O`ZBEKSTAN RESPUBLIKASI JOQARI HA`M ORTA ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI. Berdaq atıındag`ı Qaraqalpaq Ma`mleketlik Universiteti

Transkript

1 O`ZBEKSTAN RESPUBLIKASI JOQARI HA`M ORTA ARNAWLI BILIMLENDIRIW MINISTRLIGI Berdaq atııdag`ı Qaraqalpaq Ma`mleetl Uverstet Eooma faul tet ursı boyısha letsyalar test du zwsh Sadov T. No`s-008

2 Tema. Pa`` predmet, mazmu ha`m wazypalar.. Itmallqlar teoryas` tyarg` tu`sler... Tosarl waqyalar u`stde a`meller..3. Waqya tmallg`` aqlamalar Ulıwma alg`ada, ta`byat ha`m ja`myet ızamları o`z o`zgeshellere tayag`a halda e tu`rge bo`led: aıq esaplap bolatug`ı ha`m statstalıq. Ma`sele, aspa mexaasıı` aıq ızamlarıa tayag`a halda, quyash sstemasıdag`ı plaetalardı` o`z-ara jaylasıwı, quyash ha`m ay tutılıwı ha`m sog`a uqsas o`plep waqıyalardı aıq esaplap berw, oı aldıa aytıw mu`m. Bul aıqlaatug`ı ızamlar. Braq, hawa-rayı, baha ssteması, o`mdarlıqtı` mol bolıwı ha`m bolmawı aldıa aytıw qıyı. Bul ızamlar statstalıq ızamlar dep aytıladı. Itmallıqlar teoryası-matematalıq pa`, sebeb ol da`slep berlge sstemag`a su`yege halda eyg teorema ha`m a`tyjelerd eltrp shıg`aradı. Itmallıqlar teoryası XVII-a`sr ortalarıda, qumar oyıları qumar oyıları e` tarqalg`a br waqıtta payda bolg`a. Azartlı oyılarda gu`zetletug`ı waqıyalardı` bazı ızamlıqları u`yrewge Pasal, Ferma, Berull sıyaqlı alımlar tbar berp, protsesslerd u`yrege ha`m a`tyjede tmallıqlar teoryası dep atalıwshı pa`ge u`le u`les qosqa. Solo rıda, Itmallıqlar teoryasıa o`z` salmaqlı u`les qosqa, oı rawajladırg`a ha`m o`ze sa`yes metep jaratqa o`zbestalıq V.I.Romaovsy, O`zRFA aademler S.X.Srajddov, T.A.Sarmsaqov ha`mde olardı` sha`rler aytıp o`tw ere. Itmallıqlar teoryası tu`rl tarawlarda, soı` shde, eoomada e` o`lemde a`melyatta qollaıladı. Brdey jag`dayda qa`legeshe ret qaytalaw mu`mshlge ye bolg`a ta`jrybeler turmısta o`p ushırasadı. Egerde olardı` a`tyjeler ta`jrybede ta`jrybege o`zgeretug`ı bolsa, oda olar tosıalı a`tyjel ta`jrybeler dep aytıladı. Itmallıq teoryası tosıalı a`tyjel ta`jrybelerd u`yreed. Bul ta`jrybeler mee baylaıslı waqıyalar tosıalı waqıyalar dep ataladı. Olar ta`jrybe a`tyjesde ju`zege asıwıda, ju`zege aspawıda mu`m. Tosıalı a`tyjel ta`jrybelerd sıpatlaw ushı elemetar waqıyalar e`slg tu`sg rtemz. Elemetar waqıyalar e`slg dep ta`jrybe` bzd qızıqtıratug`ı ha`r br a`tyjes oı` elemetler ja`rdemde br ma`sl su`wretleetug`ı ha`m brew` ju`zege asıwı qalg`alarıı` ju`zege asıwı byarlaytug`ı a`tyjelerde turatug`ı ıqtıyarlı o`ple aytıladı. Elemetar waqıyalar e`slg Ω mee belgleed. Ω-ı` elemetler elemetar waqıyalar dep aytıladı. Mısal: Ta`jrybe bazı br xızmet o`rsetw a`rxaasıa br u` dawamıda elp tu`se zaazlar saı baqlaw bolsı. Zaazlar saı ta`jrybede ta`jrybege, yag`ıy u`e u`ge o`zgered. Bul ta`jrybege sa`yes elemetar waqıyalar e`slg Ω = 0,,, 3,...,,...

