Koniklerin Simetrileri, Odak Noktalar ve Do rultmanlar Ali Nesin* / Engin Yard mc ** /
|
|
- Hande Çimen
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Mtemtik Düns, 005 Yz Kpk Konusu: Koniker Konikerin Simetrieri, dk Noktr ve Do rutmnr i Nesin* / nesin@igi.edu.tr Engin Yrd mc ** / enginrdimci@hoo.co.uk Bir önceki z d, düzemde, do rutmn denien ir do rusun ve odk nokts denien ir F nokts n on uzk kr n n orn n n sit d(, ) odu u noktr kümesinin ir konik odu unu gördük. Bu d(f, ) z d hemen hemen F her koni in ir do rutmn ve ir odk nokts n n odu unu gösterece iz. Önce çok gene ir fe p m. Bir F nokts ve ir do rusu verimif osun. Bir de r c ir e siti verimif osun. { : d(, F) = e d(, )} koni ini ee m. F R nokts ndn geçen ve do rusun dik on do ru, Q koc görüece- F i üzere, koni in ir simetri eksenidir. R Q Yz m zd u oguu tm üç kez kunc z. Önce eipsi irdeeeim. EL S Önsv. 0 < < omk üzere / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin en uzun kirifi merkezden geçen t kiriftir ve unun d uzunu u d r. Kn t: F ve F eipsin odk noktr osun. Sf 33 teki Teorem de, eipsin herhngi ir M nokts için d(m, F) + d(m, F ) = efiti ini görmüftük. fiimdi eipsin üstünde M ve N noktr rsk, üçgen efitsizi inden, d(m, N) d(m, F) + d(f, N) * stnu Bigi Üniversitesi Mtemtik Böümü ö retim üesi. ** DTÜ Mtemtik Böümü ö rencisi. 34 ve d(m, N) d(m, F ) + d(f, N) efitsizikerini ede ederiz. Bunr tt top p ikie öersek, d(m, N) efitsizi ini ede ederiz. Demek ki ir kirifin uzunu u en fz oiiormuf. Merkezden geçen t kirifin uzunu- unun odu u riz. Eipsin u en uzun kirifine s kirif denir. Sonuç. E er ise, / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin simetri do rur sdece ve ekseneridir ve sdece (0, 0) nokts simetri nokts d r. Kn t: Önerme ve e göre simetrik odu- undn > efitsizi ini vrsiiriz. Yukrd kn td m z üzere ekseni üstündeki kirif, eipsin iricik en uzun kirifidir. Do s eipsi eipse götüren düzemin mesfe korun dönüfümeri u uzun kirifin erini de iftiremez. Bundn d istenen sonuç ç kr. Teorem. E er > ise, / + / = 1 denkemie verimif ir eipsin sdece iki tne odk nokts ve do rutmn çifti vrd r. e sit orn u iki çift için de n d r. Bunr, ε = ±1 için, F ε, 0 odk nokts ve ε = denkemie verimif do rutmn çiftidir. Sit orn, her iki çift için de e = < 1 dir. Yni eips, { R : d(, F) = e d(, )} kümesidir. Kn t: Önce, eipsin ir F odk nokts ve ir do rutmn (ve ir e orn ) odu unu vrs p
2 Mtemtik Düns, 005 Yz unr um ç f m. Bu irz zmn ck. Dh sonr udu umuz u F, ve e nin istedikerimiz odu unu kn tc z. Her feden önce F odk nokts do rutmn n n üstünde omz, çünkü ksi tkdirde d(, F) = e d(, ) kofuu ir do ruu verirdi ve eipsimizin ir do ru omd mum. F den do rutmn n ir dik çekeim. C, u dike do rutmn n kesifim nokts osun. Koc görüece i üzere, CF eipsin ir simetri do rusudur F C efiti ini uuruz. (, ) nokts eipsin üstünde odu undn erine (1 / ) koiiriz. Do s her [, ] s s için, (1 / ) + ( ƒ) = e (c ) efiti i geçeridir. Demek ki (1 Y / ) + (Y ƒ) e (c Y) poinomunun sonsuz s d kökü vrd r, ni s f r poinomudur. Do s Y nin kts s 0 efittir, ni, e = / + 1 < 0, ir çeifki. Söz verdi- imiz gii CF nin ekseni odu unu kn td k. fiimdi F ve C nin koordintr (ƒ, 0) ve (c, 0) osunr. Hââ dh vrs ms on orn d e dieim. ƒ i, c i ve e i uc z. (, ) F(ƒ, 0) C(c, 0) (kz. ukrdki feki: E er nokts eipsin üstündese, nin CF e göre simetrisi on nokts d n orn nt s n s d ndn eipsin üstündedir.) Bir önceki sonuçtn do, CF do rusu d eksenidir, ni C ve F noktr n n ikisi irden d ekseni üzerindedir. CF nin ekseni odu unu kn tc z. Bir çeifki ede etmek mc, ir gfet n nd CF do rusunun ekseni odu unu vrs m. C(0, c) F(0, ƒ) c (, ) zmn do rutmn eksenine predir. C ve F nin koordintr s rs (0, c) ve (0, ƒ) osun. fiimdi, eips üstünde seçimif her (, ) nokts için, + ( ƒ) df (, ) = = e c d (, ) efiti i geçeridir. Her iki trf n d kresini p pdr efitersek, eipsin üstündeki her (, ) nokts için, + ( ƒ) = e (c ) Gfet n Gerekirse eksenine göre her fein simetrisini rk c nin negtif omd n vrsiiriz. (Yukrdki feke dnmm, dh ne F nin eipsin içinde odu unu ve ne de ƒ < < c efitsizikerini iioruz.) Eips üstünde seçimif her (, ) nokts için, + ( ƒ) df (, ) = = e c d (, ) efiti i geçeridir. Her iki trf n d kresini p pdr efitersek, eipsin üstündeki her (, ) nokts için, ( ƒ) + = e (c ) efiti ini uuruz. (, ) nokts eipsin üstünde odu undn erine (1 / ) koiiriz. Do s her [, ] s s için, ( ƒ) + (1 / ) = e (c ) efiti i geçeridir. Demek ki (X ƒ) + (1 X / ) e (c X) poinomunun sonsuz s d kökü vrd r, ni s f r poinomudur; demek ki üç kts s d 0 om d r: 1 / e = 0 ƒ + ce = 0 ƒ + e c = 0. Bu üç denkemden ƒ i, c i ve e i uc z. Birincisinden hemen e i uiiriz: e = 1 /. Bundn ve ikincisinden rrnrk ƒ i c cinsinden ziiriz: ƒ = ce = c(1 / ). 35
3 Mtemtik Düns, 005 Yz Bu son iki sonuçtn ve üçüncü denkemden c i uiiriz: 0= ƒ + e c = c (1 / ) + (1 / )c = c ( / + 4 / 4 ) +. Gereki sdeeftirmei p p c i tecrit edersek, c = > uuruz. fiimdi, c nin u de erini irz önce udu- umuz ƒ = c(1 / ) efiti ine ereftirirsek, ƒ= < uuruz. e i zten ukrd umuftuk: odk nokts ƒ = F (, ) / + / = 1 denkemie verien eipste, F / Q = e = 1 /. e = < 1. Demek ki, e er vrs, F(0, ƒ) odk nokts n, ( = c) do rutmn n ve e orn n uduk. fiimdi u udu umuz F nokts n n gerçekten odk nokts, do rusunun gerçekten do rutmn odu unu ve e nin gerçekten sit orn odu unu kn tm z. Kn t m. (, ), eipsin üstünde herhngi ir nokt osun. Bk m d(, F)/d(, ) = e efiti i geçeri mi? Tüm s r pozitif odu undn, eips üstündeki her nokts n n d(, F) = e d(, ) efiti ini, ni / + / = 1 efiti ini s n her (, ) s çiftinin d((, ), (ƒ, 0)) = e (c ) efiti ini s d n kn tmk eteri. Bu d, verien c, ƒ ve e s r odukç zhmetsiz içimde p iir. Budu umuz u odk nokts ve do rutmn n ir de eksenine göre simetrieri vrd r eet. Kn t m z itmiftir. RBL roerin denkeminin ir > 0 siti için, = içiminde z iece ini gördük. Tii denkemin u he gemesi