KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT"

Transkript

1 KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. Kümelerde İşlemler 1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.

2 KÜMELER Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir. Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Kümeler, genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle, elemanları da a, b, c, x, y,... gibi küçük harflerle gösterilir. a bir A kümesinin elemanı ise a A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b A biçiminde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır. Örneğin, bir basamaklı asal sayıların kümesi {2, 3, 5, 7 } biçiminde gösterilir. Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına konularak yazılmasıdır. Örneğin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn şeması ile çeşitli şekillerde gösterimi aşağıdakiler gibidir. A A A Ortak Özellik Yöntemi: {x : x elemanlarının ortak özellikleri} veya {x x elemanlarının ortak özellikleri } biçimlerinde kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile gösterilmiştir. Ayrıca : veya sembolleri öyle ki anlamına gelmektedir. Örneğin, bir basamaklı asal sayılar kümesi A = { x : x asal sayı ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir. 10

3 Eleman Sayısı Bir A kümesinin elemanlarının sayısı s(a) veya n(a) şeklinde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise s(a) = 5 tir. Boş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir. Eşit Küme Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir. Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {x : 1 x 4, x Z } kümeleri için A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4} olduğundan A = B dir. { Ø } kümesi bir elemanlı bir küme olup boş küme değildir. ÖRNEK 1 A = {x : 3x 1 = 6 ve x tam sayı} kümesi boş küme midir? ALT KÜME A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A şeklinde gösterilir. Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine öz alt kümesi denir. Küme Alt Kümeleri Alt küme say s Öz alt küme say s Sonlu ve Sonsuz Küme Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir. A = {x : x < 6 ve x N} kümesinin eleman sayısı tespit edilebildiğinden bu küme sonlu bir kümedir. Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlı küme denir. Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı kümeye birer örnektir. ÖRNEK 2 A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doğal sayı} kümeleri sonlu mudur? A = { } B = {a} C = {a,b} { }, {a}, {a}, {b}, {a, b}, {a}, {b}, {c}, {a, b} 1 = = = D = {a,b,c} {a, c}, {b,c}, {a,b,c} 8 = n elemanlı bir kümenin; Alt küme sayısı 2 n dir. Öz alt küme sayısı 2 n 1 dir r elemanlı alt kümelerinin sayısı n n! f p = dir. r ( n r)!. r! n n n f p + f p f p = 2 n dir. 0 1 n Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. 11

4 ÖRNEK 3 A = {1, 2, 3} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız. ÖRNEK 7 A = {x : 1 < x < 6, x tam sayı} kümesinin, a. Eleman sayısı kaçtır? b. Alt küme sayısı kaçtır? c. Öz alt küme sayısı kaçtır? d. 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? e. 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 4 A = {a, {a, b}} kümesinin öz alt kümelerini yazınız. Bu kümeler kaç tanedir? ÖRNEK 5 Aşağıdakilerden hangileri A = {1, 2, {1}, {2, 3}} kümesinin alt kümesidir? a. {1} b. {2} c. {{1}} d. {3} e. {1, {1}} f. {2, 3} g. {2, {1}} h. {1, 2, 3} ÖRNEK 8 İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 28 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK 6 Alt küme sayısı 32 olan küme kaç elemanlıdır? 12

5 ÖRNEK 9 Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 12 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a elemanı bulunmaz? b. a elemanı bulunur? c. a elemanı bulunur fakat b elemanı bulunmaz? ÖRNEK 10 s(a) = 6 olmak üzere, A kümesinin; a. En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b. En az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ÖRNEK 11 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 } olmak üzere, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? 13

6 ÖRNEK 13 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunur? b. a veya b elemanları bulunur? ÖRNEK 15 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunmaz? b. a veya b elemanları bulunmaz? ÖRNEK 14 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur; ama 7 bulunmaz? ÖRNEK 16 Alt küme sayısı ile öz alt küme sayıları toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır? 14

7 ALIŞTIRMALAR Aşağıda liste biçiminde gösterilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız. a. A = {1, 2, 3, 4, 5 } b. B = {Pazar, Pazartesi, Perşembe } c. C = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } d. D = {a, e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü } 6. Aşağıdaki kümelerden sonlu, sonsuz ya da boş küme olanları belirleyerek noktalı yerlere yazınız. a. Çift sayılar kümesi :... b. Asal sayılar kümesi :... c. C = {x : x Z ve 4 < x 23 } : A = {a, b, {b, c }, {d }, e } kümesine göre aşağıdaki noktalı yerlere veya sembollerinden uygun olanları yerleştiriniz. d. D = {x : x R x 2 = 4 } :... e. E = {x : x tek sayı ve x < 2 } :... a. a... A b. {b }... A c. {b, c }... A d. d... A 7. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. 3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz. a. A = { a, {b, c }, {d }, e } b. B = {x : x Z + ve x < 4 } c. C = { } d. D = {x : x R x 2 0} e. D = {x : x R, x 2 = 1 } Her kümenin öz alt kümesi vardır. Boş kümenin alt kümesi yoktur. A = { } kümesinin alt küme sayısı 2 dir. B = kümesinin alt küme sayısı 1 dir. 4. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır? 5. A = {a, b, c, d } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini yazınız. 8. A = {a, b, {c }, {d, e } } kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. s(a) = 5 II. c A III. {d} A IV. {a, b } A V. {d, e } A VI. {{c}} A 15

8 9. A = {1, 2, {1, 2 }, 3, } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? 14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz? 10. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a bulunmaz? 15. K = {a, b, c } ve M = {a, b, c, d, e, f, g } olmak üzere, K L M koşuluna uyan kaç farklı L kümesi yazılabilir? b. a bulunur? c. a ve b bulunur? d. a veya b bulunur? e. a bulunup, b bulunmaz? elamanlı bir kümenin, a. en az 3 elemanlı b. en çok 3 elemanlı 11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunup, 3 bulunmaz? kaç tane alt kümesi vardır? 17. s(a) = 8 olmak üzere, A kümesinin en az 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı x, en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı y ise x + y kaçtır? 12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur? 18. Üç elemanı a, b, c olan bir A kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin 10 tanesinde a, b, c eleman olarak bulunuyorsa A kümesi kaç elemanlıdır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur? 19. A = {x : 0 x 5 ve x Z} B = {(x, y) : x < y ve x, y A} olmak üzere, s(b) kaçtır? 16

