BİRDEN ÇOK BAĞIMLI DEĞİŞKENİ OLAN MODELLER

Transkript

1 BİRDEN ÇOK BAĞIMLI DEĞİŞKENİ OLAN MODELLER Birden çok bağımlı değişkenin yer aldığı modelleri incelemek amacıyla kullanılan modeller Birden Çok Bağımlı Değişkenli Regresyon Modelleri ya da kısaca MRM ler olarak adlandırılmaktadır. Literatürde bu modeller çok değişkenli çoklu regresyonlar (MRM) ya da regresyon modeller kümesi olarak da karşımıza çıkmaktadır.

2 Bu bölümde iki tip MRM ele alınacaktır: 1- Bağımlı değişkenlerin farklı fakat açıklayıcı değişkenlerin aynı olduğu MRM ler, 2- Bağımlı değişkenlerin farklı ve açıklayıcı değişkenlerin aynı veya farklı olabildiği MRM ler (Literatürde Görünürde İlişkisiz Regresyon (SUR ya da GİR) olarak bilinmektedir.) Bağımlı değişkenler ile açıklayıcı değişkenler arasında geri bildirim ilişkisi olmaması yönüyle, MRM ler eşanlı denklem modellerinden veya dinamik regresyon modellerinden farklıdır.

3 BAZI MRM ÖRNEKLERİ Kişi başına sigara kullanım sayısı ile ilişkili olarak; akciğer, böbrek, mesane ve lösemi kanser türleri için basit regresyonlar (dört tane regresyon) tahmin edilebilir. Fakat bu kanser türlerinin bazılarının korelasyonlu olması oldukça muhtemeldir. Eğer durum böyleyse, bu dört kanser regresyonunu MRM yöntemini kullanarak birlikte tahmin etmek anlamlı olacaktır. Bir grup hastanın şeker, tansiyon ve kilosu ile bu hastaların yeme alışkanlıklarına (et, alkol, şekerli yiyecek tüketimi gibi) ait veriler olduğunu farz edelim. Bu üç sağlık durumunu gıda alımıyla ilişkilendiren üç regresyon yerine bunları birlikte tahmin edebiliriz.

4 Bir grup öğrencinin sözel ve sayısal SAT (Akademik Yeterlik Testi) puanlarına ait verileri ve bunların sosyoekonomik değişkenlerine ait bilgilere sahip olduğumuzu varsayalım: Bu iki SAT puanı için iki ayrı regresyon tahmin edebileceğimiz halde, bu iki puan türü arasında korelasyon olması oldukça muhtemeldir ve bu durumda her iki regresyonu tek tek tahmin etmek yerine, bunları birlikte tahmin etmek anlamlı olacaktır. Örneklerde ortak olan iki ya da daha fazla bağımlı değişkenin korelasyonlu olabileceği, böylece bu regresyonların birlikte tahmininin bazı avantajları olabileceğidir.

5 Bağımlı değişkenlerin korelasyonlu olup olmadığını bulmanın bir yolu, her bir regresyondaki hata terimlerinin korelasyonlu olup olmadığına bakmaktır. (Açıklayıcı değişkenlerin sabit olduğu varsayılırsa ve bağımlı değişkenler korelasyonluysa, bu korelasyon her bir eşitliğin hata terimine yansır. Bu durumda EKK tahmincileri DEST olmayacak ve özellikle de etkin olmayacaktır. Dolayısıyla etkin tahminciler üreten yöntemler bulmamız gerekir. MRM yöntemi bunu kolayca yapabilmektedir. Kısacası, MRM iki ya da daha fazla bağımlı değişkenin korelasyonlu olduğu durumlar için uygun bir tahmin yöntemidir.

6 Birlikte Tahminin Avantajları Korelasyonlu bağımlı değişkenlerin birlikte tahmini bunların ayrı ayrı tahminine göre aşağıdaki avantajlara sahiptir: Eğer iki ya da daha fazla bağımlı değişken korelasyonluysa, bunların birlikte tahmini, üzerinde çalışılan olayın daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır. Sözel ve sayısal SAT örneğinde, bu iki puanın birlikte tahmini, doğuştan gelen yetenek gibi, her ikisinde de ortak olan arka plandaki gizli değişken hakkında bize bir şeyler söyleyebilir.

7 Eğer iki ya da daha fazla bağımlı değişken korelasyonluysa, I. Tip hatanın (hataya düşerek sıfır hipotezi reddetme olasılığı) nominal ve gerçek seviyeleri, birlikte ve tek başına tahminlerde farklı olacaktır.

8 Her bir regresyondaki hata terimleri korelasyonluysa, bu durumda bağımlı değişkenler korelasyonlu iken bunların ayrı tahmini korelasyonu ihmal edecektir. Diğer taraftan MRM yöntemi denklemler arası kovaryansları tahmin ederek bu korelasyonu dikkate almaktadır. Denklemler arasındaki korelasyonu göz önünde bulundurarak parametrelerin daha etkin tahminleri elde edilebilir.

9 Her denklemde aynı açıklayıcı değişkenler olduğu kabul edildiğinde her bir katsayı ve bunların standart hataları MRM ile tahmin edilenlerle aynı olmasına rağmen, her bir denklemden elde edilen EKK regresyonu ne çok değişkenli sonuçlar çıkarabilir ne de katsayıları denklemler arasında test etmemize imkan tanır. SAT örneğinde SAT ın sözel ve sayısal bölümlerindeki açıklayıcı değişkenlerden birisi aile geliri ise bunlar ayrı ayrı tahmin edildiğinde, bu iki regresyondaki gelir katsayısının aynı olup olmadığını ya da birlikte sıfıra eşit olup olmadıklarını göremeyiz. Birleşik bir tahminci olması sebebiyle MRM denklemler arasındaki katsayı kısıtlamalarını test etmeyi mümkün hale getirir.

10 GÖRÜNÜRDE İLİŞKİSİZ REGRESYON 10

11 Klasik doğrusal regresyon modelinin varsayımları geçerli iken, tek denklemli modellerin En Küçük Kareler Yöntemi (EKKY) ile tahmin edilmesi sonucu sapmasız, tutarlı ve etkin tahmin ediciler elde edilebilir. Klasik doğrusal regresyon, modelin spefikasyonunun doğru olduğunu kabul eder. Modelin tahmininde kullanılabilecek bazı diğer bilgiler varsa ve dikkate alınmıyorsa tahmin ediciler klasik doğrusal regresyon modelinin tahmin edicilerle ilgili özelliklerini sağlamayabilir. 11

12 GİR modelinde çoklu regresyon denklemlerinin bir kümesi ele alınmaktadır. Bu regresyon denklemler kümesi, eşanlı bir denklemler kümesi biçiminde değildir. Yani herhangi bir denklemde bağımlı değişken olarak bulunan bir değişken bir başka denklemde bağımsız değişken olarak bulunmamaktadır. Zellner, GİR modelini meydana getiren denklemlerin hata terimlerinin ilişkili olduğu, ancak farklı denklemlerdeki bağımsız değişkenler arasında yüksek derecede ilişki olmadığı durumlarda GİR tahmin edicisinin Basit En Küçük Kareler (BEKK) tahmin edicisine göre daha etkin olduğunu göstermiştir(sezer, 2006). 12

13 Bu sistemi meydana getiren çoklu regresyon denklemleri yapısal olarak ilişkisiz gibi görünseler de (eşanlı denklem sistemi özelliğinde olmasalar da) aşağıdaki sebeplerden dolayı istatistiksel olarak ilişkili olabilirler: Bazı katsayılar denklemler arasında ortak kullanılmaktadır. Aynı zaman noktasında, denklemlerdeki karşılıklı hata terimleri ilişkilidir. Denklemlerdeki bağımlı ve bağımsız değişkenler aynıdır, bununla beraber gözlem değerleri aynı değildir. Denklemlerin bir çok ortak yönü mevcuttur. 13

14 Sistemde yer alan denklemlerin birbirleri ile ilişkileri, denklemlere ait hata terimlerinin ilişkili olmasından kaynaklanmaktadır. Karşılıklı hataları ilişkili olan denklem sisteminin parametre tahminleri elde edilirken sistem bir bütün olarak ele alınır. Bu yöntem Zellner(1962) tarafından öne sürülen Görünürde İlişkisiz Regresyon(GİR) yöntemidir. GİR yönteminin temeli Genelleştirilmiş En Küçük Kareler yöntemine dayanır. 14

15 İlişkili olan denklemler sistemine ayrı ayrı basit EKK yöntemi uygulanırsa sapmasız ve tutarlı ancak etkin olmayan tahminciler elde edilir. Hata terimleri ilişkili denklemler sisteminin parametre tahminlerini yaparken sistemi bir bütün olarak ele alan ve hata varyans-kovaryans matrisini de regresyona dahil eden GİR yöntemini kullanmak sapmasız, tutarlı ve etkin tahmin ediciler elde edilmesini sağlar (Doğan,1998). 15

16 Görünürde İlişkisiz regresyon denklemlerine Çeşitli malların talep fonksiyonları veya çeşitli endüstri dallarının üretim fonksiyonlarında Bağımlı ve bağımsız değişken verilerinin zaman serisi veya anket verisi olduğu durumlarda Biyokimya, göç, tarım ve nüfus hareketleri, farmakoloji vb. gibi konularda karşılaşılmaktadır. 16

17 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar Aynı T zaman dönemi boyunca gözlenmiş ve aynı alanı ilgilendiren iki denklemi (ekonomik göstergeler, yatırım ilişkileri gibi ) göz önüne alalım: Y1t 11 21X1t 31Z1t e 1 (1) Y2t 12 22X2t 32Z2t e2 (2) Y: bağımlı değişkenler X,Z: açıklayıcı değişkenler 17

18 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar Hatalar ile ilgili olarak basit En Küçük Kareler (BEKK) varsayımlarını kabul edelim: Y1t 11 21X1t 31Z1t e1 (1) Y2t 12 22X2t 32Z2t e2 E(e 1) var(e ) 1t 1t 1 cov(e,e ) 0 (2) (3) E(e 2) 0 2 var(e 2) cov(e 2 2t,e 2t-1) = 0 (1) ve (2) ile verilen her iki denklemin hata varyansları farklıdır. Her iki denklemdeki hatalar eşit varyanslı ve birbiriyle ilişkisizdir. Bu varsayımlar altında EKK in en iyi tahmin tekniği olması (minimum varyanslı, sapmasız) beklenir. (4) 18

19 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar M, modeldeki denklem sayısını, t zamanı ve n denklemlerdeki gözlem sayısını göstermek üzere görünürde ilişkisiz regresyon modelinde hata terimleri üzerindeki varsayımlar: 1. Kov (e it,, e jt ) = E(e it,, e jt ) = ij i j, t = 1, 2,, n i, j=1,..,m varsayıma göre, aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki vardır. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1t,, e 2t ) = E(e 1t,, e 2t ) = 12 olacaktır t = 1, 2,, n şeklinde 19

20 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar 2. Kov (e it,, e it ) = Var(e it ) = ii varsayıma göre, modeli meydana getiren her bir denklemde sabit varyans varsayımı geçerlidir. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1t,, e 1t ) = Var(e 1t ) = 11 Kov (e 2t,, e 2t ) = Var(e 2t ) = 22 20

21 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar 3. Kov (e it,, e js ) = E(e it,, e js ) = 0 t s varsayıma göre, farklı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki yoktur. İki denklemli bir sistem için eşitlik tekrar yazılırsa Kov (e 1t,, e 2s ) = E(e 1t,, e 2s ) = 0 t s elde edilir. 4. Her bir denklemin hata terimleri normal dağılıma sahiptir. 5. Her bir denklemin hata terimlerinin beklenen değeri sıfıra eşittir. 21

22 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar 1., 2. ve 3. varsayımların geçerliliği ile iki denklemli bir sistemde 1. ve 2. denklemlerin hata vektörü için e 1 ve e 2 yi içeren kovaryans matrisi var(e 1) cov(e 1,e 2) cov(e,e ) var(e ) Hataların farklı zaman dönemlerinde birbirleriyle ilişkisiz oldukları (5) varsayımı altında cov(e 1t,e 2s) 0 ' ' e E e1 e1 E e1 e ' ' E e 1 T 1 e2 E 2 e ' ' 2 2 T E e 2 e 0 1 e2 e2 (6) iki denklemin hataları birbirinden bağımsızdır. 22

23 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar Farklı denklemlerdeki hataların ilişkili olduğu durumda matrisin sağdan köşegen değerleri sıfır olamaz. e11 e12 ' e 13 E(e 1,e 2 ) E e21 e22 e 23.. e2t.. e 1T 0 Farklı dönemlerde hatalar arasında ilişki yoktur. (Varsayım 3) cov(e,e ) 1t 2s 0 e e e e e e e e e e e e e e e e e e T T 1T 21 1T 22 1T 2T (7) 23

24 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar Aynı zaman dönemindeki denklemlerin hata terimleri arasında ilişki vardır. Farklı zaman dönemlerinde denklemlerin hataları birbirinden bağımsızdır. cov(e 1t,e 2t ) 1t 2t E(e,e ) ' E(e 1,e 2) (8) (9) Hata terimleri varyans-kovaryans matrisinin kösegen olmaması denklemler arasında istatistiksel olarak bir ilişki olduğunu 24 gösterir.

25 Görünürde İlişkisiz Regresyonlar Farklı eşitlikteki hataların dağılımı aşağıdaki şekillerde gösterilebilir: ve 2 22 e T12 T e N ; w e T 22 T (10) e N,w t 0 et N 0, veya var(e 1) cov(e 1,e 2) cov(e 2,e 1) var(e 2) Zellner bu tip denklemleri hata ilişkili regresyon denklemleri olarak adlandırmıştır. 25

26 Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi GİR modelinde hata terimi varyans kovaryans matrisinin köşegen olması denklemlerdeki hata terimleri arasında bir ilişkinin olmadığını gösterir. Bu durumda parametre tahminlerinin GİR yöntemi ile elde edilmesinin bir kazancı olmayacaktır. Bu amaçla varyans kovaryans matrisinin köşegenliginin araştırılması gerekir. Varyans-kovaryans matrisinin köşegen olup olmadığı genel olarak Olabilirlik Oranı (LR) ve Lagrange Çarpanı (LM) ile test edilmektedir.

27 Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi Testlerin uygulanması sonucu, LR ve LM e ait sıfır hipotez kabul edilirse her bir denklemin En Küçük Kareler Yöntemi (EKKY) ile tahmin edilmesi gerekmektedir. M tane denklemden oluşan denklem seti için LM testinin sıfır ve alternatif hipotezleri aşağıdaki gibidir: H : N N N 1,N (EKKY uygulanabilir) H : en az bir kovaryans sıfıra eşit değildir 1 (SUR yöntemi uygulanabilir) 27

28 Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi Normal doğrusal model kabulü altında uygun test istatistiği M i 1 T 2 r. i1 j1 ij m M M 1,M T(r r r r r r r ) 2 ij ˆ 2 ij iijj r / r 2 korelasyon karesi, T:Gözlem sayısı :Test istatistiği, M: denklem sayısı, M(M-1)/2 serbestlik derecesinde asimtotik dağılıma sahiptir. 28

29 Eşzamanlı Korelasyonun Test Edilmesi Eğer tanımlanan anlamlılık seviyesinde dağılımının kritik değerinden büyükse H o hipotezi reddedilir ve eş zamanlı korelasyonlu olduğu söylenebilir. Örneğin iki denklemlerden oluşan bir sistemde eş zamanlı korelasyon testi için H 0 ve H 1 hipotezi şu şekilde kurulabilir. H : 0 12 H : Test istatistiği: 2 T(r 12) 29

30 2 12 r hesap ij T r M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. 2 2 hesap tablo H 0 reddedilemez. Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki yoktur ve denklem tahminleri için EKKY uygulanabilir.

31 UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜ yılları arasında tarım sektöründe ortak özellikleri bulunan benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak istenmiştir. Buğday ve arpa verimlerine etki eden faktörlerin de aynı olduğu varsayımından hareketle denklem sistemleri arasında görünürde bir ilişkinin olup olmadığını araştırınız. 31

32 Bağımlı Değişken Yıllar Arpa Verimi Kg / hektar Arpa Ekili alanı Bin hektar Arpa Üretimi Bin Ton Tahmin edilecek modeller Bağımlı Değişken Buğday Verimi Kg / hektar Buğday Ekili alanı Bin hektar Buğday Üretimi Bin Ton log (arpa_verim) = f (logarpa_alan, logarpa_uretimi) log (bugday_verim) = f (logbugday_alan, logbugday_uretimi) 32

33 ADIMLAR 1) Denklemlere EKKY uygulanır. a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları. Dependent Variable: LOG(ARPA_VERIM) Method: Least Squares Sample: Included observations: 10 Variable Coefficien t Std. Error t-statistic Prob. C LOG(ARPA_ALAN) LOG(ARPA_URETI M) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var

34 b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

35 a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları Dependent Variable: LOG(BUGDAY_VERIM) Method: Least Squares Sample: Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C LOG(BUGDAY_ALAN) LOG(BUGDAY_URETIM) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

36 b) Otokorelasyon Testi Benzer şekilde buğday verim modelinde hatalar arasında otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde hatalar arasında otokoreasyon olmadığına karar verilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic y Obs*Rsquared y Probabilit Probabilit

37 System: SYS01 Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: Included observations: 10 Total system (balanced) observations 20 Linear estimation after one-step weighting matrix Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C LOG(ARPA_ALAN) LOG(ARPA_URETIM) C LOG(BUGDAY_ALAN) LOG(BUGDAY_URETIM) Determinant residual covariance 2.61E-11 37

38 Observations: 10 R-squared Mean dependent var Adjusted R- squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid 1.87E-05 Durbin-Watson stat Observations: 10 R-squared Mean dependent var Adjusted R- squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat

39 3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını araştırmak için eş zamanlı kovaryans testi yapılması gerekmektedir. Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir. LOG(ARPA_VERIM LOG(BUGDAY_VERIM ) ) LOG(ARPA_VERIM) 1.867e e-06 LOG(BUGDAY_VERI Matris notasyonu ile gösterimi: M) 1.341e e e e 06 w e e =0 hipotezinin test edilebilmesi r 2 12 katsayısının hesaplanması gerekmektedir. 39

40 2 2 2 ( ) 12 r Adım H : 0 12 H : Adım hesap ij e e 06 w e e T r 10* Adım M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. 2 2 tablo,

41 4. Adım 2 hesap 2 tablo H 0 reddedilemez Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olmadığı görülmüştür. Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden etkilenmedikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için EKKY uygulanabilir. EKKY ve SUR Model Sonuçlarının Karşılaştırılması Yöntem EKKY SUR Katsayı Std.Hata Katsayı Std.Hata C LOG(ARPA_ALAN) LOG(ARPA_URETIM)

42 UYGULAMA 1: TARIMSAL ÜRETİM SEKTÖRÜNDE (Çavdar ve Yulaf) Aşağıdaki tablolarda yılları arasında tarım sektöründen benzer iki ürünün fonksiyonları karşılaştırılmak istenmiştir. Çavdar ve yulaf verimlerine etki eden faktörlerin aynı olduğu varsayımından hareketle denklemler sistemleri arasında görünürde bir ilişkin olup olmadığını araştırınız. 42

43 Yıllar Bağımlı Değişken Çavdar Verimi Kg / hektar Çavdar Ekili alanı Bin/ hektar Çavdar Üretimi Bin/ Ton Tahmin edilecek modeller Bağımlı Değişken Yulaf Verimi Kg / hektar Yulaf Ekili alanı Bin / hektar Yulaf Üretimi Bin / Ton log (cavdar_verim) = f (cavdar _uretim, cavdar _alan) log (yulaf _verim) = f (yulaf _uretim, yulaf_alan) 43

44 ADIMLAR 1) Denklemlere EKKY uygulanır. a) Birinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları. Dependent Variable: LOG(CAVDAR_VERIM) Method: Least Squares Sample: Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C LOG(CAVDAR_ALAN) LOG(CAVDAR_URETI M) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion

45 b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Obs*Rsquared Probabilit y Probabilit y

46 a) İkinci Denkleme Ait EKKY Model Tahmin Sonuçları Dependent Variable: LOG(YULAF_VERIM) Method: Least Squares Sample: Included observations: 10 Variable Coefficien t Std. Error t-statistic Prob. C LOG(YULAF_ALAN) LOG(YULAF_URETI M) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion

47 b) Otokorelasyon Testi EKK yöntemi ile tahmin edilen modelde otokorelasyon olup olmadığı incelendiğinde yapılan test sonucuna göre hatalar arasında otokorelasyon olmadığını söyleyen H 0 hipotezi kabul edilebilir. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability

48 2) Denklemlerin SUR ile tahmini aşağıdaki gibidir. System: SYS01 Estimation Method: Seemingly Unrelated Regression Sample: Included observations: 10 Total system (balanced) observations 20 Linear estimation after one-step weighting matrix Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C LOG(CAVDAR_ALAN) LOG(CAVDAR_URETI M) C LOG(YULAF_ALAN) LOG(YULAF_URETIM)

49 Equation:LOG(CAVDAR_VERIM) =C(1)+C(2)*LOG(CAVDAR_ALAN) +C(3)*LOG(CAVDAR_URETIM) Observations: 10 R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat Equation: LOG(YULAF_VERIM) =C(4) +C(5)*LOG(YULAF_ALAN) + C(6)*LOG(YULAF_URETIM) Observations: 10 R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid 2.03E-06 Durbin-Watson stat

50 3) Denklemlerin hataları arasında ilişki olup olmadığını araştırmak için eş zamanlı kovaryans testi yapılması gerekmektedir. Eviews programından elde edilen hataların kovaryans matrisi aşağıdaki gibidir. LOG(CAVDAR_VERI LOG(CAVDAR_VERI M) LOG(YULAF_VERIM ) M) 8.052e e-06 Matris notasyonu ile gösterimi LOG(YULAF_VERIM) 3.973e e e e 06 w e e = 0 hipotezinin test edilebilmesi r 2 12 hesaplanması gerekmektedir. katsayısının 50

51 2 2 2 ( ) 12 r Adım H : H : hesap ij T r 10* Adım M(M-1)/2 serbestlik derecesinde tablo değerine bakılır. 2 2 tablo,

52 4. Adım 2 2 hesap tablo Her iki denklemin hataları arasında bir ilişki olduğu görülmüştür. Bu durumda iki tarım ürününe ilişkin verimlerin birbirinden etkilendikleri yorumu yapılabilir ve denklem tahminleri için GİR uygulanabilir. 52