17. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "17. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)"

Transkript

1 7. BÖLÜM ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) SİLİNDİR 7.. Tanım: Uzayda düzlemsel bir eğri ile bu eğrinin düzlemine paralel olmayan bir doğrusuna paralel olarak çizilen doğruların oluşturduğu yüzeye silindirik yüzey denir. doğrusu alalım. Eğri üzerindeki her noktadan 7.. Tanım: Düzlemsel eğriye silindirik yüzeyin dayanak eğrisi, doğrusuna paralel eğri üzerindeki doğrulara da silindirik yüzeyin ana doğrusu denir. 7.. Tanım: Dayanak eğrisi kapalı bir eğri olan silindirik bir yüzeyin ana doğrularını kesen ve birbirine paralel iki düzlem arasında kalan cisme silindir denir Tanım: Paralel düzlemlerin silindirik yüzeyin içinde kalan parçalarına silindirin tabanları, taban düzlemleri arasındaki uzaklığa silindirin yüksekliği, tabanların çevrelerini birleştiren eğri yüzeye silindirin yanal yüzeyi denir. denir Tanım: Bir dairesel silindirin iki tabanı arasındaki uzaklığa yükseklik

2 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Silindir tabanlarına göre adlandırılır. Dairesel silindir, eliptik silindir gibi. Biz bu kısımda kapalı eğri olarak daire üzerine inşa edilensilindirleri inceleyeceğiz. Benzer şekilde diğer eğriler de incelenir Tanım: Ana doğruları dik olan silindire dik silindir ya da dönel silindir, dik olmayan silindirlere eğik silindir denir. Bir eğrinin, bir eksen etrafında 60 0 döndürülmesiyle dönel cisimler oluşur. Dönel cisimlerin, eksenlere dik düzlemler ile tüm kesitleri birer çemberdir. Bir dikdörtgen levha bir kenarı etrafında döndürüldüğünde silindir elde edilir. Bir silindir, taban kenarları sonsuz sayıda n-gen prizmalardır. Bir dairesel silindirin düzlemle kesitlerinde şu özellikleri aşikârdır:

3 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE). Dik dairesel silindirin tabanına paralel bir düzlemle ara kesiti tabanlara eş bir dairedir.. Bir dairesel silindir birbirine paralel düzlemlerle kesilirse, ara kesitler birbirine eş olur. Dik Dairesel Silindirin Alanı 7.. Teorem:Bir dik dairesel silindirin taban alanları ile taban çevresinin yüksekliğinin çarpımının toplamına eşittir. A r(r h) İspat: Dik dairesel silindir açılımı şekildeki gibidir. Silindirin açılımı bir dikdörtgen ve iki daireden oluşmaktadır. Dikdörtgenin ayrıtları r ve h dir. Buna göre dikdörtgen olan yanal alan,

4 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A Y rh dir. İki tane taban daireler vardır. O halde toplam alan, A AT AY r rh r(r h) dir. Örnek: Taban yarıçapı 8 cm olan dik dairesel silindirin yüksekliği 5 cm dir. Buna göre silindirin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz. Çözüm: A r 8 cm, Y h 5 cm rh cm A r(r h).8(8 5) 68 cm Eğik Silindirin Alanı 7.. Teorem: Bir eğik dairesel silindirin taban alanları ile taban çevresininayrıtının çarpımının eğiminin sünüşünün toplamına eşittir. A r(r sin ) h İspat: sin h sin olduğundan, eğik silindirin yanal alanı, A Y rh r sin dir. İki tane taban daireler vardır. O halde toplam alan, A AT AY r r sin r(r sin ) dir. Örnek: Bir dairesel eğik silindirin dik kesitinin yarıçapı 4 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 0 cm ise bu silindirin alanını bulunuz. Çözüm: r 4 cm, h 0 cm A Y rh cm

5 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A r(r h).4(4 0) cm Örnek: Bir dairesel eğik silindirin yarıçapı 5 cm, eğimi 0 0, uzunluğu 6 cm ise bu silindirin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz. Çözüm: r 5 cm, 6 cm, A Y 0 0 rh.5.6.sin 0 80 cm A r(r sin ).5(5 6sin 0) 0 cm Silindirin Hacmi 7.. Teorem: Bir dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir. İspat: Silindir özel bir prizma olduğunu yukarıda söylemiştik. Buna göre, V r h bulunur Teorem: Bir dairesel silindirin hacmi, taban alanı ile ayrıtının sünüsünun çarpımına eşittir. İspat: Eğik silindirin yüksekliği V r sin bulunur. h sin olduğundan, Örnek: Kenar uzunlukları 5 cm ve 8 cm olan bir dikdörtgen kenarları etrafında ayrı ayrı 60 döndürülüyor. Oluşan silindirlerin alanlarını ve hacimlerini 0 bulunuz.

6 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) r 8 cm ve Çözüm: Birinci dik silindir h 5 cmolduğundan, r 5 cm ve h 8 cmve ikinci dik silindir V cm V cm bulunur. Örnek: Taban yarıçapları 0 cm ve 4 cm olan iki borunun yükseklikleri 0 cm dir. Bu içi boru küçük çaplı olan büyük çaplının içine taban merkezleri çakışık olacak şekilde yerleştiriliyor. İki boru arasına su dolduruluyor. İç kısımdaki boru alındığında suyun yüksekliğinin borunun içinde kaç cm olacağını bulunuz. Çözüm: Büyük çaplı borunun hacminden küçük çaplı borunun hacmi çıkarılırsa suyun hacmi bulunur. V r h r h cm bulunur. İç kısımdaki boru alındığında suyun yüksekliği düşecektir, yeni durumu da suyun yüksekliği h olsun. Buna göre suyun yüksekliği, V r h 80 0.h h,8 cm olur. Örnek:Taban çapı 6 cm, yüksekliği 5 cm bir dik silindir kavanoz bir miktar yağ vardır. Bu kavanoz 45 lik açı yapacak şekilde eğildiğinde, yağın yüzeyi 0 kabın ağırlığına dayanmaktadır. Buna göre suyun hacmi kaç cm dir.

7 7 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Çözüm: Kavanoz dik durumdan eğik duruma getirilirse şekildeki gibi EDC üçgeni ikizkenar dik üçgen olur. EC CD 6 cm dir. Eğik şekil dik konuma getirilirse yağ yüzeyi, [ED] nun orta noktasından [CD] na çizilen paralel olur. Buradan, A.K.A. eşlik teoremi gereği, EF FC cm ise h 5 cm olur. Buna göre, V r h.. 08 cm elde edilir. KONİ 7.7. Tanım: Uzayda, düzlemsel kapalı bir C eğrisi ile, bu düzlemin dışında bir T noktası verilsin. T noktası ile C eğrisinin her noktasından geçen doğruların oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir Tanım: Konik yüzeyde tanımlı düzlemsel kapalı C eğrisine taban eğrisi (dayanak eğrisi), C eğrisinin düzlemi dışındaki T noktasına, bu konik yüze-

8 8 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) yin tepe noktası, tepe noktası ile C eğrisinin her noktasından geçerek konik yüzeyi oluşturan doğru parçasına ise, konik yüzeyin ana doğruları denir Tanım: Taban eğrisi kapalı bir eğri olan konik yüzeyin tüm ana doğrularını kesen bir düzlemle tepe noktası arasında kalan cisme koni denir. Şekilde E düzlemi ile konik yüzeyin kesitine koninin tabanı, tepe noktasının tabana uzaklığına koninin yüksekliği, tabanının çevresini tepeye birleştiren eğri yüzeye de konininyanal yüzeyi denir. Konikler tabanlarına göre; dairesel koni ya da eliptik şeklinde adlandırılırlar Tanım: Tabanı daire olan ve yüksekliği tabanın merkezi ile tepe noktasından geçen koniye dik dairesel koni denir. Yükseklik ayağı taban merkezinden geçmeyen koniye de eğik dairesel koni denir. Dik dairesel konide bütün ana doğrular birbirine eşittir ve yüksekliği simetri eksenini oluşturur. Örnek: Taban yarıçapı 5cm olan bir dik dairesel koninin ana doğrusunun uzunluğu cm dir. Bu koninin simetri ekseninden geçen düzlemle ara kesiti olan üçgenin alanını bulunuz. Çözüm: Bir dik dairesel koninin merkezinden geçen düzlemle kesiti ikizkenar üçgendir. 5-- üçgeninden h cm

9 9 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) bulunur. Buna göre, elde edilir. A(T A B) AB.PO cm 7.. Sonuç: Bir koninin, tepe noktası ile tabanını kesen düzlemle kesiti her zaman bir üçgendir. 7.. Sonuç: Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesiti yine bir dairedir Teorem: Bir dairesel koninin tabanına paralel bir düzlemle kesitinin yarıçapları oranı, tepe noktasından bu kesitlere olan uzaklıklarının oranına eşittir. O Tepe noktası T ve tabanı A B çaplı daire olan koninin taban düzlemi ile merkezli A B çaplı çemberin düzlemi paralel olduğundan, [ CO ]//[CO] ve O H ]//[O H ] [ T dir. A.A.A. benzerlik teoreminden T C O C O TO OC r TO O C r ve T C H C H TO T r dir. O halde, r TO olup, TO TH h h eşitliği ispatlamış olur. h h olup,

10 0 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Örnek: Yüksekliği 5 cm ve tabanının yarıçapı 6 cm olan bir koni, taban düzlemine paralel bir düzlemle tabandan 0 cm uzaklıkta kesiliyor. Düzlemde koninin kesiti olan dairenin yarıçapını bulunuz. Çözüm: 7.5. teoremden Buna göre, h r h r 5 r 5 6 dir. r cm h 5 cm olduğundan 50 5 cmdir. h Dik Dairesel Koninin Alanı Koni, taban kenar sayısı sonsuza yaklaşan bir piramittir. Bu yüzden koninin alan ve hacim hesaplarında piramidin alan ve hacim hesaplarını kullanarak ispat yapacağız Teorem: Bir dairesel koninin yanal alanı, taban çevresi ile ana doğrusunun uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. A ra İspat: Koninin yan yüzeyini [AB], [BC], [CD],, [EF] eş tabanlı üçgenlere ayırırsak, h( AB BC CD DE EF ) AY dir. Koninin tabanının kenar sayısı sonsuza giderse, a r olur ve AB, BC, CD, DE, EF uzunlukları sıfıra yaklaşarak Yay(AF) nı oluştururlar. Yay (AF) r olduğundan,

11 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) bulunur. A Y a.r ra dır. 7.. Sonuç: Bir dik dairesel koninin alanı, A ra r r(a r) Örnek: Bir dik dairesel koninin taban yarıçapı br ve yüksekliği br olduğuna göre, bu koninin yanal alanını ve toplam alanını bulunuz. Çözüm: Yandaki şekilde, TOB dik üçgeninde Pisagor teoreminden, TB ( ) ise TB 6 cm bulunur. Dik dairesel koninin yanal alanı, A ra..6 8 br toplam alan, A r(a r)..( ) 9( bulunur. ) cm Örnek: Yandaki şekil, tepe noktası T ve ana doğrusunun uzunluğu 0 cm olan bir dik dairesel koninin yan yüzerinin açılımıdır. Buna göre bu koninin tabanının yarıçap uzunluğunu bulunuz. Çözüm:

12 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) AB yay parçasının uzunluğu koninin tabanının çevresine eşit olacağından; T merkezli dairenin çevresi olup, AB cm 60 dir. r cmise bulunur. A r 40 r 6 cm bulunur. O halde koninin tabanının alanı,.6 56 cm Dik Dairesel Koninin Hacmi 7.7. Teorem: Bir dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir. V r h İspat: Dairesel koni, taban kenar sayısı sonsuza giden bir piramit olarak düşünebileceğinden, hacmi de piramitlerde olduğu gibi aban alan ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşit olur. Tabanının yarıçapı r, yüksekliği h olan dairesel koninin hacmi, V A Th r h br olur. (Bu formül hem dik hem de eğik koniler için geçerlidir.) Örnek: Tabanının yarıçap uzunluğu 8 cm ve ana doğrusunun uzunluğu 7 cm olan dik dairesel koninin toplam alanını ve hacmini bulunuz.

13 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) h 5 cm olur. Buna göre dik dairesel koni- Çözüm: üçgeninden, nin toplam alanı, A r(a r).8.(8 7) 00 cm bulunur. Dik dairesel koninin yüksekliği h 5 cm olduğundan hacmi, V r h cm elde edilir. Örnek: Şekilde ABCD bir iç bükey dörtgendir. AD [BC], AB 5 cm, 0 80 döndürüldüğünde, oluşan cismin hacmini bulunuz. BD cm ve BO OC cm olduğuna göre, bu dörtgen AO doğrusu etrafına Çözüm: ABCD içbükey dörtgeninin AO doğrusu etrafında döndürülmesiyle oluşan cisim, tabanı O merkezli, yarıçapı cm olan daire ile yükseklikleri 5 ve 9 cm olan içiçe iki dik dairesel konidir. Büyük koninin hacmini ve küçük koninin hacmini V dersek, 80 0 V bulunur. V V V (.9.5) 9 cm Kesik Koni

14 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 7.. Tanım: Bir koni taban düzlemine paralel bir düzlemle kesildiğinde kesit ile taban düzlemi arasında kalan cisme kesik koni denir. Kesik koninin kesite üst taban, iki taban arasındaki uzaklığa kesik koninin yüksekliği denir. Kesik koniler dik ve eğik olmak üzere iki çeşittir. Dik Dairesel Kesik Koninin Alanı 7.8. Teorem: Dik dairesel kesik koninin yanal alanı, tabanların çevrelerinin toplamı ile ana doğrusunun uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir. A Y.a(r r ) İspat: Kesik koninin yanal alanı, tepe noktası T ve tabanı merkezli daire olan büyük koninin yanal alanı ile, tepe noktası T ve tabanı O merkezli daire olan küçük koninin yanal alanının farkına eşit olacağından, AY ra r a () dir. T BO T A a r O benzerliğinden, dir. Orantı özelliğinden, a r a a a a a r r r r r r dir. Buna göre, a a a.r olduğundan a () r r r r r O

15 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) a a a.r olduğundan a () r r r r r olur. () ve () değerleri () de yerine yazılırsa, a.r a.r A Y r r r r r r. a (r r ) r r bulunur.. a(r r ) 7.4. Sonuç: Dik dairesel kesik koninin toplam alanı, alt ve üst tabanlarının alanları ile yanal alanının toplamına eşit olacağından, A r r.a(r r ) dir. Dairesel Kesik Koninin Hacmi 7.9. Teorem: Taban yarıçapları r ve r, yüksekliği h olan herhangi bir dairesel kesik koninin hacmi, dir. V.h(r r r.r ) İspat: Dairesel kesik koni, tabanlarının kenar sayıları sonsuza giden kesik piramit gibi düşünelim. Kesik piramidin hacminin, V (G G G.G ). h olduğunu 6.. teoremde ispatlanmıştı, G ve G alanlarını koni için bulup yazarsak, V h(.r.r.r..r ) V.h(r r r. r ) bulunur.

16 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) AB Örnek: ABCD dik yamuğunda CB 0 cm dir. 0 m(â) 90, 4 cm DC, Bu yamuğun [AD] kenarı etrafında ve toplam alanını bulunuz döndürülmesiyle oluşan cismin hacmini Çözüm: ABCD dik yamuğu, [AD] kenarı etrafında oluşan cisim, bir dik dairesel kesik konidir döndürülmesiyle C noktasından, [AB] na bir dik inildiğinde, DC AH 4 cm olacağından HB 6 cm ve CHB dik üçgeninde Pisagor teoreminden, CH DA 8 cm bulunur. Buna göre, dik dairesel kesik koninin taban yarıçapları ve yükseklik h 8 cm olduğundan, bu kesik koninin hacmi; V.h(r r r. r ).8( ) 46 cm bulunur. Dönel kesik koninin toplam alanı ise; r r.a(r r ) bulunur. A cm.0(0 4) r 0 cm, r 4 cm KÜRE

17 7 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 7.. Tanım: Uzayda sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerine küre yüzeyi, küre yüzeyi ile sınırlanan cisme de küre denir. Uzayda alınan bu sabit noktaya kürenin merkezi, küre yüzeyi ile merkezi arasındaki sabit uzaklığa kürenin yarıçapı, küre yüzeyinde alınan farklı iki noktayı birleştiren doğru parçasına kürenin kirişi, merkezden geçen kirişe de kürenin çapı denir. Bir Küre İle Bir Düzlemin Birbirlerine Göre Konumları Bir küre ile düzlemin birbirine göre üç farklı konumu vardır. Yarıçapı r ve kürenin merkezinin düzleme uzaklığı d olmak üzere;. d r ise, küre ile düzlemin ara kesiti boş kümedir.. r d ise, küre bir T noktasında düzleme teğettir. Bu durumda, küre ile düzlemin ara kesiti bir noktadır. Bu noktaya değme noktası, düzleme de teğet düzlemi denir.

18 8 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE). d r ise, düzlem küreyi keser ve ara kesiti bir dairedir. Bu ara kesit dairenin yarıçapı; AO r d dır Teorem: O merkezli küre H noktasında E düzlemine teğet ise [ OH] E dir. O merkezli küre ile E düzleminin ara kesiti H noktası [ OH] E dir. İspat: K noktasının küre düzleminin ara kesiti olan H noktasından farklı bir nokta olduğunu varsayalım. Bu durumda [ OH] E olduğundan, OKH üçgeni dik üçgendir. Buradan OK OH olur. Oysa küre ile düzlem teğet olduğundan, düzlem ile kürenin merkezi arasındaki en kısa uzaklık OK olur. Bu çelişkiden, H noktası K noktası ile çakışıktır. 7.. Teorem: Bir küre yüzeyinin bir düzlemle ara kesiti bir çember, kürenin düzlemle ara kesiti bir dairedir.