için proü döndürmek, öteemek ve ir eksene göre simetrisini mk gerekeiir; unr pt m z vrs m. do rutmn c = 36 Teorem. ekseni = denkemie verien proün tek simetri eksenidir. Kn t: Önce dike simetri eksenerine k m., proün dike ir simetri ekseni osun. zmn do rusunun denkemi, ir için, = içimindedir. nin 0 odu unu kn tc z. (, ), = (, ) ( ) proün üstünde herhngi ir noktn n koordintr osun. Bu noktn n do rusun göre simetri i, koc görüece i üzere, (, ) nokts - d r. Demek ki u nokt d proün üstünde. fiimdi hem = hem de = ( ) denkemi geçeri om d r. Demek ki, = = ( ) ve sdeeftirerek, = om. m u efitik her için s nm. Do s = 0 om. Böece, dike do rur n rs nd sdece = 0 denkemie verien ekseninin proün simetri ekseni odu unu kn td k. Bei ir do ru pre on do rur kümesine ir preik s n f d n vereim. Örne in dike do rur kümesi ir preik s n f d r; eksenie 45 dereceik ç pn do rur kümesi ir fk preik s n f d r. Bir preik s n f ir e im trf ndn eirenir; dh ç k ir ifdee, e er ir preik s n f dike do rurdn oufmuors, o zmn ir m s s (e imi) için, preik s n f ndki her do ru = m + içiminde z r ve = m + içiminde z n her do ru u preik s n f ndd r. fiimdi, = proü ç s ndn, dike do rur preik s n f n n di er preik s n fr n göre ir r c odu unu kn tc z. Her dike do ru proü sde- = ce ir noktd keser, unu iioruz. Bk m fk ir preik s n f u özei i s or mu? Bizce s m or! Herhngi ir m e imini siteip, e imi m on preik s n f n, ni ei ir s s için denkemi = m + fekinde z n do rur ve u do rur n proe kesifim noktr n k m. (Yndki sütundki feke k n.) s ir kesifim nokts n n ve koordintr ir ndn = m +
4 denkemini ir ndn d = denkemini s r. Demek ki irinci koordint, = m + denkemini s m. Bu son denkemin 0 1 d çözümü vrd r: E er > m /4 ise iki çözüm vrd r, e er = m /4 ise ir çözüm vrd r, e er < m /4 ise hiç çözüm oktur. Her çözümü için ir (= m + ) uuniece inden proe = m + do rusunun kesifim nokts s s, = m + denkeminin çözüm s s kdrd r. Böece dike do rur preik s n f n n di er do rur göre ir r c odu unu göstermif oduk. = m /4 = = m + do rur ( de ifirken) = proünü 0 ( < m /4 ise), 1 ( = m /4 ise) d ( > m /4 ise) noktd keserer. Bu, ize simetri ekseni hkk nd igi verir. Dike do rur pro için r c k ir preik s n f odu undn, simetri ekseni dike do rur korum, ni dike ir do runun simetri eksenine göre simetrisi gene ir dike do ru om. Demek ki simetri do rusu dike d t om. Dikese ekseni odu unu ik prgrft gördük. Yt omc n görmek ko: Yt ir simetri ekseni os, proün ikinci koordint negtif on ir nokts ourdu ki, omd n iioruz. fiimdi de ir proün ir ve ir tek odk nokts ve do rutmn odu unu ve orn n 1 odu unu kn t m. Bunu = denkemie verien pro için kn tmk eteri eette. Teorem. Bir proün ir ve ir tne odk nokts ve do rutmn vrd r ve orn 1 dir, ni ir ve ir tne F nokts (odk nokts ) ve do rusu (do rutmn) için, pro, { : F = d(, )} kümesidir. E er pro = denkemie verimifse, odk nokts F(0, 1/4) ve do rutmn = 1/4 do rusudur. Kn t: = denkemie verien proe odknmk eteri. Önce, proün ir F odk nokts ve ir do rutmn n n odu unu vrs p 37 Mtemtik Düns, 005 Yz F i ve i u m. rn hkk nd herhngi ir vrs md uunmc z. F den e dik = do rusunu ineim. roün noktr F F = e d(, ) efiti ini s n noktr odu- undn, do rusu proün ir simetri eksenidir. Bir önceki önsv göre do rusu eksenidir. Demek ki do rusu td r ve F nokts ekseninin üstündedir. F(0, ƒ) osun ve do rusu d = denkemie verimif osun. mc m z = ƒ i ve i umk. Dh sonr (, ) F(0, ƒ) udu umuz u F nin ve nin gerçekten odk nokts ve do rutmn d odu unu kn tc z. do rusu proü kesemeece inden (neden?) < 0 om. (0, 0) nokts proün üstünde odu undn, = (0, 0) rsk, ƒ = F = e d(, ) = e = e efiti ini uuruz. Demek ki ƒ i ve e i umk eteri; o zmn de eirenior. (, ) proün herhngi ir nokts osun. zmn, + ( ƒ ) = df (, ) = edd (, ) = e ( ) efiti i s n r. Her iki trf n d kresini m. + ( ƒ) = e ( ) uunur. m = denkemi s nmk zorund. Demek ki her R için, + ( ƒ) = e ( ) efiti i s nm. Bunu ir poinom gii görürsek, X + (X ƒ) e (X ) poinomunun 0 poinomu odu unu, ni kts - r n n 0 odu unu görürüz. Demek ki, = e 1 ƒ = e ƒ = e efitikeri s nm. (Sonuncusunu zten iiorduk, ƒ = e efiti ini dh önce umuftuk.) Birincisinden e = 1 ç kr (e pozitif om ). e nin u de erini ikinci ve üçüncü denkeme ereftirirsek, 1 = (ƒ ) ve ƒ = ± uuruz. Birinci denkemden do ƒ = omz. Demek ki ƒ =. Bunu irinci denkeme ereftirirsek, 4ƒ = 1 ve ƒ = 1/4 uuruz. Burdn d
5 Mtemtik Düns, 005 Yz ç kr: = ƒ = 1/4. Böece os odk nokts n, do rut ve orn uduk: S rs F(0, 1/4) nokts, = 1/4 do rusu ve e = 1 orn. fiimdi unr n gerçekten odk nokts, do rut ve orn odu unu kn tm z. kur dikkt ederse, unu ukrd pt - m z görecektir; göremiors hespr ir def dh pms nd rr vrd r. H ERBL Son ork, fk konik kmd ndn, hiperoü ee c z. Önsv. () = ±/ do rur / / = 1 hiperoünün simptotr d r ve u hiperoün fk simptotu oktur. () ve ekseneri / / = 1 hiperoünün simetri ekseneridir ve u hiperoün fk simetri ekseni oktur. Kn t: () Sf 7-8 de, = ±/ do rur - n n / / = 1 hiperoünün simptotr odukr n kn tm ft k. n kn t hiperoün fk simptotu omd n d kn tr. () ve eksenerinin simetri ekseneri odu u riz. Hiperoün ir simetrisi simptotr simptotr göndermek zorund odu undn, irinci k s mdn, e er simptotr iririne dik de ise, ve eksenerinden fk simetri ekseni omd nf r. E er simptotr iririne dikse, ni = ise, simptotr n kendieri de ( = ve = - do rur ) potnsie simetri ekseneri ork krf m z ç krr. Bu iki do runun do urdu u simetrier ve eksenerini de if tokuf etti inden, unr n simetri ekseneri omc n nmk zor de i. Teorem. Bir hiperoün iki tne odk nokts ve do rutmn çifti vrd r ve her ikisi için de orn n ve 1 den üüktür. E er hipero > s r için / / = 1 denkemie verimifse u çifterden iri F +, 0 nokts (odk nokts ) ve d : = + do rusudur (do rutmn). Di er çift unr n eksenine göre simetri idir. rn, + e = d r. Bir fk deife, / / = 1 denkemini s n (, ) noktr kümesi, { : F = e d(, )} kümesidir. Kn t: / / = 1 denkemie