KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT"

Transkript

1 KÜMELER ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİTE 1. ÜNİT Kümelerde Temel Kavramlar 1. Kazanım : Küme kavramını açıklar; liste, Venn şeması ve ortak özellik yöntemleri ile gösterir. 2. Kazanım : Evrensel küme, boş küme, sonlu küme, sonsuz küme kavramlarını örneklerle açıklar. 3. Kazanım : Alt küme kavramını ve özelliklerini açıklar. 4. Kazanım : İki kümenin eşitliğini açıklar. Kümelerde İşlemler 1. Kazanım : Kümelerde birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapar. Bu işlemler arasındaki ilişkileri ifade eder. 2. Kazanım : İki kümenin kartezyen çarpımını açıklar. 3. Kazanım : Kümelerde işlemleri kullanarak problem çözer.

2 KÜMELER Küme kavramının tanımı yoktur. Ancak küme denilince, iyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğu akla gelmelidir. Kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin elemanı (öğesi) denir. Kümede, bir eleman bir defa yazılır. Kümenin elemanlarının küme içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez. Kümeler, genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle, elemanları da a, b, c, x, y,... gibi küçük harflerle gösterilir. a bir A kümesinin elemanı ise a A biçiminde gösterilir. Eğer b, A kümesinin elemanı değilse, b A biçiminde gösterilir. KÜMELERİN GÖSTERİMİ Liste Yöntemi: Kümenin tüm elemanlarının aralarına virgül konularak küme parantezi içine yazılmasıdır. Örneğin, bir basamaklı asal sayıların kümesi {2, 3, 5, 7 } biçiminde gösterilir. Venn Şeması İle Gösterim: Kümenin elemanlarının kapalı eğrilerin içine, yanına konularak yazılmasıdır. Örneğin A = {2, 3, 5, 7 } kümesinin Venn şeması ile çeşitli şekillerde gösterimi aşağıdakiler gibidir. A A A Ortak Özellik Yöntemi: {x : x elemanlarının ortak özellikleri} veya {x x elemanlarının ortak özellikleri } biçimlerinde kümeler yazılabilir. Bu yazılışta kümenin elemanları x harfi ile gösterilmiştir. Ayrıca : veya sembolleri öyle ki anlamına gelmektedir. Örneğin, bir basamaklı asal sayılar kümesi A = { x : x asal sayı ve x < 10 } biçiminde de gösterilebilir. 10

3 Eleman Sayısı Bir A kümesinin elemanlarının sayısı s(a) veya n(a) şeklinde gösterilir. Örneğin A = {1, 2, 3, 4, 5 } ise s(a) = 5 tir. Boş Küme Elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve { } veya Ø şeklinde gösterilir. Eşit Küme Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye eşit kümeler denir ve A = B biçiminde gösterilir. Örneğin; A = {1, 2, 3, 4} ve B = {x : 1 x 4, x Z } kümeleri için A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4} olduğundan A = B dir. { Ø } kümesi bir elemanlı bir küme olup boş küme değildir. ÖRNEK 1 A = {x : 3x 1 = 6 ve x tam sayı} kümesi boş küme midir? ALT KÜME A ve B gibi iki kümeden, B kümesinin her elemanı A kümesinin de elemanı ise B kümesi A kümesinin alt kümesidir denir ve B A şeklinde gösterilir. Bir kümenin kendisinden farklı olan her alt kümesine öz alt kümesi denir. Küme Alt Kümeleri Alt küme say s Öz alt küme say s Sonlu ve Sonsuz Küme Eleman sayısı tespit edilebilen kümeye sonlu küme denir. A = {x : x < 6 ve x N} kümesinin eleman sayısı tespit edilebildiğinden bu küme sonlu bir kümedir. Eleman sayısı tespit edilemeyen kümeye sonsuz elemanlı küme denir. Doğal sayılar kümesi ve tam sayılar kümesi sonsuz elemanlı kümeye birer örnektir. ÖRNEK 2 A = {1, 2, 3, 4, 5 } ve B = {x : x tek doğal sayı} kümeleri sonlu mudur? A = { } B = {a} C = {a,b} { }, {a}, {a}, {b}, {a, b}, {a}, {b}, {c}, {a, b} 1 = = = D = {a,b,c} {a, c}, {b,c}, {a,b,c} 8 = n elemanlı bir kümenin; Alt küme sayısı 2 n dir. Öz alt küme sayısı 2 n 1 dir r elemanlı alt kümelerinin sayısı n n! f p = dir. r ( n r)!. r! n n n f p + f p f p = 2 n dir. 0 1 n Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin bir alt kümesidir. 11

4 ÖRNEK 3 A = {1, 2, 3} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini yazınız. ÖRNEK 7 A = {x : 1 < x < 6, x tam sayı} kümesinin, a. Eleman sayısı kaçtır? b. Alt küme sayısı kaçtır? c. Öz alt küme sayısı kaçtır? d. 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? e. 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 4 A = {a, {a, b}} kümesinin öz alt kümelerini yazınız. Bu kümeler kaç tanedir? ÖRNEK 5 Aşağıdakilerden hangileri A = {1, 2, {1}, {2, 3}} kümesinin alt kümesidir? a. {1} b. {2} c. {{1}} d. {3} e. {1, {1}} f. {2, 3} g. {2, {1}} h. {1, 2, 3} ÖRNEK 8 İki elemanlı alt kümelerinin sayısı 28 olan bir kümenin eleman sayısı kaçtır? ÖRNEK 6 Alt küme sayısı 32 olan küme kaç elemanlıdır? 12

5 ÖRNEK 9 Bir kümenin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı, 4 elemanlı alt kümelerinin sayısına eşitse bu kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? ÖRNEK 12 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a elemanı bulunmaz? b. a elemanı bulunur? c. a elemanı bulunur fakat b elemanı bulunmaz? ÖRNEK 10 s(a) = 6 olmak üzere, A kümesinin; a. En çok 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? b. En az 5 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? ÖRNEK 11 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 } olmak üzere, B nin alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar? 13

6 ÖRNEK 13 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunur? b. a veya b elemanları bulunur? ÖRNEK 15 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a ve b elemanları bulunmaz? b. a veya b elemanları bulunmaz? ÖRNEK 14 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 6 bulunur; ama 7 bulunmaz? ÖRNEK 16 Alt küme sayısı ile öz alt küme sayıları toplamı 63 olan küme kaç elemanlıdır? 14

7 ALIŞTIRMALAR Aşağıda liste biçiminde gösterilen kümeleri ortak özellik yöntemiyle yazınız. a. A = {1, 2, 3, 4, 5 } b. B = {Pazar, Pazartesi, Perşembe } c. C = {2, 4, 6, 8, 10, 12 } d. D = {a, e, ı, i, o, ö, s, ş, u, ü } 6. Aşağıdaki kümelerden sonlu, sonsuz ya da boş küme olanları belirleyerek noktalı yerlere yazınız. a. Çift sayılar kümesi :... b. Asal sayılar kümesi :... c. C = {x : x Z ve 4 < x 23 } : A = {a, b, {b, c }, {d }, e } kümesine göre aşağıdaki noktalı yerlere veya sembollerinden uygun olanları yerleştiriniz. d. D = {x : x R x 2 = 4 } :... e. E = {x : x tek sayı ve x < 2 } :... a. a... A b. {b }... A c. {b, c }... A d. d... A 7. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. 3. Aşağıdaki kümelerin eleman sayılarını bulunuz. a. A = { a, {b, c }, {d }, e } b. B = {x : x Z + ve x < 4 } c. C = { } d. D = {x : x R x 2 0} e. D = {x : x R, x 2 = 1 } Her kümenin öz alt kümesi vardır. Boş kümenin alt kümesi yoktur. A = { } kümesinin alt küme sayısı 2 dir. B = kümesinin alt küme sayısı 1 dir. 4. A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı kaçtır? 5. A = {a, b, c, d } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerini yazınız. 8. A = {a, b, {c }, {d, e } } kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? I. s(a) = 5 II. c A III. {d} A IV. {a, b } A V. {d, e } A VI. {{c}} A 15

8 9. A = {1, 2, {1, 2 }, 3, } kümesinin alt küme sayısı kaçtır? 14. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur ama 3 bulunmaz? 10. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde; a. a bulunmaz? 15. K = {a, b, c } ve M = {a, b, c, d, e, f, g } olmak üzere, K L M koşuluna uyan kaç farklı L kümesi yazılabilir? b. a bulunur? c. a ve b bulunur? d. a veya b bulunur? e. a bulunup, b bulunmaz? elamanlı bir kümenin, a. en az 3 elemanlı b. en çok 3 elemanlı 11. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunup, 3 bulunmaz? kaç tane alt kümesi vardır? 17. s(a) = 8 olmak üzere, A kümesinin en az 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı x, en çok 6 elemanlı alt kümelerinin sayısı y ise x + y kaçtır? 12. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 ve 2 bulunur? 18. Üç elemanı a, b, c olan bir A kümesinin 6 elemanlı alt kümelerinin 10 tanesinde a, b, c eleman olarak bulunuyorsa A kümesi kaç elemanlıdır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 veya 2 bulunur? 19. A = {x : 0 x 5 ve x Z} B = {(x, y) : x < y ve x, y A} olmak üzere, s(b) kaçtır? 16

