Önceki bölümde bir f fonksiyonunun bir a noktasındaki tanım değeri kadar x

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Önceki bölümde bir f fonksiyonunun bir a noktasındaki tanım değeri kadar x"

Transkript

1 3 TÜREV Önceki bölüme bir f fonksiyonunun bir a noktasınaki tanım eğeri kaar x bağımsız eğişkeni a noktasına yaklaşırken f nin avranışınına önemi vurgulanmış ve it kavramı tanıtılmıştı. Daha sonra it kavramınan yararlanarak bir fonksiyonun sürekliliğinen bahseilmiş ve sürekli fonksiyonların bazı özellikleri incelenmişti. Bu bölüme ise sürekli fonksiyonlar arasına önemli bir özelliğe sahip olan fonksiyonları göz önüne alacağız. Bu özelliğe fonksiyonun türevlenebilmesi iyeceğiz. Türev kavramının fen bilerine ve hatta iktisatta pek çok uygulamasıvarır. Örneğin matematikte teğetin eğimi, fizikte hız ve ivme, kimyaa reaksiyon hızı, iktisatta marjinal gelir gibi kavramlar türev yarımıyla açıklanmaktaır. 3. Teğet Bir C eğrisi y f(x) enklemi ile verilmiş olsun. C eğrisinin P (a, f(a)) noktasınaki teğetini bulmak için aşağıaki yolu izleye. P noktasının yakınınaki x a şartını sağlayan bir Q(x, f(x)) noktasını göz önüne alırsak P Q oğrusunun eğiminin f(x) f(a) m P Q x a oluğu görülmekteir. x eğeri a ya yaklaştıkça Q noktasıa eğri üzerine P noktasına yaklaşacaktır. y P Q Q Eğer m P Q bir m eğerine yaklaşırsa, eğrinin P notasınaki teğetini P en geçen ve eğimi m olan oğru olarak tanımlarız. Buna göre eğer it varsa, y f(x) eğrisinin P (a, f(a)) noktasınaki teğet oğrusu P noktasınan geçen ve eğimi x olan oğruur. m x a f(x) f(a) x a Örnek 7 y x 2 parabolünün (2, 4) noktasınaki teğetinin enklemini bulalım. a 2 ve f(x) x 2 oluğunan eğim m x 2 x 2 4 x 2 4 olur. O zaman teğet enklemi y 4 4(x 2) en y 4x 4 olur. 26

2 Teğet oğrusunun eğimi için bazıurumlara kullanımıaha kolay olan bir başka ifae e varır. x a+h ersek x, a ya yaklaştıkça h, 0 a yaklaşacağınan teğet oğrusunun eğimi olur. m h 0 f(a + h) f(a) h Örnek 72 y x eğrisinin a 2 apsisli noktasınaki teğetinin enklemini bulalım. a 2 ve f(x) x oluğunan f(a) 2 olur. O zaman eğim m h 0 2+h 2 h h 0 2(2 + h) 4 olur. Böylece teğet enklemi y 4 (x 2) + 2 en y x 4 + olur. Yukarıakine benzer şekile konum fonksiyonu s f(t) olan bir cismin t a anınaki hızının f(a + h) f(a) v(a) oluğu belirtilmekteir. Bunlara oluğu gibi hernahgi bir bi alına f(a + h) f(a) biçimineki itler sıklıkla karşımıza çıkmaktaır. Bu neenle bu itler için özel bir isim ve gösterim kullanılmaktaır. Tanım 73 Eğer varsa, aşağıaki ite, f fonksiyonunun a noktasınaki türevi enir ve f (a) ile gösterilir. f (a) h 0 f(a + h) f(a) h Yukarıa teğet oğrularınıbulurken görüğümüz gibi, türevin tanımınıifae etmenin eşeğer bir yolu ır. f (a) x a f(x) f(a) x a Örnek 74 f(x) x 3 + fonksiyonunun a noktasınaki türevini hesaplayalım; olur. f (a) f(a + h) f(a) (a + h) 3 a 3 a 3 + 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 a 3 3a 2 h + 3ah 2 + h 3 3a 2 27

3 Yukarıaki açıklamalara göre y f(x) eğrisinin P (a, f(a)) noktasınaki teğet oğrusu, türevin var olmasıhaline eşitliği ile verilir. y f(a) f (a)(x a) Örnek 75 y f(x) eğrisinin (4, 3) noktasınaki teğet oğrusu (0, 2) noktasınan geçtiğine göre f(4) ve f (4) neir? Örnek 76 f(0) 0, f (0) 3, f () 0 ve f (2) şartlarınısağlayan bir f fonksiyonu grafiği çiziniz. eğerine eşit olan bir oğru en- Örnek 77 y x eğrisine teğet ve eğimi 4 klemi bulunuz. Eğer f (x) x a ise y f(x) sürekli eğrisinin x a noktasına bir ikey (üşey) teğeti varır enir. Örneğin y x 3 ve y x 2 3 eğrilerinin x 0 noktasına bir üşey teğeti varır. (Grafikleri çizerek karşılaştırma yapınız.) 3.2 Fonksiyon Olarak Türev Önceki kesime y f(x) fonksiyonunu x a noktasınaki türevi f (a) h 0 f(a + h) f(a) h olarak verilmişti. Bu kesime türev, f fonksiyonunun tanım aralığınaki her x eğeri için fonksiyonan türetilen yeni bir fonksiyon olarak incelenecektir. Tanım 78 y f(x) fonksiyonunu x eğişkenine bağlıtürevi, itin var olması haline f fonksiyonuur ve x noktasınaki eğeri ise olarak tanımlanır. f (x) h 0 f(x + h) f(x) h f fonksiyonunun tanım kümesi {x : f (x) var} olarak verilir ve f nin tanım kümesinen aha küçük olabilir. Örnek 79 f(x) x ise f fonksiyonunu ve tanım kümesini bulunuz. y f(x) fonksiyonunun türevinin bir çok gösterimi varır. gösterimler şöyleir: f (x) y y x f x f(x) Df(x). x Bazı yaygın 28

4 x ve D sembolleri türev alma operatörleri olarak alanırılır. Türevin bir x a noktasınaki eğeri ise şekline gösterilmekteir. f (a) y x xa f x xa Tanım 80 Eğer y f(x) fonksiyonu için f (a) varsa f ye a a türevlenebilirir enir. Eğer f bir açık aralĭgın (sonlu yaa sonsuz) her noktasına türevlenebiliyorsa bu fonksiyona açık aralıkta türevlenebilirir enir. Eğer f fonksiyonu (a, b) açık aralĭgına türevlenebilir ve f(a + h) f(a) h 0 + h f(b + h) f(b) h 0 h (x a noktasına sağ türev) (x b noktasına sol türev) itleri varsa bu fonksiyona [a, b] kapalı aralĭgına türevlenebilirir enir. Örnek 8 f(x) x fonksiyonunun (, 0) ve (0, ) aralıklarına türevlenebilir oluğunu fakat x 0 noktasına türevlenemeiğini gösteriniz. Teorem 82 Eğer f fonksiyonu x a noktasına türevlenebiliyorsa bu noktaa sürekliir. Ispat. f fonksiyonu a noktasına türevlenebiliyor ise g(x) f(x) f(a) x a şekline tanımlı g fonksiyonunun a noktasına iti varır ve bu it f (a) ır. Yukarıaki eşitlikten x a için yazılabiliiğinen x a f(x) f(a) + (x a)g(x) f(x) [f(a) + (x a)g(x)] x a f(a) + 0f (a) f(a) bulunur. Dolayısıyla f fonksiyonu a noktasına sürekliir. 3.3 Türev Alma Kuralları Bu kesime basit fonksiyonlaran başlayarak türev almaa genel kurallarıele eeceğiz. 29

5 . Sabit fonksiyon: f(x) c sabit fonksiyon olmak üzere her x için bulunur. f f(x + h) f(x) c c (x) 0 2. Kuvvet fonksiyonları(kuvvet kuralı): n bir pozitif tam sayıolmak üzere f(x) x n kuvvet fonksiyonunu göz önüne alalım. O zaman her x için f f(z) f(x) z n x n (x) z x z x z x z x z x (z x)(z n + z n 2 x + + zx n 2 + x n ) z x nx n bulunur. Kuvvet negatif oluğuna bu fonksiyonun türevi neir? sorusu akla gelebilir. Örneğin f(x) x fonksiyonunun türevi x 0 için f (x) f(z) f(x) z x z x z x z x z x x z zx z x z x x 2 ( )x 2 olur. Buraan kuvvet kuralının n içine oğru oluğu görülmekteir. İlerie (Böümün türevinen sonra) bu kuralın her negatif tam sayı için oğru oluğunu göstereceğiz. Yine kuvvetin bir rasyonel sayı olması haline bu kural geçerli miir? sorusu a akla gelebilir. Örneğin f(x) x 2 olsun. O zaman her x > 0 için z x f (x) z x z x 2 x 2 olur. Yani kuvvet kuralın 2 için e geçerliir. Aslına bu kural her n reel sayıs için geçerliir. Bunu oğruluğunu ilerie (logaritmik türev almaan sonra) göreceğiz. 3. Sabitle çarpım kuralı: c sabit bir sayıve f türevlenebilen bir fonksiyonsa olur. Çünkü sağlanır. x [cf(x)] c x f(x) [cf(x)] cf(x + h) cf(x) f(x + h) f(x) c cf (x) 30

6 4. Toplam ve fark kuralı: f ve g türevlenebilir ise [f(x) ± g(x)] x x f(x) ± x g(x) ir. F (x) f(x) + g(x) olsun. O zaman olur. [f(x) + g(x)] F F (x + h) F (x) (x) f(x + h) + g(x + h) f(x) g(x) f(x + h) f(x) g(x + h) g(x) + f (x) + g (x) Uyarı83 Kuvvet kuralı ile Toplam ve fark kuralı birlikte üşünülürse bütün polinomlar her yere türevlenebilir oluğu görülebilir. Örnek 84 f(x) x x2 + 7x + 5 polinomunun türevini hesaplayınız. Örnek 85 f(x) x 4 2x eğrisi üzerine teğet oğrusunun yatay oluğu nokta var mıır? Varsa bu noktaları bulunuz. 5. Çarpım kuralı: f ve g fonksiyonlarıtürevlenebilir ise [f(x)g(x)] g(x) f(x) + f(x) x x x g(x) ir. F (x) f(x)g(x) olsun. O zaman [f(x)g(x)] F F (x + h) F (x) (x) f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) olur. f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) f(x)g(x) f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) f(x + h)g(x) f(x)g(x) + g(x + h) g(x) f(x + h) f(x) f(x + h) + g(x) 0 h f(x)g (x) + g(x)f (x) Örnek 86 f(x) (4x 2 )(7x 3 + x) ise f (x) i bulunuz. 3

7 Örnek 87 g(4) 2 ve g (4) 3 olmak üzere f(x) xg(x) ise f (4) eğerini bulunuz. 6. Bölüm kuralı: f ve g fonksiyonlarıtürevlenebilir ve g 0 ise ir. F (x) f(x) g(x) olup bulunur. Örnek 88 f(x) 5x4 +x 2 x 3 +2 x [f(x) g(x) ] g(x) xf(x) f(x) x g(x) (g(x)) 2 ersek f(x) F (x)g(x) olur. Çarpım kuralınan f (x) g(x)f (x) + F (x)g (x) [ f(x) g(x) ] F (x) f (x) F (x)g (x) g(x) f (x) f(x) g(x) g (x) g(x) g(x)f (x) f(x)g (x) (g(x)) 2 ise f (x) i bulunuz. Örnek 89 n herhengi bir negatif tam sayıiken f(x) x n kuvvet fonksiyonunun türevininin f (x) nx n oluğunu gösteriniz. m n iye. O zaman m bir pozitif tam olmak üzere f(x) x n x olur. Böylece Bölüm kuralınan m bulunur. f (x) ( x m ) 0xm mx m x 2m mx m nx n 7. Ters fonksiyonun türevi: Biliniği gibi f : A B fonksiyonu birebir ve örten ise f : B A tersi varır. Bu uruma eğer f fonksiyonu x 0 noktasına türevlenebilir ve f (x 0 ) 0 ise f fonksiyonu a y 0 f(x 0 ) noktasına türevlenebilirir ve (f ) (y 0 ) f (x 0 ) f (f (y 0 )) ir. Gerçekten (f ) (y 0 ) y y 0 f (y) f (y 0 ) y y 0 x x 0 x x 0 f(x) f(x 0 ) x x 0 f(x) f(x 0) x x 0 f (x 0 ) f (f (y 0 )) 32

8 olur. (Bunun ispatı zincir kuralınan sonra a verilebir. Şöyle ki f ve g birbirinin ters fonksiyonları ise f(g(x)) x olup zincir kuarlınan f (g(x))g (x) olup g (x) f (g(x)) olur) Örnek 90 n bir pozitif tam sayıolmak üzere f(x) x n fonksiyonu için f (x) i hesaplayınız. f (x) x n oluğunan (f ) (x) nx n ve böylece (f ) (f(x)) n(f(x)) n olur. Böylece bulunur. f (x) (x n ) (f ) (f(x)) n(x n ) n n x n Örnek 9 f(x) x 3 ise f (x) i bulunuz. 8. Zincir kuralı: f ile g türevlenebilir fonksiyonlar ve F f g olsun. O zaman F e türevlenebilirir ve F (x) [f(g(x))] f (g(x))g (x) ir. Leibnitz gösterimine, y f(u) ve u g(x) türevlenebilir fonksiyonlarsa y x y u u x ir. Lemma 92 f fonksiyonu x noktasına türevlenebilir ve y f(x) olsun. zaman y f (x) x + ε x eşitliğini sağlayan ve x 0 iken ε 0 olan bir ε reel sayısıvarır. O Ispat. olsun. O zaman ε f(x+ x) f(x) x f (x), x 0 0, x 0 x 0 + x) f(x) [f(x f (x)] x 0 x f (x) f (x) 0 olur. Diğer taraftan x 0 için tanıman ε x f(x + x) f(x) xf (x) olur. Ancak y f(x + x) f(x) oluğunan ε x y xf (x) 33

9 veya y f (x) x + ε x bulunur. Yine x 0 ise y f(x + x) f(x) 0 f (x) x + ε x eşitliği sağlanır. Zincir kuralının ispatı. y f(u) ve u g(x) türevlenebilir fonksiyonlar olsun. O zaman u g (x) x + ε x eşitliğini sağlayan ve x 0 iken ε 0 olan bir ε reel sayısıvarır. Yine y f (u) u + ε 2 u eşitliğini sağlayan ve u 0 iken ε 2 0 olan bir ε 2 reel sayısıvarır. Buraan y (f (u) + ε 2 ) u (f (u) + ε 2 )(g (x) x + ε x) (f (u) + ε 2 )(g (x) + ε ) x olur. x 0 için y x (f (u) + ε 2 )(g (x) + ε ) bulunur ki x 0 iken ε 0 ve ε 2 0 oluğunan yaa ele eilir. Uyarı93 Şimi Lemma 92 eki eşitliğinen y x 0 x f (u)g (x) y x f (u)g (x) y u u x y f (x) x + ε x f(x + x) f(x) + f (x) x + ε x yazılabilir. x 0 için ε 0 oluğunan x yeterince küçük alınĭgına f(x + x) f(x) + f (x) x (7) ele eilir. (7) kullanılarak yaklaşık eğer hesaplamaları yapılabilir. Örnek 94 F (x) x 2 + fonksiyonunun türevini hesaplayınız. F fonksiyonu f(u) u ve g(x) x 2 + olmak üzere F f g biçimine yazılabilir. O zaman f (u) 2 u ve g (x) 2x oluğunan bulunur. F (x) f (g(x))g (x) 2 x 2 + 2x x x2 + 34

10 Örnek 95 f(x) (x 3 + ) 00 fonksiyonunun türevini bulunuz. Örnek 96 f(x) 3 x 2 +x+ fonksiyonunun türevini bulunuz. Örnek 97 f(x) (2x + ) 5 (x 3 x + ) 4 fonksiyonunun türevini bulunuz. Örnek 98 (7) ifaesini kullanılarak 3 28 in yaklaşık eğerini bulunuz. 3.4 Ek Sorular Örnek 99 Aşağıaki fonksiyonların eğer varsa karşılarına yazılı noktalaraki türevlerini hesaplayınız. Fonksiyonlar bu noktalara sürekli miirler?. f(x) x, a. 2. f(x) x, a f(x) x x, a f(x) x x, a 0. x, x > 0 5. f(x), a 0. x 2, x 0 x 2 sin( x ), x 0 6. f(x), a 0. 0, x 0 x sin( x ), x 0 7. f(x), a 0. 0, x 0 Örnek 00 Aşağıaki fonksiyonların karşılarına yazılınoktalaraki türevlerini hesaplayınız.. f(x) (x 2 + ) 3, x 2. f(x) ( + x 2 ) 50, x 3. f(x) ( +x x )0, x 0 4. f(x) x + x 2, x 0 x 5. f(x) +x, x 2 6. f(x) x + x, x 7. f(x) x, x 0. 35

11 Örnek 0 f(x) x 3 + 4x fonksiyonu için (f ) (5)? f(x) Örnek 02 f(0), x 0 x 2 ve g(x) (x 2 +3) 4 f(x) olsun. g (0)? g(x) cos Örnek 03 g(0) g x, x 0 (0) 0 ve f(x) olsun. f (0) 0, x 0 eğerini bulunu. Örnek 04 y x 3 x 2 x + eğrisi üzerine teğetin yatay oluğu noktaları bulunuz. Örnek 05 Hangi x eğerleri için f(x) 2x 3 3x 2 6x + 87 fonksiyonunun grafiğinin yatay teğeti varır? Örnek 06 y 6x 3 +5x 3 eğrisinin, eğimi 4 olan bir teğet oğrusu olmaĭgını gösteriniz. Örnek 07 y x 2 + eğrisinin hangi noktasınaki teğeti orijinen geçer? Örnek 08 y x 2 parabolünün (0, 4) noktasınan geçen iki teğet oğrusu oluğunu şekil çizerek gösteriniz. Bu iki teğet oğrusunun parabol ile kesiştĭgi noktaların koorinatlarını bulunuz. Örnek 09 (2, 3) noktasınan geçen ve y x 2 + x parabolüne teğet olan oğruların enklemini bulunuz. Örnek 0 Bir C eğrisinin P noktasınaki normal oğrusu, P en geçen ve C nin P noktasınaki teğetine ik olan oğru olarak tanımlanır. Buna göre y x 2 eğrisinin (2, 3) noktasınaki normal oğrusunu bulunuz. Örnek y x x 2 parabolünün (, 0) noktasınaki normal oğrusu, parabol ile ikinci kez neree kesişir? Örnek 2 Hangi a ve b eğerleri için 2x + y b oğrusu y ax 2 parabolüne x 2 apsisli noktaa teğettir. Örnek 3 Grafiğinin ( 2, 6) ve (2, 0) noktalarınaki teğetleri yatay olan ve y ax 3 + bx 2 + cx + biçimine verilen polinomu bulunuz. Örnek 4 y-ekseni üzerine kesişen iki oğrunun, y x 2 parabolüne teğet oluğu bir şekil çiziniz. Bu oğrular hangi noktaa kesişir. Örnek 5 (7) ifaesini kullanılarak 5 ve 4 7 nin yaklaşık eğerini hesaplayınız. Örnek 6 x f(2x) x2 ise f (x)? Örnek 7 y x x 2, x eğrisinin hangi noktaaki teğeti ya yatay yaa ikeyir. 36

12 Örnek 8 f(x) +x eğrisinin (, 2 2 ) noktasınaki teğetini bulunuz. Eğri ile teğeti aynı üzleme çiziniz. ( ) Örnek 9 h(2) 4, h (2) 3 ise h(x) x x x2? x Örnek 20 f(x) x+ eğrisine teğet olan oğrularan kaç tanesi (, 2) noktasınan geçer? Bu oğrular eğriye hangi noktaa teğettir. Örnek 2 y x x+ eğrisinin, x 2y 2 oğrusuna paralel olan teğet oğrularının enklemini bulunuz. Örnek 22 y x 2 + ax + b ve y cx x 2 eğrileri (, 0) noktasına ortak teğet oğrusuna sahiptir. a, b ve c sayılarını bulunuz. ax + b, x > Örnek 23 f(x) fonksiyonunun her yere türevlenebilir bx 2 3, x olmasıiçin a ve b ne olmalıır? 3.5 Trigonometrik ve Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi 3.5. Trigonometrik Fonksiyonların Türevi Bu kesime türev tanımınıkullanarak sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının türevini hesplayacağız. Arınan türev alma kuralları yarımıyla iğer trigonometrik fonksiyonların türevlerini bulacağız.. f(x) sin x fonksiyonunu göz önüne alalım. bulunur. x sin x f f(x + h) f(x) (x) sin(x + h) sin x sin x cos h + cos x sin h sin x cos h sin h sin x + cos x cos x 37

13 2. f(x) cos x olsun. O zaman olur. x cos x f f(x + h) f(x) (x) cos(x + h) cos x cos x cos h sin x sin h cos x cos h sin h cos x sin x sin x 3. Bölümün türevi yarımıyla aşağıakileri ele eebiliriz. Bu türevin x (2k + ) π 2 x tan x (tan x) ( ) sin x cos x cos x(sin x) sin x(cos x) cos 2 x cos2 x + sin 2 x cos 2 x cos 2 x + tan2 x sec 2 x için var oluğuna ikkat ee. Benzer şekile x cot x sin 2 x ( + cot2 x) csc 2 x sec x x sec x tan x csc x x csc x cot x oluklarıele eilebilir. Örnek 24 Aşağıaki fonksiyonların türevlerini hesaplayınız.. f(x) x 2 tan x 2. f(x) sin x +cos x 3. f(x) tan x x 4. f(x) x sin x+cos x 5. f(x) 6. f(x) tan x sec x x cos x sin x x sin x+cos x 38

14 Örnek 25 y x cos x eğrisinin (π, π) noktasınaki teğetinin enklemini bulunuz. Örnek 26 y sin(sin x) eğrisinin (π, 0) noktasınaki teğetinin enklemini bulunuz. Örnek 27 y sec x 2 cos x eğrisinin ( π 3, ) noktasınaki teğetinin enklemini bulunuz. Örnek 28 Hangi x eğeri için f(x) x + 2 sin x eğrisinin yatay teğeti varır. Örnek 29 y cos x 2+sin x eğrisi üzerine teğetin yatay oluğu noktalarıbulunuz. Örnek 30 Zincir kuralıyarımıyla aşağıaki fonksiyonların türevini hesaplayınız.. f(x) sin 3x 2 2. f(x) tan 3 x + cos(x 2 + ) 3. f(x) (tan x) 5 4. f(x) cos(sin x) 5. f(x) tan(sin x) 6. f(x) sin(sin(sin x)) 7. f(x) x + x + x 8. f(x) 3 tan3 x tan x + x 9. f(x) (2 3 cos x) f(x) sin 2 (2x ) 3 2 Örnek 3 cos 62 yi yaklaşık olarak hesaplayınız. (62 π 3 + π 90 olup x π 90 alınız) Örnek 32 cos 43 ve sin 32 yi yaklaşık olarak hesaplayınız Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi f(x) arcsin x, x [, ] fonksiyonunu göz önüne alalım. Biliniği gibi, bu fonksiyon [ π 2, π 2 ] aralığı üzerine tanımlı f (x) sin x fonksiyonunun ters fonksiyonuur. Böylce ters fonksiyonun türevi yarımıyla f (x) (f ) (f(x)) cos(f(x)) cos(arcsin x) x 2 bulunur. Buraa türevin x ve x için var olmaığına ikkat eilmeliir. 39

15 Benzer şekile oluğu ele eilebilir. f(x) arccos x f (x) x x (, ) 2 f(x) arctan x f (x) +x x R 2 f(x) arccot x f (x) f(x) arcsec x f (x) x x 2 f(x) arccsc x f (x) x x 2 +x x R 2 x R\[, ] x R\[, ] Örnek 33 Zincir kuralını a ikkate alarak aşağıaki fonksiyonların türevini hesaplayınız.. f(x) arcsin x 2 2. f(x) x arctan x 3. f(x) tan (x + x 2 ) 4. f(x) x 2 arcsin x 5. f(x) ( + x 2 ) arctan x 6. f(x) arcsin(tan x) Örnek 34 f(x) (x 2 ) arcsin x + 2 x x2 fonksiyonu için f ()? 40

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2.

Türev Kuralları. Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, d dx [cf(x)] = c d. dx f(x) dir. Kural 2. Bölüm 3 Türev Kuralları Kural 1. Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, ir. x [cf(x)] = c x f(x) Kural 2. Toplam-Fark Kuralı f ve g türevlenebilir ise, ir. [f(x) ± g(x)]

Detaylı

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir.

x e göre türev y sabit kabul edilir. y ye göre türev x sabit kabul edilir. TÜREV y= f(x) fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı olsun. Bu aralıktaki bağımsız x değişkenini h kadar arttırdığımızda fonksiyon değeri de buna bağlı olarak değişecektir. Fonksiyondaki artma miktarını değişkendeki

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu

Detaylı

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek. Polinomların ve. Üstel Fonksiyonların Türevleri. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise,

Bilinen Türevlerden Yeni Türevler Elde Etmek. Polinomların ve. Üstel Fonksiyonların Türevleri. Çarpım Kuralı f ve g türevlenebilir ise, Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Bilinen Türevleren Yeni Türevler Ele Etmek Sabitle Çarpım Kuralı c bir sabit ve f türevlenebilir bir fonksiyonsa, x [cf(x)] = c x f(x) ir. Toplam-Fark Kuralı

Detaylı

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3

Matematik 1 - Alıştırma 1. i) 2(3x + 5) + 2 = 3(x + 6) 3 j) 8 + 4(2x + 1) = 5(x + 3) + 3 Matematik 1 - Alıştırma 1 A) Denklemler 1. Dereceden Denklemler 1) Verilen denklemlerdeki bilinmeyeni bulunuz (x =?). a) 4x 6 = x + 4 b) 8x + 5 = 15 x c) 7 4x = 1 6x d) 7x + = e) 5x 1 = 10x + 6 f) 0x =

Detaylı

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV

ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV - 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını

Detaylı

LYS MATEMATİK DENEME - 1

LYS MATEMATİK DENEME - 1 LYS MATEMATİK DENEME - BU SORULAR FİNAL EĞİTİM KURUMLARI TARAFINDAN SAĞLANMIŞTIR. İZİNSİZ KOPYALANMASI VE ÇOĞALTILMASI YASAKTIR, YAPILDIĞI TAKDİRDE CEZAİ İŞLEM UYGULANACAKTIR. LYS MATEMATİK TESTİ. Bu testte

Detaylı

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.

Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir. 1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli

Detaylı

TÜREV VE UYGULAMALARI

TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun

Detaylı

DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları

DERS 10. Kapalı Türev, Değişim Oranları DERS 0 Kapalı Türev, Değişim Oranları 0.. Kapalı Türev. Fonksiyon kavramının ele alınığı ikinci erste kapalı enklemlerin e fonksiyon tanımlayabileceğini görmüştük. F (, enklemi ile tanımlanan f fonksiyonu

Detaylı

DERS: MATEMATİK I MAT101(04)

DERS: MATEMATİK I MAT101(04) DERS: MATEMATİK I MAT0(0) ÜNİTE: FONKSİYONLAR KONU:. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR Öncelikle açı ölçü birimlerine göz atalım: Bilindiği gibi bir tam açının ölçüsü 0 derecedir. Diğer bir açı ölçü birimi de

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x + 2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

f (a+h) f (a) h + f(a)

f (a+h) f (a) h + f(a) DERS 7 Marjinal Analiz 7.. Marjinal Değerler. f fonksiyonunun (a, f(a noktasınaki teğetinin eğiminin f (a ve teğetin enkleminin e y f (a ( a + f(a oluğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h eğeri için f (a+h

Detaylı

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1

1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1 . ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında

Detaylı

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1

[ 1, 1] alınırsa bu fonksiyon birebir ve örten olur. Bu fonksiyonun tersine arkkosinüs. f 1 (x) = sin 1 (x), 1 x 1 ..3 Ters Trigonometrik Fonksionlar Önceki kesimde belirtilen bütün trigonometrik fonksionlar perodik olduklarından görüntü kümesindeki her değeri sonsuz noktada alırlar. Bölece trigonometrik fonksionlar

Detaylı

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları

SÜREKLİLİK. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları SÜREKLİLİK Bu bölümde süreklilik kavramı, süreksizlik, sürekli fonksiyonların özellikleri ile buna ilişkin teoremler örnekler ve grafiklerle açıklanmaktadır. 9.1 Süreklilik ve Süreksizlik Kavramları Tanım

Detaylı

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme

BÖLÜM I. Tam sayılarda Bölünebilme BÖLÜM I Tam sayılara Bölünebilme Teorem 1.1 (Bölme algoritması) b > 0 olmak üzere, verilen a ve b tam sayıları için a = qb + r, 0 r < b (1) olacak şekile bir ve bir tek q, r Z çifti varır. İspat: 1. İlk

Detaylı

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır.

Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç yolla olabilir. Biz bu yolların birkaçını. + r) açık aralığıdır. . KÜMELERİN YAPILARI. Açık Kümeler-Kapalı Kümeler vereceğiz. Açık kümeleri belirlemek ve tanımlamak birkaç ylla labilir. Biz bu ylların birkaçını.. Tanım: (X, ) metrik uzay x0 (i) B(x, r) { x X : (x, x)

Detaylı

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır.

f fonksiyonuna bir üç değişkenli fonksiyon adı verilir. Daha çok değişkenli fonksiyonlar benzer şekilde tanımlanır. Çok Değişkenli Fonksiyonlar Tanım 1. D düzlemin bir bölgesi, f de D nin her bir (x, y) noktasına bir f(x, y) reel sayısı karşılık getiren bir fonksiyon ise f fonksiyonuna bir iki değişkenli fonksiyon adı

Detaylı

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır.

A noktasında ki cisim uzaklaşırken de elektriksel kuvvetler iş yapacaktır. C) ELEKTRİKSEL POTNSİYEL ENERJİ: Şekil 1 eki +Q yükü, + yükünü Q. F k kuvveti ile iter. Bu neenle + yükünü sonsuzan ya a topraktan noktasına getirmek için elektriksel kuvvetlere karşı iş yapılır. Bu iş,

Detaylı

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?

2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır? 017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin

Detaylı

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi

MAT1009 Matematik I. Ders Notları. Dokuz Eylül Üniversitesi MAT9 Matematik I Ders Notları Dokuz Eylül Üniversitesi 26 2 İçindekiler Fonksiyonlar 5. Polinomlar................................................. 7.2 Trigonometrik Fonksiyonlar.......................................

Detaylı

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti

Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti. Fonksiyonun Limiti Fonksiyonun Limiti x in 2 sayısına yakın değerleri için f(x) = x 2 x+2 ile tanımlanan f fonksiyonun davranışını inceleye. Aşağıdaki tablo, x in 2 ye yakın fakat 2 den farklı değerleri için f(x) değerlerini

Detaylı

1. Hafta Uygulama Soruları

1. Hafta Uygulama Soruları . Hafta Uygulama Soruları ) x ekseni, x = doğrusu, y = x ve y = x + eğrileri arasında kalan alan nedir? ) y = x 3 ve y = 4 x 3 parabolleri arasında kalan alan nedir? 3) y = x, x y = 4 eğrileri arasında

Detaylı

Mat Matematik II / Calculus II

Mat Matematik II / Calculus II Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Örnek...17 : 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ

Örnek...17 : 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ C) ÖZEL DOĞRU DENKLEMLERİ Örnek...17 : A ( 3, 6 ) n ok t a s ı n a n v e o r i j i n e n g e ç e n o ğ r u n u n e n k l em i n e i r? 1) EKSENLERİ KESTİĞİ NOKTALAR BİLİNEN DOĞRUNUN DENKLEMİ eksenini A(a,0)

Detaylı

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri

Tork ve Denge. Test 1 in Çözümleri 9 ork ve Denge est in Çözümleri M. Sistemlerin engee olması için toplam momentin (torkun) sıfır olması gerekir. Verilen üç şekil için enge koşulunu yazalım. F. br =. br F = Şekil II G =. +. +. =. 6 = 6

Detaylı

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun.

TÜREVİN UYGULAMALARI. Maksimum ve Minimum Değerler. Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. Maksimum ve Minimum Değerler Tanım : f bir fonksiyon ve D, f nin tanım kümesi olsun. TÜREVİN UYGULAMALARI D içindeki her x elemanı için f(c) f(x) ise f fonksiyonunun c noktasında mutlak maksimumumu vardır.

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK İÇİNDEKİLER HEDEFLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI. Türev Türev Alma Kuralları HEDEFLER İÇİNDEKİLER TÜREV VE TÜREV ALMA KURALLARI Türev Türev Alma Kuralları MATEMATİK-1 Prof.Dr.Ahmet KÜÇÜK Bu üniteyi çalıştıktan sonra Burada türevin tanımı verilecek, Geometride bir eğrinin bir noktadaki

Detaylı

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR.

MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 BU SORU KİTAPÇIĞI 19 HAZİRAN 2010 LYS 1 MATEMATİK TESTİ SORULARINI İÇERMEKTEDİR. Ö S Y M T.C. YÜKSEKÖĞRETİM KURULU ÖĞRENCİ SEÇME VE YERLEŞTİRME MERKEZİ LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 BU SORU KİTAPÇIĞI 9 HAZİRAN 00 LYS MATEMATİK

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir.

Bir Fonksiyonun İlkeli. fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Tanım: Eğer bir I aralığındaki her x için F (x) = f(x) ise, F fonksiyonuna I üzerinde f nin ilkeli denir. Bir Fonksiyonun İlkeli Örneğin, f = x 2 olsun. Eğer Kuvvet Kuralı nı aklımızda

Detaylı

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN

Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYIN KURULU Hazırlayanlar Halit Tansel Satan, Tolga TANIŞ, Simay AYDIN YAYINA HAZIRLAYANLAR KURULU Kurumsal Yayınlar Yönetmeni Saime YILDIRIM Kurumsal Yayınlar Birimi Dizgi & Grafik Mustafa Burak SANK

Detaylı

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7.

Soru 1. Soru 5. Soru 2. Soru 6. Soru 3. Soru 7. İstanbul Kültür Üniversitesi Matematik -Bilgisayar Bölümü MB00 Analiz I 3 Aralık 03 Final Sınavı Öğrenci Numarası: Adı Soyadı: - Taatlar: Sınav süresi 0 dakikadır. İlk 30 dakika sınav salonunu terk etmeyiniz.

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALANI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALANI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ SINI KONU NLTIMLI ÜNİTE: ELEKTRİK VE MNYETİZM Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK LNI ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ Elektriksel Kuvvet ve Elektrik lanı Ünite Konu nın Çözümleri kuvvetinin yatay ve üşey bileşenleri

Detaylı

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x.

2014 LYS MATEMATİK. x lü terimin 1, 3. 3 ab olduğuna göre, ifadesinin değeri kaçtır? 2b a ifade- sinin değeri kaçtır? olduğuna göre, x. 4 LYS MATEMATİK. a b b a ifade- ab olduğuna göre, sinin değeri kaçtır? 5. ifadesinin değeri kaçtır? 5. P() polinomunda katsaısı kaçtır? 4 lü terimin 4 log log çarpımının değeri kaçtır? 6. 4 olduğuna göre,.

Detaylı

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x.

BÖLÜM 4 4- TÜREV KAVRAMI 4- TÜREV KAVRAMI. Tanım y = fonksiyonunda x değişkeni x. artımını alırken y de. kadar artsın. = x. - TÜREV KAVRAMI - TÜREV KAVRAMI 7 iadesinin türevini alınız. Çözüm lim lim 7 7 lim 7 7 lim lim onksionunun türevini alınız. Tanım onksionunda değişkeni artımını alırken de kadar artsın. oranının giderken

Detaylı

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi

Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi Bir Fonksiyonun Dört Farklı Gösterimi 2. P ile gösterilen dünya nüfusu, t zamanına bağlıdır. Tablo, Dünya nufusu P(t) yi t yıllarında yaklaşık olarak vermektedir.

Detaylı

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay

Ders 05. Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler. 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05. Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 48 Bölüm 5 Ders 05 Çok değişkenli Fonksiyonlar. Kısmi Trevler 5.1 Çözümler:Alıştırmalar 05 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay 1. Soru 1 Aşağıda verilen soru işaretlerinin yerine gelmesi gereken değerleri

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

TMOZ/tmoz@yahoogroups.com Kasım - 2005 Ters trigonometrik fonksiyonlar Eyüp Kamil Yeşilyurt Alaattin Altuntaş Mustafa Yağcı Dikkat edilmeyen veya önemsenmeyen ayrıntılar bir gün sizi de rahatsız edebilir.

Detaylı

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1

TÜREV TANIMI TÜREV ALMA KURALLARI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRAMINA GÖRE DERS ANLATIM FÖYÜ 1 TÜRE TNIMI TÜRE LM KURLLRI FEN LĠSESĠ ÖĞRETĠM PROGRMIN GÖRE DERS NLTIM FÖYÜ Ortalama Değişim Oranı Bu itte dönüşümü apılırsa olur. f(b) B d f() f(b) f(a) Bu durumda iken olur. Buna göre, f() fonksionunun

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 50 soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Elektriksel Alan ve Potansiyel. Test 1 in Çözümleri. Şekle göre E bileşke elektriksel alan açıortay doğrultusunda hareket ettiğine göre E 1. dir.

Elektriksel Alan ve Potansiyel. Test 1 in Çözümleri. Şekle göre E bileşke elektriksel alan açıortay doğrultusunda hareket ettiğine göre E 1. dir. 3 lektriksel lan ve Potansiyel 1 Test 1 in Çözümleri 1. 3. 1 30 30 1 3 Şekil inceleniğine noktasınaki elektriksel alanı oluşturan yük tek başına 3 ür. 1 ve yüklerinin noktasına oluşturukları elektriksel

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

MAT MATEMATİK I DERSİ

MAT MATEMATİK I DERSİ MATEMATİK BÖLÜMÜ MAT 0 - MATEMATİK I DERSİ ÇALIŞMA SORULARI Bölüm : Fonksiyonlar. Tanım Kümesi ) f() = ln fonksiyonu verilsin. Tanım kümesini bulunuz. ((0, )\{}) Bölüm : Limit ve Süreklilik.. Limit L Hospital

Detaylı

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x

Çalışma Soruları 1. a) x > 5 b) y < -3 c) xy > 0 d) x 3 < y e) (x-2) 2 + y 2 > 1. ( ) 2x Çalışma Soruları. Aşağıdaki denklemleri çözünüz: a) 7x = 4x + b) x 7x = x 4 c) x 4 x + = 0. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini belirleyiniz ve aralıklar cinsinden ifade ediniz: a) 4x > 9 b) x 4

Detaylı

10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ 2012 10. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1.ÜNİTE: POLİNOMLAR n doğal sayı ve katsayılar gerçek sayıyı göstermek üzere, P(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +... + a 1 x

Detaylı

2.2 Bazıözel fonksiyonlar

2.2 Bazıözel fonksiyonlar . Bazıözel fonksionlar Kuvvet fonksionu, polinomlar ve rasonel fonksionlar, mutlak değer ve tam değer fonksionları, pratik grafik çizimleri. 1-) Lineer fonksionlar: m ve n sabit saılar olmak üzere f()

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi

Türev Uygulamaları. 9.1 Ortalama Değer teoremi 1 2 Bölüm 9 Türev Uygulamaları 9.1 Ortalama Değer teoremi Türevin çok farklı uygulamaları vardır. Bunlar arasında çok önemli olan bazılarını ele alacağız. Ortalama Değer Teoremi ni daha önce görmüştük.

Detaylı

Adnan GÖRÜR Duran dalga 1 / 21 DURAN DALGA

Adnan GÖRÜR Duran dalga 1 / 21 DURAN DALGA Anan GÖRÜR Duran alga 1 / 21 DURAN DAGA Uygulamalara, iletim hattı boyunca fazör voltaj veya akımının genliğini çizmek çok kolayır. Bunlara kısaca uran alga (DD) enir ve Kayıpsız Hat Kayıplı Hat V ( )

Detaylı

Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI

Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI MADENCİLİK, Cilt 45, Sayı 4, Sayfa 29-4, Aralık 26 Vol.45, No. 4, pp 29-4, December 26 Teknik Not / Technical Note KONUT SEKTÖRÜ İÇİN LİNYİT KÖMÜRÜ TÜKETİCİ FAZLASI Consumer Surplus of Lignite Coal Consumption

Detaylı

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar. Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol Artan-Azalan Fonksiyonlar Ekstremumlar Yard. Doç. Dr. Mustaa Akkol Artan ve Azalan Fonksiyonlar Tanım: a,b aralığında tanımlı bir onksiyonu verilsin., a,b ve için, ise onksiyonu a,b aralığında artan, ise

Detaylı

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek...

Örnek...3 : P(x+4)=x 7 +6.x 6 +2x 3 polinomu için P(2) kaçtır? Örnek...4 : P(2x 1) = x 2 olduğuna göre, P(3)+P(5) kaçtır? Örnek... POLİNOMLAR n N, a n, a n 1, a n 2,a 1,a 0 R ve a n 0 olmak üzere, a n x n +a n 1 x n 1 +a n 2 x n 2 +...+a 1 x+a 0 ifadesine x in bir polinomu denir ve genellikle bu ifade P(x),Q(x) gibi bir ifadeye eşitlenerek

Detaylı

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar

Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç Veya Daha Fazla Değişkenli Fonksiyonlar Üç değişkenli bir f fonksiyonu, bir D R 3 tanım kümesindeki her (x, y, z) sıralı üçlüsüne, f(x, y, z) ile gösterilen

Detaylı

bölümde tanımı doğrudan kullanmadan türev bulma yöntemleri

bölümde tanımı doğrudan kullanmadan türev bulma yöntemleri Türev Alma Kurallar Türevlerin, eğim ve eğişim hızı olarak nasıl yorumlanacağını görük. Değer tablolarıyla verilen fonksiyonların türevlerinin yaklaşık olarak nasıl hesaplanacağını a görük. Grafikleri

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ A. PERİYODİK FONKSİYONLAR A, düna ve güneşin hareketleri, a ve güneş tutulmaları her 7 ılda bir Halle kuruklu ıldızının dünamızı ziareti periodik olarak medana gelen

Detaylı

9 B ol um Türevin Uygulamaları

9 B ol um Türevin Uygulamaları 2 Bölüm 9 Türevin Uygulamaları 64 BÖLÜM 9. TÜREVİN UYGULAMALARI Bölüm 0 Türev Tanım 0. y = f () fonksiyonu (a,b) aralığında tanımlı ve 0 (a,b) olsun. y = f ( 0 ) h 0 f ( 0 + h) f ( 0 ) h iti varsa, bu

Detaylı

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b.

Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 19, 20, 21, 25, 27, 28, 29, 30, 33-b. Final sınavı konularına aşağıdaki sorular dahil değildir:,,,, 5, 6, 7, 9,,, 5, 7, 8, 9,, -b. MAT -MATEMATİK (- GÜZ DÖNEMİ) FİNAL ÇALIŞMA SORULARI. Tabanı a büyük eksenli, b küçük eksenli elips ile sınırlanan

Detaylı

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI

BÖLÜM 24 TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI TÜREV VE UYGULAMALARI YILLAR 966 967 968 969 97 97 97 975 976 977 978 980 98 98 98 98 985 986 987 988 989 990 99 99 99 99 995 996 997 998 006 007 ÖSS / ÖSS-I ÖYS / ÖSS-II 5 6 6 5

Detaylı

Komisyon İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN

Komisyon İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 10 DENEME ISBN Komisyon İLKÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TAMAMI ÇÖZÜMLÜ 0 DENEME ISBN 978-605-8-8-5 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK (10+10 p.) 2. (15 p.) 3. (7+8 p.) 4. (15+10 p.) 5. (15+10 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, FİNAL SINAVI 08 ARALIK 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. 10+10 p.) 2. 15 p.) 3. 7+8 p.) 4. 15+10 p.) 5. 15+10 p.) TOPLAM 1. a) NOT: Tam

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. ANADOLU LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 7 6 6.. Yönlü

Detaylı

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i

θ x Örnek...1 : Örnek...2 : KARMAŞIK SAYILAR 3 Alıştırmalar KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ 1) z = 1 + i 2) z = 1 i KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ z = a + bi y karmaşık sayısının kartezyen bi koordinatları z=(a, b) dir. Ya da görüntüsü A noktasıdır. A Alıştırmalar Karmaş ık sa yıs ın ın kutupsal

Detaylı

TÜREVİN ANLAMI Bu Konumuzda türevin fiziksel, geometrik anlamını ve Ekstremum olayını anlatacağız. İyi Çalışmalar... A. TÜREVİN FİZİKSEL ANLAMI Bir hareketlinin t saatte kaç km yol aldığı, fonksiyonu ile

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe

Prof.Dr.Ünal Ufuktepe İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev

MATM 133 MATEMATİK LOJİK. Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev MATM 133 MATEMATİK LOJİK Dr. Doç. Çarıyar Aşıralıyev 5.KONU Cebiresel yapılar; Grup, Halka 1. Matematik yapı 2. Denk yapılar ve eş yapılar 3. Grup 4. Grubun basit özellikleri 5. Bir elemanın kuvvetleri

Detaylı

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi

Mustafa Özdemir İrtibat İçin : veya Altın Nokta Yayınevi 2 Matematik Olimpiyatlarına Hazırlık 5 Mustafa Özdemir MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK 5 (460 sayfa) ANALİZ CEBİR 2 TANITIM DÖKÜMANI (Kitabın içeriği hakkında bir bilgi verilmesi amacıyla bu döküman

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİK ALAN VE SIĞA TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİK ALAN VE SIĞA TEST ÇÖZÜMLERİ . SINIF SORU BANASI. ÜNİTE: EETRİ E MANYETİZMA. onu DÜZGÜN EETRİ AAN E SIĞA TEST ÇÖZÜMERİ Düzgün Elektrik Alan ve Sığa TEST in Çözümleri. Şekil II e, E tan b mg mg... ( ) () ve () bağıntılarının sağ taraflarını

Detaylı

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU

EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ 11.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI 11.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU 08-09 EĞİTİM ÖĞRETİM YILI. FEN LİSESİ.SINIF MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLLIK PLANI.SINIF KAZANIM VE SÜRE TABLOSU No Konular Kazanım sayısı Ders Saati Ağırlık (%).. TRİGONOMETRİ 8 6 6.. Yönlü Açılar

Detaylı

3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

3. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 3. HAFTA SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi TAYLOR TEOREMİ Eğer f C n [a,b] ve f n+1 [a,b] de mevcut ise, x

Detaylı

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler

İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİKSEL ALAN VE SIĞA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 3. Konu DÜZGÜN ELEKTRİKSEL ALAN VE SIĞA ETKİNLİK VE TEST ÇÖZÜMLERİ . SINI ONU ANATIMI. ÜNİTE: EETRİ E MANYETİZMA. onu DÜZGÜN EETRİSE AAN E SIĞA ETİNİ E TEST ÇÖZÜMERİ Düzgün Elektriksel Alan ve Sığa. Ünite. onu A nın Çözümleri 4. E e mg. Birbirine paralel yerleştirilen

Detaylı

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız

Türev Uygulamaları. 4.1 Bağımlı Hız Bölüm 4 Türev Uygulamaları 4.1 Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacmin artış hızını doğrudan ölçmek

Detaylı

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM

MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. ( p.) 4. (6x5 p.) TOPLAM TOBB-ETÜ, MATEMATİK BÖLÜMÜ, GÜZ DÖNEMİ 2014-2015 MAT 101, MATEMATİK I, ARA SINAV 13 KASIM 2014 Adı Soyadı: No: İMZA: 1. (10+10 p.) 2. (10+10 p.) 3. (10+10+10 p.) 4. (65 p.) TOPLAM NOT: Tam puan almak için

Detaylı

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALAN TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF SORU BANKASI. 2. ÜNİTE: ELEKTRİK VE MANYETİZMA 1. Konu ELEKTRİKSEL KUVVET VE ELEKTRİK ALAN TEST ÇÖZÜMLERİ . SINI SORU BANKASI. ÜNİT: LKTRİK V MANYTİZMA. Konu LKTRİKSL KUVVT V LKTRİK ALAN TST ÇÖZÜMLRİ Test in Çözümleri. lektriksel Kuvvet ve lektrik Alan I k. A K() k. ve yüklerinin K noktasınaki yükü üzerine

Detaylı

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır.

1-A. Adı Soyadı. Okulu. Sınıfı LYS-1 MATEMATİK TESTİ. Bu Testte; Toplam 50 Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 75 dakikadır. -A Adı Soadı kulu Sınıfı LYS- MATEMATİK TESTİ Bu Testte; Toplam Adet soru bulunmaktadır. Cevaplama Süresi 7 dakikadır. Süre bitiminde Matematik Testi sınav kitapçığınızı gözetmeninize verip Geometri Testi

Detaylı

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2

( ) 1. Alt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? 3. x in hangi aralıktaki değeri ( ) 2 . lt kenarı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? ) 6 dik açı B) 4 dik açı C) 8 dik açı D) dik açı E ) dik açı Bir konveks çokgenin iç açıları toplamını veren bağıntı

Detaylı

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1

g(a + h) g(a) g (a) = lim Bu durumda, g(x) = f(x, b) fonksiyonunu göz önüne almış oluruz. olduğundan, Denklem 1 Kısmi Türevler Kısmi Türevler Genel olarak, f, x ve y değişkenlerinin iki değişkenli bir fonksiyonu olsun ve b bir sabit olmak üzere, y = b olacak şekilde y yi sabit tutalım ve yalnızca x in değişmesine

Detaylı

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata Prof. Dr. Erhan Coşkun Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Fakültesi Matematik Bölümü Kasım, 2018 e 5 Kasım, 2018 1 / 48 Elemanter fonksiyonlarla yaklaşım ve hata

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS MTEMTİK TESTİ. Bu testte soru vardır.. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için arılan kısmına işaretleiniz.. d + n - d + n d - + n- d + + n işleminin sonucu kaçtır?., R olmak üzere, + +

Detaylı