verien hiperoe odknmk eteri. Dh önce eips ve pro için iki kez pt m z gii, önce hiperoün ir F odk nokts ve ir do rutmn n n odu unu vrs p F i ve i uc z. rn hkk nd herhngi ir vrs md uunmc z (nck dh önce p nrdn, e er eips ve proün hipero omd n iiorsk, orn n 1 den üük oms gerekti i nf r.) Dh sonr u uunn odk nokts ve do rutmn dr n n gerçekten odk nokts ve do rutmn odu unu kn tc z. Dh önce iki kez gördü ümüz gii F den geçen ve d e dik on do ru, koni in, ni hiperoün ir simetri eksenidir. Yukrdki önsv göre u simetri ekseni d eksenidir, ni F d eksenindedir ve d dikedir d t. m d t os hiperoü keser ve o zmn d hiperoün sdece ir nokts our... Demek ki d dike ve F nokts ekseni üzerinde. F nokts n n koordintr (ƒ, 0) osun. d do rusu d = c denkemie verimif osun. Gerekirse eksenine göre simetri ini rk c 0 efitsizi- ini vrsiiriz. d c F(ƒ, 0) (, ) fiimdi hipero üzerinde herhngi ir (, ) nokts m. 38
6 Mtemtik Düns, 005 Yz ( ƒ ) + = df (, ) = edd (, ) = e c denkemini ede ederiz. Bu efiti in her iki trf n n d kresini rsk, ( ƒ) + = e ( c) efiti ini ede ederiz. r c, erine ( / 1) zrsk, ( ƒ) + ( / 1) = e ( c) denkemini ede ederiz. Bu denkemin sonsuz tne çözümü odu u için, (X ƒ) + (X / 1) e (X c) poinomu 0 poinomudur, ni üç kts s d 0 d r: 1 + / e = 0 ƒ + ce = 0 ƒ e c = 0. Birinci denkemden e uunur: + e =. kinci denkemden ƒ = ce = c(1 + / ) = c( + )/ uuruz. e nin ve ƒ nin u de ererini üçüncü denkeme tf rk, c (1 + / ) (1 + / )c = 0 uuruz. Bunu sdeeftirip c i tecrit edersek, (z ife hesp pmk gerekior) c = + uunur. Bundn ve dh önce udu umuz ƒ = c( + )/ efiti inden ƒ ç kr: ƒ= +. Demek ki odk nokts, do rutmn ve orn vrs, unr ukrd udu umuz gii om. fiimdi de ukrd udukr m z n gerçekten hiperoün odk nokts, do rutmn ve orn odu unu kn t m. Hiperoün üstünde herhngi ir (, ) nokts m. Demek ki / / = 1 efiti i s n or. fiimdi (, ) nin F nokts n ve d do rusun on uzunukr n hesp m. Bk m unr n orn ukrd udu umuz e mi? f dki, + + df (, ) dd (, ) = = + orn n n + e = odu unu kn tmk istioruz. Her iki trf n d kresini rsk, ko ir hesp efiti in gerçekefti i görüür. Bu d kn t m z tmmr. Son ork, / / = 1 hiperoünün dh dikkti ir resmini çizeim. = / F d = / d : = + + F / / = 1 + Çemer Gene çemer Y u ne? Çemer Eips Y u ne? r B c C B r B c C B Verien ir nokts n uzk n n kresi sit (r ) on noktr () kümesi ir çemerdir. Verien ve B noktr n uzk kr n n kreerinin ( ve ) topm sit (r ) on noktr () kümesi de ir çemerdir. Verien, B ve C noktr n uzk kr n n (, ve c ) topm sit (r ) on noktr () kümesi nedir? Verien ir nokts - n uzk sit (r) on noktr () kümesi ir çemerdir. Verien ve B noktr n uzk kr n n ( ve ) topm sit (r) on noktr () kümesi ir eipstir. Verien, B ve C noktr n uzk kr n n (, ve c) topm sit (r) on noktr () kümesi nedir? d vr m d r? Böe ir e rinin sivri ir nokts oiir mi? 39
Parabol, Elips ve Hiperbol Cebirsel Tan mlar ve Geometrik Çizimler
Mtemtik Düns, 2005 Yz Kpk Konusu: Konikler Geçen z d, ir koni in denkleminin, düzlemin eksenlerini döndürerek ve öteleerek, 0, c ve ƒ sitleri için, 2 + c 2 = 0, 2 = ƒ, 2 + c 2 = 1, d = 2 içiminde z lilece
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Fen Liseleri Yar flmas 2005 Soru ve Yan tlar
Mtemtik ünys, 005 Güz o ufl Ünirsitesi Mtemtik Kulübü en Liseleri Yr flms 005 Soru Yn tlr 1. 005 006 sy s n n 11 e bölümünden kln kçt r? Çözüm: 005 3(mod 11) oldu undn 005 006 3 006 = (3 5 ) 401 3 3 (mod
Detaylı1.BÖLÜM SORU. (x+3) (4x 2 13) = 3(x+3) denklemini sa layan x de- erlerinin çarp m kaçt r? x+3 kümesi afla dakilerden hangisidir?
1.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u s s nd kinci Dereceden Denklemler, Eflitsizlikler ve Prol konusund çözümlü sorulr er lmktd r. Bu konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik ollr,
DetaylıMustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com Parabolün Tepe Noktası
Mustf YĞCI www.mustfgci.com.tr, 11 Ceir Notlrı Mustf YĞCI, gcimustf@hoo.com Prolün Tepe Noktsı Ö nce ir prolün tepe noktsı neresidir, onu htırltlım. Kc, prolün rtmktn zlm ve zlmktn rtm geçtiği nokt dieiliriz.
DetaylıLimit. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Kpk Konusu: Gerçel S lr V: Süreklilik Limit Limit v = ƒ() Bir bflk örne e bkl m. < c < b olsun. ƒ: [, b] \ {c}, grfi i fl dki gibi oln bir fonksion olsun. Fonksion c nokts nd tn mlnmm fl. Os fonksion c
DetaylıBir a C temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [a] gerçel
14. Gerçel Sy lrd Dört fllem Bir temel dizisini (tüm diziler -dizileridir) [] gerçel sy s n götüren ƒ : fonksiyonunu ele ll m: ƒ() = []. Bu fonksiyon elette örtendir. flte resmi:......... ƒ ƒ() = [] =
DetaylıFONKS YONLAR. Fonksiyon. Fonksiyon Olma Şartları. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu
FONKS YONLR Fonksion ve o olmn iki küme olsun. krtezen çrp m n n lt kümelerine nt denir. u nt lrdn dki rtlr s lnlr kümesinden kümesine tn mlnm onksion denir. Fonksionlr genelde, g, h gii küçük hrlerle
DetaylıSORU SORU. ABCDEF... düzgün çokgenin ard fl k köfleleridir. m(ebf) = 12 ise
GMR erginin bu sy s nd Çokgenler ve örtgenler konusund çözümlü sorulr yer lmktd r. u konud, ÖSS de ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel bilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içinde ht rltmy
DetaylıKesir Örnek Çözüm. 1. Yandaki şekilde bir TEST - 1. 1. Taralı alanı gösteren. bütün 8 eş parçaya bölünmüş ve bu parçalardan 3 tanesi
Kesir.. Trlı lnı gösteren kesri bulunuz. kesrini ile genişlettiğimizde elde edilecek kesri bulunuz.. Yndki şekilde bir bütün 8 eş prçy bölünmüş ve bu prçlrdn tnesi trnmıştır. Trlı lnı gösteren kesir syısı
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri IV Hilbert Mesafesi
ahit rf Matematik Güneri IV - 005 Hibert Mesafesi kinci Gün Soruar, 6 Nisan 005 ndrei Ratiu* / ratiu@bigi.edu.tr R Ökid düzeminde ayn do rusu veya ayn Ω çemberi üzerindeki oan dört fark,,, noktas aa m.
