Aralıklar, Eşitsizlikler, Mutlak Değer

Transkript

1 ARALIKLAR Gerçel sayıların, aralık olarak adlandırılan bazı kümeleri kalkülüste sık sık kullanılır ve geometrik olarak doğru parçalarına karşılık gelir. Örneğin, a < b ise, a dan b ye açık aralık, a ile b arasındaki tüm sayıları kapsar ve (a, b) şeklinde gösterilir. Küme gösterimi kullanarak (a,b) = {x a < x < b} yazabiliriz. (a,b) = {x a < x < b} Aralığın uç noktaları olan a ve b nin kapsanmadığına dikkat ediniz. Bu durum, yuvarlak parantez ( ) kullanılarak ve Şekil 1 deki içi boş dairelerle gösterilmiştir. Şekil 1: (a,b) açık aralığı Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 1/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 2/ 66 a dan b ye kapalı aralık Bir aralık Tablo 1 de gösterildiği gibi, uç noktalardan yalnızca birini de kapsayabilir [a,b] = {x a x b} kümesidir. Burada uç noktaların her ikisi de kapsanmıştır. Bu durum, köşeli parantez [ ] kullanılarak ve Şekil 2 deki içi dolu dairelerle gösterilmiştir. Şekil 2: [a,b] kapalı aralığı Tablo 1: Aralıklar tablosu Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 3/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 4/ 66

2 (a, ) = {x x > a} gibi sonsuz aralıkları da ele almamız gerekir. Bu, ( sonsuz ) un bir sayı olduğu anlamına gelmez. (a, ) ifadesi, a dan büyük tüm sayıların kümesidir. Burada simgesi yalnızca aralığın pozitif yönde sınırsız olarak genişlediğini gösterir. EŞİTSİZLİKLER Eşitsizlik Kuralları 1. a < b ise a+c < b+c dir, 2. a < b ve c < d ise a+c < b+d dir, 3. a < b ve c > 0 ise ac < bc dir, 4. a < b ve c < 0 ise ac > bc dir, 5. 0 < a < b veya a < b < 0 ise 1 a > 1 b dir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 5/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 6/ 66 ÖRNEK 1 1+x < 7x+5 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm Verilen eşitsizlik bazı x değerleri için sağlanmakta ancak diğerleri için sağlanmamaktadır. Eşitsizliği çözmek, eşitsizliğin doğru olduğu x sayılarının kümesini belirlemek anlamına gelir. Bu küme, çözüm kümesi olarak adlandırılır. İlk olarak (Kural 1 de c = 1 alarak) eşitsizliğin her iki yanına 1 ekleyelim, 1+x 1 < 7x+5 1 x < 7x+4 Sonra eşitsizliğin iki yanına 7x ekleyelim (Kural 1 de c = 7x alarak) x 7x < 7x+4 7x 6x < 4 Şimdi iki yanı 1/6 ile çarparız (Kural 4 de c = 1 6 alarak) 1 ( 6x) < x > 2 3 Çözüm kümesi, 2 3 den büyük olan tüm sayılardan oluşur. Başka bir deyişle, eşitsizliğin çözümü ( 2 3, ) aralığıdır. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 7/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 8/ 66

3 Bu aralıkların her biri için çarpanların işaretlerini belirleriz: ÖRNEK 2 x 2 5x+6 0 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm Önce eşitsizliğin sol yanını çarpanlarına ayırırız. (x 2)(x 3) 0 (x 2)(x 3) = 0 denkleminin çözümünün 2 ve 3 olduğunu biliyoruz. 2 ve 3 sayıları gerçel sayı doğrusunu üç parçaya böler: (, 2) (2, 3) (3, ) (x 2)(x 3) ifadesinin 2 < x < 3 için negatif olduğunu rahatlıkla görebiliyoruz. Dolayısıyla (x 2)(x 3) 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi {x 2 x 3} = [2,3] aralığıdır. Çarpımın negatif ya da sıfır olduğu x değerlerini aradığımız için uç noktalar olan 2 ve 3 ün kapsandığına dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 9/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 10/ 66 Bu aralıklarda işaret incelemesi yaparız: ÖRNEK 3 x 3 +3x 2 > 4x eşitsizliğini çözünüz Çözüm İlk olarak sıfırdan farklı terimleri eşitsizliğin bir yanına toplar ve elde edilen ifadeyi çarpanlarına ayırırız: x 3 +3x 2 4x > 0 x(x 1)(x+4) > 0 Bir önceki örnekte yaptığımız gibi x 3 +3x 2 4x = 0 denklemini çözer ve x = 0,x = 4 ve x = 1 çözümlerini kullanarak gerçel sayı doğrusunu (, 4),( 4, 0),(0, 1) ve (1, ) aralıklarına ayırırız. Çözüm kümesini aşağıdaki gibi buluruz {x 4 < x < 0 ya da x > 1} = ( 4,0) (1, ) Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 11/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 12/ 66

4 MUTLAK DEĞER Bir a sayısının mutlak değeri, a ile gösterilir ve gerçel sayı doğrusunda a nın 0 a olan uzaklığıdır. Uzaklık her zaman pozitif ya da 0 olduğundan her a sayısı için a 0 dır. Örneğin 3 = 3 3 = 3 0 = = π = π 3 Genel olarak a 0 ise a = a a < 0 ise a = a dır. simgesinin pozitif karekök olduğunu anımsayınız. Dolayısıyla, a 2 = a denklemi her zaman doğru değildir. Yalnızca a 0 olduğunda doğrudur. Bu sebeble, her a değeri için a 2 = a dır. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 13/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 14/ 66 Mutlak Değerin Özellikleri a ve b gerçel sayı ve n tamsayı olmak üzere 1. ab = a. b 2. a = a (b 0) b b 3. a n = a n a > 0 olmak üzere 4. x = a ancak ve ancak x = a 5. x < a ancak ve ancak a < x < a 6. x > a ancak ve ancak x > a ya da x < a ÖRNEK 5 2x 5 = 3 denklemini çözünüz. Çözüm Özellik 4 ten 2x 5 = 3 eşitliği ifadesine denktir. Buradan 2x 5 = 3 ya da 2x 5 = 3 2x = 8 ya da 2x = 2 olur. Sonuç olarak x = 4 ya da x = 1 elde edilir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 15/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 16/ 66

5 ÖRNEK 6 x 5 < 2 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm Özellik 5 ten eşitsizliğimiz 2 < x 5 < 2 ifadesine denktir. Her yana 5 eklendiğinde 3 < x < 7 elde edilir, yani çözüm kümesi (3, 7) açık aralığıdır. ÖRNEK 7 3x+2 4 eşitsizliğini çözünüz. Çözüm Özellik 4 ve 6 dan, eşitsizlik 3x+2 4 ya da 3x+2 4 ifadesine denktir. Birinci durumda 3x 2 olur, bu ise x 2 3 verir. İkinci Durumda 3x 6 olur, bu ise x 2 verir. Böylece çözüm kümesi {x x 2 ya da x 2 3 } = (, 2] [2 3, ) Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 17/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 18/ 66 Koordinat Geometrisi KOORDİNAT GEOMETRİSİ Düzlemdeki noktalar sıralı gerçel sayı ikilileri ile özdeşleştirilebilir. 0 başlangıç noktasında birbirini dik olarak kesen iki koordinat doğrusu çizelim. Genellikle doğrunun biri pozitif yönü sağa doğru olacak şekilde yataydır ve x-ekseni olarak adlandırılır; diğer doğru pozitif yönü yukarıya doğru olacak şekilde düşeydir ve y-ekseni olarak adlandırılır. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 19/ 66 Koordinat Geometrisi Düzlemde herhangi bir P noktasına aşağıdaki gibi tek bir sıralı sayı ikilisi karşılık gelir. P den geçen x- ve y- eksenlerine dik doğrular çizilir. Şekil 3 de gösteridiği gibi bu doğrular a ve b noktalarında eksenleri keser. P noktasına (a, b) ikilisi karşılık gelir. İlk sayı olan a, P nin x-koordinatı (apsisi), ikinci sayı b ise y-koordinatı (ordinatı) olarak adlandırılır. P, koordinatları (a, b) olan noktadır denir ve P(a,b) olarak gösterilir. Şekil 3: Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 20/ 66

6 Koordinat Geometrisi Koordinat Geometrisi Şekil 4 de bazı noktalar koordinatları ile gösterilmiştir. Önceki işlemi tersten uygularsak, (a,b) sıralı ikilisinden başlayıp karşılık gelen P noktasına ulaşabiliriz. P noktası, (a,b) sıralı ikilisi ile özdeşleştirilir ve (a,b) noktası olarak adlandırılır. Bir (a,b) açık aralığı için kullanılan gösterim, bir (a,b) noktası için kullanılanla aynı olmakla birlikte içerikten hangi anlamda olduğunu söyleyebileceksiniz. Şekil 4: Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 21/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 22/ 66 Koordinat Geometrisi Koordinat Geometrisi Koordinat sistemi, Kartezyen koordinat sistemi olarak adlandırılır. Koordinat sisteminin oluşturduğu düzleme koordinat düzlemi veya Kartezyen düzlemi denir ve R 2 ile gösterilir. ÖRNEK 8 Aşağıdaki kümelerde verilen bölgeleri çiziniz. (a) {(x,y) x 0} (b) {(x,y) y = 1} (c){(x,y) y < 1} Çözüm: x ve y eksenleri koordinat eksenleri olarak adlandırılır ve kartezyen düzlemini Şekil 3 de I, II, III ve IV ile gösterilen dört çeyrek parçaya ayırır. Birinci bölgede yer alan noktaların x ve y koordinatlarının her ikisinin de pozitif olduğuna dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 23/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 24/ 66

7 Koordinat Geometrisi İki nokta arasındaki uzaklık P 1 (x 1,y 1 ) ve P 2 (x 2,y 2 ) noktalarının arasındaki uzaklık P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 dir. Koordinat Geometrisi - Çember Bir çemberin denklemi Yarıçapı r, merkezi (h, k) olan çemberin denklemi (x h) 2 +(y k) 2 = r 2 dir. Özel olarak, merkez (0,0) başlangıç noktasında ise, denklem x 2 +y 2 = r 2 olur. Örneğin, merkezi (2,-5) yarıçapı 3 olan çemberin denklemi dur. (x 2) 2 +(y +5) 2 = 9 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 25/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 26/ 66 Koordinat Geometrisi - Çember Koordinat Geometrisi - Çember ÖRNEK 9 x 2 +y 2 +2x 6y +7 = 0 dekleminin önce bir çember temsil ettiğini gösteriniz. Sonra da merkez ve yarıçapını bulunuz. ya da buluruz. (x+1) 2 +(y 3) 2 = 3 Çözüm: Önce x-terimleri ile y-terimlerini aşağıdaki gibi gruplarız: Bu denklemi, standart çember denklemi (x h) 2 +(y k) 2 = r 2 ile karşılaştırırsak h = 1, k = 3, ve r = 3 olduğunu görürüz. (x 2 +2x)+(y 2 6y) = 7 Sonra, denklemin her iki yanına, her grubu tam kareye tamamlayacak uygun sabitleri (x ve y nin katsayılarının yarısının karesi) ekleyerek, (x 2 +2x+1)+(y 2 6y +9) = Bu nedenle verilen denklem, merkezi ( 1,3) ve yarıçapı 3 olan bir çember betimler. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 27/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 28/ 66

8 Bir L doğrusunun denklemini bulmak için doğrunun dikliğinin ölçüsü olan eğimini kullanırız. Doğru denkleminin nokta-eğim biçimi P 1 (x 1,y 1 ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi y y 1 = m(x x 1 ) dir. Doğrunun eğimi P 1 (x 1,y 1 ) ve P 2 (x 2,y 2 ) noktalarından geçen ve düşey olmayan bir doğrunun eğimi m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 dir. Düşey bir doğrunun eğimi tanımlı değildir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 29/ 66 Doğru denkleminin eğim-kesen biçimi Eğimi m ve y-keseni b olan doğrunun denklemi y = mx+b dir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 30/ 66 ÖRNEK 10 (-1,2) ve (3,-4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz. Şekil 5: Eğimleriyle birkaç doğru Eğim pozitifken doğrunun sağ yukarıya doğru, eğim negatifken, sağ aşağıya doğru olduğuna dikkat ediniz. Eğimin mutlak değeri büyüdükçe doğruların daha dikleştiğine ve eğimi 0 olan doğrunun yatay olduğuna dikkat ediniz. Çözüm: Doğrunun eğimi m = ( 1) = 3 2 dir. Nokta-eğim biçiminde x 1 = 1 ve y 1 = 2 alarak, ve düzenleyerek elde ederiz. y 2 = 3 2 (x+1) 3x+2y = 1 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 31/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 32/ 66

