısıla Terem 4.7 den Terem 4.2:, almst D-a..s. kümeleri -küme lan uza lsun. : nkta parakmpakt bir çğuldeğerli fnksin lsun. Bu durumda almst D-ü..s. dir ü..s. İspat ( ):, herhangi bir x de almst D-ü..s. ve V, ( x ) lan bir açık küme lsun. ( x ) için { } regüler uza lduğundan G G V ( x) ( x) ( x ) G G V lur. ( x ) parakmpakt ldu- ğundan, { U lan en az bir U ϑ= G } ( x) G (x ) örtüsünün ı örten erel snlu bir γ= { T ( x )} inceliği vardır. Buradan U T = T dersek x ( x ) açık kümesi vardır. Buradan ( ) lur. T, kapalı ve dlaısıla kapalı -küme, almst D-ü..s. T T U ( x ) G lduğundan x ın x U ( x) T T gerektirmesini sağlaan bir x U açık kmşuluğu vardır. O halde, x da ü..s. x kefi x lduğundan, üzerinde ü..s. ( ):, ü..s. lduğundan V kapalısı için V kapalıdır. ( ) V, kapalı -küme lduğunda ( V) de kapalı lur. O halde, D-ü..s. Dlaısıla Terem 4.8 den, almst D-ü..s. 6

17 5. Çğul Değerli nksinların Zaıfça D-Üstten (Alttan) arı Süreklilikleri Tanım 5.: : bir çğul-değerli fnksin ve x lsun. a) ( x ) lan V açık kümesi için her x U x iken ( x) lacak şekilde en az bir U açık kmşuluğu varsa e x da zaıfça x üstten arı sürekli denir. b) ( x ) lan V açık kümesi için her x U x iken ( x ) lacak şekilde en az bir U açık kmşuluğu varsa e x x da zaıfça alttan arı sürekli denir. c) ( x) ile tümleeni kapalı -küme lan her V kümesi için x U x için ( x) gerektirmesini sağlaan ın U açık kmşuluğu x x varsa e da zaıfça D-ü..s. denir. x d) ( x) ile tümleeni kapalı -küme lan her V kümesi için x U x için ( x) gerektirmesini sağlaan ın U açık x x kmşuluğu varsa e da zaıfça D-a..s. denir. Önerme 5.2: : x bir çğul-değerli fnksin lsun. a), D-ü..s. ise zaıfça D-ü..s. b), almst D-ü..s. ise zaıfça D-ü..s. c), D-a..s. ise zaıfça D-a..s. d), almst D-a..s. ise zaıfça D-a..s. İspat : Tanımlardan açıktır. Tanım 5.3: (, τ ) bir tpljik uza lsun. θ τ için θ τ lursa bu uzaa dmuş uza denir. Önerme 5.4: dmuş uza, regüler ve Hausdrff uza, : bir çğul-değerli fnksinu nkta kmpakt lsun., D-ü..s. ise zaıfça ü..s. İspat :, D-ü..s, nkta kmpakt ve herhangi bir x alalım. (V ) açık küme lsun. Hausdrff ve ( x) kmpakt ve ( x) ( x) 7

18 lduğundan ( x) W W lan en az bir W kapalı -kümesi vardır. Arıca her W için, regüler ve Hausdrff uza lduğundan, en az bir H açık ve W kapalı kümeleri vardır öle ki H = tur. W lduğundan, W H = tur. Diğer andan H açığı için regüler lduğundan en az bir G açığı vardır. Buradan G G H lur ve G kapalı -küme Buradan ( x ) W G tümleeni kapalı -küme,d-ü..s. lduğundan ın x U ( ) G lan bir U açık kmşuluğu vardır. uzaı dmuş lduğundan U x = I U denirse, W U x açık ve U ( x ) W lur. Bölece, da zaıfça ü..s. kefi lduğundan, üzerinde zaıfça ü..s. Önerme 5.5: ve uzaları regüler ve, den e açık, kapalı ve tek nkta kapalı dönüşüm ise, zaıfça D-ü..s. İspat : Kabul edelim ki, x de zaıfça D-ü..s. lmasın. Bu durumda x x ( x ) kşulunu sağlaan ve kapalı G -küme lan V kümesi vardır, δ x ı bulunduran her U açık kümesi için U ( ) V lur. Buradan her U için U ( ) ( V) dur. Arıca kapalı dönüşüm lduğundan n x U ( ) kapalıdır. Bölece { U ( ) ( V) U n } ailesi, V nin kapalı alt kümelerinden luşan ve içleri snlu arakesit özelliğine sahip lan bir aile x n I i= Gerçekten en az bir n N için U ( i ) ( V) = lsadı, n n I [ )] ( V ) [ ] (U i ( ) i i= = lup I U V lurdu. Buradan i= I n i= [ U ] n I ( ) ( i ) = U i ve i= I n i= ( U i ) V ve (I n i= U ) elde ederiz. i Ui I n ler açık ve açık dönüşüm lduğun- dan I n U i = ( U i ) V i= i= 8

