Giriş. Değişkenlik Ölçüleri İSTATİSTİK I. Ders 5 Değişkenlik ve Asimetri Ölçüleri. Değişkenlik. X i ve Y i aşağıdaki gibi iki seri verilmiş olsun:

Transkript

1 Grş İSTATİSTİK I Ders Değşkelk ve Asmetr Ölçüler Ortalamalar, serler karşılaştırılmasıda her zama yeterl ölçüler değldr. Ayı ortalamayı sahp serler arklı dağılım göstereblrler. Bu edele serler karşılaştırılmasıda, değşkelk ve asmetr ölçülere bakılır. Değşkelk Değşkelk Ölçüler ve Y aşağıdak gb k ser verlmş olsu: Serler artmetk ortalamaları Y 0 Y 9 Y Değşkelğ az ola serler ortalamaları daha temsl oldukları halde, değşkelğ azla olaları ortalamaları sery daha az temsl eder. Mutlak Değşkelk Ölçüler Değşm Aralığı Kartl ve Desl Aralığı Stadart Sapma Değşkelk Ölçüler sb Değşkelk Ölçüler Değşm Katsayısı

2 Değşm Aralığı Stadart Sapma Taım: Gözlem değerlermaksmumvemmumuarasıdak ark olup, verler e kadarlık br aralıkta değştğ gösterr. Değşm aralığı rekas serlerde sütuuu maksmum ve mmum değerler arasıdak arka, grupladırılmış serlerde se lk grubu alt sıır değer le, so sııı üst sıır değer arasıdak arka eşttr. Taım: Ser değerler artmetk ortalamada arklarıı karel ortalamasıa stadart sapma der. Stadart sapma le gösterlr. R max - m Örek: :,,0,0,0,,8,70,90 ola br ser değşm aralığı R90-78 Ya gözlem değerler 78 brmlk br aralıkta değşm göstermektedr. Taım: Stadart sapmaı karese varyas adı verlr. Varyas V() yada le ade edlr. 6 Stadart Sapma Stadart Sapma Varyas serdek değşm asıl ölçer? Bast Serde ( ) x x her zama sıır olacağıda arkları kareler alırız Frekas Sersde ( ) 7 Gruplamış Serde ( m ) 8

3 Stadart Sapma Örek:Doğru, yalış şeklde cevap şıkları ola 0 soruya öğrecler verdkler doğru cevap sayılarıı dağılımı aşağıda verlmştr. Bu ser stadart sapmasıı ve varyasıı buluuz. Stadart Sapma Örek: Br lsede mezu ola ve ÖSS sıavıa gre öğrecler pualarıı dağılımı aşağıda verlmştr. Bua göre öğrec pualarıı stadart sapmasıı buluuz. Doğru C ev.say. Ö ğ r.sayısı. ( ) -,69,99 -,69,6 0 -,69 6, ,69 8, ,69 9, ,, ,, ,,6 0 0,, ,69 ( ) 96, 0 Stadart Sapma, 69 0 Varyas, 87 olarak buluur. ( ) 9 ÖSS Puaları Öğ r.sayısı m.m m ( m ) ,9 6, ,9 96, , 0, , 0, , 7,0 Toplam , 60 7, 9 pua 0 ( m ) 9979, 0, pua 0 0 ( ) STADART SAPMAI KISA YOLDA HESAPLAMASI. + ( ) ormülü açılarak yazılırsa şeklde yazılablr... + şeklde ayrı ayrı ade edleblr K, olduğua göre K. + olur. Böylece K Taım: Stadart sapma karel ortalamaı (K) karesde artmetk ortalamaı kares arkıı kareköküdür Varyas elde edlr. Burada; STADART SAPMAI KISA YOLDA HESAPLAMASI Örek: ÖSS Puaları Öğr.Sayısı m.m.m , 67 pua K 86, K K, 97 pua

4 SHEPPARD DÜZELTMESİ Taım: Gruplamış serlerde br sııa düşe gözlem değerler sııı orta değere eştmş gb kabul edlerek şlemler yapılması br hataya sebep olmaktadır. Bu hatayı düzeltmek amacı le Sheppard şu düzeltme ormülüü gelştrmştr. ı s Bua göre l olacaktır. l : Düzeltlmş stadart sapma : Düzeltlmemş varyas s : Sıı aralığı Örek: Öcek slayttak örek ç elde edle stadart sapmaya Sheppard düzeltmes uygulayıız.,97 S 0 ı 0 (,97) ı 6,, pua olur Stadart Sapmaı Özellkler ) Matematk şlemler ç uygu br dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple e yaygı kullaıla ölçüdür ) Stadart sapmada artmetk ortalama gb statstk aalz ç temel ölçülerde brsdr. ) ve gözlemde oluşa k ser ortalamaları ayı ve sırayla varyasları ve olsu. Bu k ser brleştrlmş ortak varyası. +. şeklde buluur. + Değşm Katsayısı Değşm Katsayısı Taım: Stadart sapmaı ortalamaı br yüzdes olarak ade edlmese değşm katsayısı adı verlr. Bu taıma göre stadart sapmaı büyüklüğü ortalamaya göre ade edlmektedr. D. K.00 Bu hesaplama le ölçü brmler etks gderlmş olmaktadır. Bu edele bu karşılaştırılmak stee serler değerler arklı ölçü brmler le ade edldğ durumlarda değşm katsayısı kullaılablr. Değşm katsayısı küçük ola serlerde, brmler ortalama etraıda daha uygu dağıldıkları soucua varılır. Örek: Koutlarda tüketle aylık elektrk ve su mktarları ç aşağıdak verler elde edlmştr. Değşm katsayılarıı bularak hag grupta değşkelğ daha azla olduğuu araştırı. Elekt. Tük.(kw/h) Kout Say. m.m.m Su Tük.(to/h) Kout Say. m.m.m

5 Değşm Katsayısı Elektrk Tüketm İç , K 78, K 78, 78, 608, D. K.00 D. K.00,8 78, Su Tüketm İç 0 9, 0 K 0, 0 0 K 0, 9, 8,6,7,7 D. K.00 D. K.00 9,76 9, 7 Asmetr Ölçüler Taım: Serler dağılma şekller belrlemek ç hesaplaa ölçülere asmetr ölçüler der. Değşkelk ölçüler serler değşkelğ ölçeblmese rağme, oları dağılma şekller hakkıda blg vermez. Oysa ortalamaları ve değşkelk ölçüler brbre eşt veya yakı ola serler dağılımları brbrde arklı olablr. Bu edele serler sadece değşkel ölçüler değl, dağılma şekller de araştırılmalıdır. 8 Asmetr Ölçüler Ortalamalar Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Dağılımı ça eğrse bezeye, tek maksmumlu ve smetrk ola dağılım statstkte öeml br yere sahptr ve bazı yötemler uygulaması dağılımları ormal dağılım olduğu varsayımıa dayamaktadır. Smetrk dağılım göstere tek modlu serlerde artmetk ortalama, mod ve medya brbre eşttr. Br dağılımı ormal dağılım olarak kabul edleblmes ç smetr durumuu buluması ve basıklık ölçüsüü hesaplaması gerekr. Basıklık ölçüsü le br dağılımı basıklığıı, ormal dağılımı basıklığıda arklı olup olmadığı belrlemektedr. 9 M e M o se ser smetrktr. Bu değerler arasıdak ark arttıkça ser eğklğ artar. 0

6 Ortalamalar Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Asmetr Ölçüler Sola Eğk Ser Smetrk Ser Sağa Eğk Ser < M e < M o > M e > M o se ser sola çarpıktır. se ser sağa çarpıktır. Kutu Dyagramları Kutu dyagramı, br ser ortalaması, smetrk olup olmadığıı, verlerdek değşkelğ ve aşırı uç değerler olup olmadığıı görsel olarak belrlemek ç kullaıla br dyagramdır. Br kutu dyagramı Alt ve Üst Çzgler Uç değerler Aşırı Uç değerler belrlemesde çok yararlı br çzgedr Kutu Dyagramları Alt çzg, Q de,, çeyrekler arası değşm aralığı kadar uzatılır Q Q Q Üst çzg, Q de,, çeyrekler arası değşm aralığı kadar uzatılır Uç değerler Uç değerler Aşırı Uç değerler,çad,çad ÇAD,ÇAD,ÇAD Çeyrekler Arası Değşm Aralığı (ÇAD)Q -Q 6

7 Kutu Dyagramları Kutu Dyagramları Şekl Üç abrkadak kalte deks karşılaştırmalı kutu çzgeler Kalte İdeks Şekl Br metale at kopma kuvvet verler kutu dyagramı Fabrka 6 Ortalamalar Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Ortalamalar Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Sağa ve sola eğklğ azla olmaya serlerde M o ( M e) Bu eştlkte yararlaarak Pearso asmetr ölçüler ( αveα ) hesaplaablr. Bu ölçüler hesaplamasıda arklı ölçü brmler etks gdermek ve orasal br ölçü etmek ç artmetk ortalama le mod yada medya arasıdak arklar stadart sapmaya bölüür. Ser smetrk se, M e M o α 0 Ser sola eğkse, < M e < M o olacağıda α 0 olacağıda α < 0 α < 0 M o α ( M ) α e 7 Ser sağa eğkse, > M e > M o olacağıda α 0 α > 0 > 8 7

8 Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Asmetr ölçüler ortalamalar arası arka dayaarak hesaplaabldkler gb, kartller arası arka dayaarak da hesaplaablr. a) Smetrk serlerde Q Q Q Q b)ser sola eğkse, Q Q < Q Q c) Ser sağa eğkse, Q Q > Q Q 9 Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Taım: Bu ölçüler hesaplamasıda arklı ölçü brmler etks gdermek ve orasal br ölçü etmek ç kartller arası arklar, kartller arası arklar toplamıa bölüür. Bu şeklde elde edle ölçü Bowley asmetr ölçüsü olarak adladırılır. A s ( Q Q) ( Q Q ) ( Q Q ) + ( Q Q ) ( Q + A s Q Q Q Q ) Bowley smetr ölçüsüe göre elde edle souç (+) le (-) arasıda değşmektedr. Souç: (0) se ser smetrk, (-) se sola asmetrk, 0 (+) se sağa asmetrktr. Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Örek: Aşağıda verle grupladırılmış ser smetrk olup olmadığıı a) Grağ çzerek, b) Mod, medya ve artmetk ortalamasıı karşılaştırarak, c) Pearso katsayılarıı ve Bowley asmetr ölçüsüü hesaplayarak celeyz. a) Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler 0 Sıılar Arta Brkml Frekaslar x 8

9 Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler b) M o I a +. c ,88 c) ( ) M e Ia +. c k b m 7, 7, 0 M e ,7 8, 7 8 (8,7), M o α ( M ) α e 8, 7 8,88 (8, 7 8, 7) α 0,07 α 0,0,, < M e < M o olduğuda ser sola asmetrktr. α < 0 α < 0 olduğuda ser sola asmetrktr. c) Kartller Arası Farklar le Hesaplaa Asmetr Ölçüler k h Q I c r h/ r a+. b 8, 7 () 6, 8,7 6, Q +. M 8, , 6 6,9 Q e Q 8 7 ( Q Q ) ( Q Q ) A s ( Q Q ) + ( Q Q ) A s (0, 8,7) (8,7 6,9),6,8 0,06 (0, 8,7) + (8,7 6,9),6 +,8 Souç egat olduğuda ser sola asmetrktr. Acak asmetr katsayısıı değer sııra yakı olduğuda ser smetrk kabul edleblr. Mometler le Asmetr ve Basıklık Ölçüler Taım:Ser değerler belrl br orje göre çeştl derecelerde kuvvetler ortalamalarıa momet adı verlr. a Bast Serler ç m q ( a) q Frekas ve Gruplamış Serler ç a0 se orje yada 0 a göre mometler (m) a se ortalamaya göre mometler (µ) a m q k q ( a ) k 6 9

10 Mometler Ortalamaya göre brc momet sıırdır. (Artmetk ortalamaı ( ) 0 özellğde) Ortalamaya göre kc momet varyas a eşttr. Serler orje göre mometler blyorsa ortalamaya göre mometler hesaplaablr: m m m mm + m m mm + 6m m m 7 Mometler Örek: Aşağıda verle rekas sers orje ve ortalamaya göre mometler hesaplayıız m Orje göre mometler: 0 m 86 0, 7 K m 8 0,0 m 69, Mometler Ortalamaya göre mometler: ( ) ( ) 0 0 6, 7 ( ) ( ) 90 0,, Mometler le Asmetr ve Basıklık Ölçüler Orje göre mometler kullaarak ortalamaya göre mometler hesaplarsak: m mm + m m m,0 ()(0,7) ) + () 0,7 (),0 9,7 +, 7 0, m m m + 6m m m 69, ()(,0) + 6() (0,7) () 69, 9, + 7,0,87 0 0

11 Mometler Yardımıyla Hesaplaa Asmetr Ölçüsü Mometler le asmetr ölçüsü α aşağıdak şeklde hesaplaır. α / α α 0 se ser smetrk α <0 se ser sola çarpık α >0 se ser sağa çarpıktır α Mometler Yardımıyla Hesaplaa Asmetr Ölçüsü Örek: Sıı α >0 ser sağa çarpıktır ( ) 66 0 α,,7 ( ) 0, (,7) /, 0,, Mometler le Hesaplaa Basıklık Ölçüsü Mometler le basıklık ölçüsü α aşağıdak şeklde hesaplaır. α α ormal dağılım ç α olduğuda α se ser ormal α < se ser basık α > se ser svr yada yüksektr. ormal dağılım Basıklık Ölçüsü Örek: Verle ser basıklığıı celeyz Sıı ( ) ( ) 6,6 α < ser basık 0,6,6 α (,) 9,8,,0