III - ELEKTROMAGNETİK GENELLEŞTİRME

Transkript

1 3 - EEKTROMAGNETİK GENEEŞTİRME.A ) AGRANGE ORMAİZMİ Dnamğn agrange medu le yenden frmüle edlmes, genelleşrlmş krdna ssemlernn kullanılmasına mkan anır. Yen krdnaların ye larak ble dk lmaları gerekmez. agrange frmalzm, sadee 0 veya değerlern alan Kısı kuvvelernden kurulmayı sağlar. Bu kuvveler İş e herhang br kakı yapamadıkları çn klaya elenrler : dr 0 ; Kısı m a Kısı dr m a dr. Anak dr m r dr anlamına gelmez, çünkü genelleşrlmş ve geçlr. max max fades m r dr ermler brbrnden bağımsız lmayablr. Bu yüzden yen, dq lern brbrnden bağımsız lduğu. q q r krdnalarına r r r r dr dq r q q q q q r r r r m r dq dq m r q q q q r r m r q q lur. r : Genelleşrlmş Kuvve larak adlandırılır ve lerde anlaşılaak q d U U sebeplerle d q q r mr erm se q larak fade edlebleeğ üm edlr. r r d r d r m r m r m r m r q q d q d q

2 3 d r d r d r r m r m r m r m r d r r m r m r d q q d q d q d q q larak dönüşürülür ; K d d q q mr anımıyla da elde edlr. Relavsk lmayan durumlarda m v K : Knek ener veya Ekleşmsz agrange nksynu, karezyen krdnalarda mmenum krunumunu verr. Benzer şeklde avsk mmenum krunumunu sağlayan Ekleşmsz agrange nksynu se m lmakadır. Eğer genelleşrlmş kuvve, üm edldğ gb br U pansyel nsnden d U U d q q larak yazılablrse d K K d U U laağı çn agrange nksynu d q q d q q d U şeklnde anımlanarak 0 d q q agrange denklemler elde edlr. agrange fnksynunun özellkler kullanılarak d q, q q q d q q d d d q q q d d q q d q d q 0 d bulunur. Bu aşamada p q veya anımı kullanılarak q q ermler yk edlr ve H H q p q p q bçmnde, q krunan br büyüklük lan q, p H H Hamln fnksynu luşurulur.

3 33.B ) EN KÜÇÜK EYEM İKESİ Uzay-zaman bra sının snsuz küçük değşmn sağlayan şlem : k k k k r dr, d r, exp dr d r, exp v d Buna benzer küçük mkarlardak değşmlern snsuz adednn ararda yapıldığı durumda, lk bra dan sn bra ya kadar lan değşmn, snsuz küçük değşmlern çarpımı şeklnde laağı, üsler plamının da br negral şeklnde yazılaağı açıkır. x x d x r d k k exp v exp, v S r, v d larak anımlanan ve r r 'Yörünge'snn fnksynel lan x x S 'Eylem' nsnden exp bulunur. Uzay-Zaman bra sının ke le skalar çarpımından başlangıç ve bş nkalarındak dalga fnksynları arasındak lşk : x x exp S x exp S x larak elde edlr. Bu fadeden anlaşılableeğ gb lk ve sn durumdak dalga fnksynlarının sadee fazları brbrnden farklıdır. Sn dalga fnksynunu bulmak çn, mümkün lan üm yörüngeler üzernden br plam yapmak gerekr. Bu kmpleks sayıları plarken faz lardan geleek lan ekler çk önemldr. Mesela S durumunda S exp laağı çn kmşu ylların kakıları brbrlern amamen yk ederler! Bu yüzden S S 0 şarı kşmak gerekr. 'Hamln İlkes' veya 'En Küçük Eylem İlkes' larak adlandırılan S 0 agrange denklemlerne yl açar. Bu denklemler En küçük eylem lkes nden başlayarak elde emek çn S 0 fades daha açık şeklde d ( ) d 0

4 34 q q q q d 0 q q q q elde edlr. q q d d erm q q d q d q larak yazılır ve ve uç nkalarında 0 lduğu göz önüne alınarak q q q d q q d 0 q d q d d q d 0 0 q d q d v r snuuna ulaşılır..c ) EEKTROMAGNETİK TEORİNİN TEMEERİ Alanların, Kaynaklar ve Uzay-Zaman la lşklern belrleyen Maxwell denklemler: E J B E B 0 B J E ve elekrmagnek alanda hareke eden yüke ek eden renz kuvve q ( E v B ) elekrdnamğn emellern luşurur. ( B ) 0 özdeşlğnden yla çıkarak kaynakları çeren denklemlerde gzl lan Yük Krunumu J denklem J, J 0 elde edlr. 8 ade grf Maxwell denklemn ayrışırmak çn pansyellerden yararlanılır. E ve B alanları Pansyel 4-Vekörü A A, A A nsnden B A ; E A A larak yazılıp A, A 0 renz ayarı kullanılarak,

5 35 pansyeller çn hmen lmayan dalga denklem A J elde edlr. Bu fadedek, dferansyel peraörü d Alember veya Dalga peraörü larak adlandırılmakadır..d ) EN YAN GENEEME İKESİ A Alanların pansyel nsnden anımları B A ; E A A renz kuvvene yerleşrlerek q A v A da q A + v A d bulunur. Buradan da pansyel çn:? d U U U q A v A d v r m v Relavsk lmayan durumlarda q A v A snuu elde edlr. geçerl laakır, p q A bu da p m v q A v demekr. m Bu snuç H p v Hamln fnksynuna yerleşrlne ( p qa) H q A elde edlr. Relavsk durumda geçerl lan m m q A v A agrange fnksynu se p m p qa q A m p qa bağınılarını verr. Bu durumda se Hamln nksynunu H p larak p qa p qa m elde edlr. Her k durumda da anımlanarak

6 36 p p qa genellemesnn yapıldığı görülmekedr. Yapısız ve nkasal br yükün elekrmagnek ekleşmesn belrleyen bu dönüşüme En Yalın Genelleme İlkes denr. PROBEMER P.. ) Sab magnek alan çn A B r lması gerekğn gösern. P.. ) renz nvaryan br Eylem lan ve snsuz küçük nvaryan br zaman aralığı S, renz nvaryan br agrange nksynu d d kullanılarak d S d larak anımlanır. Serbes parçaık çn renz nvaryan agrange fnksynu se 4-Hız : v, v m v, v v, p larak verlr. Elekrmagnek ekleşmel durumda p mv qa bçmnde yazılablr. = v, mv qa nsnden laağı çn a) Gerekl şlemler yaparak ds d sağlayan agrange fnksynun v, mv qa m q A A lduğunu gösern. + b) Kannk mmenumları sapayın, ) Hareke denklemlern yazarak renz kuvven elde edn. A P..3 ) v A v A da d lduğunu gösern.

7 37 P..4 ) Zayıf magnek alanlar çn lduğunu gösern. B r p q p q B P..5 ), p A p A özdeşlğn elde edn. q q q B P..6 ) Elekrmagnek ekleşmelern avsk agrange fnksynu r, v, m q A A dan yla çıkarak elekrmagnek ekleşmelern avsk Hamln fnksynu r, p, elde edn. H fadesn