DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "DERS NOTLARI. Yrd. Doç. Dr. Hüseyin BİLGİÇ. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 2015"

Transkript

1 'dan indirilmiştir. LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Yrd. Doç. Dr. Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ağustos 5 e-posta: h_bilgic@hotmail.com

2 ÖNSÖZ Bu ders notları, Kahramanmaraş Sütçü İmam Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümünde, 999 yılları arasında verdiğim ve daha sonra da yılından beri vermekte olduğum Lineer Cebir I ve Lineer Cebir II derslerine ait ders notlarıdır. Bu ders notları Bernard Kolman ın Elementary Linear Algebra isimli kitabının 4. baskısı temel alınarak hazırlanmıştır. Bazı alt bölümler atlanmış ve bazı ispat ve örnekler daha açıklayıcı şekilde genişletilmiştir. Ders notlarının bilgisayar ortamına aktarılmasındaki amaç, öğrencilerin ders sırasında not tutarken yapılan hataların en aza indirgenmesidir. Diğer bir amaç ise; ders notu tutma sırasında dersi anlamakla ilgili kayıpların azaltılmasıdır. Bu ders notları 6 bölümden oluşmaktadır. İlk bölüm güz döneminde 4 saatlik; daha sonraki 4 bölüm ise bahar döneminde 4 saatlik bir ders için uygundur. Bu ders notlarının tamamı L A TEX programı ile hazırlanmıştır. Bu yüzden L A TEX programı yazarlarına teşekkür ederim. Notların hazırlanmasında emeği geçen ve genelde bölümümüz girişli öğrencilerinden oluşan gruba teşekkür ederim. Notlardaki şekillerin (grafiklerin) hazırlanmasında kullandığım MFPIC programının yazarı Daniel H. Luecking e de teşekkür ederim. Notların öğrencilere faydalı olması dileğiyle, Yrd.Doç.Dr. Hüseyin Bilgiç. Kahramanmaraş, Eylül 4.

3 İçindekiler Lineer Denklemler ve Matrisler. Lineer Denklem Sistemleri Matrisler ve Matris İşlemleri Matris İşlemlerinin Cebirsel Özellikleri Özel Tipteki Matrisler ve Parçalı Matrisler Bir Matrisin Eşelon Formu Elementer Matrisler ve A in Bulunması Eşdeğer Matrisler Reel Vektör Uzayları. Vektör Uzayları ve Altuzaylar Lineer Bağımsızlık Baz ve Boyut Koordinatlar ve İzomorfizmler Bir Matrisin Rankı ii

4 İç Çarpım Uzayları 64. R ün Standart İç Çarpımı İç Çarpım Uzayları Gram Schmidt Yöntemi Lineer Dönüşümler ve Matrisler Tanım ve Örnekler Bir Lineer Dönüşümün Çekirdeği ve Görüntüsü Bir Lineer Dönüşümün Matrisi Matrislerin Vektör Uzayı ve Lineer Dönüşümlerin Vektör Uzayı Determinantlar Determinantın Tanımı Determinantın Özellikleri Kofaktör Açılımı Bir Matrisin Tersi Determinantın Diğer Uygulamaları Özdeğerler ve Özvektörler 4 iii

5 Lineer Denklemler ve Matrisler. Lineer Denklem Sistemleri a, a, a,..., a n, b sabitler ve x, x,..., x n ler de değişkenler olmak üzere; a x + a x + + a n x n = b (.) şeklindeki bir denkleme lineer denklem denir. Eğer s, s,..., s n sayıları x, x,..., x n yerine yazıldığında (.) denklemi sağlanıyorsa bu sayılara (.) denkleminin bir çözümü denir. Örneğin x =, x = ve x = 4 sayıları 6x x + 4x = denkleminin bir çözümüdür. Çünkü ( 4) = dür. Genel olarak n bilinmeyenli m denklemli bir lineer denklem sistemi (kısaca lineer sistem) aşağıdaki gibi yazılır: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b (.) a m x + a m x + + a mn x n = b m Burada a ij ler sabittir. b, b..., b n verildiğinde (.) yi sağlayan x, x,..., x n değerlerini bulmaya çalışacağız. s, s,..., s n sayılarının bu sistemin bir çözümü olması demek, bu sayıların her bir denklemin çözümü olması demektir. Eğer bir lineer sistemin hiç çözümü yoksa bu sisteme tutarsız, eğer en az bir çözümü varsa tutarlı denir. Eğer b = b =... = b m = ise bu sisteme homojen sistem denir. Bir homojen sistemdeki x = x = = x n = çözümüne trival (aşikar) çözüm denir. Aksi halde trival olmayan çözüm denir.

6 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Eğer n bilinmeyenli r denklemden oluşan: c x + c x + + c n x n = d c x + c x + + c n x n = d (.) c r x + c r x + + c rn x n = d r sistemi ile (.) sisteminin çözümleri aynı ise bu sistemlere eş sistemler denir. Örnek. { x x = 7 8x x = 7 x x = x + x = 7 x x = 4 Bu sistemler eş sistemlerdir. } Çözüm: x =, x = Çözüm: x =, x = { } x x = Örnek. sistemini çözelim. Yok etme metodu kullanacağız.. denklemin x +x = 8 katını. denklemden çıkarırsak: 7x = 4 = x = bulunur. Bunu. denklemde yazarsak x = bulunur. { } x x = 7 Örnek. denklem sistemini göz önüne alalım. x i yok edelim.. denklemin katını. denklemden çıkartırsak = gibi bir sonuç elde ederiz. Bunun anlamı x 6x = 7 sistemin çözümünün olmaması; yani tutarsız olması demektir. Örnek.4 x + x + x = 6 x x + x = 4 denklem sistemini çözünüz. x + x x =. denklemin katını. denklemden,. denklemin katını. denklemden çıkartırsak { } 7x 4x = bulunur. Buradan x =, x = bulunur. 5x x = Bunlar. denklemde yazılırsa x = elde edilir. { } x + x x = 4 Örnek.5 denklem sistemine bakalım. x + x x = 4

7 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler x i yok edersek: x + x = = x = x 4. Bunu. denklemde yazarsak x = x + 4 bulunur. Bu sistemin çözümü: x = x + 4 x = x 4 Yani sonsuz tane çözüm var. Mesela x =, x = 5, x = x = herhangi bir reel sayı gibi. Sonuç: Bu örnekler göstermektedir ki; bir lineer sistemin tek çözümü de olabilir, hiç çözümü olmayabilir veya sonsuz tane çözümü olabilir. { } a x + a x = c Şimdi lineer denklem sistemini düşünelim. b x + b x = c Bu iki denklemin belirttiği doğruları l ve l ile gösterelim. Eğer x = s, x = s bu sistemin çözümü ise (s, s ) noktası hem l hem de l üzerindedir. Tersine eğer bir (s, s ) noktası hem l hem de l üzerinde ise x = s, x = s bu sistemin bir çözümüdür. Geometrik olarak da üç ihtimalin olduğunu Şekil. de görebiliriz. x x x l l x x x l l l l (a) Tek çözüm (b) Çözüm yok (c) Sonsuz çözüm Şekil.: Not: Yok etme metodunda aşağıdakilerden birisi yapılabilir:. i. ve j. denklemler yer değiştirebilir.. Denklemlerden herhangi biri sıfır olmayan bir sabitle çarpılabilir.. i. denklem yerine c (j.denklem) + i.denklem yazılabilir. (i j) Bu değişiklerle elde edilen sistem orjinal sistemin bir eşidir. (İspatlayınız)

8 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler. Matrisler ve Matris İşlemleri Tanım.6 Sayıların bir dikdörtgensel dizisine bir matris denir ve aşağıdaki şekilde gösterilir: a a a n a a a n A = a m a m a mn A matrisinin i. satırı a i, a i,, a in dir.( i m). A nın j. sütunu a j a j. a mj dir. ( j n) Eğer bir A matrisinin m satırı ve n sütunu varsa bu matrise m n tipinde matris denir. m = n ise kare matris denir. (veya n. dereceden kare matris denir). a, a,..., a nn elemanları A nın diyagonali (esas köşegeni) üzerindedir denir. a ij elemanına (i, j) inci eleman denir. A matrisi A = a ij şeklinde de yazılabilir. Eğer A, m n tipinde bir matris ise m A n yazarız ; eğer n n tipinde ise A n yazılır. Örnek.7 A = 4, B = 7, C = 4 ve D = ise a =, c =, b =, d =... gibi. Tanım.8 Eğer m n tipindeki A = a ij ve B = b ij matrislerinin karşılıklı elemanları eşitse bu iki matrise eşit matrisler denir ve A = B yazılır. Yani her i =,,..., m ve j =,,..., n için a ij = b ij dir. Tanım.9 Eğer A = a ij ve B = b ij matrisleri m n tipinde matrislerse A ve B nin toplamı olan C = c ij = A + B matrisi c ij = a ij + b ij şeklinde tanımlanır. 4 Örnek. A = ve B = = A + B = 4 4 4

9 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Tanım. A = a ij, m n tipinde bir matris olsun ve c R bir reel sayı olsun. A nın c sabiti ile çarpımı olan ca matrisi C = c ij ise i =,,..., m ve j =,,..., n için c ij = c a ij olarak tanımlanır. Örnek. A = 4 7 = A = 7 Tanım. Eğer A ve B m n matris iseler A + ( )B matrisine A ve B nin farkı denir ve kısaca A B yazılır. Toplam (Sigma) Sembolü n n n r i a i = r a + r a + + r n a n yazılır. Buradaki i harfine indeks denir. r i a i = r j a j i= olduğu açıktır. Sigma sembolü aşağıdaki özellikleri sağlar..).).) n n n (r i + s i )a i = r i a i + s i a i i= n n c(r i a i ) = c r i a i i= i= s= i= n m m n a ij = j= i= i= j= a ij i= j= Tanım.4 Eğer A = a ij, m n tipinde, B = b ij, n p tipinde iki matris ise A ve B nin çarpımı olan A B = C = c ij matrisi m p tipindedir ve şöyle tanımlanır: n c ij = a ik b kj = a i b j + a i b j + + a in b nj k= Not.: A nın kolon sayısı ile B nin satır sayısı aynı olmalıdır. { i =,,..., m j =,,..., p } Not.: C = AB nin (i, j) inci elemanı; A nın i. satırı ile B nin j. kolonundaki elemanların karşılıklı çarpımlarının toplamıdır. 5