9 KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi Yurt içi turlardan birine katılan bir grupta Ali, Orhan, Müge ve Aylin İngilizce; Müge, Pelin, Merve ve Aylin Almanca konuşabilmektedir. İ : İngilizce konuşabilenlerin kümesi A : Almanca konuşabilenlerin kümesini göstermek üzere, Yandaki şemada ifade edilen küme İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin birleşimi olarak adlandırılıp, İ A olarak gösterilir. A Ali Orhan Müge Aylin Pelin Merve İ A = {x : x İ veya x A} Yandaki şemada ifade edilen küme hem İngilizce hem Almanca konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin kesişimi olarak adlandırılıp, İ A biçiminde gösterilir. A Müge Aylin İ A = {x : x İ ve x A} A B = {x : x A veya x B} A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B A B A B E E E ÖRNEK 17 A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6 } ise A B kümesini liste yöntemi ile ve Venn şeması ile gösteriniz. ÖRNEK 18 A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, a, c} ise A B kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz. 17

10 Ayrık Kümeler A B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. Bir Kümenin Tümleyeni ÖRNEK 20 A = {1, 2, a, b, c} ve B = {2, 3, 4, a} olduğuna göre, A B ve B A kümelerini bulunuz. A E olmak üzere E kümesinin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A veya A ile gösterilir. A A De Morgan Kuralları E A = {x : x E ve x A} (A B) = A B (A B) = A B ÖRNEK 19 E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 3, 5, 7 } olduğuna göre, A kümesini bulunuz. ÖRNEK 21 A = {a, b, c, d, e} ve B = {d, e, f } olduğuna göre, a. (A B) kümesini bulunuz. b. (A B) kümesini bulunuz. ÖRNEK 22 Kümelerin Farkı A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir ve A B veya A \ B ile gösterilir. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s(a B ) = 6 ve s(a B ) = 10 olduğuna göre, s(a B) + s(b A) toplamı kaçtır? A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B = (A B) (B A) kümesine A ve B kümelerinin simetrik farkı denir. 18

11 Özellikler A A = A A B = B A A Ø = A A E = E A A = E E = Ø (A ) = A A A = A A B = B A A Ø = Ø A E = A A A = Ø Ø = E A = E A ÖRNEK 25 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise a. s(a B) en az kaçtır? b. s(a B) en çok kaçtır? A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) ÖRNEK 26 A B = A B A B B A A B A B = B A B A B = A B A olmak üzere, s(a B ) = 8 ve s(b) = 5 ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ÖRNEK 23 A B = ( 3, 4 ] ve A C = [ 2, 5) olduğuna göre, A (B C) kümesini bulunuz. ÖRNEK 24 A ve B ayrık iki küme olmak üzere, s(a) s(b) = 5 ve s(a B) = 9 ise s(a) kaçtır? ÖRNEK 27 s(a B) = 5, s(b A) = 3 ve A B kümesinin öz alt küme sayısı 15 ise s(a B) kaçtır? 19

12 ÖRNEK 28 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A B) A kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 29 A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. ETKİNLİK Kan nakillerinde vericinin sahip olduğu antijenlerin önemli olduğunu biliyoruz. Bir kişide, A, B ve Rh antijenlerinin en az biri olabilir ya da hiçbiri bulunmayabilir. Aşağıdaki tabloda kan grupları ve bu gruplara sahip kişilerin antijenleri gösterilmiştir. Buna göre tablonun yanındaki Venn şemasını doldurunuz. A B Kan grubu ARh + ARh BRh + BRh ABRh + ABRh 0Rh + 0Rh Antijen A, Rh A B, Rh B A, B, Rh A, B Rh Rh ÖRNEK 30 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [ (B A) (A B) ] (B A) kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 31 A B = {1, {2, 3}}, B A = {2 } ve B = {2, {2 }, {1, 2 }} ise A kümesi nedir? 20

13 ÖRNEK 32 A = {x : x < 100, x N} kümesinin kaç tane elemanı 6 ile bölünebilir? ÖRNEK 35 A = {x : 20 < x < 200, x = 4k, k Z} B = {x : 30 < x < 150, x = 5k, k Z} kümeleri için s(a B) kaçtır? ÖRNEK 33 A = {x : x < 200, x N} kümesinin kaç tane elemanı 3 ve 5 ile bölünebilir? ÖRNEK 36 ÖRNEK 34 A = {x : 10 < x < 100, x tam sayı} kümesinin kaç tane elemanı 3 veya 5 ile bölünebilir? A = {x : x = 2k, k < 50, k Z +} B = {x : x = 5k, k < 30, k Z +} kümeleri için s(a B) kaçtır? 21

14 KÜME PROBLEMLERİ Futbol oynayanların kümesi: F Basketbol oynayanların kümesi: B a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstersin. E F a b c B d Futbol oynayanların sayısı = a + b Sadece futbol oynayanların sayısı = a Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d Basketbol oynayanların sayısı = b + c Sadece basketbol oynayanların sayısı = c Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c ÖRNEK kişilik bir sınıfta, matematikten 18 kişi ve fizikten 12 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız 8 kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu derslerin sadece birinden başarılı kaç kişi vardır? ÖRNEK 38 Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik derslerinin en az birinden bütünlemeye kalmıştır. Sınıftaki öğrencilerin % 60 ı matematikten, % 70 i fizikten bütünlemeye kalmıştır. Her iki dersten bütünlemeye kalan 6 öğrenci varsa, bu sınıfta kaç öğrenci vardır? 22

15 ÖRNEK 39 Bir iş yerinde A, B, C gazetelerinden en az biri okunmaktadır. A gazetesini 16, B gazetesini 12, C gazetesini 18, A ve B gazetesini 8, A ve C gazetesini 10, B ve C gazetesini 6 ve her üç gazeteyi de okuyan 5 kişi olduğuna göre, sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır? ÖRNEK 41 Herkesin Türkçe bildiği 30 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplulukta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 12 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ÖRNEK kişilik bir sınıftaki gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısının 3 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 8 fazladır. Bu sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı 12 ise gözlüklü kız sayısı kaçtır? ÖRNEK 42 A, B, C dillerinden en az birinin konuşulduğu 36 kişilik bir sınıfta; B dilini konuşanların hepsi C dilini de konuşmaktadır. Toplulukta üç dili konuşan 6 kişi ve iki dili konuşan 18 kişi olduğuna göre, tek dil konuşan kaç kişi vardır? 23

16 ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. a. A B ise A B = A = {x : 10 < x < 50, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir? b. A B ise... = B c. Her A kümesi için A B = A ise... d.... = s(a) + s(b) s(a B) e.... = A B 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. A A = A A = A A E = E A E = A A B B A A B ve B C A C 5. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, A B = B C koşulunu sağlayan C kümesi, a. en az kaç elemanlıdır? b. en çok kaç elemanlıdır? 6. A = {x : 10 < x < 100, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölünebilir fakat 5 ile bölünemez? 3. Aşağıdaki kümeleri karşı sütunda bulunan eşitleri ile eşleştiriniz. a 1 (A B) (A B) A 7. A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 6 ve s(b) = 8 olduğuna göre, s( A B) en çok kaç olabilir? b (A B) (A B) 2 (A B) (A C) c (A B) (B A ) c 3 A (B C) 3 E 8. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [B (A B) ] A kümesinin en sade hâli nedir? 24