3 boladı. A arqalı br u` dawamıda elp tu`se zaazlar saı jup bolıw waqıyası belgley. Bul tosıalı u`aqıya bolıp, oı elemetar waqıyalar ja`rdemde to`medegshe jazıwg`a boladı: A = 0,, 4, 6,... (0 -jup sa dep uyg`arıladı). Deme tosıalı waqıyaı elemetar waqıyalar e`slg` u`les o`plg dep qarawg`a boladı ee: A Ω. Egerde bazı br ω A elemetar waqıya ju`zege assa, oda A waqıya ju`zege astı dep ataymız. Elemetar waqıyalar e`slg -seml waqıya depte ataladı. Iseml waqıya ha`r br ta`jrybede ju`zege asadı. Ta`jrybe a`tyjesde ju`zege aspaytug`ı waqıya mu`m emes waqıya dep aytıladı ha`m bos o`pl belgs mee belgleed. Waqıyalar u`stdeg a`meller o`pller u`stdeg a`meller sıyaqlı aıqlaadı: A ha`m V waqıyalardı` qosıdısı dep, olardı` e` emde brew` ju`zege asıwı bldretug`ı A + V (A V) waqıyasıa aytıladı: A V = ω /ω A yamasa ω V A ha`m V waqıyalardı` o`beymes dep, olardı` eew`de br waqıtta ju`zege asıwı bldretug`ı AV (A V) waqıyasıa aytıladı: A V = ω /ω A ha`m ω V A waqıyası ju`zege asıp, V waqıyası ju`zege aspawı bldretug`ı A-V (A\V) waqıyası A ha`m V waqıyalardı` ayırması dep aytıladı: A\V = ω /ω A ha`m ω V A ı` ju`zege aspawı bldretug`ı A waqıya A g`a qarama-qarsı waqıya dep aytıladı A=Ω-A boladı. Egerde AV= bolsa, oda A ha`m V waqıyalar brgelsz dep aytıladı. Mısal: Ta`jrybe e oyı ubg taslawda barat bolsı. Ta`jrybe` elemetar a`tyjes (, j) o`rste jazıwg`a boladı, buda -brsh, j-esh oyı ubıda elp shıqqa ocho saı. Deme Ω = (, j): =,6, j=, 6 To`medeg waqıyalar tosıalı waqıya boladı A = (, j): + j jup, =,6, j=, 6 V = (, j): + j 0, =,6, j=, 6 Soda A+V= (, j): + j jup yamasa + j 0 AV = (, j): + j jup ha`m + j 0 = (4,6), (6,4), (5,5), (6,6) A = (, j): + j - taq, =,6, j=, 6 V\A = (, j): + j 0 ha`m + j - taq = (5,6), (6,5) Egerde elemetar waqıyalar e`slg Ω da aıqlag`a ters emes salı R futsya ushı P ( ω ) = ω Ω te`lg orılı bolsa, oda R tmallıq dep aytıladı. A waqıyaı` tmallıg`ı PA ( ) = P( ω ) te`lg mee aıqlaadı. ω A 3

4 Bul aıqlamada tmallıqtı` to`medeg qa`syetler elp shıg`adı: ) P( Ω) = P( ω ) = bolg`alıqta P ) PA ( ) = P( ω) = P( ω) = P( ω) P( ω) = PA ( ) 3) = Ω ω Ω ω A ω Ω A ω Ω ω A ( ) = P ( Ω ) = = 0 + 4) P( A B) = P( ω ) = P( ω) + P( ω) P( ω) = P( A) + P( B) P( AB) ω A+ B ω A ω B ω A B 4-qa`syette AV= bolg`ada P(A+B)=P(A)+P(B) elp shıg`adı. Shııg`ıwlar:. Oyı ubg e ret taslaw ta`jrybese sa`yes elemetar waqıyalar e`slg du`z`. To`medeg waqıyalarg`a tysl elemetar waqıyalardı o`rset`: A = ocholardı` qosıdısı 5 e bo`led V = ocholardı` e` u`le 4 e bo`led S = brsh ret taslag`ada elp shıqqa ocho esh ret taslag`ada elp shıqqa ochoı` vadratıa te`.ta`jrybe tyd brsh ret gerb shıqqag`a sheem taslawda barat. Usı ta`jrybege sa`yes elemetar waqıyalar e`slg du`z` ha`m elemetar waqıyalardı` tmallıg`ı aıqla`. 3. Te`llerd da`llle`: A B= A B, A B= A B 4. Ishde m aq sharı ha`m qara sharı bar yashte dusmalda shar (<m+) alıw ta`jrybese sa`yes elemetar waqıyalar e`slg du`z`. Elemetar waqıyalar saı aıqla`. 5. Tayar o`mler o`lshem ha`m massası boyısha teserled. O`lshem yamasa massası stadartta sh bolg`a o`m jaramsız dep esaplaadı. O`lshem ha`m massası stadartta u`le bolg`a o`m qayta slewge qaytarıladı, jaramlı o`m tutııwshılarg`a jberled. o`me turatug`ı tovar partyası teserw ta`jrybese sa`yes elemetar waqıyalar e`slg qaday du`zled. Elemetar waqıyalar saı eshege te`.. Klassalıq aıqlama. Geometryalıq aıqlama 3. Statstalıq aıqlama A`debyatlar:,3,9,. Itmallıqtı` aıqlamaları Elemetar waqıyalar e`slg Ω = ω,..., ω shel elemette turatug`ı ha`m ha`r br elemetar waqıya te` mu`mshll bolg`a jag`daydı qaraymız. Buda 4