9 KÜMELERDE İŞLEMLER Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan ve tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir ve genellikle E ile gösterilir. Kümelerin Birleşimi ve Kesişimi Yurt içi turlardan birine katılan bir grupta Ali, Orhan, Müge ve Aylin İngilizce; Müge, Pelin, Merve ve Aylin Almanca konuşabilmektedir. İ : İngilizce konuşabilenlerin kümesi A : Almanca konuşabilenlerin kümesini göstermek üzere, Yandaki şemada ifade edilen küme İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin birleşimi olarak adlandırılıp, İ A olarak gösterilir. A Ali Orhan Müge Aylin Pelin Merve İ A = {x : x İ veya x A} Yandaki şemada ifade edilen küme hem İngilizce hem Almanca konuşabilenlerin kümesidir. Bu küme İ ile A kümelerinin kesişimi olarak adlandırılıp, İ A biçiminde gösterilir. A Müge Aylin İ A = {x : x İ ve x A} A B = {x : x A veya x B} A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B A B A B E E E ÖRNEK 17 A = {1, 2, 3, 4} ve B = {3, 4, 5, 6 } ise A B kümesini liste yöntemi ile ve Venn şeması ile gösteriniz. ÖRNEK 18 A = {a, b, c, d} ve B = {1, 2, a, c} ise A B kümesini liste yöntemi ve Venn şeması ile gösteriniz. 17

10 Ayrık Kümeler A B = Ø ise A ve B kümelerine ayrık kümeler denir. Bir Kümenin Tümleyeni ÖRNEK 20 A = {1, 2, a, b, c} ve B = {2, 3, 4, a} olduğuna göre, A B ve B A kümelerini bulunuz. A E olmak üzere E kümesinin A da bulunmayan elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir ve A veya A ile gösterilir. A A De Morgan Kuralları E A = {x : x E ve x A} (A B) = A B (A B) = A B ÖRNEK 19 E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 3, 5, 7 } olduğuna göre, A kümesini bulunuz. ÖRNEK 21 A = {a, b, c, d, e} ve B = {d, e, f } olduğuna göre, a. (A B) kümesini bulunuz. b. (A B) kümesini bulunuz. ÖRNEK 22 Kümelerin Farkı A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesine A ile B nin farkı denir ve A B veya A \ B ile gösterilir. A ve B aynı evrensel kümenin alt kümeleridir. s(a B ) = 6 ve s(a B ) = 10 olduğuna göre, s(a B) + s(b A) toplamı kaçtır? A B A B A B E E E A B = {x : x A ve x B} A B = (A B) (B A) kümesine A ve B kümelerinin simetrik farkı denir. 18

11 Özellikler A A = A A B = B A A Ø = A A E = E A A = E E = Ø (A ) = A A A = A A B = B A A Ø = Ø A E = A A A = Ø Ø = E A = E A ÖRNEK 25 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a) = 6 ve s(b) = 8 ise a. s(a B) en az kaçtır? b. s(a B) en çok kaçtır? A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) s(a B) = s(a) + s(b) s(a B) s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) s(a B) s(a C) s(b C) + s(a B C) ÖRNEK 26 A B = A B A B B A A B A B = B A B A B = A B A olmak üzere, s(a B ) = 8 ve s(b) = 5 ise A kümesinin eleman sayısı en çok kaçtır? ÖRNEK 23 A B = ( 3, 4 ] ve A C = [ 2, 5) olduğuna göre, A (B C) kümesini bulunuz. ÖRNEK 24 A ve B ayrık iki küme olmak üzere, s(a) s(b) = 5 ve s(a B) = 9 ise s(a) kaçtır? ÖRNEK 27 s(a B) = 5, s(b A) = 3 ve A B kümesinin öz alt küme sayısı 15 ise s(a B) kaçtır? 19

12 ÖRNEK 28 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, (A B) A kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 29 A ve B, E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. ETKİNLİK Kan nakillerinde vericinin sahip olduğu antijenlerin önemli olduğunu biliyoruz. Bir kişide, A, B ve Rh antijenlerinin en az biri olabilir ya da hiçbiri bulunmayabilir. Aşağıdaki tabloda kan grupları ve bu gruplara sahip kişilerin antijenleri gösterilmiştir. Buna göre tablonun yanındaki Venn şemasını doldurunuz. A B Kan grubu ARh + ARh BRh + BRh ABRh + ABRh 0Rh + 0Rh Antijen A, Rh A B, Rh B A, B, Rh A, B Rh Rh ÖRNEK 30 A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [ (B A) (A B) ] (B A) kümesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 31 A B = {1, {2, 3}}, B A = {2 } ve B = {2, {2 }, {1, 2 }} ise A kümesi nedir? 20

13 ÖRNEK 32 A = {x : x < 100, x N} kümesinin kaç tane elemanı 6 ile bölünebilir? ÖRNEK 35 A = {x : 20 < x < 200, x = 4k, k Z} B = {x : 30 < x < 150, x = 5k, k Z} kümeleri için s(a B) kaçtır? ÖRNEK 33 A = {x : x < 200, x N} kümesinin kaç tane elemanı 3 ve 5 ile bölünebilir? ÖRNEK 36 ÖRNEK 34 A = {x : 10 < x < 100, x tam sayı} kümesinin kaç tane elemanı 3 veya 5 ile bölünebilir? A = {x : x = 2k, k < 50, k Z +} B = {x : x = 5k, k < 30, k Z +} kümeleri için s(a B) kaçtır? 21

14 KÜME PROBLEMLERİ Futbol oynayanların kümesi: F Basketbol oynayanların kümesi: B a, b, c, d içinde bulundukları kümelerin eleman sayılarını göstersin. E F a b c B d Futbol oynayanların sayısı = a + b Sadece futbol oynayanların sayısı = a Futbol ve basketbol oynayanların sayısı = b Hiçbir oyun oynamayanların sayısı = d En çok bir oyun oynayanların sayısı = a + c + d Basketbol oynayanların sayısı = b + c Sadece basketbol oynayanların sayısı = c Futbol veya basketbol oynayanların sayısı = a + b + c En az bir oyun oynayanların sayısı = a + b + c ÖRNEK kişilik bir sınıfta, matematikten 18 kişi ve fizikten 12 kişi başarılı olmuştur. Her iki dersten başarısız 8 kişi olduğuna göre, bu sınıfta bu derslerin sadece birinden başarılı kaç kişi vardır? ÖRNEK 38 Bir sınıftaki öğrenciler matematik veya fizik derslerinin en az birinden bütünlemeye kalmıştır. Sınıftaki öğrencilerin % 60 ı matematikten, % 70 i fizikten bütünlemeye kalmıştır. Her iki dersten bütünlemeye kalan 6 öğrenci varsa, bu sınıfta kaç öğrenci vardır? 22

15 ÖRNEK 39 Bir iş yerinde A, B, C gazetelerinden en az biri okunmaktadır. A gazetesini 16, B gazetesini 12, C gazetesini 18, A ve B gazetesini 8, A ve C gazetesini 10, B ve C gazetesini 6 ve her üç gazeteyi de okuyan 5 kişi olduğuna göre, sadece bir gazete okuyan kaç kişi vardır? ÖRNEK 41 Herkesin Türkçe bildiği 30 kişilik bir toplulukta, İngilizce bilenler Almanca bilmemektedir. Bu toplulukta sadece bir dil bilen 10 kişi vardır. Türkçe ve Almanca bilen 12 kişi olduğuna göre, Türkçe ve İngilizce bilenlerin sayısı kaçtır? ÖRNEK kişilik bir sınıftaki gözlüksüz kızların sayısı, gözlüklü erkeklerin sayısının 3 katına eşittir. Kızların sayısı, erkeklerin sayısından 8 fazladır. Bu sınıfta gözlüksüz erkeklerin sayısı 12 ise gözlüklü kız sayısı kaçtır? ÖRNEK 42 A, B, C dillerinden en az birinin konuşulduğu 36 kişilik bir sınıfta; B dilini konuşanların hepsi C dilini de konuşmaktadır. Toplulukta üç dili konuşan 6 kişi ve iki dili konuşan 18 kişi olduğuna göre, tek dil konuşan kaç kişi vardır? 23

16 ALIŞTIRMALAR Aşağıdaki noktalı yerleri uygun şekilde doldurunuz. a. A B ise A B = A = {x : 10 < x < 50, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 2 ve 3 ile tam bölünebilir? b. A B ise... = B c. Her A kümesi için A B = A ise... d.... = s(a) + s(b) s(a B) e.... = A B 2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa boş kutulara D yanlışsa Y yazınız. A A = A A = A A E = E A E = A A B B A A B ve B C A C 5. A = {1, 2, 3 } ve B = {3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, A B = B C koşulunu sağlayan C kümesi, a. en az kaç elemanlıdır? b. en çok kaç elemanlıdır? 6. A = {x : 10 < x < 100, x Z} kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 ile bölünebilir fakat 5 ile bölünemez? 3. Aşağıdaki kümeleri karşı sütunda bulunan eşitleri ile eşleştiriniz. a 1 (A B) (A B) A 7. A ve B ayrık olmayan iki kümedir. s(a) = 6 ve s(b) = 8 olduğuna göre, s( A B) en çok kaç olabilir? b (A B) (A B) 2 (A B) (A C) c (A B) (B A ) c 3 A (B C) 3 E 8. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, [B (A B) ] A kümesinin en sade hâli nedir? 24

