EĞİLME BÖLÜM VI. 66. Tanımlar ve kabuller. VI- 1

Transkript

1 V- BÖLÜ V EĞİLE Bir çubukta sıfırdan farklı tek kesit tesirinin eğilme momenti olması durumunda medana gelen eğilme haline basit eğilme denir. Bu durumda çubuğa tesir eden dış kuvvetler çubuk kesitinde sadece eğilme momenti doğururlar. Çubuk ekseninden geçen dülem içinde bulunan kuvvetlerin hepsinin çubuk eksenine dik bileşenleri bulunması halinde, çubuk kesiti içinde kesme kuvveti de medana gelir. Çubuk kesiti içinde ortaa çıkan kesme kuvvetleri de sıfırsa bu çubuk basit eğilmee marudur denir. Şekil 6- Kesme kuvveti eğilme momentinin türevi olduğuna göre kesme kuvvetinin sıfır olduğu erde moment fonksionu sabittir. 66. Tanımlar ve kabuller.

2 V- Şekil 6- Şekil 6- Şekil 6-4 Çubuk ekseninden geçen ve çubuk kuvvetlerinin içinde bulunduğu düleme kuvvetler dülemi denir. Kuvvetler dülemi ile kesite ait asal atalet eksenleri çakışıorsa dü eğilme, çakışmıorsa eğik eğilme sö konusudur. Eğilme problemlerinde poitif önler ve eksenler şekildeki gibidir. Eğilme durumunda çubuk ekseni dü kalma. Çubuk ekseninin şekline elastik eğri denir. Eğilmeden önce dülem olan kesitler eğilmeden sonra da dülem kalmaa devam ederler Eğilmeden önce çubuk eksenine dik olan kesitler eğilmeden sonrada dikliklerini

3 V- muhafaa ederler. 67. Eğilme halinde kesitte gerilme dağılımı. Şekil 6-5 Şekil 6-6

4 V- 4 ρ : Eğrilik arıçapı KK ρdθ K K KK KK ε E ρ ρ+ KK K K K K KK ρ+ ρ ε E ρ (54) E ρ (55) F da ρ 0 E F da 0 Nötr dülem kesitin ağırlık merkeinden geçer. d eğ da E da ρ eğ da ρ ρ E E Burada kesitin ağırlık merkeinden geçen eksene göre atalet momentidir. eğ (56) Kesitte gerilme dağılımı lineerdir. Tarafsı dülemin bir tarafındaki gerilme basınç, diğer tarafındaki ise çekme gerilmesidir. ÖRNEK: Kesit ölçüleri şekilde verilen kiriş eğme momentine marudur. Kiriş üksü iken gövde üerindeki A ve B noktaları arasındaki uaklık cm dir. Kiriş üklendiği aman

5 V- 5 4 bu A ve B noktaları arasındaki uaklıktaki değişim 48 0 cm olmaktadır. alemenin 7 elastisite modülü E. 0 N / cm olduğuna göre kirişe tesir eden momentini bulunu ε Eε N / cm cm Ncm 8 ÖRNEK: Şekilde ölçüleri verilmiş profil vea momentleri ile üklenmiştir. ç 000 N / cm ve 8000 / em b N cm dir. Kirişin emnietle taşıabileceği em ve momentlerini hesaplaını.

6 V cm cm 4 ç b Ncm Ncm 5.5 ç b Ncm Ncm.5

7 V Eğik eğilme. Şekil 6-7 Kesip içindeki Herhangi bir P(,) noktasındaki gerilme, + (57) elde edilir.

8 V- 8 Nötr eksen için, aılarak, 0 0 (58) elde edilir. En genel halde, kesitte gerilme aılışı lineer olduğu dikkate alınarak A + B + C aılır. aılırsa olur. da 0 A B C da A da+ B da+ CdA 0 C 0 da + A B da A da+ B da A + B (59)

9 V- 9 da ( A + B ) da A da+ B da A + B (60) 57 ve 58 denklemleri ortak çöülerek, A + B (6) elde edilir. 0 olması durumunda ani kesitin asal atalet eksenleri ile ve eksenlerinin çakışması durumunda (6) eniden elde edilir. ÖRNEK: Şekildeki kesite sahip bir kirişte kuvvet düleminin açısı için tan tm dir.a, B, C, D, E ve F noktalarındaki gerilmeleri hesaplaını. e φ olup, 4

10 V cm cm 4 0 cm cos( φ) Ncm sin( φ) 0. 0 Ncm Tarafsı eksen denklemi 0 aılarak, A ( 8, 5.5) N/cm

11 V- B ( 8,.5) C (,.5) D (,.5) E F ( 8,.5) ( 8, 5.5) N/cm 8.85 N/cm N/cm 0.47 N/cm N/cm ÖRNEK: 0 Kuvvetler dülemi ile ekseni arasındaki açı şekilde olduğu gibi φ 0 b dir. em 00 N/cm, h 4, e 0.7 tm olduğuna göre kesit ölçülerini hesaplaını. 7 0 Ncm Ncm 5 bh hb

12 V- Tarafsı eksen: bh b h bh h 6 0 tan( ) hb b 9 aksimum gerilmeler tarafsı eksene en uak noktalar olan A ve B dedir. Bu noktaların koordinatları: dir. A noktası için, b h A, b, h B dir. B noktası için, bh b h h b 00 b ( h) ( b) h b b 00 b ( b) b b 4 4 b.77 cm h 5.0 cm

13 V bh b h h b 00 b ( h) ( b) h b b 00 b ( b) b b 4 4 b.77 cm h 5.0 cm Elde edilir. 69. Kompoit kirişler. Ugulamada daha a maleme kullanarak daha büük eğilme direnci sağlamak amacıla farklı elastisite modülüne sahip iki vea daha fala malemeden oluşan KOPOZİT kirişler inşa edilir. Betonarme kirişlerle tabakalı kirişler, agın olarak kullanılan kompoit kiriş örnekleridir. Homojen kirişlerin eğilmesinde dülem kesitlerin eğilmeden sonra dülem kaldığı kabulü kompoit kirişlerde de geçerlidir. Şekil 6-8

14 V- 4 Şekil 6-9 ε ρ Denge denklemleri aılırsa, E E ε Eε E ρ ρ A A da 0 E da 0 ρ A da+ da 0 E da E da ρ ρ + 0 A A E > E E ne E da n E da ρ ρ + 0 A A E ρ da n da + 0 A A T+ nt E T+ E T 0 T:Statik moment. tarafsı eksenin erini bulabilmek için eksen takımını kesitin altına taşıalım, ani, aalım E ( ) da+ n ( ) da ρ A A 0

15 V- 5 da da n da n da + 0 A A A A T+ nt E T+ E T A+ na E A+ E A Tarafsı eksenin kesit tabanından uaklığı (6) A da da+ da A A ÖRNEK: E da+ E da ρ ρ A A [ E + E ] E [ + n ] ρ ρ E + n E E ρ [ ] [ + ] E + + (64) E ρ [ n] [ E E ] E E + + (65) E ρ E n E E [ n] [ ] [ ] n n + (66) 50 0 mm lik en kesite sahip bir ahşap bloğun tabanına 5 0 mm lik çelik bir levha apıştırılarak güçlendirme apılmıştır. Kompoit enkesit 000 Nm lik eğilme momenti taşımaktadır. Kesitteki maksimum gerilmeleri hesaplaını. Çeliğin elastisite modülü 5. 0 N/mm 4, ahşabın elastisite modülü.05 0 N/mm dir.