5 P( ω ) + P( ω ) P( ω ) = P( ω ) = P( ω ) =... = P( ω ) bolg`alıqta P( ω ) =, =,,..., boladı. Solıqta ıqtıyarlı A Ω waqıyası ushı Аà òèéèñëè ýëåìåíòëåð ñàíû P( A) = P(ω ) = ω A Egerde A - arqalı A waqıyasıa tysl (mu`mshl tuwdıratug`ı) elemetar waqıyalar saı belglese ha`m Ω = ee esapqa alsaq, oda A waqıya tmallıg`ı ushı A PA ( )= Ω te`lge ye bolamız. Bul tmallıqtı` lassalıq aıqlaması bolıp elemetar waqıyalar saı shel ha`m te` mu`mshll bolg`adag`aa orılı boladı. Klassalıq aıqlamaı paydalaıp ma`sele sheshede ombatora elemetler oralastırıw, orı almastırıw ha`m gruppalıw tu`sler qollaıladı. elemet orıg`a oralastırıwlar saı A = ( )...( + ) te`lg mee aıqlaadı. K= bolg`ada oralastırıw orı almastırıw deled. elemette jasalg`a orı almastırıwlar saı to`medegge te`: P= A = ( )... =! elemett elemette gruppalar saı! C =!( )! formula mee aıqlaadı. -mısal. Aboet telefo omerd` aqırg`ı e tsfrı umıtıp qaldı. Bul tsfrlardı ha`r qıylı ee g`aa bled ha`m dusmalda tered. Kerel telefo omer terlge bolıw tmallıg`ı tabı`. Sheshw. Telefo omerd` aqırg`ı e tsfrıı` brshs ushı 0,,,..., 9 o tsfrdı` qa`lege brew, al eshs ushı qalg`a tog`ız tsfrdı` qa`lege brew terwge boladı. Solıqta barlıq mu`m bolg`a a`tyjeler saı = A0 = 0 9 = 90 Telefo omer` durıs terlge bolıwıa mu`mshl tuwdıratug`ı jag`daylar saı te brew: m=. Deme zlege tmallıq R=m/=/90. -mısal. Yashte 0 detal bolıp, oı` 6 awı boyalg`a. Dusmalda alıg`a bes detaldı` u`shew boyalg`a bolıw tmallıg`ı tabı`. Sheshw: Barlıq elemetar waqıyalardı` saı 0 elemett 5ewde gruppalaw saıa te`: =S 5 0. Alıg`a 5 detaldı` 3ew boyalg`a bolıwı ushı boyalg`a 6 detaldı 3ewde, al boyalmag`a 4 detaldı ewde gruppalap ombatsyalar du`zw ere. 5

6 Usıday ombatsyalardı` saı m=s 3 6S 4 ge te`. Solıqta zlege tmallıq P m 3 CC = = = 5 C0. Itmallıqtı` lassalıq aıqlaması elemetar waqıyalar te` mu`mshll ha`m olardı` saı shel bolg`ada g`aa qollaıwg`a boladı. Egerde elemetar waqıyalar saı shesz bolsa, oda tmallıqtı` geometryalıq aıqlaması qollaıladı. Bazı br G oblastıa tosıalı tu`rde tocha taslaadı. Taslag`a tochaı` G oblastıı` shde jaylasqa g G oblastqa elp tu`sw tmallıg`ı tabıw ere bolsı. Buda elemetar waqıyalar e`slg Ω - berlge G oblastıı` barlıq tochalarıa turadı. Olardı` saı shesz, solıqta lassalıq aıqlamaı qollaıp bolmaydı. Egerde taslag`a tocha te g`aa G oblastıa elp tu`setug`ı bolsa ha`m oı` bazı br g G oblastıa elp tu`sw tmallıg`ı g oblastıı` o`lshewe (uzılıg`ıa, maydaıa, o`leme) proportsoal bolıp, g ı` formasıa ha`m oı G oblastı qay jerde jaylasqaıa baylaıssız bolsa, oda waqıya tmallıg`ı Sg P = ( ) SG ( ) formula mee aıqlaadı. Buda S(G) -G oblastıı` o`lshem. 3-mısal. (Ushırasıw haqqıda ma`sele) E dos 00 ha`m 3 00 waqıt aralıg`ıda ushırasıwg`a wa`delest. Brsh elge eshs 0 mut waqıt dawamıda u`ted, sol waqıt shde eshs elmese etw mu`m. Egerde doslar o`rsetlge waqıt aralıg`ıdag`ı ushırasıwg`a elw momet tosıalı tu`rde ta`laytug`ı bolsa, oda olardı` ushırasıw tmallıg`ı tabı`. Sheshw. x ha`m u arqalı sa`yes brsh ha`m esh dostı ushırasıwg`a elw mometler belgley. Doslar ushırasıwı ushı x-u 0 te`szlg orılaıwı ere. (x. u) tochalardı tuwrı mu`yeshl oordatalar sstemasıda su`wretlese, oda barlıq mu`m bolg`a jag`daylar ta`repler 60 bolg`a vadrattı` tochalarıa, al ushırasıwg`a mu`mshl tuwdıratug`ı jag`daylar shtrxlag`a oblastta turadı. Doslardı` ushırasıw tmallıg`ı shtrxlaga oblast maydaıı` vadrat maydaıa qatası mee aıqlaadı: 60 0 P = Itmallıqtı` lassalıq ha`m geometryalıq aıqlamaları elemetar waqıyalar te` mu`mshll bolg`a jag`dayıda qollaw mu`m. Bul emshlt tmallıqtı` statstalıq aıqlaması tolıqtıradı. ta`jrybede A waqıya m ret ju`zege asatug`ı bolsı, oda m/ qatas, A waqıyaı` ju`zege asıw jylg dep aytıladı. Ta`jrybe saı jetll u`le bolg`a ta`jrybeler seryaları ushı waqıyaı` ju`zege asıw jylg bazı br turaqlı r [0, ] saı` do`geregde sol turaqlıg`ı 6