DetaylıA A A A A TEMEL MATEMAT K TEST. + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 4.
TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevplyc n z soru sy s 40 t r + u bölümdeki cevplr n z cevp k d ndki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflretleyiniz.. ( + )y + = 0 (b ) + 4y 6 = 0 denklem sisteminin çözüm
DetaylıHiperbolde Yolculuk (ve Poncelet Teoremleri)
Kpk Konusu: oncele Teoremleri Hiperbolde Yolculuk (ve oncele Teoremleri) Bu yz d hiperbolleri ele lc z. Tek bfl n... Yz m zdki her fley. Nzmi lker le Nâz m Terzio lu nun yzd Konikler [fiirkei üreibiye
DetaylıDENEY 3: EŞDEĞER DİRENÇ, VOLTAJ VE AKIM ÖLÇÜMÜ
A. DENEYĠN AMACI : Direnç devrelerinde eşdeğer direnç ölçümü ypmk. Multimetre ile voltj ve kım ölçümü ypmk. Ohm knununu sit ve prtik devrelerde nlmy çlışmk. B. KULLANILACAK AAÇ VE MALZEMELE : 1. DC güç
DetaylıTek ve Çift Fonksiyonlar. Özel Tanýmlý Fonksiyonlar. Bir Fonksiyonun En Geniþ Taným Kümesi. 1. Parçalý Fonksiyonlar. 2. Mutlak Deðer Fonksiyonu
Fonksionlr Konu Özeti. Köklü fonksionlrın en geniş tnım kümesi: f( f( n f( g( fonksionun en geniş tnım kümesi, g( koşulunu sğln noktlr kümesidir. f( f( n f( g( tüm reel sılrd tnımlıdır. fonksionu g( in
DetaylıLYS 1 / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / MATEMATİK DENEME ÇÖZÜMLERİ Deneme -. A) - - + B) - 7 - + C) 5-5 - 5 +. + m ; + me + > H + D) - 5 - + E) 7- - + Sılrın plrı eşit olduğun göre, pdsı en üük oln sı en küçüktür. Bun göre A seçeneğindeki
Detaylı2.2. İzostatik Sistemlerin Hareketli Yüklere Göre Hesabı Hareketli Yük Tipleri
2.2. İzosttik Sisteerin Hreketi Yükere Göre Hesı 2.2.1. Hreketi Yük Tiperi Sistee etkiyen hreketi yük ork şğıd gösterien dört tip yük ktrı göz önüne ınktdır. 1. Tip hreketi yük: Sistein ir kısını vey tını
DetaylıTEST lk durumda terazi. 6. I. durumda, KÜTLE, A IRLIK VE Efi T KOLLU TERAZ. Denklem 2 yi denklem 1 de yazarsak 2P = (6+P) m = 30 g olur.
ÜTE, A IRI VE Efi T OU TERAZ TEST - 1 1. 2 3 Z Denkem 2 yi denkem 1 de yazarsak 2P = 2.2 + (6+P) P = g I. yarg kesinike do rudur. fieki- I deki terazinin dengesinden, = 2.1 + = + 2 g Buradan, m > m dir.
DetaylıTEST 17-1 KONU KÜRESEL AYNALAR. Çözümlerİ ÇÖZÜMLERİ 6. K Çukur aynada cisim merkezin dışında ise görüntü
OU 17 ÜRS R - - - - Çözümler S 17-1 ÇÖÜR 5. α 1. - - - - ve ynlış çizilmiş olup doğru çizimleri yukrıd verilmiştir.. sü ise doğru çizilmiştir. Cevp: Odk nin sğınddır. den çizilen doğru normldir. Bundn
DetaylıKomisyon. ALES EŞİT AĞRILIK ve SAYISAL ADAYLARA TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 978-605-364-214-5
Komisyon LES EŞİT ĞRILIK ve SYISL DYLR TMMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN 97-605-36-1-5 Kitpt yer ln ölümlerin tüm sorumluluğu yzrın ittir. Pegem kdemi Bu kitın sım, yyın ve stış hklrı Pegem kdemi Yy. Eğt. Dn.
DetaylıUzunluklar Ölçme. Çevre. Alan. Zaman Ölçme. S v lar Ölçme. Hacmi Ölçme
MTEMT K Uzunluklr Ölçme Çevre ln Zmn Ölçme S v lr Ölçme Hcmi Ölçme Temel Kynk 5 Uzunluklr Ölçme UZUNLUKLRI ÖLÇME Çevremizde metre, sntimetre, milimetre vey bunlr n herhngi ikisi ile söyledi imiz uzunluklr
DetaylıJOVO STEFANOVSKİ NAUM CELAKOSKİ. Sekizyıllık İlköğretim
JOVO STEFNOVSKİ NUM CELKOSKİ Sekizyıllık İlköğretim Syın Öğrenci! u kitp, ders proğrmınd öngörülen ders mlzemesini öğrenmek için yrdımcı olcktır. Vektörler, öteleme ve dönme hkkınd yeni ilginç bilgiler
Detaylıege yayıncılık Oran Orant Özellikleri TEST : 91 a + 3b a b = 5 2 0,44 0,5 = 0,22 oldu una göre, a + b en az kaçt r? A) 3 B) 11 C) 14 D) 15 E) 16
Orn Ornt Özellikleri TEST : 91 1. 0,44 0,5 = 0,22 5. + 3 = 5 2 2. 3. 4. oldu un göre, kçt r? A) 0,2 B) 0,25 C) 0,5 D) 0,6 E) 0,75 y = 3 4 + y oldu un göre, y orn kçt r? A) 7 B) 1 C) 1 D) 7 E) 10 oldu un
Detaylı2010 Ağustos. MİLLER ve KİRİŞLER. 06a. Özet. M. Güven KUTAY
00 ğustos www.guven-kut.ch İR ve KİRİŞR 0 Özet. Güven KUTY İ Ç İ N D K İ R Ortdn tek kuvvet etkisindeki klsik kiriş... simetrik tek kuvvet etkisindeki klsik kiriş... 5 Simetrik iki kuvvet etkisindeki klsik
Detaylı1.BÖLÜM SORU SORU. Reel say larda her a ve b için a 2 b 2 = (a+b) 2 2ab biçiminde bir ifllemi tan mlan yor.
.BÖLÜM MATEMAT K Derginin u sy s n fllem ve Moüler Aritmetik konusun çözümlü sorulr yer lmkt r. Bu konu, ÖSS e ç kn sorulr n çözümü için gerekli temel ilgileri ve prtik yollr, sorulr m z n çözümü içine
Detaylı5. Kuvvetler flekildeki gibi
VETÖE - UVVETE TEST - 1 1. + 4. A B X = br C fieide görüdü ü gibi Y = 3 br vetörü 4 ie gösterien vetördür. X = br, Y = 3 br dir. Vetörerin büüüeri orn X = Y 3. N 5. uvveter feidei gibi uç uc eenere feidei
DetaylıLYS LİMİT. x in 2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade edilir? şeklinde gösterilir. lim. şeklinde gösterilir. f(x) lim f(x) ise lim f(x) yoktur.
Mtemtik SAĞDAN VE SOLDAN YAKLAŞMA Yndki tblod bir değişkeninin 4 sısın sğdn ve soldn klşımı ifde edilmiştir. u durumu genellemek gerekirse; değişkeni re el s ı sın, dn kü çük de ğer ler le k l şı or s,
DetaylıTEOG. Tam Sayılar ve Mutlak Değer ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK TAMSAYILAR MUTLAK DEĞER
TEOG Tm Syılr ve Mutlk Değer TAMSAYILAR Eksi sonsuzdn gelip, rtı sonsuz giden syılr tm syılr denir ve tm syılr kümesi Z ile gösterilir. Z = {...,,, 1,0,1,,,... } Tmsyılr kümesi ikiye yrılır: ) Negtif Tmsyılr:
Detaylıc
Mtemt ık Ol ımp ıytı Çlışm Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Bu çlışm kğıdınd mtemtik olimpiytlrı sınvlrın hzırlnn öğrenciler ve öğretmenler için hzırlnmış sorulr bulunmktdır.
DetaylıAKM 205-BÖLÜM 4-UYGULAMA SORU VE ÇÖZÜMLERİ
AKM 5-BÖÜM -UYGUAMA SORU VE ÇÖZÜMERİ 1. Aşğıd erilen dimi, iki otl ız lnını dikkte lınız: V (, ) (.66.1) i (.7.1) j B kış lnınd ir drm noktsı r mıdır? Vrs nerededir? Kller: 1. Akış dimidir.. Akış -otldr.
DetaylıDENKLEM ÇÖZME DENKLEM ÇÖZME. Birinci dereceden İki bilinmeyenli. 2x 2 + 5x + 2 = 0. 3x x 2 + 1 = 0. 5x + 3 = 0. x + 17 = 24.
DENKLEM ÇÖZME + + = 0 + = 0 + = 0 + y = 0 İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. İkinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden ir ilinmeyenli denklemdir. Birinci dereceden İki ilinmeyenli
DetaylıSAYI KÜMELERİ. Örnek...1 :
SAYILAR SAYI KÜMELERİ RAKAM S yı l r ı i f d e e t m ek i ç i n k u l l n d ı ğ ı m ız 0,,,,,,6,7,8,9 semollerine rkm denir. DOĞAL SAYILAR N={0,,,...,n,...} k üm e s i n e d o ğ l s yı l r k üm e s i d
DetaylıBÖLÜM 5. MATRİS ve DETERMİNANTLAR 5.1. MATRİSLER. Taşkın, Çetin, Abdullayeva. reel sayılardan oluşan. olmak üzere tüm a.
MTEMTİK BÖLÜM 5 Tşkın, Çetin, bdullyev MTRİS ve DETERMİNNTLR 5 MTRİSLER Tnım : mni,,, j + olmk üzere tüm ij reel syılrdn oluşn m m n n mn tblosun m x n tipinde bir mtrisi denir ve kısc şeklinde gösterilir
DetaylıGeometri Köflesi. Napoléon un bilimi ve matemati i sevdi i, hatta. Napoléon ve Van Aubel Teoremleri. Mustafa Ya c
temtik ünys, 2004 z Npoléon ve n uel Teoremleri Npoléon un ilimi ve mtemti i sevdi i, htt ir ölçüde yetenekli oldu u d ilinir. ünyy fethetmeye çl flmktn ve imprtorluk mesle inden rt kln zmnlr nd, sürekli
DetaylıLYS1 / 4.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
. İki bsmklı toplm sı vdı. ile lınd sl olmsı için ve e tm bölünmemeli e bölünen sıl 8 det e bölünen sıl det LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLİ 8. - ` j - 8 k - 8 8-8 8 nck ʼin ktı oln sıl ( tne) kee lındı. -
DetaylıYükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 1 Nisan 2012. Matematik Soruları ve Çözümleri
Yükseköğretime Geçiş Sınvı (Ygs) / Nisn 0 Mtemtik Sorulrı ve Çözümleri. 0,5, işleminin sonuu kçtır? 0,5 0, A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 7 Çözüm 0,5 0,5, 0, 05 50 5.5.4 5.5. 4 4 0 5 .. 4.6 6 işleminin sonuu
DetaylıHİPERBOL. Merkezi O noktası olan hiperbole merkezil hiperbol denir. F ve F' noktalarına hiperbolün odakları denir.
Merkezi Hiperoll HİPERBL Merkezi noktsı oln hiperole merkezil hiperol denir. F ve F' noktlrın hiperolün odklrı denir. dklr rsı uzklık FF' dir. odklr rsı uzklık e sl eksen uzunluğu değerine hiperolün dış
DetaylıLYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
LYS LİMİT VE SÜREKLİLİK KONU ÖETLİ ÇÖÜMLÜ SORU BANKASI ANKARA İÇİNDEKİLER Limit Kvrmı ve Grfik Sorulrı... Limitle İlgili Bzı Özellikler...7 Genişletilmiş Reel Sılrd Limit... Bileşke Fonksionun Limiti...
DetaylıASAL SAYILAR. Asal Sayılar YILLAR MATEMATĐK ĐM
YILLAR 00 003 004 00 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - ASAL SAYILAR ve kendisinden bşk pozitif böleni olmyn den büyük tmsyılr sl syı denir Negtif ve ondlıklı syılr sl olmz Asl syılrı veren bir
DetaylıSüreklilik. Kapak Konusu: Gerçel Say lar V: Süreklilik ve Limit
Mtemtik Düns, 2008-III Mtemti in en önemli ve en temel konulr ndn birine geldik: Süreklilik. Her zmnki gibi öne kvrm n sezgisel nlm n ç kll m. Bz fonksionlr n grfi inde kopukluk oktur, bz lr nd ise tm
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VKTÖRLR ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT 5. ÜNİT VKTÖRLR 1. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. VKTÖRLR 1.
Detaylı1990 ÖYS 1. 7 A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 52 B) 54 C) 55 D) 56 E) 57
99 ÖYS. si oln si kçtır? A) 9 B) 8 C) D) 6 E) 5 6. Bir nın yşı, iki çocuğunun yşlrı toplmındn üyüktür. yıl sonr nın yşı, çocuklrının yşlrı toplmının ktı olcğın göre ugün kç yşınddır? A) 5 B) 5 C) 55 D)
DetaylıSinüs ve kosinüs fonksiyonlar n geçmiflte bir seri olarak tan mlam flt k.
58. Trigonometrik Fonksiyonlr ve Pi Sy s Sinüs ve kosinüs fonksiyonlr n geçmiflte bir seri olrk tn mlm flt k. Tn mlr n mstl m: 2i1 3 5 i x x x sin x ( 1) x i0 ( 2 i 1)! 3! 5! 2i 2 4 i x x x cos x ( 1)
DetaylıKONİKLER KONİKLER...318-357. Sayfa No. r=a A O A. Asal çember. x 2 + y 2 = a 2
Sf No.........................................................8-7 Prol....................................................................... 9 - Etkinlikler.....................................................................
DetaylıGeometri Köflesi. Diklik Merkezi. Üçgen Eflitsizli inin Bir Sonucu Bilindi i üzere bir üçgenin alan, taban yükseklik/2 dir.