17 9. A, B, C kümeleri için s(a) + s(b) + s(c) = 35 olduğuna göre, s(a B C) en az kaçtır? 14. A = {x : x = 3n, n N, 1 n 36 } B = {x : x = 2n, n N, 1 n 30 } olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 10. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 11 ve s(a ) + s(b) = 17 olduğuna göre, s(e) kaçtır? 15. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) s(b) = 4 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 11. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a B) = 5 s(a B) = 16 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 16. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. 12. A B olmak üzere, [A (A B )] kümesinin eşitini bulunuz. 17. s(a B) = 6 s(a B) = 2.s(A B ) olduğuna göre, s( A B ) kaçtır? 13. s(a B) = 6, s(b A) = 5 ve s(a) = 8 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 18. A B ve s(a) + 2.s(B) = 14 olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 25

18 19. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşan bir grubun % 60 ı İngilizce, % 50 si Almanca biliyor. Her iki dili bilinler 5 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir? 23. Bir grupta Almanca ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 15, en az birini bilen 19, en çok birini bilen 29 kişi olduğuna göre, bu grup kaç kişiliktir? 20. Basketbol ve futbol sporlarından en az birinin oynandığı bir toplulukta basketbol oynayanların % 60 ı futbol oynamıyor. Futbol oynayanların % 80 i basketbol oynamıyor. Grupta yalnız futbol oynayan 8 kişi olduğuna göre yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? 21. Bir sınıfta Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının üçte biridir. Bu sınıfta Almanca bilmeyip, İngilizce bilen 27 kişi, İngilizce bilmeyip Almanca bilen 3 kişi vardır. İngilizce veya Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının üçte biri ise bu sınıfın mevcudu kaçtır? erkek, 18 kadının bulunduğu bir grupta 24 kişi gözlüksüzdür. Bu grupta, gözlüklü veya kadın olanların sayısı 22 olduğuna göre, gözlüksüz kadınların sayısı kaçtır? 25. Bir şantiyede sıva, boya, elektrik ve su işlerinden en az birini yapabilenler vardır. En az üç işi yapanlar 16, en fazla dört işi yapabilen 20 kişi bulunduğuna göre, en çok iki iş yapabilen kaç kişi vardır? 22. Erkek ve kız öğrencilerin bulunduğu 45 kişilik bir sınıfta gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katıdır. Sınıfta 14 erkek gözlüksüz ve 6 kız gözlüklü olduğuna göre, erkeklerin sayısı nedir? 26. Futbol veya basketbol oynayanların bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta 6 kişi hem futbol hem basketbol oynayabilmektedir. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, bu sınıfta sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır? 26

19 SIRALI İKİLİ KARTEZYEN ÇARPIM A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A x B = {(x, y) : x A ve y B} kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. Kartezyen çarpımının özellikleri aşağıda gösterilmiştir. A x A = A 2 A x B B x A (A x B) x C = A x (B x C) Milli futbol takımımızın 2005 ile 2010 yılları arasında aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer elde etmeye çalışalım. İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla ait galibiyet sayısını göstersin. Bu durumda, (2005, 6), (2006, 8), (2007, 5) (2008, 5), (2009, 4), (2010, 4) olur. a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir. Yani, (a, b) (b, a) dır. (a, b) = (c, d) a = c ve b = d ÖRNEK 43 (a + 2, b 1) = ( 3, 2) olduğuna göre, a + b kaçtır? s(a x B) = s(a). s(b) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) ÖRNEK 45 A = {1, 2 } ve B = {a, b} olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerini yazınız. ÖRNEK 46 A = { x : 2 < x < 3, x Z} B = { x : 1 x 1, x Z} olduğuna göre, s(a x B) kaçtır? ÖRNEK 44 (3 n, 25) = (27, 5 m 1 ) olduğuna göre, m. n kaçtır? ÖRNEK 47 s[(a x B ) (A x C)] = 12 ve s(b C) = 3 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 27

20 ÖRNEK 48 ÖRNEK 51 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3} B olduğuna göre, A x B kümesini yazıp analitik düz- 3 lemde gösteriniz A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesini bulunuz. ÖRNEK 49 A = [1, 4) ve B = {1, 2 } olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. ÖRNEK 52 A = {1, 2, 3} olmak üzere A x A kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir? ÖRNEK 50 A = ( 1, 2] ve B = [1, 3] olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. 28

21 ALIŞTIRMALAR (x 3, 2 x + y) = (8, 9) olduğuna göre, x.y kaçtır? 5. A = {1, 2, 3 } B = {2, 3, 4, 5 } olmak üzere A x B kümesinin birbirine en uzak iki elamanı arasındaki uzaklık kaç birimdir? 2. AxB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) } ise A kümesini bulunuz. 6. s(a x A) = 64 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 3. A = {0, 1, 2, 3, 4 } B = {0, 2, 4, 6, 8 } C = {2, 3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, s[(a x B) (A x C)] kaçtır? 7. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. 3 2 B A 4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş kutuya D yanlış olanlar için Y yazınız. A x B = B x A s(a x B) = s(b x A) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B x C) = (A x B) x C 8. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. B 4 2 A B ve C D ise (A x C) (B x D) 1 3 A 29

22 9. s(a B) = 4 s(b) = 6 s(a x B) = 42 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {2, 3, 4, 6 } C = {1, 2, 3, 6 } olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 10. A = [1, 3) ve B = {1, 3 } olduğuna göre, A x B kümesinin grafiğini çiziniz. 14. s(a) = 3, s(b) = 4, s(c) = 5 olmak üzere, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? 11. A = [ 1, 2] ve B = ( 3, 2) olduğuna göre, B x A kümesinin grafiğini çiziniz. 15. B C olmak üzere, s[(a x C) (A x B)] = 15 ise s(a) en çok kaçtır? 12. A = {x: 2 x 5, x R} 16. y olduğuna göre, A x A kümesinin koordinat düzleminde oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç br 2 dir? x 3 Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre A B kümesi nedir? 30