19 9 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) İspat: Merkezi O noktası ve yarıçapı r olan bir küre E düzlemi ile kesiliyor. d, küre merkezinin düzleme uzaklığıdır. Küre ile düzlemin ara kesiti üzerinde alınan bir A noktası için, küre merkezinin düzleme uzaklığı, ve [ OO ] [AB] olduğundan, teoreminden; AO r OO d olmak üzere OAO dik üçgeninde Pisagor AO OA OO r r d olur. O halde, ara kesit üzerindeki A noktaları, sabit bulunurlar. Buna göre, ara kesit kümesi bir çemberdir. Bu çemberle sınırlanan düzlemsel bölge de daire olur. O noktasına eşit uzaklıkta Örnek: Yarıçapı cm olan bir kürenin merkezinden, d 5 cm uzaklıkta bulunan düzlemle ara kesiti bir dairedir. Bu dairenin alanını bulunuz. Çözüm: Şekilde görüldüğü gibi OA d 5 cm ve OB cm olduğundan OAB dik üçgeninde, cm olup alanı, A.r bulunur. AB cm bulunur. A merkezli dairenin yarıçapı 44 cm Kürenin Alanı 7.. Teorem: Yarıçap uzunluğu r olan bir kürenin alanı, A dir. 4.r İspat: Kürenin alanı, AB r çaplı yarım çemberin, [AB] etrafında 60 0 döndürülmesiyle oluşan r yarıçaplı küre yüzeyinin alanıdır. Bu yarım çemberin

20 0 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) içine, herhangi bir yarım düzgün BCDEFA çokgenini çizelim. Bu düzgün çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapına diyelim. r' BCDEFA düzgün yarım çokgenin [AB] etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin alanına Y diyelim ve bu alan [AF], [FE], [ED], [DC], [CB] nın döndürülmesiyle oluşan alanların toplamına eşit olacağından, Y r' AF' r' F'E' r' E'D' r' D'C' r' C'B Y r'( AF' F'E' E'D' D'C' C'B) r Y 4r' r bulunur. Burada düzgün yarım çokgenin kenarlarının sayısı sonsuz sayıda artırılırsa, [AB] çaplı yarım çember oluşur. Bu durumda yarım çokgenin çevresi [AB] çaplı çemberin çevresine, yarıçapı r yarıçapına ve Y alanı da kürenin alanına erişir. O halde, r' r için A.r.r 4r elde edilir. r' 7.5. Sonuç: Bir kürenin alanı bir büyük dairesinin alanının dört katına eşittir. Kürenin Hacmi tür. 7.. Teorem: Yarıçapı r olan kürenin hacmi; 4 V r İspat: Bir (Or) küresine teğet olan E düzleminin üzerine, taban yarıçapı r ve yüksekliği r olan bir dik silindiri oturtalım. Silindirin merkezi T ise, silindirin tabanlarının T ile ayrı ayrı belirttiği konileri silindirden çıkaralım. Silindirden geri kalan kısım ile kürenin hacmini karşılaştıracağız.

21 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) ) ve E ye paralel olan F düzlemi ile bu cisimlerin arake- T den d uzaklığında ( sitlerini inceleyelim. d r Silindirden kalan parça ile F nin arakesiti, iç yarıçapı d ve dış yarıçapı r olan bir daire halkası; küre ile F nin arakesiti yarıçapı r d olan bir daire olacaktır. Bunların ayrı ayrı alanlarını bulalım. Halkanın alanı A ve dairenin alanı A olmak üzere, A r d ve A ( r d ) r d olup A A dir. Buna göre, silindirden kalan parça ile kürenin E ye paralel her düzlemle arakesitlerinin alanları eşit olmaktadır. O halde, Cavalieri ilkesine göre bu katı cisimlerin hacimleri eşittir. Buna göre silindirin hacminden, belirtilen konilerin hacimlerini çıkarırsak geriye kürenin hacmi kalır. V V. elde edilir. silindir V koni V r r. r r 4 V r Örnek: Hacmi alanına eşit olan kürenin yarıçapını bulunuz. Çözüm: A 4r ve 4 4 r r V 4 r

22 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) r cm Örnek: Yarıçapları olan yarım küre ile bu yarım kürenin tabanını taban kabul eden ve tepe noktası küre yüzeyi üzerinde bulunan dik koninin alan ve hacimlerini bulunuz. Çözüm: Yarım kürenin alanı ve hacmi sırasıyla, A.4r.4. 8 cm 4 4 V. r.. 8 cm dir. AO TO cm ve a AT cm olduğundan koninin alanı ve hacmi sırasıyla, A r(a r).( ) 9( ) cm V.r. 9 cm bulunur Teorem: Yarıçapı r ve r olan kürenin alanları oranı hacimleri oranı V V dir. r r A A r r ve İspat: A 4 ve r 4 V r ve A V A 4 olacağından A r 4 V olacağından V r r r dir. r r dir. Küre Kuşağı 7.. Tanım: Bir küre yüzeyinde paralel iki düzlem arasında kalan parçasına küre tabakası denir.

23 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Birbirine paralel düzlemsel kesitle kuşağında O ve O merkezli çemberler, küre kuşağında ise çemberlerdir. Bu düzlemsel kesitlere, küre kuşağının tabanları, tabanlar arasındaki uzaklığına da küre kuşağının yüksekliği denir. Küre kuşağı alttan-üstten açık ve üstü açıktır Teorem: Küre kuşağının alanı, kürenin büyük çemberinin çevresinin uzunluğu ile küre kuşağının yüksekliğinin çarpımına eşittir. r yarıçaplı h yüksekliğindeki küre kuşağının alanı A rh İspat: Verilen şekilde görülen küre kuşağı AB çember yayının O O çapı etrafında döndürülmesiyle oluşur. Bu kuşağı alanı, Yay(AB) düzgün çokgen parçasının oluşturduğu alanının limiti olarak düşünelim. Bu durumda, r yarıçaplı bir küreden kesilen h yüksekliğindeki küre kuşağının alanı;.r.o O.r.h olur. A r Küre Kapağı 7.4. Tanım: Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesilmesi sonucu elde edilen parçalardan her birine küre kapağı denir Teorem: Bir küre kapağının yarıçapı r ve yüksekliği h ise, bu küre kapağının alanı,

24 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) dir. A.r.h İspat: Şekilde görüldüğü gibi küre kapağı bir tabanı sıfır olan küre kuşağı olduğundan, küre kuşağının alan hesaplaması ile küre kapağının alan hesaplaması aynı olacağından, bulunur. A.r.h Küre Kesmesi (Topacı) 7.5. Tanım: Bir daire kesmesinin kendisini kesmeyen bir çap etrafında döndürülmesinden oluşan cisme küre kesmesi (topacı) denir. Küre kesmesi, ABDC küre kuşağı ile AOD ve BOC koni yüzeyleri tarafından sınırlanan bir cisimdir. Küre kesmesi, tepeleri kürenin merkezinde, tabanları küre kuşağı üzerinde bulunan sonsuz sayıda konilerin toplamı şeklinde düşünülebilir Teorem: Bir küre kesmesinin yarıçapı r ve yüksekliği h ise, bu küre kesmesinin hacmi, V r h dir. İspat: AOD ve BOC koni yüzeylerinin yanal alanları r olacağından küre kuşağının alanı A rh olacağından, küre kesmesinin hacmi; V Ar rhr r h bulunur. Küre Parçası

25 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 7.6. Tanım: Bir küre kapağı ile bu kapağın taban dairesi tarafından sınırlanan cisme küre parçası denir. Yani küre parçası, içi boş küre kapağının içi dolu halidir. Küre parçasının yüzey alanı küre kapağıdır. dir Teorem: Yarıçapı r, yüksekliği h olan küre parçasının hacmi, V h (r h) İspat: Küre parçası, (OBCA) küre kesmesiyle (OAB) konisinin hacimleri farkı olacağından, V r h r (r h) olur. ACD dik üçgenini Öklid teoremi uygulanırsa r h(r h) olacağından, V r h h(r h)(r h) V h (r h) bulunur. Örnek: Yarıçapı cm olan bir kürenin merkezinden 9 cm uzaklıkta bulunan bir düzlemle kesilerek elde edilen küre kapağının alanı ile küre parçasının hacmini bulunuz. Çözüm: alanı ve küre parçasının hacmi, h CO 9 cm ve r cm sırasıyla küre kapağının

26 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) olur. A.r.h. 7 cm V h (r h) (. ) 99 cm Küre Tabakası 7.7. Tanım: Bir kürede paralel iki düzlem arasında kalan parçasına küre tabakası denir. Küre kuşağı küre tabakasının yanal yüzü olup, küre kuşağı alttan ve üstten açıkken, küre tabakası ise kapalıdır. Birbirine paralel düzlemsel kesitle kuşağında O ve O merkezli çemberler, küre tabakasında ise dairelerdir. Bu düzlemsel kesitlere, küre tabakasının tabanları, tabanlar arasındaki uzaklığına da küre tabakasının yüksekliği denir. dir Teorem: r yarıçaplı h yüksekliğindeki küre tabakasının hacmi, V.h.(r r h ) 6 Bu teoremin ispatı okuyucuya bırakılmıştır Tanım: Bir kürenin bir çapından geçen iki yarım düzlem arasında kalan kısmında küre dilimi denir.

27 7 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 7.. Teorem: Bir kürenin bir çapından geçen iki yarım düzlem arasındaki merkez açının ölçüsü α ise, r a) Küre diliminin yüzey alanı; A 90 r b) Küre diliminin tüm alanı; A r 90 dir. c) Küre diliminin hacmi; r V 70 olur. İspat: a) Düzlem arasındaki merkez açının ölçüsü α ise, 60 0 alanı A 4r ise α 0 alanı A dir... r A 4r b) Küre diliminin tüm alanı, kürenin merkezinden kesilen bir karpuz dilimi gibi düşünülürse, küre diliminin yüzey alanı ile iki yan yüzeyin alanı r yarıçaplı dairenin alanı olur. r r r A r c) Küre diliminin hacmi, 60 0 alanı α 0 alanı 4 V V dir. r ise

28 8 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) bulunur. 4 V r r Örnek: Yarıçapı 6 cm olan bir kürede, merkez açısının ölçüsü 60 0 olan bir küre diliminin alanını ve hacmini bulunuz. Çözüm: Sırasıyla küre diliminin alanını ve hacmini r 6.60 A r 6 60 cm r 6.60 V 48 cm bulunur. ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAVI SORULARI. Taban yarıçapı ve, yüksekliği olan kesik koninin hacmi nedir? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Çözüm: r =, r =, h = olduğuna göre, kesik konu hacim formülüne göre, V h(r r rr ) (.) 7 br bulunur. (966 ÜSS) Cevap: C. Kenarları a ve b olan dikdörtgenin a kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindir ile b kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindirin hacimleri arasındaki oran nedir?

29 9 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A) B) C) b a D) b a E) b a Cevap: Şekil de yarıçap b, yükseklik a dır. Şekil de yarıçap a, yükseklik b dır. dir. Taraf tarafa bölersek, V b a V a b V b V a olarak bulunur. V V b a a b (966 ÜSS) Cevap: C. Hacimleri eşit iki silindirin yan alanları arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir? A) h h B) r r C) r r D) r r E) h h Çözüm: Silindirlerin hacmi V' r' h' ve V r h olarak kabul edelim. h' r Hacimler eşit olduğundan V' = V ise olur. Diğer taraftan bu iki silindirin h r' yan alanları s ve s olsun. Bu takdirde, s' r' h' ve s rh s' r'h' r'.r r s rh r.r' r' bulunur. (967 ÜSS) Cevap: B

30 0 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 4. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir? A) D) v 4 d B) v d E) v d C) v d v d 6 d r verildi- ğinden Çözüm: Kürenin hacmi yarıçap r ise V 4 d olarak bulunur. d 6 v 4 r dür. d = r (968 ÜSS) Cevap: C 5. Dik kenarları x, y olan bir dik üçgen, önce x dik kenarı, sonra y dik kenarı etrafında döndürülürse elde edilen konilerin hacimleri oranı aşağıdakilerden hangisidir? A) x y B) x y C) x y D) x y E) x y Çözüm: Dik kenarları x, y olan bir dik üçgen, önce x dik kenarı, sonra y dik kenarı etrafında döndürülürse, şekilleri elde edilir. x ekseni etrafında döndürülünce r = y, h = x olduğuna göre, H r h y x y ekseni etrafında döndürülünce r = x, h = y olduğuna göre, H r h x y bulunur. Bulunan bu konilerin hacimleri oranı, y x H y H x y x

31 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) elde edilir. (974 ÜSS) Cevap: D 6. Ayrıtlarından biri s uzunluğunda olan bir küpün içine, teğet bir küre çiziliyor. Küpün bir köşesinin, kürenin yüzüne olan uzaklığı aşağıdakilerden hangisidir? A) s( ) B) s( ) C) s D) s E) s Çözüm: Verilere göre, şeklini çizelim. Buna göre, dir. Kürenin yarıçapı s Köşeden kürenin merkezine uzaklığı s Köşeden kürenin yüzeyine uzaklığı s s s( ) (974 ÜSS) Cevap: A 7. Bir silindirin yanal alanı 0 ve yüksekliği 0 birim olduğuna göre hacmi kaç birim küptür? A) B) 0 C) 0 D) 40 E) 00 Çözüm: Yanal alan = rh 0 = r.0 r = Silindirin hacmi ise, H = r h =.0 = 0

32 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) olarak bulunur. (976 ÜSS) Cevap: C 8. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitlerin çevresi 6 olduğuna göre bu kürenin yarıçapı kaç cm dir? A) 5 B) C) 6 D) 5 E) 8 Çözüm: Verilere göre şeklini çizelim. Kesitin çevresi 6 olduğuna göre; k 6 k cm dir. OKA dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanırsa, r 4 k 4 5 olarak bulunur. r 5 (977 ÜSS) Cevap: A 9. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya ayrılıyor. Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci parçanın hacmine oranı nedir? A) 7 B) 6 C) 4 D) E) Çözüm:

33 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Yüksekliği TN doğrusu olan koninin hacmi; V MN TN Yüksekliği TR doğrusu olan koninin hacmi; V PR TR TRP üçgeninde MN doğrusu orta tabandır. PR = MN Üst koninin hacmi V iken alt koninin hacmi V V dir. MN TN V V V ( MN ) TR MN TN 7 (978 ÜSS) Cevap: A 0. Yukarıda aynı merkezli ikişer çemberden oluşan I, II, III, IV, V şekillerinde dıştaki çemberler, eş (eşit) tabanlı beş dik koninin tabanlarını göstermektedir. İçteki çemberler ise tabana eşit uzaklıktaki dik kesitlerin, taban üzerindeki dik izdüşümleridir. Hangi şekilde gösterilen koninin yüksekliği en büyüktür? A) I B) II C) III D) IV E) V Çözüm: Verilere göre

34 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) şekli çizilebilir. (98 ÖSS) Cevap: A. Taban çapı R = 0 cm olan silindir biçimindeki bir kapta, başlangıçta 00 cm su vardır. Bu kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h yüksekliği, t zamanına göre h = at+b bağıntısı ile değişmektedir. Bu kaba su konmaya başladıktan sn sonra suyun yüksekliği 8 cm olduğuna göre, sn daha sonra (beşinci saniye sonunda) suyun yüksekliği kaç cm olur? A) B) C) 9 D) 7 E) 4 Çözüm: r = 0 cm olduğundan başlangıçta 0 h = 00 h = cm olarak bulunur. h = at+b bağıntısına göre b = dir. Soruda sn de 8 = 6 cm daha yükseldiğine göre, sn de 9 cm daha yükselir. Buna göre toplam 7 cm daha yükselir. (98 ÖSS) Cevap: D. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden R uzaklıkta bir düzlemde kesiliyor. Elde edilen kesitin alanı kaç R dir?

35 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A) 8 9 B) C) 4 D) 4 9 E) 8 Çözüm: Kürenin merkezi O, kesitin yarıçapı a, kesitin merkezi B olsun. Bu takdirde, şekli çizilebilir. Şu halde R a R 9 dir. Buna göre kesitin alanı, 8 A a R 9 biçimindedir. R (98 ÖYS) Cevap: A. Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yüksekliği 0 cm olan bir silindir. Bu silindirdeki suyun yüksekliği h dır. Bu kap 45 0 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde su düzeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır. Buna göre h kaç cm dir? A) 9 B) 8 C) 7 D) 8 E) 5 Çözüm: 45 0 eğik silindirin boş kısmı ikizkenar dik üçgendir.

36 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) MNP üçgeni ikizkenar dik üçgendir. MN = MP = 4 cm dir. Şekil eski konuma getirilirse su yüzeyi olan NP nin orta noktasından MN ye çizilen paralel su seviyesi olur. Bu sebeple MT = cm olup, h = 8 cm dir. (98 ÖYS) Cevap: D 4. Şekildeki dik silindirde AB ana doğru, BD doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi üzerinde bir nokta, AB = 8 cm BD = 0 cm CD = 8 cm olduğuna göre ACD üçgeninin alanı kaç cm dir? A) B) 6 C) 40 D) 44 E) 48 Çözüm: AB BD ve BC CD olduğundan Üç dikme teoreminden AC CD dir. Pisagor teoreminden, ve ise BD BC 0 BC BC 6 AC AC AB 8 AC 0 CD 8 6 BC AC CD 0.8 A(ACD) 40

37 7 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) dir. (98 ÖYS) Cevap: C 5. İç içe girilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa, ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.) A) h B) h 4 C) h D) h E) h 4 Çözüm: İçteki küçük silindirin yarıçapı r olsun, buna göre dıştaki büyük silindirin yarıçapı r dir. Delik açıldıktan sonra suyun yüksekliği k olsun. Bu durumda, h r h (r) k ise k 4 olarak bulunur. (98 ÖSS) Cevap: B 6. Yandaki şekilde küre için yerleştirilmiş silindirin yüksekliği 8 cm ve hacmi 7 cm olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir? A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E)

38 8 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Çözüm: r 8 7 ise r dir. Pisagor teoremine göre, AB R olarak bulunur. AC ( R) h 4R 8 5 AC (r) (.) (98 ÖYS) Cevap: 5 7. Şekilde P düzlemi üzerine konmuş kürenin çapı 0 cm, tabanı P üzerinde bulunan dik dönel koninin taban çapı da 6 cm dir. P düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin küre ve koni ile arakesit dairelerinin alanları eşit olduğuna göre, koninin yüksekliği kaç cm dir? A) B) 4 C) 0 D) 6 E) Çözüm:

39 9 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) OAB dik üçgeninde; OB AB 5 AB AB 4 cm OA dir. Buna göre verilere göre, AB CD 4 cm olur. Ayrıca TPE üçgeni TCD üçgeni benzerdir. TP PE ET TC CD DT TC CP TC TC 8 TC 8 4 TC 8cm 8 4 PC TC 88 6 cm (984 ÖYS) Cevap: D 8. 0 cm boyunda cm çapında silindir biçimindeki 0 kalem beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır. Bu kutunun hacmi en az kaç cm olmalıdır? A) 00 B) 00 C) 50 D) 00 E) 50 Çözüm:

40 40 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Kutunun hacmi, V cm dir. (984 ÖSS) Cevap: D 9. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm olan kare prizma su ile doludur. Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği en az kaç cm olmalıdır? ( = alınız) A) B) 0 C) 8 D) 6 E) 5 Çözüm: Kare prizmanın hacmi Silindirin hacmi 60a V a V 60a h a h ise h 0 cm (987 ÖSS) Cevap: B 0. {( x, y): x 0, x y, x y 6} bölgesinin y ekseni etrafında dönmesiyle oluşan cismin hacmi kaç birim küptür? 64 A) 6 B) Çözüm: C) 6 D) E) 4

41 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE)..6 Büyük koninin hacmi V Küçük koninin hacmi V 8 6 İki koni arasındaki fark V V 8 br (989 ÖYS) Cevap: D. Taban alanı S olan yandaki dik konide, alanları S, S olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir. TC= cm, TA= cm ve S = S + S olduğuna göre, AB kaç cm dir? A) 5 B) C) D) E) Çözüm: Verile koninin bir kesiti aşağıdaki şekildeki gibi olsun.

42 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) TAK üçgeni TCM üçgenine benzerdir. TA TC S S 4 S S 4 TBL üçgeni TCM üçgenine benzerdir. TC x TC S ( x) S 4 S( x) S 4 S S S S S( x) S ( x) ( x) x (990 ÖYS) Cevap: C.

43 4 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Şekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliği cm, taban yarıçapı 4 cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktaları O ve T ye birleştirilmiştir. 0 m(aôb) 60, m (ATˆ B) olduğuna göre cos değeri kaçtır? 7 A) 5 9 B) 5 C) 5 D) 5 E) 5 4 Çözüm: 4 5 üçgeninden TB 5 cm dir. TAB üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa, cos 7 cos 5 bulunur. (99 ÖYS) Cevap: A. Kenarları, 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde bir boru haline getirilecektir. Bükme işlemi uzun kenar ve kısa kenar üzerine yapıldığında elde edilecek iki farklı boru silindirin yan alanları oranı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 4

44 44 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Çözüm: olur. Yanal alan oranı, (995 ÖSS) Cevap: A 4. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı 96 cm olan bir dönel koninin, yüksekliğinin bir ana doğrusuna oranı kaçtır? A) 6 4 B) 5 C) 4 D) E) Çözüm: Koninin ana doğrusu a olsun. ra 8a 96 a POB üçgeninde Pisagor teoreminden h 8 h 4 5 olur. h a (995 ÖSS) Cevap: B

45 45 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 5. Yanal alanı 5 cm olan bir dik koninin taban yarıçapı 9 cm dir. Bu koninin hacmi kaç cm tür? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 4 Çözüm: Koninin yanal alanı A 5 9 PB 5 PB 5 cm olur. POB dik üçgeninde, Pisagor teoremi uygulanırsa, PB PO 5 h OB 9 h cm bulunur. Koninin hacmi, V r h 9 4 cm elde edilir. (998 ÖSS) Cevap: E 6. Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi 96 cm 0 ve m(aôb) 6 olduğuna göre, OA OB a kaç cm dir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 0 E) Çözüm:

46 46 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 6 6 Koninin çemberinin çevresi Ç a. a. a Koninin çemberinin yarıçapı r a ise 5 Pisagor teoreminden Koninin hacmi a ise h r 4a h 5 a r 5 a 4a H r h 96 ise 5 5 (998 ÖYS) Cevap: D a 0 cm 7. Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin yüzeyindedir. Dik koninin hacmi 6 cm olduğuna göre, kürenin yarıçapı kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) 5 Çözüm: Vkoni r h 6 6 h h 8 cm

47 47 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 8 R olacağından Pisagor teo- (999 ÖSS-İ) Cevap: B OHB dik üçgeninde reminden, R 6 elde edilir. R 0 HB 6, (8 R) OB R ve OH x y 8. Denklemi olan doğru ve koordinat eksenleriyle sınırlı bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan koninin hacmi 6 birim küptür. a Buna göre, a nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 0 D) E) 4 x y a Çözüm: ise y (x ) doğrusu için a x 0 için y a y 0 için x Koninin hacmi formülünden; H r h

48 48 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) elde edilir. 6 a a 4 (999 ÖSS) Cevap: E 9. Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 4 olan dik silindir biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı düşey doğru üzerindedir. Şeklideki gibi, A dan hareket edip kutunun yalnızca yanal yüzeyi tek bir dolanım yaparak en kısa yoldan B ye giden bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir? A) 6 B) 5 C) 4 D) 5 E) 5 Çözüm: [AB] düşey doğrultusu boyunca silindiri kesersek, şekildeki AA BB dikdörtgeni elde edilir. Karıncanın alacağı yol AB ve Çemberin yarıçapı 5 cm olduğundan AB 4 dir. A A BB..5 0 dir. AA B dik üçgeni 5 kuralı gereği A B 6 olur. (000 ÖSS) Cevap: A

49 49 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 0. Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş bir dağı; A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir. Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir? A) B) C) D) E) Çözüm: AT TB ve m(atb) 60 olduğundan ATB eşkenar üçgendir. Buna göre AB dir. (00 ÖSS) Cevap: E. Şekildeki gibi, koni biçiminde bir kapak ile koni biçiminde bir gövdeden oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak koninin yanal ayrıtı cm, yanal alanı 4 cm dir. Gövde koninin yanal ayrıtı cm olduğuna göre, yanal alanı kaç cm dir? A) 96 B) 08 C) 6 D) 50 E) 84 Çözüm: r taban yarıçapı, a yanal ayrıt olmak üzere koninin yanal alanı A ra dir. Kapak koninin alanına göre 4.r. ise 8 Gövde koninin alanı A.. 96 cm dir. r 8 olur.

50 50 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) (00 ÖSS) Cevap: A. Şekildeki dik koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesik koninin yüksekliği, başlangıçtaki dik koninin yüksekliğinin başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik koninin hacminin kaç katıdır? katı olduğuna göre, A) 64 7 B) 7 6 C) 7 8 D) 9 4 E) Çözüm: Başlangıçta dik koninin yüksekliği h ve başlangıçtaki dik koninin yarıçapı r olsun. Üstteki dik koninin yüksekliği h ve üstteki dik koninin yarıçapı r olur. olur. Başlangıçtaki dik koninin hacmi (r).h 9r h 6 Kesik koninin hacmi 9 r h r h r h Başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik koninin hacmine oranı, 9r h r h 6 6 (004 ÖSS) Cevap: B

51 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE). Yüksekliği 0 cm olan dik silindir biçimindeki bir su bardağı tümüyle su doludur. Suyun 5 cm ü boşaltıldığında, su yüksekliği cm azalmaktadır. Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm su bulunur? A) 5 B) 5 C) 50 D) 5 E) 50 Çözüm: cm lik su 5 cm 0 cm lik su x 5.0 x 5 cm (005 ÖSS) Cevap: A 4. Şekildeki gibi, taban yarıçapı metre, yüksekliği metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor. Depoda biriken suyun derinliği x metre olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x türünden kaç metreküp olur? x A) B) x 9 C) x 6 D) x 4 E) x Çözüm: Suyun oluşturduğu konini yarıçapı y olsun. Koninin kesiti şekildeki gibidir.

52 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A.A.A. benzerliğine göre ADE ABC dir. AD DE AB BC x y x y Depoda biriken suyun hacmi, elde edilir. x v y x x x (006 ÖSS) Cevap: A 5. Yarıçapı cm olan O merkezli küre içine, ekseni küre merkezinden geçen cm yarıçaplı dik dairesel silindir aşağıdaki gibi yerleştiriliyor. Bu silindirin hacmi kaç cm tür? A) B) π C) D) 4 E) 9π Çözüm: ABO dik üçgenini çizelim. h BO alalım.

53 5 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Pisagor teoreminden h ise VSilindir r h..4 4 cm h 4 olur. (008 ÖSS) Cevap: D 6. Yarıçap uzunluğu 6 cm olan yarım daire biçimindeki kâğıt parçası, A ve A noktaları şekildeki gibi çakışacak biçimde bükülerek tepesi O noktası olan bir dik koni oluşturuluyor. Bu koninin taban alanı kaç cm dir? A) 6π B) 7π C) 8π D) 9π E) 0π r Çözüm: Yarım dairenin A A yay uzunluğu Ç 6 dir. Elde edilen bu veri, oluşan koninin tabanıdır. Yani koninin tabanın çevresi 6 dir. Koninin tabanın yarıçapı 6 r ise r cm Koninin taban alanı A Taban r. 9 (009 ÖSS) Cevap: D 7. Aşağıda verilen kahve yapma makinesi, taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 4 cm olan kesik koni biçimindeki A parçası ile taban yarıçapı cm olan yeterince yüksek silindir biçimindeki B parçasının şekildeki gibi birleştirilmesiyle oluşturulmuştur.

54 54 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin katı su konulduğunda B kısmında su kaç cm yükselir? 5 A) B) 45 9 C) 40 D) 56 E) Çözüm: Kesik koninin yarı çarpları r = ve r = 6 dır. VKesik Koni.h(r r r.r ) VKesik Koni.4(6 6.) 84 Kahve makinesi silindir şeklinde ve yarıçapı cm dir. Kahve makinesi boşken B nin üstünden A kısmının hacminin katı su konulduğunda, katı kadar su miktarı B kısmında bulunacağından, dir. B kısmında suyun yüksekliği h ise, oluşturduğu silindirin hacmi formülünden,..h h 9 elde edilir. (009 ÖSS) Cevap: E 8. Dik dairesel silindir biçiminde tamamı suyla dolu olan bir bardak, yatay düzlemle 0 lik açı yapacak biçimde şekildeki gibi eğildiğinde bardaktan bir miktar su dökülüyor. Bardakta kalan su C ve D noktalarında dengeleniyor. Buna göre, bardaktan kaç cm su dökülmüştür?

55 55 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) A) 66π B) 68π C) 7π D) 74π E) 76π Çözüm: Silindirin yarıçapı r olsun. [ CF] [BD] çizelim. CDF, üçgeni olur. 4 FD 5 ise FD 4 ve r Su döküldükten sonra bardakla kalan suyun yüksekliği cm dir. ( ) Akan suyun hacmi V 7 cm dür. (00 LYS) Cevap: C 9. K ve K dairesel konilerinin taban yarıçapları sırasıyla r, r birim, yükseklikleri h, h birim ve hacimleri V, V birim küptür. r h a ve b olduğuna göre, oranı kaçtır? r h V V A) a b B) a b C) ab D) a b E) a b Çözüm: K dairesel konilerinin hacmi V r h K dairesel konilerinin hacmi V r h r h V r h a b V r h r h (00 LYS) Cevap: D 40. Ali, ağzına kadar suyla dolu olan bir şişedeki suyun yarısını elde etmek istiyor. Bunun için aynı şişeden boş bir tane alıyor ve şişelerdeki su yükseklikleri

56 56 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) eşit olana kadar dolu şişeden diğerine su aktarıyor. Suyun yarısını elde etmek için yaptığı üç farklı deneme aşağıda gösterilmiştir. Ali, hangi denemelerinde şişedeki suyun yarısını elde etmiştir? (Ali, her denemenin sonunda şişelerin ağzını kapatarak suyun dışarı dökülmesini önlemiştir.) A) I ve III B) Yalnız I C) I, II ve III D) II ve III E) I ve II Çözüm: I. Şekilde. şişenin hacmi ile. şişenin hacimleri aynı değildir. II. ve III. şekilde. şişenin hacmi ile. şişenin hacimleri eşittir. (0 YGS) Cevap: D 4. Bir dik dairesel koni, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesik koninin yüksekliği cm, taban yarıçapları ise cm ve cm dir. Buna göre, koninin [TA] yanal ayrıtının uzunluğu kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 8 D) 0 E) Çözüm: Verilere göre,

57 57 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) şeklini çizelim. Bu şekle göre, a ise a dir. Pisagor teoreminden, TA TA AF TA 0 olarak bulunur. TF 5 a TCE TAF olduğundan, (0 LYS) Cevap: D 4. Dik koordinat düzleminde verilen şekildeki OABC dikdörtgeninin x ekseni etrafında 60 0 döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi, y ekseni etrafında 60 0 döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi A) B) C) D) E) V y V x olduğuna göre, Çözüm: Bir silindirin hacmi V r h olduğuna göre, x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi r =, h = 6 Vx..6 y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi r = 6, h = V.6. olduğuna göre, V V dir. y x y V V x y oranı kaçtır? (0 LYS) Cevap: A

58 58 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 4. Yüksekliği cm, yarıçapı 9 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir sürahi tümüyle ayranla doludur. Bu ayranın tamamı, taban yarıçapları cm ve 6 cm olan kesik koni biçimindeki 6 adet özdeş boş bardağa konuluyor. Bardaklar tam olarak dolduğuna göre, bu bardakların yüksekliği kaç cm dir? A) 5 B) 7 C) 40 D) 44 E) 55 4 Çözüm: Silindirin hacmi, Vsilindir.r.h cm dür. Bu ayran 6 kesik koniye aktarılıyorsa bir koni V silindir 567 cm () 6 içermektedir. Bir kesik koninin hacmi, VK.Koni r h r h.6.h. h () dir. () ve () eşitliğinden, h. h 7 h olarak bulunur. (0 LYS) Cevap: B 44. Yarıçapı r olan bir küre ile taban yarıçapları r olan bir dik dairesel silindir ve bir dik dairesel koni veriliyor. Bu üç cismin hacimleri eşit olduğuna göre, I. Koninin yüksekliği, silindirin yüksekliğinin katıdır. r II. Silindirin yüksekliği tür. III. Koninin yüksekliği 4r dir. ifadelerinden hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) II ve II Çözüm: V küre 4.r V silindir.r.h V koni.r.h

59 59 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) olup III doğru- eşitliğinden dur. h h olup I doğrudur. Yine aynı eşitlikten, h 4r (0 LYS) Cevap: D 45. Yükseklikleri eşit, taban yarıçapları sırasıyla metre ve metre olan dik dairesel silindir biçimindeki iki depo başlangıçta boştur. Birim zamanda aynı miktarda su akıtan iki ayrı musluktan büyük depoya ait musluk açıldıktan 5 dakika sonra küçük deponun musluğu da açılıyor. Küçük deponun musluğu açıldığı anda büyük depodaki suyun yüksekliği metredir. Buna göre, küçük depoya su verilmeye başlandıktan kaç dakika sonra depolardaki suyun yüksekliği eşit olur? A) B) C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm: Suyun bir araya geldiği yükseklik h olsun. Silinirin hacmi. r. h Birim zamanda aynı miktarda su akıtan iki musluktan akan suların hacimleri eşit olduğundan, 8..h..(h ) ise h h dakikada suyun yüksekliği metre ise t dakikada suyun yüksekliği 5 8 metre olur.

60 60 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 8.t 5. 5 ise t 4 dakika (0 YGS) Cevap: C 46. Aşağıda, taban yarıçapı cm ve yüksekliği 6 cm olan bir dik dairesel silindir verilmiştir. Silindirin taban düzlemlerinde şekildeki gibi merkezlerden cm uzaklıkta AD ve BC paralel doğru parçaları çiziliyor. Buna göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç cm dir? A) 5 B) 8 C) D) 6 E) 6 5 Çözüm: Pisagor teoreminden AB 6 0 bulunur. AD AE ve OAE dik üçgeninden, bulunur. AE AD AE 4 A(ABCD ) (0 LYS) Cevap: E

61 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) 47. Yüksekliği 7 cm ve tamamı suyla dolu olan bir dik dairesel silindir ile aynı tabanlı ve yüksekliği h cm olan boş bir dik koni Şekil deki gibi birleştirilmiştir. Bu cisim Şekil deki gibi ters çevrildiğinde cismin içindeki suyun yüksekliği cm olduğuna göre, h kaç cm dir? A) 5 B) 5,5 C) 6 D)6,5 E) 7 Çözüm: Şekil e göre suyun hacmi V r 7 cm dür. Şekil ye göre suyun hacmi, Silindirin Hacmi + Koninin Hacmi V r ( h) r dir. Bu iki hacim eşit olduğundan, r 7 r ( h) r.h h 7 h h 6 cm bulunur. (05 YGS %0) Cevap: C 48. Küre biçimindeki bir mum tepesinden birim uzaklıktaki yatay düzlemle Şekil deki gibi kesiliyor ve üst kısmı atılıyor. Daha sonra, kalan mum üst yüzünden birim uzaklıktaki yatay düzlemle Şekil deki gibi tekrar kesiliyor ve üst kısmı atı-

62 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) lıyor. Şekil de oluşan dairesel kesitin alanı birim kare olduğuna göre, Şekil de oluşan dairesel kesitin alanı kaç birim karedir? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 0 Çözüm: Kürenin yarıçapı r ve şekil de kesik yüzeyin yarıçapı a olsun. Kesik yüzey alanı birim kare olduğundan a a dir. Oluşan dik üçgenden, a (r ) r r r r r 6 olarak bulunur. Şekil de kesik yüzeyin yarıçapı b olsun. oluşan dik üçgenden, b r (r ) 6 4 dir. Şekil deki kesik yüzeyin alanı A b 0 olur. 0 (05 LYS %0) Cevap: E 49. Yarıçapı 6 birim olan dik dairesel silindirin içine yerleştirilen birim yarıçaplı küre biçiminde iki adet demir bilyenin konumu Şekil de gösterilmiştir.

63 6 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Bilyelerin tamamı su içinde kalana kadar silindir suyla dolduruluyor ve Şekil deki görünüm elde ediliyor. Buna göre, Şekil de silindirde bulunan suyun hacmi kaç birim küptür? A) 96 B) 08 C) 0 D) E) 44 4 Çözüm: Bilyelerin hacmi HBilye. 6 br dir. Dairesel silindirin yarısının hacmi Hsilindir br dir. Suyun hacmi Hsu H H dir. silindir Bilye (06 YGS) Cevap: E 50. Zeminde bulunan ve taban çapı ile yüksekliği 6 birim olan dairesel dik silindir biçimindeki bardağın üzerine yarıçapı 5 birim olan bir küre şekildeki gibi yerleştiriliyor. Buna göre, kürenin tepe noktasının zeminden yüksekliği h kaç birimdir? 4 5 üçgenidir. A),5 B) 4 C) 4,5 D) 5 E) 5,5 Çözüm: Silindirin yarıçapı 6 birim olduğundan AB dir. OCB üçgeni

64 64 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) AC birim (06 LYS) Cevap: D 5. Yüksekliği 0 birim olan içi boş bir dik dairesel silindirin içine Şekil deki gibi yüksekliği 0 birim olan bir dik koni yerleştirilmiştir. Bu silindirle koninin arasına hacmi V birim küp olan su doldurulmuş ve suyun yüksekliği 5 birim olmuştur. Sonra bu cisim, Şekil deki gibi ters çevrilmiş ve bir miktar daha su eklendikten sonra suyun hacmi V birim küp ve yüksekliği 5 birim olmuştur. Buna göre, oranı kaçtır? (Bu işlem sırasında koniye su girişi olmamaktadır.) V V A) 7 5 B) C) D) 5 E) Çözüm: Silindirin yarıçapı r alırsak, Şekil deki üsteki koninin yarıçapı r dir. Yarım Silindirin Hacmi 5 r br Şekil deki Kesik Koninin Hacmi r r r

65 65 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Şekil deki Yarım Koninin Hacmi 5 V 5r r 5 V 5r r 5 r V 5 V 55 r r r 5 r.5 5 r (07 YGS) Cevap: B 5. Taban yarıçapı 5, yüksekliği birim olan Şekil deki dik dairesel koni, tepe noktasından geçen tabana dik bir düzlem boyunca kesilerek özdeş iki parçaya ayrılıyor. Bu iki eş parça döndürülüp Şekil deki gibi yarım çemberler boyunca birbirine yapıştırılarak bir cisim oluşturuluyor ve bu cisim Şekil teki gibi düz bir masa üzerine konuluyor. Buna göre, bu cismin içine sığabilecek küre biçimindeki en büyük topun yarıçapı kaç birimdir? A) B) 4 C) 4 5 D) 5 E) 5 Çözüm: Cismin yüksekliğini ve yükseklikten köşeye doğrusunu çizelim. 5 üçgeni oluşur.

66 66 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER (SİLİNDİR, KONİ ve KÜRE) Topun kırmızıçizgilerle çizelim. Topun yarıçapı r olsun. r 5 r r 60 r 60 r 5 5 (07 LYS) Cevap: D

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.

V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir. Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin

Detaylı

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN

Detaylı

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer

Detaylı

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI 10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin

Detaylı

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ

MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ 1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının

Detaylı

Üçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30

Üçgende Açı ABC bir ikizkenar. A üçgen 30 1. 4. bir ikizkenar üçgen 0 = m () = 0 m () = 70 70 Kıble : Müslümanların namaz kılarken yönelmeleri gereken, Mekke kentinde bulunan Kabe'yi gösteren yön. arklı iki ülkede bulunan ve noktalarındaki iki

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı

Detaylı

YGS GEOMETRİ DENEME 1

YGS GEOMETRİ DENEME 1 YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası

Detaylı

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal. TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda

Detaylı

FİZİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: HACİM SINIFI NUMARASI: 9/A 821

FİZİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: HACİM SINIFI NUMARASI: 9/A 821 FİZİK DÖNEM ÖDEVİ KONU: HACİM ÖĞRETMENİN ADI SOYADI: FAHRETTİN KALE ÖĞRENCİNİN: ADI SOYADI: ESMA GÖKSAL SINIFI NUMARASI: 9/A 821 1. Çiftliğinde 4000 tane koyun barındıran bir çiftçi, koyunların 8 günlük

Detaylı

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.Y.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.Y.S. 996 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? A) B) 8 C) 6 D) E) Çözüm Toplam öğrenci

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GOMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. [ [ [ [] []

Detaylı

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?

1995 ÖSS. 6. Toplamları 621 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır? 99 ÖSS.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 6. Toplamları 6 olan iki pozitif tamsayıdan büyüğü küçüğüne bölündüğünde bölüm 6, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı A) 70 B) 7 C) 80

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11

1981 ÖSS olduğuna göre, aşağıdakilerden c hangisi kesinlikle doğrudur? A) a>0 B) c<0 C) a+c=0 D) a 0 E) c>0 A) 12 B) 2 9 C) 10 D) 5 E) 11 98 ÖSS. >0 olmak koşulu ile 2+, 3+, 4+ sayıları bir dik üçgenin kenar uzunluklarını göstermektedir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç birimdir? A) 2 B) 2 9 C) 0 D) 5 E) 2a c 6. 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden

Detaylı

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21

2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21 00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,

Detaylı

A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A LYS 1 GMTRİ TSTİ 1. u testte sırasıyla Geometri (1 ) nalitik Geometri (3 30) ile ilgili 30 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. bir üçgen =

Detaylı

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1

ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 ÜÇ BOYUTLU CİSİMLER-1 PRİZMA 1. Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7 ile orantılıdır. Bu prizmanın tüm alanı 568 cm 2 olduğuna göre hacmi kaç cm 3 dür? A) 440 B) 540 C) 840 D) 740 E) 640 6. Bir

Detaylı

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez

Detaylı

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır?

2002 ÖSS Soruları. 5. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve 123,4 0, ,234 12,34. işleminin sonucu kaçtır? 00 ÖSS Soruları 3,4.,34 0, 34,34 işleminin sonucu kaçtır? ) 0 ) 0, ) 9,9 ) 0, E),. a, b, c, d pozitif tam sayılar ve a 7 a 4 : = c, : = d b 0 b 4 olduğuna göre, c + d nin alabileceği en küçük değer kaçtır?

Detaylı

LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar

Detaylı

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1

3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1 . Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

TEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6.

TEST. Dik Prizmalar. 1. Ayrıtlarının uzunlukları 10 cm, 12 cm ve 15 cm. 2. Ayrıtlarının uzunlukları toplamı 120 cm olan küp 5. A B 6. ik Prizmalar 8. Sınıf Matematik Soru ankası TEST 75 1. yrıtlarının uzunlukları, 1 cm ve 1 olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kolinin bütün yüzeyleri kağıt ile kaplanacaktır. 4. 8 cm 1 una göre,

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

ünite5 KATI CİSİMLER Prizma Silindir Piramit Koni Küre

ünite5 KATI CİSİMLER Prizma Silindir Piramit Koni Küre ünite5 S = 1 Prizma Silindir Piramit oni üre 0 1 S 1 S PZ 1. x ve y birer pozitif tam sayı olmak üzere, bir dikdörtgenler prizmasının farklı üç yüzünün alanları, x y, x 5 ve x y dir. 5. una göre, bu prizmanın

Detaylı

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR

7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR 7. ÜNİTE DOĞRUDA VE ÜÇGENDE AÇILAR KONULAR 1. DOĞRUDA AÇILAR 2. Açı 3. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler 4. Açı Ölçü Birimleri 5. Ölçülerine Göre Açılar 6. Açıortay 7. Tümler Açı 8. Bütünler Açı 9. Ters

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 TEST: 1 1. 4. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 2. 5. A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 96 B) 112 C) 121 D) 128 E) 134 3. 6. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 40 B) 50

Detaylı

1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?

1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır? 99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,

Detaylı

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır?

1996 ÖYS. 2 nin 2 fazlası kız. 1. Bir sınıftaki örencilerin 5. örencidir. Sınıfta 22 erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin sayısı kaçtır? 996 ÖYS. Bir sınıftaki örencilerin nin fazlası kız örencidir. Sınıfta erkek öğrenci olduğuna göre, kız öğrencilerin saısı kaçtır? 8 C) 6 D) E) 6. Saatteki hızı V olan bir hareketti A ve B arasındaki olu

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 5 Nisan 990 Matematik Soruları ve Çözümleri. 0,0703.(0,3 0,) işleminin sonucu kaçtır? A) 0,00703 B) 0,0703 C) 0,703 D) 0,0703 E) 0,00703 Çözüm 0,0703.(0,3 0,) 0,0703.0, 0,00703.

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri

π a) = cosa Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Haziran 2007 Matematik II Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 7 Haziran 7 Matematik II Soruları ve Çözümleri. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * ( + i) işleminin sonucu

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Bir sayının inin fazlası, aynı sayıya eşittir. Bu sayı kaçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) Çözüm Sayı olsun.. + +. Bir sınıftaki toplam öğrenci

Detaylı

Page 1. İz Düşüm Çeşitleri ve Metotları

Page 1. İz Düşüm Çeşitleri ve Metotları 4. İz Düşümler TEKNİK BİLİMLER MESLEK YÜKSEKOKULU Teknik Resim Genel Bilgi Kullandığımız bir çok eşya ve makineyi veya bunlara ait parçaların imal edilebilmesi için şekillerini ifade eden resimlerinin

Detaylı

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ

LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm I. Yol basamaklı

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği

STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ. Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR. Çevre Mühendisliği STATİK VE MUKAVEMET AĞIRLIK MERKEZİ Öğr.Gör. Gültekin BÜYÜKŞENGÜR Çevre Mühendisliği STATİK Ağırlık Merkezi Örnek Sorular 2 Değişmeyen madde miktarına kütle denir. Diğer bir anlamda cismin hacmini dolduran

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri = 10

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri = 10 Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 Çözüm. 0, 0, 0,44. 00 0, 0 0,44 00.( )..( )..( ) 0, 00 0 00 00 44..

Detaylı

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına . Verilen şekilde en uzun kenar aşağıdakilerden ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenar orta dikme, aşağıdaki noktaların hangilerinden geçer? AB

Detaylı

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Geometrik Cisimlerin Hacimleri 1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı

Detaylı

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2

1986 ÖYS. 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 A) 11 B) 10 C) 3 D) 8 E) 7 E) 2 8 ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 8 7. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı 8 cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Geometri Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı

ÇEMBER KARMA / TEST-1

ÇEMBER KARMA / TEST-1 ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen

Detaylı

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri

Lisans Yerleştirme Sınavı 1 (Lys 1) / 18 Haziran Geometri Soruları ve Çözümleri Lisans Yerleştirme Sınavı (Lys ) / 8 Haziran 0 Geometri Soruları ve Çözümleri. Bir ikizkenar üçgenin eş kenarlarının her birinin uzunluğu 0 cm ve üçüncü kenarının uzunluğu 4 cm olduğuna göre, alanı kaç

Detaylı

= 8 olduğuna göre, a kaçtır?

= 8 olduğuna göre, a kaçtır? Ö.S.S. 006 MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a.b b a a b olduğunu göre a+b toplamı kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm a.b b a b b b² b b ± b için a a- a

Detaylı

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır.

ÖSYM M TEMEL MATEMATİK TESTİ YGS / MAT. Diğer sayfaya geçiniz. 1. Bu testte 40 soru vardır. TEMEL MATEMATİK TESTİ 2011 - YGS / MAT M9991.01001 1. Bu testte 40 soru vardır. 1. 2. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 7 MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Karmaşık sayılar kümesi üzerinde * işlemi, Z * Z Z + Z + Z Z biçiminde tanımlanıyor. Buna göre, ( i) * (+i) işleminin sonucu nedir? A) + 8i B) - 8i C) 8 + i

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

4. Şekil 1'deki ABCD karesi şeklindeki karton E ve F orta

4. Şekil 1'deki ABCD karesi şeklindeki karton E ve F orta airede lan - 1. sım çevre uzunluğu 0 birim olan kare biçimindeki kağıdın üzerine, merkezleri bu kağıdın köşelerinde yer alan ve birbirine teğet olan dört çeyrek daireyi şekildeki gibi belirliyor. Sonra

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106

ÖZEL EGE LİSESİ EGE BÖLGESİ OKULLAR ARASI 17. MATEMATİK YARIŞMASI 10. SINIF TEST SORULARI A) 80 B) 84 C) 88 D) 102 E) 106 1. n bir doğal sayı olmak üzere, n! sayısının sondan k basamağı 0 dır. Buna göre, k tamsayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz? 3. (x+y+z+t ) 6 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? A) 80 B) 84 C) 88 D)

Detaylı

90 = 3 elde edilir. 30

90 = 3 elde edilir. 30 Ö.Y.S. 99 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en küçük pozitif

Detaylı

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000

1998 ÖSS A) 30 B) 27 C) 18 D) 9 E) 5 A) 8000 B) 7800 C) 7500 D) 7200 E) 7000 998 ÖSS. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiştirildiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasındaki fark en çok kaç olabilir? 6. ve

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR

GEOMETR 7 ÜN TE I PR ZMALAR ÜN TE I PR ZMALAR 1. PR ZMAT K YÜZEY VE TANIMLAR 2. PR ZMA a. Tan m b. Prizman n Özelikleri 3. D K PR ZMA a. Tan m b. Dik Prizman n Özelikleri 4. E K PR ZMA a. Tan m b. E ik Prizman n Özelikleri 5. DÜZGÜN

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 10

Ö.S.S MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ = 10 Ö.S.S. 99 MATEMATĐK SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ.. 0, 0, 0,44. işleminin sonucu kaçtır? A) 0, B) 0,4 C) D) 4 E) 0 Çözüm. 0, 0, 0,44. 00 0, 0 0,44 00.( )..( )..( ) 0, 00 0 00 00 44.. 0 00 0 0,4 0. + 4 + + 6 işleminin

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

PH AB, PH =x kaç cm.dir?

PH AB, PH =x kaç cm.dir? ABCD bir kare. ABCD bir kare. AB =10 cm. m(pcb)=x kaç derecedir? PH AB, PH =x kaç cm.dir? PA ve PB ait oldukları çemberlerin yarıçaplarıdır. PA = AB =PB olduğundan PAB eşkenar üçgendir. m(pab)=60 o AB

Detaylı

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır?

Diğer sayfaya geçiniz. 2013 - YGS / MAT TEMEL MATEMATİK TESTİ. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? TEMEL MATEMATİK TESTİ 1. Bu testte 40 soru vardır. 2. Cevaplarınızı, cevap kâğıdının Temel Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz. 1. 3. olduğuna göre, a kaçtır? olduğuna göre, m kaçtır? A)

Detaylı

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI

TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI TASARI GEOMETRİ SINAV SORULARI 1. Alın iz düşümüne parelel veya çakışık olan doğrular profilde hangi ı verir? 9. Doğrunun düzlemi deldiği noktayı düzlem geçirme metodu ile bulunuz. A) Profil ve alınla

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri 13 E) 11

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik Soruları ve Çözümleri 13 E) 11 Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 2000 Matematik Soruları ve Çözümleri. 2, 0,2 2, + işleminin sonucu kaçtır? 0, 2 A) B) C) 2 D) E) Çözüm 2, 0,2 2, + = 0, 20 2 + = 0 + 2 = 2 2. + : 2 işleminin sonucu

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri

Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 26 Haziran Matematik Soruları Ve Çözümleri Öğrenci Yerleştirme Sınavı (Öys) / 6 Haziran 99 Matematik Soruları Ve Çözümleri. Birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen, iki basamaklı en büyük pozitif doğal sayının, birler basamağı 0 olan, ile bölünebilen,

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 3. (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır.

ÖZEL EGE LİSESİ 11. MATEMATİK YARIŞMASI 9. SINIF ELEME SINAVI TEST SORULARI 3. (abc) üç basamaklı, (bc) iki basamaklı doğal sayılardır. . A = {,,,4,5,6 } kümesinin boş olmayan bütün alt kümelerindeki en küçük elemanların aritmetik ortalaması kaçtır? 6 7 8 9 40 A) B) C) D) E) 9 0 0 ÖZEL EGE LİSESİ. MATEMATİK YARIŞMASI. (abc) üç basamaklı,

Detaylı

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.

2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz. ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var

Detaylı

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33

12-B. Polinomlar - 1 TEST. olduğuna göre P(x - 2, y + 4) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır? olduğuna göre A B kaçtır? A) 78 B) 73 C) 62 D 58 E) 33 -B TEST Polinomlar -. Py _, i= y- y + 5y- olduğuna göre P( -, y + ) polinomunun katsayılar toplamı. - 6 = A - 5 + - + B - olduğuna göre A B 78 B) 7 6 D 58 E) B) D) - E) -. -a- b = _ + -5i_ -ci eşitliğine

Detaylı

TEST. Çemberde Açılar. 1. Yandaki. 4. Yandaki saat şekildeki. 2. Yandaki O merkezli. 5. Yandaki O merkezli. 6. Yandaki. O merkezli çemberde %

TEST. Çemberde Açılar. 1. Yandaki. 4. Yandaki saat şekildeki. 2. Yandaki O merkezli. 5. Yandaki O merkezli. 6. Yandaki. O merkezli çemberde % Çemberde çılar 7. Sınıf Matematik Soru ankası 58. Yandaki merkezli s ( ) = 50c 4. Yandaki saat şekildeki gibi 04.00 ı gösterdiğinde akrep ile yelkovan arasında oluşan x açısı kaç derecedir? ' olduğuna

Detaylı

LYS Y OĞRU MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a ve b asal

Detaylı

ÇEMBER - GEOMETRİK CİSİMLER - SIVI ÖLÇME

ÇEMBER - GEOMETRİK CİSİMLER - SIVI ÖLÇME ÇEMBER ÇEMBER - GEMETRİK CİSİMLER - SIVI ÖLÇME Çemberin Merkezi, Yarıçapı ve Çapı Çemberin Merkezi M Bisiklet tekerleğinin ortasındaki pim ve saatin ortasındaki pim çemberin merkezidir. Merkez nokta, çember

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran Matematik I Soruları ve Çözümleri Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 15 Haziran 008 Matematik I Soruları ve Çözümleri 1. ( ).( 4 1 + ) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 4 C) 1 D) 4 E) 7 Çözüm 1 ( ).( 4 1 + ) 1 = 7 ( 1).( ) = 1 7 1 = 7 ( ).

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ

Ö.S.S MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ Ö.S.S. 008 MATEMATĐK I SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1. ( ).( 4 1 + ) 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 7 B) 4 C) 1 D) 4 E) 7 Çözüm 1 ( ).( 4 1 + ) 1 7 ( 1).( ) 1 7 1 7 ( ). -7 1. 4,9 0,49 0,1 + işleminin sonucu kaçtır?

Detaylı

2000 ÖSS. 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının 31 katıdır. Buna göre, K+M toplamı. İşleminin sonucu kaçtır? kaçtır?

2000 ÖSS. 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının 31 katıdır. Buna göre, K+M toplamı. İşleminin sonucu kaçtır? kaçtır? 000 ÖSS., 0,, 0, İşleminin sonucu A) B) C) D) E) 7. Üç basamaklı 9KM sayısı iki basamaklı KM sayısının katıdır. Buna göre, K+M toplamı A) B) C) 5 D) 6 E) 9. : İşleminin sonucu 8. Toplamları 6 olan a ve

Detaylı

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x

Ö.S.S MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ 1 E) x x. x x = x Ö.S.S. MATEMATĐK II SORULARI ve ÇÖZÜMLERĐ. olduğuna göre, kaçtır? A B C D E Çözüm. -. : ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A B C D E Çözüm :... :....... . olduğuna göre, - ifadesinin

Detaylı

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR

LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 16 HAZİRAN 2013 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. ise fonksiyonu için, = b olduğuna göre, a b kaçtır? = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri. f (x) + x lim f ( x) a x x ve, x ise fonksiyonu için,, x lim f ( x) b olduğuna göre, a b kaçtır? x A) B) C) D) E) Çözüm x x için,

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı