Süleyman ŞENYURT **, Zeynep ÖZGÜNER

Transkript

1 Ordu Üniv. il. ek. Derg.,ilt:,Sayı:,1,58-81/Ordu Univ. J. Sci. ech.,vol:,o:,1,58-81 ERRAD EĞRİ ÇİFİİ KÜRESEL GÖSERGELERİİ GEODEZİK EĞRİLİKLERİ VE Aİİ LİFLERİ ÖZE Süleyman ŞEYUR, Zeynep ÖZGÜER Ordu Üniveritei, Fen Edebiyat Fakültei,Matematik ölümü, Ordu u çalışmada (,) ertrand eğri çifti olarak alındığında eğriinin () noktaındaki,, Frenet vektörlerinin ve bu vektörlere bağlı birim Darboux vektörünün birim küre yüzeyi üzerinde oluşturdukları ( ),( ),( ) küreel göterge eğrileri ve ( ) abit pol eğriinin yay uzunlukları, E ve S ye göre geodezik eğrilikleri heaplandı. Ayrıca bu küreel göterge eğrileri ve abit pol eğriinin tabii lift eğrileri geodezik prayın integral eğrii olmaı için eğriinin naıl bir eğri olduğuna dair onuçlar verildi. Anahtar Kelimeler: ertrand eğri çifti, tabii lift, geodezik pray HE AURAL LIF URVES AD GEODESI URVAURES OF HE SPHERIAL IDIARIES OF HE ERRAD URVE OUPLE ASRA In thi tudy, the arclenght and the geodeic curve of the curvature,, have been obtained according to, and fixed pole curve, E and S when a, a,, are pherical indicatrix curve drawn by,, vector of a at point a() and correponding unit Darboux vector i conidered to be a ertrand curve couple. Here Frenet i the fixed pole curve of the.in addition, what type curve a hould be ha been examined under the condition that the natural lift of thee curvature and i the integral curve of geodeic pray. Keyword: ertrand urve ouple, eatural Lift, Geodiic Spray enyurtuleyman@hotmail.com 58

2 S. Şenyurt, Z.Özgüner 1. GİRİŞ -oyutlu Öklid uzayında eğrilerin diferaniyel geometrii üzerinde birçok çalışmalar yapılmıştır. Özellikle iki eğrinin karşılıklı noktalarında Frenet çatıları araında bağıntılar kurularak, yeni açılımlar yapılmıştır. İnvolüt - Evolüt eğriler, ertrand eğri çiftleri vemanheim eğrileri birer örnek olarak göterilebilir.ir : I M eğriinin :() I M M P tabii lift eğrii geodezik prayın P bir integral eğrii olmaı için gerek ve yeter şart M üzerinde bir geodezik eğri olmaıdır,4,11. Öklid ve Lorentz uzaylarında İnvolüt eğrilerin küreel göterge eğrilerinin tabii liftleri geodezik pray için integral eğrii olma şartları evolüt eğriine bağlı olarak ifade edilmiştir,1,,,8. Lorentz uzayında ertrand eğri çiftleri araındaki uzaklık ve teğet vektörleri araındaki açının abit olduğunu göterilmiştir,, ertrand veya Manheim eğri çifti olmak üzere, 7. eğriinin küreel götergelerinin tabii liftleri geodezik prayın integral eğrii olma şartı eğriine bağlı olarak ifade edilmiştir,6,1,1,14.. EMEL KAVRAMLAR : I IR E,, bir eğri olun. 1 difereniyellenebilir birim hızlı.1 : I IR,()() şeklinde tanımlı fonkiyonuna kaler hız fonkiyonu, d d d d. d d d d vektörüne eğrinin hız vektörü, a, b I olmak üzere. 1,, b a t d 59

3 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri reel ayıına da a ile b denir. eğriinin Frenet -ayaklıı (),(),() burulmaı (toriyonu) olmak üzere Frenet formülleri noktaları araındaki yay uzunluğu ()()(),.4 ()()()()(), ()()() dir. una bağlı olarak Darboux vektörü.5 olur. ile, eğriliği () araındaki açı ile göterilire birim Darboux vektörü.6 in co şeklinde bulunur. : I M birim hızlı bir eğri ve M yüzeyi üzerinde difereniyellenebilir vektör alanı X olun. d d.7 X ie eğriine X in bir integral eğrii denir. M yüzeyinin P noktaındaki tanjant uzayı M p ve bütün tanjant uzayların cümlei M M P ile göterilin..8 : I M PM,, ve eğriine : I M eğriinin tabii lifti denir,4. M yüzeyinin birim normal vektör alanı ile göterilire X M için.9 S X D X 6

