ÜÇ BOYUTLU HALDE GERİLME VE DEFORMASYON

Transkript

1 III- BÖLÜM III 7. Üçgen gerilme hali: ÜÇ BOYUTLU HLD GRİLM V DFORMSYON Sürekli bir ortam içindeki herhangi bir noktadan boutları.. olsun çok küçük bir primatik eleman çıkartalım. Bu elemanın üelerine gelen gerilmeler,,,,,,,,, olsun. Denge şartı gereği olarak, Şekil III- Şekil III-

2 III- R = 0 R = 0 R = 0 M = 0 = M = 0 = M = 0 = (68) bulunur. Bir başka deişle, anı arıtta bulunan kama gerilmelerinin şiddeti eşittir. Şimdi gö önüne aldığımı primaı, GC dülemi ile kesip iki parçaa aıralım ve açığa çıkan dülem üerindeki gerilmeleri hesaplaalım. Bunu için arı arı denge denklemlerini aalım. R = 0 s. = CG OCG OC OG s = OCG OC OG CG CG CG OCG CG OC CG OG CG = cos( α) = a = cos( β) = b = cos( γ) = c R = 0 s=. a+. b+. c (69) Bener şekilde, R = 0 s=. a+. b+. c (70) R = 0 s=. a+. b+. c (7) aılabilir. Bu üein dış normal birim vektörü, n= ai+ bj+ ck

3 III- olduğundan, bu üedeki normal gerilmenin şiddeti, = s.cos( φ) = s.n= sa+ sb+ sc = a+ b+ c a (... ) (... ) (... ) + a+ b+ c b + a+ b+ c c = = a + b + c + ab+ bc+ ca.... (7) olarak elde edilir. Bu üedeki kama gerilmesinin şiddeti = s = (. a+. b+. c) (. a. b. c) (. a. b. c). a. b. c + + ab bc. ca (7) Yukarıdaki denklemler matris formuna getirilirse, elde edilir. S cos( α) S = cos( β) S cos( γ) (74) S = cos( α) cos( β) cos( γ) S S cos( α) = cos( α) cos( β) cos( γ) cos( β) cos( γ) (75) ğer GC dülemi asal dülem ise, olur ve bölece = 0

4 III- 4 s = olur ki, R = 0 s =. a+. b+. c= a R = 0 s =. a+. b+. c= b R = 0 s=. a+. b+. c= c (76) elde edilir. Bu denklemler eniden düenlenerek, ( ). a+. b+. c= 0. a+. b+. c= 0. a+. b+. c= 0 (77) aılır. Matris formuna getirilerek, a 0 b = 0 c 0 bulunur. bu üç denklemde a 0, b 0 ve c 0 olmak şartı ile çöüm elde etmek için, determinant = 0 ( ) ( ) = 0 (78) olmalıdır. Bu üçüncü dereceden denklemin üç reel kökü asal gerilmeler olup, ve ise, ukarıdaki denklem, = = 0 denklemine eşdeğerdir. Buna göre,

5 III = = + + = (79) elde edilir ki, bu ifadelere üçgen gerilme hali invarantları denir. Şekil III- Karteen dülemleri asal dülem ve olmak üere asal gerilmeler olsun s s = =.. a b s =. c a + b + c = bu denklemlerden a, b ve c çekilerek son denklemde arine aılacak olursa,

6 III- 6 s s s + + = Şekil III- 4 (80) elde edilir. Bu elipsoid denklemidir ve Lame elipsoidi adını alır. Lame elipsoidi problemi çöme ve açıklama açısından çok fala kullanışlı değildir. Lame elipsoidinin erine başka bir metot kullanmak üere s = + =. a +. b +. c =. a +. b +. c a + b + c = denklemlerini ele alalım. Bu denklemlerde sırası ile CG düleminin doğrultman kosinüsleri olan a,b,c ile gösterilsin. Bunlardan önce ile önce a ı, sabit tutup b i ve c i değiştirelim. Bunun için a ihtiva eden terimi sağ tarafa geçirelim,. b +. c = +. a. b +. c =. a b + c = a Bölelikle elimide iki bilinmeenli üç denklem olur. Bu üç denkleminde anı çöüme sahip olabilmesi için, bu denklemlere ait katsaılar determinantı, (. a) ( a) ( a) + b 0. c = 0 0