10 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.5 A = a a... a n a a... a n b b... b j... b p... b b... b j... b p A B = a i a i... a in b n b n... b nj... b np a m a m... a mn A B = 4 ve B = 5 4 ( ) ( ) 5 + ( ) + ( ) ( ) ( ) + 4 Burada B A matrisi de tanımlıdır. (Her zaman tanımlı olmayabilir.) matrisleri verilsin. = Şimdi Bölüm. deki (.) nolu lineer sisteme dönelim ve aşağıdaki matrisleri tanımlayalım: a a... a n a a... a n A =., X =..... a m a m... a mn x x. x n, B = Böylece (.) lineer sistemi A X = B şeklinde yazılabilir. Burada A ya katsayılar matrisi denir. Aşağıdaki matrise de ek matris (eklenmiş matris) denir. (Yani denklem sisteminin ek matrisi denir) a a... a n. b A.B = a a... a n. b..... a m a m... a mn. b m x + x 4x + x 4 = 5 Örnek.6 x + x = 7 denklem sistemini düşünelim. Bu lineer sistemi x + x 4x 4 = x 4 matris formunda şöyle yazılabilir: x 5 = 4 x 7 x 4 b b. b m 6

11 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Katsayılar matrisi 4 4, ek matris Tanım.7 Eğer A = a ij m n tipinde bir matris ise A nın transpozu (devriği) olan ve A (veya A T ) ile gösterilen matris, a ij = a ji olarak tanımlanır. Yani A matrisi, A nın satırlarının sütun ve sütunların satır yapılmasıyla elde edilen matristir. Örnek.8 A = Örnek.9 A = (a) C + E (c) C E 7 4, B = ise A = 7, C = 4 5, D = matrisleri verilsin. (Eğer mümkünse) aşağıdaki işlemleri yapınız: (e) AB + D, D = DD dir. (g) A(BD) (i) A(C + E) (k) A + A ve 5A (l) A (b) AB ve BA (d) CB + D (f) ()(A) ve 6A (h) (AB)D (j) AC + AE (m) (A ) (n) (AB) (o) B A (p) (C + E) (r) C + E Çözüm: Ödev (kolay) (s) A(B) ve (AB) 5 ve E = Örnek. Eğer A = a ij, n n tipinde bir matris ise A nın izi (trace) diyagonaldeki elemanların toplamı olarak tanımlanır: Buna göre, aşağıdakileri ispatlayınız: (a) Tr(c A) = c Tr(A) (c : reel sayı) (b) Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) Tr(A) = n i= a ii 7

12 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler (c) Tr(A B) = Tr(B A) İspat : (a) A = a ij = c A = c a ij dir. n n Tr(c A) = ca ii = c a ii = c Tr(A) i= i= (b) B = b ij olsun. (n n tipinde) n n n Tr(A + B) = (a ii + b ii ) = a ii + b ii = Tr(A) + Tr(B) i= i= i= (c) C = AB ve D = BA olsun C = c ij, D = d ij olsun. n n c ij = a ik b kj ve d ij = b ik a kj olarak tanımlandığını biliyoruz. Şimdi Tr(C) = = = = k= k= n n n c ii = a ik b ki i= n i= k= n i= k= i= k= n b ki a ik = n b ik a ki n d ii = Tr(D) i= n n b ki a ik k= i= (i harfi ile k harfi yer değiştirdi) olup Tr(AB) = Tr(BA) olduğu ispatlanır. Örnek. AX = B denkleminin birden fazla çözümü varsa, sonsuz tane çözümü olduğunu gösteriniz. Çözüm: X ve X iki çözüm olsun. r + s = olmak üzere X = rx + sx matrisini düşünelim. AX = B olduğunu gösterelim: AX = A(rX + sx ) = ArX + As X = r(ax ) + s(ax ) = rb + sb = (r + s)b = B olup sonsuz tane çözüm vardır. (Çünkü bu şekilde sonsuz miktarda r ve s seçilebilir.) 8

13 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek. AB BA = şartını sağlayan tipinde A ve B matrisleri bulunamayacağını ispatlayınız. a b e f Çözüm: A = ve B = olsun. AB BA = olsun. c d g h ae + bg ea fc af + bh eb fd AB BA = = ce + dg ga hc cf + dh gb hd olup bg fc = ve cf gb = olur ve taraf tarafa toplanırsa = çelişkisi elde edilir. O halde bu şekilde A ve B matrisleri olamaz.. Matris İşlemlerinin Cebirsel Özellikleri Teorem. Matris işlemleri için aşağıdaki özellikler sağlanır: ) A ve B m n matrisler ise A + B = B + A dır. ) A, B ve C m n matrisler ise A + (B + C) = (A + B) + C dir. ) Her m n A matrisi için A + m n = m n + A = A şartını sağlayan bir tek m n matrisi vardır. Bütün elemanları olan bu matrise m n sıfır matrisi denir. m = n ise n yazılır. 4) Verilen her m n A matrisi için A + B = m n olacak şekilde bir m B n matrisi vardır. B = A dır. 5) A m n matris, B n p ve C p q matris ise A(BC) = (AB)C dir. 6) a) A ve B m n matris ve C n q matris ise (A + B)C = AC + BC b) C m n matris ve A ile B n q matris ise C(A + B) = CA + CB 7) r, s reel sayılar, A m n matris ve B n q matris ise (a) r(sa) = (rs)a = s(ra) (b) A(rB) = r(ab) 8) a ve b reel sayılar, A m n matris ise (a + b)a = aa + ba 9) A ve B m n matrisler, a bir reel sayı ise a(a + B) = aa + ab ) A m n matris ise (A ) = A 9

14 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler ) A ve B m n matrisler ve c bir reel sayı ise a) (ca) = ca b) (A + B) = A + B ) A m n matris ve B n p matris ise (AB) = B A İspat ) A = a ij, B = b ij ve AB = C = c ij olsun. c ij nün B A daki (i, j). eleman olduğunu ispatlayacağız. n n c ij = c ji = a jk b ki = a kj b ik = k= k= k= n b ik a kj olup son ifade B A deki (i, j). elemandır ve ispat biter. Not.4 Eğer a ve b iki sayı ise ab = olması için a = veya b = olmalıdır. Bu kural matrisler için geçerli değildir, örneğin: 4 6 A =, B =, A B = 4 Not.5 a, b, c üç tane reel sayı olsun. ab = ac ve a ise b = c dir. Bu sadeleştirme kuralı matrisler için geçerli değildir, örneğin: 7 A =, B = ve C =, AB = AC olup B C dir. 4 5 Örnek.6 Sıfırdan farklı bir A matrisi bulunuz ki ( tipinde ) A = AA = O olsun. Çözüm: = Örnek.7 Her B matrisi için AB = BA şartını sağlayan bütün A matrislerini belirleyiniz. a b Çözüm: A = alalım. B yerine,, ve matrisleri alınırsa A matrisinde a = d,b = c = elde edilir. B = olsun. c d x y z t a x y x y a = a z t z t a her zaman doğru olduğu için, (yani ax = xa, ay = ya, az = za, at = ta) bu şekilde matrislerin { } a kümesi : a R kümesidir. a

15 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler.4 Özel Tipteki Matrisler ve Parçalı Matrisler n n tipindeki bir A = a ij matrisi için i j iken a ij = ise bu matrise diyagonal matris denir. (Yani ana diyagonal haricindeki elemanlar ). Diyagonaldeki bütün elemanları aynı olan diyagonal matrise skaler matris denir. I n = a ij, a ii = ve i j için a ij = olan skaler matrise n n birim matris denir. Örnek.8 A =, B = ve I = matrisleri verilsin. A, B ve I diyagonal matrisleridir. B ve I skaler matrislerdir. I de birim matristir. Not: A bir skaler matris ise bir r skaleri için A = ri n şeklindedir. Şimdi A bir kare matris olsun. Eğer p pozitif bir tamsayı ise A p = } A A {{ A} şeklinde tanımlanır. Eğer A n n matris ise A = I n p tane olarak tanımlanır. Negatif olmayan p ve q tamsayıları için A p A q = A p+q ve (A p ) q = A pq kuralları geçerlidir. Ayrıca: (AB) p = A p B p kuralı AB = BA değilse geçerli değildir. Tanım.9 n n tipinde bir A = a ij matrisinde i > j için a ij = ise bu matrise üst üçgensel matris; i < j iken a ij = ise alt üçgensel matris denir. Örneğin A = 5 üst üçgensel, B = 5 alt üçgensel matrislerdir. Tanım. A bir matris olsun. A = A ise A ya simetrik matris; A = A ise çarpık simetrik (anti simetrik) matris denir. Örneğin: A = simetrik; B = 4 4 anti simetrik matrislerdir. Buna göre aşağıdakiler doğrudur: ) A simetrik veya anti simetrik ise A bir kare matristir. ) A simetrik ise A nın elemanları ana diyagonale göre simetriktir. ) A simetrik a ij = a ji ; A anti simetrik a ij = a ji

16 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler 4) A anti simetrik ise ana diyagonaldeki elemanların hepsi dır. Teorem. A n n matris ise; S bir simetrik matris ve K bir anti simetrik matris olmak üzere A = S + K şeklinde yazılabilir. Ayrıca bu yazılış tek türlüdür. İspat: A = S + K olduğunu bir an için kabul edip S ve K yı bulalım. A = S + K = S K dır. Şimdi: } A = S + K = A + A = S = S = A = S K (A + A ). Yine buradan: K = (A A ) bulunur. Şimdi A = S + K olduğu; S nin simetrik ve K nın anti simetrik olduğu görülebilir. Örnek. A = S = (A + A ) = matrisi verilsin , K = (A A ) = 7 7. A = S + K dır. (Kontrol ediniz.) Tanım. Bir m n A = a ij matrisinin bazı (hepsi değil) satır ve/veya sütunları silinerek elde edilen bir matrise A nın bir alt matrisi denir Örnek.4 A = ise A nın bir alt matrisi 4 dir. Bu durumda alt matrislere parçalanan bir matristen söz edebiliriz. Tabii ki bu parçalanış tek türlü değildir.