23 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. A ve B boş olmayan iki kümedir. 2.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A B) olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 4. A ve B iki kümedir. s(a) = 12 n, s(b) = 2n + 6 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s( A B) en çok kaçtır? 2. A = {x: 2 x 5 } ve B = {x: 2 < x < 7 } olduğuna göre ( A B) kümesini bulunuz. 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz? 3. A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki elemanı A B kümesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt kümeleri sayısı 15 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6. A B ve s(a B) = 8 olmak üzere, B kümesinin alt küme sayısı, A kümesinin alt küme sayısının 4 katı ise s( A B) en az kaçtır? 31

24 7. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin % 90 ı, erkek öğrencilerin % 80 i matematik dersinden başarılıdır. 9. A = {x: x < 100, x N } olmak üzere, A kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaçtır? 8. (2a + b, 7) = (2, a b + 3) olduğuna göre a.b kaçtır? 10. Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda öz alt küme sayısı 48 artmaktadır. Bu kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 32

25 TEST - 1 Kümeler 1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? l. Asal sayılar II. Türkiye deki iller III. Haftanın A ile başlayan günleri IV. Güzel olan harfler V. En güzel meyve 5. A = {a, b, {a}, c, {a, c } } olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem elemanı hem de alt kümesidir? A) a B) {a, c } C) {b} D) {a, b } E) {c} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. A = {a, b, c, d, e } kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? l. {a} A li. Ø A lii. Ø A lv. {Ø} A V. {a, b } A VI. {e} A A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. A = {1,2, 3, 4, 5, 6 } B = {4, 6, 8, 10 } kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) A = {1, {2}, 3, {1, 2 }, 4, 5 } olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) s(a) = 6 B) {1, 4, 5 } A C) {1, 2 } A D) {2} A E) {1, {2} } A 7. A ve B kümeleri için s(a) = 6, s(a B) = 9 ve A B olduğuna göre, A B nin en fazla kaç alt kümesi olabilir? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) Alt kümelerinin sayıları toplamı 40 olan iki kümenin elemanlarının sayıları toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) elemanlı alt küme sayısı 28 olan bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38 33

26 9. A B kümesinin alt küme sayısı 2 ve A ile B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 ise, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) Boş olmayan n elemanlı bir A kümesinin, k tane öz alt kümesi vardır. A kümesine 2 eleman daha katılırsa, kaç tane alt kümesi olur? A) k + 3 B) 4k + 4 C) 4k D) 2k + 4 E) k M = {a, b, c, d } N = {a, b, c, d, e, f, g } kümeleri için M ve N den farklı olması koşulu ile N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsar? 14. A = {x : x 2 < 50 ve x asal sayı } kümesinin kaç alt kümesinde 3 ve 5 bulunur? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) A = {a, b, c } ve A B = {a, b, c, d, e, f } koşullarını sağlayan en çok kaç tane B kümesi yazılabilir? kişilik bir sınıf Türkçe ve İngilizce dillerinden en çok ikisini bilenlerden oluşmaktadır. Sadece Türkçe bilen 10 kişi ve Türkçe bilmeyen 8 kişi olduğuna göre, her iki dili bilen kaç kişi vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) (x 3, y + 1) = (4, 3) olduğuna göre, x + y kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 12, basketbol oynayanların sayısı 10, futbol ve basketbol oynayanların sayısı 4 kişidir. Buna göre, sınıfta futbol veya basketbol oynamayanların sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 34

27 TEST - 2 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur? A) 56 B) 64 C) 112 D) 116 E) A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya b den en çok birisi eleman olarak bulunur? A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8 6. A B = A 2. A B ve s(a B) = 25 olmak üzere, B kümesinin en çok bir elemanlı alt küme sayısı 17 ise A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) A B = A B) A = B C) A B D) A B = A E) B A = B 3. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır? A) 32 B) 28 C) 16 D) 8 E) 4 7. A B = ( 2, 5] ve A C = [1, 7) olduğuna göre, A (B C) neye eşittir? A) [1, 5] B) [ 2, 1] C) [5, 7] D) (1, 5] E) [1, 5) 4. 3 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt kümeleri sayısına eşit olan bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümeleri sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 15 D) 16 E) A = {x : 2 < x < 3, x R } B = {x : 3 < x < 2, x R } olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 2) B) [ 1, 1] C) ( 3, 3) D) { 1, 0, 1 } E) { 2, 1, 0, 1, 2 } 35

28 9. A B, A B ve B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1, 16 ve 8 ise s(a B) kaçtır? 13. B 3 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 1) B) ( 1, 2) C) ( 2, 2) 10. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? D) ( 1, 3) E) (2, 3) A) 28 B) 21 C) 15 D) 14 E) s(a B) = 3 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s(a x B) en az kaçtır? 11. (2 x+1, y 1 ) = (16, 6) A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24 olduğuna göre, x.y kaçtır? A) 6 1 B) 4 1 C) 3 1 D) 2 1 E) Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en az yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) K, L, M birbirinden farklı ve boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, s[(k x L) (K x M)] = 24 ise s(k) en çok kaç olabilir? A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en çok yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60 36

29 TEST - 5 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur? A) 32 B) 56 C) 64 D) 120 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 eleman olarak bulunup, 7 bulunmaz? A) 8 B) 16 C) 28 D) 32 E) s(a) + s(b) = 22 s(a B) = 5 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) A ve B boştan farklı iki kümedir. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s(a) kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) K L = {a, b, c, d } 3. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36 K M = {a, c, e, f } olduğuna göre, K (L M) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Ø B) {a, b, c, d } C) {a, c, e, f } D) {a, c } E) {e, f } 4. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölünüp, 5 ile bölünemez? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) A = { x : 0 < x < 100, x = 2k, k Z } B = { x : 0 < x < 75, x = 3k, k Z } kümeleri için s( A B) kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 41

30 9. s(a B) = 3 s(a B) = 7 olduğuna göre, s( A x B) en çok kaçtır? y A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) x Yukarıdaki grafik A x B kümesine ait olduğuna göre A B kümesini gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir? 10. A = {x : 2 x < 1, x Z } B = {x : x 1 1, x Z } olduğuna göre, s( A x B) kaçtır? A) [1, 2] B) (1, 2] C) (1, 2) D) [1, 2) E) [0, 2) A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) A 11. s(a) = 6 s(a B) = 3 s[(b x B) (B x A)] = 40 olduğuna göre, s( B A) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B C Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A (B C)B) A (B C) C) A (B C)D) B (A C) E) C (A B) kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 20, Almanca bilmeyenlerin sayısı 18, en çok bir dil bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, bu sınıfta İngilizce ve Almanca bilmeyen kaç kişi vardır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) M ve N aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) M N ise M N = N B) M N ise N M C) (M N) = M N D) (M N) M = M N E) M N = (M N) N 42

