Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti
|
|
- Emre Ekren
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma sağdan yaklaşım denir ve a a + biçiminde gösterilir..2 Fonksiyonun Limiti Limit kavramını Şekil. üzerinde açıklayalım: Soldan Limit Grafiği verilen y = f ) fonksiyonu için, apsisleri; = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan Aa, y ),Bb, y 2 ),Cc, y 3 ),Dd, y 4 ), noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan a,b,c,d, giderek a ya yaklaşıyor. Bu sırada, f a) = y, f b) = y 2, f c) = y 3, f d) = y 4,... ordinatları da giderek K ye yaklaşır. Bu eylem, simgesel olarak, f ) = K.) a
2 2 BÖLÜM. LİMİT Şekil.: Yaklaşım biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f ) fonksiyonunun = a daki soldan itinin b olduğudur. Sağdan Limit Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan Ee, y 8 ),F f, y 7 ),Gg, y 6 ), Hh, y 5 ),... noktalarını göz önüne alalım. e, f, g,h, apsisleri sağdan a ya yaklaşırken, f e) = y 5, f f ) = y 6, f g ) = y 7, f h) = y 8,... ordinatları giderek M ye yaklaşır. Bu durum simgesel olarak, f ) = M.2) a + biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f ) fonksiyonunun = a daki sağdan itinin M olduğudur.
3 .3. UÇ NOKTALARDA LİMİT 3 Limit Tanım.. f ) fonksiyonunun = a noktasında soldan ve sağdan itleri var ve birbirlerine eşit iseler, fonksiyonun = a da iti vardır ve = a noktasındaki iti M = K ortak değeridir. Bu durum simgesel olarak, f ) = L.3) a biçiminde gösterilir. Bunun anlamı şudur: = a daki sağ it ve sol it değerleri birbirlerine eşittir ve onların ortak değeri fonksiyonun = a noktasındaki itidir. f ) fonksiyonunun = a daki soldan iti sağdan itine eşit değilse fonksiyonun = a noktasında iti yoktur. Tabii, sol ve sağ itlerden birisi yoksa, eşitlik olamayacağı için, fonksiyonun o naktada iti zaten olamaz..3 Uç Noktalarda Limit Şekil.2: Uç Noktalarda Limit Genel olarak, fonksiyonun soldan.) ve sağdan.2) itleri var ve birbirlerine eşitseler, fonksiyonun = a noktasında iti vardır, denilir. Sol ve sağ itlerin ortak değeri fonksiyonun itidir. Varsa, fonksiyonun itini.2)rit) biçiminde göstereceğiz. Bazen incelenecek fonksiyon bütün mat hbbr yerine sınırlı bir aralıkta tanımlı olabilir. Böyle durumlarda fonksiyonun uç noktalarına ancak tek yönden yaklaşılabilir. O nedenle, uç noktalarda it ve sürekliliği ancak tek yönlü yaklaşımla tanımlayabiliriz.
4 4 BÖLÜM. LİMİT f fonksiyonu [a, b) aralığında tanımlı ve değerleri [c, d) aralığında olsun. Bu fonksiyon için a, f a)) noktası bir uç noktadır. değişkeni a noktasına ancak sağdan yaklaşabilir. Dolayısıyla, f fonksiyonunun = a noktasında sağdan iti varsa, bu it değerini f fonksiyonunun = a noktasındaki it değeri olarak kabul edeceğiz. Örneğimizde, = b noktasında fonksiyon tanımlı değildir, ama soldan iti olabilir. varsa soldan it, f nin iti olarak kabul edilir. Tabii, fonksiyon = b noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada fonksiyon sürekli olamaz. Bazı hallerde, kaldırılabilir süreksizliği var olabilir. Özetle, uç noktalardaki it ve süreklilik araştırılırken, yalnızca fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın var olan tarafından tek yönlü it alınır. Fonksiyonun