16 V- 6 n E E mm ( 5 0 5) ( 5 0) 0 mm ( ) 5 0 n ( 6.4 5) ( ) ( 6.4 5) ( ) ( 6.4 5) ( 8.57) N/mm n 6 ( 6.4) 0 6 ( 6.4) N/mm ( 8.57) N/mm n 6 ( 6.4) 0 6 ( 6.4) N/mm ( 8.57) N/mm

17 V- 7 ÖRNEK: N/mm Genişliği 00 mm, üksekliği 400 mm olan bir beton kenarlarından 50 mm içerie şekilde olduğu gibi erleştirilmiş demir çubuklarla güçlendirilmiştir. Demir çubukların toplam kesiti 800 mm dir. ESt E c 8 olduğuna ve kesitin Nm lik moment taşıdığına göre malemelerdeki gerilmeleri betonun çekme gerilmesi taşımadığının kabul edilmesile hesaplaını. ESt 8 E c mm E cem E mm 9 4 cem E ( ) N/mm. 0 E cem Ecem ( ) 46.9 N/mm. 0 E cem basınç 9 çekme 9 cem

18 V- 8 SORU: Bu problemde beton ve çeliğin anı anda emniet gerilme değerine olaşabilmesi için gerekli donatı alanını hesap edini. Çeliğin çekme emniet değeri 60 N/mm, betonun basınç emniet gerilmesi 0 N/mm alınacaktır. ÖRNEK: Çelik ve Alüminum borular şekildeki gibi birleştirilmiştir. 000 Nm lik eğilme momentinin tesirinde her bir boruda oluşacak maksimum gerilmei ve eğrilik arıçapını hesap edini. E 7 GPa, E St 00 GPa Al E St E Al Al St π mm π mm Nmm Nmm TOP St Al Al ( ) St Al N/mm 4 4

19 V- 9 St ( ) St N/mm ρ 70. Kesmeli eğilme. TOP mm 4 ρ mm Al Şekil 6-0 Şekil 6- Statik derslerindeki bilgilerimiden söleebiliri ki, enlemesine kuvvet taşıan çubuklarda çubuk en kesiti içersinde kesme kuvvetleri medana gelir. Bu kuvvetler de kama gerilmelerini doğurur. Bu kesme gerilmelerinin çubuk en kesiti içinde medana getirdiği kama gerilmelerinin dağılımı üniform değildir. Kesmeli eğilme halinde kesitte medana gelen normal gerilme aılışı basit eğilmedeki aılışın anısıdır. Basit bir kiriş dikdörtgen kesitli iki primanın üst üste konmasıla medana getirilmiş olsun. Bu primalar arasında bağ bulunmasın ve çubuklar birbirleri üerinde serbestçe kaabilsinler. Bu çubuklar aralarında bir bağ bulunmadığından üstteki primanın orta noktasına bir kuvvet ugulandığı aman arı arı eğilir.

20 V- 0 Bu iki kirişin toplam mukavemet bh momenti, dır. Eğer bu iki kiriş temas 6 üeleri buunca apışık olsadı bu kirişin mukavemet momenti ise b h bh olur. Yani bir önceki 6 mukavemet momentinin iki katıdır. ani kiriş bir önceki kirişin iki katı kadar daha rijittir. Kesmeli eğilmee göre çalışan bir kirişin tarafsı düleme paralel levhalardan medana geldiği ve bu levhalar arasında kamaa mani olan bir bağın ani kesme kuvvetinin varlığından sö edilebilir. Bu kuvvetin kirişin birim bouna isabet eden miktarına kama akımı denir. Şekil 6- Kama gerilmesinin kesit içinde dağılımının nasıl olduğunu araştırmaa dikdörtgen kesitli bir çubukta başlaalım. Çubuk içinden şekilde olduğu gibi diferansiel bir çubuk parçasını iole edip denge denklemleri aılırsa, üelerde ortaa çıkan kama gerilemelerinden anı arıtta buluşanların olduğu görülür. Kesmeli eğilmede herhangi bir kesitteki kama gerilmesi aılışını bulmak kesitin herhangi bir noktasındaki ve gerilme değerlerini bulmak demektir. Bu işlem burada simetrik kesitler için apılacaktır. Burada anlatılacak elemanter öntem simetrik olmaan kesitler için aklaşık olarak doğrudur. Yeterli doğrulukta bir çöüm bulabilmek için elestisite teorisinin öntemlerini kullanmak gerekir.

21 V- Şekil 6- Kesitin sınır üerindeki herhangi bir noktada kama gerilmesi sınır şartların bir sonucu olarak sınır üeine paraleldir. Buna ek olarak kesitteki kama gerilmelerinin alan içindeki integralleri de kesme kuvvetine eşit olmas gerekir. Bu üden kesme kuvvetine paralel olan kama gerilmelerinin integrali, A da S (67) Olmalıdır. Diğer bileşenin integrali ise simetri şartından, A da 0 (68) olur. Şimdi kesit içindeki dağılımını hesaplamaa çalışalım.

22 V- Şekil 6-4 Şekil 6-5 R 0 Bd dbdt H / e t d d e t d e S d d e d S d S d Bd t H / S d tbdt

23 V- q S tda H / B S T B S tda Bd H / S T d Kama akımı. (69) (70) Bu denklemlerde S( ): Kesme kuvveti fonksionu T( ): Çubuk kesitine ait statik moment : Nötr eksene göre kesitin atalet moneti B : Çubuk genişliği dir. Burada çıkarttığımı denklemler kesit içinde kama gerilmelerinin kesit kalınlığı bounca üniform değiştiğini kabul eder. Gerçekte bu değişim üniform değildir. Yüelerdeki kama gerilmeleri üee paraleledir. ÖRNEK: Aşağıdaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini S tda H / B S T B H S H S B B B BH B + H

24 V- 4 S H S 4 BH A H (7) S ort BH 4 ort H 0 maks ort (7) Dikdörtgen kesitte diğer kama gerilmesi bileşeni ın nasıl dağıldığını düşünelim. Sınır şartların icabı olarak sınırlardaki kama gerilmeleri sınıra teğet olacağı için kesit içinde de eksenine paralel olacak kama gerilmesi bileşeni ortaa çıkma. Yani kesit içinde her erde dır. ÖRNEK: 0 (7) Şekilde görülen dikdörtgen kesitli kiriş 000 N luk tekil kuvvetin tesiri altındadır. Kirişi üerinde görülen noktalardaki gerilme hallerini, asal gerilmeleri ve asal doğrultuları hesap edini Nmm 50 mm 000 S 6000 N

25 V- 5 A A A A ( 60) 5 N/mm 5 0 tan 4 ort H N/mm ( θ ) 0 θ A 0 A 0 ( ) [ 5 0 ] maks N/mm min N/mm

26 V- 6 B B B B ( 0).5 N/mm 5 0 tan 4 ort H N/mm ( θ ) B 0 θ B ( ) [.5 0 ] maks N/mm min N/mm

27 V C ( 0) 0 N/mm 5 0 C C C 4 ort H N/mm tan ( θ ) C 0 θ C ( ) maks N/mm min N/mm

28 V D ( 0).5 N/mm 5 0 D D D 4 ort H N/mm tan ( θ ) D 0 θ D ( ) (.5 0 ) maks N/mm min N/mm

29 V E ( 60) 5 N/mm 5 0 E E E tan 4 ort H N/mm ( θ ) E 0 θ E 0 0 ( ) ( 50 0 ) maks N/mm maks N/mm

30 V- 0 ÖRNEK: Yandaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini

31 V- R R T tdt t R t dt R R t R S R S T 4 πr R 4 4 S R 4 ort πr R R (74) 0 maks 4 ort (75) Kesit içinde her hangi bir A noktasındaki için, aılabilir. aılarak, tan φ tan( φ) R R R sin( φ) R 4 ort R R 4 ort R (76) elde edilir. Bu formülde görülen eksi işareti hem ve hem de nin anı işaretli olduğu noktalarda gerilme işaretinin negatif olmasını sağlamak içindir. ÖRNEK: Aşağıdaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini.

32 V- Kesitin ağırlık merkeinin koordinatları şeklin kenar ortalarının kesim noktasıdır. h b d h h b h a a h a a b h h h h 4 a a a a ah d h 9 4h h 6 h h a a 96 4 h h a a at at a h a h T t tdt h h h a T h h a a 8 7 ( ) ( ) h h a A a

33 V- S AT Ab S a a a 7 4 a A b 96 maks ( ) ort ort a a + a a a a 96 h ( 8 9 ) 7 6 a + 4 a a 9a (77) d 7 6 a + 4 a ort 0 d a 9a aılarak bulunur. aksimum kama gerilmesinin bulunduğu er ağırlık merkeinden h h0 a kadar ilerdedir. 4 6 maks ort (78) elde edilir. tan φ tan( φ ) h a ort a + a a 9a a (79) Bileşke kama gerilmesi ort 7 6 a + 4 a a 9a cos( φ) 7 6 a + 4 a ort + a 9a a (80)

34 V- 4 maks, a ve h a dadır. 6 maks 7 6 a + 4 a ort + a 9a a a 4 h a 6 maks ort ort (8) ÖRNEK: Şekildeki problemde başlıkta kama gerilmesi dağılımı çıkartını. d d

35 V- 5 d d( df) d da da d df d df d da da A A F t df d d d A da ST t t: Kama akısı. S T S A T A T b A b b ort T : F nin tesir ettiği üein eksenine göre statik momenti. b: Genişlik A: En kesit alanı. (8) ÖRNEK: Yandaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini.

36 V- 6 ( 0 ) T 40 ( 0 ) 0 ( 900 ) mm 4 A mm S A 0 ( 900 ) S ( 900 ) S T b A A ort ( 5+ ) T ( 5 ) {-5 5 S ( 65 ) S T b b S ( 65 ) A ort { , maks 0 ort Başlıktaki kama gerilmesi dağılımı için, T 5 [ 0 ]( 5+.5) 7.5[ 0 ] A T [ 0 ] ort ort b Başlıkta maksimum kama gerilmesi başlığın merkeinde ani 0 da olup, gövdede ortaa çıkan maksimum kama gerilmesinin aklaşık olarak arısından küçüktür. A T [ 0 ].005 b ort ort ort Gövdenin diğer tarafında ortaa çıkan kama gerilmesinin işareti bir öncekine göre ters işaretli olup denge şartları gereğince bu gerilmelerin doğurduğu kuvvetler birbirlerini dengelemektedir.

37 V- 7 Esasen eğilme probleminde gövde kesme kuvvetine karşı direnirken başlık eğme momentine direnmektedir. ÖRNEK: Aşağıdaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini. Kesitin ağırlık merkeinin koordinatları:.5mm mm ( ) mm 5 ( 7. ) T ( 7.+ ) { A mm S T b S A.5 7. A S A ort {

38 V- 8 ÖRNEK: T 40 ( ) T { S T S A 0 ( 7.778) A b maks S ( 7.778) A ( 7.778) ort { ort Aşağıdaki şekilde kama gerilmesi dağılımını hesap edini. T R dθ t R cosθ α α R t sinα R πr0 t A πr t 0 0

39 V- 9 Sonuç olarak, A T πr0t R0 t sinα ort ort sin ort α ( t) ( t) πr t sinα maks ort π α ort 0 maks k ort (8) aılacak olursa, apılan hesaplara göre elde edilen k çarpanı ile ilgili tablo aşağıdadır. Tablo 6-7. Kesme gerilmesi ve normal gerilmelerin karşılaştırması. Kesmeli eğilmee maru bir çubukta kama gerilmeleri normal gerilmeler anında çok defa düşük bir mertebede bulunur. Bunu göstermek üere oranını hesap edelim. maks maks Ancak bu oran kirişin ükleme şekline, mesnetlenme durumuna ve kesit biçimine bağlıdır. Örnek olması için andaki şekilde görülen bir problemi ele alalım. Buna göre, PL 4 PL bh bh 6 maks Şekil 6-6

40 V- 40 maks PL PL b h 4 bh maks maks h L (84) h L oranı daima küçüktür. ( h L ) ( 0) olması durumunda kama gerilmesi normal gerilmenin irmide biri kadar olur. ukavemet hesaplarında kama gerilmesi, - Yüksekliği açıklığına göre fala olan kirişlerde - Ahşap gibi kama emniet gerilmesi normal gerilmeninkine göre düşük olan kirişlerde dikkate alınmalıdır. Bunun dışında kama gerilmelerinin hesaba dahil edilmesi önemli değildir. 7. Dairesel en kesit durumunda kesitte kama gerilmelerinin dağılımı. Şekil 6-7 Yukarıdaki şekilde olduğu gibi dairesel bir kesit içindeki kama gerilmesi dağılımı dikkate alındığında kesit içinde ortaa çıkan kama gerilmesinin kesme kuvvetinin doğrultusuna paralel olmasını gerektirecek hiçbir temel oktur. Gerçekten ukarıdaki şeklin (b) kısmında gösterebiliri ki, kesiti sınırlaan çevre üerinde alınan p noktalarında kama gerilmeleri kesiti sınırlaan eğrie teğettir. Çubuk kesiti ve çevresi üerinde şekilde görüldüğü gibi çok küçük bir dikdörtgenler priması alalım. Bu primanın kesit üerindeki üei abcd ve çubuk üei üerindeki üei de de adfg olsun. Bu sonsu küçük dikdörtgenler primasının abcd üeine etki eden kama gerilmesi ise, bu kama gerilmesi biri kesiti sınırlaan eğrie teğet ve diğeri radal doğrultuda gibi iki bileşene arılabilir. Daha önceki bahislerde gösterildiği gibi anı arıtta birleşen a da arılan kama gerilmelerinin değerleri eşit olması gerekeceğinden, abcd üeinde etki eden kama gerilmesi, adfg üeine etki eden kama gerilmesine eşittir. Eğer bu çubuğun anal üeleri kama gerilmelerinden arınmış ise kama gerilmesinin radal bileşeni de sıfırdır. Bu kama gerilmesinin kesiti sınırlaan eğrie teğet olduğu anlamını taşır. Pp kirişinin tam orta noktasındaki kama gerilmesi simetri şartı dolaısıla tam anlamıla düşe olup kesme kuvveti doğrultusunda olacaktır. Buradan çıkacak sonuca göre pp doğrusu dışında kalan diğer bütün noktalardaki kama gerilmelerinin doğrultusu hep anı noktadan O noktasından geçer.

