Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54

Transkript

1 Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: /fmbd Boyutlu (Eceptioal) Kuadratik Jorda Cebiri Atilla Akpıar Uludağ Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa. e-posta: aakpiar@uludag.edu.tr Geliş Tarihi: ; Kabul Tarihi: Aahtar kelimeler Eceptioal (kuadratik) Jorda cebirleri; Lokal halka; Octoio düzlem Özet Bu makalede, O karakteristiği ve de farklı bir R cismi üzeride taımlı bir octoio (Cayley- Dickso) R-cebiri, O ve 0 olmak üzere girdileri A OO lokal halkasıda alıarak oluşturula matris uzayıı H A, J ile gösterile simetrik elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışılmıştır. Bu küme üzeride bir orm form (determiat) ve bir iz form (bir matrisi izi) yardımıyla öce bir kübik cebir yapısı kurulmuş ve bu sayede 54 boyutlu (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri elde edilmiştir. Quadratic (Eceptioal) Jorda Algebra of Dimesio 54 Keywords Eceptioal (quadratic) Jorda algebras; Local rig; Octoio plae Abstract I this paper, the special subset of symmetric elemets deoted by H A, J of matri spaces, whose etries are take from A OO local rig where O is a octoio (Cayley-Dickso) algebra defied over a field of characteristic ot two ad three, O ad 0, is studied. A cubic algebra structure is first costructed by a orm form (determiat of a matri) ad a trace form (trace of a matri) o the set, ad so it is obtaied (eceptioal) quadratic Jorda algebra of dimesio 54. Afyo Kocatepe Üiversitesi. Giriş Jorda cebirleri, bir fizikçi ola ve kuatum mekaiğii cebirsel formulasyouu elde etmeye çalışa P. Jorda tarafıda 90 ları başlarıda çalışılmıştır. Bu yödeki çalışmalarıyla, bu cebirler ile Lie grupları arasıdaki ilişkii görülmesie ve bazı geometrik keşiflere yol açmıştır. Moufag (9), Harmoik Nokta Teoremii sağlaya Dezargsel olmaya bir projektif düzlem öreği ola bir projektif octoio düzlem kurmuş ve bu düzlemi octoio (Cayley-Dickso) bölümlü cebiri ile koordiatlamıştır. Girdileri bir O octoio R-cebirde alıarak t oluşturula matris uzayıı X a X ivolusyou altıda simetrik kala elemaları H alt uzayı üzeride, X g Y XY YX O çarpma (Jorda çarpımı) işlemi taımlaırsa H O bir Jorda R-cebiri yapısıa sahip olur. Faulker (970) a göre, H O cebirii bir octoio düzlemi taımlamakta ilk olarak Jorda (949) kullamıştır. Jorda bu çalışmasıda O yu reel sayılar cismi üzeride taımlı bir reel octoio bölümlü cebiri olarak almış ve bir projektif düzlemi okta ve doğrularıı temsil etmek içi H O deki primitive idempotetleri kullamıştır. Freudethal (95), Jorda ı (949) çalışmasıdakie bezer bir kuruluş vermiştir. Spriger (960), Jorda ve Freudethal tarafıda verile taımı O u karakteristiği ve de farklı bir cisim üzeride taımlı bir octoio bölümlü cebir olması durumuda da geçerli olduğuu göstermiştir ve bu sayede bir projektif düzlemi okta ve doğrularıı temsil edebilmiştir.

2 Faulker (970), Jorda-Freudethal-Spriger de farklı olarak O yu keyfi karakteristikli bir cisim üzeride taımlı bir octoio (Cayley-Dickso) cebiri almıştır ve burada elde edile bir kuadratik Jorda cebir sııfı yardımıyla taımlaa octoio düzlemler üzeride çalışmıştır. Özka (06); R özdeşlikli, değişmeli ve birleşmeli lokal halka olmak üzere girdileri O octoio R- cebiride alıarak oluşturula matris uzayıı bir kaoik ivolusyoa göre simetrik kala elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışmıştır. Bu küme üzeride ikici bir iç işlem olarak Jorda çarpımı alıarak bu küme öce bir Jorda R cebir yapısıa sahip hale getirilmiş ve daha sora bu küme üzeride bir orm form (determiat) ve bir iz form (bir matrisi izi) taımlamıştır. Bu Jorda R cebiri bir kübik cebir olduğu gösterilerek bu cebiri literatürde iyi bilie 7 boyutlu bir (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğu ifade edilmiştir. Üstelik, bu cebir üzeride iz ve orm formu sağladığı özellikler ile bu cebir yardımıyla Bi (980) de verile octoio düzlem taımıdaki bağıtılar detaylı bir biçimde icelemiştir. Bu makalede, O yu karakteristiği ve de farklı bir R cismi üzeride taımlı bir octoio R-cebiri olarak seçeceğiz ama O ve 0 olmak üzere girdileri A OO lokal halkasıda alıarak oluşturula matris uzayıı H A, J ile gösterile simetrik elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışacağız. Özka (06) ı yüksek lisas tezidekie bezer metotla ve bu tezde elde edile bazı souçları da kullaarak öce bu cebiri bir kübik cebir olduğuu göstereceğiz ve elde edile cebiri 54 boyutlu (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğuu ifade edeceğiz.. bölüm, ihtiyaç duyula temel bilgileri taım ve teoremler olarak verildiği bölümdür.. bölümde bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebir sııfı taıtılacaktır. 4. bölümde H A, J kümesii bir kübik R-cebir olduğua dair işlemler detaylı bir şekilde icelemiştir ve ihayetide bu cebiri 54 boyutlu kuadratik Jorda cebiri olduğu ifade edilmiştir.. Ö Bilgiler Bu bölümde; bu çalışmaya temel teşkil edecek taım ve teoremlere yer verilmiştir. Geel bilgileri bir araya getirilmeside, alfabetik sırayla, Beachy (999), Blyth ve Robertso (00), Çiftçi (05), Elma ve ark. (008), Faulker (04), Fraleigh (98), Hugerford (974), Jacobso (985), Malik ve ark. (997), McDoald (976), Schafer (996) çalışmalarıda faydalaılmıştır. Üstelik, bu bölüm içide verile spesifik bilgiler içi gerekli görüle yerlerde ayrıca başka çalışmalar da referas gösterilmiştir. Taım.. R i her a elemaı içi ai I ve Ia I şartlarıı sağlaya bir I alt halkasıa R halkasıı bir ideali deir. Taım.. R bir halka ve M R, R i bir ideali olsu. Eğer M I R şartıı sağlaya hiçbir I ideali yoksa M ye R i maksimal ideali deir. Taım.. Aşağıda birbirie dek olarak verile şartlarda bir taesii sağlaya bir R halkasıa lokal halka deir: a) R i bir tek maksimal ideali vardır. b) R i tüm birim olmaya (tersi olmaya) elemaları bir tek has idealde kapsaır. c) R i birim olmaya (tersi olmaya) elemaları bir has ideal oluşturur. d) r R içi ya r ya da r birimdir. Taım.4. Birleşmeli olmaya bir R halkasıda her a, b R içi ve a ab aa b abb abb sırasıyla, sol ve sağ altere şartları sağlaıyorsa R ye altere halka deir. Teorem.5. R bir altere halka olsu. Bu takdirde, Moufag özdeşlikleri olarak da isimledirile, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir (Pickert, 955; Faulker, 04): a) baca baca b) acab acab