4 S. Şenyurt, Z.Özgüner dönüşümüne şekil operatörü (weingarten dönüşümü), v M için.1 X v v S v, P şeklinde tanımlanan X vektör alanına geodezik pray, D XY D Y S X, Y X denklemine de M üzerinde Gau denklemi denir. urada D Gau anlamında kovaryant türev operatörüdür. : I M eğriinin birim teğet vektörü olmak üzere.1 D ie eğriine E de bir geodezik eğri,.1 D ie eğriine M yüzeyi üzerinde bir geodezik eğri denir..14 kg D ifadeine eğriinin.15 D E e göre geodezik eğriliği, g İfadeine de eğriinin M ye göre geodezik eğriliği denir. eğriinin,,,, Frenet vektörlerinin birim küre üzerinde çizdiği küreel göterge eğrileri ve birim Darboux vektörünün birim küre üzerinde çizdiği abit pol eğriinin E e göre yay uzunlukları ve geodezik eğrilikleri, ıraıyla, 61

5 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri 6.16 d d d d,.17 1 co 1, 1 in 1 k k k k ve S ye göre geodezik eğrilikleri.18 tan cot şeklinde verilir, 9. eorem.1.

6 S. Şenyurt, Z.Özgüner : I M eğriinin : I M tabii lift eğrii X geodezik prayın bir integral eğrii olmaı için gerek ve yeter şart M üzerinde bir geodezik eğri olmaıdır,4. anım.1. : I E ve : I E difereniyellenebilir iki eğri, eğriinin Frenet - (),(),() ve eğriinin Frenet -ayaklıı ayaklıı (),(),() bağımlı ie (,) araında olun. ile eğriinin ali normal vektörleri lineer ikiliine ertrand eğri çifti denir. u eğrilerin Frenet çatıları co in.19 in co bağıntıı vardır,1. urada açıı ile araındaki açıdır. eorem.. ertrand eğri çifti araındaki uzaklık abittir,9,1. eorem.. ertrand eğri çiftinin karşılıklı noktalarındaki birim teğet vektörleri araındaki açı abittir,1. eorem.4., ertrand eğri çifti olun. eğriinin eğriliği, toriyonu ie bu eğrilikler araında. 1, cot bağıntıı vardır,9. eorem.5., ertrand eğri çifti olun. eğriinin eğrilik ve toriyonu ve, eğriinin eğrilik ve toriyonu ve ile göterilire bu eğrilikler araında 6

7 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri.1 bağıntıı vardır, başka ifadei in, (1) in 1. urada. bağıntıı dikkate alınıra eğriliğinin bir. olur. in tan.errad EĞRİ ÇİFİİ KÜRESEL GÖSERGELERİİ EĞRİLİKLERİ VE Aİİ LİFLERİ eorem.1., ertrand eğri çifti ve bu eğrilerin Darboux vektörleri ıraıyla ve olun. u vektörler araında.1 in bağıntıı vardır. İpat: vektörünün Darboux vektörü şeklinde yazılır. urada,, ve 'ın yerine bağıntıından karşılıkları yazılır ve gerekli işlemler yapılıra in 1 tan.19,.1 ve. 64

8 S. Şenyurt, Z.Özgüner bulunur. urada 1 cot ifadei dikkate alınıra nin yerine.5 den karşılığı yazılır ve onra da. olur, in Sonuç.1., ertrand eğri çiftinin birim Darboux vektörleri ıraıyla ve olun. u vektörler araında. bağıntıı vardır. İpat : eğriinin birim Darboux vektörü ile göterilire dır. urada ın yerine. den karşılığı yazılıra bulunur. teğetler götergeinin yay uzunluğu ile göterilire (.) bağıntıından S d d d olur. ın yerine.19 ve onra da.16 daki karşılığı yazılıra 65

9 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri.4 co in bulunur. enzer şekilde alinormaller götergeinin yay uzunluğu.5 ve binormaller götergeinin yay uzunluğu.19 ve.6 in co.16 bağıntılarında olur. bağıntıından abit pol eğriinin yay uzunluğu ile göterilire (.) S d d d yazılır. yazılıra in co ifadeinin türevi alınır ve.7 bulunur. Diğer yandan olur. urada da türev alınıra. d in ve co ve ın yerine.8.1 ve in co ifadeinde yerine tan. deki karşılıkları yazılır ve onra 1 in 66