bir noktada itinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Bu durumda, varsa soldan.) ve sağdan.2) itlerinin varlığından söz edilebilir. Sol ya da sağ itlerden birisi yoksa ya da var oldukları halde eşit değilseler, fonksiyonun = a noktasında iti yoktur..4 Karl Weierstrass ın Tanımı λ > 0 ve u gerçel sayılar olmak üzere u λ,u +λ) aralığına u nun λ komşuluğu u λ) u + λ) kümesine de u nun λ delik komşuluğu denilir. Burada delik komşuluk terimi, aralığın ortasındaki u noktasının kümeye ait olmadığı anlamına gelir. değişkeni a ya yaklaşırken f ) değerleri L ye yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun = a noktasında iti vardır ve bu it L dir denir. Bu tanım fiziksel bir algı yaratır, ama matematiğin istediği kesinliği vermez. Çünkü "yaklaşım" eylemi iyi tanımlı değildir. Onu herkesin aynı şekilde anlayacağı kesinliğe eriştirmek gerekiyor. Karl Weierstrass iti şöyle tanımladı: Tanım.2. f fonksiyonunun = a noktasında itinin olması için gerekli ve yeterli koşul, ϵ > 0 sayısına karşılık, değişkeni a nın delik δ komşuluğunda iken f ) değeri L nin ϵ komşuluğunda olacak biçimde bir δ > 0 sayısının varlığıdır. Buna bazen itin ϵ,δ) ile ifadesi denilir. Bu tanımın koşullarını şöyle açıklayabiliriz: L nin her L ϵ, L+ϵ) komşuluğuna karşılık, a δ) a+δ) olduğunda f ) L ϵ,l + ϵ) olacak biçimde a nın bir a δ) a + δ) delik komşuluğu vardır: a < δ f ) L, a)
5 .4. KARL WEİERSTRASS IN TANIMI 5 Limit tanımını, çoğunlukla, söylediklerimizi özetleyen şu simgesel biçemiyle kullanırız: Tanım.3. f ) = L a ϵ > 0) δ > 0) 0 < a < δ) f ) L < ϵ ) Bu tanımda f fonksiyonunun = a noktasında tanımlı olup olmaması önemli değildir. f a) hiç tanımlı olmayabilir, f a) L ya da f a) = L olabilir. Örnekler:. 2. dır. λ = λa.4) a p) = a n n + a n n + + a + a 0.5) polinomonun iti her a noktasında vardır ve dır. p) = pa).6) a 3. p) ve q) iki polinom ise qa) 0 olduğunda p) a q) = pa) qa).7) dır. 4. f ) = 2 +
6 6 BÖLÜM. LİMİT fonksiyonunun ssonsuza giderken itini yaklaşık değerlerle göstere: f 00) =.9802 f 000) =.9980 f 0000) =.9998 Buradan görüldüğü gibi, + iken fonksiyon değerleri 2 ye sınırsız yaklaşıyor. Şekil.3: Limit var; fonksiyon değeri var 5., < f ) = 2, = + 2, > Şekil.3 den sezilebileceği gibi, f ) = = L f fonksiyonu = noktasında tanımlıdır ve f ) = 2 dir. Bu değer fonksiyonun L = it değerine eşit değildir.
7 .5. LİMİT KURALLARI 7.5 Limit Kuralları olsun. f ) = L c g ) = M c Teorem.. λ bir sabit sayı ise dır. λ = λ.8) c Teorem.2. ise f ) = L c g ) = M c f ) ± g ) c c Teorem.3. f ) ± g ) = L ± M.9) c ise f ) = L c g ) = M c f ).g ) = f ). g )) = L.M.0) c c c Teorem.4.
8 8 BÖLÜM. LİMİT ise f ) = L c g ) = M 0 c f ) c g ) c f ) c g ) = L M.) Teorem.5. f ) = L c ve λ bir sabit ise λf ) = λ f )) = λl.2) c c Teorem.6. n N ve f ) = L c ise ) 2n+ f ) = 2n+ f ) c c ve a nın bir komşuluğunda a 0 ise ) 2n f ) = 2n f ) c c Teorem.7.
9 .5. LİMİT KURALLARI 9 n N ve ve ise f ) = L c ) n [f c )]n f ) = L n c Teorem.8..3) λ R ve ve ise f ) = L c c [λf ) ] = λ c f )) = λ L.4) Özetlersek, it için şu eşitlikleri yazabiliriz: λ = λ c f ) ± g ) = L ± M c Teorem.9. f ).g ) = L.M c f ) c g ) = L M 0) M λf ) = λl c 0 sin) 0 cos) = = 0 sin) = 0 cos) = 0 Alıştırmalar..