3 c) abca abca. Taım.6. M bir R modül olmak üzere, M i M ve M ile gösterile iki alt modülü (alt uzayı) verilsi. Eğer, ) M M M dir. ) M M dır. 0 şartları sağlaıyorsa M ye M ve M i direkt toplamı deir ve bu durumda M M M yazılır. Taım.7. R özdeşlikli bir halka ve M bir R modül olsu. M i kedisii ürete (veya gere) lieer bağımsız bir alt kümesie M bir bazı deir. Eğer M i bir bazıı oluştura solu sayıda i, i,..., i elemaları varsa M ye bir serbest (free) R modül deir. Taım.8. Bir M R modülü herhagi bir bazıdaki elema sayısıa M i boyutu deir. Taım.9. M, M,..., M ve M R modülleri verilsi. i,i özelliğide seçilmiş bir tamsayı, y, j ve j i içi M j j ve R, Mi olmak üzere aşağıdaki şartları sağlaya bir f M M L M M döüşümüe bir - : lieer döüşüm deir: NL) f (,...,, y,,..., ) i i f (,...,,,,..., ) f (,...,, y,,..., ) i i i i dir. NL) f (,...,,,,..., ) f (,...,,,,..., ) dir. i i i i Burada sadece i. bileşe göz öüe alıırsa f i bu bileşe içi lieer olduğu görülür. tae bileşe içi lieerlik şartlarıı sağlaması istediğide f ye -lieer döüşüm adı verilmektedir. Özel olarak alıırsa f ye -lieer (bilieer) döüşüm deir. Taım.0. M bir R modül olsu. M M M M L olmak üzere f : M R döüşümü -lieer ise f ye M üzeride -lieer döüşüm ya da kısaca -lieer form adı verilir. Taım.. f, M üzeride bir -lieer döüşüm olsu. Eğer her (,..., ) sıralı -lisi ve her i j içi f(,...,,...,,..., ) f(,...,,...,,..., ) i j j i ise f ye simetrik -lieer döüşüm, f(,...,,...,,..., ) f(,...,,...,,..., ) i j j i ise f ye ati-simetrik -lieer döüşüm deir. Taım.. M ve M iki R modül olsu. Aşağıdaki şartları sağlaya bir Q: M M döüşümüe bir kuadratik döüşüm deir: KU) Her dir (yai R ve her y M foksiyodur). KU) Her, y M içi içi Qy Q y Q derecede homoje poliom Q, y Q y Q Q y özelliğide M M de M ye bir simetrik ve -lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği). M M ike Q kuadratik döüşümüe M üzeride bir kuadratik döüşüm deir. M R ike Q kuadratik döüşümüe bir kuadratik form, bu durumda Q, y ye de birleştirilmiş -lieer form deir (Burada Q, Q olduğua dikkat ediiz.). Taım.. M ve M iki R modül olsu. Aşağıdaki şartları sağlaya bir N : M M döüşümüe bir kübik döüşüm deir: KÜ) Her R ve her y M içi N y N y dir (yai N. derecede homoje poliom foksiyodur). KÜ) Her, y, z M içi N, y, z N y z N y N y z 6 N z N N y N z özelliğide M M M de M ye bir simetrik ve - lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği).

4 M M ike N kübik döüşümüe M üzeride bir kübik döüşüm deir. M R ike N kübik döüşümüe bir kübik form, bu durumda N, y, z ye de birleştirilmiş -lieer form deir (Burada,, N N olduğua dikkat ediiz.). Thomas (04) ı çalışması yardımıyla Taım. ve Taım. ü geellemesi aşağıdaki biçimde yapılabilir. Taım.4. M ve M iki R modül olsu. bir tamsayı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlaya bir f : M M döüşümüe bir. derecede döüşüm deir: ND) Her R ve her y M içi f y f y dir (yai f. derecede homoje poliom foksiyodur). ND) Her,,..., M ve H,,,..., k içi! B,,..., f S, S : f H H i k H, H k ih özelliğide M M M L M de M ye bir B f simetrik ve -lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği). M M ike. derecede döüşüme M üzeride. derecede döüşüm deir. M R ike. derecede döüşüme bir. derecede form, bu durumda,,..., B ye de birleştirilmiş - f lieer form deir (Burada olacağıa dikkat ediiz.). B,,..., f ( ) Özel olarak; M üzerideki bir. derecede form bir lieer form olarak isimledirilir. içi Taım. de kuadratik ve içi Taım. de kübik ifadeleri daha öce kullaılmıştı. Schafer (996) da, bir birleşmeli cebirde bir Lie cebiri veya bir Jorda cebirii asıl elde edildiği aşağıda verilecektir. M bir birleşmeli R cebir ike M üzeride her, y M içi e y y y f biçimide yei bir çarpma (Lie çarpımı) işlemi taımlası. Burada, e 0 dır. Bu yei çarpma işlemi ile M de elde edile cebir M gösterilsi. M deki çarpma hem ati-komütatiftir hem de Jakobi Özdeşliği olarak bilie e y e z y e z e z e e y 0 eşitliğii sağlar. Bu şekilde elde edile M ile ye bir Lie cebiri deir. Üstelik M i bu işleme göre kapalı ola herhagi bir alt cebiri de Lie cebiri yapısıa sahip olur. M bir birleşmeli R cebir ike M üzeride her, y M içi g y y y biçimide yei bir çarpma (Jorda çarpımı) işlemi taımlası. Burada, g yai g dir. Bu yei çarpma işlemi ile M de elde edile cebir M ile gösterilsi. M daki çarpma hem değişmelidir hem de Jorda Özdeşliği olarak bilie g g gy g gy g eşitliğii sağlar. Bu şekilde elde edile M ya bir Jorda cebiri deir. Üstelik M ı bu işleme göre kapalı ola herhagi bir alt cebiri de Jorda cebiri yapısıa sahip olur. Böylece, Jacobso (968) da aşağıdaki taımı verebiliriz. Taım.5. Herhagi bir cebir M Jorda cebirii herhagi bir alt cebirie izomorf ise bu cebire özel Jorda cebiri adı verilir. Özel olmaya Jorda cebirleri eceptioal Jorda cebirleri olarak adladırılır. Taım.6. ( R,, ) ve ( R,, ) iki halka olsu. : R R birebir ve örte bir homomorfizm (veya ati-homomorfizm) ise döüşümüe R de R ye bir izomorfizm (veya ati-izomorfizm) deir. R i kedisi üzerie bir izomorfizmie (veya atiizomorfizmie) R üzeride bir otomorfizm (veya ati-otomorfizm) deir. 4