19 Bu ise nin x çelişki dğar. lur. Bir ( x ) da zaıfça D-ü..s. lmasını verir. Ölese kabulümüz ile uzaı D-regüler uza lduğundan için I U n x U ( ) ( V) { } x I U n x U ( ) ( V) dır. Buradan = ve ( ) x ( ) lur. uzaı regüler ve ( ) kapalı lduğundan en az bir U, U açık kümeleri ( ) U ( x) lduğundan 2 x U, ve U U = lacak şekilde vardır. U ( ) = lur. Snuç 2 2 larak (U ) lur ki U n x I ( U) ( V) luşu ile çelişir. Bu çelişkie, x da zaıfça D-ü..s. lmasın demekle düştük. O halde, x da zaıfça D-ü..s. : çğul-değerli bir fnksin lsun. Her x için ( x ) = ( x) ile : bir eni fnksin tanımlaalım. Önerme 5.6: : zaıfça D-ü..s. ise : zaıfça D-ü..s. İspat : x ve ( x) W lduğundan W tümleeni kapalı G -küme δ lsun. ( x) = ( x) W lduğundan, ( x) W, zaıfça D-ü..s. lduğundan, bir x U açık kümesi vardır öle ki U ( ) W x Buradan U ( ) W ise (U ) W tır. U ( ) = ( x) = UU ( ) (U ) lduğundan (U ) W tır ve bölece, x de zaıfça D-ü..s. U x U x U Kanaklar [] H. Blumberg, New Prperties Of All Real unctins, Trans. Amer. Math. Sc. 24 (922), [2] T. Husaın, Almst Cntinuus Mapping, Prae.Math. (966), -7 [3] C.T.R. Brgers, A Stud Of Multivalued unctins, Pasific. J. Math., 23 (967), [4] M.K. Sıngal and Sıngal, Almst Cntinuus Mappings, khama Math. J., 6, (968),

20 [5] J.K.Khlı, D-Cntinuus unctins, D-Regular Spaces and D-Hausdrff Spaces, Bull. Cal. Math. Sc. 84 (992), [6] V.I. Pnmarev, A New Space Of Clsed Sets and Multivalued Cntinuus Mappings Of Bicmpacta, Amer. Math. Sc. 38 (964),95-8. [7] P.E. Lng and L.L. Herrıngtn, unctins With Strngl-Clsed Graphs, Bll. U.M.I. (Ital) (4), 2, (975), [8] E. Mıchael, Tplgies On Spacies Of Subsets, Trans. Amer. Math. Sc., 7 (95), [9] G. Chquet, Cnvergence, Grenble Universıt Annalles, 23 (947), []. Küçük, M. Akdağ, 2 -Üzerinde Çeşitli Tpljiler Ve Çğul-Değerli nksinların H-Süreklilikleri, IV. Ulusal Matematik Sempzumu Bildiri Özetleri Kitapçığı, 99. [] C. Drset, Semi-regular spaces, Schw J. Math. vl 8, 982, [2] M.K. Sıngal and S.P. Ara, On Almst-Regular Spaces, Glasnik Matematicki, (24), 4, (969), [3] M. Eısenberg, Tplg, Hlt Rinehart and Winstn, Inc [4] M. Akdağ, On The Upper Lwer D-Cntinuus Multifunctins, Appl. Math. E-Ntes, (2), 4-. [5] N.C. Heldermann, Develpabilit and Sme New Regularit Axims, Canad, J. Math ,98. [6]. Küçük, M. Akdağ, Çğul-Değerli nksinların H-Almst Süreklilikleri Üzerine, C. Ü. en-edb. ak., en Bil. Dergisi, Saı:5, Kasım