10 0 BÖLÜM. LİMİT Polinom:..6) kuralı gereğince, her n N) için a λn = λa n 2. Gene.6) kuralına göre, ) = Çarpanlara Ayırma. Bazen 0 0 belirsizliği oluştuğunda, mümkünse pay ve payda çarpanlara ayrılır. Varsa kısaltmalar yapılarak belirizlik yokedilebilir ) + ) + = ) + 2) + 2 = )3 + ) ) = ) 3 3 = 9
11 .5. LİMİT KURALLARI 5. ) 4 = = ) + 3)2 ) + 3) ) 2 = 3 2 = ) 4 [ ] [ ] = 2 6 = 3 3 Rasyonelleştirme:. Bazen köklü ifadelerde pay ve payda uygun çarpanlarla çarpılarak belirsizlik yok edilebilir. h h h h + 4. h h 0 h 4 + h ) 2 ) 2 + h 4 h 0 4 ) h + h h) 4 4 h 0 ) h + h + 4 h 4 h 0 ) h + h + 4 = 2 4 = 4 2. Yukarıdaki ifadeyi daha genel olarak düzenleyebiliriz:
12 2 BÖLÜM. LİMİT h 0 a + h a h h 0 h 0 a + h a a + h + a. h a + h + a a ) 2 ) 2 + h a a ) h + h + a a + h) a a h 0 ) h + h + a h a h 0 ) h + h + a = 2 a 3. 3 ) = = = 2 3 3) 3) + 3) ) 4. h h 2 = 3 = 8 + h değişken değiştirimi yapılırsa h h 2 2) ) h 2 = ) = )
13 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 3 Sonsuzdaki Limit bağımsız değişkeni ya da + iken f ), f ) g ) ya da f ) ) g ), f )g fonksiyonlarının yaklaştığı değerdir. Bu türlerde, a, a,, λδ, 0 0,,, 0, 0, durumları oluşabilir. İlk üç durmda ifade belirli sayılır: Birinci durum da it 0, ikinci durumda, üçüncü durumda λ δ Sonraki durumlar belirsiz ifadeler diye adlandırılır. Bu tür ifadelerin itlerini bulmak için genel geçerliği olan yöntem yoktur. Her probem için uygun çözüm yolları aranır. Çoğunlukla kullanılan yöntemler şunlardır:. Rasyonel ifadelerde it: p) = a n n + a n n a + a 0 q) = b m n + b m m b + b 0 f ) = p) q) verilmiş ise, p) 0 q) = p0) q0) = a 0 b 0 ve p), n > m, q) = a n b m, n = m 0, n < m.6 Rasynel Fonksiyonlarda Limit. Örneğin, ± = ± = ± = 0
14 4 BÖLÜM. LİMİT Şekil.4: Sonsuzda Limit
15 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT ± ± ± ± = = n n 2 nn+) 2 n 2 nn + ) 2n 2 + n 2 = ) ) + ) ) + = + 0 =
16 6 BÖLÜM. LİMİT Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum. 2 + ± ± ± ± = = 0 = Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti. ± ± ± ± = = ± ) = = 2
17 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 7 Şekil.5: Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti
18 8 BÖLÜM. LİMİT = 0 = ± ) + 2) + 2) = 4 2 2) 2 5. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: 4 2 ) ) ) + 2 ) 4 4 ) + 2 ) = 6. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: = = 2 tanımsızlığı vardır. Tanımsızlık yokedilemez, li- 7. Aşağıdaki problemde 5 0 mit 5 2 = ) h 0 h + h Alıştırmalar.2.
19 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT e/ ) 0 + Grafiği Şekil.6 gibi olan f fonksiyonu ). = 4 noktasında tanımlı değildir f ) = f ) olduğundan it var ve değri 2 dir. 3. Fonksiyon değeri olmadığında = 4 noktasında fonksiyon süreksizdir. 4. = noktasında f ) = 2 ve + f ) = 4 olduğundan it sol ve sağ itler birbirlerinden farklıdır. Dolayısıyla it yoktur ve fonksiyon = noktasında süreksizdir. 5. = 6 noktasında fonksiyon tanımlıdır ve f 6) = 2 dir. Oysa bu noktada 6 f ) = f ) olduğundan, sağ ve sol itler var ve birbirlerine eşittir. Fonksiyonun iti 5 ortak değeridir. Ama bu noktada f 6) 5 olduğundan fonksiyon süreksizdir.. Grafiği Şekil.7 gibi olan f fonksiyonu, a) = noktasında sol ve sağ itleri var ve farklı olduğu için, fonksiyon sıçrayan bir süreksizliğe sahiptir. Sol it, sağ it 2 dir. b) = noktasında sğ ve sol itler eşittir ve ortak değerleri olan 2 fonksiyonun itidir. Bu noktada fonksiyon değeri f ) = 3 olarak tanımlanmıştır. Limit değeri fonksiyon değerinden farklı olduğu için fonksiyon = noktasında süreksizdir. c) = 2 noktasında sol it 3, sağ it in f t y olmaktadır. Bu noktada sağ it yok sayılır. Dolayısıyla fonksiyonun iti yoktur, fonksiyon süreksizdir.
20 20 BÖLÜM. LİMİT Şekil.6: Limit 2. Grafiği Şekil.8 gibi olan f fonksiyonu için, a) = 2 noktasında sol ve sağ itler var, birbirlerinden farklıdır, Fonksiyonun = 2 noktasında iti yoktur. b) f 2) = 2 tanımlıdır. c) Limit olmadığı için fonksiyon = 2 noktasında süreksizdir. 3. Grafiği Şekil.9 gibi olan f fonksiyonu için, a) = 2 noktasında fonksiyon tanımsızdır. b) = 2 noktasında sol ve sağ itler var ve birbirleine eşittir. Dolayısıyla it var. c) = 2 noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için süreksizdir. 4. Grafiği Şekil.0 gibi olan f ) = fonksiyonu için, a) f 0) tanımlı değildir. [Analiz sonsuz değerleri incelemez.] b) 0 = ve 0 + = + olduğundan sol ve sağ itler yoktur. Dolayısıyla fonksiyonun iti yoktur.