5 Taım.7. R bir halka olsu. i, R üzeride özdeşlik döüşümü olmak üzere mertebesi (peryodu) (yai f i ike f i) ola bir f otomorfizmie (veya ati-otomorfizmie) R i bir ivolusyou (veya ati-ivolusyou) deir. Taım.8. R bir halka ve f de R i bir ivolusyou (ya da ati-ivolusyou) olsu. R i f ivolusyou (ya da ati-ivolusyou) altıda değişmez kala elemalarıa elemaları deir. R i simetrik A bir altere cisim ve A olsu. A : A( ) A A ( 0) üzeride toplama ve çarpma iç işlemleri her aba, içi a b y z w z y w a b y z w z w yz şeklide taımlası. Teorem.9. A,, bir lokal altere halkadır ve birim olmaya elemalarıı oluşturduğu küme I A bir idealdir (Bluck, 99). Bu çalışmada A, reel sayılar üzeride bilie D dual sayılar halkasıı (Bez, 97) bir geellemesi olduğuda, altere dual sayılar halkası olarak da isimledirilebilir. A hakkıda daha detaylı bilgi içi Bluck (99) a bakılabilir. Teorem.0. A ı birleşmeli olması içi gerek ve yeter şart A ı birleşmeli olmasıdır. A ı merkezi Z ile gösterilsi. Bu durumda, A : Z Z Z Z kümesi A ı merkezi olup A ı değişmeli ve birleşmeli bir alt halkasıdır (Bluck, 99). A birleşmeli değil ise bu takdirde A kedi Z merkezi üzeride bir Cayley-Dickso (octoio) bölümlü cebiridir (Bruck-Kleifeld Teoremi olarak da isimledirile bu teorem içi bkz. (Steveso, 97; Faulker 04)). A birleşmeli değil ise A ı Schafer (996) da taımlaa çarpma ile birlikte 0 7 e, e,..., e biçimide bir baza sahip olduğu Bluck (99) da ifade edilmiştir. Karakteristiği de farklı olması durumuda Jacobso (985), s. 448 deki çarpım tablosu ile birlikte c, c, c sıfırda farklı elemalar olmak üzere A ı i =,i,i,i,i,i,i,i biçimide bir bazı vardır. Buda sora A ile, Z üzeride karakteristiği de farklı ola bir Cayley-Dickso (octoio) bölümlü cebiri kastedilecektir ve bu cebir O ile gösterilecektir. Şimdi, O cebiri üzeride aşağıdaki taımları ve bu taımlarda elde edile souçları verebiliriz. Taım.. a a i a i... a i O olmak üzere : O O içi a a i a i... a i biçimide taımlaa döüşüme eşleik alma döüşümü deir. Bu taıma göre O içi y ve yo, içi y dir, yai eşleik alma döüşümü O u bir ati-ivolusyoudur. Taım.. : O Z içi biçimide taımlaa döüşüme orm form, e de i ormu veya orm formu deir. Bu taıma göre a a i a i... a i O içi a c a c a c c a c a olur. Taım.. t: 0 4 c c a c c a c c c a O Z içi t biçimide taımlaa döüşüme iz form de i izi veya iz formu deir., t e Bu taıma göre a a i a i... a i O içi olur. t t a 0 Taım.4. OO Z ye her yo, içi 5

6 , y y y biçimide taımlaa döüşüme birleştirilmiş form deir. Taım.5., : t y t y form adı verilir. OO Z ye her yo, içi olarak taımlaa t ye jeerik iz Bu taıma göre, her O içi t, t t, y t y ve t, t olacağı açıktır., Bu cebir üzeride, bu souçlar ile birlikte iz ve orm foksiyolarıı sağladığı özellikleri aşağıdaki teorem yardımıyla veriyoruz. Bu souçları ispatı içi Schafer (996), Jacobso (985), Çelik (995), Akpıar (007) ve Özka (06) çalışmalarıa bakılabilir. Teorem.6., y, z O aşağıdakiler sağlaır: ) t iz formu lieerdir. ) y y ) t olsu. Bu takdirde dir (Norm form çarpılabilirdir) ² 0 dır. 4) 0 0 dır. Eğer 0 ise dir. 5), y t y, t dir. Özel olarak, y içi olur. 6) birleştirilmiş formu simetrik ve -lieerdir. 7) t jeerik iz formu simetrik ve -lieerdir. 8) t, y t, y dir. 9) y, zw zy, w, z y, w 0) y, wz w, yz y, w, z ) t asosyatiftir, yai t y, z t, yz ), y, y dir. ) t, y t t y, y dir. dir. dir. dir. A daki k : a eşleik alma döüşümü A ya k : y a y biçimide geişletilir. A üzeride t ile gösterile a iz form ve ile gösterile a orm form döüşümlerii A daki karşılıkları içi sırasıyla t ve sembolleri kullaılacaktır. t ve döüşümlerii, sırasıyla, t ve i A ya kısıtlamışları olduğu açıktır. Şimdi, O cebiri üzeride verdiğimiz tüm taım ve bu taımlarda elde edile souçları A OO cebiri üzerie taşıyabiliriz. Taım.7. AA Z A ye her aba, içi a, b a b a b biçimide taımlaa döüşüme birleştirilmiş form deir. Taım.8. AA Z A ye her aba, içi a, b: ab t t olarak taımlaa t ye jeerik iz form adı verilir. Bu durumda aşağıdaki souçları heme ifade edebiliriz. Her a y, b z wa içi a a ve ab b a dir, yai eşleik alma döüşümü A ı bir ati-ivolusyoudur (Bluck, 99). Üstelik, a t t y a a, y ( a) ve t t olur (Çelik, 995). Bu iki souca çalışma boyuca sıkça ihtiyaç duyacağız. Bu cebir üzeride, bu souçlar ile birlikte iz ve orm foksiyolarıı sağladığı özellikleri aşağıdaki teorem yardımıyla veriyoruz. Bu souçları çoğuu ispatı Bluck (99) ve Çelik (995) çalışmalarıda buluabilir. Teorem.9. a, b, c, d A olsu. Bu takdirde aşağıdaki öermeler sağlaır: ) t iz formu lieerdir (Bluck, 99). ) ab a b dir yai orm form çarpılabilirdir (Bluck, 99). ) a aa a ² t 0 dır (Bluck, 99). 4) a 0 ai dır. Eğer aa\ I a a a dir(bluck, 99). ise 6

