T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ

Transkript

1 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek Lisas Tezi Kasım 04 NEVŞEHİR

2

3 T.C. NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Tezi Hazırlaya Abdulkadir KURAG Tez Daışmaı Doç. Dr. Necdet BATIR Matematik Aabilim Dalı Yüksek Lisas Tezi Kasım 04 NEVŞEHİR

4

5

6 TEŞEKKÜR Bu tezi hazırlama sürecide baa yardımcı ola daışma hocam Doç. Dr. Necdet BATIR a ve maddi maevi her türlü desteğii esirgemeye eşime, çocuklarıma ve değerli meslektaşım Osma KURAN hocama teşekkürlerimi suuyorum. iii

7 KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ (Yüksek Lisas Tezi) Abdulkadir KURAG NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Kasım 04 ÖZET Metrik uzayları birçok geelleştirilmiş hali vardır. Bularda bazıları; fuzzy metrik uzayı, soyut (koik) metrik uzay, K- metrik ve K- ormlu uzay, meger uzay, dikdörtge metrik uzay, dikdörtgesel koik metrik uzay. 007 yılıda Çili matematikçiler Huag ve Zag 0. Yy. da taımlamış ola ve kullaılmış ola K-metrik ve K-ormlu uzayları varlığıda habersiz olarak koik metrik uzayları taımladılar. Her ikiside de reel sayılar kümesi yerie E Baach uzayıı aldılar. Buula birlikte Huag ve Zag daha da ilerisii yaparak dizileri yakısaklığıı da taımladılar. Bu yaklaşım tarzı koiki ormal olmadığı durumlarda da bu uzayları araştırma imkaı verdiler. Bu durum akademik camiada büyük bir heyeca uyadırdı. Kısa bir zamada bu kouyla ilgili altı yüzde fazla makalei yayılaması bu heyecaı e calı öreğidir. Tezimiz beş bölümde oluşmaktadır. Birici bölüm tezi giriş kısmıda oluşmaktadır. Tezimizi ikici bölümüde bazı temel kavramlara yer verdik. Üçücü bölümde ise koik metrik uzayları taımıı yaparak koik metrik uzayları temel özelliklerii ele aldık. Dördücü bölümde sabit okta teoremlerii ele aldık. So olarak beşici bölümde ise souç ve öerilere yer verilmiştir. Aahtar kelimeler: Metrik uzaylar, koik metrik uzaylar, sabit okta teoremleri Tez Daışma: Doç. Dr. Necdet BATIR Sayfa adedi: 49 iv

8 MAIN PROPERTIES OF CONE METRİC SPACES (M. Sc. Thesis) Abdulkadir KURAG NEVŞEHİR HACI BEKTAŞ VELİ UNİVERSİTY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLİED SCİENCES November 03 ABSTRACT There are may geeralizatio form of metric spaces. Some of them are; fuzzy metric space, abstract (coe) metric space, K- metric space, rectagular metric spaces. I 007, Chiese mathematicias Zag ad Huag itroduced the coe metric spaces as usig the K- metric ad K-ormed which was defied ad used i the 0th cetury. Both drave of reel umber were replaced with E Baach space. Besides Huag ad Zag defied the proximity of iterior poit by usig the defiitio of E Baach space. So, that is provided to discovery the coe space without eecessary to the orm of coe space. This case aroused great excitemet i the scholary commuity. I a short time the most vivid examples of this excitemet that was published more tha six hudred articles about this subject.the thesis orgaized as follows. Our thesis cosists five sectios. I the first part of this thesis, we have itroduced some basic cocept. I the secod part, we discussed the structural properties of metric spaces by defiig coe metric spaces. I the third sectio we discussed fixed poit theorems. Fially, i the fourth ad last sectio, coclusios ad recommedatios have bee give. Keywords: Metric spaces, coe metric spaces, fixed poit theorems Thesis Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Necdet BATIR Page Number: 49 v

9 İÇİNDEKİLER KABUL VE ONAY SAYFASI... i TEZ BİLDİRİM SAYFASI... ii TEŞEKKÜR... iii ÖZET... vi ABSTRACT... v İÇİNDEKİLER... vi. BÖLÜM GİRİŞ.... BÖLÜM TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Metrik Uzaylar Sabit Nokta ve Daraltma Döüşümleri BÖLÜM KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ Koik Metrik Uzaylar Sıralı Baach Uzaylarıda Koikleri Normalliği Koik Metrik Uzaylarda Yakısaklık ve Limit BÖLÜM SABİT NOKTA TEOREMLERİ vi

10 4.. Sabit Nokta Teoremleri BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ vii

11 .BÖLÜM GİRİŞ Matematiği evresel gelişimi aalizi çalışma metotlarıda etkilemiştir. Buula birlikte kümeleri bazı cebirsel özellikleri aalizi gelişmesie yeterice katkıyı yapmadığıda metrik uzaylara ihtiyaç duyulmuştur. Öreği boşta farklı bir kümei metrik ve iki okta arası uzaklık kavramıı asıl taımlaacağı matematiği temel problemleride biri olmuştur. Metrik uzay kavramıı ilk kez 906 yılıda Maurice Fréchet vermiştir. Fréchet boşta farklı bir küme üzerideki metrik yapısı üzeride çalışmış, kümei farklı iki elemaı arasıdaki uzaklığı pozitif bir reel sayı olması gerektiğii göstermiştir. Bu da klasik aalizde moder aalize geçişi ilk adımı olmuştur. Ayrıca topoloji teoriside soyut ola bazı kavramlar, metrik uzay teoriside daha somut kavramlarla açıklama imkaı bulur. Metrik uzayları birçok geelleştirilmiş hali vardır. Bularda bazıları; fuzzy metrik uzayı, soyut metrik uzay, K- metrik ve K- ormlu uzay, meger uzay, dikdörtgesel metrik uzay, dikdörtgesel koik metrik uzay. 007 yılıda Çili matematikçiler Huag ve Zag 0. Yy. da taımlamış ola ve kullaılmış ola K-metrik ve K-ormlu uzayları varlığıda habersiz olarak koik metrik uzayları taımladılar. Her ikiside de reel sayılar kümesi yerie E Baach uzayıı aldılar. Buula birlikte Huag ve Zag daha da ilerisii yaparak dizileri yakısaklığıı da taımladılar. Bu yaklaşım tarzı koiki ormal olmadığı durumlarda da bu uzayları araştırma imkaı verdiler. Huag ve Zhag sabit oktayı icelemek içi metrik uzayları tamame yeterli olmadığıı ve metrik uzaylarda daha kapsamlı bir uzayı olabileceğii gördüler ve bu soruu üsteside gelmek içi de koik metrik uzay kavramıı verdiler. Yukarıda belirtile bilgiler ışığıda bu tezi amacı koik metrik uzayları bazı temel özelliklerii açıklamak ve koik metrik uzaylarda bazı sabit okta teoremlerii ve buları ispatlarıı geiş biçimde icelemektir. Tezi ikici bölümüde ise bazı temel taım ve kavramlar verilmiştir. Ayrıca bu bölümde literatürde temel teşkil ede bazı öemli teorem ve souçlar da yer almaktadır.

12 Üçücü bölümde ise öcellikle koiki taımı ve bazı koik örekleri verilmiştir. Ayrıca sıralı Baach uzaylarıda koikleri ormalliği icelemiştir. Bu bölümde ayrıca koik metrik uzayları taımı verilmiş, koik metrik uzaylarla ilgili örekler ve bazı teoremlere yer verilmiştir. Dördücü bölümde, sabit okta teoremleri ve ispatlarıa geişçe yer verilmiştir. Ayrıca sabit okta teoremlerii bazı souçları da ispatlarıyla birlikte verilmiştir. So olarak beşici bölümde souç ve öerilere yer verilmiştir.

13 .BÖLÜM TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR.. Metrik Uzaylar Taım... Boş olmaya bir X kümesi ve bir ρ : X X R +, ( x, y ) ρ( x, y ) döüşümü verilsi. Eğer bu ρ döüşümü her x, y, z X içi (M) ρ( x, y ) = 0 x = y; (M) ρ( x, y ) = ρ( y, x ); (M3) ρ( x, y ) ρ( x, z ) + ρ( z, y ); ( üçge eşitsizliği ) özelliklerii sağlıyorsa X üzeride uzaklık foksiyou ya da metrik adıı alır ve bu durumda (X, ρ) ikilisie bir metrik uzay deir. Burada (M) (M3) özelliklerie metrik aksiyomları deir []. Örek..: X e az iki elemalı bir küme ve x, y X olsu. O zama ρ(x,y) = 0; x = y ; x y taımlarsak ρ, X üzeride bir metriktir. Bu metrik uzaya ayrık ya da diskrit metrik uzay deir []. Örek..3. Gerçel sayılar kümeside ρ(x,y) = x y uzaklığı ile bir metrik uzaydır ve R ile gösterilir. 3

14 Örek..4. xx = (xx, xx,, xx ), yy = (yy, yy,, yy ) R içi ρ(xx, yy) = ( xk yk k = ) (.) taımlarsak (R, ρ) bir metrik uzaydır. Bu uzaya boyutlu Öklid uzayı deir []. (.) ile taımlaa ρ(xx, yy) foksiyou Taım.. deki (M) ve (M) özelliklerii sağlar. Ayrıca (M3) i üçge eşitsizliğii sağladığı kolayca görülür. Gerçekte, xx = ( x, x,..., x ), yy = ( y, y,..., y ), zz = ( z, z,..., z ) R içi ak = x y, b = k k k y z (k =,,...) k k olsu. Bu durumda üçge eşitsizliği ( xk zk k = ) < ( xk yk k = ) + ( yk zk k = ) (.) ya da ( a k + bk k = ) < a + k = k b k = k (.3) eşitsizliğie dektir. ( akbk ) < k = a k = k b k = k (.4) Couchy Schwarz eşitsizliğie göre ise ( ak + bk ) = ak + akbk + bk k = k = k = k = < a k= k + ak bk + bk k= k= k= = ( a + k = k b k = k ) 4

15 biçimide elde edilir. Kareköküü aldığımızda (.3) ü, burada da (.) yi elde ederiz. Örek..5. xx = ( x, x,..., x ), yy = ( y, y,..., y ) R içi ρ(xx, yy) = x y k = k k (.5) taımlayalım. O zama ρ u (.5) ü taım.. de verile üç özelliği de sağladığı kolayca görülür. Bua karşılık gele metrik uzay R ile gösterilir []. Örek..6. xx = ( x, x,..., x ), yy = ( y, y,..., y ) R olsu. ( x, y) = xk yk ρ max (.6) 0 k şeklide taımlayalım. Bu durumda da bir metrik uzay elde etmiş oluruz. R 0 olarak gösterile uzay çoğu zama Öklid uzayı R kadar kullaışlıdır []. Taım..7. (X, ρ) bir metrik uzay ve xx 0 XX ve rr > 0 olsu. { x X : ( x, x r} B x, r) = ) < ( 0 ρ 0 kümesie x0 merkezli r yarıçaplı açık yuvar, B [ x r] = { x X : ( x, x ) r} 0, ρ 0 kümesie x0 merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar, [ x r] = { x X : ( x, x ) r } S = 0, ρ 0 kümesie de küre (yuvar yüzeyi) deir [3]. Taım..8. Herhagi bir F cismi üzeride bir VV vektör uzayıı göz öüe alalım. Eğer NN VV R + döüşümü aşağıdaki şartları sağlarsa bu döüşüme orm deir. Normlu bir vektör uzayıa da ormlu uzay deir. Ayrıca orm xx VV içi NN(xx) = xx şeklide gösterilir [4]. 5

16 N) Her xx VV iiçiiii xx 0 dir. (pozitiflik aksiyomu) N) xx VV iiçiiii xx = 0 içi gerek ve yeter koşul xx = 0 dır. N3) Her xx VV ve αα F içi αααα = αα xx dir. (homojelik aksiyomu) N4) Her xx, yy V içi xx + yy xx + yy dir. (üçge eşitsizliği) Örek..9. R ve C üzeride sırasıyla,. : R R, xx = xx. : C C, zz = zz foksiyoları göz öüe alıırsa R ve C birer ormlu uzaydır [4]. Örek..0. R ve C üzeride, xx R ve xx C olmak üzere x = = i= i= x x, xi, x = x, x max { x i : i =,... } biçimide taımlaa x, birer ormdur. Böylece R ve C birer metrik uzaydır [4]. Taım... X ormlu lieer uzay olsu. Eğer X orm metriğie göre tam ise X uzayıa Baach uzayı deir. Buradaki tamlık ; xx XX içi xx mm xx 0 (mm, ) olduğuda xx xx 0 ( ) olacak şekilde bir xx XX vardır demektir... Sabit Nokta ve Daraltma Döüşümleri Taım... XX bir küme ve TT XX XX bir döüşüm olsu. Bu durumda TTx 0 = x 0 olacak şekilde bir x 0 X varsa, x 0 oktasıa T i XX de bir sabit oktası deir. Eğer xx R içi ρ ( TTx, TTy) < α ρ (x,y) olacak şekilde bir 0<α < reel sayısı varsa TT ye daraltma döüşümü deir. Her daraltma döüşümü kediliğide süreklidir [4]. Çükü daraltma xx xx olduğuda xx TTTT dir. 6

17 Aşağıdaki öreklerde de görüleceği gibi TT XX XX ile taımlaa bir TT döüşümüü bir tek sabit oktası olabilir veya birde çok olabilir veya hiç olmayabilir. Örek... XX = [ 0, ) ve TT XX XX, TTTT = xx olsu. Bu durumda x 0 = 0 bu döüşümü bir tek sabit oktasıdır [4]. Örek..3. XX = [ 0, ) ve TT XX XX, TT x = x olsu. Bu durumda x 0 = 0, x = bu döüşümü iki sabit oktasıdır [4]. Örek..4 X = (, ) ve TT XX XX, Tx = x 3 olsu. Bu da x 0 = 0, x =, x = bu döüşümü üç sabit oktası olduğuu gösterir. [4]. Örek..5. XX = [ 0, ) ve TT XX XX, Tx = x + b, b > 0 olsu. Bu durumda TT i hiçbir sabit oktası yoktur. I, XX üzerideki birim döüşüm olmak üzere TT XX XX döüşümüü sabit oktası aslıda (TT I )( x ) = 0 deklemii çözümleridir. O halde bu deklemi çözümüü bulmak içi stadart tekik, bua karşılık gele döüşümü sabit oktalarıı bulmaktır. Teorem..6. (X, ρ) bir tam metrik uzay olsu. Eğer TT XX XX bir daraltma döüşümü ise T i tek bir sabit oktası vardır [5]. İspat : Bir x o R içi x =Tx o, x =Tx = T x o,..., x =Tx =T x o,... (.7) olsu. Bu durumda (x ) dizisi cauchy dizisi olur. Biraz daha açıklayacak olursak ; < m içi ρ ( xx, xx mm ) = ρ (TT xx 0, TT mm xx 0 ) α ρ (x o, x ) m <α [ ρ (x o, x )+ ρ (x, x )+...+ ρ ( x x ) m, m ] < α ρ (x o, x ) [+α + α m α ] 7

18 < α ρ (x o, x ) α elde ederiz. X tam ve (x ) cauchy dizi olduğuda sağdaki ifade keyfi olarak yeterice büyük içi küçültülebilir. Ayrıca x= lim x gibi bir limite sahiptir. Sora da T i sürekliliğide Tx = T lim x = limtx = lim x + = x elde edilir. Bu da x gibi sabit bir oktaı varlığıı ispatlar. x i tekliğii ispatlamak içi, Tx=x ve Ty=y ise taım..de ρ (x, y) <α ρ (x, y) halie gelir. Fakat burada da ρ (x, y)< 0 olur. Çükü α < dir. Buda dolayı da x = y olur. Not : Sabit okta teoremi,çeşitli türlerdeki deklemleri çözülmesi içi, varlık ve teklik teoremlerii ispatıda kullaılabilir. Sabit okta teoremi Tx = x formuda bir deklemi tek bir çözümü olduğuu göstermei yaı sıra çözümü bulmada pratik bir yötem sağlar. Öreği (.7) ardıl yaklaşımları hesaplamasıda kullaılabilir. Aslıda ispatta da görüldüğü gibi (.7) yaklaşımları gerçekte de Tx = x deklemii çözümüe yaklaşmaktadır. Bu edele sabit okta teoremi çoğulukla ardıl yaklaşımlar yötemi olarak biliir. Örek..7. I= [a, b] ve f : I I döüşüm olsu. Ayrıca K< içi, f ( x ) f ( x ) <K x x (.8) Lipschitz koşuluu sağlası.(xx ) dizisii, xx = f(xx ), Nşeklide taımlayalım. Teorem..6 da dolayı (xx ) dizisi f(xx) xx = 0 deklemii bir köküe yakısar. Örek..8. xx = ( x, x,..., x ) R içi i y = a x + b j= ij j i (i =,...,) (.9) diyelim. TT R R döüşümü Tx = (yy, yy,, yy ) şeklide taımlası. 8

19 Eğer T bir daraltma döüşümü ise Tx = x deklemii çözümü içi ardıl yaklaşımlar yötemii kullaabiliriz. T i hagi koşullarda daraltma döüşümü olacağı seçile metriğe bağlıdır. Şimdi şu üç durumu iceleyelim.. R 0 uzayı ρ ( x, y) = max x i i y i metriği ile ele alıdığıda, ρ ( y, ~ y ) = max y ~ y = max a ( x ~ x ) i i i i j ij j j max a x ~ x i j ij j j max a max x ~ x i j ij j j j = max ρ ( x, x ) i j a ij ~ ve daraltma koşulu a α < (i=,...,) (.0) j ij olur.. R uzayı ρ (x, y) = x i i= y i metriği ile ele alıdığıda 9

20 ρ ( y, ~ y ) = y ~ y = a ( x ~ x ) i i i i j ij j j i j a x ~ x ij j j max j i a ij ρ ( x, ~ x ) ve daraltma koşulu i a ij ( j ) α < =,..., (.) 3. Basit Öklid uzayı R ρ ( x, y) = ( ) i= x i y i metriği ile ele alıdığıda ~ ~ ρ = ij j j ij ρ i j i j ( y, y ) a ( x x ) a ( x, x ) ~ i a j ij α < (.) daraltma koşuluyla olur. Bu edele, eğer bu koşullarda e az biri geçerli olursa ( i = ) xi = aij xj + bi,,..., j= (.3) xx = (xx, xx,, xx ) gibi bir tek okta vardır. xx = AAAA deklemii çözümü ardıl yaklaşımları dizisi 0

21 ( x x,..., x ) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) x =, ( x x,..., x ) ( ) ( ) ( ) ( ) x =,... ( x x x ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) x =,...,,... olduğuda, şu formlarda birii alır. ( k ) i x = a x + b j= ij k j ij ve herhagi bir okta x (0) ı sıfırıcı yaklaşım olarak alabiliriz. (.0) (.) koşullarıda her biri ardıl yaklaşımlar yötemii kullaılması içi yeterlidir, fakat hiçbiri gerekli değildir. Teorem..6 sorada işe yarayabilecek aşağıdaki yararlı geellemelere sahiptir. Teorem..9. R bir tam metrik uzay, T: R R sürekli döüşüm ve T de bir daraltma döüşümü olsu. ( Z, >). Bu durumda T bir tek sabit oktaya sahiptir [5]. İspat: x 0 R gibi herhagi bir okta seçelim ve x = lim T k x0 olsu. Bu durumda T ı sürekliliğide k Tx = limt T k x0 k

22 olur. Fakat T bir daraltma döüşümü olduğuda αα < içi k k ( k ) ( k ) k ( T Tx, T x ) α ρ ( T Tx, T x ) <... α ρ ( Tx x ) ρ < , 0 olur. Burada da ρ k k ( Tx x) = lim ρ( TT x, T x ) 0, 0 0 = k elde edilir. Taım..0. X ile Y herhagi kümeler olmak üzere, X x Y çarpım kümesii herhagi bir alt kümesie X de Y ye bir bağıtı adı verilir. Özel olarak, X x X çarpım kümesii herhagi bir alt kümesie de X üzeride bir bağıtı deir. Taım... X üzeride alıa bir ββ bağıtısı i) x X içi (x, x) ββ ( yasıma ) ii) (x, y) ϵ ββ ike (y, x) ββ ( simetrik ) iii) (x, y) ββ ve (y, z) ββ ike (x, z) ββ ( geçişke ) koşulları sağlaıyorsa ββ bağıtısıa bir deklik bağıtısıdır deir. Taım..3 X üzeride alıa bir ββ bağıtısı i) x X içi (x, x) ββ ( yasıma ) ii) (x, y) ββ ve x y ike (y, x) ββ (ters simetri ) iii) (x, y) ββ ve (y, z) ββ ike (x, z) ββ ( geçişke ) koşulları sağlaıyorsa ββ bağıtısıa kısmi sıralama bağıtısı bu bağıtıyla birlikte X kümesie ise kısmi sıralı küme deir. Kısmi sıralama bağıtısı geellikle ile gösterilir. X kısmi sıralı kümeside alıa x ve y gibi herhagi iki öğe bu bağıtıya göre karşılaştırılabilirse (yai x y veya y x ise), bu durumda X' e bir tam sıralı küme, söz kousu bağıtıya da tam sıralama bağıtısı adı verilir.

23 3.BÖLÜM KONİK METRİK UZAYLARIN TEMEL ÖZELLİKLERİ 3.. Koik Metrik Uzaylar Taım 3.. E bir gerçel Baach uzayı ve P, E i bir alt kümesi olsu. Eğer aşağıdaki şartlar sağlaırsa P ye koiktir deir. ) P kapalı, boşta farklı ve P {0} ) a, b IR, a, b 0 x, y P ax + by P 3) x P ve x P x = 0 Burada ifadesi x, y E içi x y y x P taımlaa E üzeride bir kısmi sıralama bağıtısıdır. x < y olduğuda bu x y fakat x y demektir. x << y ifadesii de y x içp şeklide taımlayalım. Buda sora E daima bir reel Baach uzayıı, P 0 ve P, E de bir koiki temsil edecektir [6]. Öerme 3... E bir reel Baach uzayı, P E bir koik ve λ > 0 reel sayı olsu. Aşağıdaki ifadeler doğrudur [7]. (i) İçP + İçP İçP. (ii) λiçp İçP. İspat. (i) x İçP ve y İçP olsu. Bu durumda B(x, ε ) P ve B(y, ε ) P olacak şekilde e az ε > 0 ve ε > 0 vardır. Şimdi B = B(x + y, ε = mi{ε, ε }) P olduğuu göstereceğiz. Şimdi zz BBolsu. Bu durumda zz xx yy < ε olur. Bu ise aşağıdaki zz xx yy < ε ve zz xx yy < ε olmasıı gerektirir. Burada (z x) B(y, ε ) P ve (z y) B(x, ε ) P dir. Koik taımıı () özelliğide, (z x y) P dir. x P olduğuda (z x y + x) P olur. Burada (z y) P dir. y P olduğuda (z y + y) P dir. Burada z P 3

24 dir. Ayı şekilde koik taımı () özelliğide z P olur ve böylece z P'dir. Yai B(x + y, ε) P olur. O halde (x + y) İçP olur. (ii) λ > 0 bir reel sayı ve x İçP olsu. Bu durumda x B(x, ε) P olacak şekilde bir ε > 0 vardır. λx İçP olduğuu göstermek içi B(λx, λε) P olduğuu göstereceğiz. z B(λx, λε) olsu. Bu ise zz λx < λε ve λ zz xx < λε ve λ zz xx < ε elde edilir. λ Bu ise z P dir. (P) de z P demektir. Böylece B(λx, λε) P dir. Yai λx İçP λ olur. Öerme E üzeride P ye göre x, y E içi x y y x P şeklide taımlaa bağıtısı bir kısmi sıralama bağıtısıdır. İspat: (i) x E içi x x =0 P x x. (ii) x y, y x y x P ve x y= (y x) P y x=0 y=x (iii) x y, y z y x P, z y P y x+ z y= z x P x z olur. O halde bağıtısı bir kısmi sıralama bağıtısıdır. Taım E bir reel Baach uzayı ve P E bir koik olsu. Eğer x, y E içi 0 x y olduğuda x K y olacak şekilde bir K > 0 varsa P koiğie bir ormal koik deir. Yukarıdaki eşitsizliği sağlaya e küçük K sayısıa P i ormal sabiti deir [6]. Taım Eğer P deki arta her dizi üstte sıırlı ise P düzgü (regüler) koiktir deriz. Yai, eğer ( x ) P de y E içi x... y şeklide bir dizi ise x x x 0 ( ) şeklide bir x E vardır. Dek olarak her azala dizi altta sıırlı ve yakısak ise P ye düzgüdür deir [3]. 4

25 Taım X boş olmaya bir küme ve E bir reel Baach uzayı olsu. Eğer d : X x X E aşağıdaki şartları sağlarsa d ye X üzeride koik metriktir deir ve (X, d) ye koik metrik uzay deir [3]. () Her x, y X içi 0 < d(x, y) ve d(x, y) = 0 acak ve acak x = y () Her x, y X içi d(x, y) = d(y, x) (3) Her x, y, z X içi d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Örek E = IR, P = {(x, y) IR x, y 0} IR, X = IR ve d: X x X E ve d(x, y) = ( xx yy, αα xx yy ), αα 0 bir sabit olsu. O halde (X, d) bir koik metrik uzaydır. Şimdi öcellikle P i bir koik olduğuu gösterelim. (i) P kapalı ve θ P olduğuda P dır. (x,y)=(,0) P alırsak P {θ } (ii) a, b R, a, b 0 ve z = ( x, y) ve t = ( x, y ) P olsu. Bu durumda x, y 0 ve x, y 0 ax 0, ay 0, bx 0, by 0 ax + bx 0 ve ay + by 0 az + bt = a( x, y ) + b( x, y ) = ( ax + bx, ay + by ) P. (iii) z=(x, y), z=( x, y) P olsu. Bu durumda x, y 0 ve x, y 0 x 0, x 0 ve y 0, y 0 x=0 ve y=0 z=(0, 0)=θ P 5

26 olup koik olma şartları sağlaır. Yai P, E de bir koiktir. Şimdi (X, d) i bir koik metrik uzay olduğuu gösterelim; () d(x, y) θ=( xx yy, αα xx yy ) (0,0)= ( xx yy, αα xx yy ) P olduğuda θ d (x, y) ve d(x, y) ) = θ ( xx yy, αα xx yy ) =(0, 0) xx yy = 0 vvvv αα xx yy = 0 xx = yy veya αα = 0 xx = yy () Her x, y IR içi d(x, y) = ( xx yy, αα xx yy ) = d(x, y) = ( yy xx, αα yy xx ) = d(y, x) elde edilir. Bu da d(x, y) = d(y, x) demektir. (3) x,y,z IR içi d(x, y) ) = ( xx yy, αα xx yy ) = ( xx zz + zz yy, αα xx zz + zz yy ) ( xx zz + zz yy, αα( xx zz + zz yy )). Böylece d(x, y) d(x, z) + d(z, y) elde edilir. Metrik koşulları sağladığıda d, X üzeride bir koik metrik (X,d) bir koik metrik uzaydır. Örek E = R, P = {(x, x,, x ) E : x i 0}, X = R ve d: X x X E olmak üzere d(x, y) = ( xx yy, αα xx yy, αα xx yy,, αα xx yy ) olsu. Her i içi α i 0, (X, d) bir koik metrik uzaydır. 6

27 3.. Sıralı Baach Uzaylarıda Koikleri Normalliği Souç 3... K < ormal sabiti ile bir ormal koik yoktur [7]. İspat: (X, d) bir koik metrik uzay ve P ise K < ormal sabiti ile ormal koik olsu. K < ε ve 0 < ε < olacak şekilde bir x P bir elemaıı seçelim. O zama ( ε)x x olur. Fakat ( ε) xx > K xx olduğuda bu bir çelişkidir. O halde K > olmalıdır. Örek 3... E = C IR ([0, ]) Supremum ormla birlikte taımlası ve P = {f E: f 0} olsu. O zama P, K = ormal sabitiyle birlikte koiktir. Öcellikle P bir koiktir çükü; (i) P kapalıdır. f = θ P alırsak P. Ayı şekilde f = P alırsak P {θ } dir (ii) a, b IR, a, b 0 ve f, g P f θ ve g θ dır. Her x [0,] içi f (x ) 0 ve g (x) 0 (af) (x) 0 ve (bg) (x) 0 (af+bg)(x) 0 af+bg θ af+bg P olduğu görülür. (iii) f ve f P f θ ve f θ dır. Her x [0,] içi f (x ) 0 ve f (x ) 0 f = θ elde edilir. Böylece P i koik olma koşulları sağlamış olur. Şimdi P i K = ormal sabiti ile bir ormal koik olduğuu gösterelim; θ f g olacak şekilde herhagi f, g E elemalarıı alalım. Bu durumda f = sup f ( t) ve t g = sup g( t) [ 0,] t [ 0,] ve θ f g olduğuda g f P, yai g f θ dır. Her t [0,] içi f(t) g(t) f(t) g(t) sup t f ( t) sup g( t) [ 0,] t [ 0,] Böylece K= olmak üzere f K g olduğu görülür. Yai P; K= ormal sabitiyle birlikte ormal koiktir. 7

28 Örek EE = ll = {xx }: = xx < ve PP = {{xx } EE: xx 0, N + } olmak üzere P; K= ormal sabitiyle birlikte bir koiktir. Öcellikle P bir koiktir çükü; P kapalıdır. (i) Eğer (xx ) = (0, 0,, 0) = θθ PPalırsak P olur. Eğer (xx ) = (,,, ) PP alırsak P { θθ } olur. (ii) a, b R, a, b 0 ve xx = (xx ), yy = (yy ) PP olsu. Her N + ve aa, bb R + içi xx 0 ve yy 0 aaxx 0 ve bbyy 0 aaxx + bbyy 0 aa(xx ) + bb(yy ) P aaaa + bbbb P (iii) xx = (xx ), xx = ( xx ) P olsu. HHHHHH N + içi xx 0 ve xx 0 xx = 0 xx = 0 olur. Böylece koik olma şartları sağlamış oldu. Şimdi P i K = ormal sabiti ile bir ormal koik olduğuu gösterelim: θθ xx yy olacak şekilde xx = (xx ), yy = (yy ) EE alalım. O zama yy xx PP dir. Bu durumda y x 0 x y x y x y x y x K y = = Yai K = olur. O halde P, K = ormal sabiti ile bir ormal koiktir. 8

29 Souç Her düzgü koik bir ormal koiktir [7]. İspat: P bir düzgü koik olsu fakat ormal koik olması. Her içi t s P ve tt < ss olacak şekilde t, s P seçelim. Her, y = tt tt ve x = ss tt olsu. O zama her içi y x P, yy = ve < xx olur. = yy serisi yakısak ve P kapalı olduğuda = yy = y olacak şekilde bir y P vardır. Şimdi 0 x x + x x + x + 3 x 3. y xx alalım. Dolayısıyla P düzgü olduğuda = yakısaktır. Souç olarak, xx lim = 0. Bu bir çelişkidir. İspat tamamlaır. Aşağıdaki örek koiği ormal olmayabileceğii gösterir [8]. Örek E = CC IIII ( [0, ] ) baach uzayı, f = f + f ormuyla taımlı ve P = {f E: f 0} E de bir koik olsu. Her k içi f(x) = x ve g(x) = x k alalım. Bu durumda, 0 g f ve f = f + f = sup{ x : x [ 0,] } + sup{ : x [ 0,] } =+= ve g g g = + ' = sup k k { x : x [ 0, ], k } + sup kx : x [ 0, ], { k } = + k olduğuda k=kk f < gg =+k ve böylece f = ve gg = k + olur. 9

30 k f < gg olduğuda k, P i ormal sabiti değildir. Böylece, P ormal olmaya bir koiktir. Şimdi souç 3.. kullaılarak K = ormal sabiti ile ormal koiği buluabileceğie dair bir örek verelim. Örek E = C IR ([0, ]) supremum ormu ve P = {f E: f θ} olsu. P, K = ormal sabiti ile koiktir. Şimdi elemaları E de ola azala ve altta sıırlı fakat E de yakısak olmaya x x x 3 θ dizisii ele alalım. O zama, souç 3..4 ü tersi doğru değildir. Taım P E bir koik olsu. O zama ) Her x, y E içi sup{x, y} varsa P ye miihedral deir. ) Eğer E i üstte sıırlı her alt kümesii bir supremumu varsa P ye kuvvetli miihedral deir. 3) Eğer İçP ise P ye katı (solid) deir. 4) Eğer E = P P ise P ye üretilmiş (geeratig) deir [9]. Örek E = IR olsu. O zama P = {(x, x,, x ): x i 0 her i=,,, } ormal, üretilmiş, miihedral, kuvvetli miihedral ve katıdır [9]. Örek D R kompakt bir küme ve P : ={f E: f(x) 0 her x D} bir koik olsu. P koiki ormal, katı, üretilmiş, miihedraldir fakat kuvvetli miihedral değildir ve düzgü değildir. Taım (X, d) bir koik metrik uzay, (x ), X de bir dizi ve x X olsu. Eğer θ << c şeklideki c E içi > m ike d(x, x) << c olacak şekilde bir m N varsa (x ) dizisie yakısaktır deir ve içi x x ya da lim = x şeklide gösterilir [9]. x 0

31 Souç 3... PP, EE reel baach uzayıda bir koik olsu. O zama (i) Eğer 0 xx yy ve aa 0, aa R ise 0 aaaa aaaa dir. (ii) Eğer 0 xx yy, N ve llllll xx = xx, llllll yy = yy ise 0 xx yy dir [0]. Souç 3... PP, EE reel baach uzayıda bir koik ise aa, bb, cc EE içi (i) Eğer aa bb ve bb cc ise aa cc dir. (ii) Eğer aa bb ve bb cc ise aa cc dir []. Souç (X, d) bir koik metrik uzay olsu. Her bir c E de θ<< c olacak şekilde verilsi. Bu durumda xx < δ olduğuda c x İçP olacak şekilde bir δ > 0 vardır. (yai x << c dir) [6]. İspat: θ << c, c E olduğuda c İçP dir.{x E : xx cc < δ} İçP olacak şekilde bir δ > 0 bulabiliriz. Şimdi xx < δ ise cc xx cc = xx = xx < δ olur. Burada (cc xx) cc < δ olur. Bu ise c x İçP olduğuu verir. Taım P; E Baach uzayıda bir koik olsu.. Eğer x, y E içi θ x y olması xx yy olmasıı gerektiriyorsa P ye mooto deir. Eğer x, y E içi θ x y olmak üzere xx K yy olacak şekilde bir K > 0 varsa P ye yarı mooto deir [0]. Souç E Baach uzayıda P koiği. ormuyla birlikte aşağıdaki şartlar dektir [].. P ormal. E de keyfi (x ), (y ), (z ) dizileri içi ( ) x y z ve lim x = lim z = x ise lim = x dir.(sadwich teoremi) y

32 3. P yarı mootodur. 4. E de. a eşit ola öyle bir. orm vardır ki P,. bağlı olarak mootodur. Aşağıdaki örek P ormal koik olmadığıda sadwich teo i sağlamayabileceğii gösterir [9]. Örek E = CC IIII [0, ] ve x E içi, xx = xx + xx taımlayalım. P = {x E: x(t) 0} olsu. Bu koik ormal değildir. Şimdi x (t) = tt ve y (t) = olsu. O zama 0 x y ve lim x = 0 fakat max tt [0,] tt + max tt [0,] tt = + > Yai x sıfıra yakısamaz. Bu da sadwich teoremii sağlamayabileceğii gösterir. Örek E = CC IIII ( [0, ] ), f = f + f ve P = {f E: f 0} olsu. xx = ssssssssss + ve yy = +ssssssssss + alalım. Böylece 0 x x +y, x = y = ve x + y = 0. + Aşağıdaki örek de K> olduğuda P i ormal koik olabileceğii göstermektedir. Örek k > verilsi. E = {ax + b : a, b IR; x, } reel vektör uzayıı kk alalım. E de supremum orm taımlamış olsu. P= {ax+b E : a 0, b 0 } taımlayalım. O zama P, düzgü ve ormal koiktir. Örek E = CC IIII ([0, ),. ), P = {f E: f(x) 0} olsu. (X, ρ) bir metrik uzay ve d: X x X E ve d(x, y) = ρ(x, y)φ şeklide taımlası. Burada ϕ : [0, ] IR + süreklidir. Böylece (X, d) bir ormal koik metrik uzaydır ve P i ormal sabiti K = dir.

33 Örek q > 0, E = l q, P = {{x } E : x 0, her içi}, (X, ρ) bir metrik uzay ve d(x, y) = PP(xx,yy) i ormal sabiti K = dir. qq olsu. Böylece (X, d) bir koik metrik uzaydır ve P Örek 3... E = CC IIII ([0, ),. ), P = {f E: f(x) 0}, (X, ρ) bir metrik uzay ve d : X x X E, d(x, y) = f x, y şeklide taımlı ve f x, y (t) = xx yy tt olsu. Böylece (X, d) bir ormal koik metrik uzaydır ve P i ormal sabiti K = dir Koik Metrik Uzaylarda Yakısaklık ve Limit Souç (X, d) bir koik metrik uzay P, ormal sabit K ile ormal koik (x ), X içide bir dizi olsu. Bu durumda (x ) dizisii X içide yakısak olması içi gerek ve yeter şart ike d(x, x) θ olmasıdır [6]. İspat: ( ) x x olsu. ε > 0 içi θ << c ve K cc < ε olacak şekilde bir c E seçebiliriz. Bu durumda her > N içi d(x, x) << c olacak şekilde e az bir N IR vardır. Böylece, > N ike dd(xx, xx) K cc < ε olur. Bu da ike d(x, x) θ olduğuu verir. ( ) ike d(x, x) θ olsu. Bu durumda θ << c ve c E içi xx < δ ike c x İçP olacak şekilde bir δ > 0 vardır. Bu δ içi de her IR içi dd(xx, xx) << c olacak şekilde N IR vardır demektir. Bu edele (x ) dizisi oktasıa yakısar. Souç (X, d) koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik, (x ), X de bir dizi olsu. (x ) x ve (x ) y ise x = y dir. Yai (x ) dizisii limiti tektir [6]. İspat: θ << c olacak şekilde herhagi bir c E olsu. (x ) yakısak olduğuda > N içi d(x, x) << c ve d(x, y) << c olacak şekilde N IR vardır. Bu edele d(x, y) d(x, x) + d(x, y) c olur. Böylece dd(xx, yy) K cc 0 olur. O halde d(x, y) = θ olur. Souç olarak x = y olur. Bu da (x ) dizisii limitii tek olduğuu gösterir. 3

34 Taım (X, d) bir koik metrik uzay ve (x ), X de bir dizi olsu. Eğer θ << c şeklideki her c E içi, m > N d(x, x m ) << c olacak şekilde bir N N varsa (x ) dizisie X de bir Cauchy dizisi deir [3]. Taım Bir (X, d) koik metrik uzayıdaki her Cauchy dizisi X de bir oktaya yakısarsa (X, d) ikilisie tam koik metrik uzay deir. Souç (X, d) bir koik metrik uzay ve (x ), X içide bir dizi olsu. (x ), X içide x oktasıa yakısıyorsa (x ), X de bir Cauchy dizidir. Yai koik metrik uzaylarda yakısak her dizi bir Cauchy dizisidir [6]. İspat: θ << c olacak şekilde herhagi bir c E alalım. O zama, m > N içi d(x, x) << cc ve d(x m, x) << cc olacak şekilde bir N N vardır. Burada d(x, x m ) d(x, x) k+ d(x m, x) = cc + cc = c elde edilir. O halde (x ) bir Cauchy dizisidir. Souç (X, d) bir koik metrik uzay, P ormal K sabiti ile ormal koik ve (x ), X içide bir dizi olsu. (x ) dizisii X içide Cauchy dizisi olması içi gerek ve yeter koşul, m ike d(x, x m ) θ olmasıdır [6]. İspat: ( ){x } bir Cauchy dizisi olsu. ε > 0 içi θ << c ve K cc < ε olacak şekilde bir c E seçelim. O zama, m > N içi d(x, x m ) << c olacak şekilde bir N N vardır. Burada, dd(xx, xx mm ) K cc < ε elde edilir. O halde, m ike d(x, x m ) θ. ( ) :, m d(x, x m ) θ olsu. θ << c olacak şekilde c E seçelim. xx < δ ike Souç 3..3 te c x İçP olacak şekilde δ > 0 vardır. Burada da her, m > N içi d(x, x m ) < δ olacak şekilde bir N N vardır. Öyle ise, c d(x, x m ) İçP dir. Bu ise d(x, x m ) << c demektir. Bu edele (x ) bir Cauchy dizisidir. 4

35 Souç (X, d) bir koik metrik uzay, K ormal sabiti ile P bir ormal koik, (x ) ve (y ), X içide iki dizi ve içi x x, y y olsu. Eğer her içi x y ise x y olur [6]. İspat: x y olsu. x y ise (y x ) P olur. x x, y y olduğuda, (y x ) (y x) olur. P kapalı olduğuda (y x) P dir. Bu ise x y olduğuu gösterir. Souç (X, d) bir koik metrik uzay, P ormal sabit K ile bir ormal koik ve (x ), X içide bir dizi olsu. (x ) ve (y ), X içide iki dizi ve ike x x ve y y olsu. O zama ike d(x, y ) d(x, y) olur [6]. εε İspat: ε > 0 içi θ << c ve cc olacak şekilde bir c E seçelim. x x ve y 4kk+ y olduğuda > NN içi d(x, x) << c ve d(y, x) << c olacak şekilde NN R vardır. Yie d(x, y ) d(x, x) + d(x, y) + d(y, y ) d(x, y) + c, (3.) d(x, y) d(x, x) + d(x, y ) + d(y, y ) d(x, y ) + c, (3.) dır. Böylece, 3. Eşitliksizliğide θ d(x, y) + c d(x, y ) ve 3. Eşitliksizliğide, θ d(x, y ) + c + c d(x, y ) = 4c elde edilir. O halde θ d(x, y) + c d(x, y ) 4c ve dd(xx, yy ) dd(xx, yy) = dd(xx, yy) dd(xx, yy ) + cc cc dd(xx, yy) + cc dd(xx, yy ) + cc 4K cc + cc = (4K + ) cc < ε. 5

36 Bu da içi d(x, y ) d(x, y) demektir. Taım (X, d) bir koik metrik uzay, A X ve x x olsu. A daki (x ) dizisi içi x A ise A ya dizisel kapalı deir. Taım (X, d) bir koik metrik uzay olsu ve A X olsu. Eğer x, y A içi d(x, y) c ve θ << c olacak şekilde c E varsa A ya üstte sıırlı küme deir.yai δ(a) = sup{d(x, y): x, y A} varsa A ya sıırlı küme deir. Eğer supremum yoksa A ya sıırsız küme deir. Souç (X, d) bir koik metrik uzay olsu. Ayrıca her c, c E içi c >> θ ve c >> θ şeklide olsu. O zama θ << c ve c << c, c << c şeklide bir c E vardır [8]. İspat: c >> θ olsu. Souç 3..3 te xx < δ ike x << c olacak şekilde bir δ > 0 bulabiliriz. < δδ olacak şekilde bir 0 IR sayısı seçelim. c = cc olsu. Bu durumda 0 cc 0 cc = cc = cc < δ olur ve c << c dir. Fakat ayı zamada θ << c ve c = cc olduğuda c << c ve c c açıktır. Bu ise c << c demektir. O halde c << c ve c << c dir. 6

37 4. BÖLÜM SABİT NOKTA TEOREMLERİ Bu bölümde bazı sabit okta teoremlerii ispatlayacağız. Teorem 4... (X, d) bir tam koik metrik uzay ve P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. T:X X döüşümü aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d( Tx, Ty) k d ( x, y), her x, y X, k [0, ) bir sabit. O zama T, X de sabit tek bir oktaya sahiptir ve her x X içi (T x) dizisi bu sabit oktaya yakısar [6]. İspat: x 0 X seçelim. ( x ) dizisii x = T x 0 x = T x = T x 0... x + = T x = T + x0 d ( x +, x ) = d ( Tx, Tx ) k d( x, x ) k d( x, x ). k d ( x, x 0 ) elde ederiz. Böylece her > m içi d ( x, xm ) d( x, x ) + d( x, x ) d( xm+, xm ) m m k ( k + k k ) d( x, x0 ) d( x, x0 ) k 7

38 olur. Burada da m k d( x, xm ) K d( x, x0 ) k elde ederiz. Bu da d ( x, x m ) 0 (,m dizisidir. X tam olduğuda x ) olmasıı gerektirir. Yai; ( x ) bir Cauchy x olacak şekilde bir x X vardır. Burada d( Tx, x ) d( Tx, Tx ) + d( Tx, x ) kd( x, x ) + d( x * * * +, x * ), ve P ormal koik olduğuda d ( Tx, x ) K( k d( x, x ) + d( x, x ) ) 0. + olur. Yai d ( Tx, x ) = 0 dır. Bu y, T de başka bir sabit okta olsu. O zama Tx = x demektir.bu da x bir sabit oktadır. Şimdi (, y d x ) = d ( Tx, Ty ) kd( x, y ) olur. Burada d, ( x y = 0 ve x = y Souç olarak T i sabit oktası tektir. Souç 4... (X, d) bir tam koik metrik uzay, P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. 0<<c olacak şekilde bir c E ve x 0 X içi B ( x 0, c) = { x X : d( x 0, x) c } verilsi. T : X X döüşümü aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d( Tx, Ty) k d ( x, y), her x, y B ( x 0, c), k [0, ) bir sabit ve d Tx, x ) ( k) c. O zama T, B ( x 0, c) de tek bir sabit oktaya sahiptir [6]. ( 0 0 İspat: B ( x 0, c) i tam olduğuu her x B ( x 0, c) içi T x B ( x 0, c) olduğuu ispatlamak yeterlidir. ( x ), B ( x 0, c) Cauchy dizisidir. X tam olduğuda bir x X içi de bir Cauchy dizisi olsu. ( x ), X te de bir x x ( ) olur. 8

39 d x0, x) d( x, x ) + d( x, x) d( x, x) c x x, ( ) olduğuda d( x, x) 0 ( 0 + dır. Böylece d( x 0, x) c ve x B ( x 0, c). Yai ( x ), B ( x 0, c) de yakısak bir dizidir. Bu da B ( x 0, c) i tam bir koik metrik uzay olduğuu gösterir. Her x B ( x 0, c) içi d ( x0, Tx) d( Tx0, x0 ) + d( Tx0, Tx) ( k ) c + kd( x0, x) ( k) c + kc = c. Bu edele Tx B( x 0, c).bu da TT : B( x, c) (, ) IIBB(xx 0,cc) 0 B x c 0 daraltma döüşümüdür. Teorem 4... da dolayı T i B ( x 0, c) de bir tek sabit oktası vardır. Souç (X,d) bir tam koik metrik uzay, P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. Bir N içi T : X X döüşümü aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d( T x, T y) kd( x, y), her x, y X, k [0,) bir sabit. Böylece T, X de tek bir sabit oktaya sahiptir [6]. İspat: Teorem 3. de T, x tek bir sabit oktasıa sahiptir. ( Tx ) T = T ( T x ) = Tx, böylece Tx de bir sabit okta olur. Yai, Tx = x, x bir sabit oktadır. T i sabit oktası T i de sabit oktası olduğuda T i sabit oktası tektir. Teorem (X, d) dizisel kompakt koik metrik uzay ve P düzgü koik olsu. T : X X döüşümü aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. Her x, y X ve x y içi d( Tx, Ty) d( x, y). O zama T i X de tek bir sabit oktası vardır [6]. İspat: x 0 X seçelim. x =T x 0 x =T x =T x 0. 9

40 .. x + =T x =T 0, + x... Eğer bazı ler içi x + = x olursa x T i bir sabit oktası olur ve ispat biter. Bu edele her N içi x+ x olduğuu kabul edelim. d = d x, x + ) olsu. ( O zama d + = d ( x +, x+ ) = d ( Tx, Tx + ) < d ( x, ) x + = d. Yai her N içi d + < d dır. Böylece ( d ) azala bir dizidir ve 0 d, d altta sıırlıdır ve mooto azala bir dizidir. P düzgü olduğuda, d d olacak şekilde bir d E vardır. X dizisel kompakt olduğuda ( x ) i bir ( x ) alt dizisi i vardır. i, x = x diyelim. Her regüler koik ayı zamada bir ormal koik i olduğuda d( Tx, Tx ) K d( x, x ) i i 30 0 olacak şekilde bir K > 0 sayısı vardır. Souç de; i,d( x, x ) 0 olduğuda i, d( Tx, Tx ) i =0 olur. Bu da i i, Tx = Tx demektir. Bezer şekilde T x T x i, (i ). Souç de i dolayı; (i ), d Tx, x ) = (, x d Tx ) ve (i ), d ( T x, Tx ) = d ( T x, Tx ) elde edilir. Şimdi Tx = ( i i x olduğuu ispatlayalım. Tx i i x olsu. O zama d 0 elde

41 ederiz. Böylece d = ( x d T, Tx ) > d ( T x, Tx ) = lim Bu da bize çelişki verdi. Yai Tx = oktasıdır. Sabit oktaı tekliği açıktır. d ( T x, Tx ) i i i x olmalıdır. Souç olarak = lim d i+ = d. i x, T i sabit bir Teorem (X,d) bir tam koik metrik uzay, P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. T:X X aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d ( Tx, Ty) k ( d( Tx, x) + d( Ty, y), her x, y X, k [0, ) bir sabit. O zama T, X de tek bir sabit oktaya sahiptir ve her x X içi ( T x) öteleme (iterative) dizisi bu sabit oktaya yakısar [6]. İspat: x 0 X seçelim. x =T x 0 x =T x =T x 0... x + =T x =T 0, + x... d ( x +, x ) = d ( Tx, Tx ) k( d ( Tx, x ) + (, ) d Tx x k( d x, x ) d( x, x )) ( + + 3

42 olur. Bua göre yukarıdaki ifadeyi düzelersek, k d ( x+, x ) d( x, x ) =h( (, ) k d x x ), k h= k seçelim, > m içi d x, x ) x, x ) + d ( x, x ) +... d ( x, x ) ( m d ( + m+ m h m m ( h + h +... h ) d( x, x0 ) (, ) d x x 0 h m olur. m, h 0. m,, d ( x, xm 0. Bu da d x, x ) 0,(,m ). ( m Yai ( x ) X de bir Cauchy dizisidir. X tam koik metrik uzay olduğuda ( x ), X de yakısaktır. x X, x x, diyelim. d( Tx, x ) d( Tx, Tx ) + d( Tx, x ) k d( Tx, x ) + d( Tx, x )) + d( x, x ), ( + (, x d Tx ) ( kd( Tx, x ) + d( x+, x )), k olduğuda d( Tx, x ) K (k (, ) (, d x + x + d x+ x ) ) 0, k yai d ( Tx, x ) = 0 dır. Bu da Tx = x olmasıı gerektirir. Souç olarak x, T i bir sabit oktasıdır. Şimdi sabit oktaı tek olduğuu gösterelim. sabit oktası olsu. y,t i başka bir (, y d x ) = d ( Tx, Ty ) k( d( Tx, x ) + d( Ty, y )) =0 Böylece x = y elde edilir. Bu da sabit oktaı tek olduğuu gösterir. 3

43 Teorem (X,d) bir tam koik metrik uzay, P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. T : X X döüşümü aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d ( Tx, Ty) k ( d( Tx, y) + d( Ty, x), her x, y X ve k [0, ) bir sabit. O zama T, X de tek bir sabit oktaya sahiptir ve her x X içi ( T x) ötelemeli (iterative) dizisi bu sabit oktaya yakısar [6]. İspat: x 0 X seçelim. x = T x 0 x = T x =T x 0... x + =T x =T 0, + x... d ( x +, x ) = d ( Tx, Tx ) k( d ( Tx, x ) + d ( Tx, ) x ) k( d x, x ) d( x, x )) ( + + olur. Bua göre yukarıdaki ifadeyi düzelersek 33

44 k d ( x+, x ) d( x, x ) =h (, ) k d x x, ( h = k k ) > m içi d x, x ) x, x ) + d ( x, x ) +... d ( x, x ) ( m d ( + m+ m h m m ( h + h +... h ) d( x, x0 ) (, ) d x x 0 h olur. m m, h 0 m,, d ( x, x 0 m. Bu da d x, x ) 0,(,m ). ( m Yai ( x ) X de bir Cauchy dizisidir. X tam koik metrik uzay olduğuda ( x ) X de yakısaktır. x X, x x, diyelim. d( Tx, x ) d( Tx, Tx ) + d( Tx, x ) k d( Tx, x ) + d( Tx, x )) + d( x, x ) ( + k( (, x d Tx ) + d x, x ) + d( x, x )) + d( x, x ). ( + + d( Tx, x ) k ( k( d( x, x ) + d( x+, x )) + d( x+, x )) olduğuda d( Tx, x ) K (k( (, ) (, ) ) (, d x x + d x+ x + d x+ x ) ) 0 k Yai d ( Tx, x ) = 0. Bu da Tx = x olmasıı gerektirir. Souç olarak x, T i bir sabit oktasıdır. Şimdi sabit oktaı tek olduğuu gösterelim. sabit oktası olsu. y, T i başka bir (, y d x ) = d ( Tx, Ty ) k( d( Tx, y ) + d( Ty, x )) = kd ( x, y ) 34

45 olduğuda d ( x, y ) olduğuu gösterir. = 0 ve burada da x = y elde edilir. Bu da sabit oktaı tek Teorem (X,d) bir tam koik metrik uzay, P ormal K sabitiyle birlikte ormal bir koik olsu. f, g : X X döüşümleri ve x, y X ve k (0,) içi aşağıdaki daraltma şartlarıı sağlası. d(fx, fy) k(d(fx, gy) + d(fy, gx), (4.) Eğer g i değer kümesi f i değer kümesii kapsıyorsa ve g(x), X i bir tam altuzayı ise f ve g çakışık bir oktaya sahiptirler ve böylece f ve g X de tek ortak sabit bir oktaya sahiptirler [4]. İspat: Keyfi xx 0 XX içi öyle bir xx XX seçelim ki y 0 = f( x 0 ) = g(xx ) olsu. f(x) g(x) olduğuda y = f( x ) = g( x ) olacak şekilde bir ederek N içi Böylece x X seçebiliriz. Bu şekilde devam x X ve xx + XX i yy = f(xx ) = g(xx + ) şeklide seçebiliriz. d(yy, yy ) = dd(fxx, fxx ) k(d(fxx, gxx ) +d(fxx, gxx )) elde edilir. (3.) de kk(dd(gxx +, gxx ) + dd(gxx, gxx )) (4.) kk dd(yy, yy ) + dd(yy, yy ) =,3,. dd(yy, yy ) kk(dd(yy, yy ) dd(yy, yy ) =,3,. d( y, y ) d( y, y ) hd( y, y ) k h = k d( y, y ) kd( y, y )... k d( y, y0 ) ((4.)de dolayı) Şimdi ( y ) dizisii Cauchy dizisi olduğuu gösterelim. >m içi üçge eşitsizliğide d ( y, ym ) d( y, y ) + d( y, y ) d( ym+, ym+ ) 35

46 elde edilir. P ormal koi olduğuda d( y, y ) kd( y, y )... k d( y, y0 ) d ( y, ym ) L( d( y, y ) + d( y, y ) d( ym+, ym+ ) ) L ( d( p, gp) + 0 dd(pp, gpp) = 0 elde edilir. Bu da pp = gpp demektir. Şimdi (4.)de dolayı dd(f, pp) = dd(fpp, gpp) kk(f(fpp, gpp) + dd(fpp, gpp)) elde ederiz. 0 ( çükü fpp = gpp ) dd(fp, p) = 0 Bu da fpp = gpp demektir. fpp = gpp olduğuda fpp = gpp = pp. Böylece f ve g i ortak bir sabit oktası vardır. Bu ortak oktaı tekliğii ispatlayalım. pp başka bir ortak sabit okta olsu. dd(pp, pp ) = d(fpp, gpp ) = d(fpp, fpp ) kk(dd(fpp, gpp ) + dd(fpp, gpp) (4.)de kk(dd(pp, pp ) + dd(pp, pp)) kk. dd(pp, pp) Yai dd(pp, pp ) = 0 bu da pp = pp demektir. Souç olarak f ve g tek bir ortak sabit oktaya sahiptirler. Teorem (X,d), Ρ düzgü koiğiyle birlikte bir tam koik metrik uzay ve x, y X, x y ve d(x, y) içp olsu. Φ : içp {0} içp {0} sürekli, mooto arta bir foksiyo ve Φ aşağıdaki şartları sağlası: (i) Φ(t)=0 acak ve acak t=0; 36

47 (ii) Φ(t)<<t, t içp içi (iii) Ya Φ(t) d(x,y) ya da d(x,y) Φ(t), t içp {0} ve x, y X içi. T : X X d(tx,ty) d(x,y) Φ(d(x,y)) x,y X içi (4.3) eşitsizliğii sağlaya bir döüşüm olsu. O halde T i X de tek sabit oktası vardır [ 5]. İspat: xx 0 X olsu. xx =Txx, olacak şekilde (xx ) dizisi oluşturalım. Eğer bazı ler içi xx + = xx ise T i X de sabit bir oktası olduğu açıktır. Eğer N içi xx + xx olursa d(xx, xx + ) = (Txx, Txx ) d(xx, xx ) Φ(d(xx, xx )) elde edilir. Φ i özelliğide dolayı t içp {0} içi 0 Φ(t) olur. Böylece d(xx, xx + ) d(xx, xx ) olur. Bu da (d(xx, xx + )) dizisii mooto azala olduğuu gösterir. P koiği düzgü ve N içi 0 d(xx, xx + ) olduğuda d(xx, xx + ) rr,, olacak şekilde bir rr 0 vardır. Φ sürekli ve d(xx, xx + ) d(xx, xx ) Φ(d(xx, xx )) olursa rr rr ф(rr) elde edilir. Bu da (rr = 0 dışıda) bir çelişkidir. Yai d(xx, xx + ) 0, dir. Şimdi keyfi bir 0<<c, c E alalm. d(xx, xx + ) 0, olduğuda 37

48 d(xx mm, xx mm + ) << Φ(ф(c )) olacak şekilde bir mm N vardır.b(xx mm, cc)={xx XX d(xx mm, xx) << cc} olsu. xx mm B(xx mm, cc) olduğuda B( xx mm, cc) boş kümede farklı olduğu açıktır. Şimdi xx B( xx mm, cc) içi TTTT B(xx mm, cc) olduğuu gösterelim. xx B(xx mm, cc) olsu. Φ i (iii) özelliğide dolayı aşağıdaki iki durum oluşabilir. Durum (i): d(xx, xx mm ) ф(c ) ve Durum (ii): ф(c ) < d(xx, xx mm ) << c. Böylece Durum (i) : d(tttt, xx mm ) d(tttt, TTxx mm ) + d(ttxx mm, xx mm ) d(xx, xx mm ) Φ(d(xx, xx mm )) + d(xx mm, xx mm + ) d(xx, xx mm ) Φ(d(xx, xx mm )) + d(xx mm +, xx mm ) d(xx, xx mm ) + d(xx mm+, xx mm ) ф(c ) + ф(c ) = c Durum (ii) : d(tttt, xx mm ) d(tttt, TTxx mm ) + d(xx mm, TTxx mm ) d(xx, xx mm ) Φ(d(xx, xx mm )) + d(xx mm, xx mm + ) d(xx, xx mm ) Φ(d(xx, xx mm )) + d(xx mm +, xx mm ) d(xx, xx mm ) ф(ф(c )) + ф(ф(c )) 38

49 d(xx, xx mm ) << c. Bu edele T, (fxx mm, cc) de (fxx mm, cc) ye bir döüşümüdür. xx mm B(xx mm, cc) ve xx = TTxx, olduğuda her m içi xx B(xx mm, cc) dir. Burada yie cc keyfi keyfi bir sayıdır. Bu da (xx ) dizisii bir Cauchy dizisi olduğuu gösterir. X tam olduğuda bazı xx X içi xx xx dir. Şimdi d(xx, TTTT) = d(txx, Txx) d(xx, xx) Φ(d(xx, xx) elde edilir. Eğer olursa d(xx, TTTT) 0 olur. Böylece d(xx, TTTT) = 0 elde ederiz. Bu da xx = Txx demektir. Souç olarak xx oktası T i bir sabit oktası oldu. Şimdi T i çakışık oktasıı tek olduğuu gösterelim. Diyelim ki yy xx olmak üzere yy X, T i başka bir çakışık okta olsu. O zama d( xx, yy) = d( TTTT, TTTT ) d( xx, yy) ) Φ(d(xx, yy)) Bu edele Φ(d(xx, yy)) 0 olur. Bu da Φ i özelliğiyle çelişki oluşturdu. Souç olarak T i X de bir tek sabit oktası vardır. Örek XX = [0,], EE = R xx R mutlak değerli reel Baach uzayı ve PP = { (xx, yy) EE xx, yy 0 } düzgü koik olsu. EE de P koiğie bağlı olarak kısmi sıralama bağıtısıı alalım. dd XX xx XX EE ve xx, yy XX içi dd(xx, yy) = ( xx yy, xx yy ) şeklide taımlayalım. Yaixx, yy XX ve xx yy içi d(xx, yy) içp olmak üzere (XX, dd) bir tam koik metrik uzaydır. Şimdi Φ : içp {0} içp {0} döüşümüü şöyle taımlayalım: 39

50 Φ(tt) = ( tt, tt ), tt = (tt, tt ) iiçpp { 0} vvvv tt tt Φ i istee bütü özelliklere sahip olduğu açıktır. Şimdi T : X X döüşümüü şöyle taımlayalım: TTTT = xx xx, xx XX Geelliği kaybetmede xx, yy XX, xx > yy alalım. Şimdi aşağıdaki verileleri göz öüe alırsak d( TTTT, TTTT) = d xx xx, yy yy = (xx yy) (xx yy)(xx+yy), (xx yy) (xx yy)(xx+yy) (xx yy, xx yy) (xx yy), (xx yy) d( xx, yy) ) Φ(d(xx, yy)). Böylece 0 X oktası T i tek ortak sabit oktası olur [5]. Taım (X, d) bir metrik uzay ve f : Χ Χ olsu. Φ : [0, ) [0, ) sürekli ve azalmaya bir foksiyo ve Φ(t)=0 acak ve acak t=0 olmak üzere eğer x, y X içi d(tx,ty) d(fx,fy) Φ(d(fx,fy)) eşitsizliği sağlaıyorsa T : X X döüşümüe f zayıf daraltma döüşümü deir []. Teorem 4... (X,d) Ρ düzgü koiğiyle birlikte bir koik metrik uzay ve x,y X, x y ve d(x,y) içp olsu. Φ : içp {0} içp {0} sürekli, mooto arta bir foksiyo ve Φ aşağıdaki şartları sağlası: (i) Φ(t)=0 acak ve acak t=0; (ii) Φ(t)<<t, t içp içi 40

51 (iii) Ya Φ(t) d(fx,fy) ya da d(fx,fy) Φ(t), t içp {0} ve x, y X olmak üzere f : Χ Χ ve T : X X d(tx,ty) d(fx,fy) Φ(d(fx,fy)) (4.4) x, y X içi eşitsizliğii sağlaya bir döüşüm olsu. Eğer TX fx ve fx, X i bir tam altuzayı ise f ve T i X de bir tek çakışık oktası vardır. Üstelik, z çakışık oktasıda ffz=fz ise f ve T i X de ortak bir sabit oktası vardır []. İspat: xx 0 X olsu. TX fx olduğuda fxx =Txx, olacak şekilde (fxx ) dizisi oluşturalım. Eğer bazı ler içi fxx + = fxx ise f ve T i X de sabit bir oktası olduğu açıktır. Eğer N içi fxx + fxx olursa d(fxx, fxx + ) = (Txx, Txx ) d(fxx, fxx ) Φ(d(fxx, fxx )) elde edilir. Φ i özelliğide dolayı t içp {0} içi 0 Φ(t) olur. Böylece d(fxx, fxx + ) d(fxx, fxx ) olur. Bu da (d(fxx, fxx + )) dizisii mooto azala olduğuu gösterir. P koiği düzgü ve N içi 0 d(fxx, fxx + ) olduğuda d(fxx, fxx + ) rr, olacak şekilde bir rr 0 vardır. Φ sürekli ve d(fxx, fxx + ) d(fxx, fxx ) Φ(d(fxx, fxx )) olursa rr rr Φ(rr) elde edilir. Bu da (rr = 0 dışıda) bir çelişkidir. Yai d(fxx, fxx + ) 0, dir. Şimdi keyfi bir 0<<c, c E alalm. d(fxx, fxx + ) 0, olduğuda d(fxx mm, fxx mm + ) << Φ(Φ(c )) 4

52 olacak şekilde bir mm N vardır. B( fxx mm, cc) ={f xx XX d( fxx mm, fxx) << cc} olsu. fxx mm B(fxx mm, cc) olduğuda B(fxx mm, cc) boş kümede farklı olduğu açıktır. Şimdi fxx B(fxx mm, cc) içi TTTT B(fxx mm, cc) olduğuu gösterelim. xx B(fxx mm, cc) olsu. Φ i (iii) özelliğide dolayı aşağıdaki iki durum oluşabilir. Durum (i): d(fxx, fxx mm ) Φ(c ) ve Durum (ii): Φ(c ) < d(fxx, fxx mm ) << c. Böylece Durum (i) : d(tttt, fxx mm ) d(tttt, TTxx mm ) + d(ttxx mm, fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) Φ(d(fxx, fxx mm )) + d(ttxx mm,fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) Φ(d(fxx, fxx mm )) + d(fxx mm+,fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) + d(fxx mm +, fxx mm ) Φ(c ) + Φ(c ) = c Durum (ii) : d(tttt, fxx mm ) d(tttt, TTxx mm ) + d(ttxx mm, fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) Φ(d(fxx, fxx mm )) + d(ttxx mm, fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) Φ(d(fxx, fxx mm )) + d(fxx mm+, fxx mm ) d(fxx, fxx mm ) Φ (Φ(c )) + Φ(Φ(c )) d(fxx, fxx mm << c. 4

53 Bu edele T, (fxx mm, cc) de (fxx mm, cc) ye fxx mm B bir döüşümdür. fxx = TTxx, 0 olduğuda her m içi fxx B(fxx mm, cc) dir. Burada yie cc keyfi keyfi bir sayıdır. Bu da (fxx ) dizisii fx de bir Cauchy dizisii oluşturur. fx tam olduğuda bazı xx X içi fxx fxx dir. Şimdi, d(fxx, TTTT) = d(txx, Txx) d(fxx, fxx) Φ(d(fxx, fxx ) göz öüe alalım. Eğer olursa d(fxx, TTTT) 0 olur. Böylece d(fxx, TTTT) = 0 elde ederiz. Bu da fxx = Txx demektir. Souç olarak xx oktası f ve T i çakışık oktası oldu. Şimdi f ve T i çakışık oktasıı tek olduğuu gösterelim. Diyelim ki yy xx olmak üzere yy X, f ve T i başka bir çakışık okta olsu. O zama d( fxx, fyy) = d( TTTT, TTTT ) d( fxx, fyy) ) Φ(d(fxx, fyy)). Bu edele Φ(d(fxx, fyy)) 0 olur. Bu da Φ i özelliğiyle çelişki oluşturdu. Souç olarak f ve T i X de bir tek çakışık oktası vardır. Şimdi de bu çakışık oktaı ortak sabit okta olduğuu gösterelim. z; f ve T i çakışık oktası olsu. ff zz = f zz olduğuda ve z; f ve T i çakışık oktası olduğuda ffzz = f zz = TTTT olur.(4.4) eşitsizliğide d(tfz,tz) d(ffz,fz) Φ(d(ffz, fz)) = 0 Φ(0) = 0 Bu edele Tf zz = Tzz ve bu da f zz = ff zz = TTfzz elde edilir. Souç olarak f zz; f ve T i ortak sabit oktasıdır. Eğer Teorem 4.. deki f : Χ Χ döüşümü birim döüşüm olsaydı o zama Teorem 4.., Teorem 4..8 e döüşürdü. 43

54 Souç 4... (X,d),Ρ düzgü koiğiyle birlikte bir tam koik metrik uzay ve x, y X, x y ve d(x,y) içp olsu. Φ : içp {0} içp {0} sürekli, mooto arta bir foksiyo ve Φ aşağıdaki şartları sağlası: (i) Φ(t)=0 acak ve acak t=0; (ii) Φ(t)<<t, t içp içi (iii) Ya Φ(t) d(x, y) ya da d(x, y) Φ(t), t içp {0} ve x, y X olmak üzere T : X X d(tx, Ty) d(x,y) Φ(d(x, y)) x, y X içi eşitsizliğii sağlaya bir döüşüm olsu. O zama T i X de bir tek sabit oktası vardır []. Örek XX = [0,], EE = R mutlak değerli reel Baach uzayı ve PP = { (xx, yy) EE xx, yy 0 } düzgü koik olsu. EE de P koiğie bağlı olarak kısmi sıralama bağıtısıı alalım. dd XX xx XX EE ve xx, yy XX içi dd(xx, yy) = ( xx yy, xx yy ) şeklide taımlayalım. O halde xx, yy XX ve xx yy içi d(xx, yy) içp olmak üzere (XX, dd) bir tam koik metrik uzaydır. Şimdi Φ : içp {0} içp {0} döüşümüü şöyle taımlayalım: Φ(tt) = (tt, tt ), tt = (tt, tt ) iiçpp { 0} vvvv tt tt ; (tt, tt ), tt = (tt, tt ) iiçpp { 0} vvvv tt > tt. Φ i istee bütü özelliklere sahip olduğu açıktır. Şimdi f : Χ Χ ve T : X X döüşümlerii de şöyle taımlayalım: fxx = xx ve TTTT = xx xx, xx XX Geelliği kaybetmede xx, yy XX, xx > yy alalım. Şimdi aşağıdaki verileleri göz öüe alırsak 44

55 d( TTTT, TTTT) = d xx xx 4, yy yy 4 = xx xx 4 yy yy, 4 xx xx 4 yy yy 4 = xx yy xx yy, xx yy 4 = xx yy xx yy = xx yy xx yy 4 (xx yy)(xx+yy), xx yy (xx yy)(xx+yy) 4 4 (xx yy)(xx yy), xx yy (xx yy)(xx yy) 4 4, xx yy (xx yy)(xx yy) 4, (xx yy)(xx yy) 4 = d( fxx, fyy) ) Φ(d(fxx, fyy)). Souç olarak 0 X oktası f ve T i tek ortak sabit oktası olur []. 45

56 5. BÖLÜM TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER 007 yılıda Çili matematikçiler Huag ve Zhag koik metrik uzayları taımladılar ve böylece bazı sabit okta teoremlerii ispatlarıı ve uygulamalarıı çok daha kolay bir şekilde oluşturdular. Koik metrik uzaylar, metrik uzaylardaki bazı kavramları, taım ve teoremleri daha da geelleyerek geiş bir çalışma alaı oluşturmuştur. Kısa zamada koik metrik uzaylar matematik camiasıda merak uyadıra bir ala halie gelmiştir. Güümüzde bu ala hale geliştirilmeye uygu bir ala olduğu düşüülmektedir. 46

57 KAYNAKLAR [] Dshalalow, J. ad H., Real Aalysis, S. 50, Chapma ad Hall/CRC, Boca Rato, 000. [] Situavarat, W. ad Kumam, P. Commo fixed poits of f weak cotractios i coe metric spaces, Bulleti of the Iraia Mathematical Society,:93 303, 0 [3] Bayraktar M., Foksiyoel Aaliz, Gazi Kitabevi, Akara, 006. [4] Soyka, Y., Normlu Uzaylar, Foksiyoel Aaliz, Zoguldak Karaelmas Üiversitesi, Akara, 008 [5] Karayıla, H., w uzaklık foksiyou ve sabit okta teoremleri, Trakya Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Doktora Tezi, s.3 0, Edire, 000. [6] Huag, L. G. ad Zhag, X., Coe metric spaces ad fixed poit theorems of cotractive mappigs, J. Math. Aal. Appl., 33: , 007. [7] Abuloha, M., Koik metrik uzaylar ve bazı sabit okta teoremleri,gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Doktora Tezi, s.8, Akara, 009.Ricardo, H. J., 009. A Moder Itroductio to Differetial Equatios. Academic Press, Caada, 535 pp. [8] Bilgili, N., Koik metrik uzaylarda büzülme döüşümü presibi ve sabit okta teoremleri, Gazi Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Yüksek Lisas Tezi, s. 5, Akara, 009. [9] Assadi, M.ad Soleimai, H., Examples i Coe Metric Spaces, arxiv:0.4675v, 0. [0] Ilic, D. ad Rakocevic, V., Quasi cotractio o a coe metric space, Appl. Math. Lett., : 78 73, 009. [] Jugck, G. ad frieds, Commo fixed poit theorems for weakly compatible pairs o coe metric spaces, Theory appl., ID , 009. [] Jakovic, S. ad Kadelburg, Z. O coe metric spaces: A survey, Noliear Aalysis,75:59 60, 0. [3] Abbas, M., Fixed ad periodic poit results i coe metric spaces, Appl. Math. Lett., 5 55, 008. [4] Prudhvi,K., Commo fixed poits i coe metric spaces, America Joural of Mathematical Aalysis,:5 7,