17 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.5 A = a a a. a 4 a 5 a a a. a 4 a 5. a a a. a 4 a 5 A A matrisi A = A A şeklinde veya, a 4 a 4 a 4. a 44 a 45 a a. a a 4. a 5 a a. a a 4. a 5 A = a a. a a 4. a 5 a 4 a 4. a 4 a 44. a 45 Â Â Â A = Â Â Â şeklinde parçalanabilir. Bu şekildeki matrislere parçalı matrisler denir. Örnek.6 Bir lineer sistemin ek matrisi (Bölüm.) bir parçalı matristir. Yani AX = B ise bu sistemin ek matrisi A.B şeklinde yazılabilir. Eğer A matrisi son yazılan şekliyle parçalanmışsa ve b b. b b 4 b b. b b 4 B = b b. b b 4 b 4 b 4. b 4 b 44 b 5 b 5. b 5 b 54 (Â B + Â B + Â B ) AB = (Â B + Â B + Â B ) olduğu gösterilebilir. B B = B B B B ise. Â B + Â B + Â B ).. (Â B + Â B + Â B ) Singüler ve Singüler Olmayan (Non singular) Matrisler Tanım.7 A n n tipinde bir matris olsun. Eğer AB = BA = I n şartını sağlayan bir B n n tipinde matris varsa A ya singüler olmayan (tersinir=tersi alınabilir) matris denir. Aksi halde A ya

18 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler singüler (tersi alınamaz) matris denir. B matrisine de A nın tersi denir ve A ile gösterilir. Örnek.8 A = tersidir. ve B = Teorem.9 Eğer bir matrisin tersi varsa tektir. olsun. AB = BA = I olduğundan B, A nın İspat: B ve C, A nın tersi olsunlar. O zaman AB = BA = I n ve AC = CA = I n dir. Şimdi, olup A nın tersi (varsa) tektir. Örnek.4 A = Buradan ; AA = 4 4 { a + c = a + 4c = B = BI n = B(AC) = (BA)C = I n C = C. olsun. A matrisini (varsa) bulalım. A = a b c } d ve = = { b + d = b + 4d = a + c b + d } a + 4c denklem sistemleri elde edilir. Bunun çözümü a =, c =, b = ve d = dir. (Kontrol ediniz). Ayrıca = 4 olduğundan A singüler değildir ve A = Örnek.4 A = 4 AA = olsun. A = 4 a b c a b d c = d a b c b + 4d d = olsun. dir. diyelim. a + c b + d a + 4c b + 4d = olmalıdır. Buradan şu lineer sistemler elde edilir: { } a + c = ve a + 4c = { b + d = b + 4d = }. Birinci denklem ile çarpılırsa = çelişkisi elde edilir. Bu lineer sistemin çözümü yoktur. Yani A nın tersi yoktur (singülerdir). 4

19 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Teorem.4 A ve B singüler olmayan n n matrisler ise AB matrisi de singüler değildir ve (AB) = B A dir. İspat: (AB)(B A ) = A(BB )A = AI n A = AA = I n, (B A )(AB) = B (A A)B = BI n B = BB = I n olup (AB) = B A olduğu görülür. Sonuç.4 A, A,..., A r n n singüler olmayan matrisler ise A A A r matrisi de singüler değildir ve (A A A r ) = A r A r A dir. İspat: Benzer şekilde yapılır. Teorem.44 A singüler olmayan bir matris ise, A matrisi de singüler olmayan bir matristir ve (A ) = A dır. İspat: (A )A = I n ve A(A ) = I n olup bu eşitliklerdeki birinci matrisin tersi ikinciye eşittir. O halde (A ) = A dır. Teorem.45 A singüler değilse A de singüler değildir ve (A ) = (A ) dır. İspat: AA = I n dir. Bu eşitliğin iki tarafının transpozunu alırsak: (A ) A = I n = I n dir. Şimdi de A A = I n eşitliğinin her iki tarafının transpozunu alırsak: A (A ) = I n = I n. Bu iki eşitlikten (A ) = (A ) elde edilir. Örnek.46 A = 4 matrisinin tersi A = dir. A = 4 olup (A ) = = (A ) olduğu görülür. Örnek.47 A simetrikse ve singüler değilse, A in de simetrik olduğunu gösteriniz. Çözüm: A simetrik olduğundan A = A dür. (A ) = (A ) olduğunu biliyoruz (Teorem.45). Burada A = A olduğu için A = (A ) olup A simetriktir. 5

20 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.48 A singüler olmasın. AB = AC = B = C olduğunu gösteriniz. Ayrıca AB = n = B = n dir. Gösteriniz. Çözüm: AB = AC = A (AB) = A (AC) = (A A)B = (A A)C = B = C, AB = n = A (AB) = A n = (A A)B = n = B = n Lineer Sistemler ve Matrisin Tersi A matrisi n n tipinde ise AX = B sistemi n bilinmeyenli n denklemli bir sistemdir. A singüler olmasın. Bu durumda A mevcuttur ve AX = B eşitliğinin her iki tarafını (soldan) A ile çarpalım. AX = B = A (AX) = A B = (A A)X = A B = X = A B. Yani X = A B bu sistemin bir çözümüdür. O halde A singüler değilse sistemin tek çözümü vardır..5 Bir Matrisin Eşelon Formu Tanım.49 Bir A m n matrisi aşağıdaki 4 özelliği sağlıyorsa bu matrise indirgenmiş satır eşelon formdadır denir. (a) Bütün elemanları sıfır olan satırlar (varsa) matrisin en alt kısmındadır. (b) Tamamı sıfır olmayan bir satırdaki, sıfır olmayan ilk sayı (ki buna baş eleman denir) dir. (c) Eğer i. ve (i + ). satırlar ardarda ve tamamı sıfır olmayan iki satır ise (i + ). satırın baş elemanı i. satırın baş elemanının sağındadır. (d) Eğer bir kolon herhangi bir satırın baş elemanını ihtiva ediyorsa, o kolondaki diğer bütün elemanlar sıfırdır. Eğer A matrisi (a), (b) ve (c) şartlarını sağlıyorsa bu matrise satır eşelon formundadır denir. Benzer bir tanım "indirgenmiş sütun eşelon form" ve "sütun eşelon form" için yapılabilir. 6

21 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.5 A = B = C = satır eşelon form indirgenmiş satır eşelon form satır eşelon form D = 7 E = F = 4 indirgenmiş satır eşelon form indirgenmiş hiçbiri (a) G = satır eşelon form H = 5 5 J = hiçbiri (b) hiçbiri (c) satır eşelon form Şimdi her matrisin (indirgenmiş) satır eşelon forma getirilebileceğini göreceğiz. Tanım.5 Aşağıdaki işlemlerin her birine bir elementer satır (sütun) işlemi denir. I.TİP: A nın i. ve j. satırlarını (sütunlarını) yer değiştirmek. II.TİP: A nın i. satırını (sütununu) bir c sayısı ile çarpmak. III.TİP: A nın i. satırının (sütununun) c katını j. satıra (sütuna) eklemek. (i j) Bu satır işlemleri matrisler üzerinde aşağıdaki şekilde gösterilir: (Kolon işlemi için K kullanılır) I.TİP: S i S j II.TİP: S i cs i III.TİP: S j cs i + S j 7

22 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.5 A = 6 9 S S B = 6 9 C S ( )S +S D = S S C = 4 4 Tanım.5 Eğer bir B m n matrisi A matrisine sonlu sayıda elementer satır (sütun) işlemlerinin uygulanması ile elde edilebiliyorsa A matrisi B matrisinin satır (sütun) eşdeğeridir denir. Örnek.54 A = A = 4 4 ve D = S S +S B = olup C nin. satırı ile çarpılırsa D matrisi elde edilir. matrisleri satır eşdeğerdir. Çünkü S S C = Bu tanıma göre aşağıdakiler doğrudur. (a) Her matris kendisinin satır eşdeğeridir. (b) A, B nin satır eşdeğeri ise B de A nın satır eşdeğeridir. (c) A, B nin; B de C nin satır eşdeğeri ise A, C nin satır eşdeğeridir. Teorem.55 Her A = a ij m n sıfır olmayan matrisi satır (sütun) eşelon formdaki bir matrise satır (sütun) eşdeğerdir. İspat: Yani, bir A matrisi satır eşelon formdaki bir matrise satır eşdeğerdir. Yani, A üzerinde elementer satır işlemleri yapılarak bir satır eşelon formda matris elde edilebilir. (Örnek üzerinde açıklanacak) Örnek.56 Aşağıdaki A matrisini satır eşelon forma getireceğiz. Önce. kolonun en üst kısmında; yani (, ). pozisyonda bir baş eleman (yani ) oluşturalım. (. kolon tamamen ise. kolona geçeriz). Eğer a ise bütün satırı a e böleriz; aksi halde aşağıdaki satırlardan birisi ile. satırı yer 8

23 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler değiştirir ve. satırı yeni elde edilen (, ) inci elemana böleriz: S S 4 A = B = S S 4 C = Baş eleman elde edildikten sonra bunun altındaki sayıların yapılması gerekir. Bu amaçla bu satırın (baş elemanının bulunduğu satırın) uygun katları aşağıdaki satırlara eklenir: 5 S 4 ( )S +S 4 4 D = 4 7 Bu aşamada. kolon ile işimiz bitmiştir. Şimdi (, )-inci pozisyondaki sayıyı yapmalıyız. (Eğer bu eleman ve altındakilerin tamamı ise. sütuna geçilir). Bunun için ya. satırın tamamı bu sayıya bölünür veya alt satırlardan (üst satırlardan değil) biri ile yer değiştirilip sonra bölme işlemi yapılır: 5 5 S S 4 S S Şimdi. sütunda da baş eleman oluştuğuna göre bunun altındaki sayılar yapılır. (Bu satırın uygun katları aşağıdaki satırlara eklenir): 5 S 4 ()S +S Daha sonra. sütunda baş eleman oluşturulur ve bunun altındaki sayılar yapılır: (Dikkat: Baş elemanlar sağa doğru gidildikçe aşağıya doğru en az bir basamak kaymalıdır) 5 S S 4 9

24 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler S 4 ( )S +S 4 5 = H diyelim. H matrisi satır eşelon formdadır ve A matrisinin satır eşdeğeridir. Teorem.57 m n tipinde her A = a ij sıfır olmayan matris, indirgenmiş satır (sütun) eşelon formdaki bir matrise satır (sütun) eşdeğerdir. İspat: Bir önceki teoremin ispatındaki yöntem uygulanır. Ancak bu sefer bir baş elemanın bulunduğu kolondaki diğer elemanlar (yani hem altındaki hem de üstündekiler) yapılacak şekilde gerekli elementer satır işlemleri yapılır. Örnek.58 Bir önceki H matrisinden devam edelim: 5 4 H = S ( )S +S 9 9 S ( S )+S = K S (4)S +S K matrisi indirgenmiş satır eşelon formdadır ve A ya satır eşdeğerdir. Not: Bir matrise satır eşdeğer olan indirgenmiş satır eşelon formda bir tek matris mevcuttur. (İspatı atlıyoruz) Teorem.59 AX = B ve CX = D, m denklemli ve n bilinmeyenli iki lineer sistem olsun. Eğer A.B ve C.D ek matrisleri satır eşdeğer ise bu lineer sistemler eş sistemlerdir; yani çözümleri aynıdır. İspat: Elementer satır işlemleri; lineer sistem düşünüldüğünde aşağıdakilere karşılık gelir: I.Tip: İki eşitliğin yer değiştirmesi II.Tip: Bir eşitliğin c ile çarpılması III.Tip: Bir eşitliğin bir katının başka bir eşitliğe eklenmesi

25 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler İspat; "satır eşdeğerlik" tanımından kolayca ortaya çıkar. Ayrıca bir lineer sistemin çözümü yoksa diğerinin de yoktur. Sonuç: Eğer A ve B iki satır eşdeğer m n matris ise AX = ve BX = homojen sistemleri eş sistemlerdir. Gauss ve Gauss Jordan İndirgeme Metodları Tanım.6 Yukarıdaki teoremlerde izah edilen; bir lineer sistemin ek matrisi A.B yi satır eşelon forma getirme yöntemine Gauss indirgeme metodu; indirgenmiş satır eşelon forma getirme yöntemine de Gauss-Jordan indirgeme metodu denir. Gauss indirgeme metodu iki adımdan oluşur: Adım.. A.B ek matrisinin satır eşelon formdaki C.D matrisine indirgenmesi (dönüştürülmesi). Adım.. C.D den yararlanarak çözümün bulunması. Örnek.6 : (n n tipi için) x + x + x = 9 x x + x = 8 x x = ek matris A.B = Bu matrisi satır eşelon forma çevirirsek: C.D =. 9.. elde ederiz. (Kontrol ediniz). Daha sonra denklemi çözeriz: x + x + x = 9 x + x = = x = x =, x = 9 x x = = x = Çözüm: x =, x =, x =. Genel durumda A matrisi m n matris ise aşağıdaki örneklerdeki durumlar ortaya çıkabilir:

26 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.6 C.D = olsun. O zaman: x 4 = 9 x 5 x = 7 x 4 x 5 = 7 (9 x 5 ) x 5 = + x 5 x = 7 x x 4 + x 5 = 7 ( + x 5 ) (9 x 5 ) + x 5 = + 5x 5 x = 6 x x 4x 5 5x 5 = x 5 x 5 = herhangi bir reel sayı Buradan, bütün çözümler şu şekilde yazılır: (Sonsuz çözüm vardır) x = r x = + 5r x = + r x 4 = 9 r x 5 = r (herhangi bir sayı) Örnek C.D =. 6. olsun. CX = D nin çözümü yoktur. Çünkü, son satırdan: x + x + x + x 4 = çelişkisi vardır. Örnek.64 C.D = olsun. Çözüm: x = 5, x = 6, x = 7, x 4 = 8. Örnek.65 C.D = 5...

27 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Buradan x 4 = x 5, x = x x + 5 x 5 elde edilir. x, x, x 5 herhangi reel sayılardır. O halde genel çözüm: (r, s, t : reel sayılar) x = r s + 5 t x = r x = s x 4 = t x 5 = t Örnek.66 Aşağıdaki lineer sistemi hem Gauss hem de Gauss Jordan yöntemi ile çözelim. x + x + x = 6. 6 x x + x = 4 Ek matris: A.B =. 4 x + x x =. Ek matrisi satır eşelon forma getirelim: S ( )S +S S S S ( )S +S 7 4. Sonra: S S S (7)S +S S S Buradan; x =, x = 4 x =, x = 6 x x = bulunur. Gauss Jordan metodu için matrisi indirgenmiş satır eşelon forma getirelim: S ( )S +S. 4. Buradan x =, x =, x = bulunur. S S +S S ( )S +S... Homojen Sistemler m denklem ve n bilinmeyenden oluşan AX = homojen sistemini düşünelim.

28 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Örnek.67 Ek matrisi aşağıda verilen homojen sistemi düşünelim Bu matris indirgenmiş satır eşelon formda olduğu için, bütün çözümler: x = r x = s x = r (r ve s herhangi iki sayı) x 4 = 4r x 5 = r Genel olarak m < n ise ve A indirgenmiş satır eşelon formda ise sonsuz çözüm vardır. (AX = ın sonsuz çözümü vardır.) Aşağıdaki teoreme göre A matrisi genel bir matris olabilir. Teorem.68 m denklemli, n bilinmeyenli bir homojen sistemde eğer m < n ise bu sistemin her zaman bir trivial olmayan çözümü vardır. İspat: (Atlıyoruz.) Sonuç.69 A m n matris ve AX = ın sadece trivial çözümü varsa m n dir. x + x + x + x 4 =. Örnek.7 x + x 4 = ek matrisi:. x + x + x =. Bu matrisin satır eşdeğeri:... olup çözümler: x = r, x = r x = r, x 4 = r (reel sayı) Örnek.7 Eğer n n A matrisi indirgenmiş satır eşelon formda ise ve A I n ise A nın tamamı sıfır olan bir satırı vardır. 4

29 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Çözüm: Aşikar. n = alalım. satır eşelon formda. = I n tamamı sıfır olmayan satırı yok ve indirgenmiş olabilir ama tamamı sıfır olan satırı var. Örnek.7 Aşağıdaki lineer denklem sisteminde a nın hangi değerleri için (a) Hiç çözüm yoktur. (b) Tek çözüm vardır. (c) Sonsuz sayıda çözüm vardır. x + x x = x + x + x = x + x + (a 5)x = a Çözüm: Gauss indirgeme metodunu kullanalım:.. S ( )S +S A.B =. S ( )S +S. a 5. a a 4. a. Şimdi a = ise. elde edilir ki sonsuz çözüm vardır. a = ise elde edilir ki çözüm yoktur. a ise tek çözüm vardır. Ödev: Bir önceki soruyu aşağıdaki sistemler için çözünüz. x + x + x = (a) x + x + x = 5 x + x + (a )x = a + x + x + x = (c) x + x + x = x + x + (a 5)x = a (b) { x + x = x + (a 8)x = a } 5

30 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler.6 Elementer Matrisler ve A in Bulunması Tanım.7 I n matrisine I.tip, II.tip ve III.tip bir elementer satır veya sütun işleminin sadece bir defa uygulanması ile edilen bir n n A matrisine, sırasıyla I.tipte, II.tipte, III.tipte elementer matris denir. Örneğin; E = I.tipte elementer matris. Çünkü I S S E E = E = E 4 = II.tipte elementer matris. Çünkü I S ( )S E III.tipte elementer matris. Çünkü I III.tipte elementer matris. Çünkü I S ()S +S E K ()K +K E Teorem.74 A m n bir matris olsun A üzerinde I.tip, II.tip veya III.tip bir elementer satır (sütun) işlemi yapılarak B matrisi elde edilmiş olsun. E matrisi de I m ye (I n ye) aynı elementer satır (sütun) işlemi uygulayarak elde edilen matris olsun. O zaman B = EA dır. (B = AE dir). 5 S Örnek.75 A = 4 ( )S +S B = 4 Aynı elementer satır işlemini birim matrise uygulayalım: S I = ( )S +S = E diyelim. olduğu görülür. EA = 4 6 = 5 4 = B

31 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Teorem.76 A ve B m n matrisler olsun. A nın B ye satır(sütun) eşdeğer olması için gerek ve yeter şart E, E, E k elementer matrisler olmak üzere B = E k E k E E A şeklinde olmasıdır (B = AE E E k şeklinde olmasıdır.) İspat: A ya bir tane elementer satır işlemi uygulamak demek A yı soldan bir E elementer matrisi ile çarpmak demektir. Benzer şekilde iki tane uygulamak demek A yı soldan E E ile çarpmak demektir. Bu şekilde devam edilirse ispat açıktır. (Benzer bir ispat sütun eşdeğerlik ) için yazılabilir. Teorem.77 Elementer matris olan bir E matrisi singüler değildir ve tersi de aynı tipte bir elementer matristir. Lemma.78 A n n bir matris olsun. AX = homojen sisteminin tek çözümü X = olsun (trivial çözüm). O zaman A matrisi I n nin satır eşdeğeridir. Teorem.79 A singüler değildir A elementer matrislerin bir çarpımıdır. İspat: ( =) A = E E E k olsun. E i ler singüler olmayıp bunların çarpımı da singüler değildir. Yani A singüler değil. İspat: (= ) A singüler olmasın. AX = = A (AX) = A = = I n X = = X = olup AX = homojen sisteminin sadece trivial çözüm vardır. Lemma.78 den dolayı A, I n nin satır eşdeğeridir. Bu demektir ki; öyle E, E,, E k elementer matrisleri vardır ki I n = E k E A dır. Şimdi I n = E k E A = A = (E k E ) = E E E k Şimdi E i ler de elementer matris olup (Teorem.77) ispat biter. Sonuç.8 A singüler değildir = A, I n in satır eşdeğeridir. Buradan şu teorem söylenebilir: Teorem.8 n denklemli n bilinmeyenli AX = homojen sisteminin trivial olmayan bir çözümünün olması için gerek ve yeter şart A nın singüler olmasıdır. Örnek.8 { x + x = x + 4x = 4 x x } = homojen sistemi verilsin., A = 4, Ek matris:. 4. 7

32 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Ek matris indirgenmiş satır eşelon forma getirilirse:. { x = r Çözümler:. x = r } (r : reel sayı) Not.8 A n n matris ise aşağıdakiler birbirine denktir:.) A singüler değildir..) AX = ın sadece trivial çözümü vardır..) A, I n in satır(sütun) eşdeğeridir. 4.) AX = B lineer sistemi her n B matrisi için tek çözüme sahiptir. 5.) A, elementer matrislerin bir çarpımıdır. A in Bulunması İçin Bir Yöntem Teorem (.79) un ispatının sonunda A singüler değil ise A = E E E k elde ettik. Buradan: A = E k E k E E olur. Bu eşitlik bize A in bulunması için bir algoritma (yöntem) sağlar. A üzerinde I n i elde edene kadar elementer satır işlemleri yaparız. Bu elementer matrislerin çarpımı; yani E k E ; bize A i verir. Bunun için A.I n parçalı matrisi yazılır ve sonra: (E k E k E )A.I n = E k E k E A.E k E k E E n = I n.a işlemlerinde sonra A.I n matrisi I n.a matrisine dönüşür. Şimdi bir örnek verelim: Örnek.84 A = matrisinin tersini bulalım: 5 5. A.I = S S /. / S ( 5)S +S /. / S ( )S +S /. /

33 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler /. / S S 4 /. /. 5/4 /4 /. / S S +S. 5/8 / /8. 5/4 /4. /8 / /8 S S +S. 5/8 / /8. 5/4 /4 /8 / /8 Buradan A = 5/8 / /8 bulunur. Yani AA = A A = I olmalıdır. (Kontrol 5/4 /4 ediniz.) Bu yöntemde A singüler ise bu durum nasıl anlaşılır? Teorem.85 n n A matrisi singüler A matrisi bir satırı tamamen sıfır olan bir B matrisine satır eşdeğerdir. Örnek.86 Aynı yöntemle A = 5. A.I =. 5. matrisinin tersini bulmaya çalışalım. S S +S S ( 5)S +S. S S 4. /4 /4. 5. / / S S +S S S +S. /4 /

34 Bölüm. Lineer Denklemler ve Matrisler Burada işlemi durduralım. Çünkü A matrisi tersi yoktur. matrisine satır eşdeğerdir. Yani A nın Not.87 Bölüm.4 de A nın tersini, AB = BA = I n olacak şekildeki B matrisi olarak tanımladık. Şimdi, bu eşitliklerden sadece AB = I n in yeterli olduğunu ispatlayalım. Teorem.88 A ve B n n matrisler ve AB = I n olsun. O zaman BA = I n dir. Yani B = A dir. İspat: Önce AB = I n = A nın singüler olmadığını göstereceğiz. Farzedelim ki A singüler olsun. O zaman A, bir satırı tamamen sıfır olan bir C matrisine satır eşdeğerdir. Yani C = E k E k E A şeklindedir (E i ler elementer matris). O halde CB = E k E k E AB = AB, CB ye satır eşdeğer = CB nin bir satır tamamen sıfır olupab singülerdir Şimdi AB = I n olduğundan I n in singüler olduğu çelişkisi bulunur. Yani A singüler değildir. O zaman A mevcuttur. AB = I n eşitliğinden (A )AB = A I n = B = A elde edilir..7 Eşdeğer Matrisler Daha önce bir A matrisinin bir B matrisine satır eşdeğer ve sütun eşdeğer olmasının tanımını verdik. Bu tanımın bir genellemesini şöyle verebiliriz: Tanım.89 A ve B m n matris olsun. Eğer B yi A ya sonlu sayıda elementer satır ve/veya sütun işlemi uygulayarak elde edebilirsek A matrisine B nin eşdeğer matrisi denir ( veya A, B ye eşdeğerdir denir.) Teorem.9 n n A matrisi singüler değil A, I n e eşdeğerdir.

35 Reel Vektör Uzayları Düzlemde Vektörler (Genel Tekrar) Pek çok uygulamalarda kütle, basınç ve uzunluk gibi ölçülebilir büyüklüklerle karşılaşırız. Bunlar sadece bir tek sayı (yani büyüklük) ile ifade edilebilirler. Bu tür büyüklüklere skaler denir. Bir de hız, güç ve ivme gibi büyüklükler vardır ki bunlar ayrıca bir yöne sahiptirler. Bunlar vektörler ile ifade edilebilir. Bu yüzden bu büyüklüklere vektör denir. Burada skalerleri küçük harfler ile; vektörleri de α, β, γ,... gibi Yunanca harfler ile göstereceğiz. Dik Koordinat (Kartezyen Koordinat) Sistemi Birbirine dik ve bir O noktasında kesişen iki doğru çizelim. Bu O noktasına orjin denir. Yatay olan doğruya x ekseni ve düşey olan doğruya y ekseni denir. x ekseninde ve O noktasının sağında bir nokta seçelim. Bu noktanın orjine uzunluğuna bir "birim" diyelim. Benzer şekilde y ekseninde ve O noktasının yukarısında bir nokta seçelim öyle ki bu noktanın orjine uzaklığı bir birim olsun. Böylece x eksenini sağa doğru ve y ekseni de yukarı doğru pozitif yönlendirelim. Bu eksenlere koordinat eksenleri denir. Bu eksenler bir dik koordinat sistemi veya kartezyen koordinat sistemi o- luştururlar. (Şekil.) Düzlemdeki her bir P noktasına bir (x, y) reel sayı ikilisi karşılık getiririz. Bu sıralı ikiliye P noktasının koordinatları denir. Bu noktayı P (x, y) sembolü ile de gösterebiliriz. Tersine, her bir (x, y) reel sayı ikilisine düzlemde bir nokta karşılık getirebiliriz. Bu yapılan eşleme ve örtendir: Düzlemde bir P noktası eşleme (x, y) ikilisi (x, y R)

36 Bölüm. Reel Vektör Uzayları y ekseni Pozitif yön O Pozitif yön x ekseni Şekil.: Dik koordinat (kartezyen koordinat) sistemi y ekseni P (x, y) O(, ) x ekseni Şekil.: Düzlemde yönlendirilmiş bir doğru parçası. Bu düzleme R veya boyutlu uzay denir. x Şimdi X = matrisini düşünelim. (x, y R). X matrisine, başlangıç noktası orjinde, bitiş y (uç) noktası P (x, y) de olan yönlü doğru parçasını karşılık getirelim. Bu yönlendirilmiş doğru parçasını da OP ile gösterelim. Başlangıç noktası ve bitiş noktasını ayırt etmek için OP nin üzerindeki okun yönünü bitiş noktasına doğru yazalım. (Bkz. Şekil.) Bu yönlü doğru parçasının uzunluğuna OP nin normu denir. Böylece yönlü doğru parçaları hız, ivme, kuvvet gibi şeyleri açıklamak için kullanılabilir. Tersine başlangıç ve bitiş noktaları O(, ) ve P (x, y) olan OP yönlü doğru parçasını x y matrisi

37 Bölüm. Reel Vektör Uzayları ile temsil edelim. x Düzlemde bir vektör bir α = matrisine denir. (x, y R) x ve y ye α nın bileşenleri denir. y Bundan sonra kısaca vektör diyeceğiz. α = x y ve α = x y olsun. α = α x = x ve y = y olur. Her matrise bir P (x, y) noktası; her noktaya da bir yönlendirilmiş doğru parçası karşılık gelir: α = x y eşleme eşleme P (x, y) OP, (O(, ), P (x, y)) İki vektörün toplamı: x x x + x α = y ve β = y ise α + β = y + y şeklinde tanımlanır. İki vektörün toplamı Şekil. de gösterilmiştir. y (x, y ) γ (x + x, y + y ) α+β O α β (x, y ) x Şekil.: İki vektörün toplamı. Şekil. de: γ: başlangıç noktası (x, y ), β yönünde ve β nın normuna sahiptir. O zaman α+β nın başlangıç noktası (, ) uç noktası (x +x, y +y ) dir. Veya α ve β üzerine kurulan paralelkenarın köşegeni α + β dır. x cx α = ve c bir skaler (reel sayı) ise cα =, α nın skalerle çarpımıdır. y cy c > ise cα, α ile aynı yönde d < ise dα, α ile ters yöndedir (Şekil.4). Ayrıca α + ( )β = α β vektörüne α ile β nın farkı denir (Şekil.5).

38 Bölüm. Reel Vektör Uzayları y α cα x dα Şekil.4: Bir vektörün skalerle çarpımı. β O α β α β Şekil.5: İki vektörün farkı.. Vektör Uzayları ve Altuzaylar Tanım. Üzerinde ve işlemleri tanımlı olan bir V kümesi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa V ye bir gerçel (reel) vektör uzayı denir. (a) α, β V iken α β V dir. (Yani V, işlemine göre kapalıdır.) () α, β V için α β = β α () α, β, γ V için α (β γ) = (α β) γ () α V için α θ = θ α = α şartını sağlayan bir tek θ V vardır. (4) α V için α β = β α = θ şartını sağlayan bir tek β V vardır. Bu elemana α nın negatifi denir ve α ile gösterilir. (b) Her α V ve c R için c α V dir. (5) c (α β) = (c α) (c β) ( α, β V ve c R için) (6) (c + d) α = (c α) (d α) ( α V ve c, d R için) (7) c (d α) = (cd) α ( α V ve c, d R için) 4

39 Bölüm. Reel Vektör Uzayları (8) α = α ( α V için) Burada V nin elemanlarına vektörler; R nin elemanlarına skalerler denir. işlemine vektör toplaması; işlemine skaler çarpması denir. θ vektörüne de sıfır vektörü denir ve genelde, hangi uzayın sıfır vektörü olduğunu belirtmek için, θ V ile gösterilir. Gerçel vektör uzayına kısaca "vektör uzayı" diyeceğiz. Örnek. a a. a n şeklindeki n gerçel değerli matrislerin kümesine R n diyelim. ile matris toplamasını, ile de skaler çarpımı gösterelim. Bölüm. de gösterildiği gibi, R n bir vektör uzayıdır. a. a n matrisine bir "vektör" denilebilir. Örnek. m n tipindeki matrislerin kümesi m R n bir vektör uzayıdır. ( ile matris toplamasını ve ile de matrisin reel sayı ile çarpımını gösterelim.) Örnek.4 Reel sayılar kümesi R, bilinen toplama ve çarpma işlemi ile bir vektör uzayıdır: x y = x + y, c x = cx Örnek.5 R n ile a, a,..., a n, n tipindeki matrislerin kümesini gösterelim. ile matris toplamını ve ile de matris skalerle çarpımını gösterelim. R n kümesi bu işlemlerle bir vektör uzayıdır. Örnek.6 a, a,, a n R olmak üzere, p(t) = a n t n +a n t n + +a t+a fonksiyonuna (t cinsinden) bir polinom denir. a n ise p(t) nin derecesi n dir denir. Mesela p(t) = t + in derecesi ; p(t) = ün derecesi dır. p(t) = fonksiyonuna sıfır polinomu denir. P n = { derecesi n olan polinomlar } olsun. p(t) = a n t n + a n t n + + a t + a, q(t) = b n t n + b n t n + + b t + b polinomları ve c R için toplama ve skaler çarpma şöyle tanımlansın: Toplama: p(t) q(t) = (a n + b n )t n + + (a + b )t + (a + b ) Skalerle çarpma: c p(t) = (ca n )t n + + (ca )t + ca Şimdi P n in bir vektör uzayı olduğunu gösterelim: (a) p(t) q(t) derecesi n olan bir polinomdur. 5

40 Bölüm. Reel Vektör Uzayları () Her i için a i + b i = b i + a i olduğundan p(t) q(t) = q(t) p(t) dir () Benzer şekilde; r(t) = c n t n +c n t n + +c alınırsa, her i için (a i +b i )+c i = a i +(b i +c i ) olduğundan (p(t) q(t)) r(t) = p(t) (q(t) r(t)) dir. () θ elemanı sıfır polinomdur. (4) p(t) nin negatifi a n t n a n t n a t a polinomudur. (b) c p(t) derecesi n olan bir polinomdur. (5) c (p(t) q(t)) = c p(t) c q(t), çünkü c(a i + b i ) = ca i + cb i (6) (c + d) (p(t)) = c p(t) d p(t), çünkü (c + d)a i = ca i + da i (7) c (d p(t)) = (cd) p(t), çünkü c(da i ) = (cd)a i (8) p(t) = p(t), çünkü a i = a i. Benzer şekilde P ile bütün polinomların (derecesi ne olursa olsun) kümesini gösterirsek; P bilinen polinom toplaması ve skaler çarpımı ile bir vektör uzayıdır. Örnek.7 V ile R de tanımlı ve reel değerli sürekli fonksiyonların kümesini gösterelim. f, g V ve c R olmak üzere f g ve c f fonksiyonlarını şöyle tanımlayalım: (f g)(x) = f(x) + g(x), (c f)(x) = c f(x) Bu durumda V bir vektör uzayıdır. (Kontrol edin). Bu uzay C(, ) ile gösterilir. Örnek.8 V = R olsun. α β = α β ve c α = cα olsun. V bir vektör uzayı mıdır? Çözüm: (a) ve (b) sağlanır: α β ve c α, V nin elemanlarıdır. α β = α β ve β α = β α olup genelde α β β α dır. () sağlanmadığı için V bir vektör uzayı değildir. (Ayrıca (),(),(4) ve (6) sağlanmaz.) Örnek.9 V kümesi (x, y, z) sıralı üçlülerinden oluşan küme olsun. (x, y, z R). (x, y, z) (x, y, z ) = (x, y + y, z + z ) ve c (x, y, z) = (cx, cy, cz) olarak tanımlansın. (), (), (4), (6) sağlanmadığı için V bir vektör uzayı değildir. Örnek. V = Z olsun. ve bilinen toplama ve çarpma olsun. V vektör uzayı değildir. Çünkü c = R alınırsa, genelde, α V için cα / V dir. Teorem. V bir vektör uzayı olsun. 6