7 5) a, b ab t dir. Özel olarak, b içi a, a t olur (Çelik, 995). 6) birleştirilmiş formu simetrik ve -lieerdir (Bluck, 99). 7) t jeerik iz formu simetrik ve -lieerdir (Bluck, 99). 8) ab, a, b t t dir. 9) ab, cd cb, ad a, c b, d dir. 0) ba, dc da, bc b, d a, c ) t asosyatiftir, yai ab, c a, bc dir. (Bluck, 99). ) a, b a, b dir. ) a, b a b a, b t t t dir. t t dir Bu çalışma boyuca çokça kullaacağımız bir soucu aşağıda ispatıı veriyoruz. Souç.0. Her a y, b z wa içi,,,, a b z w z y dir. İspat: Farklı iki yolda ispatı vermek mümküdür:. Yol: a, b y, z w y z w y z w z y w y z w olup, a y olduğu kullaılırsa ab,, y z z w z z y w,,, y z w z y w z z,,, y z w z y w z z,, elde edilir. So eşitlikte i birleştirilmiş form olduğu ve -lieerliği kullaılırsa, y, w z, y a, b, z z, w, y z, w, z, w z, y olarak buluur.. Yol: a, b ab t ve a, b t y z w t z w yz t z t w yz olur. So ifadede t y, y lieerliği kullaılırsa a, b, z t w t yz t a t t y olduğuda,,, z w y z olarak elde edilir. ve t iz formu. Özdeşlikli Kuadratik Jorda Cebirleri Bu bölümde, çalışacağımız Jorda cebir sııfı hakkıdaki bilgiler bir araya getirilmiştir. Jorda cebirleri hakkıda daha detaylı bilgi içi (Jacobso 968), kuadratik Jorda cebirleri hakkıda daha fazla bilgi içi (Jacobso, 969) çalışmalarıa bakılabilir. Öce kübik cebir taımı içide ihtiyaç duyulacak bazı kavramlar detaylı olarak ele alıacaktır. McCrimmo (004) da bir kübik döüşümü ilk ve tam lierizasyou ile ilgili bilgiler kullaılarak aşağıda souçlar elde edilmiştir. M bir R modül olsu. Her X M ve her R içi M üzeride bir N kübik döüşümü verilsi. Bu durumda, X... olacak biçimde,,..., R elemalarıı var olduğu kabul edilsi. Böylece, N kübik döüşümü N X N... N,,, i i N i j i j N i j k i j k i i j i jk 7

8 biçimide yazılarak,,..., halkasıa geişletilmiş olur. Şimdi N y R poliom yi hesaplamak istiyoruz.... ifadeside,,... 0 ve, y olarak seçilirse,, N y N N y N y N y olur. Burada,,, N y N N y N y N y yazılabilir. So eşitliği her iki tarafı ya bölüür ve 0 ike her iki tarafı limiti alıırsa N y N lim lim N, y N y, N y 0 0 N, y elde edilir. N, y ye N i oktasıda y yöüdeki diferasiyeli (veya yölü türevi) deir. Bu durumda,, N y N N olarak ifade y y edilebilir. Üstelik, N, y de kuadratik y de lieerdir. Bu özellikteki N, y ye N i ilk lierizasyou adı verilir.,, alarak N, y terimi yalız N y N N y N y N y eşitliğide bırakılırsa,, N y N y N y N N y () buluur. Burada,,, N y N y N y N N y () elde edilir. () de y alıırsa,, N N N N 8 N N N 8N N 7N 9N N 8N N 9N olur. N, M üzeride bir kuadratik döüşüm ve T de M üzeride taımlı bir simetrik ve -lieer döüşüm olmak üzere N : M M R döüşümü her içi N, y: T, y, y M M olarak taımlası. N ; de kuadratik y de lieer ola. derecede homoje bir poliom foksiyodur., : T y,,,,, T y olmak üzere özel olarak y içi N T T ve içi N y T y T y T y olur. Bu durumda N y alarak, de yerie ve y yerie,, N N, N, N N T T N N N N N elde edilir. N : p T T N olarak taımlası. Bu polioma jeerik miimum poliom adı verilir. Burada, her içi N 0 0 olacağıda p T T N 0 eşitliğii sağlaacağı açıktır. Burada, T T N T T N T : S ve : T S taımlaırsa N ve yazılabilir. Böylece, mümkü olacaktır. olarak olarak yazılması S döüşümü içi 8

9 S, y S y S S y ifadesie birleştirilmiş form deir. simetrik ola bir döüşümü M her, ym M içi özelliğide M üzeride -lieer ve y : y y M de M ye () olarak taımlası. Bu çarpımı bir başka ifadesi Freudethal çarpım olarak ileride (6) da verilmiştir. (6) yardımıyla işlemii işlemi üzerie dağılma özelliğie sahip olduğu gerçeğii görmek kolaydır. Aşağıdaki teorem S, y i bazı özelliklerii belirlemektedir. Teorem.. S, y birleştirilmiş form içi aşağıdaki öermeler doğrudur: i) S, y T y S, T T T ve S, S ii) S, y simetrik ve -lieerdir. dir. Bu durumda, Şimdi, N y z yi hesaplayabiliriz. dir.... ifadeside,,, ve z alarak;, y,, N, z N y, N y, z N z, N z, y N, y, z N y z N N y N z N y elde ederiz. So eşitlikte terimi yalız bırakılırsa alarak N, y, z N, y, z N y z N, y N, z N y, N y, z N z, N z, y N N y N z ve N u, v ile N v, u biçimideki tüm terimleri ya yaa getirerek,,,, N, z N z, N y, z N z, y N N y N z N y z N y z N y N y buluruz. Bu so eşitlikteki N u, v N v, u biçimideki tüm terimler yerie () de eşiti ola N u v N u N v yazılırsa,, N z N N z N y z N y N z N N y N z N y z N y z N y N N y elde edilir. Gerekli kısaltmalar yapılarak N, y, z yi N ye bağlı olarak,, N z N y z N N y N z N y z N y z N y yazılmış olur. Bu so ifadeye lierizasyou adı verilir. (4) N i tam Aşağıdaki ifade de N i tam lierizasyoua dektir:,, :,,, N y z N z y N y N z y olarak taımlası. Burada, eşitliği sağ tarafıdaki her bir terim yerie () de eşiti yazılırsa,,, N y N y, N N y N z y N y, z N z N y N y z N z y N y z N z N y ve böylece N, y, z N y z N y N z N y z N N y N z elde edilir ki bu (4) deki souçla ayıdır. N, y, z de y ve z yerie alıırsa,, 7N 8N 8N 8N N 7N 8N 8N 8N N 0N 4N 6N N N N N N N 9

10 elde edilir. Acak N,, N istediğide olması N y z N y N z N, y, z 6 N y z N N y N z olarak alıır. Her, y, zm M M içi N, y, z N y z N y N z 6 N y z N N y N z olarak taımlaa N : M M M R döüşümüe birleştirilmiş form deir. İspatı (Özka, 06) da bulua aşağıdaki teorem N ile T döüşümleri arasıdaki ilişkiyi tam olarak ifade etmektedir. Teorem.. Birleştirilmiş form içi aşağıdaki ifadeler geçerlidir: dir. Bu durumda i) N, y, z T z, y N, y, T, y N, y dir. ii) N, y, z birleştirilmiş formu simetrik ve - lieerdir.,, T y N y dir. Bu durumda, T y T T y T y (5) olduğu görülebilir. Bu souç ile birlikte, S, y T y T S ve S, y S y S S y olduğu y y y eşitliğide kullaılırsa; y gy T y yt T T y T, y (6) soucua ulaşılır ki bu eşitlik literatürde Freudethal çarpım olarak bilimektedir. () ve () de elde edilecek N( y) N( ) T(, y) T(, y ) N( y) ve ( y ( y) y ) eşitlikleri kullaarak ispatlaacak aşağıdaki teorem Faulker (04) da Lemma.5 olarak ifade edilmiştir. Teorem.. M bir R modül, N bir kübik döüşüm olmak üzere M, N, sistemide (cebiride) her, y, z, w M içi aşağıdaki öermeler geçerlidir: a) ( ) N( ) b) 4 ( y) N( ) y T(, y ) c) 4 ( y) y T(, y) y T( y, ) d) 8 ( y) ( z) 4 ( y z) T(, y) z T(, z) y T( y z, ) e) 4 ( y) ( w z) ( w y) ( z) ( w) ( y z) T( w, y) z T( w, z) y T( y z, ) w T( y z, w) Şimdi, Bi (980) de kübik cebir taımıı vermek içi hazırız. Taım.4. M, özdeşlikli bir R modül olsu. M üzeride biçimide bir kuadratik döüşüm ve M üzeride bir N kübik form taımlası. Eğer M üzeride aşağıdaki şartlar sağlaırsa M ye bir kübik R cebir deir: ) N dir. ) N() dir. ) T(, y) N, y dir. 4) dir. 5) y y y T y T y, olmak üzere T y y ve -5) şartlarıı hepsi R i tüm skalar geişlemeleri altıda sağlaır. Taım.4 ü. şartıda y N, y : N N y olarak ifade edilebileceğii daha öce belirtmiştik. Bu durumda N döüşümü de kuadratik y de lieer ola bir döüşüm olarak taımlamıştı. 40

