FİZ217 TİTREŞİMLER VE DALGALAR DERSİNİN 2. ARA SINAV SORU CEVAPLARI

Transkript

1 1) Gerilmiş bir ipte enine titreşimler denklemi ile tanımlıdır. Değişkenlerine ayırma yöntemiyle çözüm yapıldığında için [ ] [ ] ifadesi verilmiştir. 1.a) İpin enine titreşimlerinin n.ci modunu tanımlayan fonksiyonunu belirleyelim. (İp başlangıçta hareketsizdir. (Bu sorunun cevabı ders notlarından alınmıştır) Başlangıç ve sınır koşulları : i) Başlangıçta hareketsiz: Bağlı uçta titreşim olmaz, o nedenle ve de olmalıdır. ii) iii) i ) koşulundan : [ ] olabilmesi için olmalıdır. Bu durumda çözüm ifadesi ii) koşulundan : [ ] [ ] olur. Bunun olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. Bu durumda olacaktır. iii) koşulundan : ( ) ( ) ( ), olduğuna göre, olmalıdır. Buradan veya, 1

2 İki ucu bağlı ip özel durumu için dalga denkleminin çözümü [ ], olacaktır. 1.b) n. modun titreşim frekansı: ( ) olduğunu biliyoruz. Burada ( ) ifadesi size verilmiştir. değerlerini yerine koyarak, birinci ve ikinci modun frekansını bulalım. ( ) ( ) 1.c) ci modun dalga boyu 'yi tanımlayabiliriz: İki ucu bağlı bir ipte oluşan ilk iki titreşim modunun şekli aşağıda verilmiştir. x = 0 x = L n=1 n=2 2) Boyca kütle yoğunluğu µ ve gerilimi T olan bir ip boyunca pozitif x-ekseni yönünde ilerleyen sinüzoidal dalga ifadesi ile tanımlıdır. (Sorunun cevabının tamamı ders notlarından alınmıştır ayrıca sorunun çözümünde ihtiyaç duyulan tüm eşitlikler size verilmiştir). 2.a) Bu dalganın bir dalga boyluk ( ) kesiminin taşıdığı kinetik enerjiyi bulalım: İp üzerinde elemanının kinetik enerjisi için ( ) eşitliği size verildi. İlk olara enine titreşim hızını bulalım: İp üzerinde seçilen elemanın kütlesi olacaktır. Bu küçük parçanın kinetik enerjisi ( ) 2

3 olacaktır. Şimdi bir dalga boyu kadar uzunluğunda ipin kinetik enerjisi için 2.b) İp üzerinde bir diferansiyel elemanın potansiyel enerjisi ise (7) ifadesinden ( ) (bu eşitlik size verildi). ifadesi yerine konulursa, [ ] dir. Buradan bir dalga boyu ( ) içindeki potansiyel enerji için ( ) 2.c) Bu dalganın bir dalga boyluk ( ) kesiminin taşıdığı toplam enerjiyi bulalım: 3) (Bu sorunun çözümü tamamen ders notlarından alınmıştır.) Boyca kütle yoğunlukları ve olan ipleri noktasında birleşmektedir. 3.a) İki ortamdaki dalga sayısı, hız ve frekanslar arasındaki ilişkiler: Ortam değiştiğinde dalganın hızı ve dalga boyu değişirken frekansı sabit kalır. ; ; Gelen dalga :, Yansıyan dalga : Geçen dalga : 3.b) Sol taraftaki bileşke dalga : Sağ taraftaki bileşke dalga : 3

4 i) noktasında iplerdeki enine yer değiştirmeler eşit olmalıdır: veya olur. Buradan da, gelen, yansıyan ve geçen dalgaların genlikleri arasında eşitliği elde edilir. (1) ii) noktasında ipler üzerindeki gerilme kuvveti (enine kuvvetler) eşit olmalıdır ve noktasındaki eğimler de eşit olmalıdır (tüm zamanlarda). Elde edilen (1) ve (2) denklemlerini yeniden yazarsak (1) (2) (2) (1) denklemini ile çarpalım ve 2- denklemi ile taraf tarafa toplayalım: Buradan (3) yazabiliriz. (1) denkleminden (3) denklemini burada kullanırsak (4) İpteki dalganın ilerleme hızının olduğunu biliyoruz. Buradan 4

5 Birleşme noktasında dalgaların açısal frekansı ve ipteki gerileme kuvveti eşit olacağından ve Bu değerleri (3) ve(4) denkleminde kullanarak YANSIMA KATSAYISI (5a) GEÇME KATSAYISI (5b) 3.c) i) Sıfır Karşı Koyma Eğer ise (, ipin 'daki ucu bir serbest uçtur. O zaman ipin eğimi noktasında sıfır kalır. Bu durumda ve olur. İpin 'daki hızı, bu noktada kusursuz dalga direnci denkleşmesi olduğu zamanki hızın iki katına eşit olur. Artı yer değiştirmeli olarak gelen puls (veya dalga) yansıdıktan sonra da bir artı yer değiştirmeli puls (veya dalga) olarak geri döner. ii) Kusursuz dalga direnci (empedans) denkleşmesi. Eğer ise yansıyan dalga yoktur yani dır. Gelen dalganın tamamı aynı fazda ve aynı genlikte geçer. Geçirme katsayısı olur. iii) Sonsuz Karşı Koyma Eğer ise dir. olur. Gelen dalga ile eşit büyüklükte, eksi genlikli bir yansımış dalga oluşturur. 4) Boşlukta yayılan bir elektromanyetik dalganın elektrik alan vektörü (SI-birim sisteminde) dir. 4.a) Bu dalganın yayılma yönü : yayılma hızı : frekansı : dalga boyu : genliği : kutuplanması : x-doğrultusunda doğrusal kutuplu ( xz-düzleminde düzlemsel kutuplu) 5

6 FİZ217 TİTREŞİMLER VE DALGALAR DERSİNİN 2. ARA SINAV SORU CEVAPLARI b) Bu elektromanyetik dalganın manyetik alan bileşeni: ya da : 4.c) Bu dalganın poynting vektörü: 4.d) Sorunun çözümünde kullanılan tüm eşitlik ve integraller size verildi. 5.a) Grup hızı: olduğunu biliyoruz (. Bu durumda olduğuna göre Bunu denklem (16) da yerine koyarsak, ( ) elde ederiz. (Bu kısım ders notlarından aynen alınmıştır) 5.b) (a) şıkkında elde edilen ifadede yer alan türev işlemini şeklinde olduğuna göre, elde edilir. Bu ifadeyi yerine koyarsak, ( ) elde edilir. 6