17 9. A, B, C kümeleri için s(a) + s(b) + s(c) = 35 olduğuna göre, s(a B C) en az kaçtır? 14. A = {x : x = 3n, n N, 1 n 36 } B = {x : x = 2n, n N, 1 n 30 } olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 10. A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesidir. s(a) + s(b ) = 11 ve s(a ) + s(b) = 17 olduğuna göre, s(e) kaçtır? 15. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) s(b) = 4 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 11. A ve B herhangi iki küme olmak üzere, s(a B) = 5 s(a B) = 16 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 16. (A B) (A B) kümesinin eşitini bulunuz. 12. A B olmak üzere, [A (A B )] kümesinin eşitini bulunuz. 17. s(a B) = 6 s(a B) = 2.s(A B ) olduğuna göre, s( A B ) kaçtır? 13. s(a B) = 6, s(b A) = 5 ve s(a) = 8 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 18. A B ve s(a) + 2.s(B) = 14 olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 25

18 19. Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşan bir grubun % 60 ı İngilizce, % 50 si Almanca biliyor. Her iki dili bilinler 5 kişi olduğuna göre, sadece Almanca bilen kaç kişidir? 23. Bir grupta Almanca ve Fransızca dillerinden sadece birini bilen 15, en az birini bilen 19, en çok birini bilen 29 kişi olduğuna göre, bu grup kaç kişiliktir? 20. Basketbol ve futbol sporlarından en az birinin oynandığı bir toplulukta basketbol oynayanların % 60 ı futbol oynamıyor. Futbol oynayanların % 80 i basketbol oynamıyor. Grupta yalnız futbol oynayan 8 kişi olduğuna göre yalnız basketbol oynayan kaç kişi vardır? 21. Bir sınıfta Almanca bilenlerin sayısı, İngilizce bilenlerin sayısının üçte biridir. Bu sınıfta Almanca bilmeyip, İngilizce bilen 27 kişi, İngilizce bilmeyip Almanca bilen 3 kişi vardır. İngilizce veya Almanca bilmeyenlerin sayısı her iki dili bilenlerin sayısının üçte biri ise bu sınıfın mevcudu kaçtır? erkek, 18 kadının bulunduğu bir grupta 24 kişi gözlüksüzdür. Bu grupta, gözlüklü veya kadın olanların sayısı 22 olduğuna göre, gözlüksüz kadınların sayısı kaçtır? 25. Bir şantiyede sıva, boya, elektrik ve su işlerinden en az birini yapabilenler vardır. En az üç işi yapanlar 16, en fazla dört işi yapabilen 20 kişi bulunduğuna göre, en çok iki iş yapabilen kaç kişi vardır? 22. Erkek ve kız öğrencilerin bulunduğu 45 kişilik bir sınıfta gözlüklü erkeklerin sayısı gözlüksüz kızların sayısının 4 katıdır. Sınıfta 14 erkek gözlüksüz ve 6 kız gözlüklü olduğuna göre, erkeklerin sayısı nedir? 26. Futbol veya basketbol oynayanların bulunduğu 30 kişilik bir sınıfta 6 kişi hem futbol hem basketbol oynayabilmektedir. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısının 2 katı olduğuna göre, bu sınıfta sadece basketbol oynayan kaç kişi vardır? 26

19 SIRALI İKİLİ KARTEZYEN ÇARPIM A ve B boş olmayan herhangi iki küme olmak üzere, A x B = {(x, y) : x A ve y B} kümesine A ile B nin kartezyen çarpımı denir. Kartezyen çarpımının özellikleri aşağıda gösterilmiştir. A x A = A 2 A x B B x A (A x B) x C = A x (B x C) Milli futbol takımımızın 2005 ile 2010 yılları arasında aldığı galibiyet sayılarını bu yıllarla ilişkilendirip ikililer elde etmeye çalışalım. İkililerin birinci bileşenleri yılı, ikinci bileşenleri o yıla ait galibiyet sayısını göstersin. Bu durumda, (2005, 6), (2006, 8), (2007, 5) (2008, 5), (2009, 4), (2010, 4) olur. a ve b elemanlarının (a, b) biçiminde yazılmasıyla elde edilen elemana sıralı ikili veya kısaca ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci bileşen, b ye ikinci bileşen denir. Sıralı ikilide bileşenlerin sırası önemlidir. Yani, (a, b) (b, a) dır. (a, b) = (c, d) a = c ve b = d ÖRNEK 43 (a + 2, b 1) = ( 3, 2) olduğuna göre, a + b kaçtır? s(a x B) = s(a). s(b) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) ÖRNEK 45 A = {1, 2 } ve B = {a, b} olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerini yazınız. ÖRNEK 46 A = { x : 2 < x < 3, x Z} B = { x : 1 x 1, x Z} olduğuna göre, s(a x B) kaçtır? ÖRNEK 44 (3 n, 25) = (27, 5 m 1 ) olduğuna göre, m. n kaçtır? ÖRNEK 47 s[(a x B ) (A x C)] = 12 ve s(b C) = 3 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 27

20 ÖRNEK 48 ÖRNEK 51 A = {1, 2 } ve B = {1, 2, 3} B olduğuna göre, A x B kümesini yazıp analitik düz- 3 lemde gösteriniz A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesini bulunuz. ÖRNEK 49 A = [1, 4) ve B = {1, 2 } olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. ÖRNEK 52 A = {1, 2, 3} olmak üzere A x A kümesinin elemanlarını dışarıda bırakmayan en küçük çaplı dairenin çapı kaç birimdir? ÖRNEK 50 A = ( 1, 2] ve B = [1, 3] olduğuna göre, A x B ve B x A kümelerinin grafiklerini çiziniz. 28

21 ALIŞTIRMALAR (x 3, 2 x + y) = (8, 9) olduğuna göre, x.y kaçtır? 5. A = {1, 2, 3 } B = {2, 3, 4, 5 } olmak üzere A x B kümesinin birbirine en uzak iki elamanı arasındaki uzaklık kaç birimdir? 2. AxB = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) } ise A kümesini bulunuz. 6. s(a x A) = 64 olduğuna göre, s(a) kaçtır? 3. A = {0, 1, 2, 3, 4 } B = {0, 2, 4, 6, 8 } C = {2, 3, 4, 5, 6 } olduğuna göre, s[(a x B) (A x C)] kaçtır? 7. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. 3 2 B A 4. Aşağıdaki eşitliklerden doğru olanlar için boş kutuya D yanlış olanlar için Y yazınız. A x B = B x A s(a x B) = s(b x A) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B C) = (A x B) (A x C) A x (B x C) = (A x B) x C 8. Aşağıda grafiği verilen A x B kümesi için A B ve A B kümelerini bulunuz. B 4 2 A B ve C D ise (A x C) (B x D) 1 3 A 29

22 9. s(a B) = 4 s(b) = 6 s(a x B) = 42 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? 13. A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = {2, 3, 4, 6 } C = {1, 2, 3, 6 } olduğuna göre, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? 10. A = [1, 3) ve B = {1, 3 } olduğuna göre, A x B kümesinin grafiğini çiziniz. 14. s(a) = 3, s(b) = 4, s(c) = 5 olmak üzere, (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı en az kaç olabilir? 11. A = [ 1, 2] ve B = ( 3, 2) olduğuna göre, B x A kümesinin grafiğini çiziniz. 15. B C olmak üzere, s[(a x C) (A x B)] = 15 ise s(a) en çok kaçtır? 12. A = {x: 2 x 5, x R} 16. y olduğuna göre, A x A kümesinin koordinat düzleminde oluşturduğu düzlemsel bölgenin alanı kaç br 2 dir? x 3 Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre A B kümesi nedir? 30

23 Yazılıya Hazırlık Soruları 1. A ve B boş olmayan iki kümedir. 2.s(A) = 3.s(B) = 5.s(A B) olduğuna göre, s(a B) en az kaçtır? 4. A ve B iki kümedir. s(a) = 12 n, s(b) = 2n + 6 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s( A B) en çok kaçtır? 2. A = {x: 2 x 5 } ve B = {x: 2 < x < 7 } olduğuna göre ( A B) kümesini bulunuz. 5. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 1 bulunur ama 2 bulunmaz? 3. A ve B gibi iki kümeden A nın bir, B nin iki elemanı A B kümesinin elemanı değildir. dışında A B nin alt kümeleri sayısı 15 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? 6. A B ve s(a B) = 8 olmak üzere, B kümesinin alt küme sayısı, A kümesinin alt küme sayısının 4 katı ise s( A B) en az kaçtır? 31

24 7. Bir sınıftaki öğrencilerin % 40 ı kız öğrencidir. Kız öğrencilerin % 90 ı, erkek öğrencilerin % 80 i matematik dersinden başarılıdır. 9. A = {x: x < 100, x N } olmak üzere, A kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 veya 5 ile tam bölünür? Buna göre, bu sınıfın matematik dersinden başarısı yüzde kaçtır? 8. (2a + b, 7) = (2, a b + 3) olduğuna göre a.b kaçtır? 10. Bir kümenin eleman sayısını 2 artırdığımızda öz alt küme sayısı 48 artmaktadır. Bu kümenin en az 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır? 32