10 S. Şenyurt, Z.Özgüner bulunur. u ifade.7 de yerine yazılıra.9 olur. Sonuç.. in co 1 in. d, ertrand eğri çifti olun. eğriinin,, birim küre üzerinde meydana getirdikleri, ve eğrileri ile abit pol eğriinin E, co in, in co,.1 1 in in co teğetler götergeinin k d. e göre yay uzunlukları, ıraıyla, E e göre geodezik eğriliği D Frenet vektörlerinin k ile göterilire küreel göterge yazılır. ifadeinin ye göre türevi alınıra, olur. u ifadenin tekrar türev alınır ve gerekli işlemler yapılıra,.11 D co in 67

11 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri bulunur. u ifade.1 da yerine yazılıra k 1 co co in in olur..17 bağıntıından da.1 bulunur. k k k k co k in ali normaller götergeinin E e göre geodezik eğriliği k ile göterilire.1 k D yazılır. ifadeinin ye göre türevi alınıra co in olur. ekrar türev alınıra.14 D in co bulunur. u ifade.1 de yerine yazılıra.15 olur. Diğer yandan k k 1 68

12 S. Şenyurt, Z.Özgüner ürev alınıra in ve co tan.16 olur. u değer.15 de yerine yazılıra.17 elde edilir. k 1 binormaller götergeinin E e göre geodezik eğriliği k ile göterilire.18 k D yazılır. ifadeinin ye göre türevi alınıra bulunur. ekrar türev alınıra.19 D in co olur. u ifade.18 da yerine yazılıra gerekli işlemler yapılır k 1 co in in co 69

13 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri bulunur..17 bağıntıından. elde edilir. k k k k in k co pol eğriinin E e göre geodezik eğriliği k ile göterilire.1 k D dır. ifadeinin ye göre türevi alınıra co in bulunur. u ifadenin tekrar türev alınıra D. in co olur. orm alınıra. k 1 bulunur. urada yazılıra ve 'ın yerine ıraıyla. ve.8 dan karşılıkları 7

14 S. Şenyurt, Z.Özgüner.4 k 1 in 1 elde edilir. Sonuç.., ertrand eğri çiftinin küreel götergeleri ile abit pol eğriinin geodezik eğrilikleri araında aşağıdaki bağıntılar vardır: k k k, k co k in E e göre k k k 1, k k k, k in k co 1 in 1. göterilire teğetler götergeinin S birim küreye göre geodezik eğriliği ile D yazılır..11 ve.11 bağıntılarından.5 D co in co in co in 71

15 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri bulunur. u ifade ifadeinde yerine yazılıra co in 1 olur..17 bağıntıından da.6 k k k co k in 1 elde edilir. göterilire ali normaller götergeinin S ye göre geodezik eğriliği ile D yazılır..11 ve.14 bağıntılarından.7 D in co bulunur. u ifade da yerine yazılıra olur..16 bağıntıından.8 elde edilir. 7

16 S. Şenyurt, Z.Özgüner binormaller götergeinin S ye göre geodezik eğriliği ile göterilire D olur..11 ve.19 bağıntılarından.9 D in co co in co in bulunur. u ifade da yerine yazılıra co in in co 1 co in olur. urada.17 bağıntıı dikkate alınıra. k k in co k 1 co k in co in bulunur. abit pol eğriinin S ye göre geodezik eğriliği ile göterilire D yazılır..11 ve. bağıntılarından 7

17 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri.1 D bulunur. u ifade da yerine yazılıra olur. urada ve ın yerine. ve.8 den karşılıkları yazılıra. c 1 in elde edilir. Sonuç.4., ertrand eğri çifti olun. ve eğriinin küreel götergelerinin göre geodezik eğrilikleri ile araında abit pol eğriinin S E ye göre geodezik eğrilikleri e k k k co k in 1 k k in co k 1 co k in co in 74

18 S. Şenyurt, Z.Özgüner c 1 in bağıntıları vardır. tabii lift eğrii geodezik prayın bir integral eğrii ie D dır. u durumda.5 bağıntıından co co in in co in olur. u ifade, ve için ağlanır. öylece şu onuç verilebilir: Sonuç.5., denk ie ertrand eğri çifti için eğrii düzlemel ve Frenet çatıları birbirlerine eğriinin teğetler götergeinin demeti üzerinde geodezik prayın bir integral eğriidir. tabii lifti S tabii lift eğrii geodezik prayın bir integral eğrii ie tanjant dır..7 bağıntıından D 75

19 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri in co, olur. uradan veya abit bulunur. öylece şu onuç verilebilir: Sonuç.6., ertrand eğri çifti birer heli ie bu durumda ali normaller götergeinin tabii lifti S tanjant demeti üzerinde geodezik prayın bir integral eğriidir, ( ak.şekil.1 ve şekil. ). tabii lift eğrii geodezik prayın bir integral eğrii ie eğriinin dır..9 bağıntıından D in co in co co in olur. u ifade hiçbir zaman ağlanmaz. u durumda şu onuç verilebilir: 76

20 S. Şenyurt, Z.Özgüner Sonuç.7., ertrand eğri çifti olun. prayın integral eğrii olamaz. eğriinin eğrii geodezik prayın bir integral eğrii ie tabii lift eğrii geodezik D dır..1 bağıntıından yazılıra ve olur. u değerler.1 de yerine in 1 in olur ki bu da olmaı demektir. uradan şu onuç verilebilir: Sonuç.8.,, ertrand eğri çifti ie abit pol eğriinin tabii lifti yoktur. eorem.., ertrand eğri çifti olun. binormaller götergei abit pol eğriinin iki tane küreel involütüdür. İpat: eğriinin teğetler götergei ve in co, co in in co ve 77

21 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri ifadelerinin türevleri ıraıyla d d d d d d d d d d d d co in, in co co in, olur. ile lineer bağımlı olduğundan d d d d, co in, co in, d d d d d d d d, d d d d co in, in co olur bu da ipatı tamamlar. Örnek: 1 co, in, ve 1 co,in, ertrand eğri çifti olarak alındığında (şekil.1), eğriinin tabii lift eğrilerinin denklemleri ıraıyla, 1 in, co,1 heli eğrileri noktaındaki 78

22 S. Şenyurt, Z.Özgüner co, in, 1 in, co,1 olur. urada tabii lifti eğrii geodezik prayın integral eğriidir. (şekil.) Şekil.1ertrand eğri çiftleri birer heli eğrii Şekil. tabii lifti geodezik prayın integral eğrii 79

23 ertrand Eğri Çiftinin Küreel Götergelerinin Geodezik Eğrilikleri ve abii Liftleri KAYAKLAR 1 ilici,m., Involute-evolute urvature of urve and atural Lift Spherical Indicator, Mater' hei, Ondokuz Mayı Univ., Intitute of Sci.,1999. ilici, M., Çalışkan, M. and Aydemir, İ., he atural Lift urve and the Geodeic Spray for the Spherical Indicatrice of the Pair of Evolute-Involute urve, International Journal of App. Math. vol.11, pp.415-4,. ilici,m., On the imelike or Spacelike Involute-Evolute urve ouple, PhD hei, Ondokuz Mayı Univ., Intitute of Sci., 9. 4Çalışkan, M., Sivridağ, A.İ., Hacıalihoğlu, H. H., Some haracterization For he atural Lift urve and he Geodeic Spray, Ankara Univ., Faculty of Sci., ommunication,, 5-4,1984 5Çalışkan,Ö.F., he atural Lift urve and Geodeic urvature of the Spherical Indicatrice of the imelike ertrand urve ouple, Mater' Degree, Ordu Univ., Intitute of Sci., 1. 6Demet,S., atural Lift urve and Geodeic urvature of the Spherical Indicatrice of the imelike- Spacelike Mannheim urve ouple, Mater' Degree, Ordu Univ., Intitute of Sci., 1. 7Ekmekçi,. and Ilarlan, K., On ertrand urve and heir haracterization, Differential Geometry-Dynamical Sytem, Vol., o., pp. 17-4, 1. 8Ergun, E. and Çalışkan, M., On Geodeic Spray In Minkowki -Space, Int.J.ontemp. Math. Sci., 6(9), , 11. 9Hacıalioğlu,H.H., Differential Geometry, İnönü Univ. Fac. of Art and Sci., Publ., Math. no.7, Sabuncuoğlu,A., Differential Geometry, obel publ.,6. 11 Sivridağ,A.İ., Çalışkan, M., On he M-Integral urve and M-Geodeic Spray, Erciye Univ., journal of Sci., v.7, no 1-, pp , Senyurt, S., atural Lift and he Geodeic Spray for the Spherical Indicatrice of the Mannheim Partner urve in E, International Journal of the Phyical Science, vol. (7), no.16, pp , 1. 8

24 S. Şenyurt, Z.Özgüner 1 Senyurt, S. and Çalışkan,Ö.F., he atural lift urve and Geodeic urvature of the Sphercal Indicatrice of the imelike ertrand urve ouple, International Electronic Journal of Geometry, vol.6,no., pp.88-99,1 14 Senyurt, S. and Çalışkan,Ö.F., he atural lift urve and Geodeic urvature of the Sphercal Indicatrice of the Spacelike-imelike ertrand urve ouple, nd International Euraian onference on Mathematical Science and Application (IEMSA-1),Sarajevo/ onia and Herzegovina, 6-9/8/1. 15 horpe, J.A., Elementary opic In Differential Geometry, Springer-Verlag, ew York, Heidelberg-erlin,