21 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 2 Şekil.7: Limit Şekil.8: Limit
22 22 BÖLÜM. LİMİT Şekil.9: Limit c) Limiti olmadığı için fonksiyon süreksizdir. 5. Grafiği Şekil. gibi olan f ) fonksiyonu için, a) f a tanımsızdır. b) sol ve sağ itler var ve ortak değerleri A ya eşittir. c) Fonksiyon tanımsız olduğu için = a noktasında süreksizdir Grafiği Şekil.3 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = 3 noktasında sol iti l sağ iti l 2 dir. Bu değerler farklı olduğu için it yoktur. b) Limiti olmadığı için = 3 noktasında fonksiyon süreksizdir. 8. Grafiği Şekil.4 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir.
23 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 23 Şekil.0: Limit Şekil.: Limit
24 24 BÖLÜM. LİMİT Şekil.2: Limit Şekil.3: Limit
25 .6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 25 b) Limiti var ve için f a) = L noktasında fonksiyon süreklidir. Şekil.4: Limit 9. Grafiği Şekil.5 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir. b) Limiti var ama için f a) = m değerinden farklı olduğu için fonksiyon süreksizdir. Şekil.5: Limit
26 26 BÖLÜM. LİMİT 0. Grafiği Şekil.6 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir. b) Limiti var ama için f a) = L eşitliği olduğu için fonksiyon süreklidir. Şekil.6: Limit. Grafiği Şekil.7 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti sağ iti + dir.sol ve sağ itler yoktur b) Fonksiyon bu noktada süreksizdir..7 Belisiz Şekiller Aşağıdaki örneklerde 0 0,,, 0., 00,, 0 belirsiz şekilleri için it bulma yöntemleri açıklanmıştır. Bu tür problemlerin çözümü için izlenen genel yöntem, verilen fonksiyon üzerinde, fonksiyon değerini değiştirmeyen uygun işlemler yaparak belirsizliği yoketmektir.. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için 3 = 8 + h değişken değiştirimini yapalım: h 0 iken 2 olduğunu düşü-
27 .7. BELİSİZ ŞEKİLLER 27 Şekil.7: Limit nünüz h h ) = ) = 2 2. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için paydanın eşleniği ile çarpalım:
28 28 BÖLÜM. LİMİT t t 4 + t + 4 t) t t 4 t t t 4 t) 4 + t + 4 t) t 4 + t + 4 t) t) 4 t) t 4 + t + 4 t) 0 2t = 4 2 = 2 3. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için pay ve paydayı en yüksek dereceli in parantezine alarak mümkün kısaltmaları yapıyoruz: ) ) ) 2 = 4 = 0 4. Aşağıdaki problemde 0. belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifa-
29 .7. BELİSİZ ŞEKİLLER 29 deyi düzenleyip köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım: ) ) + + ) ) + ) ) ) = + ) = 2 5. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem.7 yi uygulanabilir hale getire: ) ) [ + ) ] 2 = e 2 = e 2 6. Aşağıdaki problemde = belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleye:
30 30 BÖLÜM. LİMİT 2 + = 2 + ) , < 0) Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleye: = ) , > 0) Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem.7 yi uygulanabilir hale getire:
31 .7. BELİSİZ ŞEKİLLER 3 ) ) [ + ) ] 2 = e 2 = e 2 9. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye: L f ) ) ) ) )) ) ) ) = ) ) = 4 2 = 2 0. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye:
32 32 BÖLÜM. LİMİT L 2 e ln 2 = e = e = e = 0 ln ) L hospital kuralı). Aşağıdaki problemde 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye: L ) e ln = e ln = e = e 0 = L hospital kuralı) ) + 3) ) 2 = 5.8 Trigonometrik Fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerin itlerini alırken, bazen uygun değişken değiştirimi ya da trigonometrik fonksiyonların yerine denk ifadeleri koyma çözüme götürebilir.