7 III- 7 (. a) ( a) ( a) + DT. = 0 olmalıdır. Son sütuna göre açılırsa, ( a)( ) ( a)( ) ( a) ( ) ( ) a ( a)( ) ( a) = = ( + ) + ( ) = 0. a (. a)( + ) + ( a) + ( ) + + ( ) + + = 0 + a + ( + ) ( + ) + ( ) = 0 a ( )( ) a ( )( ) + = = a ( )( ) + ( ) ( ) + + = a ( )( ) + 4 a = 0 için 0 a (8) ( + ) ( ) + = 4 (8) Merkeinin koordinatları ( ) +,0 ve arıçapı R= olan bir çember. a = için

8 III- 8 ( ) ( ) ( ) = ( )( ) + 4 ( ) = ( + ) + 4 ( + ) ( + ) + = (8) Merkeinin koordinatları denklemi elde edilir. ( + ),0 + ve arıçapı, R= olan bir çember Şimdi b ı sabit tutalım ve içinde b bulunan terimi sağ tarafa geçirelim,. a +. c = +. b. a +. c =. b a + c = b Bölelikle elimide iki bilinmeenli üç denklem olur. Bu üç denkleminde anı çöüme sahip olabilmesi için matris formunda aılmış bu denklemlerde katsaılar determinantı, (. b) ( b) ( b) + a 0. c = 0 0 (. b) ( b) ( b) + DT. = 0 olmalıdır. Son sütuna göre açılırsa,

9 III- 9 ( b)( ) ( b)( ) ( b) ( ) ( ) b ( b)( ) ( b) = = ( + ) + ( ) = 0. b (. b)( + ) + ( b) + ( ) + + ( ) + + = 0 + b + ( + ) ( + ) + ( ) = 0 b ( )( ) b ( )( ) + = + + = + + b ( )( ) ( ) ( ) + + = b ( )( ) b (84) b = 0 için ( + ) ( ) + = 4 (85) Merkeinin koordinatları ( ) +,0 ve arıçapı R= olan bir çember. b = için ( ) ( ) ( ) = ( )( ) + 4 ( ) = ( + ) + 4

10 III- 0 ( + ) ( + ) + = (86) Merkeinin koordinatları denklemi elde edilir. ( + ),0 + ve arıçapı, R= olan bir çember Şimdi de c i sabit tutalım ve içinde c bulunan terimi sağ tarafa geçirelim,. a +. b = +. c. a +. b =. c a + b = c Bölelikle elimide iki bilinmeenli üç denklem olur. Bu üç denkleminde anı çöüme sahip olabilmesi için matris formunda aılmış bu denklemlerde katsaılar determinantı, (. c) ( c) ( c) + a 0. b = 0 0 (. c) ( c) ( c) + DT. = 0 olmalıdır. Üçüncü sütuna göre açılırsa, ( c)( ) ( c)( ) ( c) ( ) ( ) c ( c)( ) ( c) = = ( + ) + ( ) = 0. c (. c)( + ) + ( c) + ( ) + + ( ) + + = 0 c ( ) ( + ) + ( ) = 0 c ( )( ) + +

11 III- + = c ( )( ) + = + + c ( )( ) ( ) ( ) + + = c ( )( ) c (87) c = 0 için ( + ) ( ) + = 4 (88) Merkeinin koordinatları ( ) +,0 ve arıçapı R= olan bir çember. c = için ( ) ( ) ( ) = ( )( ) + 4 ( ) = ( + ) + 4 ( + ) ( + ) + = (89) Merkeinin koordinatları denklemi elde edilir. ( + ),0 + ve arıçapı, R= olan bir çember Şimdi bu çemberleri çielim. Şekilden de görüldüğü gibi üç boutlu gerilme halinde gerilmeler şekilde görülen taranmış bölgeler içinde olmalıdır. Her üç şekil üst üste getirilirse elde edilecek şekil safanın altında görülmektedir. Gerilmeler ortak taralı alan içinde temsil edilmelidir.

12 III- Şekil III- 5 Sonuçta üç boutlu gerilme halini temsil etmek üere 0 a, 0 b ve 0 c dülemlerindeki Mohr çemberleri, Şekil III- 6 olarak çiilmiş olur.

13 III- 8. Çeşitli öel durumların Mohr çemberi ile iahı: Şekil III- 7

14 III- 4 ÖRNK: şağıdaki şekilde BC dülemi üerindeki normal ve kama gerilmesini hesaplaını. BC düleminin normalinin koordinat eksenlerile aptığı açılar: n : Yüein dış normal birim vektörü. B C n= B C B = -4i + 6j C = -4i + 5k i j k B C= 4 6 0= 0i+ 0j+ 4k B C= = n= i+ j+ k a= arccos = b= arccos =

15 III- 5 4 c= arccos = S= = 000= 8.6 N/cm S S = 0 0 = 6000= N/cm = 4 4 = ( 4000) = 6.4 N/cm S= S + S + S = 907. N/cm = S.n = S+ S + S = N/cm = n = i 876 j 876 k N/cm = 40.9i+ 68.9j+ 8.k N/cm = S - = i+ j+ k ( ) ( ) ( ) = 488.7i+ 88.6j k S = = = 69.7 N/cm

16 III- 6 ÖRNK: Şekildeki üçgen gerilme hali asal gerilmelerle verilmiştir. Z ekseninden geçen ve eksenile 0 0 lik açı apan dülem üerindeki gerilmeleri hesaplaını. Bu dülemin normali eksenile 60 0, eksenile 0 0 ve eksenile 90 0 lik açı apmaktadır. Buna göre, olur. a= cos 60 = 0 b= cos 0 = 0 0 c= cos 90 = 0

17 III- 7 S S 0 = a. = cos = ( 4000) = 000N/cm 0 = b. = cos = 000 = 6000 N/cm S = 0 N/cm S= S i+ S j+ S k S= 000i j S = S= = 058 N/cm n= i+ j = n S= = 8000 N/cm =n = i j = S = 000i j 8000 i+ j = ( ) i+ ( ) j = 6000i+ 000 j = S = = N/cm

18 III- 8 ÖRNK: Üçgen gerilme hali, ve ile verildiğine, (, ) dülemindeki maksimum kama gerilmesi, dülemindeki maksimum kama gerilmesi, dülemindeki maksimum kama gerilmesi olduğuna göre bu maksimum kama gerilmelerinin tesir ettiği dülemlerin normalleri arasındaki açının 60 0 olduğunu gösterini. ÖRNK:,, Karteen dülemler üerinde,, ve asal gerilmeleri ile verilen üçgen gerilme hali için, a= b= c= doğrultman kosinüsleri ile verilen normale sahip üedeki, normal ve kama gerilmelerini hesaplaını. S =

19 III- 9 S S = = S= i+ j+ k ( ) n= ( i + j+ k) = n.s= + + ( ) = n. = + + ( )( i + j + k) = S = i+ j+ k + + i + j + k ( ) ( ) = S = + + i j k == + + = = = + + = + + bulunur.

20 III- 0 ÖRNK:,,,,, ile verilen üçgen gerilme halinde a= b= c= doğrultman kosinüsleri ile verilen normale sahip üedeki normal ve kama gerilmelerini hesaplaını. S = + + S = + + S = + + S = ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) i j k n= ( i + j+ k) = n.s= ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) + + = ( ) + + = = S - ( ) ( i + j+ k) = ( ) ( ) ( ) + + i+ + + j+ + + k ( + + ) ( i + j+ k)

21 III- ( ) + + i = + + ( + ) j + + ( + ) k S S = ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( + ) = + ( + ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) = = ( ) ( ) ( ) + ( + + )( + + ) = 9 + ( + + )( + + ) + ( + + )( + + ) = S ( ) ( ) ( ) = ( + + ) + ( + + ) + ( + + ) + ( + + )( + + ) + ( + + )( + + ) + ( + + )( + + ) 9

22 III- = ( )( ) ( + + )( + + ) 9 + ( + + )( + + ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 9 + ( ) 9 + ( ) ( + + ) 9 + ( + + ) ( ) ( ) 9. Üçboutlu şekil değiştirme hali: ( ) ε = ν = +ν ν ε = ν = ( +ν) ν ( ) (90) ε = ν = +ν ν ε+ ε + ε= ( + ν) ν birim hacim değişimi ne e dierek, e=ε +ε +ε + + ( ν ) (9) = + + = p

23 III- ( ) e= ν p = p ( ν) e + + p ν = ε +ν = ε +ν = ε + e +ν +ν +ν ν = ν ε +ν ε +ε +ε ( ) +ν ν = ν ε +ν ε +ε ( ) +ν ν = ν ε +ν ε +ε +ε ( ) +ν ν = ν ε +ν ε +ε ( ) +ν ν = ν ε +ν ε +ε +ε ( ) +ν ν = ( ν ) ε +ν ε +ε +ν ν (9) elde edilir. Distorsion için, = Gγ = Gγ aılır = Gγ (9) 40. Üçboutlu halde şekil değiştirme işi: F kuvvetinin aptığı diferansiel iş, ( U) = F ( ) F = = ε Şekil III- 8

24 III- 4 U = ε U = ε ε U = ε ε V U = ε ε V ( ) d U = ε dε V U= εdε V= ε V= ε V Diğer doğrultular da dikkate alınarak, toplam olarak U= ( ε+ ε+ ε) V (94) aılır. Buradan Birim hacim şekil değiştirme işi olara, U = = + + V ( ε ε ε) (95) elde edilir. ε ν + = ε ν + = ε ν + = ifadeleri erlerine aılırsa, U = = + + ν + + V (96) elde edilir. olarak aılırsa, + + =

25 III- 5 ( ) ν = İNVRYNT. İNVRYNT (97) elde edilir. Buradan anlaşılmaktadır ki, şekil değiştiren bir cisim içindeki toplam birim hacim şekil değiştirme işi eksenlerin doğrultusundan bağımsı olup invaranttır. ( + + ) = ( + + ) ( ) + ( ) + ( ) = ( + + ) ( + + ) Bu iki denklemden, + + = = bulunur. Bulunan bu değerler erlerine aılırsa, ( ) ( ) ( ) ( ) U = = V ν ( ) ( ) ( ) ( ) ν ( ) U + + = = V + ν + ( ) + ( ) + ( ) (98) olarak elde edilir.

26 III- 6 Şekil III- 9 Bu birim hacim şekil değişimi işi ifadesi, = hidrostati+ deviatorik olmak üere iki kısma arılabilir. Yani bu iş toplam hacim değişimi işi ile kama gerilmelerinin aptığı toplam işin toplamı olarak elde edilebilir. Bunun için aılarak, p= = = ( ν) ν + = ( p p p ) ( p p ) ( p p ) ( p p ) p= hidrostatik= {( ν) p } (99) elde edilir. ( ν) ( p p p ) = + ν ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) ( p) + + ( ν) p p p = 0 + ν ( p + p) + ( p + p) + ( p ) + p + ν g= deviatorik= + + (00) aarak,

27 III p= olması gerektiği ortaa çıkar. Buna göre, hidrostatik deviatorik = {( ν) p } + ν = + + (0) (0) şeklinde elde edilir. = + p g (0)