41 V Bileşik çubuklar ve kama akısı. ühendislik ugulamalarında baen elemanların ük tasıma kapasitelerini arttırmak için çeşitli parçalardan oluşan apma elemanlar kullanılır. Dış üklerin etkisile eleman eğilmee çalıştığında, birleşim araçlarından (çivi, cıvata, tutkal, kanak vs) birleştirdiği parçalar arasındaki rölatif kamaa engel olması ve apı elemanının ekpare davranışını sağlaması beklenir. Birleşim araçları hesabında, eleman bounca taşınması gereken kesme kuvvetinin bilinmesi gerekir. Elemanın birim uunluğuna etki eden kesme kuvvetine Kama Akısı adını verioru. [N/m] ühendislik ugulamalarında imal edilmiş kirişler sık sık kullanılırlar. Bu kirişlerdeki gerilmeler, bu gerilmeleri medana getiren elemanların birbirlerine sıkıca bağlanmaları kabulüle hesaplanır. Bu hesaplar iki basamakta apılır. - İlk olarak kiriş tek parça kabul edilerek hesaplanır. - Sonra kirişi medana getiren elemanlar üerindeki gerilmeler hesaplanır. Önce şekildeki gibi teşkil edilmiş bir kirişi gö önüne alalım ve bu iki kirişin arasında bulunan takoların eterince sağlam olduklarını kabul edelim. Buna göre, 74. Bileşik çubuklar. e Şekil 6-8 b d h c ( ) ( ) olur. Her takoa gelen S kama kuvveti, kirişin tarafsı üeindeki e b alanına gelen kama kuvvetidir ve alan üerine homojen aıldığını far edilir. Burada b kirişin

42 V- 4 genişliği, e ise takoların orta noktaları arasındaki uaklıktır. Dikdörtgen kesitler için hesaplandığı şekilde, maks S ort b h (85) S S e b maks e b bh S 4 Se h (86) (87) olarak elde edilir. Takoların boutları öle seçilmelidir ki, takolar hem kesmee karşı hem de eilmee karşı mukavemetli olmalıdır. Kesilme etkisinde bulunan tako kesiti a göre, b ve ahşap kirişin kesiti ( e a) b olduğuna S a b tako kesme S kiriş kesme e a b (88) ve olmalıdır. Takoun ada ahşap kirişin eilme üei b c dir. O halde eilmee karşı mukavemet kontrolu için, S c b tako eilme S ve c b kiriş eilme (89) ÖRNEK: Şekilde görülen T kesit dört arı ahşap levhanın birbirlerine çivilerle bağlanmasıla elde edilmiştir. Kesite etki eden kesme kuvveti 4000 Ndur. Bir çivinin taşıabileceği kesme kuvveti 600 N olduğuna göre, a- Üst parçadaki çivi aralığı s b- Alt parçadaki çivi aralığı s i hesaplaını. c- Eğer birleşim çivili değil de tutkallı olsadı birleşme üelerindeki kama gerilmesini hesaplaını.

43 V- 4 Ağırlık merkeinin eri tabandan, ( 5 0 0) mm ( 5 0) 5600 Yukarıdadır. Üst parça için kama akımı ( ) ( ) mm S 4000[ 00 0( ) ] T q 7.7 N/mm s 600 s 4.7 mm 7.7 Alt parça için kama akımı ( ) S T q 7.5 N/mm

44 V s Yüeler tutkallansadı, Üst parça için, Alt parça için, ÖRNEK: 600 s.55 mm 7.5 [ ] S T N/mm b AA [ ]( ) S T N/mm b BB Şekilde, iki parçanın kanaklanması ile imal edilen bir kirisin en kesiti gösterilmiştir. Kanakların her birinin m boda 00 kn luk kesme kuvveti taşıdığı bilindiğine göre Kirisin taşıabileceği en büük S kesme kuvveti nedir mm 5 00 q ( ) mm S T

45 V- 45 ( ) S ÖRNEK: S 6. N Eğilme momenti ile beraber 4000 N luk düşe bir kesme kuvveti taşıan ahşap kiriş 0 5 cm lik iki kalasın çivilenmesile medana getirilmiştir. Kalasları bir arada tutan çivilerin her bir 800 N luk kesme kuvveti taşıabilmektedir. Bu kirişin tek parça olarak çalışabilmesi için maksimum çivi aralıklarını hesap edini. Her çivi iki kalas arasındaki e uunluğa tekabül eden kama kuvvetini karşılamak durumundadır. q. e S mm Tarafsı eksen kiriş tabanından 6.5 cm ukarıdadır. Tarafsı eksene göre atalet momenti: cm Kalas birleşim erine kadar statik moment: Kama akımı: T( ) 0 5 ( ) 65 cm

46 V- 46 q S T 0.8 N/cm Çivi aralığı: 800 e.6 cm.5 cm 0.8 Başlık şekildeki gibi ise, T cm e 54.6 e 5.68 cm Bileşik kirişlerinde gerilme hesabı apılırken genellikle bütün perçin deliklerinin anı kesit içinde bulunduğu kabul edilir. Eğilme momenti dolaısıla kesite normal olan gerilmelerin hesabı apılırken, e

47 V- 47 Şekil 6-9 formülünü kullanırken kesit içindeki perçin delikleri çıkartılır. Bu suretle perçin deliklerinin aıflatıcı etkisi hesaba katılmış olur. maksimum kama gerilmelerini hesap ederken perçin deliklerinin kesiti aıflatıcı etkisini hesaba katmak gerekir. bu deliklerin gövdenin kesit alanını ( e d) e oranında aıflattığı görülür. burada e perçin delikleri arasındaki mesafe, d perçin delik çapıdır. Buna göre kiriş gövdesindeki hesaplanırken daima bu gerilme değeri e ( e d) kadar arttırılır. Perçin şaftına gelen kesme kuvveti daha önce bulunan, F S. T e kullanılarak hesaplanır. Perçin şaftında ortaa çıkan kama gerilmesi ise, F S. T πd πd 4 e formülü ile hesaplanır. Bu denklemde T kiriş başlığının taralı olan kısmının eksenine göre statik momentidir. Kiriş gövdesinde a-a düleminde ortaa çıkan kama gerilmesi, S. T e b e d şeklinde hesaplanır. Burada T ise a-a düleminin üerindeki gövdee ait dikdörtgen kısmın nötr eksene göre statik momentidir. Burada gövdenin eğilmesinden kanaklanan kama gerilmelerini de hesaba katmak gerekir.

48 V- 48 ÖRNEK: Şekilde görüldüğü gibi iki raı birleştiren perçinlerdeki kesme kuvvetini tain edini. Raın kesit alanı A 64cm, ra tabanından raın ağırlık merkeine kadar olan ükseklik 7.6 cm, kesitin ağırlık merkeinden geçen ve eksenina paralel olan bir eksene göre atalet momenti 660 cm 4, perçinler arasındaki uaklık e 5cm, kesme kuvveti 000 N dur. S. T F e N / cm ( + ) KESELİ EĞİLEDE BOYUT TAYİNİ: - Kesit boutları basit eğilmede kinin anısı olarak eğilme momentine göre hesaplanır. - Açıklıkları kesit üksekliklerine göre küçük olan kirişlerle malemelerinin kama emniet gerilmesi, normal emniet gerilmesinden küçük olan kirişlerde (ahşap kirişler), en büük kesme kuvvetinin bulunduğu kesitlerde en büük kama gerilmesinin emniet sınırları içinde kalıp kalmadıkları arıca tahkik edilir. Emniet sınırını aşıorsa eniden boutlandırmaa gidilir. - Başlık genişliği ile gövde kalınlığı çok farklı olan küçük açıklıklı kesitli kirişlerde gövdenin başlığa en akın noktaları kritik noktalardır. Buralarda kama gerilmesi ile normal gerilme kesit bounca aldıkları en büük değerden bir a küçük olurlar. Buralarda en büük kama gerilmesi teorisine göre tahkik apıp gerekiorsa kesit boutları büütülmelidir. ÖRNEK:

49 V- 49 em 4000 N/cm ve 7000 N/cm olduğuna göre kesiti kontrol edini. em W 5 cm NP 4 seçilir. Buna ait mukavemet momenti 54 cm tür maks 6900< 7000 N/cm emnietli göükür. Ancak en tehlikeli kesit B noktasıdır. Burada dülem gerilme anali apılmalıdır. B () B ( ) (.) N/cm N/cm aksimum kama gerilmesi hipotei kullanılırsa, maks > 7000 N/cm Kuvvet bu limiti sağlaacak şekilde aaltılmalı ada daha büük kesit seçilmelidir. 75. Kesitin simetrik olmaması hali. Buraa kadar anlatılan bahislerde kesitin simetrik olması hali incelenmiştir. Şimdide simetrik olmaan haller üerinde duralım. esela şekildeki gibi Z kesitli konsol kirişi ele alalım. Kuvvetler çigisi olan ekseni kesitin simetri ekseni değildir. Dene ve gölem neticelerine göre böle hallerde çubuk eğilmee çalışırken anı amanda da burulmaa çalışmaktadır. Şekildeki kirişin ucu f kadar sehim aparken θ açısı kadar da dönme apmaktadır.

50 V- 50 İlk olarak şekilde görüldüğü gibi Z şeklinde bir kesit alalım. Bu kesit ine şekilde görüldüğü gibi düşe olarak üklensin. Şekil 6-0 Daha önceki bilgilerimie daanarak tarafsı ekseni üke dik olarak kabul edelim ve çubuk bu eksenin etrafında eğilsin. Buna göre tarafsı eksenin üstünde olan çubuk parçası uamaa altında kalan çubuk parçası basınca maru kalır. Tarafsı eksenin üerindeki eğme momenti, da k da k olur. Fakat düşe eksen etrafındaki moment, da k da k Böle bir moment P ükü tarafından empoe edilmemiştir. Zira P ükü ekseni etrafında bir eğilme momenti doğurmaktadır. Bu sebeple 0 olmalıdır. Simetrik en kesite sahip çubuklar için 0 dır. Şekildeki gibi bir kesite sahip çubukta 0 olduğundan ekseninin nötr eksen olduğu kabulü doğru değildir. O halde eski teorimii P ükünün 0 olacak şekilde ugulandığı ani asal doğrultularda ugulandığı durumda kullanabiliri. Yukarıdaki şekilde P ükü atalet momentleri için asal doğrultulara paralel şekilde ugulanmamıştır. Kesitte ortaa çıkan gerilme dağılımı daha önce eğik eğilme bahsinde kabul ettiğimi, A + B + C (90) denklemine uacak şekilde kesit içinde lineer olarak değiştiğini kabul edelim.

51 V- 5 da 0 A B C da A da+ B da+ CdA 0 C 0 bulunur. da + A B da A da+ B da A B + (9) da ( A + B ) da A da+ B da A + B (9) A +

52 V- 5 B (9) elde ederi. Yani bu durum eğik eğilmee tekabül eder. Şimdi kesitin atalet momentleri için asal doğrultularını bulalım. t a at t at a+ at + a t + a t at ta + a a t a a t t, a nın anında çok küçük olduğundan, t nin kuvvetleri a a göre ihmal edilerek, 8 ta ta ta ( ta ) tan( θ ) 8 ta ta 0 θ.5 Bu açı maks a tekabül eder. Yani BB maks, AA min dir. Bu durumda AB 0 olur. BB 8 8 ta + ta ta ta + cos 45 sin 45 5 BB maks + ta 0 0 ta

53 V- 5 AA 8 8 ta + ta ta ta cos 45 + sin 45 5 AA min ta 0 0 ta Şimdi ugulanan P kuvvetini AA ve BB doğruları üerine i düşürerek iki bileşene aıralım. AA doğrultusundaki sehim, δ δ AA BB 0 P cos.5 L P L 0. 5 E ta E + ta P sin.5 L P L E ta E ta 0 Bu deplasmanların ve eksenleri üerindeki i düşümlerini toplarsak, 0 0 PL δ δ AA sin(.5) δbb cos(.5) 0.4 E ta 0 0 PL δ δ AA cos(.5) + δbb sin(.5) 0.88 E ta elde edilir. Bu sonuçlar göstermektedir ki, P ükü dolaısı ile çubuğun ucu sadece düşe olarak er değiştirme, anı amanda da aklaşık olarak düşe er değiştirmenin %50 den falası kadar ata olarak er değiştirir. Gerilme kontrolleri açısından incelenirse Q ve Q noktası en tehlikeli durumdadır. Zira BB nin üst tarafındaki lifler ile AA nın üst tarafındaki lifler anı amanda çekme tesiri altındadır. R ve R noktaları dikkate alınırsa bu noktalardaki gerilmelerin eksenlere göre işaretleri birbirlerinden farklı olduklarından biri diğerinden çıkartılması gerekir. 76. Kama merkei. Q P cos.5 L a cos.5 P sin.5 L a sin.5 + BB P cos.5 L a cos.5 P L sin.5 a sin ta ta PL ta AA

54 V- 54 Kesitleri simetrik olan konsol kirişlerin sehimi ile ilgili olarak denesel ve teorik sonuçlar arasında mükemmel uum vardır. Eğer şekildeki gibi kesite sahip bir kiriş alınırsa buraa kadar anlatılan metotlar ile apılan denelere ait sonuçlar arasında bir uuma rastlanma. Şekil 6- Şekil 6- Bir ucundan ankastre bağlanmış bir L profil şekilde olduğu gibi üklenmiş olsun. Gölemler neticesinde profilin boşta kalan ucu düşe ve ata sehim apmakla birlikte bu profil bir miktar torsiona maru kalır. Bu durum ine bir ucundan ankastre bağlanmış bir U profilde de müşahede edilir. Şekil 6- Yanda böle şekil değiştirmiş kirişin perspektif görüntüsü görülmektedir. Demek ki bu halede hem eğilme, hem kesme etkisi hem de burulma görülmektedir. Simetrik olmaan kesitlerde ugulanan kuvvetin kesitin ağırlık merkeinden geçmesi burulma momentinin doğmaması için eterli bir sebep değildir. Şimdi şöle düşünelim. Acaba uguladığımı kuvveti G erine S gibi başka bir noktadan ugulasak burulma etkisini ok edebilir mii? Weber 9- e göre bu durumun açıklaması ankastre uçtan kesilmiş çubuğun dengesinin incelenmesinden ibarettir. Bu ankastre uçta P kuvveti ile PL momenti vardır.

55 V- 55 O halde kesitte P kuvvetini ve PL momentini dengeleen gerilmeler doğmalıdır. Dışarıdan ugulanan PL momenti daha önceden açıklandığı şekilde PL momenti hasıl eder. Kesitte ortaa çıkan kama gerilmeleri de P kuvvetini hasıl ederler. Simetrik kesitlerde burulma olmaması için P kuvvetinin tesir çigisinin kesitin ağırlık merkeinden geçmesi gerektiği aşikardır. Şekil 6-4 at t t at a ( a) t nin birinci dereceden daha büük kuvvetlerini a anında ihmal edersek, elde edilir. 8 ta Üst tablada nötr eksene göre statik moment, t T at a+ elde edilir. t nin üksek dereceli terimlerini ihmal ederek, T ta bulunur. Üst tablanın gövde ile birleştiği erde kama gerilmesi, S ta S 8 ta t 8 at (94) olarak elde edilir. Bu koldaki toplam kesme kuvveti,

56 V- 56 at S 6 (95) olarak hesaplanır. Gövdedeki toplam kesme kuvveti S e eşittir. Alta koldaki kesme kuvveti de simetri dolaısıla üst tabladaki kesme kuvvetinin değerine eşit olup işaretçe terstir. Şimdi kollardaki kuvvetler sistemini bir tek kuvvete indirgeelim. Bu bir tek kuvvetin şiddeti S e eşit olacaktır. Yeri de ekseninin poitif tarafında ve gövdeden a 8 kadar uaktadır. Şekil 6-5 Şimdi en genel haldeki ükleme tipini seçersek, P ükünün çubuğa paralel ve dik bileşenleri dikkate alınırsa, çubuğa dik bileşenler simetri sebebile ağırlık merkeinden geçmelidir. Çubuk gövdesine paralel bileşenlerde çubuk gövdesine a 8 kadar uakta olmalıdır. Buradan çıkan müşterek sonuç şudur. Çubuğu eğmee çalışan P kuvveti daima C noktasından geçmelidir. Bu noktaa kama merkei a da burulma merkei denir. 77. Açık halka kesitte kama merkei. Şekil 6-6 Önce kama gerilmelerinin değişimini kutupsal koordinatlarda elde edelim.

57 V- 57 R T da RD π θ T R sin Rd R RD θ θ θ cos( θ) ( R R D ) cos İ ( θ) Rİ θ 0 Rİ T ( RD R)( RD+ RDR + R) cos İ İ İ ( θ) t t t t T t R R R R cos( θ) t nin üksek dereceli terimleri ihmal edilerek, cos T R t θ (96) T R t cos θ Kesitte ortaa çıkan kesme kuvvetlerinin değişimi, ( θ) S R t cos sabit R t cos( θ) t (97) Kesitte ortaa çıkan kesme kuvvetlerinin ata bileşenleri denge şartı gereği birbirlerini dengelerler. Ancak düşe bileşen kesme kuvvetine eşittir. Kesme kuvvetlerinin düşe bileşenlerinin toplamı, RF π cos t Rdθ θ 0 π -sabit 0 cos cos π sabit R t cos cos ( θ) ( θ) ( θ) R R t t Rd RF ( θ) ( θ)( dθ) 0 sabit R t π (98) Burada işaretin poitif olmasının manası R F nin önünün eksenin önü ile anı olması manasını ifade eder. Kesitte ortaa çıkan kuvvetler sistemini bir tek kuvvete indirgemek için kesitte ortaa çıkan bütün kesme kuvvetlerinin O merkeine göre momentlerinin toplamını hesaplaalım. O π π 4 4 sabit cos sabit 0 0 t Rdθ R R t θ dθ R t π

58 V O sabit R t π O aman bileşke kuvvetinin eri, F (99) R R t R t 4 sabit π sabit R (00) bulunur. Bu mevki merkein sağ tarafındadır. 78. Elastik eğri - Elastik eğrinin Diferansiel Denklemi-. Bir kiriş hesaplanırken kirişte ortaa çıkan gerilmelerin değerinin ne olduğunun bilinmesi kadar kirişte medana gelen şekil değişikliklerinin de ne olduğunun bilinmesi gerekir. esela bir çok problemde kirişteki sehimin açıklığa oranının ne olduğunun bilinmesi icap edebilir. π Şekil 6-7 Şekil değiştirdikten sonra kiriş ekseninin şekline elastik eğri denir. Daha önce elde ettiğimi, formülünden, eğ da ρ ρ E E

59 V- 59 ρ + ( ) eğ E aabiliri., ani elastik eğri fonksionunun birinci türevi, eğrinin herhangi bir noktadaki eğimini ifade eder. Bu ifade çok küçüktür. anında ihmal edilir. Ölese, çok daha küçük olduğundan eğ E (0) bulunur. Bu formüllerde kesme kuvvetinin etkisi ihmal edilmiştir. 79. Üniform üklü bir kirişin elastik eğrisi. kl k eğ kl k E E kl k E 4 6 tan( θ ) + C L için tan θ 0 kl k E 4 6 L + C C kl kl Şekil 6-8 tan kl k kl θ E eğim açısı çok küçük olduğundan θ tan θ alınabilir.

60 V için kl θ E 4 L için kl θ E 4 elde edilir. kl k kl E 4 4 (0) 4 + C Elastik eğrinin denklemi, 0 için 0 C 0 bulunur. k + L L 4E dır. L için maks elde edilir. 4 ( ) maks 4 5kL 84E (0) 80. Tekil ükle üklü bir kirişin elastik eğrisi. L a P L a L a P L P P a L L E ( a) P L E P L a E E L a P L a A E + L P L a a A E + L Şekil 6-9

61 V- 6 a P L a P L a a A + a a a + A E L E L A A C (04) P L a + C+ B E L 6 P L a a C B E + + L B 0 (05) a P L a P L a a Ca a ( a a) + + Ca+ B E L 6 E L 6 6 B 0 (06) L 0 P L a E L 6 6 L L a + CL 0 ( L a) L a C L + L 6 6 L L a ( L a) L 6L (07)

62 V- 6 P L a L a + L a L E L 6 6L ( ) P L a + L a L 6EL P( L a) P L a L a 6EL + + 6E 0 a a L (08) (09) 0 0 ( a) P L θ + ( L a) L 6EL ( a) P L L a L 6EL 0 P( L a)( a)( L a) θ 0 a 6EL 0 a (0) L ( ) P L a P θ L a L a 6EL + + 6E ( ) P L a P L L a L a 6EL + + 6E P( L a) L ( L a) L( L a) 6EL + P( L a)( L+ a) a 6EL a L L L ( a ) Pa L θ a L 6EL () elde edilir. aksimum sehim, aılarak, ( a) P L θ + ( ) 6EL L a L 0

63 V- 6 L L a () noktasında bulunur. aksimum sehimin değeri, maks ( ) ( ) P L a L L a 9 EL () dir. kuvvet tam orta noktada ise a L aılara, maks PL 48E (4) bulunur. Kuvvet mesnetlere aklaştıkça limitte, maksimum sehimin eri, L (5) e aklaşır. 8. Tekil ükle üklü bir konsol kirişin elastik eğrisi. P L E ( ) P L E ( ) C P L + E 0 0 C P L 0 + E C P L E ( ) P L P L + E E Şekil 6-0

64 V- 64 ( ) P L P L + L + C 6E E 0 0 P( L) P L L + C 6E E C P L E ( ) P L P L P L L + 6E E E (6) aksimum sehim L dedir. maks P L E (7) aksimum kesit dönmesi L dedir. θ maks P L E (8) 8. Tekil ükle üklü herhangi bir noktadan üklenmiş konsol kirişin elastik eğrisi. P a E ( ) P a E ( ) C P a + E 0 0 C P a 0 + E C P a E ( ) P a P a + E E ( ) P a P a a + C 6E E Şekil 6-0 0

65 V- 65 P( a) P a a + C 6E E C P a E ( ) P a P a P a + a + 0 a 6E E E (9) aksimum sehim L dedir. P( a) P a maks + L a E E (0) aksimum kesit dönmesi a dedir. θ maks P a E () 8. Üniform üklü bir konsol kirişin elastik eğrisi. k ( L ) ( ) k L E E ( ) C k L + 6E 0 0 C k L 0 + 6E k L C 6E ( ) k L k L + 6E 6E 4 ( ) k L k L + L + C 4E 6E Şekil k( L) ( L ) 0 k L C 4E 6E +

66 V- 66 C 4 k L 8E ( ) 4 4 k L k L k L + L + 4E 6E 8E () aksimum sehim L dedir. maks 4 k L 8E () aksimum kesit dönmesi L dedir. k L θ maks 6E (4) ÖRNEK: Şekildeki sistemde kuvvetin ugulandığı noktadaki sehimi bulunu. PL PL L PL δ + + E G E e b e

67 V- 67 ÖRNEK: Şekildeki sistemde elastik eğri denklemini bulunu L A A E E L L A + C E L L A + C + C E 6 L 0 0 L A C 0 E + 6 C L 6 A L 0 AL CL 0 E 6 C A L 6 A L + L L 6E L A L + L 6E L 0 L AL θ E AL θ 6E maksimum sehim, L dedir.

68 V- 68 aksimum sehim ise, maks AL 9 E ÖRNEK: Şekildeki sistemde elastik eğri denklemini bulunu B L E B E L B + C E L B + C + C 6E L C 0 E [ C ] L 0 L 6E L B + CL 0 C BL 6E B B L B + L 6E L 6E 6EL B ( ) L 6EL 0 L BL θ 6E BL θ E maksimum sehim,

69 V- 69 L dedir. aksimum sehim ise, maks B L BL 6EL 9 E ÖRNEK: Şekildeki sistemde elastik eğri denklemini bulunu A L + L L 6E L B L 6EL A B L + L L + ( L ) 6E L 6EL A L + L L + B L 6E L L AL BL 0 θ θ E 6E AL BL L θ θ 6E E L A θ + E 6 B L A θ + E 6 B A L + L + B L 6E L L L B + A B + A A B A

70 V- 70 noktasında sehim maksimumdur. aksimum sehim, ÖRNEK: ( + ) ( + + ) 9 A B B A B A B L A 6E 9( B A) ma Şekildeki sistemde mesnet momentlerini ve elastik eğri denklemini bulunu. ( ) P L a + L a L 6EL P( L a) P L a L a 6EL + + 6E 0 a a L 0 P( L a) P( L a) θ L a L L a L 6EL + 6EL 0

71 V- 7 L ( ) P L a P θ L a L a 6EL + + E ( ) ( ) P L a P 6EL + + E P L a a 6EL L L a L a L elde edilir. A L + L L + L 6E L L B AL BL 0 θ θ E 6E AL BL L θ θ 6E E L A θ + E 6 B L A θ + E 6 B ( a) L A B P L + L a L E 6 6EL ( ) L A P L a a B + E 6 6EL ( a) P L A + B L a L L A ( ) P L a a + B L ( a) ( ) P L P L a a A L a L L L ( a) ( ) P L P L a a B L a L L + L A B ( a) a L P L P Elastik eğri denklemi, ( ) a L a L

72 V- 7 ( ) P L a ( L a) L 6EL + + A L + L L + L 6E L L ( ) B P L a P ( L a) L ( a) 6EL + + 6E + A L + L L + L 6E L L B ÖRNEK: Şekildeki sistemde mesnet momentlerini ve elastik eğri denklemini bulunu. P( a) P a maks + L a E E maks ( L) VB E maks maks B P a P a V L + L a a VB P + L L ( ) a L a

73 V Elastik eğri incelemesinde kolalaştırıcı öntemler OENT ALAN ETODU (OHR ETODU)- TEORE-: Şekil 6- Şekilde görüldüğü gibi bir elastik eğri parçasının üerinde seçilecek herhangi iki A ve B noktasının teğetlerinin arasındaki açı bu iki nokta arasına rastlaan moment diagramının alanının E da birine eşittir. B A dθθ AB ds d ρ. dθ d dθ ρ E d B B B dθθ AB d d E E A A A (5)

74 V- 74 TEORE-: Şekilde görüldüğü gibi bir elastik eğri parçasının üerinde seçilecek herhangi iki A ve B noktasından çiilecek teğetlerin B noktasından indirilen dik doğru üerinde aıracakları uunluk δ bu iki nokta arasına rastlaan moment diagramının alanının B noktasına göre momentinin E da birine eşittir. B A dδδ AB dδ ( L ) dθ ds d ρ. dθ d dδ dθ d ρ E L dδ L d E ÖRNEK: B B A A δ AB dδ ( L ) d E Şekildeki sistemde kirişin ucundaki sehimi ve uçtaki eğim açısını bulunu. (6) f PL L PL E E

75 V- 75 ÖRNEK: PL PL θ E E Şekildeki sistemde kirişin ucundaki sehimi ve uçtaki eğim açısını bulunu. f L L ( L) E E L θ ( L) E E

76 V- 76 ÖRNEK: Şekildeki sistemde kirişin ucundaki sehimi ve uçtaki eğim açısını bulunu. f 4 kl L kl E 6 4 8E kl kl θ E 6 6E

77 V İki mesnetli kirişlerde elastik eğri incelenmesini kolalaştırmak için ohr metodunun geliştirilmesi. f f Şekil 6-4 f f L Aη E L A ξ E Aη Aξ E L E (7)

78 V- 78 ÖRNEK: θ T E (8) Şekildeki sistemde kirişin ucundaki sehimi ve uçtaki eğim açısını bulunu. Pab L+ b Pab E L L a Pab + 6 L b EL a PL a b L + 6 E L L L b ab PL a b L 6E L L L b ab + PL b a L L ( L ) + 6E L L L a ab 0 a a L P noktasının sehimi, PL a b a L a Pa b L a Pa b δ P + + 6E L L L 6 b ab EL b ab EL esnet açıları

79 V- 79 ( + b) Pab L+ b Pab L θ A E L 6EL ( + a) Pab L+ a Pab L θ B E L 6EL elde edilir. ÖRNEK: Şekildeki sistemde kirişin ortasındaki sehimi bulunu.- E 4 kl L kl 5 kl

80 V- 80 ÖRNEK: Şekildeki sistemde kirişin ucundaki sehimi ve uçtaki eğim açısını bulunu.-konjuge kiriş metodu. Konjuge kirişler karşıttır. E θ T E

81 V- 8 ÖRNEK: Şekildeki sistemde kirişin ortasındaki sehimi bulunu.. YOL ( L+ c) Pc L+ c L+ c L+ c Pc L Pc l+ c Pc L+ c 6L 0 L ( + ) L+ c Pc l+ c P L c Pc L+ c ( L+ c ) L L+ c 6

82 V- 8 Pc l+ c Pc L c E + 6L 0 L ( + ) L+ c Pc l+ c P L c Pc L c ( L c ) E L L+ c Pc L+ c Pc modifie L c ( L) E + 6L L Pc L+ c Pc modifie L c Pc E + 6L 0 L 0 L Pc modifie ( L ) E 6L 0 L ( + ) L+ c Pc l+ c P L c modifie Pc L c ( L c ) ( L) E L L L+ c modifie L Pc( L) P( L ) L L+ c E 6 modifie için maksimum sehim hesabı: d modifie d 0 aılarak, maksimum sehim mevkii A mesnetinden ani orijinden L / kadar uakta olduğu görülür. Bu noktadaki sehim, ( L ) modifie / PcL 9 E olarak hesaplanır. A mesnetindeki elastik eğrinin eğim açısı, PcL θ A 6E B mesnetindeki elastik eğrinin eğim açısı, θ B PcL E C noktasındaki sehim,

83 V- 8 ÖRNEK: Pc L Pc modifie( L+ c) + E E Şekildeki sistemde kirişin ortasındaki sehimi bulunu.. YOL PcL Pc 0 L L PcL Pc 0 L 6 6L L P L+ c t t dt P L c L L c L L c L L+ c Pc ( L ) 0 L 6EL

84 V osotis metodu. ( ) d L E 6 c P L+ c + L L+ c L L+ c d L L+ c PcL E E 6 L L+ c P L+ c + L L+ c L L+ c Şekil 6-5 Şekil 6-6 P noktasındaki sehim Şekil 6-5 ve 6 dikkate alınarak afb + bf A f L (9) olarak bulunur. f P VBb V a a b afb + bf A E E L L Pa Pb a b + b a L L EL A ( + ) a b a b a b fp P P EL EL (0)

85 V- 85 P noktasındaki sehim hesaplanan sehimin ters işaretlisidir. Şimdi kirişin herhangi bir noktasındaki sehimi hesaplaalım. Şekil 6-7 Şekil 6-7 dikkate alınarak, A mesneti ile P kuvveti arasındaki sehim için, f f B B ( ) ( ) ( ) B P a P a b V L + E E E ( ) ( ) Pa ( ) P a P a b L + E E L E () f A VA Pb E L E () f f B f + L f L A ( ) ( ) Pa ( ) P a P a b L Pb + ( L ) E E L E L E L ()