33 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 33 sin = 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: açısı radyan cinsinden M A ise 0 < < π 2 iken sin < < tan olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz: sin < < tan sin sin < sin < tan sin < sin < sin sin.cos = cos 2. Son eşits,zliklerde 0 iken cendere kuralını uygularsak, çıkar. 0 cos = 0 sin = sin = 0 sin5 = 5 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: 0 sin5 ) 5 sin5 0 5 = 5 0 = 5 sin5 5 ) ) = sina) = a 0 b b
34 34 BÖLÜM. LİMİT olduğunu gösteriniz. Çözüm: sina) 0 b 0 = a b a b ) 0 sina) a ) = a b. 4. tana) = 0 a olduğunu gösteriniz. Çözüm: tana) sina) 0 a 0 a = cosa) ) =. 5. tana) 0 tanb) = a b olduğunu gösteriniz. Çözüm: tana) 0 tanb) 0 = a b a b ). 0 ) tana) a tanb) b 6. t sint) 0 cost) = 2 olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Paydanın eşleniği ile çarpılıp bölünürse,
35 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 35 t sint) t sin tcos t + ) = cost) cos t )cos t + ) t sin tcos t + ) = sin 2 t) = t cos t + ) sin t 7. Buradan it alınırsa, [ t sint) cost) t 0 sint) çıkar. = 2 )] [. cos a cosb) 0 2 = b2 a 2 2 olduğunu gösteriniz. cost) + ) 0 ] = ).2 Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, 8. cos a cosb) 2 = 2 b2 a 2 ) a 4 b 4 ) b 6 a 6 ) +O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. cos a cosb) 0 2 [ 0 2 b2 a 2 ) a 4 b 4 ) b 6 a 6 ) +O 6) ] = b2 a 2 2 e ) = 0
36 36 BÖLÜM. LİMİT olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e ) = O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. e ) [ O 6) ] = 9. e a e b = a + b 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e a e b = a + b) + 2 a2 b 2 ) a 3 + b a 4 b 4 ) a 5 + b 5 ) a 6 b 6 ) +O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. 0 e a e b = 0 [a + b) + 2 a2 b 2 ) + 6 ] 2 a 3 + b 3 [ a 4 b 4 ) a 5 + b 5 ) a 6 b 6 ) +O 6) ] = b a
37 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR ) + 3) ) ) 9 9) +9) 9 9 9) +9) > 9 < 9 = ± 6 it yok, ama sol ve sağ itler var ) ) = 6 2 = 3 çıkar ) ) = 2 = 0 çıkar. 3. çıkar ) ) = 2 =
38 38 BÖLÜM. LİMİT ) ) ) ) 6 3 ) ) 2 = 6 = 6 çıkar. 5. ) ) +. + ) ). 0 + ) ) = + 2 çıkar. 6. çıkar ) + 3) ) = 4
39 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR çıkar )ln + ) ln +4 + ) 3 ) 33 ) ) + ) = 9 ) + 4 L 3 )ln + ) ) ln + u) = +4 + ve v) = 3 diye. u).v) = λ = + u))v) = e λ sonucunu kullanarak ) + 4 L 3 )ln + ) ) ln + çıkar. = L ) 2 + 2) 6) 2 + 2) ) 2 + 2) 6) ) 2 6) = 24 8 = 3
40 40 BÖLÜM. LİMİT 20. çıkar. çıkar ) ) 2 ) ) 4 6 2)) ) + ) ) = 6 8) = Aşağıdaki it bulunurken L u) = 0 = u) u) = e u) v) 0 u) 0 v) eşitlikleri kullanılmıştır. çıkar. L 0 e + ) e e = e 0 = e [ = e.e = e ) e ) ) e [ + ) e e + ) e e ] e ] 0 e 22. u = u) ile v = v) fonksiyonları sürekli türetilebilir ve u).v) = λ ise
41 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 4 + u))v) = e λ bağıntısı vardır. Kanıt: Limiti alınacak ifadenin doğal logaritmasını alırsak, ln f ) = v)ln + u)) ln + u) = v) iken yukarıdaki ifade 0 0 belirsiz biçimini alır. O halde l Hospital Kuralı uygulanabilir: ln f ) ln[ + u)]v) v).ln[ + u)] ln[ + u)] v) u ) [+u)] v ) v 2 ) ) + 3) ) ) 9 9) +9) 9 9 9) +9) > 9 < 9 = ± 6 it yok, ama sol ve sağ itler var ) ) = 6
42 42 BÖLÜM. LİMİT ) = ) ) ) = ) 2 4) ) = L 0 + ) 5 + 5) ) 5 + 5) = ) ) ) ) ) 0 + 0) = L )) 2 2) + 2) 2 + 2) = 4
43 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR sin 2 L 0 sin 0 sin 0 = ).0) = 0 ) sin ) 0 sin ) 30. sin 2 L 0 2 ) sin sin 0 ) ) sin sin 0 0 = ).) = 3. ) L π + t an 2 6 ) π 6 + sin2 cos 2 cos 2 ) π 6 cos 2 + sin 2 ) 2 3 = 2 = 3 4
44 44 BÖLÜM. LİMİT 32. L 2sec 2 ) π 4 ) 2 π cos 2 4 ) 2 2 π 4 2 ) 3/2 = /2 = L cot + csc ) π 3 cos π sin + ) sin 3 ) cos + π sin 3 ) 3/2 = 2 3 = )) L sin 0 ) sin 0 0 ) = L n n = olduğunu gösretiniz. L n ) n ) n ) = n = 0 =
45 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR L n 0 sin = olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometrik oran ve uzunluklarla çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: sin L n 0 cos n 0 cos n 0 = 37. L n 0 cos = 0 olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometride yarım açı formülleri ile doğrudan çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: cos L n 0 sin n 0 sin n 0 = L n 0 e = olduğunu gösretiniz. Çözüm: e seriye açılarak çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: e L n 0 e n 0 e n 0 = e 0 = 39. L ) n ln = olduğunu gösretiniz.
46 46 BÖLÜM. LİMİT Çözüm: Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: ) L n ln ) n n = 40. Aşağıdaki iti hesaplayınız. 2 4 L n 2 2 2) + 2) n n 2 = 4 4. Aşağıdaki iti hesaplayınız. 2 L n n 4 2 )2 + ) n 4 [ 2 + )] = Aşağıdaki iti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: sin3 L n 0 ) cos3 3 n 0 n 0 3cos3) = 3
47 .8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Aşağıdaki iti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: cos L n 0 2 ) sin 3 n 0 2 cos ) 3 n 0 2 = e a e b ) = b a olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: ) e a e b L 0 ) ae a b)e b 0 ae 0 b)e 0 ) 0 = b a a b ) = ln ab olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: a b ) L 0 ) e ln a e lnb 0 ) ln ae ln a lnbe lnb 0 0 ln ae 0 lnbe 0 ) = ln a lnb = ln a b
48 48 BÖLÜM. LİMİT
9 B ol um Türevin Uygulamaları
2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu
DetaylıÇözümlü Limit ve Süreklilik Problemleri
Bölüm 5 Çözümlü Limit Süreklilik Problemleri. 2 fonksiyonunun tanım bölgesini = noktasındaki itini bulunuz. Paydanın 0 değerini aldığı = noktasında fonksiyon tanımlı değldir. Tanım bölgesini T (f ) ile
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam
DetaylıANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600
DetaylıLİMİT. lim f(x) = L yazılır. lim. lim x a dır. lim g( clim
LİMİT I. TANIM:, a yakınındaki değerleri için tanımlı bir onksiyon olsun. Alınan ε> sayısına karşılık -L < ε olacak şekilde -a < δ koşulunu sağlayan δ > sayısı bulunabiliyorsa ;, a ya yaklaşırken, L ye
DetaylıSÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları
SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
DetaylıTürev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi
1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.
DetaylıLĐMĐT ÖSS ÖYS YILLAR SAĞDAN VE SOLDAN LĐMĐT. ÇÖZÜM: x=2 f(x) de yerine yazılır cevap:7
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS ÖYS LĐMĐT Tanım : Bir x0 A = [ a,b ] alalım, f: A R ye veya f: A - { x 0 } R ye bir fonksiyon olsun. Terimleri A - { x 0 } kümesine ait ve x
DetaylıTÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Rasyonel Fonksiyonlar 5 Bibliography 35 Inde 39 Rasyonel Fonksiyonlar Polinomlar Yetmez! Bölme
DetaylıAralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer
ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile
DetaylıBir değişkenin bir sabite mümkün olduğu kadar çok yaklaşması durumu ancak onun limitiyle ifade edilebilir.
LİMİT VE SÜREKLİLİK A- LİMİTLER Bir top 10 metre yükseklikten bırakılmaktadır. Top yere vurduktan sonra ilk yüksekliğin 2/5 i kadar sıçramakta ve bunu her yükseliş için devam ettirmektedir. Topun sıçrayacağı
DetaylıTürev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm
DetaylıMustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü
* Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q
Detaylıİç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
DetaylıÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler
ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıx e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.
TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki
DetaylıTRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI
DetaylıŞekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
DetaylıFonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz.
8.2. Fonksiyonlarda Limit Fonksiyonlarda limiti öğrenirken değişkenlerin limitini ve sağdan-soldan limit kavramlarını öğreneceksiniz. 8.2.1. Değişkenin Limiti Sonsuz sayıda değer alabilen bir x değişkeninin
Detaylı12. SINIF. Ağırlık (%) SAYILAR VE CEBİR ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR Üstel Fonksiyon 1 8 4
12. SINIF No Konular Kazanım Sayısı Ders Saati Ağırlık (%) 12.1. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR 6 36 17 12.1.1. Üstel Fonksiyon 1 8 4 12.1.2. Logaritma Fonksiyonu 3 18 8 12.1.3 Üstel, Logaritmik Denklemler
DetaylıDERS: MATEMATİK I MAT101(04)
DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de
DetaylıProjenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması
Projenin Adı: Trigonometrik Oranlar için Pratik Yöntemler Projenin Amacı: Çok kullanılan trigonometrik oranların farklı ve pratik yöntemlerle bulunması GİRİŞ: Matematiksel işlemlerde, lazım olduğunda,
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? Örnek...4 : Genel terimi w n. Örnek...1 : Örnek...5 : Genel terimi r n
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler değer kümelerine göre adlandırılırlar. Dizinin değer kümesi
DetaylıTÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1
TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
DetaylıMil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi ye Ku ru lu Baş kan lı ğı nın 24.08.2011 ta rih ve 121 sa yı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve 2011-2012
Mil li Eği tim Ba kan lı ğı Ta lim ve Ter bi e Ku ru lu Baş kan lı ğı nın.8. ta rih ve sa ı lı ka ra rı ile ka bul edi len ve - Öğ re tim Yı lın dan iti ba ren u gu lana cak olan prog ra ma gö re ha zır
Detaylıbiçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir. Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun dereces
TANIM n bir doğal sayı ve a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n birer gerçel sayı olmak üzere, P(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n 1 x n 1 +a n x n biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel)
DetaylıİÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel
Detaylı28/04/2014 tarihli LYS-1 Matematik-Geometri Testi konu analizi SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 / 31
SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 11 32159 Rasyonel sayı kavramını açıklar. 2 12 32151 İki ya da daha çok doğal sayının en büyük ortak bölenini ve en küçük ortak katını bulur.