Mtemtik üns, 2004 Güz Geometi Köflesi Mustf Y c gcimustf@hoo.com iklik Mekezi i üçgenin üç üksekli i dim tek noktd kesifli. u nokt üçgenin diklik mekezi deni. = iklik mekezi genelde ile gösteili. Üçgen
DetaylıKontak İbreli Termometreler
E-mil: Fx: +49 661 6003-607 www.jumo.net www.jumo.co.uk www.jumo.us Veri Syfsı 608523 Syf 1/8 Kontk İbreli Termometreler Özellikler Pnel montj vey ek cihz gibi proses değeri göstergeli sıcklık kontrolörü
DetaylıKÜRESEL AYNALAR. 1. Çukur aynanın odağı F, merkezi M (2F) dir. Aşağıdaki ışınlar çukur aynada yansıdıktan sonra şekillerdeki gibi yol izler.
. BÖLÜ ÜRESEL AYNALAR ALŞRALAR ÇÖZÜLER ÜRESEL AYNALAR. Çukur ynnın odğı, merkez () dr. Aşğıdk ışınlr çukur ynd ynsıdıktn sonr şekllerdek b yol zler. / / 7 / / / / / 8 / / / / / 9 / / / / N 0 OPİ . Çukur
Detaylıİntegral Uygulamaları
İntegrl Uygulmlrı Yzr Prof.Dr. Vkıf CAFEROV ÜNİTE Amçlr Bu üniteyi çlıştıktn sonr; düzlemsel ln ve dönel cisimlerin cimlerinin elirli integrl yrdımı ile esplnileceğini, küre, koni ve kesik koninin cim
DetaylıORAN ORANTI 2 1 3 - - 4 4 2 1 1 2 ÖYS. = = yazılabilir. veya ALIŞTIRMALAR
YILLAR 00 003 00 00 006 00 008 009 00 0 3 - - ÖYS ORAN ORANTI ve t. t. t.e zılilir. f Or: E z iri sıfır frklı ı iste iki çokluğu ölümüe or eir. Or irimsizir. Ortı : iki ve h fzl orı eşitliğie ortı eir.
Detaylıc) Bire bir fonksiyon: eğer fonksiyonun görüntü kümesindeki her elemanının tanım kümesinde yalnız bir karşılığı varsa bu fonksiyonlara denir.
FONKSİYONLAR Boş kümeden frklı oln A ve B kümeleri verildiğinde, A kümesindeki her elemnı B kümesindeki ir elemn krşı getiren ğıntıy A dn B ye fonksiyon denir. y=f(x) ile gösterilir. Bir diğer ifdeyle
DetaylıMATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,
MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard
Detaylı2011 YGS MATEMATİK Soruları
0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 6
. Herbir hücrenin sol üst köşesinde kreler içine yzıln syılrın işlemin sonucunu verdiğine dikkt ederek syılrı yerleştirmeliyiz. 7 6 T N M 5 6 T X. ^ h ^ h bulur. M N. 0 6 6 6 0 5 5 5 6 6 5 5 ^5h ^5h ^h
DetaylıS ralama. Kapak Konusu: S ralamalar
Mtemtik Dünys, 00 K fl Kpk Konusu: S rlmlr S rlm x lk yz d her fleyin s rlnmyc n gördük. Am bu, hiçbir fley s rlnmz nlm n gelmez tbii ki. Bz fleyler bl gibi s rln r. Örne in ÖSS s nv sonuçlr n göre gençlerimiz
Detaylı1986 ÖSS. olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
986 ÖSS. (0,78+0,8).(0,3+0,7) Yukrıdki işlemin sonucu nedir? B) C) 0, D) 0, E) 0,0. doğl syısı 4 ile bölünebildiğine göre şğıdkilerden hngisi tek syı olbilir? Yukrıdki çrpm işleminde her nokt bir rkmın
DetaylıDo ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Bireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar
o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik ireysel Yar flmas 2004 Soru ve Yan tlar Soru. S f rdan farkl bir a say s için sonsuz ondal klarla oluflan ifadesinin de eri nedir? ise, Soru 2. 0 < < 0 olmak
DetaylıDENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER
DENKLEM ve EŞİTSİZLİKLER Sf No..................................................... - 7 Denklem ve Eşitsizlikler Konu Özeti............................................. Konu Testleri ( 0)..........................................................
Detaylı1983 ÖSS. A) x+y+2 B) 2(x+y+2) C) x+y D) 2 E) 4. işleminin sonucu nedir?
98 ÖSS. 0, 0,0 0,0 0,0 0, işleminin sonucu nedir? 7. 0,, işleminin sonucu nedir?,7-0, -9, -9, -9,. +y+ (+y+) +y 7. n ir doğal sayı olmak üzere den n ye kadar olan sayıların toplamı, ten n ye kadar olan
DetaylıSistem Dinamiği ve Modellemesi. Doğrusal Sistemlerin Sınıflandırılması Doğrusal Sistemlerin Zaman Davranışı
Sim Dinmiği v Modllmi Doğrul Simlrin Sınıflndırılmı Doğrul Simlrin Zmn Dvrnışı Giriş: Sim dinmiği çözümlmind, frklı fizikl özlliklr şıyn doğrul imlrin krkriiklrini blirlyn ml bğınılr rınd bnzrlik noloji
DetaylıCebirsel ifadeler ve Özdeslik Föyü
6 Ceirsel ifdeler ve Özdeslik Föyü KAZANIMLAR Bsit ceirsel ifdeleri nlr ve frklı içimlerde yzr. Ceirsel ifdelerin çrpımını ypr. Özdeslikleri modellerle çıklr. 06 8. SINIF CEBiRSEL ifadeler VE ÖZDESLiK
Detaylı2005 ÖSS BASIN KOPYASI SAYISAL BÖLÜM BU BÖLÜMDE CEVAPLAYACAĞINIZ TOPLAM SORU SAYISI 90 DIR. Matematiksel İlişkilerden Yararlanma Gücü,
005 ÖSS SIN KPYSI SYISL ÖLÜM İKKT! U ÖLÜME EVPLYĞINIZ TPLM SRU SYISI 90 IR. İlk 45 Soru Son 45 Soru Mtemtiksel İlişkilerden Yrrlnm Gücü, Fen ilimlerindeki Temel Kvrm ve İlkelerle üşünme Gücü ile ilgilidir.
DetaylıGeoUmetri Notları Mustafa YAĞCI, Deltoit
www.mustfgci.cm.tr, 01 GeUmetri Ntlrı Mustf YĞI, gcimustf@h.cm eltit n z ir köşegenine göre simetrik ln dörtgene deltit denir. = ve = lmsı deltidin iki ikizkenr üçgen rındırdığını nltır. Şöle de izh edeiliriz
Detaylı13. 2x y + z = 3 E) 1. (Cevap B) 14. Dikdörtgen biçimindeki bir tarlanın boyu 10 metre, eni 5 metre. Çözüm Yayınları
Doğrusal Denklem Sistemlerinin Çözümleri BÖLÜM 04 Test 0. y = y = 6 denklem sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden A) {(, 4)} B) {(, )} C) {(, 4)} D) {( 4, )} E) {(, )}./ y = / y = 6 5 = 5 = = için y
DetaylıÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 18. MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIF TEST SORULARI
., ÖZEL EGE LİSESİ OKULLR RSI 8. MTEMTİK YRIŞMSI 8. SINI TEST SORULRI 5. 0,0008.0 b 0,0000.0 ise; b.0 kç bsmklı bir sıdır? olduğun göre, ifdesinin değeri şğıdkilerden hngisine eşittir? ) 80 ) 8 ) 8 ) 8
Detaylı2. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler x 2 2x + 2m + 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. 4x 1 + 5x 2 = 7 ise m aşağıdakilerden hangisidir?