41 Bölüm. Reel Vektör Uzayları (a) Her α V için α = θ (b) Her c R için c θ = θ (c) c α = θ ise o zaman ya c = dır ya da α = θ dır. (d) Her α V için ( ) α = α İspat (a) α = ( + ) α = ( α) ( α) olup her iki tarafa ( α) eklersek (), () ve (4) den α = θ elde ederiz. İspat (b) Ödev. İspat (c) Ödev. İspat (d) ( ) α α = ( ) α α = ( +) α = α = θ olur ve ( ) α = α elde edilir. Altuzaylar Tanım. V bir vektör uzayı ve W V olsun. Eğer W, V deki işlemlerle birlikte bir vektör uzayı oluyorsa W ya V nin bir alt uzayı denir. Örnek. Her vektör uzayının en az iki alt uzayı vardır: kendisi ve {θ} (yani toplamanın birim elemanı). Bu uzaylara trivial (aşikâr) alt uzaylar denir. Örnek.4 P = { derecesi olan polinomlar } olsun. P P dir. Ayrıca P, P nin alt uzayıdır. Genelde P n = { derecesi n olan polinomlar } kümesi P nin alt uzayıdır. Örnek.5 V = { derecesi olan polinomlar } olsun. V P dir. Fakat V, P nin alt uzayı değildir. Çünkü t + t + V ve t + t + V polinomlarının toplamı 4t + / V dir. Teorem.6 V, ve işlemleri ile bir vektör uzayı ve W V olsun. W nun V nin alt uzayı olması için gerek ve yeter şart aşağıdakilerin sağlanmasıdır: (Her α, β W ; c R için) (a) α, β W = α β W (b) c R ve α W = c α W İspat: (= ) W V bir alt vektör uzayı olsun. W bir vektör uzayı olduğu için α, β W ise α β W ve c α W olduğu açıktır. 7

42 Bölüm. Reel Vektör Uzayları İspat: ( =) (a) ve (b) sağlansın. (b) den dolayı ( ) α W dır (her α W için). (a) dan dolayı α ( ) α W dir; fakat α ( ) α = α ( α) = θ olduğundan θ W olur. O zaman α θ = α dır. Her α V için ( ) α = α V olur ( (b)den dolayı). W V olduğundan,, 5, 6, 7 ve 8 özellikleri sağlanır. O halde W, V nin bir alt uzayıdır. Örnek.7 W = a b : a, b R R olsun. a + b W, R ün alt uzayı mıdır? a α = b ve β = b olsun. α β = a + b a + b çünkü (a + b ) + (a + b ) = (a + a ) + (b + b ). ca c R ise c α = cb c(a + b ) W, R ün alt uzayıdır. a a + a b + b (a + b ) + (a + b ) W dur; W dur; çünkü ca + cb = c(a + b ). Teorem (.6) dan Not.8 Bundan sonra c R ve α, β bir V vektör uzayının elemanı ise α β yerine α + β ve c α yerine cα yazacağız. Örnek.9 V bir vektör uzayı ve α ve α, V nin iki sabit elemanı olsun. W = {a α + a α : a, a R} kümesi V nin bir altuzayıdır. Çünkü, Teorem (.6) dan, β = a α + a β, β = b α + b α ise: β + β = (a + b )α + (a + b )α W ve cβ = (ca )α + (ca )α W dir. (c R). Çünkü a + b, a + b, ca, ca R Not: Bu son örneği genelleştirebiliriz; yani yerine daha fazla vektör alabiliriz: Tanım. V bir vektör uzayı ve S = {α, α,..., α k } V ise Span(S) = {a α + + a k α k : a i R} kümesi V nin bir alt uzayıdır. Bu uzaya S nin gerdiği (doğurduğu, ürettiği) uzay denir. { } a b Örnek. W = : a, b, c, d R kümesi R ün alt uzayıdır. (Gösterin) c d 8

43 Bölüm. Reel Vektör Uzayları Örnek. A, m n matris olsun. AX = homojen sistemini düşünelim. Bütün çözümler X = şeklindedir; yani R n de bir vektördür. O halde bütün çözümlerin kümesi R n in bir alt kümesidir. X ve X iki çözüm olsun. A(X + X ) = AX + AX = + = olup X + X bir çözümdür. A(cX ) = c(ax ) = c = olup cx bir çözümdür Yani, Teorem (.6) dan, çözümler kümesi bir alt uzaydır. Bu uzaya homojen sistemin çözüm uzayı denir. x x. x n Ödev: AX = B, B, sisteminin çözümleri R n in bir alt uzayı değildir. Gösteriniz. ÖDEVLER () Aşağıdaki V kümelerinin verilen ve işlemleri ile birer vektör uzayı olup olmadıklarını bulunuz. Değil ise özelliklerden hangilerini sağlamadığını söyleyiniz. (a) V = R +, ve bilinen + ve işlemleri (b) V = {(x, y) : x, y R}, (x, y) (x, y ) = (x + x, y + y ), r (x, y) = (x, ry) (c) V = {(x, y, z) : x, y, z R}, (x, y, z) (x, y, z ) = (x+x, y+y, z+z ); r (x, y, z) = (x,, z) { } x (d) V = : x, y R, x bilinen matris toplaması ve skaler çarpımı y (e) V = {(x, y) : x, y R}, (x, y) (x, y ) = (x + x, y + y ); r (x, y) = (, ) (f) V = R +, α β = αβ, c α = α c (g) V = R +, α β = αβ, c α = α (h) V = R, α β = αβ, c α = c + α (i) V = R, α β = α β, c α = cα 9

44 Bölüm. Reel Vektör Uzayları () Aşağıdaki tipteki matrislerden oluşan kümelerin hangisi R ün alt uzayıdır? a b c a b c a b c (a), b = a + c (b), c > (c), a = c, f = e + d d d d e f () Aşağıdaki tipteki matrislerden oluşan kümelerin hangisi R ün alt uzayıdır? a a a a a (a) b (b) b (c) b (d) b, a > (e) (f) a + b c (4) Aşağıdaki kümelerin hangisi R nin alt uzayıdır? (a) Simetrik matrisler (b) Singüler matrisler (c) Singüler olmayan matrisler a a c (5) Aşağıdaki fonksiyonlardan oluşan kümelerin hangisi reel-değerli sürekli fonksiyonların (Bkz. Örnek (.7) ) bir alt uzayıdır? (a) Negatif olmayan fonksiyonlar (b) Sabit fonksiyonlar (c) f() = şartını sağlayanlar (d) f() = 5 şartını sağlayanlar (e) Türevlenebilir fonksiyonlar.. Lineer Bağımsızlık Eleman sayısı sonlu olan tek vektör uzayı {θ} uzayıdır. Çünkü V bir vektör uzayı θ α V ise her c R için cα V olacağından V sonsuz elemanlı olur. Tanım. V bir vektör uzayı ve S = {α, α,..., α k } V olsun. Eğer bir α V vektörü a, a,..., a k R olmak üzere α = a α + a α + + a k α k şeklinde yazılabiliyorsa α ya S deki vektörlerin bir lineer kombinasyonu (doğrusal birleşimi) denir. 4

45 Bölüm. Reel Vektör Uzayları Örnek.4 R de α = 5 vektörü α = vektörlerinin bir lineer kombinasyonudur. Gösterelim. α = a α + a α + a α = a, α = + a ve α = + a = a + a + a = Buradan a + a = denklem sistemi çözülürse a =, a =, a = bulunur. a + a = 5 Yani α = α + α α olur. Örnek.5 R de α =, α =, α = ve α 4 = olsun. α = 4 vektörünün Span{α, α, α, α 4 } kümesinde olup olmadığını inceleyiniz. Çözüm: α = a α + a α + a α + a 4 α 4 olacak şekilde a, a, a, a 4 sayıları bulunursa α Span{α, α, α, α 4 } olur. a +a +a +a 4 = 4 = 5 a + a + a + a 4 = a + a = a + a a 4 = 4 Ek matrisi satır eşelon forma getirirsek:. 4. 4, buradan a = a 4, a = 4 a 4, a = a 4, a 4 = bir reel sayı.. Yani α Span{α, α, α, α 4 } olur. (Sonsuz miktarda a, a, a, a 4 bulunur.) Tanım.6 V bir vektör uzayı S = {α, α,..., α k } V olsun. Eğer V deki her vektör S deki vektörlerin bir lineer kombinasyonu ise S, V yi doğurur (gerer, üretir) veya V, S tarafından doğurulur (gerilir, üretilir) denir. Örnek.7 V = R olsun. α = kümesi V yi gerer mi?, α =, α = olsun. S = {α, α, α } 4

46 Bölüm. Reel Vektör Uzayları a Çözüm: α = b V olsun. (a, b, c herhangi reel sayı) α = a α + a α + a α denkleminin çözümüne bakalım. (yani her a, b, c için a, a, a bulunabileceğini göstermeye c çalışalım.) a + a + a = a a + a = b a + a = c çözülürse a = a+b+c ; a = a b+c ; a = 4a b c bulunur. Görüldüğü gibi, her a, b, c için a, a, a vardır. O halde Span{α, α, α } = V dir. Örnek.8 V = P olsun. α = t + t + ve α = t + ise Span{α, α } = V midir? Çözüm: a, b, c reel sayılar olmak üzere α = at + bt + c V alalım. α = a α + a α olacak şekilde a, a sabitleri bulmalıyız. at + bt + c = a (t + t + ) + a (t + ) = (a + a )t + (a )t + (a + a ) a + a = a eşitliğinden a = b sistemi elde edilir. Ek matrisi yazıp indirgenmiş forma getirirsek: a + a = c. a c. c a. b 4a + c bulunur. Eğer b 4a + c ise çözüm yoktur (bu eşitsizliği sağlayan a, b, c vardır.) Yani {α, α }, V yi doğurmaz. Tanım.9 V bir vektör uzayı S = {α, α,..., α k } V olsun. Eğer a α + a α + + a k α k = θ V olacak şekilde, hepsi birden sıfır olmayan a, a,..., a k sabitleri varsa S kümesine lineer bağımlıdır denir. Aksi halde (yani a i lerin hepsinin olması zorunlu ise) S ye lineer bağımsızdır denir. Örnek. V = R 4 olsun. α =, α = ve α = ve S = {α, α, α } olsun. a α + a α + a α = θ diyelim. a, a ve a ü bulalım a + a = a + a = çözülürse a = a = a = bulunur. Yani S lineer bağımsızdır. a + a + a = a + a + a = 4

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ

VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ 1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.

Detaylı

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar

8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.Konu Vektör uzayları, Alt Uzaylar 8.1. Düzlemde vektörler Düzlemdeki her noktası ile reel sayılardan oluşan ikilisini eşleştirebiliriz. Buna P noktanın koordinatları denir. y-ekseni P x y O dan P ye

Detaylı

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1

GEO182 Lineer Cebir. Matrisler. Matrisler. Dersi Veren: Dr. İlke Deniz Derse Devam: %70. Vize Sayısı: 1 GEO182 Lineer Cebir Dersi Veren: Dr. İlke Deniz 2018 GEO182 Lineer Cebir Derse Devam: %70 Vize Sayısı: 1 Başarı Notu: Yıl içi Başarı Notu %40 + Final Sınavı Notu %60 GEO182 Lineer Cebir GEO182 Lineer Cebir

Detaylı

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler

Lineer Cebir. Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB. İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Lineer Cebir Doç. Dr. Niyazi ŞAHİN TOBB İçerik: 1.1. Lineer Denklemlerin Tanımı 1.2. Lineer Denklem Sistemleri 1.3. Matrisler Bölüm 1 - Lineer Eşitlikler 1.1. Lineer Eşitliklerin Tanımı x 1, x 2,..., x

Detaylı

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER

ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir.

Şayet bir lineer sistemin en az bir çözümü varsa tutarlı denir. GAZI UNIVERSITY ENGINEERING FACULTY INDUSTRIAL ENGINEERING DEPARTMENT ENM 205 LINEAR ALGEBRA COURSE ENGLISH-TURKISH GLOSSARY Linear equation: a 1, a 2, a 3,.,a n ; b sabitler ve x 1, x 2,...x n ler değişkenler

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu

KUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.

Detaylı

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri

ÖABT Lineer Cebir KONU TESTİ Matris Cebiri ÖB Lineer Cebir KONU ESİ Matris Cebiri. i, j,, i için j i j a j i j a. j i j a. i için j i j a 4 6 j i j a 4 j i j a. 6. 0 0 0 4 0 0 0. 4 6 n 0 0 n 6 Cevap: D Cevap:. I. I I I 0 I 0 0 0..I I I 00 0 0 0

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar

Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Lineer Denklem Sistemleri Kısa Bilgiler ve Alıştırmalar Bir Matrisin Rankı A m n matrisinin determinantı sıfırdan farklı olan alt kare matrislerinin boyutlarının en büyüğüne A matrisinin rankı denir. rank(a)

Detaylı

3. BÖLÜM MATRİSLER 1

3. BÖLÜM MATRİSLER 1 3. BÖLÜM MATRİSLER 1 2 11 21 1 m1 a a a v 12 22 2 m2 a a a v 1 2 n n n mn a a a v gibi n tane vektörün oluşturduğu, şeklindeki sıralanışına matris denir. 1 2 n A v v v Matris A a a a a a a a a a 11 12

Detaylı

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.

1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır. 1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak

Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak 10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.

Detaylı

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.

Bir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür. ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı

Detaylı

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler

Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 4.Konu Elementer matrisler, ters matrisi bulmak, denk matrisler 1. Elementer matrisler 2. Ters matrisi bulmak 3. Denk matrisler 1.Elementer matrisler 1.Tanım: tipinde Tip I., Tip II. veya Tip III. te olan

Detaylı

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b

Temel Kavramlar. (r) Sıfırdan farklı kompleks sayılar kümesi: C. (i) Rasyonel sayılar kümesi: Q = { a b Bölüm 1 Temel Kavramlar Bu bölümde bağıntı ve fonksiyon gibi bazı temel kavramlar üzerinde durulacak, tamsayıların bazı özellikleri ele alınacaktır. Bu çalışma boyunca kullanılacak bazı kümelerin gösterimleri

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

Matrisler ve matris işlemleri

Matrisler ve matris işlemleri 2.Konu Matrisler ve matris işlemleri Kaynaklar: 1.Uygulamalı lineer cebir. 7.baskıdan çeviri.bernhard Kollman, David R.Hill/çev.Ed. Ömer Akın, Palma Yayıncılık, 2002 2.Lineer Cebir. Feyzi Başar.Surat Universite

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Lineer. Cebir. Ünite 6. 7. 8. 9. 10 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Lineer Cebir Ünite 6. 7. 8. 9. 10 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1074 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI

Detaylı

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri

Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa

olsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)

Detaylı

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN

LİNEER CEBİR. Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU. Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN LİNEER CEBİR Ders Sorumlusu: Doç.Dr.Kemal HACIEFENDİOĞLU Ders Notu: Prof. Dr. Şaban EREN 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER LİNEER EŞİTLİKLER 1.1. LİNEER EŞİTLİKLERİN TANIMI x 1, x 2,...,

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L

T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E Ş, O R H A N Ö Z E R K A L K U L Ü S N O B E L 1 Denklemler 1.1 Doğru deklemleri İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.

Detaylı

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere,

Denklemler İkinci Dereceden Denklemler. İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler. a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, Bölüm 33 Denklemler 33.1 İkinci Dereceden Denklemler İkinci dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler a,b,c IR ve a 0 olmak üzere, ax 2 + bx + c = 0 biçimindeki her açık önermeye ikinci dereceden bir bilinmeyenli

Detaylı

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI.

8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ. Okt. Yasin ORTAKCI. 8. HAFTA BLM323 SAYISAL ANALİZ Okt. Yasin ORTAKCI yasinortakci@karabuk.edu.tr Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi 2 MATRİSLER Matris veya dizey, dikdörtgen bir sayılar tablosu

Detaylı

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.

1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır. 1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)

Detaylı

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur.

ab H bulunur. Şu halde önceki önermenin i) koşulu da sağlanır ve H G bulunur. 3.ALT GRUPLAR HG, Tanım 3.. (G, ) bir grup ve nin boş olmayan bir alt kümesi olsun. Eğer (H, ) bir grup ise H ye G nin bir alt grubu denir ve H G ile gösterilir. Not 3.. a)(h, ), (G, ) grubunun alt grubu

Detaylı

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.

Bu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz. Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/

1 Vektör Uzayları 2. Lineer Cebir. David Pierce. Matematik Bölümü, MSGSÜ mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Vektör Uzayları Lineer Cebir David Pierce 5 Mayıs 2017 Matematik Bölümü, MSGSÜ dpierce@msgsu.edu.tr mat.msgsu.edu.tr/~dpierce/ Bu notlarda, alıştırma olarak her teorem, sonuç, ve örnek kanıtlanabilir;

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 6 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4: Toplam Süre: 6 Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Ara Sınavı 9 Kasım 27 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 3: Bitiş Saati: 4:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2)

x 0 = A(t)x + B(t) (2.1.2) ÖLÜM 2 LİNEER SİSTEMLER Genel durumda diferansiyel denklemlerin çözümlerini açık olarak elde etmek veya çözümlerin bazı önemli özelliklerini araştırmak için genel yöntemler yoktur, çoğu zaman denkleme

Detaylı

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR

PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ KAZANIM NO KAZANIMLAR 2013-2014 PERGEL YAYINLARI LYS 1 DENEME-6 KONU ANALİZİ SORU NO LYS 1 MATEMATİK TESTİ A B KAZANIM NO KAZANIMLAR 1 1 / 31 12 32173 Üslü İfadeler 2 13 42016 Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklar ve

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı

Ders 9: Bézout teoremi

Ders 9: Bézout teoremi Ders 9: Bézout teoremi Konikler doğrularla en fazla iki noktada kesişir. Şimdi iki koniğin kaç noktada kesiştiğini saptayalım. Bunu, çok kolay gözlemlerle başlayıp temel ve ünlü Bézout teoremini kanıtlayarak

Detaylı

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur.

Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Bölüm 2 Determinantlar Tanım 2.1. Bir kare matrisin determinantı, o matrisi bir sayıya eşleyen fonksiyondur. Söz konusu fonksiyonun değerine o matrisin determinantı denilir. A bir kare matris ise, determinantı

Detaylı

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ

4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x a x a x b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n

Detaylı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı

9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut Germe. 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı 9.Konu Lineer bağımsızlık, taban, boyut 9.1. Germe 9.1.Tanım: V vektör uzayının her bir elemanı vektörlerin lineer birleşimi olarak ifade ediliyorsa vektörleri V yi geriyor ya da V yi gerer denir. Üstelik,

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı

XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı XII. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı A 1. Köşeleri, yarıçapı 1 olan çemberin üstünde yer alan düzgün bir n-genin çevre uzunluğunun alanına oranı 4 3 ise, n kaçtır? 3 a) 3 b) 4 c) 5 d)

Detaylı

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.

TUNCELİ ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ LİNEER CEBİR DERSİ 2012 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜTÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR. UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ LİNEER CEBİR DERSİ 0 GÜZ DÖNEMİ ÇIKMIŞ VİZE,FİNAL VE BÜÜNLEME SORULARI ÖĞR.GÖR.İNAN ÜNAL www.inanunal.com UNCELİ ÜNİVERSİESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ

Detaylı

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli

Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Matris Cebiriyle Çoklu Regresyon Modeli Hüseyin Taştan Mart 00 Klasik Regresyon Modeli k açıklayıcı değişkenden oluşan regresyon modelini her gözlem i için aşağıdaki gibi yazabiliriz: y i β + β x i + β

Detaylı

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C.

ii) S 2LW 2WH 2LW 2WH S 2WH 2LW S 3( x 1) 5( x 2) 5 3x 3 5x x Maliye Bölümü EKON 103 Matematik I / Mart 2018 Proje 2 CEVAPLAR C.1) C. C.1) x1 x 1 4 4( x1) x 6 4x 4 x 6 x 46 x Maliye Bölümü EKON 10 Matematik I / Mart 018 Proje CEVAPLAR C.) i) S LW WH LW WH S LW WH S W W W S L H W ii) S LW WH WH LW S WH LW S W W W S H L W C.) ( x1) 5(

Detaylı

DENKLEM DÜZENEKLERI 1

DENKLEM DÜZENEKLERI 1 DENKLEM DÜZENEKLERI 1 Dizey kuramının önemli bir kullanım alanı doğrusal denklem düzeneklerinin çözümüdür. 2.1. Doğrusal düzenekler Doğrusal denklem düzeneği (n denklem n bilinmeyen) a 11 x 1 + a 12 x

Detaylı

13. Karakteristik kökler ve özvektörler

13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13. Karakteristik kökler ve özvektörler 13.1 Karakteristik kökler 1.Tanım: A nxn tipinde matris olmak üzere parametrisinin n.dereceden bir polinomu olan şeklinde gösterilen polinomuna A matrisin karakteristik

Detaylı

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye

sayıların kümesi N 1 = { 2i-1: i N } ve tüm çift doğal sayıların kümesi N 2 = { 2i: i N } şeklinde gösterilebilecektir. Hiç elemanı olmayan kümeye KÜME AİLELERİ GİRİŞ Bu bölümde, bir çoğu daha önceden bilinen incelememiz için gerekli olan bilgileri vereceğiz. İlerde konular işlenirken karşımıza çıkacak kavram ve bilgileri bize yetecek kadarı ile

Detaylı

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1.

Ders: MAT261 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri matrisi bulunuz. olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X 1. Ders: MAT6 Konu: Matrisler, Denklem Sistemleri. A = matrisi bulunuz.. A = a b c d e f ve B = ÇALIŞMA SORULARI- olmak üzere X = AX + B olacak şekilde bir X matrisi satır basamak hale getirildiğinde en fazla

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 8 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

10. DİREKT ÇARPIMLAR

10. DİREKT ÇARPIMLAR 10. DİREKT ÇARPIMLAR Teorem 10.1. H 1,H 2,, H n bir G grubunun alt gruplarının bir ailesi ve H = H 1 H 2 H n olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir. a ) dönüşümü altında dır. b) ve olmak üzere her yi tek türlü

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir.

m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. şeklindeki matrislere ise sütun matrisi denir. şeklindeki A matrisi bir kare matristir. Matrisler Satır ve sütunlar halinde düzenlenmiş tabloya matris denir. m satırı, n ise sütunu gösterir. a!! a!" a!! a!" a!! a!! a!! a!! a!" m=n şeklindeki matrislere kare matris adı verilir. [2 3 1] şeklinde,

Detaylı

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır.

Buna göre, eşitliği yazılabilir. sayılara rasyonel sayılar denir ve Q ile gösterilir. , -, 2 2 = 1. sayıdır. 2, 3, 5 birer irrasyonel sayıdır. TEMEL KAVRAMLAR RAKAM Bir çokluk belirtmek için kullanılan sembollere rakam denir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri birer rakamdır. 2. TAMSAYILAR KÜMESİ Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,... }

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 8 Ocak 28 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: 4: Bitiş Saati: 5:5 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır.

ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI 1. Çözüm: w=k 1 u+k 2 v olmalıdır. ÖRNEKLER-VEKTÖR UZAYLARI. vektör uzayında yer alan w=(9 7) vektörünün, u=( -), v=(6 ) vektörlerinin doğrusal bir kombinasyonu olduğunu ve z=( - 8) vektörünün ise bu vektörlerin doğrusal bir kombinasyonu

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS LİNEER CEBİR FEB-221 2/2. YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir.

Dik koordinat sisteminde yatay eksen x ekseni (apsis ekseni), düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir. ANALĐTĐK GEOMETRĐ 1. Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir. Analitik düzlem, dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da

Detaylı

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu;

x 1,x 2,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; 4. BÖLÜM DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Doğrusal Denklem Sistemi x,x,,x n ler bilinmeyenler olmak üzere, doğrusal denklemlerin oluşturduğu; a x + a x + L + a x = b n n a x + a x + L + a x = b n n a x + a

Detaylı

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016

Önsöz. Mustafa Özdemir Antalya 2016 Önsöz Bu kitap üniversitelerimizin Mühendislik Fakültelerinde, Doğrusal Cebir veya Lineer Cebir adıyla okutulan lisans dersine yardımcı bir kaynak olması amacıyla hazırlanmıştır. Konular, teorik anlatımdan

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör

Detaylı

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER

HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin

Detaylı

15. Bağıntılara Devam:

15. Bağıntılara Devam: 15. Bağıntılara Devam: Yerel Bağıntılardan Örnekler: Doğal sayılar kümesi üzerinde bir küçüğüdür (< 1 ) bağıntısı: < 1 {(x, x+1) x N} {(0,1), (1, 2), } a< 1 b yazıldığında, a doğal sayılarda bir küçüktür

Detaylı

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =?

Örnek...1 : Örnek...5 : n bir pozitif tamsayı ise i 4 n + 2 +i 8 n + 1 2 +i 2 0 n + 6 =? KARMAŞIK SAYILAR Karmaşık saılar x 2 + 1 = 0 biçimindeki denklemlerin çözümünü apabilmek için tanım lanm ıştır. Örnek...2 : Toplamları 6 ve çarpımları 34 olan iki saı bulunuz. a ve b birer reel saı ve

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016

6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016 6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 2 Kuvvet Vektörleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R.C.Hibbeler, S.C.Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö.Soyuçok. 2 Kuvvet Vektörleri Bu bölümde,

Detaylı

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK

YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK YAZILI SINAV SORU ÖRNEKLERİ MATEMATİK SORU 1: Aşağıdaki grafik, bir okuldaki spor yarışmasına katılan öğrencilerin yaşa göre dağılışını göstermektedir. Öğrenci sayısı 5 3 9 10 1 14 Yaş 1.1: Yukarıdaki

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva

Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM Taşkın, Çetin, Abdullaeva FONKSİYONLAR.. FONKSİYON KAVRAMI Tanım : A ve B boş olmaan iki küme a A ve b B olmak üzere ( ab, ) sıralı eleman çiftine sıralı ikili denir. ( ab, ) sıralı ikilisinde a

Detaylı

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR

İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel

Detaylı

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT CEBİR ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER

Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr Ders Adı : Bilgisayar Mühendisliğinde Matematik Uygulamaları

Detaylı

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar

Atatürk Anadolu. Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar Atatürk Anadolu Lisesi M A T E M A T İ K Temel Kavramlar Üzerine Kısa Çalışmalar KONYA \ SELÇUKLU 01 MATEMATİK 1. TEMEL KAVRAMLAR 1.1. RAKAM Sayıların yazılmasında kullanılan sembollere rakam denir. Onluk

Detaylı

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010

Kuantum Grupları. Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Münevver Çelik. Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara Feza Gürsey Enstitüsü, İstanbul 10 Şubat, 2010 Kuantum grubu örgülü bir Hopf cebridir. Cebir Tanım Bir k-vektör uzayı A için, µ : A A A ve η : k A birer k-doğrusal

Detaylı

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR

Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 7: Lineer Dönüşümlerde Görüntü Uzayıve Çekirdek Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR Lineer

Detaylı

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak

için Örnek 7.1. simetri grubunu göz önüne alalım. Şu halde dür. Şimdi kalan sınıflarını göz önüne alalım. Eğer ve olarak alırsak işlemini kullanarak 7. Bölüm Grupları olmak üzere grubunu nasıl inşa ettiğimizi hatırlayalım. grubunun alt grubu grubu tüm olacak şekilde tüm sınıflardan oluşmuştur. Sınıfların toplamını ile, yani ile tanımlamıştık. Şimdi

Detaylı

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c

0.1 Küme Cebri. Teorem 1 A ve B iki küme olmak üzere i) (A B) c = A c B c ii) (A B) c = A c B c 0. Küme Cebri Bu bölümde verilen keyfikümeler üzerinde birleşim, kesişim, fark, tümleyen,...gibi özellikleri sağlayan eşitliklerle ilgilenceğiz. İlk olarak De Morgan kurallarıdiye bilinen bir Teoremi ifade

Detaylı

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer

. [ ] vektörünü S deki vektörlerin bir lineer 11.Gram-Schmidt metodu 11.1. Ortonormal baz 11.1.Teorem: { }, V Öklid uzayı için bir ortonormal baz olsun. Bu durumda olmak üzere. 1.Ö.: { }, de bir ortonormal baz olsun. Burada. vektörünü S deki vektörlerin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER İkinci Dereceden Denklemler a, b ve c reel sayı, a ¹ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 şeklinde yazılan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Aşağıdaki denklemlerden

Detaylı

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları

Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Lineer Cebir (MATH275) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Lineer Cebir MATH275 Her İkisi 4 0 0 4 6 Ön Koşul Ders(ler)i Yok Dersin Dili Dersin

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43

İÇİNDEKİLER. Bölüm 2 CEBİR 43 İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 13 1.1 Doğal Sayılar 15 1.1.1. Tek ve Çift Sayılar 15 1.1.2. Asal Sayılar 15 1.1.3 Doğal Sayıların Özellikleri 15 1.1.4 Doğal Sayılarda Özel Toplamlar 16 1.1.5. Faktöriyel

Detaylı

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 )

ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 2010 ) ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATLARI DENEMESİ ( ŞUBAT 010 ) 1) Dar açılı ABC üçgeninde BB 1 ve CC 1 yükseklikleri H noktasında kesişiyor. CH = C H, BH = B H ise BAC açısını bulunuz. 1 1 A)0 0 B)45 0 C) arccos

Detaylı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı

Math 103 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı

Detaylı

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2

Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Adı Matematik I: Analiz und Lineer Cebir I Sömestr Ders Saati D 2 U 2 L 1 AKTS 6 Lisans/ Yüksek Lisans Lisans Dersin Kodu MAT 106 Sömestr 2 Dersin Dili Almanca Dersi Veren(ler) Yrd. Doç. Dr. Adnan

Detaylı

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR

8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR 8. HOMOMORFİZMALAR VE İZOMORFİZMALAR Şimdiye kadar bir gruptan diğer bir gruba tanımlı olan fonksiyonlarla ilgilenmedik. Bu bölüme aşağıdaki tanımla başlayalım. Tanım 8.1: ve iki grup ve f : G H bir fonksiyon

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

Taşkın, Çetin, Abdullayeva 2. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER MATEMATİK Taşkın, Çetin, Abdullayeva BÖLÜM. ÖZDEŞLİKLER,DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER. ÖZDEŞLİKLER İki cebirsel ifade içerdikleri değişkenlerin (veya bilinmeyenlerin) her değeri içinbirbirine eşit oluyorsa,

Detaylı

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1

KPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1 SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü

Mustafa Sezer PEHLİVAN. Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü * Yüksek İhtisas Üniversitesi Beslenme ve Diyetetik Bölümü SAYILAR Doğal Sayılar, Tam Sayılar, Rasyonel Sayılar, N={0,1,2,3,,n, } Z={,-3,-2,-1,0,1,2,3, } Q={p/q: p,q Z ve q 0} İrrasyonel Sayılar, I= {p/q

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Doç.Dr.Erdal KARADUMAN İÇİNDEKİLER HEDEFLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER ÖZDEŞLİKLER, DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER Özdeşlikler Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Yüksek Dereceden Denklemler Eşitsizlikler

Detaylı