11 Bir kübik cebir U y T, y y eşitliği altıda bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebiridir (McCrimmo, 969)., U y T y y eşitliğide olarak seçilirse; U y T, y y T y y olur ve U y y olacağıda bu iki souç birleştirilirse T y y y yai y T y y elde edilir. Bu soucu Taım.4 ü 5 olu şartıda yer aldığıa dikkat ediiz., U y T y y eşitliğide y olarak alıırsa; U U T, T ( ) [ ] 0 ( ) [ T( ) ] 0 T T( ) T( ) T( ) S( ) ve böylece elde edilir. T S ( ) ( ) (7), U y T y y eşitliğide y olarak seçilirse; eşitliğide (5) yardımıyla U T(, ) [ ] T T T ve () yardımıyla ( ) ( ) ( ) [ ] T T elde edilir. So eşitlikte yazılırsa ( ) ( ) [ ] i eşiti (6) da T ( ) T( ) T ( ) T( ) [ ( ) ( ) ( T T T, )] olur ve so eşitlikte N( ) olduğu kullaılırsa T( ) T( ) N( ) T( ) T T T T ( ) ( ) ( ) (, ) buluur ki so eşitlikte gerekli kısaltmalar yapılarak T T N ( ) ( ) ( ) T T T ( ) ( ) ( ) T(, ) (8) soucua varılır. Burada T(, ) N(, ) N( ) olduğuda, (8) de T T N ( ) ( ) ( ) T( ) T( ) T( ) yazabiliriz ki T N T T T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) T( ) T( ) T ( ) T ( ) S( ) buluur. Burada (7) kullaılırsa, T T ( ) ( ) N ( ) 0 elde edilir. O halde bir kuadratik Jorda cebiride T T ( ) ( ) N ( ) 0 bağıtısı geçerlidir. Üstelik, N olduğuda bir elemaıı birim olması içi gerek ve yeter şart durumda N i birim olmasıdır ve bu N dir. Bu kuadratik Jorda cebiride Teorem. deki öermeler sağlaır. Bu öermelere bezer daha fazla souç görmek içi McCrimmo (969) a bakılabilir. 4. Bir Kuadratik Jorda Cebir Sııfı R karakteristiği ve de farklı bir cisim, O bir octoio R cebir, O ve 0 olmak üzere girdileri A OO cebiride alıa tüm matrisleri kümesi kısaca A ile gösterilecektir. A kümesi üzeride iç işlemi olarak bildiğimiz matris toplamı ve RA A dış işlemi olarak skalarla bir matrisi çarpımı alıırsa A kümesi bu işlemlerle birlikte R cismi üzeride bir vektör uzayı olur. A üzeride ikici bir iç işlem olarak alışageldiğimiz matris çarpımı alıırsa A,, 4

12 sistemi birleşmeli ama değişmeli olmaya özdeşlikli bir halka yai özdeşlikli bir R cebirdir.,, R i birimleri yai sıfırda farklı 0 0 elemaları olmak üzere 0 0 diyagoal 0 0 matrisii ele alalım ve her T içi a a a X a a a a a a A J X X özelliğide bir J : A A döüşümü taımlayalım. Bu döüşüm A R cebiri üzeride bir ivolusyodur. Gerçektede; her a a a X a a a a a a J X A içi 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 a a a 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a olup T J J X T 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 a a a 0 0 a a a 0 0 a a a 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a X a a a dir. Böyle bir ivolusyoa kaoik ivolusyo deir. Şayet bu ivolusyoda özel olarak I birim matris olarak seçilirse bu ivolusyoa stadart ivolusyo adı verilir (Jacobso, 968; McCrimmo, 004). Üstelik; her XYA, içi T T T T T Y X T T Y X J XY XY Y X J Y J X olduğuda J A üzeride bir ati- ivolusyodur. Şimdi, J ivolusyou yardımıyla A uzayıı simetrik elemalarıı bulmak istiyoruz. Simetrik elemaları oluşturduğu küme H A, J ile gösterilirse bu alt kümei herhagi bir elemaıı;,, Z A olmak üzere a a X a a a a formuda olduğu görülür. Gerçektede; 4

13 J X 0 0 a a a a a a a a a a a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a a a a a a a X a a a a dir. H A, J kümesi A vektör uzayıı bir alt uzayı olur. H A, J alt uzayı üzeride ikici bir iç işlem ola g işlemi, her XYA, T içi X g Y XY YX Jorda çarpımı olarak taımlaırsa A J H,,, g sistemi bir Jorda R cebiri olur. Burada XY ile A R cebiri üzerideki matris çarpımı kast edilmektedir. g işlemi değişmeli olduğuda H A J Jorda R cebiri değişmelidir. Bu çalışmada, A J,,, g H,,, g Jorda R cebirii öce bir kübik cebir olduğuu göstereceğiz ve 54 boyutlu bir (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğuu ifade edeceğiz. Şimdi bu cebir üzeride Jorda çarpımıı biraz daha detaylı iceleyelim: Her a y, b z wa ( i,, ) olmak i i i i i i üzere her X, Y A, eşitliğide; H J içi X g Y dij d a b b a a b b a a, b a, b a b a b,,, d a b a b b a b a a b b a a b, d a a b b b b a a b a a b a b, d b a a b a b b a b a a b a b,,, a b a b d a b a b,,, d a b a b b a b a a b b a a b, d b a b a a b a b a b b a a b, d a b b a b a a b b a a b a b, ve,, a, b a, b d a b a b olarak elde edilir. i, j, k,, dairesel permütasyou olmak üzere XY g matrisii bileşeleri ve,, d a b a b ii i i i j k k k j j (9) d a b b a a b ij j k i j i j i j k i j k (0) 4