9 Özel olarak y-keseni b olan doğru yatay ise, eğimi m = 0 dır ve denklemi y = b olur. Düşey bir doğrunun eğimi yoktur, ancak x-keseni a olan bir doğrunun üzerindeki tüm noktaların x-koordinatı a olacağından denklemini x = a olarak yazarız. ÖRNEK 11 x + 2y > 5 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz. Çözüm: {(x,y) x+2y > 5} kümesinin grafiğini çizmemiz istendiğinden önce eşitliği y için çözerek başlarız. x+2y > 5 2y > x+5 y > 1 2 x+ 5 2 Şekil 6: Bununla birlikte x = 0 düşey doğrusu y-ekseni, y = 0 doğrusu x-eksenidir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 33/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 34/ 66 y > 1 2 x+ 5 2 Bu eşitsizliği, eğimi 1 2 ve y-keseni 5 2 olan y = 1 2 x+ 5 2 doğrusuyla karşılaştıralım. Verilen grafiğin, y-koordinatları y = 1 2 x+ 5 2 doğrusunun üzerindeki noktaların y-koordinatlarından daha büyük olan noktalardan oluştuğunu görürüz. Paralel ve dik doğrular Düşey olmayan iki doğru yalnızca eğimleri aynı olduğunda paraleldir. Eğimleri m 1 ve m 2 olan iki doğru ancak ve ancak m 1 m 2 = 1 ise diktir. Başka bir deyişle, birinin eğimi diğerinin eğiminin bir bölüsünün negatifidir. m 2 = 1 m 1 Şekil 7: Dolayısıyla, grafik Şekil?? de gösterildiği gibi, bu doğrunun üstünde kalan bölgedir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 35/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 36/ 66

10 ÖRNEK 12 (5,2) noktasından geçen ve 4x+6y+5 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemini bulunuz. Çözüm: Verilen doğru y = 2 3 x 5 6 eğim-kesen biçiminde yazılabilir ve eğimi m = 2 3 dür. Paralel doğrular aynı eğime sahip olduğundan istenen doğrunun eğimi de 2 3 dür ve nokta-eğim biçiminde denklem y 2 = 2 3 (x 5) ÖRNEK 13 2x+3y = 1 ve 6x 4y 1 = 0 doğrularının dik olduklarını gösteriniz. Çözüm: Denklemler y = 2 3 x+ 1 3 ve y = 3 2 x 1 4 olarak yazılabilir. Buradan eğimlerinin m 1 = 2 3 ve m 2 = 3 2 olduğunu görürüz. m 1 m 2 = 1 olduğundan, doğrular diktir. olur. Bu denklemi 2x+3y = 16 olarak da yazabiliriz. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 37/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 38/ 66 Trigonometri Trigonometri - Açılar Açılar derece ya da radyan (rad olarak kısaltılır) olarak ölçülebilir. Bir tam dönüş ile verilen açı 360 dir ve 2π rad ile aynıdır. Dolayısıyla πrad = 180 (1) TRİGONOMETRİ dir. ÖRNEK nin radyan ölçüsünü bulunuz. Çözüm Denklem (1) den dereceyi radyana çevirmek için π/180 ile çarpmamız gerektiğini görürüz. Dolayısıyla, ( π ) 60 = 60 = π rad dır Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 39/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 40/ 66

11 Trigonometri - Açılar Kalkülüste tersi belirtilmediği sürece açıları ölçmek için radyan kullanırız. Sık karşılaşılan bazı açıların radyan ve derece ölçüsü karşılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Derece Radyan 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 Trigonometri - Açılar Bir açının standart konumu, Şekil 8 deki gibi köşesini başlangıç noktasına ve başlangıç kenarını pozitif x ekseni üzerinde yerleştirdiğimizde oluşur. Şekil 8: θ > 0 Başlangıç kenarı, saat yönünün tersi yönünde bitiş kenarı ile çakışıncaya kadar döndürülürse pozitif açı elde edilir. Derece π 3π Radyan 6 π 2 2π Benzer olarak saat yönünde döndürülürse Şekil 9 daki gibi negatif açı elde edilir. Şekil 9: θ < 0 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 41/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 42/ 66 Trigonometri - Açılar Şekil 10 standart konumda birkaç açı örneğini göstermektedir. Farklı açıların aynı başlangıç ve bitiş kenarına sahip olabileceğine dikkat ediniz. Şekil 10: Trigonometri - Açılar Örneğin, 3π/4, 5π/4 ve 11π/4 açıları, 3π 4 2π = 5π 4 3π 4 +2π = 11π 4 olduğundan ve 2π rad bir tam dönmeyi temsil ettiği için aynı başlangıç ve bitiş kenarlarına sahiptir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 43/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 44/ 66

12 Trigonometri - Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometri - Trigonometrik Fonksiyonlar Bir θ dar açısı için, altı trigonometrik fonksiyon bir dik üçgenin kenar uzunluklarının oranı olarak aşağıdaki gibi tanımlanır. Bu tanım, geniş ya da negatif açılara uygulanamaz, bu nedenle standart konumda genel bir θ açısı için, θ nın bitiş kenarı üzerinde bir P(x,y) noktası alır ve OP uzunluğunu Şekil 12 deki gibi r ile gösteririz. cscθ = hipotenüs karşı dik kenar secθ = hipotenüs komşu dik kenar (2) Şekil 11: cotθ = komşu dik kenar karşı dik kenar Şekil 12: Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 45/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 46/ 66 Trigonometri - Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometri - Trigonometrik Fonksiyonlar sinθ = y r cscθ = r y olarak tanımlarız. cosθ = x r secθ = r x tanθ = y x cotθ = x y (3) Payda 0 olduğunda bölüm tanımsız olacağından, x = 0 için tanθ ve secθ, y = 0 için cscθ ve cotθ tanımsızdır. θ dar açı olduğunda (2) ve (3) deki tanımların birbiriyle tutarlı olduğuna dikkat ediniz. Eğer θ bir sayı ise, sinθ, radyan ölçüsü θ olan açının sinüsü anlamına gelir. Örneğin, sin 3 ifadesi 3 rad lık bir açı ile ilgilendiğimizi belirtir. Bu sayıyı hesap makinesi ile bulacağımız zaman makinenin radyan ayarına geçer ve sin elde ederiz. 3 lik açının sinüsünü bilmek istersek, hesap makinemizin derece ayarına geçerek sin3 yazar ve buluruz. sin Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 47/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 48/ 66

13 Trigonometri - Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler Bazı sin θ ve cos θ değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Trigonometrik özdeşlik trigonometrik fonksiyonlar arasında bir bağıntıdır. Doğrudan doğruya trigonometrik fonksiyonların tamamından elde edilen en temel olanları aşağıda verilmiştir. cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ sin 2 θ +cos 2 θ = 1 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 49/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 50/ 66 Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler tan 2 θ +1 = sec 2 θ 1+cot 2 θ = csc 2 θ sin( θ) = sinθ cos( θ) = cosθ Diğer trigonometrik özdeşlikler toplam formülleri olarak adlandırılan iki temel özdeşliğin sonucudur. sin(α+β) = sinαcosβ +cosαsinβ cos(α+β) = cosαcosβ sinαsinβ sin(θ +2π) = sinθ cos(θ +2π) = cosθ Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 51/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 52/ 66

14 Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler çift açı formülleri fark formülleri sin(α β) = sinαcosβ cosαsinβ sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos 2 α sin 2 α cos(α β) = cosαcosβ +sinαsinβ tan(α+β) = tanα+tanβ 1 tanαtanβ tan(α β) = tanα tanβ 1+tanαtanβ çift açı formülleri cos2α = 2cos 2 α 1 cos2α = 1 2sin 2 α cos 2 α = 1+cos2α 2 sin 2 α = 1 cos2α 2 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 53/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 54/ 66 Trigonometri - Trigonometric Özdeşlikler ÖRNEK 15 sinx = sin2x denklemini sağlayan [0,2π] aralığındaki tüm x değerlerini bulunuz. Çözüm Çift açı formüllerini kullanarak verilen denklemi KARMAŞIK SAYILAR Bir karmaşık sayı, a ve b gerçel sayılar ve i, i 2 = 1 anlamında bir simge olmak üzere, a + bi biçiminde bir ifade ile temsil edilebilir. sinx = 2sinxcosx ya da sinx(1 2cosx) = 0 şekline yazabiliriz. Dolayısıyla iki seçenek vadır. sinx = 0 ya da 1 2cosx = 0 buradan x = 0,π,2π ya da cosx = 1 2 x = π 3, 5π 3 bulunur. Verilen denklemin beş çözümü vardır x = 0,π,2π, π 3, 5π 3. a+bi karmaşık sayısı (a,b) sıralı ikilisiyle de temsil edilebilir ve Şekil 3 de olduğu gibi düzlemde bir nokta olarak çizilebilir. Bu nedenle, i = 0+1i karmaşık sayısı (0, 1) noktasıyla özdeştirilebilir. Şekil 3: Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 55/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 56/ 66

15 a+ib karmaşık sayısının gerçel kısmı a gerçel sayısı ve sanal kısmı b gerçel sayısıdır. Eğer a = c ve b = d ise a+bi ve c+di karmaşık sayıları eşittir. Karmaşık sayı düzleminde x ekseni gerçel eksen ve y ekseni sanal eksen olarak adlandırılır.(şekil 3) İki karmaşık sayının toplamı ve farkı, gerçel ve sanal kısımlarının toplanması veya çıkarılması ile tanımlanır: Örneğin, (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i (a+bi) (c+di) = (a c)+(b d)i (1 i)+(4+7i) = (1+4)+( 1+7)i = 5+6i Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 57/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 58/ 66 Karmaşık sayıların çarpımı, alışılmış değişme ve dağılma kuralları geçerli olabilecek şekilde tanımlanır: (a+bi)(c+di) = a(c+di)+(bi)(c+di) = ac+adi+bci+bdi 2 i 2 = 1 olduğundan, bu ifade (a+bi)(c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i ÖRNEK 16 ( 1+3i)(2 5i) =? Çözüm ( 1+3i)(2 5i) = ( 1)(2 5i)+3i(2 5i) = 2+5i+6i 15i 2 = 2+5i+6i 15( 1) = 13+11i biçimini alır. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 59/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 60/ 66

16 z = a+bi karmaşık sayısının z büyüklüğü, ya da modül ü, başlangıç noktasından olan uzaklığıdır. Şekil 4 den, z = a+bi ise, z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği ni z = a bi olarak tanımlarız. z = a 2 +b 2 olduğunu görürüz. Eşleniğin geometrik yorumu Şekil 5 te gösterilmiştir: z, z nin gerçel eksene göre yansımasıdır. Şekil 5: Şekil 4: Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 61/ 66 z z = (a+bi)(a bi) = a 2 +abi abi b 2 i 2 = a 2 +b 2 ve bu nedenle z z = z 2 olduğuna dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 62/ 66 İki karmaşık sayının bölümünü bulmak için pay ve paydayı, paydanın eşleniği ile çarparız. a+ib c+id = a+ib c+id c id c id ÖRNEK i 2+5i sayısını a + bi biçiminde ifade ediniz. Çözüm Pay ve paydayı 2+5i nin eşleniği olan 2 5i ile çarpar ve z z = z 2 özelliğinden faydalanırız: 1+3i 2+5i = 1+3i 2+5i 2 5i 2 5i = 13+11i = i Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 63/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 64/ 66

17 i 2 = 1 olduğundan, i yi 1 nin karekökü olarak düşünebiliriz. Ancak ( i) 2 = i 2 = 1 olduğuna ve dolayısıyla i nin de 1 in kare kökü olduğuna dikkat ediniz. i, 1 in temel köküdür der ve 1 = i yazarız. Genel olarak, c herhangi bir pozitif sayı ise c = i c yazarız. Bu anlayış ile, ax 2 +bx+c = 0 ikinci derece denkleminin kök formülü x = b± b 2 4ac 2a b 2 4ac < 0 olduğunda da geçerlidir. Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 65/ 66 Öğr.Gör. Dr. Meltem ALTUNKAYNAK MAT 1009 Matematik I 66/ 66