DetaylıÖ.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ
Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i
DetaylıFonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini
Detaylı(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
DetaylıPolinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma TEST D 9. E 10. C 11. B 14. D 16. D 12. C 12. A 13. B 14.
1. Ünite: Polinomlar Polinomlar, Temel Kavramlar, Polinomlar Kümesinde Toplama, Çıkarma, Çarpma 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Polinomlarda Bölme, Bölüm ve Kalan Bulma 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DetaylıTÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.
Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.
Detaylıfonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Detaylıİçindekiler 3. Türev... 3.1 Türev kavramı.. 001 3.2 Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 003. Alıştırmalar 3 1...
İçindekiler. Türev......... Türev kavramı.. 00. Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi. 00. Alıştırmalar.... 005. Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sağdan türevi..... 006.4 Bir fonksiyonun bir noktadaki
DetaylıMatematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.
- 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle
Detaylıf fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.
Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı
DetaylıÖrnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?
DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
DetaylıİÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 KÜMELER Bölüm 2 SAYILAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 KÜMELER 11 1.1. Küme 12 1.2. Kümelerin Gösterimi 13 1.3. Boş Küme 13 1.4. Denk Küme 13 1.5. Eşit Kümeler 13 1.6. Alt Küme 13 1.7. Alt Küme Sayısı 14 1.8. Öz Alt Küme 16 1.9.
Detaylıπ a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu
DetaylıCahit Arf Matematik Günleri 10
Cahit Arf Matematik Günleri 0. Aşama Sınavı 9 Mart 0 Süre: 3 saat. Eğer n, den büyük bir tamsayı ise n 4 + 4 n sayısının asal olamayacağını gösteriniz.. Çözüm: Eğer n çiftse n 4 +4 n ifadesi de çift ve
DetaylıBu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
Detaylı7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)
7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile
DetaylıBÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14
İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıÖZEL KONU ANLATIMI SENCAR Başarının sırrı, bilginin ışığı
GENİŞLETİLMİŞ GERÇEL SAYILARDA LİMİT R = Q I küsin Rl Sayılar Küsi dniliyor. Rl Sayılar Küsid; = Tanısız v = olduğunu biliyorduk. -- R = R { -, + } gnişltiliş grçl sayılar küsind: li = -, - = -, li = +
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13 1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük
Detaylı1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol
ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.
DetaylıOrtak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI
Ortak Akıl LYS MATEMATİK DENEME SINAVI 0505- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barbaros GÜR Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN
DetaylıTrigonometrik Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik
DetaylıCebirsel Fonksiyonlar
Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş
DetaylıT I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A
T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents 1 İyi Sıralama 5 Bibliography 13 1 İyi Sıralama Well Ordering İyi sıralama kavramı, doğal sayıların
Detaylı1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
Detaylı1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Detaylıfonksiyonu, her x 6= 1 reel say s için tan ml d r. (x 1)(x+1) = = x + 1 yaz labilir. Bu da; f (x) = L
Limit Bu bölümde, matematik analizde temel bir görevi olan it kavram incelenecektir. Analizdeki bir çok problemin çözümünde it kavram na gereksinim duyulmaktad r. Bunlardan baz lar ; bir noktada bir e¼griye
DetaylıBÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.
- TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken
DetaylıSoru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.
İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.
DetaylıPERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR
2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve
DetaylıTürev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız
Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek
DetaylıYeşilköy Anadolu Lisesi
Yeşilköy Anadolu Lisesi TANIM (KONUYA GİRİŞ) a, b, c gerçel sayı ve a ¹ 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Bu açık önermeyi
DetaylıAYT 2018 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ. ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. 1 ai i a i 1 ai ai i. 1 ai ai 1 ai ai 0 2ai a 0 olmalıdır.