14 biçimide yazılabilir. Burada i,, içi a y, b z w A ve i i i i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu (9) ve (0) da dikkate alıırsa d ve ii i i i, z, w y, z j k k k k k k, z, w y, z k j j j j j j, z, z, w y, z, w y, z i i i j k k k j j j k k k k i k j j j j k i i j j i i j j d ij j i j y k k i j z w k k y z w z w y z w y z k i j i j i j z i j z y w i j i j i j y k k i j z w k k j z z w y z z y w j k i j i j i j i j i j i j y i j k k i j z w k k z z w y z z y w j k i j i j i j i j i j i j y i j k k i j z w k k z z z k w y z z y w i j i j i j i j j i j yk i j w k olur. Burada j k i j i j i j k i j k d ij i eşleeğii ediiz. Böylece XY g Jorda çarpımı g X gy y e d d e d e ijk olarak da ifade edilebilir. Şimdi, J ii ii ij ij ij ji ijk d ji olduğua dikkat J H A,,, g kümesi üzeride kuadratik döüşüm olarak adjoit (ek) alma döüşümü, iz form olarak T X iz( X ) ve kübik form olarak da N X det X determiat foksiyou alıırsa Taım.4 deki kübik cebir şartlarıı sağladığıı yai J i bir kübik cebir olduğu göstereceğiz. Bu hedefe hazırlık olarak adjoit alma döüşümü, iz form, orm form ve kübik formla ilgili temel bilgileri veriyoruz. J i herhagi a a X a a a a elemaı içi a Z a Z a Z A, A ve A olmak üzere a a a a a a a a a a a a a a X a a a a a a a olur. Burada,, a y dir. i i i i R içi X X dir. Yai, adjoit alma döüşümü. derecede homoje bir foksiyodur. a a Üstelik J i herhagi X a a ve a a b b Y b b elemaları içi J üzeride b b ikili işlemi Q X, Y X Y : X Y X Y olarak taımlası. Burada, X X X X X 4X X X X olduğua dikkat ediiz. X Y de X ve Y matrisleri yerie yazılırsa, i,, içi a y, i i i b z w A ve i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olmak üzere 44

15 X a b a b a b a b a b a b Y a a b b a a b b a a b b ab b a a b b a a, b b a b a a b b a a b b a b a a, b b a ab ba a b b a b a b a a, b olduğu görülür. Q X, Y i J üzeride simetrik ve -lieer bir döüşüm olduğuu görmek kolaydır. Böylece, aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Teorem 4.. Adjoit alma döüşümü J üzeride bir kuadratik döüşümdür. X Y matrisii bileşeleri ciside de ifade etmek mümküdür. i, j, k,, dairesel permütasyou göstermek şartıyla X ii,. bileşei, i, i a, b ve i, j. bileşei, j k j k j k i i Y matrisii () i, j a b b a b a () j k i j i j k k k k i, i, z ve i, j, z y z i, w i j k j k j k i i y, z i i j k j k j k i i, w, j k i i i i, z j k j k j k i i, w y, z j k i i i i y z w z w k i i j j i i y j j k z w k k k y k k j z w y z z z y w k i j i j i j i j i j i j j z w k k k k y k k k k z z w y z z y w k i j i j i j i j i j i j j z w k k k k y k k k k j k z z i j i j z k k k k j k w y z z y w i j i j i j i j w y k k k k olur. Özel olarak X X yai bileşeleri ise i, i, ve, y X matrisii i, y i j k j k j k i i y, i i j k j k i j k i, yi j k j k i j k i i biçimide yazılabilir, burada i, j bileşeii eşleeğii ji,. bileşe olduğu görülür. i,, içi a y, b z wa içi i i i i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu () ve () de dikkate alıırsa 45

16 i, j y y y y olduğu kolayca görülebilir. Burada, a y A i i i k i i j j i i j j ( i,, ) içi j k k k k k k a, y Z A i i i i y y olduğu kullaılır ve gerekli çarpma işlemleri ile k i j y y i j i j i j y y i j i j birlikte bazı düzelemeler de yapılırsa j y k k k k N X, y y y j k i j i j i j y k k k k, y j k i j k k j k y y i j i j y, y k k t olur. y y y, y Taım 4.. T: J R içi X T X iz( X ) biçimide taımlaa döüşüme iz form, T X e de X matrisii izi deir. Bu taıma göre, Z T X a a X a a J içi a a A olur.,, t y y y, y, y, y y y t y y y Teorem 4.. T iz formu lieerdir. Taım 4.4. N: J R içi X N X det( X ) biçimide taımlaa döüşüme orm form, N X e de X matrisii determiatı deir. Teorem 4.5. Her XYJ, N X N Y içi N X g Y dir (Yai, orm form çarpılabilirdir.). İspat: g det g det det N X Y X Y X Y N X N Y olur. Herhagi bir a a X a a J içi a a a t a a a t a a a a ZA N X a a ijk i j k i elde edilir. So eşitlikte a y A içi t a t t y Z A olduğu dikkate alıırsa, y, y, y y t t y y N X ve burada N X t y y y, y, y t, y soucua varılır. ( i, j, k) (,,) dairesel permütasyou yardımıyla 46

17 N X t ( ijk ) i j k i, y t i j k i j ( ijk ) y y biçimide yazılabilir. Ayrıca, y R içi N X N X olduğua dikkat ediiz. Bu sebeple, N döüşümü. derecede homoje bir foksiyodur. Üstelik, J i herhagi X, Y ve Z elemaları içi JJJ de R ye N X, Y, Z N X Y Z N X Y N Y Z 6 N X Z N X N Y N Z olarak taımlaa döüşümü J üzeride simetrik bir döüşüm olduğu açıktır. N X Y Z t a b c a b c a b c 6,, ijk a b c i i i j k i i i a b a b a b i i j k a b i i t ijk t b c b c b c ijk b c i i j k i i a c a c a c i i j k a c i i t ijk a a a i j k ai t ijk b b b i j k bi t ijk c c c i j k ci t ijk olur. Burada bezer terimler bir araya getirilirse Burada a a b b X a a, Y b b a a b b c c Z c c yerie c c yazılırsa ve N X Y Z t a b c a b c a b c 6,, a b a b a b b c b c b c a c a c a c a a a tb b b c c c a b c t t t t i i i j k i i i ijk ijk ijk ijk t a b b c i i j k i i i i j k i i ijk a c a i i j k i i i j k i ijk b c i j k i i j k i ijk elde edilir. Bu so ifadede bazı çarpma işlemleri yapılarak gerekli sadeleşmeler ve düzelemeler yapılırsa 47