25 TEST - 1 Kümeler 1. Aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi bir küme belirtir? l. Asal sayılar II. Türkiye deki iller III. Haftanın A ile başlayan günleri IV. Güzel olan harfler V. En güzel meyve 5. A = {a, b, {a}, c, {a, c } } olmak üzere aşağıdakilerden hangisi A kümesinin hem elemanı hem de alt kümesidir? A) a B) {a, c } C) {b} D) {a, b } E) {c} A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2. A = {a, b, c, d, e } kümesi için aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur? l. {a} A li. Ø A lii. Ø A lv. {Ø} A V. {a, b } A VI. {e} A A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 6. A = {1,2, 3, 4, 5, 6 } B = {4, 6, 8, 10 } kümelerinin kaç tane ortak alt kümesi vardır? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) A = {1, {2}, 3, {1, 2 }, 4, 5 } olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) s(a) = 6 B) {1, 4, 5 } A C) {1, 2 } A D) {2} A E) {1, {2} } A 7. A ve B kümeleri için s(a) = 6, s(a B) = 9 ve A B olduğuna göre, A B nin en fazla kaç alt kümesi olabilir? A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) Alt kümelerinin sayıları toplamı 40 olan iki kümenin elemanlarının sayıları toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) elemanlı alt küme sayısı 28 olan bir kümenin en çok 2 elemanlı kaç alt kümesi vardır? A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38 33

26 9. A B kümesinin alt küme sayısı 2 ve A ile B kümelerinin alt küme sayılarının toplamı 24 ise, A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) Boş olmayan n elemanlı bir A kümesinin, k tane öz alt kümesi vardır. A kümesine 2 eleman daha katılırsa, kaç tane alt kümesi olur? A) k + 3 B) 4k + 4 C) 4k D) 2k + 4 E) k M = {a, b, c, d } N = {a, b, c, d, e, f, g } kümeleri için M ve N den farklı olması koşulu ile N nin alt kümelerinden kaç tanesi M yi kapsar? 14. A = {x : x 2 < 50 ve x asal sayı } kümesinin kaç alt kümesinde 3 ve 5 bulunur? A) 2 B) 4 C) 8 D) 12 E) 16 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) A = {a, b, c } ve A B = {a, b, c, d, e, f } koşullarını sağlayan en çok kaç tane B kümesi yazılabilir? kişilik bir sınıf Türkçe ve İngilizce dillerinden en çok ikisini bilenlerden oluşmaktadır. Sadece Türkçe bilen 10 kişi ve Türkçe bilmeyen 8 kişi olduğuna göre, her iki dili bilen kaç kişi vardır? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 A) 3 B) 4 C) 7 D) 8 E) (x 3, y + 1) = (4, 3) olduğuna göre, x + y kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) kişilik bir sınıfta futbol oynayanların sayısı 12, basketbol oynayanların sayısı 10, futbol ve basketbol oynayanların sayısı 4 kişidir. Buna göre, sınıfta futbol veya basketbol oynamayanların sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 34

27 TEST - 2 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur? A) 56 B) 64 C) 112 D) 116 E) A = { a, b, c, d, e, f } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde, a veya b den en çok birisi eleman olarak bulunur? A) 64 B) 48 C) 32 D) 16 E) 8 6. A B = A 2. A B ve s(a B) = 25 olmak üzere, B kümesinin en çok bir elemanlı alt küme sayısı 17 ise A B kümesi kaç elemanlıdır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) A B = A B) A = B C) A B D) A B = A E) B A = B 3. Öz alt küme sayısı 63 olan bir kümenin eleman sayısı 1 azaltılırsa alt küme sayısı kaç azalır? A) 32 B) 28 C) 16 D) 8 E) 4 7. A B = ( 2, 5] ve A C = [1, 7) olduğuna göre, A (B C) neye eşittir? A) [1, 5] B) [ 2, 1] C) [5, 7] D) (1, 5] E) [1, 5) 4. 3 elemanlı alt kümeleri sayısı, 2 elemanlı alt kümeleri sayısına eşit olan bir kümenin en az 3 elemanlı alt kümeleri sayısı kaçtır? A) 5 B) 6 C) 15 D) 16 E) A = {x : 2 < x < 3, x R } B = {x : 3 < x < 2, x R } olduğuna göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 2) B) [ 1, 1] C) ( 3, 3) D) { 1, 0, 1 } E) { 2, 1, 0, 1, 2 } 35

28 9. A B, A B ve B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 1, 16 ve 8 ise s(a B) kaçtır? 13. B 3 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) A Şekilde verilen A x B kümesinin grafiğine göre, A B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 2, 1) B) ( 1, 2) C) ( 2, 2) 10. Bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı ile 4 elemanlı alt küme sayısı birbirine eşittir. Bu kümenin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? D) ( 1, 3) E) (2, 3) A) 28 B) 21 C) 15 D) 14 E) s(a B) = 3 ve s(a B) = 4 olduğuna göre, s(a x B) en az kaçtır? 11. (2 x+1, y 1 ) = (16, 6) A) 3 B) 4 C) 6 D) 12 E) 24 olduğuna göre, x.y kaçtır? A) 6 1 B) 4 1 C) 3 1 D) 2 1 E) Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en az yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) K, L, M birbirinden farklı ve boş kümeden farklı kümeler olmak üzere, s[(k x L) (K x M)] = 24 ise s(k) en çok kaç olabilir? A) 24 B) 12 C) 8 D) 6 E) Bir sınıftaki öğrencilerin % 60 ının bisikleti, % 72 sinin bilgisayarı vardır. Öğrencilerin en çok yüzde kaçında hem bisiklet hem de bilgisayar vardır? A) 12 B) 28 C) 32 D) 40 E) 60 36

29 TEST - 5 Kümeler 1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 7 eleman olarak bulunur? A) 32 B) 56 C) 64 D) 120 E) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 6 eleman olarak bulunup, 7 bulunmaz? A) 8 B) 16 C) 28 D) 32 E) s(a) + s(b) = 22 s(a B) = 5 olduğuna göre, s( A B) kaçtır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 19 E) A ve B boştan farklı iki kümedir. s(a B) + s(a B) = 24 s(a) = 2.s(B) olduğuna göre, s(a) kaçtır? A) 8 B) 10 C) 12 D) 16 E) K L = {a, b, c, d } 3. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 4 veya 6 ile tam bölünür? A) 32 B) 33 C) 34 D) 35 E) 36 K M = {a, c, e, f } olduğuna göre, K (L M) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) Ø B) {a, b, c, d } C) {a, c, e, f } D) {a, c } E) {e, f } 4. A = {x : x < 100, x N } kümesinin elemanlarından kaç tanesi 3 ile bölünüp, 5 ile bölünemez? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) A = { x : 0 < x < 100, x = 2k, k Z } B = { x : 0 < x < 75, x = 3k, k Z } kümeleri için s( A B) kaçtır? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 41

30 9. s(a B) = 3 s(a B) = 7 olduğuna göre, s( A x B) en çok kaçtır? y A) 12 B) 15 C) 18 D) 21 E) x Yukarıdaki grafik A x B kümesine ait olduğuna göre A B kümesini gösteren aralık aşağıdakilerden hangisidir? 10. A = {x : 2 x < 1, x Z } B = {x : x 1 1, x Z } olduğuna göre, s( A x B) kaçtır? A) [1, 2] B) (1, 2] C) (1, 2) D) [1, 2) E) [0, 2) A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) A 11. s(a) = 6 s(a B) = 3 s[(b x B) (B x A)] = 40 olduğuna göre, s( B A) kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 B C Şekildeki taralı bölge aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir? A) A (B C)B) A (B C) C) A (B C)D) B (A C) E) C (A B) kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı 20, Almanca bilmeyenlerin sayısı 18, en çok bir dil bilenlerin sayısı 24 olduğuna göre, bu sınıfta İngilizce ve Almanca bilmeyen kaç kişi vardır? A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) M ve N aynı evrensel kümenin iki alt kümesi olmak üzere, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır? A) M N ise M N = N B) M N ise N M C) (M N) = M N D) (M N) M = M N E) M N = (M N) N 42

31 Üniversiteye Giriş Sınav Soruları ÖYS A = {1, 2, 3 }, A B = {1, 2, 3, 4, 5 } ve A B = {1, 2 } olduğuna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {5 } B) {4, 5 } C) {3, 4, 5 } D) {3, 4} E) {1, 3, 5 } ÖYS A = { 2, 1, 0 } ve B = {1, 2, 3 } kümelerinin, A x B ( kartezyen çarpım) kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan, en küçük çemberinin yarıçapı kaç birimdir? 1 A) B) v3 C) v2 D) 2 E) ÖSS A ve B birer küme olmak üzere A B kümesinin eleman sayısı 4, B A kümesinin eleman sayısı 5, A kümesinin eleman sayısı 6 dır. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) ÖYS Futbol, voleybol ve basketbol oynayanlardan oluşan bir sporcu kafilesinde, üç oyunu da oynayanlar 5, futbol ve voleybol oynayanlar 9, voleybol ve basketbol oynayanlar 8, futbol ve basketbol oynayanlar 6 kişidir. Futbol oynayanlar 23, voleybol oynayanlar 21, basketbol oynayanlar 15 kişi olduğuna göre, kafilede kaç sporcu vardır? A) 64 B) 59 C) 53 D) 41 E) ÖSS Bir sınıftaki öğrencilerden 35 i İngilizce, 33 ü Almanca kursuna gidiyor. Bunlardan 15 i her iki kursada gittiğine göre, bu sınıfta bu kurslara katılan öğrencilerin tümü kaç kişidir? A) 50 B) 53 C) 68 D) 78 E) ÖYS En az birer elemanı bulunan A ve B kümeleri için, (A B) B = A eşitliği gerçekleniyorsa, bu kümeler için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) B A B) A B C) A B = Ø D) A B = B E) (A B) = B ÖYS A ve B kümeleri için, A B, B A, s(a B) = 8, s(a B) = 2 olduğuna göre, A kümesinde en çok kaç eleman olabilir? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) ÖYS s(a B) = 9, s(b A) = 7 ve A B nin alt küme sayısı 64 olduğuna göre, s(a B) kaçtır? A) 16 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28 43