7 deyerl te` bolıp o`zgered. Usı turaqlı sa A waqıyaı` statstalıq tmallıg`ı dep aytıladı. Statstalıq tmallıq ushı ta`jrybe saı jetll u`le bolg`ada m P juwıq te`lg orılı boladı. Shııg`ıwlar:. Taxtada 0 taplar tosıalı tu`rde taqlag`a. Olardı` arasıda T.Qayıpbergeovtı` 3 tomlı ta`lamalı shıg`armalarıda bar. Toplamlardı` solda o`g`a o`sw ta`rtbde jaylasqa bolıw (qatar jaylasıwı sha`rt emes) bolıw tmallıg`ı tabı`.. 8 domo tasıı` eew tosıalı tu`rde alıadı. Bul e tastı` oyı qag`ıydası boyısha «dzbe» jasaw mu`m bolıw tmallıg`ı tabı`. 3. Ta`rep bolg`a vadratqa tosıalı tu`rde tocha taslaadı. To`medeg waqıyalardı` tmallıg`ı tabı`: a) Tochada o`g`a e` jaqı ta`repe sheemg qashıqlıq x ta aspaydı. b) Tochada vadrat orayıa sheemg qashıqlıq x ta aspaydı.. Asomalar. Itmallıqtı` qa`syetler A`debyatlar:,6,9, 3. Itmallıq teoryası asomaları Aadem A.N.Kolmogorov ta`repe rgzlge asomalar ssteması o`lshem teoryasıa tyarlag`a. Ω-elemetar waqıyalar e`slg, al I oı` u`les o`pller ssteması bolsı. Egerde. Ω I. A I; =, de U I elp shıqsa = A 3. A I de A I elp shıqsa, oda I sstema waqıyalardı` algebrası deled. Egerde esh sha`rtt` orıa a. A I; =, de U A I elp shıqsa = sha`rt orılasa, oda I sstema waqıyalardı` σ-algebrası dep aytıladı. Ω-elemetar waqıyalar e`slg, I - σ-algebra mee brgelte o`lshewl e`sl dep aytıladı ha`m <Ω, I> dep belgleed. O`lsheml e`slteg tmallıq o`lshem to`medeg asomalar ja`rdemde rgzled: -asoma. Qa`lege A I waqıya ushı, oı` tmallıg`ı dep atalıwshı R(A) 0 saı sa`yes qoyıladı. -asoma. R(Ω)=. Iseml waqıya tmallıg`ı ge te`. 7

8 3-asoma. Egerde { A } waqıyalar zbe-zlg o`z-ara jup-jupta brgelsz bolsa A A j =, j oda P (U A ) = P( A ) Bul asomalar ssteması o`z-ara qarama-qarsı emes. Sebeb bul asomalardı qaaatladıratug`ı real ob`etler bar. Bul asomalar ssteması o`z-ara baylaıslı emes. Qa`lege brew basqalarıa elp shıqpaydı. Bul asomalar ssteması tolıq emes. O`lsheml e`sl <Ω, I> ushı tmallıq o`lshew R ı ha`r qıylı aıqlawg`a boladı. Bul asomalar sstemasıı` emshlg emes. Shııg`ıwlar: Itmallıqtı` asomalarıa oı` to`medeg qa`syetler elp shıg`atug`ıı da`llle`.. R( )=0. Mu`m emes waqıyalar tmallıg`ı 0 ge te`.. P( A) = P( A) 3. A B bolsa P( A) P( B) 4. Qa`lege A I ushı 0 R(A) boladı. 5. Qa`lege A, V I ushı R(A+V)=R(A)+R(V)-R(AV) 6. P(U A ) P( A ) te`szlt` durıslıg`ı da`llle`. = = = { ω, ω,..., ω 7. Ω } elemetar waqıyalar e`slgde barlıq elemetar waqıyalar te` mu`mshll bolsa, qa`lege A waqıyaı` tmallıg`ı esaplaw formulası eltrp shıg`arı`.. Sha`rtl tmallıq. Tolıq tmallıq formulası 3. Bayes formulası A`debyatlar:,3,5, 9, 4. Sha`rtl tmallıqlar. Itmallıq formulaları Ko`pshl jag`dayda A waqıyaı` tmallıg`ı V waqıya ju`zege asqalıg`ı belgl bolg`ada esaplawg`a tuwra eled. Bul tmallıq sha`rtl tmallıq dep aytıladı ha`m R(A/V) yamasa R v (A) dep belgleed. Sha`rtl tmallıq to`medegshe aıqlaadı P( AB) P ( A / B) = P( B) buda R(V)>0 bolıwı ere. Sha`rtl tmallıqtı` aıqlamasıa R(AV)=R(A)R(V/A)=R(V)R(A/V) 8