18 N X Y Z t b c c b a a c c a b a b b a c a b c a b a c a 6,, i j k i i i i i i i i ijk ijk a b c a b b c b i j k i i i i i i i i a b c a c b c c i j k i i i i i i i i ijk soucua ulaşılır. Şimdi a b c a b a c a i i i i i i i i terimii iceleyelim. Burada a b r ve c s i i i i i deirse a b c a b a c a i i i i i i i i r s r a s a i i i i i i ve so terime s i ekleyip çıkarırsak r s r s i i i i si a s i i ai r, s a, s i i i i elde edilir., -lieer bir döüşüm olduğuda r s a s r a s,,, i i i i i i i olur ki burada r a b ile s c olduğu i i i i i kullaılırsa r a s b c,, i i i i i soucua varılır. Böylece, a b c a b a c a b, c olduğu görülür. Bezer biçimde, i i i i i i i i i i a b c a b b c b a, c ve i i i i i i i i i i a b c a c b c c a, b olduğu görülebilir. Bu durumda, i i i i i i i i i i z w u v u v z w y t y u v u v y z w y z w z w y u v i j k z w u v i i i i y, u v i j k i i i i 6 N X, Y, Z, ijk ijk y z w, i j k i i i i ijk elde edilir. t içideki çarpma işlemleri yapılır ve a y, b z wa içi,,,, a b z w y z olduğu kullaılırsa, N X Y Z z u z v w u y u z u w v z u v y u t z w u u y v z w y z u v z z y w z, u z, v w, u i j k i i i i i i 6,, ijk ijk ijk u i j k i i v i i y u i i,,, z i j k i i w i i y z i i,,, buluur. t içideki toplama işlemlerie devam edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa N X Y Z t b, c a, c 6,, b c c b a a c c a b a b b a c ijk ijk i j k i i i j k i i ijk a b, i j k i i olur. Burada, i,, içi a y, b z w, c u v A olduğu i i i i i i i i i dikkate alıırsa, 48

19 N X Y Z z u u z y z v w u u w v z u u t z w v y u u y v z z u v w y z z y w 6,, ijk ijk ijk z, u z, v w, u i j k i i i j k i i i i ijk, u, v y, u i j k i i i j k i i i i ijk, z, w y, z i j k i i i j k i i i i ijk elde edilir. t içideki çarpma işlemlerie devam edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa 6 N X, Y, Z z u u z y z u u z z v w u u w v z u u w t u u z v y u u y v z z z v z z u w y z z y w u z, u, u, z i j k i i i j k i i i j k i i ijk ijk ijk ijk ijk z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, ijk i j k i i i i olur. Bazı düzelemelerde sora N X Y Z z u u z y z v w u u w v z t u u w v y u u y v z z z v w y z z y w u z, u, u 6,, z u u z u u z z z u ijk ijk ijk ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, i j k i i i i elde edilir. a y olduğu dikkate alıırsa A içi t a t t y N X Y Z 6,, t z u u z u u z z z u z v w u z u u z y u w v z v y u t u u w z u y v w y z z z v u z y w ijk ijk ijk ijk ijk z u u,, i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, i j k i i i i buluur ve so bir düzeleme ile 49

20 N X Y Z z, u, u 6,, t z u u z u u z z z u ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z, v w, u i j k i i i i ijk, v y, u i j k i i i i ijk, w y, z i j k i i i i ijk z u u z y z v w u u w v z t u u w v y u u y v z z z v w y z z y w u soucua ulaşılır. Böylece N X, Y, Z i üzeride -lieer bir döüşüm olduğuu görebiliriz. Özetle aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Teorem 4.6. N X, Y, Z J üzeride bir kübik formdur. N X, Y, Z de Z yerie X alıırsa, N X Y X z,, 6,, t z z z z z ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z, y w, i j k i i i i ijk, y y, i j k i i i i ijk, w y, z i j k i i i i ijk z z y z y w w y z t w y y y y z z z y w y z z y w olur. Ortak terimler ya yaa getirilerek J 4t z z z z 6 N X, Y, X ijk 4, i j k i i i j k i ijk,,, i j k z y w i i i i y i j k i i ijk ijk 4 z z y z y w w y z t w y y z olarak buluur. Taım 4.7. X T X izx lieer foksiyou yardımıyla ( X, Y) T( X, Y): T X g Y biçimide taımlaa döüşüme jeerik iz (-lieer) form adı verilir. Teorem 4.8. T( X, Y ) jeerik iz formu aşağıdaki özelliklere sahiptir. i) T simetriktir yai T( X, Y) T( Y, X ) dir. ii) T( X Y,Z) T( X, Y Z) dir yai T birleşmelidir. iii) T X, Y a, b a, b a, b dir. İspat: i) T( X, Y) T X gy iz X gy izyg X g T( Y, X ) T Y X olup T simetriktir. ii) Teorem. i i) si gereği N X, Y, Z T X Z, Y ve ii) si gereği N X, Y, Z simetrik olduğuda bu souç açıktır. iii) T X, Y T X Y iz X Y g g olup XY g matrisii izi (9) yardımıyla d + d + d toplamıa eşittir. Böylece,,,, a, b a, b a, b a, b T X Y a b a b ve, a, b a, b a, b T X Y elde edilir. Burada,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu kullaılırsa, 50

21 ,, z, w y, z, z, w y, z, z, w y, z,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y T X Y olarak elde edilir. iii) deki souç i, j, k,, dairesel permütasyou yardımıyla kısaca T X, Y z, i i i j k k () ijk, w y, z i j k k k k biçimide de yazılabilir. (5) de, T X Y T X T Y T X Y eşitliğide, T X Y, w, z y, z, w, z y, z, w, z y, z yazabiliriz ve burada gerekli işlemler yapılırsa,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y elde ederiz ki bu souç () deki souçla ayıdır. Böylece, (6) da Freudethal çarpım olarak ifade ettiğimiz çarpım, jeerik iz form yardımıyla X Y X gy XT Y YT X (4) T X T Y T X gy I olarak yazılır. Burada Y X seçilirse, X X X gx T X X T X X T X T X T X X I g X X T X X T X T X I olup döüşümüü bir kuadratik döüşüm olduğu görülmektedir. X X T X X T X I eşitliği yukarıdaki souçla birlikte düşüülürse T X T X T X buu görelim: olmalıdır. Şimdi T X ve g,,, y y, i i i j k k i j k k k k T X T X X T X X ijk ijk 4, y i i j k i j k k eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa elde edilir. Bu so ifadede gerekli sadeleşmeler yapılırsa 5

22 T X T X ijk,,, y 4 4, y i j k i j k k elde edilir. y y,, y, y, y, y, y T X y olduğuda T X T X T X elde edilir., a, b T X Y eşitliğide X yerie X alıırsa ijk j k i i, a a a a, b j k i j k i i i ijk (5) T X Y a a olur. Bu so ifadedeki toplam açılırsa, T X Y a a a a a a, b a a a, b a a a, b elde edilir ve i -lieerliği kullaılırsa, T X Y a a a a a, b a b a a b a b a a b a b,,,,, olarak yazabiliriz. Bu so ifadede a, b t a, b olduğu kullaılarak, T X Y a a a ta a, b a b a a b a b a a b a b, t,, t,, olur ve a, b a, b t t olduğu da kullaılırsa, a t a a, b a, b t a a, b a, b ta a, b a, b T X Y a a elde edilir. t i simetrik ve birleşme özelliğide, a t b a, a a, b t a b, a a, b ta a, b a, b T X Y a a soucua varırız ve bu soucu i, j, k,, dairesel permütasyou göstermek şartıyla, i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, biçimide ifade edebiliriz.,, N X Y X t b, a a, a N X Y Z de Z yerie X alıırsa, 6,, b a a b a a a a a b a b b a a ijk ijk i j k i i i j k i i ijk a b, i j k i i 5