32 ÖYS A = {Sınıftaki gözlüklü öğrenciler } B = {Sınıftaki sarışın öğrenciler } C = {Sınıftaki erkek öğrenciler } D = {Sınıftaki kız öğrenciler } olduğuna göre, C A (B D) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {Sınıftaki sarışın olmayan, gözlüklü erkek öğrenciler} B) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın erkek öğrenciler} C) {Sınıftaki gözlüklü olmayan, sarışın kız öğrenciler} D) {Sınıftaki gözlüklü erkek öğrenciler} E) {Sınıftaki sarışın kız öğrenciler} ÖSS A = {a, b, c, d, e } kümesinin, 3 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde a elemanı bulunur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) ÖYS A ve B herhangi iki küme ve A B, A B, B A kümelerinin alt küme sayıları sırasıyla 512, 32 ve 4 olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) ÖYS M = {a, b, {1, 2 }, } N = {a, 1, 2, { }} olduğuna göre, M N fark kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) ÖYS E evrensel küme olmak üzere, s(e) = 9, s(a B) = 3, s(a B) = 6 ve s(b) = 4 olduğuna göre, A kümesinin tümleyeni olan A kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) ÖSS A = { x : 11 x 1200, x = 4n, n N} B = { y : 8 < y < 900, y = 6k, k N} olduğuna göre, (A B) nin eleman sayısı kaçtır? A) 64 B) 66 C) 68 D) 70 E) ÖYS A = {a, c, d } B = {a, b, c, d, e, f, g } olduğuna göre, B nin alt kümelerinin kaç tanesi, A kümesini kapsar? A) 16 B) 32 C) 48 D) 96 E)

33 ÖYS A = {1, 2, 3, 4, 5 } kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? A) 24 B) 22 C) 20 D) 16 E) ÖSS Bir sınıfta Almanca veya Fransızca dillerinden en az birini bilen 40 öğrenci vardır. Almanca bilenlerin sayısı; Fransızca bilenlerin sayısının 2 katı, her iki dilide bilenlerin sayısının ise 4 katıdır. Buna göre, sınıfta Almanca bilenlerin sayısı kaçtır? A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) ÖYS 18 kişilik bir sınıfta öğrenciler İngilizce, Fransızca dillerinden en az birini bilmektedir. İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin üç katıdır. Buna göre sadece Fransızca bilenlerin sayısı aşağıdakilerden hangisi olabilir? ÖSS Pozitif tam sayılardan oluşan A = {x : x < 100, x = 2n, n Z + } B = {x : x < 151, x = 3n, n Z + } A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 kümeleri veriliyor. Buna göre, A B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 49 B) 65 C) 74 D) 83 E) ÖSS A ve B kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere, s(e) =12, s(a B) = 4 ve s(a B ) = 3 olduğuna göre, B kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) ÖSS Bir sınıftaki erkeklerin sayısının kızların sayısına 3 oranı dir. Erkeklerin % 20 si futbol oynadığına 7 göre, futbol oynamayan erkeklerin sayısı tüm sınıfın yüzde kaçıdır? A) 16 B) 18 C) 20 D) 22 E) ÖSS Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 3.s(A B) = 4.s(A B) = 5.s(B A) olduğuna göre, A B kümesinin eleman sayısı en az kaçtır? A) 12 B) 27 C) 35 D) 47 E) ÖSS A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde 2 bulunur; ama 4 bulunmaz? A) 10 B) 15 C) 20 D) 50 E) 70 45

34 ÖSS Kesişimleri boş küme olmayan M ve N kümeleri için, s(n) = 4.s(M) s(n M) = 5.s(M N) olduğuna göre, N kümesi en az kaç elemanlıdır? A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) YGS A = {a, b, e } B = {a, b, c, d } olduğuna göre, (A B) K (A B) koşulunu sağlayan kaç tane K kümesi vardır? A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) ÖSS A = {a, b, c, d } B = {b, c, d, e, f, g, k, l } C = {c, d, e, r } olduğuna göre, kartezyen çarpımların kesişimi olan (A x B) (A x C) kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) YGS n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi S(n) ile gösteriliyor. Buna göre, S(60) S(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) LYS ÖSS K = { 2, 1, 0, 1, 2, 3 } kümesinin üç elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin elemanları çarpımı bir negatif tam sayıya eşittir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 A = {n Z + : n 100; n, 3 e tam bölünür. } B = {n Z + : n 100; n, 5 e tam bölünür. } olduğuna göre, A B fark kümesinin eleman sayısı kaçtır? A) 33 B) 32 C) 30 D) 28 E) ÖSS Herhangi A ve B kümeleri için (A B) (A B) fark kümesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) A (A B)B) A (A B) C) (A B) (B A)D) (A B) (B A) E) (A B) (A B) YGS 3 A = =, 5 G 2 16 B = > 3, H 3 kapalı aralıkları için (A B) Z kümesinin eleman sayısı kaçtır? ( Z, tam sayılar kümesidir.) A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 46

35 LYS Bir öğrenci, doğru olduğunu düşündüğü aşağıdaki iddiayı ispatlarken bir hata yapmıştır. İddia: A, B, C herhangi kümeler olmak üzere, A ( B C ) ( A B ) ( A C ) dir. Öğrencinin ispatı: A ( B C ) kümesinin her elemanının ( A B ) ( A C ) kümesinde olduğunu gösterirsem ispat biter. Şimdi, x A ( B C ) alalım. I. Buradan x A ve x ( B C ) olur. II. Buradan x A ve ( x B ve x C ) olur. III. Buradan ( x A ve x B ) ve ( x A ve x C ) olur. IV. Buradan x A B ve x A C olur. V. Buradan x [ ( A B ) ( A C ) olur. Bu öğrenci, numaralandırılmış adımların hangisinde hata yapmıştır? A) I B) II C) III D) IV E) V 47

36 48

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç

Starboard dosya aç dosyayı seçerek Andropi teach menu içe aktar dosyayı seçiyoruz nesne olarak seç Not: Starboard programında dosya aç kısmından dosyayı seçerek açabilirsiniz. Yazı karakterlerinde bozulma oluyorsa program kapatılıp tekrar açıldığında yazı düzelecektir. Ben yaptığımda düzelmişti. Andropi

Detaylı

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4

KÜMELER Test -1. 5. A a,b,c, 1,2, 5. 1. A a,b,c,d 2. A,1,2,3, 1. 7. s(a) = 10 ve s(b) = 7. 4. B x:0 x 40 ve x 5k, k. 8. s(a) = 9 ve s(b) = 4 KÜMELER Test -1 1. A a,b,c,d kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? A) A B) a A C) d A D) {a, c} A E) {a} A 5. A a,b,c, 1,2, 5 kümesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) s(a) = 6 B) b A C)

Detaylı

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Kümeler TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 , 2006 MC Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Kümeler TEST I 1. s(a) = 13 s(a \ B) = 7 s(a B) = 23 ise, s(b) nedir? A) 6 B) 7 C) 10 D) 13 E) 16 7. Üç basamaklı 5 ve 7 ile tam bölünebilen,

Detaylı

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler

SONUÇ YAYINLARI. 9. Sınıf Kümeler 9. SINIF SONUÇ YYINLRI 9. Sınıf Kümeler Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılması,

Detaylı

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN,

İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYIN KURULU Hazırlayanlar İlter TÜRKMEN, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN, YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK & Ezgi

Detaylı

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ:

YAZILI ÇALIŞMA TEKNİKLERİ. w w w. g e o m e t r i g o r m e t e k n i k l e r i. c o m. { } : boþ küme demek deðildir. ÇÖZÜMÜ: KONU BİLGİSİ 1.KÜME TNIMI VE GÖSTERÝM ÞEKÝLLERÝ Belli özellikleri saðlayan nesneler topluluðuna küme denir. Kümede tüm elemanlar net olmalýdýr. Kümeler büyük harflerle gösterilir. Bir kümede bir eleman

Detaylı

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim.

Her türlü görüş, öneri ve eleştirilerinize açık olduğumu bilmenizi ister çalışmalarınızda ve sınavlarınızda başarılar dilerim. Önsöz Değerli Öğrenciler, u fasikül ortaöğretimde başarınızı yükseltmeye, üniversite giriş sınavlarında yüksek puan almanıza yardımcı olmak için özenle hazırlanmıştır. Konular anlamlı bir bütün oluşturacak

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 3.KONU Kümeler Teorisi; Küme işlemleri, İkili işlemler 1. Altküme 2. Evrensel Küme 3. Kümelerin Birleşimi 4. Kümelerin Kesişimi 5. Bir Kümenin Tümleyeni

Detaylı

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

KÜMELER A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 30 B) 31 C) 32 D) 33 E) 34 A) 30 B) 25 C) 21 D) 19 E) 17 A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32 TARAMA TESTİ 1 KÜMELER 1. A= x N : x 6 A B x N : x 8 B \ A aşağıdakikerden hangisidir? A)7,8 B)6,7,8 C)8 D)7 E) 2. A = x N : 2 x 7, B = x N : 2 x 5 olduğuna göre,a \ B nin eleman sayısı kaç? 3. A = x N

Detaylı

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız.