MC www.matematikclub.com, 006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir3@ahoo.com.tr. Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler- TEST I A) 1 B) C) 3 D) 4 E) 5 1. 1/ = 0 denkleminin köklerinin toplamı aşağıdakilerden
Detaylıb göz önünde tutularak, a,
3.ALT GRUPLAR Tnım 3.. bir grup ve G, nin boş olmyn bir lt kümesi olsun. Eğer ( ise ye G nin bir lt grubu denir ve G ile gösterilir. ) bir grup Not 3.. ) grubunun lt grubu olsun. nin birimi ve nin birimi
Detaylı1983 ÖSS. 6. x.y çarpımında her çarpana 2 eklenirse çarpım ne kadar büyür? işleminin sonucu nedir? A) x+y+2 B) 2(x+y+2) C) x+y D) 2 E) 4
198 ÖSS 1. 0,1 0,01 0,04 0,0 0, işleminin sonucu nedir? A) 4 B) 7 C) 15 D) E) 41 6..y çarpımında er çarpana eklenirse çarpım ne kadar üyür? A) +y+ B) (+y+) C) +y D) E) 4. 0,5 11 1, 44 işleminin sonucu
DetaylıEn iyi donanımlı yatlarla en iyi hizmet
Bi Cruisr 00 + TH Dufour r'lg 0 Kopri + TH KP Fi Döri 0 Oc is is M M Hz Hz ADB 0-0 Tm p B Pr Pr Y A Ti Y A Y / Hf Kim / Ism 0 Kirm Fi Lis 0 Ks Ar Ei 0 Ks E Ei Br 0 -.0.0.0.0.0 MI.0.0.0.0.0 Oc Smos 0 0
DetaylıÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1
ÇARPANLARA AYIRMA ÇÖZÜMLÜ TEST 1 1) ( y) (y ) ifdesinin çrpnlrındn biri şğıdkilerden hngisidir? A) y B) y C) y D) y E) y 1) ( y) (y ) ifdesini düzenleyip, ortk prnteze lmy çlışlım. ( y) (y ) ( y)( y) (
DetaylıVeri, Sayma ve Olasılık. Test / 30. soru 1. soru 5. soru 2. soru 6. soru 3. soru 7. soru 8. soru 4
Test / 0 soru soru Bir zr t ld nd üste gelen sy n n tek oldu u ilindi ine göre, sy n n sl sy olm Bir çift zr t ld nd üste gelen sy lr n toplm n n 0 oldu u ilindi ine göre, zrlrdn irinin olm soru soru Bir
DetaylıLYS Matemat k Deneme Sınavı
LYS Mtemtk Deneme Sınvı. İki bsmklı bir sının rkmlrı toplmı dir. Rkmlrı er değiştirdiğinde elde edilen sı, ilk sının sinden fzldır.. Birbirinden frklı tne pozitif tmsının OKEK i olduğun göre, en çok kçtır?
DetaylıDİZİLER... 213. Dizilerde İşlemler... 213. Dizilerin Eşitliği... 214. Monoton Diziler... 215. Alt Dizi... 216. Konu Testleri (1 6)...
ÜNİTE GERÇEK TOPLAM SAYI ÇARPIM DİZİLERİ ARİTMETİK SEMBOLÜ DİZİ Böüm Dizier GERÇEK SAYI DİZİLERİ ARİTMETİK DİZİ GEOMETRİK DİZİ SERİLER DİZİLER..................................................................
DetaylıKoninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr
apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan
DetaylıLYS1 / 1.DENEME MATEMATİK TESTİ ÇÖZÜMLERİ
.. (,! Z ) min için! `, j LYS /.NM MTMTİK TSTİ ÇÖZÜMLRİ evp:. {,,,,,, 7,, 9} Z/'te $ 7,,. $,,. $ 9,,. k ve k ve k ve k f p f p f p f pf pf p evp:. ` j! k 7 ` j! ` j` j 7 ` j!! `-j! `- j!!!.. b. c b c b
DetaylıII. DERECEDEN DENKLEMLER
ünite DEEEDE DEKEME Dereceden Denklemler TEST 0 x x + = 0 denkleminin kökleri x ve x dir 6 x + x + x işleminin sonucu kçtır? ) B) ) D) E) x + bx + = 0 x - denkleminin reel syılrdki çözüm kümesi bir elemnlı
Detaylı(THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI
YENİDEN DÜZENLEME EŞİTSİZLİĞİ (THE REARRANGEMENT INEQUALITY ) DERS NOTLARI www.selin.wordpress.om 7 Şut 009 Bu ders notund re-rrngement inequlity konusu ele lınrk olimpiyt sınvınd çıkmış zı eşitsizlik
DetaylıDRC üst taban, 6 alt taban olmak üzere 12 mavi kare vardır. 4. Sekiz basamaklı herhangi bir özel sayı x = abcdefgh olsun. Deneme - 2 / Mat.
Deneme - / Mt MATEMATİK DENEMESİ. 6 üst tn, 6 lt tn olmk üzere mvi kre vrdır. Ypının tüm yüzeyi kreden oluştuğun göre, 6 7. 0,.., f -, 0, p. 0,. c- m.,,. ^- h.. 7. ^- h 7 - ulunur. +. c m olur. ( ) 9 c
DetaylıRASYONEL SAYILAR KESİR ÇEŞİTLERİ. www.unkapani.com.tr. 1. Basit Kesir. olduğuna göre, a, b tamsayı ve b 0 olmak üzere, a şeklindeki ifadelere
RASYONEL SAYILAR, tmsyı ve 0 olmk üzere, şeklindeki ifdelere kesir denir. y kesrin pyı, ye kesrin pydsı denir. Örneğin,,,, kesirdir. kesrinde, py kesir çizgisi pyd, 0, 0 ise 0 0 dır.,, 0, syılrı irer 0
DetaylıMATEMATİK TESTİ. 5. a, b birer gerçek sayı ve a + b < 3tür. Bu sayıların sayı doğrusunda gösterilişi aşağıdakilerden hangisindeki gibi olabilir?
MTEMTİK TESTİ 1 1 1 1 1. + 4 4 1 ) 0 ) 4 işleminin sonucu kçtır? ) 1 ) 1., irer gerçek syı ve + < 3tür. u syılrın syı doğrusund gösterilişi şğıdkilerden hngisindeki gii olilir? ) -3 - -1 0 1 3 ) -3 - -1
Detaylıalalım. O noktasına, bu eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif sayılar, yatay
1 DİK (KARTEZYEN) KOORDİNAT SİSTEMİ: Bir O noktasında dik olarak kesişen ata ve düşe doğrultudaki iki saı eksenini ele alalım. O noktasına, u eksenlerin sıfır noktası(orijin, merkez) denir. Pozitif saılar,
DetaylıMukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN
Mukavemet-II PROF. DR. MURAT DEMİR AYDIN KAYNAK KİTAPLAR Cisimlerin Mukavemeti F.P. BEER, E.R. JOHNSTON Mukavemet-2 Prof.Dr. Onur SAYMAN, Prof.Dr. Ramazan Karakuzu Mukavemet Mehmet H. OMURTAG 1 SİMETRİK
DetaylıDERS 1. Sayı Kümeleri ve Koordinatlar
DERS Syı Kümeleri ve Koordintlr. Kümeler. Mtemtiğin temel kvrmlrındn biri küme kvrmıdır. Okuyucunun küme kvrmın ybncı olmyıp kümelerle ilgili temel işlemleri bildiğini kbul ediyoruz. Bununl berber, kümelerle
DetaylıTEST - 1 KATI BASINCI. I. yarg do rudur. II. yarg yanl flt r. Buna göre, fiekil-i de K ve L cisimlerinin yere yapt klar bas nçlar eflit oldu una göre,
TI BSINCI TEST - 1 1 1 π dir π Bun göre, 4 > 1 CEV B de ve cisimlerinin e ypt klr s nçlr eflit oldu un göre, SX S Z + 4 8 S Y I II III CEV B Tu llr n X, Y ve Z noktlr n ypt s nç, X S Y S Z S dir Bun göre,
DetaylıTYT / MATEMATİK Deneme - 2
TYT / MTMTİK eneme -. 7 ^7h ^h $ bulunur. evp : 6. b b c 6 c 6, b ve c nin ritmetik ortlmsı O b c 6 bulunur.. y z y z ^ h $ bulunur. evp : 7. y çift ne olurs olsun çift syı olduğundn in yd çift olduğundn
Detaylı5. 6 x = 3 x + 3 x x = f(x) = 2 x + 1
Üstlü Sılrd İşlemler, Üstel Fonksion BÖLÜM 0 Test 0. 7 7 denkleminin çözüm kümesi şğıdkilerden hngisidir?. 6 olduğun göre, ifdesinin değeri kçtır? A) B) C) D) E) 6 9 6 A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E)
DetaylıANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
DetaylıMATEMATİK.