23 olur. a, a a olduğuda ve bazı ortak terimler bir araya getirilerek 6 N X, Y, X ijk ijk a b 4t b a a a b a a a b i j k a 4, i j k i i i j k i ijk elde edilir. Gerekli düzelemeler yapılırsa a 6 N X, Y, X ijk ijk a b 4, i j k i i i j k j k i 4t b a a a b a a a b olur ve t i lieerliğide a 6 N X, Y, X ijk ijk i j k j k i 4 a, b 4t b a a i j k i i t 4t a b a 4 a a b elde edilir. So olarak ab a, b kullaılırsa t t olduğu a 6 N X, Y, X ijk ijk a b i j k j k i 4, 4 t b a, a i j k i i a b a ta a b 4 t, 4, soucua ulaşılır. Böylece N X Y X T X Y,,,, 6,,, olduğu, yai T X Y N X Y X N X Y eşitliği elde edilmiş olur. Bu souç ile kübik cebir taımıı (yai Taım.4 ü). şartıı sağladığıı görmüş oluruz. Üstelik,, i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, eşitliğide Y yerie X alımış olsaydı,, i j k j k i T X X a ijk ijk ijk ijk a a,, i a a a j k i i t ta a a ta a a a a,, i j k j k i i j k i ijk a ta a a i j k i j k i ijk 6 t a a, a 6, t ijk det X N X N X, X, X buluurdu. Dolayısıyla, a a a i j k ai N X X X N X T X X, T X X X,,, olurdu. Bu souç Teorem. (i) deki geel souçla uyumludur., i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, eşitliğide Y yerie I alımış olsaydı,, j k j k ai T X ijk a a a T X N X,, X olurdu. Burada i,, içi a y A içi i i i, a y olduğua dikkat ediiz. i i i i N X, Y, Z de Z yerie I alıırsa, 5

24 a, b j k i i 6 N X, Y, ijk ijk a, b j k i i olup bu souç X Y matrisii ii, bileşelerii toplamıı iki katıa yai T X Y ye eşittir. O halde N X, Y, N X,, Y T X Y, dir. Bu souç Teorem. (i) deki geel souçla tutarlıdır. Şimdi, X gx Xg X çarpımıı hesaplaırsa, det X det X det X 0 0 det X 0 0 det X I N X I 0 0 olduğuda X gx X g X det X N X yazabiliriz. X matrisii tekrar eki alıırsa bu durumda X matrisii i, j. bileşeleri ile,. X N X X N X X matrisii i j bileşelerii ayı olduğu yai olduğu görülür. Bu ise kübik cebir taımı (yai Taım.4 ü). şartıı geçerli olduğuu gösterir. N ve olduğuu görmek çok kolaydır ki bular, sırasıyla, kübik cebir taımıı ve 4. şartlarıdır. Böylece J J H A,,, g i bir kübik cebir olduğuu göstermiş olduk. Bir kübik cebiri U Y T( X, Y) X X X Y eşitliği altıda bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebiri olduğu. bölümde ifade edilmiştir. Bu cebiri boyutuu ise +++(8+8)+(8+8)+(8+8) = 54 olduğu açıktır. Kayaklar Akpıar, A., 007. Geometrik Yapılarda Çifte Ora. Doktora Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 84. Beachy, J.A., 999. Itroductory Lectures o Rigs ad Modules. Lodo Mathematical Society Studet Tets 47, Cambridge Uiv. Press, UK, 8. Bez, W., 97. Vorlesuge über Geometrie der Algebre. Spriger, Berli, 68. Bi, R., 980. Octoio plaes over local rigs. Tras. Amer. Math. Soc., 6(), Bluck, A., 99. Cross-Ratios Over Lokal Alterative Rigs. Result Math., 9, Bluck, A., 99. Cross-ratios i Moufag-Kligeberg plaes. Geometriae Dedicata, 4, Blyth, T.S. ad Robertso E.F., 00. Further Liear Algebra. Spriger, UK, 0. Çelik, B., 995. No-Assosyatif Cebirler Üzerie Kurula Projektif Yapılar. Doktora Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 77. Çiftçi, S., 05. Lieer Cebir. Dora Bası Yayı Dağıtım, Bursa, 40. Elma, R., Karpeko, N. ad Merkurjev, A., 008. The Algebraic ad Geometric Theory of Quadratic Forms. Amer. Math. Soc., Colloguium Publicatios, 56, 44. Faulker, J.R., 970. Octoio plaes defied by quadratic Jorda algebras. Mem. Amer. Math. Soc., 04, 7. Faulker, J.R., 04. The Role of Noassociative Algebra i Projective Geometry. Graduate Studies i Mathematics, 59, Amer. Math. Soc., Providece, R.I., 9. Fraleigh, J.B., 98. A First Course i Abstract Algebra. Third Editio, Addiso-Wesley Publishig Compay, 478. Freudethal, H., 95. Octave, Ausahmegruppe, ud Octavegeometrie. Mathematisch Istituut der Rijksuiversiteit te Utrecht, Utrecht, 49. Hugerford, T.W., 974. Algebra. Holt Riehart ad Wisto, Ic., New York,

25 Jacobso, N., 968. Structure ad Represetatios of Jorda Algebras. Colloq. Publ., 9, Amer. Math. Soc., Providece, R.I., 45. Jacobso N., 969. Lectures o Quadratic Jorda Algebras. Lecture Notes. Tata Istitute of Fudametal Research, Bombay, 8. Jacobso, N., 985. Basic Algebra I. Secod Editio, W.H. Freema ad Compay, New York, 499. Jorda, P., 949. Über Eie Nicht-Desarguessche Ebee Projektive Geometrie. Abh. Math. Sem. Uiv. Hamburg, 6, Malik, D.S., Mordeso, J.M. ad Se M.K., 997. Fudemetals of Abstract Algebra. The McGraw-Hill, New York, 66. McCrimmo K., 969. The Freudethal-Spriger-Tits Costructios of Eceptioal Jorda Algebras. Tras. Amer. Math. Soc., 9, McCrimmo, K., 004. A Taste of Jorda Algebras. Spriger, New York, 56. McDoald, B.R., 976. Geometric Algebra over Local Rigs. Marcel Dekker, Ic., New York ad Basel, 4. Moufag, R., 9. Alterativekörper ud der Satz vom vollstadige Verseit. Abh. Math. Sem. Uiv. Hamburg, 9, 07-. Özka, İ., 06. Lokal Halkalar Üzerie Octoio Düzlemler. Yüksek Lisas Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 85. Pickert, G., 955. Projektive Ebee. Spriger, Berli, 4. Schafer, R.D., 996. A Itroductio to Noassociative Algebras. Dover Publicatios Ic., New York, 66. Spriger, T.A., 960. The Projective Octave Plae. Nederl. Akad. Wetesch. Proc. Ser. A, 6, Idag. Math.,, Steveso, F.W., 97. Projective Plaes. W. H. Freema ad Compay, Sa Fracisco, USA, 46. Thomas, E.G.F., 04. A Polarizatio Idetity for Multiliear Maps. Idagatioes Mathematicae, 5,