31 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları ÖYS A = {1, 2, 3 }, A B = {1, 2, 3, 4, 5 } ve A B = {1, 2 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {5 } B) {4, 5 } C) {3, 4, 5 } D) {3, 4} E) {1, 3, 5 } ÖYS A = { 2, 1, 0 } ve B = {1, 2, 3 } kümelerinin, A x B ( kartezyen çarpım) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan, en küçük çemberinin yarıçapı kaç birimdir? 1 A) B) v3 C) v2 D) 2 E) ÖSS A ve B birer küme olmak üzere A B kümesinin eleman sayısı 4, B A kümesinin eleman sayısı 5, A kümesinin eleman sayısı 6 dır. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) ÖYS Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oynayanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır? A) 64 B) 59 C) 53 D) 41 E) ÖSS Bir sınıftaki öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her iki kursada gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir? A) 50 B) 53 C) 68 D) 78 E) ÖYS En az birer elemanı bulunan A ve B kümeleri için, (A B) B = A eşitliği gerçekleniyorsa, bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B A B) A B C) A B = Ø D) A B = B E) (A B) = B ÖYS A ve B kümeleri için, A B, B A, s(a B) = 8, s(a B) = 2 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) ÖYS s(a B) = 9, s(b A) = 7 ve A B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(a B) kaçtır? A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 43

32 ÖYS A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler } D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C A (B D) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler} B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler} C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğrenciler} D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler} ÖSS A = {a, b, c, d, e } kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ÖYS A ve B herhangi iki küme ve A B, A B, B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) ÖYS M = {a, b, {1, 2 }, } N = {a, 1, 2, { }} olduğuna göre, M N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) ÖYS E evrensel küme olmak üzere, s(e) = 9, s(a B) = 3, s(a B) = 6 ve s(b) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) ÖSS A = { x : 11 x 1200, x = 4n, n N} B = { y : 8 < y < 900, y = 6k, k N} olduğuna göre, (A B) nin eleman sayısı kaçtır? A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) ÖYS A = {a, c, d } B = {a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar? A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E)

33 ÖYS A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) ÖSS Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) ÖYS 18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır. Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ÖSS Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x : x < 100, x = 2n, n Z + } B = {x : x < 151, x = 3n, n Z + } A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) ÖSS A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e) =12, s(a B) = 4 ve s(a B ) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) ÖSS Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına 3 oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına 7 göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) ÖSS Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A B) = 4.s(A B) = 5.s(B A) olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) ÖSS A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz? A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) 70 45

34 ÖSS Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n) = 4.s(M) s(n M) = 5.s(M N) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d } olduğuna göre, (A B) K (A B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) ÖSS A = {a, b, c, d } B = {b, c, d, e, f, g, k, l } C = {c, d, e, r } olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi olan (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) YGS n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) LYS ÖSS K = { 2, 1, 0, 1, 2, 3 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A = {n Z + : n 100; n, 3 e tam bölünür. } B = {n Z + : n 100; n, 5 e tam bölünür. } olduğuna göre, A B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) ÖSS Herhangi A ve B kümeleri için (A B) (A B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A (A B)B) A (A B) C) (A B) (B A)D) (A B) (B A) E) (A B) (A B) YGS 3 A = =, 5 G 2 16 B = > 3, H 3 kapalı aralıkları için (A B) Z kümesinin eleman sayısı kaçtır? ( Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 46

35 LYS Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A ( B C ) ( A B ) ( A C ) dir. Öğrencinin ispatı: A ( B C ) kümesinin her elemanının ( A B ) ( A C ) kümesinde olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi, x A ( B C ) alalım. I. Buradan x A ve x ( B C ) olur. II. Buradan x A ve ( x B ve x C ) olur. III. Buradan ( x A ve x B ) ve ( x A ve x C ) olur. IV. Buradan x A B ve x A C olur. V. Buradan x [ ( A B ) ( A C ) olur. Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 47

36 48

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT

KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme,

Detaylı

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden

TEST - 1 ÖDEV TESTİ elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin. 1. A = {1, {2}, {1, 2}, 3, Ø} kümesi için aşağıdakilerden 10 Kümeler ÖDEV TESTİ TEST - 1 6. 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı 3 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşit olan bir kümenin en az 6 elemanlı kaç alt kümesi vardır? ) 24 ) 28 C) 37 D) 38 E) 42 1. = {1,

Detaylı

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz.

1 A IV. a. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler A II. A. a VI. A. b C ) c. 1. A kümesini venn şeması ile gösteriniz. Kümelerin Gösterimleri-Boş Küme-Denk ve Eşit Kümeler 1. kümesini venn şeması ile gösteriniz. 6. M kümesine denk olan N kümesini ortak özellik yöntemi ile gösteriniz. 2. B kümesini liste yöntemi ile gösteriniz.

Detaylı

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1.

TEOG. Kümeler KÜME VE ELEMAN KAVRAMI ÖRNEK KÜMELERİN GÖSTERİMİ ÖRNEK ÖRNEK KÜMENİN ELEMAN SAYISI ÖRNEK 3. ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ 1. TEOG ümeler ÜE VE EEN VRI Elemanları belirlenebilen, belirli bir anlam taşıyan canlı ya da cansız varlıkların veya kavramların oluşturduğu topluluğa küme denir. ümeyi oluşturan varlıkların, kavramların

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI

Cebir Notları. Kümeler. Gökhan DEMĐR, KÜME KAVRAMI , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler KÜME KVRMI Kümenin tanım yoktur. undan dolayı kümeyi tanıtmaya çalışalım. Küme kavramında bir topluluk, bir kolleksiyon ifadesi vardır.

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi.

KÜMELER. A = {x : (x in özelliği)} Burada x : ifadesi öyle x lerden oluşur ki diye okunur. Küme oluşturur. Çünkü Kilis in üç tane ilçesi. KÜMELER Canlı yada cansız varlıkların oluşturduğu iyi A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(a) = 3 tür. tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. 2. Ortak Özellik Yöntemi Kümenin elemanlarını, daha somut ya

Detaylı

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir.

KÜMELER. İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Bir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. Bu nesneler somut veya soyut olabilir. 1 KÜMELER İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. ir küme, birbirinden farklı nesnelerden oluşur. u nesneler somut veya soyut olabilir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine eleman(öğe) denir.

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır?

Örnek...1 : Örnek...2 : A = { a, {a}, b, c, {b, d}, d }, B = { {a}, {c, d}, c, d, x, Δ } k ümeleri için s( AUB) kaçtır? KÜMELER 2 İKİ KÜMENİN BİRLEŞİMİ A ve B gibi iki kümeden, A' ya veya B' ye ait olan elemanlardan oluşan yeni kümeye A ile B' nin birleşimi denir ve AUB ile gösterilir. Bu gösterim A birleşim B di ye okunur.