KÜMELER. Küme nesneler topluluğudur. Bu bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. KÜMELER Küme nesneler topluluğudur. u bölümde kümelerle kurulan matematiksel yapıyı tanıtacağız. Küme kavramı matematiğe girmeden önce matematik denilince akla sayılar ve şekiller gelirdi. Kümeler kuramının

Detaylı

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık

Matematik. Körfez Yayınları. YGS - LYS Ön Hazırlık Matematik R İ T N R Ö SAYISAL K E YGS - LYS Ön Hazırlık Copyright Çağlayan Basım Yayın Dağıtım Ambalaj San. Tic. A.Ş. Bu kitabın tamamının ya da bir kısmının, kitabı yayımlayan şirketin önceden izni olmaksızın

Detaylı

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ

MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Ar tık Matematiği Çok Seveceksiniz! MateMito AKILLI MATEMATİK DEFTERİ Artık matematikten korkmuyorum. Artık matematiği çok seviyorum. Artık az yazarak çok soru çözüyorum. Artık matematikten sıkılmıyorum.

Detaylı

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ

AYRIK YAPILAR ARŞ. GÖR. SONGÜL KARAKUŞ- FIRAT ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ YAZILIM MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ, ELAZIĞ AYRIK YAPILAR P r o f. D r. Ö m e r A k ı n v e Y r d. D o ç. D r. M u r a t Ö z b a y o ğ l u n u n Ç e v i r i E d i t ö r l ü ğ ü n ü ü s t l e n d i ğ i «A y r ı k M a t e m a t i k v e U y g u l a

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez.

KÜMELER. Kümeler YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 MATEMATĐK ĐM /LYS. UYARI: {φ} ifadesi boş kümeyi göstermez. MTEMTĐK ĐM YILLR 00 00 004 005 006 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 - - - - - 1 1 1/1 /LYS KÜMELER TNIM: in tam bir tanımı yoksa da matematikçiler kümeyi; iyi tanımlanmış nesneler topluluğu olarak kabul

Detaylı

10.Konu Tam sayıların inşası

10.Konu Tam sayıların inşası 10.Konu Tam sayıların inşası 1. Tam sayılar kümesi 2. Tam sayılar kümesinde toplama ve çarpma 3. Pozitif ve negatif tam sayılar 4. Tam sayılar kümesinde çıkarma 5. Tam sayılar kümesinde sıralama 6. Bir

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır.

Dikkat: Bir eleman, her iki kümede de olsa bile sadece bir kez yazılır. KÜMELER Kümelerin birleşimi (A B ): Kümelerin bütün elemanlarından oluşur. Kümelerin kesişimi (A B): Kümelerin ortak elemanlarından oluşur. Kümelerin Farkı (A \ B ) veya (A - B ): Birinci kümede olup ikinci

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ASAL SAYILAR Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1' den büyük tamsayılardır. En küçük asal sayı, 2' dir. 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur. Yani, 2 sayısı dışındaki

Detaylı

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.

(a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir. BĞANTI - FONKSİYON 1. Sıralı İkili : (a,b) şeklindeki ifadelere sıralı ikili denir. Burada a'ya 1. bileşen b'ye 2. bileşen denir.! (x 1,x 2, x 3,x 4,...x n ) : sıralı n li denir. Örnek, (a,b,c) : sıralı

Detaylı

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER

MATEMAT K 1 ÜN TE II KÜMELER ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say

Detaylı

barisayhanyayinlari.com

barisayhanyayinlari.com YGS MATEMATİK KONU ANLATIM FASİKÜLLERİ SERİSİ 1 ISBN 978-605-84147-0-9 Baskı Tarihi Ağustos 015 Baskı Yeri: İstanbul YAYINLARI İletişim tel: (538) 90 50 19 barisayhanyayinlari.com Benim için her şey bir

Detaylı

2012 YGS MATEMATİK Soruları

2012 YGS MATEMATİK Soruları 01 YGS MATEMATİK Soruları 1. 10, 1, 0, 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B), C) 6 D) 6, E) 7. + ABC 4 x 864 Yukarıda verilenlere göre, çarpma işleminin sonucu kaçtır? A) 8974 B) 907 C) 9164 D) 94 E) 98. 6

Detaylı

TEMEL MATEMATİK TESTİ

TEMEL MATEMATİK TESTİ TEMEL MTEMTİK TESTİ 1. u testte 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 010 YGS / MT 1. 0, 0,0 0,. + 1 ) 1 7 0 ) 1 + 1 1.. ( a+ 1) ( a )

Detaylı

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14

BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 İÇİNDEKİLER Önsöz. V BÖLÜM I MATEMATİK NEDİR? 13 1.1. Matematik Nedir? 14 BÖLÜM II KÜMELER 17 2.1.Küme Tanımı ve Özellikleri 18 2.2 Kümelerin Gösterimi 19 2.2.1 Venn Şeması Yöntemi 19 2.2.2 Liste Yöntemi

Detaylı

DGS SAYISAL BÖLÜM. 1) 6,20 sayısı hangi sayının % 31 idir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30. olduğuna göre, y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

DGS SAYISAL BÖLÜM. 1) 6,20 sayısı hangi sayının % 31 idir? A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30. olduğuna göre, y kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 DGS SAYISAL BÖLÜM Sınavın bu bölümünden alacağınız standart puan, Sayısal DGS Puanınızın (DGS-SAY) hesaplanmasında 3; Eşit Ağırlıklı DGS Puanınızın (DGS-E hesaplanmasında,8; Sözel DGS Puanınızın (DGS-SÖZ)

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler

1. ÜNİTE: MANTIK. Bölüm 1.1. Önermeler ve Bileşik Önermeler . ÜNİTE: MANTIK . ÜNİTE: MANTIK... Önerme Tanım (Önerme) BÖLÜM.. - Doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelere önerme adı veriler. Örneğin Bir hafta 7 gündür. (Doğru) Eskişehir Türkiye'nin başkentidir.

Detaylı

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN

9. Sınıf. Matematik. Soru Bankası. Yeliz ÇELEN 9. Sınıf Matematik Soru ankası Yeliz ÇELEN opyright Evrensel İletişim Yayın ağıtım San. Tic. Ltd. Şti. u kitabın her hakkı EVRENSEL İLETİŞİM LT. ŞTİ. e aittir. Hangi amaçla olursa olsun, bu kitabın tamamının

Detaylı

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar

8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 8.Konu Sonlu ve sonsuz kümeler, Doğal sayılar 1. Eşit güçlü kümeler 2. Sonlu ve sonsuz kümeler 3. Doğal sayılar kümesi 4. Sayılabilir kümeler 5. Doğal sayılar kümesinde toplama 6. Doğal sayılar kümesinde

Detaylı

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol:

EBOB - EKOK EBOB VE EKOK UN BULUNMASI. 2. Yol: En Büyük Ortak Bölen (Ebob) En Küçük Ortak Kat (Ekok) www.unkapani.com.tr. 1. Yol: EBOB - EKOK En Büyük Ortak Bölen (Ebob) İki veya daha fazla pozitif tamsayıyı aynı anda bölen pozitif tamsayıların en büyüğüne bu sayıların en büyük ortak böleni denir ve kısaca Ebob ile gösterilir. Örneğin,

Detaylı

Kümeler ve Küme İşlemleri

Kümeler ve Küme İşlemleri Kümeler ve Küme İşlemleri ÜNİTE 2 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; küme kavramını, küme işlemlerini, küme işlemlerinin özelliklerini ve kullanılan simgeleri tanıyacaksınız. küme ailelerini, kümelerin

Detaylı

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu

PARABOL. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu PARABL Bu bölümde birinci dereceden fonksion =f()=a+b ve ikinci dereceden fonksion =f()=a +b+c grafiklerini üzesel olarak inceleeceğiz. f()=a +b+c ikinci dereceden bir bilinmeenli polinom fonksionun grafiği

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir.

İl temsilcimiz sizinle irtibata geçecektir. Biz, Sizin İçin Farklı Düşünüyor Farklı Üretiyor Farklı Uyguluyoruz Biz, Sizin İçin Farklıyız Sizi de Farklı Görmek İstiyoruz Soru Bankası matematik konularını yeni öğrenen öğrenciler için TMOZ öğretmenlerince

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Saymanın Temelleri 1. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Ayşe nin Doğum Günü Partisi Saymanın Temelleri Ayşe

Detaylı

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ

MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE DEVLET OLGUNLUK SINAVI. Testin Çözme Süresi: 180 dakika ADAY ÝÇÝN AÇIKLAMALAR - YÖNERGE DEVLET SINAV MERKEZÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ ADAYIN ÞÝFRESÝ BURAYA YAPIÞTIR DEVLET OLGUNLUK SINAVI DEVLET SINAV MERKEZÝ MATEMATÝK - TEMEL SEVÝYE MATEMATÝK TEMEL SEVÝYE Testin Çözme Süresi: 180 dakika Haziran, 2009 yýlý BÝRÝNCÝ deðerlendiricinin þifresi

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonbahar / Sayısal I / 18 Kasım 2007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. Bir sayının 0,02 ile çarpılmasıyla elde edilen sonuç, aynı sayının aşağıdakilerden

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR

2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR 2. ÜNİTE RASYONEL,ÜSLÜ VE KÖKLÜ SAYILAR KONULAR 1. RASYONEL SAYILAR 2. Kesir Çeşitleri 3. Kesirlerin Sadeleştirilmesi 4. Rasyonel Sayılarda Sıralama 5. Rasyonel Sayılarda İşlemler 6. ÜSLÜ İFADE 7. Üssün

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Matematik Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 75 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı

Temel Matematik Testi - 4

Temel Matematik Testi - 4 Test kodunu sitemizde kullanarak sonucunuzu öğrenebilir, soruların video çözümlerini izleyebilirsiniz. Test Kodu: D00. Bu testte 0 soru vardır.. Tavsiye edilen süre 0 dakikadır. Temel Matematik Testi -.

Detaylı

X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı

X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı X. Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı B 1. Bir kentten diğerine giden bir otobüs, yolun ilk yarısını 40 km/saat, ikinci yarısını ise 60 km/saat hızla gittiyse, otobüsün ortalama hızı kaç km/saat olmuştur?

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler

ÝÇÝNDEKÝLER. 1. ÜNÝTE Kümeler. 2. ÜNÝTE Bölünebilme Kurallarý ve Kesirler ÝÇÝNDEKÝLER 1. ÜNÝTE Kümeler KÜMELER... 13 Ölçme ve Deðerlendirme... 19 Kazaným Deðerlendirme Testi - 1... 21 Kazaným Deðerlendirme Testi - 2 (Video lü)... 23 KÜMELERLE ÝÞLEMLER... 25 Ölçme ve Deðerlendirme...

Detaylı

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005

x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 2005 TÜBİTAK TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI x13. ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI - 005 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 1. AB = olmak üzere, A

Detaylı

Kafes Yapıları. Hatırlatma

Kafes Yapıları. Hatırlatma Kafes Yapıları Ders 7 8-1 Hatırlatma Daha önce anlatılan sıra bağıntısını hatırlayalım. A kümesinde bir R bağıntsı verilmiş olsun. R bağıntısı; a. Yansıma (Tüm a A için, sadece ve sadece ara ise yansıyandır(reflexive)).

Detaylı

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır?

2. (v+w+x+y+z) 8 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? 3. log 5 0, 69897 olduğuna göre 50 10 sayısı kaç basamaklıdır? Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 3.03.0 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem

Detaylı

a = b ifadesine kareköklü ifade denir.

a = b ifadesine kareköklü ifade denir. KAREKÖKLÜ SAYILAR Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır. Karesi

Detaylı

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır.

( ) MATEMATİK 1 TESTİ (Mat 1) 2009 - ÖSS / MAT-1. 1. Bu testte 30 soru vardır. 009 - ÖSS / MT- MTEMTİK TESTİ (Mat ). u testte 0 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. ( )( ) + 4. m = olduğuna göre, m + ifadesinin değeri işleminin

Detaylı

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 11 Nisan 2010. Matematik Soruları ve Çözümleri 12 E) 25

Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / 11 Nisan 2010. Matematik Soruları ve Çözümleri 12 E) 25 Yükseköğretime Geçiş Sınavı (Ygs) / Nisan 00 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0, 0,0 0, işleminin sonucu kaçtır? A) B) 4 7 C) 0 8 D) E) Çözüm 0, 0,0 0, = 0,00 0,0 0, = 0,7 0, 000 7 7. = = 000 00 0... işleminin

Detaylı

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1

sayısının tamkare olmasını sağlayan kaç p asal sayısı vardır?(88.32) = n 2 ise, (2 p 1 TAM KARELER 1. Bir 1000 basamaklı sayıda bir tanesi dışında tüm basamaklar 5 tir. Bu sayının hiçbir tam sayının karesi olamayacağını kanıtlayınız. (2L44) Çözüm: Son rakam 5 ise, bir önceki 2 olmak zorunda.

Detaylı

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1

Ortak Akıl MATEMATİK DENEME SINAVI 3 201412-1 Ortak Akıl YGS MATEMATİK DENEME SINAVI 011-1 Ortak Akıl Adem ÇİL Ayhan YANAĞLIBAŞ Barış DEMİR Celal İŞBİLİR Deniz KARADAĞ Engin POLAT Erhan ERDOĞAN Ersin KESEN Fatih TÜRKMEN Kadir ALTINTAŞ Köksal YİĞİT

Detaylı

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları...

FONKSİYONLAR FONKSİYONLAR... 179 198. Sayfa No. y=f(x) Fonksiyonlar Konu Özeti... 179. Konu Testleri (1 8)... 182. Yazılıya Hazırlık Soruları... ÜNİTE Safa No............................................................ 79 98 Fonksionlar Konu Özeti...................................................... 79 Konu Testleri ( 8)...........................................................

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I

KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I Üniversite Hazırlık / YGS Kolay Temel Matematik 0 KE00-SS.08YT05 DOĞAL SAYILAR ve TAM SAYILAR I. 8 ( 3 + ) A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) 6. 3! 3 ( 3 3)": ( 3) A) B) 0 C) D) E) 3. 7 3. + 5 A) 6 B) 7 C) 8 D) 0

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

MAFETYA MATEMATİK FEN VE TEKNOLOJİ YARIŞMASI İLKÖĞRETİM OKULLARI ARASI MAFETYA MATEMATİK FEN VE TEKNOLOJİ YARIŞMASI AÇIKLAMALAR

MAFETYA MATEMATİK FEN VE TEKNOLOJİ YARIŞMASI İLKÖĞRETİM OKULLARI ARASI MAFETYA MATEMATİK FEN VE TEKNOLOJİ YARIŞMASI AÇIKLAMALAR İLKÖĞRETİM OKULLARI ARASI AÇIKLAMALAR Bu sınav çoktan seçmeli 100 sorudan oluşmaktadır. Sınav süresi 150 dakikadır. Her soru eşit değerde olup puanlama yapılırken doğru cevaplarınızın sayısından yanlış

Detaylı

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9

OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 2015 2016 DERSİN ADI : MATEMATİK SINIFLAR : 9 OKUL ADI : ÖMER ÇAM ANADOLU İMAM HATİP LİSESİ EĞİTİM VE ÖĞRETİM YILI : 015 01 1 Eylül 18 Eylül Kümelerde Temel Kavramlar 1. Küme kavramını örneklerle açıklar ve kümeleri ifade etmek için farklı gösterimler.

Detaylı

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5

TEMEL MATEMATİĞE GİRİŞ - Matematik Kültürü - 5 1 14 ve 1 sayılarına tam bölünebilen üç basamaklı kaç farklı doğal sayı vardır? x = 14.a = 1b x= ekok(14, 1 ).k, (k pozitif tamsayı) x = 4.k x in üç basamaklı değerleri istendiğinden k =, 4, 5, 6, 7,,

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ

MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 108 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600 MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ Analiz Yazar: Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Editör: Öğr.Gör.Dr. Mehmet ÜREYEN Bu kitabın basım, yayım

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır? Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2012 KPSS / GYGK CS 33. 31. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) A) B) C) 34. 32.

Diğer sayfaya geçiniz. 2012 KPSS / GYGK CS 33. 31. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) A) B) C) 34. 32. 31. 33. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? 32. 34. işleminin sonucu kaçtır? işleminin sonucu kaçtır? A) 84 B) 80 C) 72 64 60 9 35. 37. x ve y gerçel sayıları işleminin sonucu kaçtır? eşitsizliklerini

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR

6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR 6BÖLÜM ONDALIK SAYILAR ONDALIK SAYILAR TEST ) Aşağıdaki kesirleri ondalık sayıya çeviriniz. a) 3 b) 2 c) 9 d) 4 5 25 20 2) Aşağıdaki ondalık sayıların basamaklarındaki rakamların sayı ve basamak değerlerini

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Bu ders materyali 22.05.2015 09:35:42 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 22.05.2015 09:35:42 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -1- Bu ders materyali.05.015 09:35:4 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından SAYI KÜMESİ TAMAMLAYARAK BÖLÜNEBİLME KURALLARINI UYGULAMA SORU-1) "Rakamları kalansız bölünebilen sayılara TEKİN

Detaylı

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A

18. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK SORULARI A A A A A A A KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 18. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTLRI BİRİNCİ ŞM SORULRI SINV TRİHİ VESTİ:30 MRT 2013 - Cumartesi 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav süresi 150 dakikadır. SINVL İLGİLİ

Detaylı

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor.

6. Rakamları farklı, iki basamaklı farklı beş doğal sayının. 7. A = 7 + 11 + 15 + 19 + + 99 veriliyor. Bölüm: Doğal Sayılar ve Tamsayılar Test: Temel Kavramlar. abc ve cba üç basamaklı doğal sayılardır. abc cba = 97 olduğuna göre, abc biçiminde yazılabilecek en küçük doğal sayının rakamları toplamı A) B)

Detaylı

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8

İÇİNDEKİLER ORGANİZASYON ŞEMASI... 8 İÇİNDEKİLER ORGNİZSYON ŞEMSI... 8 : SYILR VE EİR... 9 9.1 KÜMELER... 10 9.1.1 Kümelerde Temel Kavramlar... 11 Küme Kavramı... 11 Kümelerin Gösterilişi... 12 Sonlu ve Sonsuz Kümeler... 15 Evrensel Küme...

Detaylı

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 15 HAZİRAN 2014 PAZAR

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 15 HAZİRAN 2014 PAZAR T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 15 HAZİRAN 2014 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

1. BÖLÜM. 2. Aþaðýdaki þekillerden hangisinin d doðrusuna göre simetriði çizildiðinde, bir düzgün çokgen elde edilir? DD

1. BÖLÜM. 2. Aþaðýdaki þekillerden hangisinin d doðrusuna göre simetriði çizildiðinde, bir düzgün çokgen elde edilir? DD 6. SINIF COÞMAYA SORULARI 1. BÖLÜM 3. DÝKKAT! Bu bölümde 1 den 10 a kadar puan deðeri 1,25 olan sorular vardýr. 1. 1 birim 1 birim Van Gölü nün haritasý yukarýda verilmiþtir. Haritada 1 birim uzunluk 19

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI. MATEMATİK YARIŞMASI 0. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 5. sayısının virgülden sonra 9 99 999 5. basamağındaki rakam kaçtır? A) 0 B) C) 3 D) E) 8!.!.3!...4! 4. A= aşağıdaki hangi

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK

PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK YILLAR 00 00 00 00 00 00 008 009 00 0 ÖSS - - - ÖYS PERMÜTASYON KOMBĐNASYON BĐNOM VE OLASILIK TEMEL SAYMA KURALLARI Örnek ( ) adet hediyeden üçü üç kişiye, her birine birer hediye vermek kaydıyla kaç değişik

Detaylı

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI.

SERĠMYA 2011 - IX. ULUSAL ĠLKÖĞRETĠM MATEMATĠK OLĠMPĠYATI. 9. Ulusal. serimya. İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI. Sayfa1 9. Ulusal serimya İLKÖĞRETİM 7. Ve 8. SINIFLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 2011 Sayfa2 1. Bir ABCD konveks dörtgeninde AD 10 cm ise AB CB? m( Dˆ ) 90, ( ˆ) 150 0 0 m C ve m Aˆ m Bˆ ( ) ( ) olarak

Detaylı

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak.

EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ. 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. EŞ POTANSİYEL VE ELEKTRİK ALAN ÇİZGİLERİ AMAÇ: 1. Zıt yükle yüklenmiş iki iletkenin oluşturduğu eş potansiyel çizgileri araştırıp bulmak. 2. Bu eş potansiyel çizgileri kullanarak elektrik alan çizgilerinin

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 16. MATEMATİK YARIŞMASI 9.SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI x 5 6. 0 x 4x 5 x denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? 5 5 4. 6 6... a ise, a kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 8 E) 0 A) B), C) 5, D) 5 E) 5. m 9m m m işleminin sonucu kaçtır?. (6) x x y y (4. ) eşitliği

Detaylı

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

4. ÜNİTE ORAN-ORANTI

4. ÜNİTE ORAN-ORANTI 4. ÜNİTE ORAN-ORANTI KONULAR 1. ORAN 2. ORANTI KAVRAMI, ÖZELLİKLERİ VE TÜRLERİ 3. Orantının Özellikleri 4. Doğru Orantı 5. Ters Orantı 6. Bileşik Orantı 7. Orantı İle Çözülebilecek Problemler 8. ÖZET 9.

Detaylı

9) A B ve B A ise A=B dir. Birbirinin alt kümesi olan iki küme eşit kümedir.

9) A B ve B A ise A=B dir. Birbirinin alt kümesi olan iki küme eşit kümedir. CEVAPLAR .BÖLÜM - TEST ) {K.K.T.C nin g harfi ile başlayan ilçeleri} ) İlkbahar, yaz, sonbahar, kış mevsimlerinin bazıları ile oluşturulacak kümeler farklı olacağından, bir küme oluşturmazlar. ) Okulumuzdaki

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ 15. OKULLAR ARASI MATEMATİK YARIŞMASI 7. SINIF ELEME SINAVI SORULARI . a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a 2b+2 2 b+4 yukarıdaki bölme işleminde, a nın alabileceği en küçük değer kaçtır?. 25 soruluk bir sınavda her doğru cevaba 5 puan verilirken, her yanlış cevaptan

Detaylı

YGS MATEMATİK SORU BANKASI

YGS MATEMATİK SORU BANKASI YGS MATEMATİK SORU BANKASI Sebahattin ÖLMEZ www.limityayinlari.com Sınavlara Hazırlık Serisi YGS Matematik Soru Bankası ISBN: 978-60-48--9 Copyright Lmt Limit Yayınları Bu kitabın tüm hakları Lmt Limit

Detaylı

7. 60 sayısı, ayrı ayrı kaç deste ve kaç düzine yapar? 9. Ahmet in babasının yaşı, 4 düzineye. Ahmet in babası aşağıdakilerden hangisidir?

7. 60 sayısı, ayrı ayrı kaç deste ve kaç düzine yapar? 9. Ahmet in babasının yaşı, 4 düzineye. Ahmet in babası aşağıdakilerden hangisidir? 2. SINIF TEST- Deste - Düzine. Aşağıdakilerden hangisi bir deste oluşturur? A) 4. B) Yukarıdaki kalemlerin sayısı kaçtır? A) İki düzine 2. B) İki deste Bir düzine Yukarıdaki elmaların sayısı, hangi seneçekte

Detaylı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı

2 şeklindeki bütün sayılar. 2 irrasyonel sayısı. 2 irrasyonel sayısından elde etmekteyiz. Benzer şekilde 3 irrasyonel sayısı 1.8.Reel Sayılar Kümesinin Tamlık Özelliği Rasyonel sayılar kümesi ile rasyonel olmayan sayıların kümesi olan irrasyonel sayılar kümesinin birleşimine reel sayılar kümesi denir ve IR ile gösterilir. Buna

Detaylı

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak

18 Sağ son örnek x 3 yerine 3 x yazılacak 20 5 Soru denkleminin reel köklerinin olacak MAT 1 Hata 73 1 C 135 8 A 137 7 D şıkkına parantez konacak 143 Sol üst örnek Sıkça yapılan yanlış ün son cümlesi O halde. 144 Son örnek tam yerine doğal 208 9 18 yerine 18 8 5 225 2 A 246 6 Doğru cevap:

Detaylı

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30

1. ÜNİTE 2. ÜNİTE 3. ÜNİTE. Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8. Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18. Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 İçindekiler 1. ÜNİTE Bölüm 1 : Üslü Sayılar... 8 Bölüm 2 : Doğal Sayılar... 18 Bölüm 3 : Doğal Sayı Problemleri... 30 Bölüm 4 :- Çarpanlar ve Katlar, Bölünebilme... 40 Bölüm 5 : Asal Sayılar, Ortak Bölenler,

Detaylı

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

PARABOL Test -1. y x 2x m 1 parabolü x eksenini kesmiyorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir? PROL est -. m parabolü eksenini kesmiorsa m nin alabileceği değerler kümesi aşağıdakilerden hangisidir?. f a b c (, ) ) (, ) (, ) (, ) ( 6, ). m parabolü eksenini iki farklı noktada kesmektedir. una göre,

Detaylı

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir?

KÜMELER TEST / 1. 1. Aþaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? KÜMELER TEST /. þaðýdakilerden hangisi bir küme belirtir? 6. ten küçük asal sayýlar kümesinin Venn þemasý ile gösterimi aþaðýdakilerden ) Yýlýn aylarý ) Sokaktaki yaþlý insanlar ) Trabzondaki en iyi lokantalar

Detaylı

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir.

Bu ders materyali 06.09.2015 23:17:19 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından hazırlanmıştır. Unutmayın bilgi paylaştıkça değerlidir. -- Bu ders materyali 06.09.05 :7:9 tarihinde matematik öğretmeni Ömer SENCAR tarafından UYGULAMA-00 Cevap: x- -x- x- =0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? UYGULAMA-00 Cevap: x x x 5 + = + denklemini

Detaylı

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir.

Bunu bir örnek üzerinde gösterelim : Örneğin, ,... birer 5 0 2 3, 0 5 0 4. ondalık kesirdir. Bölüm ONDALIK KESİRLER Paydası 0 un tam kuvveti olan veya bu duruma getirilebilen kesirlere ondalık kesirler denir. Örneğin, ondalık kesirdir. 0 ; 00 ; 000,... birer Paydaları 0 un tam kuvveti olmayan

Detaylı

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ

d) x TABAN ARĐTMETĐĞĐ YILLAR 00 00 00 00 00 007 008 009 010 011 ÖSS-YGS - 1 1 - - - - - - - TABAN ARĐTMETĐĞĐ Genel olarak 10 luk sayı sistemini kullanırız fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız Örneğin bilgisayarın

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme

matematik kpss soru yeni konularla yeni sorularla yeni sınav sistemine göre hazırlanmıştır sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme kpss 04 akıcı ayrıntılı güncel konu anlatımları örnekler yorumlar uyarılar pratik bilgiler ösym tarzında özgün sorular ve açıklamaları matematik sayısal akıl yürütme mantıksal akıl yürütme 0 kpss de 85

Detaylı

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý..

Kümeler II. KÜMELER. Çözüm A. TANIM. rnek... 3. Çözüm B. KÜMELERÝN GÖSTERÝLMESÝ. rnek... 1. rnek... 2. rnek... 4. 9. Sýnýf / Sayý.. Kümeler II. KÜMLR. TNIM Küme, bir nesneler topluluðudur. Kümeyi oluþturan nesneler herkes tarafýndan ayný þekilde anlaþýlmalýdýr. Kümeyi oluþturan nesnelerin her birine eleman denir. Kümeyi genel olarak,,

Detaylı