86 V- 86 b L a aarak, f Pa P a P a L a L P L a + ( L ) E E L E L E L P( L a) a ( L a ) 6EL ( ) Yada elastik eğri denklemi olarak, P L a f a( L a) 6EL (4) ( ) P L a a( L a) 6EL (5) aılır. Diğer taraftan P kuvveti ile B mesneti arasındaki sehim için, f f B B ( ) VB L E ( L ) Pa L E (6) f A ( ) ( ) A P a P a a V + E E E (7) f f B f + L f L A VB L P a P a a VA ( L ) E + + E E E L (8) b L a aarak,

87 V- 87 f L Pa P a P a a Pb ( L ) E L + + E E E L L P( L a) L ( L a ) 6EL (9) ( ) P L a L L a 6EL a L (40) elde edilir.

88 V Grafik metodla elastik eğri çiilmesi. Şekil 6-8 a 0.6m A mesneti ile kuvvet arasındaki gerçek ölçü. b 0.4m B mesneti ile kuvvet arasındaki gerçek ölçü. L m Gerçek çubuk bou A 0 A mesneti ile kuvvet arasındaki şekil ölçüsü. B 0 B mesneti ile kuvvet arasındaki şekil ölçüsü. L 50 Şekil çubuk bou

89 V- 89 f Kuvvet ölçeği 5 l Şekil ölçeği 50 h 0 Kuvvet için kutup doğrusu uunluğu Diagramda maksimum şekil momenti, 5 şekil a b f h 0 50 L (4) aksimumu gerçek moment, h f l F a b l F gerçek şekil L Nm (4) Gerçek moment alanı, L 40 0 gerçek Şekil moment alanı, α : Alan ölçeği: α 5 5 µ oment ölçeği h 50 omente ait kutup doğrusu uunluğu uunluğu : omente ait moment diagramı üerinde okunan değer. δ : Sehim δ δ ( µ α h l ) m E E 5 50 E ( µ α h l ) m E E 5 50 E

90 V- 90 δ ( µ α h l ) m E E 5 50 E ma 88. Atalet momenti değişken kirişler.(genişliği bou ile lineer olarak değişen konsol kiriş) E b e b b L L ( ) F L ( ) F L FL b E Eb ( L ) L FL + C Eb Şekil θ 0 C FL Eb FL Eb + C 0 0 C FL Eb (4) FL Elastik eğrinin parabol olduğu çıkar ancak dikkate alınırsa elastik eğrinin ρ Eb çember aı olması gerektiği görülür. Bu durum ifadesinde nin ρ + ihmal edilmesinden kanaklanmaktadır. Eğer elastik eğri çember kabul edilirse,

91 V- 9 ρ ρ olarak elde edilir. Eb Eb FL FL (44) Şekil 6-40 Şekil 6-4 Herhangi bir noktadaki eğrilik, ρ E E E P L bh h0 + h L h L

92 V- 9 bh L P( L ) P ρ E ( ) h L L b h0 + h ( L ) h0 + h L E ( ) h L L t P h 0 t + h L t ( t) dt E 0 Bu integrasonun sonucu çok karmaşıktır. Ancak öel bir çöüm olarak h 0 0 alınabilir. Bu durumda, P L ln L + L L P L E L L ln + L 89. Atalet momentindeki ani değişiklikler. daima < L olmalıdır. (45) Birinci bölgede elastik eğri için, Şekil 6-4

93 V- 9 E E (46) İkinci bölgede elastik eğri için, E (47) aılabilir. Yani Elastik eğri ohr metodu ile tain olunurken atalet momentinin ani değiştiği erde moment diagramını faktörüle çarpmak icap eder. Şekildeki kirişe ait moment diagramına ait değerler, a 0mm b 50mm c 5mm 7854mm 5664mm 4 4 b b a+ c+ 60 E P P L 7 a 60 C E P b a C C P 7 c 5 D E P b c D D P 7

94 V- 94 b L + a + a c EL L ( C ) C a L D D c L + + E ( C ) C b a+ a b L + a + a c EL L ( C ) C a L D D c L + + E ( C ) C 6 b a+ 6 a 0 a 0 a E P E (48) b L+ a+ a c EL L ( C ) C a L D D c L + + a E ( C ) C a 6 b a + a b / E P E (49) b L + a + a c EL C C a D D c L L L + + ( ) L c E ( D ) D c L 6 b c + a+ b / b

95 V- 95 E + + P 7679 E (50) 4 b L + a + a c EL C C a D D c L L L + + ( ) L L E D D 6 b c+ 6 c ( ) b c 4 E P 7679 E (5) Şekil 6-4 Bb AL L b δ ma ks + E

96 V ütemadi kirişler. PL Pb δ ma ks + E (5) Şekil 6-44 F - n l n an n ln n l n n bn n l F n + n l E 6 E E l E E 6 E n n n n n n n n θ n θ a b - ( ) 6 n n n n n ln n ln ln n l F F n + l l n n n (5) (54)

97 V- 97 Şekil ( 5+ 6) ( 6+ 4) ( 4 ) d( 4 ) 4 ( 4 ) tm tm V A V B ton ton V C V D ton ton 4 4

98 V- 98

99 V Eğilmee çalışan eşit mukavemetli çubuklar. Çubuk kesitinin çubuk ekseni bounca değişimi öle olmalıdır ki, çubuk ekseni üerinde her erde maksimum eğilme gerilmesi hep anı olmalıdır. Bu hale eğilmee çalışan eşit mukavemetli çubuklar denir. Dikdörtgen kesitli bir çubukta kesitte ortaa çıkan maksimum gerilme, e h 6 e sabit bh olduğuna göre eğer genişlik sabitse üksekliğin değişimi, h 6 b 6 b 6P b e e ( L ) Şekil için h0 6PL b h 0 h L L (55) Şekil 6-47 olarak hesaplanır. Eğer ükseklik sabitse genişliğin değişimi,

100 V e b h (56) olarak hesaplanır. Dairesel kesitli bir milde ise, P π π π (57) e e e R e L 0 R 0 4 e PL π R R olarak hesaplanır. 0 ( L ) L (58) Eğer ükseklik sabit tutulursa, 6 e 6 6 b e P ( L ) h h h (59) olarak hesaplanır. 0 6PL h b0 b 0 b L L (60) 9. Eşit mukavemetli çubuklarda sehim hesabı-l açıklıklı konsol kiriş-. a- Genişliğin sabit olduğu durumda h 0 h L L E P L h L ( ) 0 E b L 0 L P L E b h

101 V- 0 { } L P L + C E b h 0 { } 4L P L + L E b h C L 0 4L P L + L + C E b h 0 0 C L 0 4L P L + L L E b h (6) elastik eğrinin denklemi, Çubuğun ucundaki sehim L aarak 8L P E b h0 δ elde edilir. (6) Eğer çubuk kesiti sabit olsadı, L aarak L P E b h0 δ elde edilir. (6) Demek ki, sabit genişlikte eşit mukavemete sahip konsol kirişin ucundaki sehim, sabit ükseklikli ankastre çubuğun ucundaki sehimin iki katıdır. Yani, δ δ dir b- il problemi, Uçtaki sehim, δ PL PL 4 5 EπR0 5 E (64) Sabit kesitli milde, PL δ E (65) δ 9 δ 5 (66) c- Sabit ükseklikli çubuk,

102 V- 0 Uçtaki sehim, PL PL δ 6 Ebh E (67) Sabit kesitli milde, PL δ E (68) δ δ (69) elde edilir.