AYT 08 MATEMATİK ÇÖZÜMLERİ ai i İçler dışlar çarpımı yapalım. ai ai i ai ai aii ai ai ai ai 0 ai a 0 olmalıdır. Cevap : E 8 in asal çarpanları ve 3 tür. 8.3 3 40 ın asal çarpanları ve 5 tir. 40.5 İkisinde
DetaylıMAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi
MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................
DetaylıİKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden
DetaylıÜNİTE MATEMATİK-1 İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI. Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK. Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÜSTEL VE LOGARİTMA FONKSİYONLARI Üstel Fonksiyon Logaritma Fonksiyonu MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu ünite çalışıldıktan sonra, Üstel fonksiyonun tanımı öğrenilecek Üstel fonksiyonun
DetaylıElemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DetaylıA A A A A A A A A A A
LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte 5 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. - - ^- h + c- m - (-5 )-(- ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) 5 E).
Detaylı[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1
..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar
DetaylıÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler
DetaylıFonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti
Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini
DetaylıMATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev
MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri
DetaylıMAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM
TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için
Detaylı12. SINIF. Fonksiyonlar - 1 TEST. 1. kx + 6 fonksiyonu sabit fonksiyon olduğuna göre aşağıdakilerden hangisidir? k. = 1 olduğuna göre k. kaçtır?
. SINIF M Fonksionlar. f ( + a ) + vef( ) 7 olduğuna göre a kaçtır? E) TEST. f ( ) k + 6 fonksionu sabit fonksion olduğuna f ( ) göre aşağıdakilerden k E). f( ) 6 k ve f ( ) olduğuna göre k kaçtır? E)
DetaylıDenklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,
Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli
DetaylıEĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ 12.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI 12.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU
08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Detaylı8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I
8 LAURENT SER I GÖSTER IMLER I Tan m. C n ; n 0; ; ; : : : kompleks sabitler olmak üere serisine Laurent serisi denir. Burada n X C n ( X X X C n ( 0 ) n a n ( 0 ) n b n + ( 0 ) n 0 ) n dir. Teore8.. (Laurent
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylı12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33
-B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
DetaylıC E V A P L I T E S T ~ 1
C E V A P L I T E S T ~. 5. () 7 ( ).( ) A) B) C) 0 D) E) A) B) C) 0 D) E). 6. 5 A) 0 B) C) D) E) A) B) C) D) E) 5. b b ab a a A) B) a C) b D) b E) 7. ( 5 ) A) B) C) 0 D) E). 9 8. 5 8 A) B) 0 C) D) E)
DetaylıDİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ
ÖSS MATEMATİK TÜREV FASİKÜLÜ GRAFİK ÇİZİMİ Bir fonksiyonun denklemi verilip grafiği istendiğinde aşağıdaki yolu izlemeliyiz. ) Fonksiyonun en geniş tanım kümesi bulunur. ) ± için fonksiyonun limiti bulunur.
DetaylıTest 16. 1. Teorem: a R ve a 1 ise 1 1. 4. İddia: 5 = 3 tür. 2. Teorem: x Z ve. Kanıt: Varsayalım ki, 1 olsun. a 1
Test 6. Teorem: a R ve a ise a dir. Kanıt: Varsayalım ki, olsun. a a olduğundan a 0 dır. Bu durumda, eşitsizliğin yönü değişmeden, a a olur. Demek ki, a a dir. Fakat bu durum a hipotezi ile çelişmektedir.
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıBÖLÜM 1. stanbul Kültür Üniversitesi. Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram. ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir.
BÖLÜM 1 0, Q 1. f() = 1, R/Q, Fonksiyonlar - Özellikleri ve Limit Kavram ³eklinde tanmlanan fonksiyona Dirichlet fonksiyonu ad verilir. Buna göre a³a da verilen tanm bölgeleri altnda görüntü cümlelerini
DetaylıMAT MATEMATİK I DERSİ
MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital
Detaylı8.04 Kuantum Fiziği Ders X. Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler.
Schrödinger denklemi Schrödinger denk. bir V(x) potansiyeli içinde bir boyutta bir parçacığın hareketini inceler. Köşeli parantez içindeki terim, dalga fonksiyonuna etki eden bir işlemci olup, Hamilton
DetaylıMAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 2. yapılırsa bu durumda θ ya z nin esas argümenti denir ve Argz ile gösterilir. argz = Argz + 2nπ, n Z
MAT355 Kompleks Fonksiyonlar Teorisi I Hafta 1.. Kutupsal Formda Gösterim z x + iy vektörünün pozitif reel eksenle yaptığı açıya θ diyelim. cos θ x, sin θ y ve buradan tan θ y θ arctan y olup θ ya z z
Detaylı1. Hafta Uygulama Soruları
. Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıY = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr.
MATEMATİK I (12. BASKI) Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin TİN MATEMATİK I DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ YAYINLARI NO:89 Prof. Dr. A. Nihat BADEM Yrd. Doç. Dr. Ali Tekin
Detaylı