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız.

( 2x+1, 3y 1. Örnek...4 : A = {1, 2, 3} ve B = {a, b} kümeleri için, AxB ve BxA kümelerini liste biçimde yazınız. SIRALI İKİLİ a ve b'nin (a,b) biçiminde tek bir eleman olarak yazılmasına sıralı ikili ya da kısaca ikili denir. Burada a' ya ikilinin birinci bileşeni, b' ye ise ikinci bileşeni denir. Örneğin ; (4, 3)

Detaylı

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim

İçindekiler. 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler Denk ve Eşit Kümeler Kümelerde Birleşim ve Kesişim İçindekiler 1. Küme Kavramı...6-7 2. Kümelerin Gösterimi...8-15 3. Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 16-17 4. lt Küme Kavramı... 18-27 5. Denk ve şit Kümeler... 28-29 6. Kümelerde irleşim ve Kesişim... 31-41

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI YGS - LYS SAYILAR KONU ÖZETLİ LÜ SORU BANKASI ANKARA ÖN SÖZ Sevgili Öğrenciler, ÖSYM nin son yıllarda yaptığı sınavlardaki matematik sorularının eski sınav sorularından çok farklı olduğu herkes tarafından

Detaylı

KÜMELER 05/12/2011 0

KÜMELER 05/12/2011 0 KÜMELER 05/12/2011 0 KÜME NEDİR?... 2 KÜMELERİN ÖZELLİKLERİ... 2 KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ... 2 EŞİT KÜME, DENK KÜME... 3 EŞİT OLMAYAN (FARKLI) KÜMELER... 3 BOŞ KÜME... 3 ALT KÜME - ÖZALT KÜME... 4 KÜMELERDE

Detaylı

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık Matematik R İ T N R Ö SAYISAL K E YGS - LYS Ön Hazırlık Copyright Çağlayan Basım Yayın Dağıtım Ambalaj San. Tic. A.Ş. Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ

İÇİNDEKİLER ÖNERMELER BİLEŞİK ÖNERMELER AÇIK ÖNERMELER İSPAT YÖNTEMLERİ - MANTIK İÇİNDEKİLER Safa No Test No ÖNERMELER...-... - BİLEŞİK ÖNERMELER...-... -6 AÇIK ÖNERMELER...-6... 7-8 İSPAT YÖNTEMLERİ...7-8... 9-9 - KÜMELER KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR...9-4... - KÜMELERDE İŞLEMLER...5-6...

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)...

KÜMELER KÜMELER Kümeler Konu Özeti Konu Testleri (1 6) Kartezyen Çarpım Konu Özeti Konu Testleri (1 6)... Sayfa No....................................................................9 - Kümeler Konu Özeti.......................................................... 9 Konu estleri ( 6)...........................................................

Detaylı

Küme Temel Kavramları

Küme Temel Kavramları Kümeler Kümeler Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanabilir. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir; fakat her ne olursa

Detaylı

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI

ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI 1. 1999 ÖSS a, b, c pozitif gerçel (reel) sayılar olmak üzere a+ b ifadesindeki her sayı 3 ile çarpılırsa aşağıdakilerden hangisi elde c edilir? 3 a+ b A) B) c a+ 3b C)

Detaylı

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r.

1. Bir kümenin eleman say s 3 artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. 1. ir kümenin eleman say s artt r ld nda, alt küme say s 56 artmaktad r. una göre, ilk durumdaki kümenin eleman say - s kaçt r? ) 2 ) ) D) 5 E) 6 6. ve kümelere E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 9. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter KÜMELER - 1 Altın Kalem Yayınları Küme: B rb r nden farklı nesneler n oluşturduğu topluluklar küme şekl nde adlandırılır. Kümey oluşturan nesneler n y bel rlenm ş

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER

Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: ÖNERMELER Sunum ve Sistematik. ÜNİTE: MANTIK KONU ÖZETİ Bu başlık altında, ünitenin en can alıcı bilgileri, kazanım sırasına göre en alt başlıklara ayrılarak hap bilgi niteliğinde konu özeti olarak sunulmuştur..

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR...

1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KAVRAMLAR, KÜMELERDE İŞLEMLER BÖLÜM: KARTEZYEN ÇARPIM, KÜME PROBLEMLERİ BÖLÜM: GERÇEK SAYILAR... İçindekiler 1. BÖLÜM: KÜMELERDE TEMEL KVRMLR, KÜMELERDE İŞLEMLER... 10. KÜMELERDE TEMEL KVRMLR... 10 B. SONLU, SONSUZ VE BOŞ KÜME... 12 C. KÜMELERİN EŞİTLİĞİ... 14 D. LT KÜME, ÖZ LT KÜME... 14 E. KÜMELERDE

Detaylı

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR.

TEOG. Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar ÇÖZÜM ÖRNEK ÇÖZÜM ÖRNEK SAYI BASAMAKLARI VE SAYILARIN ÇÖZÜMLENMESİ 1. DOĞAL SAYILAR. TEOG Sayma Sayıları ve Doğal Sayılar 1. DOĞAL SAYILAR 0 dan başlayıp artı sonsuza kadar giden sayılara doğal sayılar denir ve N ile gösterilir. N={0, 1, 2, 3,...,n, n+1,...} a ve b doğal sayılar olmak

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1

1. BÖLÜM. Sayılarda Temel Kavramlar. Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK. Kontrol Noktası 1 1. BÖLÜM Sayılarda Temel Kavramlar Bölme - Bölünebilme - Faktöriyel EBOB - EKOK Kontrol Noktası 1 Isınma Hareketleri 1 Uygun eşleştirmeleri yapınız. I. {0, 1, 2,..., 9} II. {1, 2, 3,...} III. {0, 1, 2,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada,

TAMSAYILAR. 9www.unkapani.com.tr. Z = {.., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, } kümesinin her bir elemanına. a, b, c birer tamsayı olmak üzere, Burada, TAMSAYILAR Z = {.., -, -, -, 0,,,, } kümesinin her bir elemanına tamsayı denir. Burada, + Z = {,,,...} kümesine, pozitif tamsayılar kümesi denir. Z = {...,,,,} kümesine, negatif tamsayılar kümesi denir.

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar

TEMEL KAVRAMLAR. SAYI KÜMELERİ 1. Doğal Sayılar TEMEL KAVRAMLAR Rakam: Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Bu semboller {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır., b ve c birer rakamdır. 15 b = c olduğuna göre, + b + c

Detaylı

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi

TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi YGS MATEMATĠK DENEMESĠ-1 Muharrem ġahġn TMÖZ Türkiye Matematik Öğretmenleri Zümresi Eyüp Kamil YEġĠLYURT Gökhan KEÇECĠ Saygın DĠNÇER Mustafa YAĞCI Ġ:K Ve TMÖZ üyesi 14 100 matematik ve geometri sevdalısı

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

TEMEL SAYMA. Bill Gates

TEMEL SAYMA. Bill Gates Bölüm 1 TEMEL SAYMA YÖNTEMLERİ Firmamızın sahip olduğu tek şey insan düş gücüdür. Bill Gates Bu bölümde fazla kuramsal bilgi gerektirmeyen sayma problemleri üzerinde duracağız. Bu tür problemlerde sayma;

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1

ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 ASAL SAYILAR - TAM BÖLENLER - FAKTÖRİYEL Test -1 1. ve y aralarında asal iki doğal sayıdır. 7 y 11 olduğuna göre, y farkı 5. 364 sayısının en büyük asal böleni A) 3 B) 7 C) 11 D) 13 E) 17 A) B) 3 C) 4

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :.

SAYILAR MATEMATİK KAF03 BASAMAK KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. SAYILAR BASAMAK KAVRAMI İki basamaklı en küçük sayı : İki basamaklı en büyük negatif sayı :. Üç basamaklı rakamları farklı en küçük sayı :. SORU 5 MATEMATİK KAF03 TEMEL KAVRAM 01 Üç basamaklı birbirinden

Detaylı

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur?

p sayısının pozitif bölenlerinin sayısı 14 olacak şekilde kaç p asal sayısı bulunur? 07.10.2006 1. Kaç p asal sayısı için, x 3 x + 2 (x r) 2 (x s) (mod p) denkliğinin tüm x tam sayıları tarafından gerçeklenmesini sağlayan r, s tamsayıları bulunabilir? 2. Aşağıdaki ifadelerin hangisinin

Detaylı

Kartezyen Çarpım Kümesi

Kartezyen Çarpım Kümesi ölüm 1.2 Kümelerde İşlemler Neler Öğreneceğiz? 1.2.4. Kartezyen Çarpım Kümesi Sıralı ikilileri ve iki kümenin kartezyen çarpım kümesini nahtar Terimler Sıralı ikili Kartezyen çarpım aşlarken ir sinema

Detaylı

12-A. Sayılar - 1 TEST

12-A. Sayılar - 1 TEST -A TEST Sayılar -. Birbirinden farklı beş pozitif tam sayının toplamı 0 dur. Bu sayılardan sadece ikisi den büyüktür. Bu sayılardan üç tanesi çift sayıdır. Buna göre bu sayılardan en büyüğü en çok kaç

Detaylı

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir.

Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. A. SAYILAR Rakam : Sayıları yazmaya yarayan sembollere rakam denir. Sayı : Rakamların çokluk belirten ifadesine sayı denir.abc sayısı a, b, c rakamlarından oluşmuştur.! Her rakam bir sayıdır. Fakat bazı

Detaylı

2011 YGS MATEMATİK Soruları

2011 YGS MATEMATİK Soruları 0 YGS MTEMTİK Soruları. + + ) 8 ) 0 ) 6 ) E). a = 6 b = ( a)b olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? ) ) 6 ) 9 ) 8 E). (.0 ) ) 0, ) 0, ) 0, ) E) 6. x = y = 8 z = 6 olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan

Detaylı

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız.

1) Aşağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız. 1ÖLÜM KÜMELER KÜMELER TEST 1 1) şağıdaki varlıklar içerisinde küme oluşturabilecek bir topluluğu yuvarlak içerisine alarak kümenin tarifini yapınız..güzelyurt.yeni İskele.Lefkoşa.Gazi Magosa.Girne 2)

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU

MATEMATİK. Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU MATEMATİK Doç Dr Murat ODUNCUOĞLU Mesleki Matematik 1 TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Sayıları yazmak için kullandığımız işaretlere rakam denir. Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. Rakamlar 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.

Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ :

( a, b ) BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : BAĞINTI, FONSİYON, İŞLEM SIRALI İKİLİ : a ve b elemanlarının belirttiği ( a, b ) şeklindeki ikiliye sıralı ikili denir. Sıralı ikili denilmesindeki sebep bileşenlerin yeri değiştiğinde ikilinin değişmesindendir.

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir.

TABAN ARĠTMETĠĞĠ. ÇÖZÜM (324) 5 = = = = 89 bulunur. Doğru Seçenek C dir. TABAN ARĠTMETĠĞĠ Kullandığımız 10 luk sayma sisteminde sayılar {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} kümesinin elemanları (Rakam) kullanılarak yazılır. En büyük elemanı 9 olan, 10 elemanlı bir kümedir. Onluk sistemde;

Detaylı

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom:

Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: A Kümesinden B nin Farkı: A Kümesinden B ye Fonksiyon: Açı: Açık Önerme: Açıortay: Açısal Bölge: Aksiyom: Matematik A A ile B nin Kartezyen Çarpımı: Birinci bileşeni A dan, ikinci bileşeni B den alınarak elde edilen ikililerin kümesidir. A Kümesinden B nin Farkı: A kümesinin B kümesi ile ortak olmayan elemanlarından

Detaylı

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma

PERMÜTASYON DERS NOTLARI. Sayma Yöntemleri. TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma. Çarpma yoluyla sayma TEMEL SAYMA KURALLARI Toplama yoluyla sayma A ve B ayrık iki küme olsun. Bu iki kümenin birleşimlerinin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir. Bu sayma yöntemine toplama yoluyla

Detaylı

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir.

Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Φ \ Є Ø ˆ KÜMELER Bir küme nesnelere bakış açımızla değil onları gruplandırmamız ile ilgilidir. Sınıf arkadaşlarınıza bakınız ve aşağıdaki gruplarda bulununanların isimlerini yazınız. a) Kızlar b) Erkekler

Detaylı

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI

KARTEZYEN ÇARPIM VE BAĞINTI KRTEZYEN ÇRPIM VE BĞINTI 3. Bölüm TEST -2 1. β={(x,y):2x+y=8,x,y N} şeklinde tanımlı β bağıntısı kaç elemanlıdır? ) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 6. R'de bağıntısı yansıyan ise a.b kaçtır? ) 18 B) 9 C) 2 D) 18

Detaylı

: 9. S n f Matematik Soru Bankas. Erhan Nemutlu Ali Kocab y k. : Kany lmaz Matbaas A ustos ISBN :

: 9. S n f Matematik Soru Bankas. Erhan Nemutlu Ali Kocab y k. : Kany lmaz Matbaas A ustos ISBN : Bu kitab n tamam n n ya da bir k sm n n, yazarlar n izni olmaks z n elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kay t sistemi ile ço alt lmas, yay nlanmas yasakt r. Bu kitab n tüm haklar yazarlar

Detaylı

LYS Matemat k Deneme Sınavı

LYS Matemat k Deneme Sınavı LYS Matematk Deneme Sınavı. n olmak üzere; n n toplamı ten büük n nin alabileceği tamsaı değerleri kaç tanedir? 9 B) 8 7.,, z reel saılar olmak üzere; ( 8) l 8 l z z aşağıdakilerden hangisidir? B) 8. tabanındaki

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 4 0141- Ortak Akıl Adem ÇİL Ali Can GÜLLÜ Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Hakan BAKIRCI

Detaylı

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir.

Sunum ve Sistematik. Bu başlıklar altında uygulamalar yaparak öğrenciye yorum, analiz, sentez yetisinin geliştirilmesi hedeflenmiştir. Sunum ve Sistematik 1. BÖLÜM: POLİNOMLAR ALIŞTIRMALAR Bu başlık altında her bölüm kazanımlara ayrılmış, kazanımlar tek tek çözümlü temel alıştırmalar ve sorular ile taranmıştır. Özellikle bu kısmın sınıf

Detaylı

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz.

MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA. ÖRNEK 120 sayısını asal çarpanlarına ayırınız. ÖRNEK 150 sayısının asal çarpanları toplamını bulunuz. MATEMATİK ASAL ÇARPANLARA AYIRMA A S A L Ç A R P A N L A R A A Y I R M A T a n ı m : Bir tam sayıyı, asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, asal çarpanlarına ayırma denir. 0 sayısını asal çarpanlarına

Detaylı

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ

4 BÖLÜNEBÝLME KURALLARI ve BÖLME ÝÞLEMÝ ÖLÜNÝLM KURLLRI ve ÖLM ÝÞLMÝ YGS MTMTÝK. Rakamları farklı beş basamaklı 8y doğal sayısı 3 ile tam bölünebildiğine göre, + y toplamı kaç farklı değer alabilir?(). ltı basamaklı y tek doğal sayısının hem

Detaylı

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

KPSS 2009 GY-(31) YAPRAK TEST SORU KONU ANLATIM SAYFA SORU x olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 KPSS 009 GY-(31) YAPRAK TEST-17 19. SORU 31. x 1 3 9 1 x 1 7 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 3 B) C) 1 19. x 6 x 1 3 9 olduğuna göre, x kaçtır? A) 5 B) 4 C) 3 D) E) 1 D) 1 E) KONU ANLATIM SAYFA 194 15. SORU

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI

DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI DOĞU AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ 23. LİSELERARASI MATEMATİK YARIŞMASI BİREYSEL YARIŞMA SORULARI CEVAPLARI CEVAP KAĞIDI ÜZERİNE YAZINIZ. SORU KİTAPÇIĞINI KARALAMA MAKSATLI KULLANABİLİRSİNİZ 1

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

TEMEL MATEMATİK TESTİ

TEMEL MATEMATİK TESTİ TEMEL MTEMTİK TESTİ 1. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 010 YGS / MT 1. 0, 0,0 0,. + 1 ) 1 7 0 ) 1 + 1 1.. ( a+ 1) ( a )

Detaylı

Sayısal öğrencisi olan Ali nin bir hafta sonu çözdüğü

Sayısal öğrencisi olan Ali nin bir hafta sonu çözdüğü 13. ( n + 3 )! ( n + )! ( n + 1 )! = 3. 3. 5. 7 15. b olduğuna göre, n kaçtır? 3 6 9 a c d ) 1 ) 3 ) 4 ) 6 ) 8 16 14. V 3 V V 1 Yukarıda verilen düzgün altıgen şeklindeki pistin noktasından belirtilen

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

5. a ve b birer pozitif tam sayıdır. A) 1 B) 2 C) 3 D) 14 E) a ve b birer doğal sayıdır. 7. a ve b birer pozitif tam sayıdır. Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I YGS Temel Matematik. 8 + 4. + 8 : 4 işleminin sonucu A) 8 B) 9 C) D) 5 E) 8 5. a ve b birer pozitif tam sayıdır.

Detaylı

2017 YGS MATEMATİK. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2

2017 YGS MATEMATİK. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2 SORULARI 1. 4. a sayısı iki farklı asal sayının çarpımıdır. OBEB (a,15) + OBEB(a,22)=2 işleminin sonucu kaçtır? A) 2 B) 1 C) 1 D) 2 E) 3 olduğuna göre, a nın en küçük değerinin rakamları çarpımı? A)6 B)7

Detaylı

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ

MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ MERKEZİ ORTAK SINAV KAZANDIRAN MATEMATİK FÖYÜ ÖRNEK: 18 sayısının pozitif çarpanları nelerdir? Çarpımları 18 olan sayılar arayalım. 18 = 1. 18 18 =. 9 18 =. 6 Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı şeklinde

Detaylı

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ

MATEMATÝK GEOMETRÝ DENEMELERÝ NM MTMTÝK GOMTRÝ NMLRÝ. 0,4 : 0, 0, 5 5 işleminin sonucu kaçtır? 4. = 4+ 3 5+ 4 6 +... + 3 toplamında her bir terimde birinci çarpan artırılıp ikinci çarpan azaltılırsa kaç artar? ) ) ) ) ) 3 5 ) 4 ) )

Detaylı

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir?

Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer

Detaylı

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM

2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM 2BÖLÜM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM DOĞAL SAYILAR ve DÖRT İŞLEM TEST 1 1) Güzelyurt ta oturan bir aile piknik için arabayla Karpaz a gidip, geri dönüyor. Bu yolculuk sonunda arabanın km göstergesini kontrol

Detaylı

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4

KC00-SS.08YT05. Kolay Temel Matematik. Üniversite Haz rl k 1. 8 ( 3 + 2) 6. 3! 3 ( 3 3): ( 3) x = 3 ve y = 2 3. ( 5) + ( 7) (+2) + 4 Üniversite Haz rl k Sözcükte Do al ve Say lar Söz Öbeklerinde ve Tam Say lar Anlam - I - I Kolay Temel Matematik. 8 ( + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6.! ( )": ( ) A) B) 0 C) D) E). 7. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D)

Detaylı

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN 9. Sınıf Matematik Soru ankası Yeliz ÇELEN opyright Evrensel İletişim Yayın ağıtım San. Tic. Ltd. Şti. u kitabın her hakkı EVRENSEL İLETİŞİM LT. ŞTİ. e aittir. Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı