NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ

Transkript

1 NEWTON RAPHSON YÖNTEMİ Genel olarak ff(xx) 0 gerek şartını sağlamak doğrusal olmayan ifadelerde oldukça zordur ve bu sebeple çözümler zor olabilir. Newton-Raphson yöntemi, doğrusal olmayan denklemlerin çözümü için iteratif(adım-adım) bir yaklaşım sunmaktadır. Aşağıdaki denklemi ele alalım: ff ii (xx) = 00, ii = 11,,, mm xx 0 verilmiş bir nokta olsun. 1. Mertebe Taylor açılımından: f 1 x) = f ( x0 ) + f ( x )( x x ) = ( x = x 0 f ( x0) f ( x ) 0 yazılabilir. Genel ifade aşağıdaki gibi olacaktır. 0 (. Ve sonraki türevler ihmal edilerek) x k + 1 = x k f ( x f ( x k k ) ) Yukarıdaki ifade kullanılarak bir fonksiyonun kökü, yinelemeli yakınsama ile bulunmaya çalışılır. Bu ifadeyi aşağıdaki gibi yazmak da mümkündür. ff (xx kk ) = ff(xx kk) xx kk xx kk+1 Buna göre, xx kk+1 noktası, ff(xx kk ) fonksiyonunun xx kk noktasındaki eğiminden bulunacaktır. Burada tttttt θθ = ff (xx kk ) dır. Bu durum aşağıdaki şekilden de incelenebilmektedir. Fonksiyonun optimum noktasını bulmak için ise önce fonksiyonun türevi alınır ve türevi alınmış fonksiyona yukarıdaki işlemler uygulanır. Yakınsama her zaman mümkün olmayabilir. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi başlangıç çözümü olarak a alındığında çözümden uzaklaşılacaktır. Genel olarak, yakınsama sağlanana kadar birçok başlangıç noktası seçmek gerekebilmektedir.

2 f(x) in xk noktasındaki teğeti Yakınsama noktası(çözüm) Newton-Raphson yöntemi Teğetler Yöntemi olarak da bilinir. Her bir noktanın teğetleriyle köke yaklaşılır. Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun durağan(optimum) noktalarını Newton-Raphson yöntemi ile bulunuz. gg(xx) = (3xx ) (xx 3)

3 Öncelikle fonksiyonun türevi alınmalıdır: ff(xx) gg (xx) = 144xx 3 468xx + 48xx 156 = 0 İkiye bölerek sadeleştirirsek; ff(xx) gg (xx) = 7777xx 33 xx = 00 Newton-Raphson yöntemi için ff(xx) fonksiyonunun türevini alırız ve xx kk+1 noktalarını yinelemeli olarak elde ederiz. ff (xx) gg (xx) = 16xx 468xx + 41 xx kk+1 = xx kk ff(xx) ff (xx) = xx kk gg (xx) gg (xx) = xx kk 7xx3 34xx + 41xx 78 16xx 468xx + 41 xx 0 = 10 noktasından başlayarak elde edilen yeni noktalar ve yaklaşık çözüm değeri aşağıdaki tabloda verilmiştir. k x k f(x) f (x) f(x)/f (x) x k , , , , ,7 7631,9 1, , , , ,878 1, , , , ,507 0,871358, , ,77 676,9746 0, , , , ,3539 0,3715 1, , , ,5711 0,3070 1, , , , , , ,565453, , , , , , , , , , , , , , Görüldüğü gibi xx = 1,5 e yakınsamıştır. Aslında ff(xx) fonksiyonunun 3 durağan noktası bulunmaktadır. Bunlar xx =, xx = 13 ve xx = 33 noktalarıdır. Diğer noktaları bulmak için 3 1 farklı başlangıç noktaları seçmek gerekirdir. ***3 tane opt. Nokta adayı bulunduğunda? Hangisi gerçek optimum olur? 1-Bu 3 nokta ana fonksiyonda konularak fonksiyonun değerleri bulunur. -Maks. ise en büyük fonksiyon değerini, min. ise en küçük fonksiyon değerini veren nokta Optimum Nokta dır. 3- Hessien matris yolu ile de yeter şart kullanılarak optimum noktalar belirlenebilir.

4 Ödev: Yukarıda verilen örneğin diğer iki durağan(kararlı optimum) noktasını bulmak için a) xx 0 = 0,5 başlangıç noktasından itibaren Newton-Raphson yöntemini uygulayın b) xx 0 = 1 başlangıç noktasından itibaren Newton-Raphson yöntemini uygulayın. c) Diğer optimum noktaları NRap. ve Yarılama yöntemleri ile araştırınız..-ödev.. Yukarıdaki problemin MATLAB kodları aşağıda verilmiştir. Kodlar örneğin Newton_Raphson.m isimli dosyaya kaydedip çalıştırılmalıdır. % Newton-Raphson Extremum Nokta Bulma Yöntemi % f = Amaç Fonksiyonu % df = amaç fonksiyonunun türevi % df= amaç fonksiyonunun ikinci türevi % x0 = f in aranan ekstremum nokta x'in başlangıç değeri % k = işlem adım(iterasyon) sayısı % y = fonksiyonun değeri % f = (3x-)^(x-3)^ fonksiyon % df= 7x^3-34x^+41x-78 % df= 16x^-468x+41 clear clc clf x0 = 10; k=1; x(k)= x0; f(k) = (3*x(k)-)^*(*x(k)-3)^; df(k)= 7*x(k)^3-34*x(k)^+41*x(k)-78; df(k) = 16*x(k)^-468*x(k)+41; format shortg for k=:15 x(k)=x(k-1)-(df(k-1)/df(k-1)); f(k) = (3*x(k)-)^*(*x(k)-3)^; df(k) = 7*x(k)^3-34*x(k)^+41*x(k)-78; df(k) = 16*x(k)^-468*x(k)+41; % Hatay(k)=abs(df(k)-df(k-1)); end disp(' ') disp(' ') disp(' (3x-)^(x-3)^ Fonksiyonunun ') disp(' Newton Raphson ile ') disp(' Ekstramum Noktasının Bulunması') CIKIS=[x' f' df' df']; disp(' ') disp(' x f df df') disp(' ') disp(cikis) disp(' ') clf plot(x, f ) title('fonksiyonun Grafiği') grid xlabel('x') ylabel('f')

5 Örnekler: Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum noktalarını Newton-Raphson yöntemini kullanarak el ile, MATLAB ile ve Excel ile bulunuz. 1. ff(xx) = 4xx 4 xx + 5. ff(xx) = 6xx 5 4xx YARILAMA İKİYE BÖLME YÖNTEMİ gg(θθ) konkav ve türevi alınabilen bir fonksiyon olsun. Aşağıdaki şekilden de görülebileceği gibi, gg (θθ) eğimi incelenerek optimal olmayan noktalar elenebilir. Eğer gg (θθ 1 ) > 0 ise θθ < θθ 1 olan noktalar fonksiyonu maksimuma götürmeyeceği için elenebilir. Eğer gg (θθ 1 ) < 0 ise θθ > θθ 1 olan noktalar fonksiyonu maksimuma götürmeyeceği için elenebilir. Bu inceleme, yarılama veya Bolzano arama metodunun temelini vermektedir. Aşağıdaki şeklin ikincisi 0 5 aralığının orta noktası olan,5 noktasından büyük değerlerin elendiğini (eğim negatif olduğu için) göstermektedir. Dolayısıyla maksimum nokta 0,5 noktaları arasında aranacaktır. Üçüncü şekle bakıldığında ise orta 1,5 noktasındaki eğim pozitif olduğundan 0 1,5 arasındaki değerler elenecektir. Bu durumda maksimum nokta 1,5,5 arasında aranacaktır. Aralık yeterince küçük olana kadar yineleme devam ettirilir. Aynı prosedür, fonksiyonun eğimi incelenmeden (türevi alınmadan) de ele alınabilir. Bu önemli bir konudur çünkü her fonksiyonun türevi alınamayabilir veya çok fazla işlem yapmak gerekebilir. Eğime bakmak yerine θθ 1 ve θθ noktalarındaki gg(θθ 1 ) ve gg(θθ ) fonksiyon değerleri bulunur. Eğer gg(θθ 1 ) < gg(θθ ) ise θθ 1 den küçük tüm noktalar elenir. Eğer gg(θθ 1 ) > gg(θθ ) ise θθ den büyük tüm noktalar elenir. Bu yöntemle yarılama veya Bolzano arama yöntemi fonksiyonların türevi alınmadan da işletilebilmektedir. Bu durumda fonksiyonun konkav

6 olması da gerekmemektedir. Verilen aralıkta fonksiyonun unimodal (tek tepe noktalı) olması yeterlidir. Bu yöntemde θθ 1 < θθ için aşağıdaki kurallar geçerli olmalıdır: gg(θθ 1 ) gg(θθ ) ise her θθ θθ 1 için gg(θθ) gg(θθ 1 ) olmalıdır. gg(θθ 1 ) gg(θθ ) ise her θθ θθ için gg(θθ) < gg(θθ ) olmalıdır. Yarılama yönteminin yakınsaması yavaş fakat uygulaması kolay olan bir yöntemdir. Belirlenen aralığın orta noktası yaklaşık kök olarak kabul edilir. ff(bb) ff(aa) ff(aa). ff(bb) < 00 ise kök [aa, bb] aralığında olacaktır. ff(xx 0 ). ff(aa) < 0 ise kök [aa, xx 0 ] aralığında olacaktır. ff(xx 0 ). ff(bb) < 0 ise kök [xx 0, bb] aralığında olacaktır. ff(aa). ff(bb) > 0 ise [aa, bb] aralığında herhangi bir kök yoktur. Çünkü a ve b noktalarının her ikisi de ya kökün sağında ya da solundadır. Diğer bir ifade ile kök, a ve b noktaları arasında değildir.

7 Seçilen yeni aralığa göre xx kk+11 = aa+bb devam edilir. ile hedeflenen köke ulaşıncaya kadar işlemlere Yukarıdaki işlemler bir fonksiyonun optimum noktalarını bulmak için uygulanacaksa, önce fonksiyonun türevi alınmalıdır. Türevinin kökü bulunduğunda fonksiyonun optimum noktası bulunmuş olacaktır. Örnek: ff(xx) = xx xx xx fonksiyonunun [-1, 0] aralığındaki optimum noktasını bulalım. Önce fonksiyonun türevini almalıyız. ff (xx) = xx 33 + xx fonksiyonu = 0 yapan kökler Optimum değerlerdir. Türevin kökünü bulursak fonksiyonun optimum noktasını elde ederiz. Verilen aralıkta kökün olup olmadığına bakalım. [-1, 0] aralığındaki kökü-optimum noktayı bulalım: ff ( 1) = ff (0) = 3 ff ( 1) ff (0) = 3 = 6 < 0 olduğu için bu aralıkta bir kök vardır. Şimdi Yarılama Yöntemini uygulayabiliriz: xx 0 = = 0,5 ff ( 0,5) = 0,375 ff ( 1) ff ( 0,5) = 0,375 = 0,75 < 0 olduğu için yeni aralık [-1, -0,5] olarak seçilir. Şimdi bu aralığa göre yeni noktayı bulalım: 1 + ( 0,5) xx 1 = = 0,75 ff ( 0,75) = 0,7969 ff ( 0,5) ff ( 0,75) = 0,375 ( 0,7969) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,75, -0,5] olarak seçilir. Şimdi bu aralığa göre yeni noktayı bulalım:

8 0,75 + ( 0,5) xx = = 0,65 ff ( 0,65) = 0,19 ff ( 0,5) ff ( 0,65) = 0,375 ( 0,19) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,65, - 0,5] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0,5 + ( 0,65) xx 3 = = 0,565 ff ( 0,565) = 0,0798 ff ( 0,565) ff ( 0,65) = 0,0798 ( 0,19) < 0 olduğu için yeni aralık [-0, 65, -0, 565] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0,565 + ( 0,65) xx 4 = = 0,5938 ff ( 0,5938) = 0,067 ff ( 0,565) ff ( 0,5938) = 0,0798 ( 0,067) < 0 olduğu için yeni aralık [- 0,5938, -0,565] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0,565 + ( 0,5938) xx 5 = = 0,5781 ff ( 0,5781) = 0,0066 ff ( 0,5781) ff ( 0,5938) = 0,0066 ( 0,067) < 0 olduğu için yeni aralık [- 0,5938, -0,5781] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0, ( 0,5938) xx 6 = = 0,5859 ff ( 0,5859) = 0,03 ff ( 0,5781) ff ( 0,5859) = 0,0066 ( 0,03) < 0 olduğu için yeni aralık [- 0,5859, -0,5781] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0, ( 0,5859) xx 7 = = 0,58 ff ( 0,58) = 0,0117 ff ( 0,5781) ff ( 0,58) = 0,0066 ( 0,0117) < 0 olduğu için yeni aralık [- 0,58, -0,5781] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta:

9 0, ( 0,58) xx 8 = = 0,58 ff ( 0,58) = 0,003 ff ( 0,5781) ff ( 0,58) = 0,0066 ( 0,003) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,58, - 0,5781] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0, ( 0,58) xx 9 = = 0,579 ff ( 0,579) = 0,004 ff ( 0,579) ff ( 0,58) = 0,004 ( 0,003) < 0 olduğu için yeni aralık [-0,58, - 0,579] olarak seçilir. Bu aralığa göre yeni nokta: 0,579 + ( 0,58) xx 15 = = 0,5795 ff ( 00, ) = 00, kabul edilebileceğinden sonuç yeterince sıfıra(0) yakınsanmıştır. O halde k=15 için ff(xx) = xx xx xx fonksiyonunun xx = 00, noktası optimum nokta olarak elde edilmiştir. Bu noktaya karşılık fonksiyonun Optimum değeri ff( 00, ) = 00, olacaktır. Excel ile aynı işlemi gerçekleştirmiş olsaydık aşağıdaki gibi bir sonuç elde ederdik. K a b x k f (a) f (b) f (x k) f(x k) 1-1, ,5-3 0,375-0, , ,5-0,75-0,375-0,7969-0, , ,5-0,65-0, ,375-0,19-0, , ,5-0,565-0,189 0,375 0,0798-0, , ,565-0, ,189 0, ,0667-0, , ,565-0, , , ,0065-0, , , , , , ,0301-0, , , ,5803-0, , ,0118-0, , , , , , ,007-0, , , ,5791-0,0068 0, ,0019-0, , ,5791-0, ,0068 0, ,0004-0, , ,5791-0, , , ,0008-0, , , , , , ,000-0, , , , , , ,0001-0,8358

10 15-0, , ,5795-0,0001 0, ,0000-0,8358 Ele aldığımız fonksiyonun çözümünü MATLAB ile de gerçekleştirebiliriz. Aşağıda yarılama yönteminin MATLAB kodları verilmektedir. % Yarılama Metodu ile Maks/Min Nokta Bulma Yöntemi % y : (1/4)*x^4+(/3)*x^3+3*x^+3*x % a : alt sınır % u : üst sınır % delta : tolerans sınırı % x : aranan optimum değeri % clc a=-1; u=0; delta= ; ya=a^3+*a^+6*a+3; % Fonksiyonun Türevinde alt değerin konulması yu=u^3+*u^+6*u+3; % Fonksiyonun Türevinde üst değerin konulması if ya*yu>0 disp( seçilen aralıklar arasında fonksiyonun extramumu yoktur ) break end adim=1+round((log(u-a)-log(delta))/log()); % kaç iterasyon yapılacak.. for k=1:adim x=(a+u)/; yx=x^3+*x^+6*x+3; if yx==0 % Türev değeri 0 ise extramum bulunmuştur. A=x; u=x; elseif yu*yx>0 % Yarı nokta extramum ile üst nokta arasında.. u=x; % türev değerlerin ikisi negaif veya ikisi pozitif yu=yx; else a=x; ya=yx; end if (u-a)<delta break end end optimum=(a+u)/ hata=abs(u-a) yx=(1/4)*x^4+(/3)*x^3+3*x^+3*x k % Yarı nokta alt nokta ile extramum arasında.. Örnekler: Aşağıdaki fonksiyonların ekstremum noktalarını Yarılama Yöntemini kullanarak el ile, MATLAB ile ve Excel ile bulunuz. 1. ff(xx) = 4xx 4 xx + 5. ff(xx) = 6xx 5 4xx

11 Açıklama: MATLAB da bir fonksiyonun değerini kolayca bulmak için aşağıdaki kodlar kullanılabilir. >> syms x >> k=x^3+*x^+6*x+3; >> k1=subs(k,-1) k1 = - >> k3=subs(k,0) k3 = 3 >> k=subs(k,-0.5) k = veya şu şekilde fonksiyonun değeri bulunabilir. >> k=[1 6 3] k = >> k3 = polyval(k,-0,5) k3 = 3 NOT: Öğrencilere soruldu; soracak her hangi bir soruları olduğunu belirtmediler