MTEMTİK www.e-ershne.iz. s( \ ) = 6, s( \ ) = 8 tür. kümesinin lt küme syısı ise, kümesinin elemn syısı kçtır?... D. 7 Ynıt:. s( ) =? s( ) = = s( ) = 6 8 s( ) = 6 + + 8 =. Rkmlrı frklı üç smklı üç oğl
DetaylıMtemtik Öğretmeni: Mhmut BAĞMANCI www.zevklimtemtik.com LOGARİTMA ÇALIŞMA SORULARI.) Aşğıdkı ifdelerde x i veren ifdeyi yzınız x ) x b) 7 x c) 0 7 d) +x.) 7 7 7 ise x... ise x... ise x... ise x....) Aşğıdki
DetaylıPLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ. (19-22 Ağustos 2013 Akyaka)
PLAJLARDA ÇEVRE BİLİNÇLENDİRME PROJESİ (19-22 Ağustos 213 Akyk) Pljlr Çevre Bilinçlenirme Projesi 19-22 Ağustos trihleri rsın TÜRÇEV Muğl Şuesi ve Akyk Beleiyesi iş irliği ile gerçekleştirili. Proje TÜRÇEV
DetaylıSAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI
YILLAR 00 00 004 00 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - 1-1 1 SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESĐ ve BASAMAK KAVRAMI,b,c,d birer rkm olmk üzere ( 0) b = 10 + b bc = 100+10+b bc = 100+10b+c bcd =1000+100b+10c+d
DetaylıMatrisler Elementer Satır İşlemleri Gauss Eliminasyon
Mtrisler Elementer Stır İşlemleri Guss Eliminson Mtrisler ve Stır İşlemleri Bir mtris dikdörtgen sılr tblosudur. Alt indisler girdilerin erini belirler. stır mn stır A m m m n n n mn Mtrisler boutlrı ile
DetaylıLYS 1 / GEOMETRİ DENEME ÇÖZÜMLERİ
LYS / GOMTRİ NM ÇÖZÜMLRİ eneme -. m ( ) + m( ) > 0 m ( ) + m ( ) > 90 + m ( ) + m ( ) + m( ) + m ( ) > 0 m ( ) > 40 4444444444 0 O hlde, çısının çısının ölçüsünün lbileceği en küçük tmsı değeri 4 evp.
DetaylıDÜZGÜN DAİRESEL HAREKET ÜÇ AŞAMALI KAVRAM YANILGISI TESTİ (DDHKYT)
DÜZGÜN DAİRESEL HAREKET ÜÇ AŞAMALI KAVRAM YANILGISI TESTİ (DDHKYT) 2005 Hsn Şhin KIZILCIK hskizilcik@gzi.edu.tr Bill GÜNEŞ bgunes@gzi.edu.tr Gzi Üniersitesi, Gzi Eğitim kültesi, OMAE Bölümü, izik Eğitimi
DetaylıLİNEER CEBİR MATRİSLER: şeklindeki tablosuna mxn tipinde bir matris denir. [a ij ] mxn şeklinde gösterilir. m satır, n sütun sayısıdır.
LİNEER CEBİR MTRİSLER: i,,,...,m ve j,,,..., n için ij sılrının. m m...... n n mn şeklindeki tblosun mn tipinde bir mtris denir. [ ij ] mn şeklinde gösterilir. m stır, n sütun sısıdır. 5 mtrisi için ;
DetaylıVEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT
VEKTÖRLER ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİTE 5. ÜNİT VEKTÖRLER. Kznım : Vektör kvrmını çıklr.. Kznım : İki vektörün toplmını ve vektörün ir gerçek syıyl çrpımını ceirsel ve geometrik olrk gösterir. YÖNLÜ
DetaylıBÖLÜM 3 : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ
BÖLÜM : RASLANTI DEĞİŞKENLERİ (Rndom Vribles Giriş: Bölüm de olsılık fonksionu, denein örneklem uzını oluşurn sonuçlrın erimleri ile belirleniordu. Örneğin; iki zr ıldığınd, P gelen 6 olsı sırlı ikilinin
Detaylısteme Adresi Ekstrem Yayıncılık Tlf: (0322) 235 64 65 Belgeç : (0322) 232 86 27 www.ekstrem.com.tr Grafik Tasar m Dizgi Ekstrem Yay nc l k
u kit n her hkk skl d r ve kstrem Y nc l k ittir. Kit it metin ve sorulr, knk gösterilerek de ols kulln lmz. Kit n hz rln fl öntemi tklit edilemez. ISN: 978 0 9 8 9 steme dresi kstrem Yıncılık Tlf: (0)
Detaylı2009 Soruları. c
Hırvt ıstn Ulusl Mtemt ık Ol ımp ıytı Tkım Seçme Sınvı Geometr ı 2009 Sorulrı c www.sbelin.wordpress.com sbelinwordpress@gmil.com Hırvtistn d ypıln 2009 yılı TST yni Tkım Seçme Sınvın it geometri sorulrı
DetaylıÖrnek...1 : Örnek...2 : DÜZGÜN BEŞGEN DÜZGÜN BEŞGEN ÖZELLİK 3 TANIM VE ÖZELLİKLERİ ÖZELLİK 1 ÖZELLİK 2. A Köşe. köşeleri A, B, C, D ve E dir, β θ
ÜZGÜN ŞGN ( ÜZGÜN ŞGN TNII, ÖZİRİ ĞRNİRR ) ÜZGÜN ŞGN ÖZİ 3 TNI V ÖZİRİ enr syısı 5 oln düzgün çokgene öşe düzgün beşgen denir. üzgün beşgenin; köşeleri,,, ve dir, kenrlrı [], [], β θ [], [] ve [] dır,
DetaylıSORU. m(cdo ) = = 20 olur. OB = OD = OC = r den; m(bco ) = 30, m(dco ) = 20 ve. [AB ile [AD B ve D noktalar nda çembere te ettir.
GMR eginin bu sy s nd Çembede ç l, Kiiflle ötgeni, e et Kiifl Özelliklei konusund çözümlü soul ye lmktd. u konud, ÖSS de ç kn soul n çözümü için geekli temel bilgilei ptik yoll, soul m z n çözümü içinde
DetaylıTEST SORULARI STATİK-MUKAVEMET 1. YIL İÇİ SINAVI. Adı /Soyadı : No : İmza: Örnek Öğrenci No xaxxxxbcd
dı /Sodı : No : İmz: STTİK-MUKVEMET 1. YI İÇİ SINVI 01-11-013 Örnek Öğrenci No 010030403 bcd 3 α3 α α4 4 α1 1 Şekildeki kuvvetler sistemini ) O noktsın indirgeiniz. ) ileşkenin etki çizgisinin ve ekseninin
Detaylı