9 te`lg elp shıg`adı. Egerde R(A/V)=R(A) bolsa, oda A ha`m V waqıyalar baylaıssız deled. Waqıyalardı` baylaıssızlıg`ı o`z-ara boladı. Egerde A ha`m V waqıyalar baylaıssız bolsa, oda olardı` o`beymes` tmallıg`ı, olardı` tmallıqlarıı` o`beymese te`: R(AV)=R(A)R(V) Meyl A waqıyası o`z-ara jup-jupta brgelsz bolg`a B, B,..., B ; B B j =, j waqıyalardı` tolıq gruppası mee brgelte ju`zege asatug`ı bolsı. Oda Buda A = U = B A ( B A) ( B A) =, j bolg`alıqta 3-asoma boyısha j P( A) = = P( B A) Egerde P B A) = P( B ) P( A / B ) ee esapqa alsaq ( P( A) = = P( B ) P( A / B Bul te`l tolıq tmallıq formulası dep aytıladı. B ha`m A waqıyalar o`beymes ushı te`lge P( B A) = P( A) P( B / A) = P( B ) P( A / B ), =, P( B / A) = ) P( B ) P( A / B ) P( A) qatasıa ye bolamız. R(A) ı` orıa tolıq tmallıq formulasıdag`ı a`latpaı qoysaq, oda Beyes formulasıa ye bolamız: P( B ) P( A / B ) P( B / A) = P( B ) P( A / B ) j= Shııg`ıwlar:. E oyı ubg taslaadı. Gu`zetletug`ı waqıyalar A={oyı ublerde elp shıqqa ocholar ha`r qıylı} V={e` emde br ubte altı ocho elp shıqtı} bolsa, oda R(V/A) ha`m R(A/V) tmallıqlardı esapla`.. 4 aq ha`m 6 qara shar bar yashte tosıalı tu`rde zbe-z e shar alıadı. Gu`zetletug`ı waqıyalar A={brsh alıg`a shar aq}, V={esh alıg`a shar aq}, S={alıg`a sharlardı` e` emde brew aq} bolsa, R(V/A), R(A/V) ha`m R(A/S) tmallıqlardı esapla`. 3. Satıwda 3 zavodta slep shıg`ılg`a televzorlar bar. Brsh zavod televzorlarıı` 0O`de, esh zavodtı` televzorlarıı` 0%de, u`shsh zavodtı` televzorlarıı` 5%de jasırı defet bar. Egerde du`a`da 30% brsh zavodta slege, 0% esh zavodta ha`m 50% u`shsh zavodta slege televzorlar bolsa, satıp alıg`a televzordı` defetsz bolıw tmallıg`ı tabı` mtxa blet` arasıda 5 jaqsı blet bar. E studet geze pee br blette alg`a bolsa, to`medeg waqıyalardı` tmallıg`ı tabı`. j j 9

10 a) Brsh studet jaqsı blet aldı, b) Esh studet jaqsı blet aldı, v) E studette jaqsı blet aldı, 5. Brsh urada aq ha`m 9 qara shar, esh urada qara ha`m 5 aq shar bar. Ha`r br urada brewde shar alııp, qalg`a sharlar 3-urag`a salıadı. 3-urada dusmalda alıg`a shardı` aq bolıw tmallıg`ı tabı`. 6. Qa quyıwda door ha`m awırıwdı` qa gruppası esapqa alıw ere. To`rtsh gruppa qag`a ye adamg`a qa`lege gruppa qadı quyıwg`a boladı; esh ha`m u`shsh gruppa qag`a ye bolg`a adamg`a sol gruppa yamasa brsh gruppa qa quyıladı; brsh gruppa qag`a ye bolg`a adamg`a te g`aa brsh gruppa qadı quyıwg`a boladı. Xalıq arasıda 33,7% brsh, 37,5% esh, 0,9% u`shsh ha`m 7,9% to`rtsh gruppa qag`a ye bolsa: a) tosıalı tu`rde alıg`a awırıwg`a, tosıalı tu`rde alıg`a door qaı quyıwg`a bolatug`ılıg`ı b) tosıalı tu`rde alıg`a e door, u`sh door bolsa, qa quyıwdı a`melge asırıwg`a bolıw tmallıg`ı tabı`. A`debyatlar:,5,9, 5. Baylaıssız ta`jrybeler zbe-zlg. Berull formulası. Baylaıssız ta`jrybeler. Berull formulası 3. E` o`p tmallıqqa ye sa Waqıyaı baqlaw ushı o`terletug`ı ta`jrybeler br-br mee baylaıslı yamasa baylaıssız bolıwı mu`m. Ta`jrybeler zbe-zlg` baylaıssızlıg`ı olardı` a`tyjesde ju`zege asıwı mu`m bolg`a waqıyalardı` o`z-ara baylaıssızlıg`ıa alıp eled. Meyl baylaıssız ta`jrybe` ha`r brewde A waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı R ha`m ju`zege aspaw tmallıg`ı q=-p bolsı. A waqıyaı ta`jrybede m ret ju`zege asıw tmallıg`ı R (m) d tabıw ere. Bul tmallıq m m m P ( m) = C p q, m = 0,,..., Berull formulası mee esaplaadı. R (m) tmallıq m=[p-+] de e` u`le ma`se ye boladı. Solıqta m 0 =[p-+] e` u`le tmallıqqa ye sa dep aytıladı. Shııg`ıwlar:. Ul balaı` tuwılıw tmallıg`ı 0,5 ge te` dep esaplap 5 balalı sem yada a) e ul bala, b) ul balalar saı eewde aspaw, v) ul balalardı` saı eewde o`p bolıw, g) ul balalar saı eewde az emes ha`m u`shewde o`p emes bolıw tmallıqları tabı`.. Xabardı uzatıwda br belg` buzılıw tmallıg`ı 0, ge te`. 0 belgde turatug`ı xabardı uzatıwda a) belglerd` buzılmaw, b) 3 belg` buzılıwı, v) buzılg`a belglerd` saı u`shewde az bolıw tmallıg`ı tabı`. 0

11 3. Ta`jrybe u`sh oyı ubg taslawda turadı. Bes g`a`rezsz ta`jrybede e ret u`sh brl elp shıg`ıw tmallıg`ı tabı`. 4. Uzılıg`ı 0 sm bolg`a esd A tochası 3: qatasta bo`led. Usı esdge tosıalı tu`rde 4 tocha taslaadı. Bul tochalardı` esd` qa`lege tochasıa elp tu`sw te` mu`mshll dep esaplap, olardı` eew A tochada solg`a, al eew` o`g`a elp tu`sw tmallıg`ı tabı`. Muavr-Laplast` loal formulas. Muavr-Laplast` tegral formulas. 3 Puasso formulas. A`debyatlar:,3,9,, 6. Muavr-Laplastı` teoremaları Egerde m ha`m u`le salar bolsa, oda R (m) tmallıqtı Berull formulasıa paydalaıp esaplaw qıyı boladı. de R (m) tmallıqtı juwıq esaplawdı` formulası Muavr-Laplastı` to`medeg loal teoreması bered. Teorema: Egerde baylaıssız ta`jrybe` ha`r brewde A waqıyası R tmallıg`ı mee ju`zege asatug`ı bolsa, oda m p < c = cost pq sha`rt qaaatladırıwshı m ler ushı m p P ( m) = ϕ ( )( O( )) pq pq te`lg orılı boladı. Buda ϕ ( x) = l π ϕ (x) futsya jup futsya bolıp oı` ma`sler tabltsalag`a. baylaıssız ta`jrybede A waqıyaı` ju`zege asıw saı m K m K te`szlt qaaatladırıw tmallıg`ı to`medegshe aıqlaadı: x P ( ; ) = P ( m ) =,, ler jetll u`le bolsa, bul formulaı qollaıp tmallıqtı esaplaw qıyı. Bul qıyıshılıqta qutılıwdı` jolı Muavr-Laplastı` to`medeg tegral teoreması bered. Teorema: Egerde ha`r br ta`jrybede A waqıyası turaqlı r(0<p<) tmallıg`ı mee ju`zege asatug`ı bolsa, oda de P (, ) φ( b) φ( a) qatası a ha`m b (- a b + ) larg`a qarata tegs orılaadı, buda m= C m p m q m x t p p Ф x = e ( ) dt, a =, b = π pq pq 0

12 Bul teoremadag`ı F(x) futsyası taq futsya bolıp, oı` ma`sler tabltsalag`a. Tabltsada X [0;5] deg ma`sler berlge bolıp, x>5 bolg`ada F(x) 0,5 dep alıw ere. Muavr-Laplastı` teoremaları waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı ½ ` do`geregde bolg`ada jaqsı a`tyje bered. Bul tmallıq olge yamasa brge jaqı bolg`a jag`dayda Puasso teoreması qollaıladı. Teorema: Waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı ta`jrybeler seryası omere baylaıslı bolıp de p λ bolsa, oda m λ λ P ( m) e m! qatası orılı boladı. Mısalı: Waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı 0,00 ge te`. 500 ta`jrybede waqıyaı` ju`zege asıw saı de u`le bolıw tmallıg`ı tabı`. Sheshw: Izlege tmallıq to`medegge te`. P500 ( < m < 500) = P500 (0) P500 () λ=p=500 0,0=5 ee esapqa alsaq, Puasso teoreması boyısha P 500 (0) = e = e 0! P 500 () = e = 5e! 5 5 Deme, P ( < m < 500) = e 5e 0, Shııg`ıwlar:. Ka`rxaada slep shıg`ılatug`ı detaldı` jaramsız bolıw tmallıg`ı 0,008 ge te` detalda turatug`ı partyada 50 jaramsız detal bar bolıw tmallıg`ı tabı`.. Ha`r br ta`jrybede A waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı 0,4 e te`. 500 ta`jrybede bul waqıyaı` 00 ret ju`zege aspaw tmallıg`ı tabı`. 3. Oqtı` ıshaag`a tyw tmallıg`ı 0,9 g`a te`. 300 oqtı` ıshaag`a tyw saı 40 ta az emes 60 ta o`p emes bolıw tmallıg`ı tabı`. 4. Waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı R=0,4 pee oı` ju`zege asıw chastotası m/ ayırmasıı` modul ε=0, de asıp etpew ushı eshe ret ta`jrybe o`terw ere. 5. =00 g`a`rezsz ta`jrybe` ha`r brewde A waqıyası bazı br R tmallıg`ı mee ju`zege asadı. Egerde m P P < 0, = 0,95 bolsa R tmallıqtı tabı`. 6. Itegral she teoremaı qollaıp g`a`rezsz ta`jrybeler zbe-zlg ushı m lm p p < ε = te`lg qa`lege ε>0 saı ushı durıs bolatug`ılıg`ı da`llle`. 7. Esaplaw mashası =000 mrosxemada turadı. Bul mrosxemalar br-bre g`arezsz tu`rde berlge waqıt shde r=0,05 tmallıg`ı mee ste shıg`ıwı

13 mu`m. Berlge waqıt shde e` emde br mrosxemaı` buzılıw tmallıg`ı tabı`. 8. Baylaıs aalı boyısha 000 belg uzatıladı. Har br belg` qalg`alarıa baylaıssız turdebuzılıw tmallıg`ı 0,005ge te`. Buzılg`a belglerd` saı ushewde aspaw tmallıg`ı tabı`. 9. Atılg`a oqtı` ıshaag`a tymew tmallıg`ı 0,0 ge te`. Atılg`a 50 oqtı` eew` ıshaag`a tymew tmallıg`ı tabı`. 0. Tuxım ushı jıyalg`a bydaydı` 0,3% jabayı sho`pt` tuxımı bolsa, dusmalda alıg`a 000 byday tuxımıı` e` emde altawı jabayı sho`p tuxımı bolıw tmallıg`ı tabı`.. Oqıwlıq tabı daa shıg`arıldı. Oqıwlıqtı` qate tu`plege bolıw tmallıg`ı 0,000ge te` bolsa, 5 oqıwlıq qate tuplege bolıw tmallıg`ı tabı`.. Dsret tosarl shamalar.. Bo`lstrw futsyas. A`debyatlar:,3,9,, 7. Dsret tosarl shama` bo`lstrw zam Ko`pshl waqıtta ta`jrybe` a`tyjes sa mee a`latıladı. Mısalı, oyı ubg taslag`ada elp shıg`atug`ı ocholardı` saı X dep belglese, oı` qabıl etetug`ı ma`sler,, 3, 4, 5, 6 tsfralarıı` brew bolıwı aıq. Braqta ta`jrybe o`tzlmeste burı aday ocho elp shıgatugılıgı aldı-ala ayta almaymız. Solıqta ta`jrybe` a`tyjesde aaw yamasa mıaw ma`st qabıl etetug`ı, braqta aldı-ala qaday ma`st qabıl etetug`ı, ayta almaytug`ı shamaı tosıalı shama dep aytıwg`a boladı. A`dette tosıalı shamaı` salı xaraterstaları u`yreled. Solıta tosıalı shama olshewl futsya tu`rde aılaadı. Tosıalı a`tyjel ta`jrybe` model (Ω, I, r) bolatug`ılıg`ı bzge belgl xtıyarlı X (- ; + )=4 saı ushı { ξ < x } = { ω; ξ ( ω) < x} I qatası orılı bolsa, oda ξ:ω 4 futsyası o`lshewl futsya dep aytıladı. Elemetar waqıyalar e`slg Ω ı, salar o`plg 4 ge tu`rledrletug`ı ξ=ξ(ω)o`lshewl futsya tosıalı shama dep aytıladı. O`lshewl futsyaı` aıqlamasıa {ξ<x} I tosıalı waqıya bolıp F ξ ( x) = P{ ξ < x} tmallıg`ı aıqlag`alıg`ı elp shıg`adı. Bul futsya ξ tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası dep aytıladı. Tosıalı shamaı` qabıl etetug`ı ma`sler` saı shel yamasa saaqlı bolsa, oda tosıalı shama dsret dep aytıladı. 3

14 Dsret tosıalı shama qabıl etetug`ı ma`slere sa`yes tmallıqları ja`rdemde berled. Bul sa`yesl dsret tosıalı shamaı` bo`lstrlw ızamı dep aytıladı. -mısal. Smmetr br tel oyı ubg br ret taslaadı. ξ-elp shıqqa ocholardı` saı tosıalı shama boladı. Oı` bo`lstrlw ızamı to`medegshe boladı x P /6 /6 /6 /6 /6 /6 Bul tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası 0, егерде x, егерде < x t, егерде < x 3 t 3 P{ ξ < x} = F( x) =, егерде 3 < x 4 t 4, егерде 4 < x 5 t 5, егерде 5 < x 6 t, егерде x > 6 grafg P 5/6 4/6 3/6 /6 / X Shııg`ıwlar:.Ha`r br g`a`rezsz ta`jrybede A waqıyaı` juzege asıw tmallıg`ı R g`a te`. Egerde g`a`rezsz ta`jrybede A waqıyaı` juzege asıw saı ξ bolsa, oda ξ - tosıalı shamaı` bolstrlw ızamı ha`m bolstrlw futsyası duz`..qurılma br-bre baylaıssız sleytug`ı to`rt elemette turadı. Ha`r br elemett` ste shıg`ıw tmalıg`ı 0,3 ge te` bolsa, br ta`jrybede ste shıqqa elemetler saıı` bolstrlw ızamı duz` detalda turatug`ı detallar partyasıda 7 jaramlı detal bar. Dusmalda alıg`a 3 detaldı` arasıdag`ı jaramsız detallar saıı` bolstrlw ızamı jazı`. 4

15 4. Atqısh og`ıı` ıshaag`a tyw tmallıg`ı 0,8 ge te`. Atqısh og`ı ıshaag`a tymey qalg`ag`a sheem oq atadı. Egerde ξ -atqıshtı` atqa oqlarıı` saı bolsa, oda oı` bolstrlw ızamı duz`. 5. Egerde ξ tosıalı shamaı` bo`lstrlw ızamı X P 0, 0,3 0,5 bolsa, a) oı` bo`lstrlw futsyası jasa` b) P{0 ξ 3} tmallıqtı esapla`.. U`zlsz tosıalı shama. Bo`lstrw futsyasıı` qa`syetler 3. Bo`lstrwd` tıg`ızlıq futsyası A`debyatlar:,,7,9, 9. U`zlsz tosıalı shama Egerde tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası x F ( x) = P{ ξ < x} = f ( t) dt tu`rde jazıwg`a bolsa, oda ol absolyut u`zlsz tosıalı shama dep aytıladı. Qa`lege tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası to`medeg qa`syetlerge ye. F. F ξ (x) bo`lstrw futsyası mooto emeymeytug`ı futsya, yag`ıy x <x bolg`ada F ξ (x ) F ξ (x ) boladı. F. Bo`lstrw futsyası solda u`zlsz, yag`ıy te`lg orılı boladı. F3. F( x) = 0, F( x) = lm x lm x + lm F ( x 0) F ( x ξ = ξ ) :zlsz tosıalı shamasıı` aıqlamasıa F (x)=f(x) elp shıg`adı. f(x) futsya tosıalı shamaı` tıg`ızlıq futsyası dep ataladı. Bo`lstrlw futsyası qa`syetlere tıg`ızlıq futsyasıı` qa`syetler elp shıg`adı:. f(x) 0. Pa { < x b} = Fb ( ) Fa ( ) = f( xdx ) + 3. f ( x) dx = Shııg`ıwlar: b a u 5

16 x ( u a) a. F( x) = e du πσ futsya a, σ parametr boyısha ormal bo`lstrlw futsyası a=0, σ= bolsa stadart ormal bo`lstrlw deled. Bo`lstrlw futsyasıı` qa`syetler orılı bolatug`ılıg`ı orset`.. Tıg`ızlıq futsyası 0, егердеx < 0 f ( x) = x λe λ, егердеx 0 turde bolg`a tosıalı shama espoetsal yamasa orsetshl ızam boyısha bo`lstrlge tosıalı shama deled. Oı` bo`lstrlw futsyası tabı`. 3. Bo`lstrlw futsyası 0, егерде x < a x a F( x) =, егерде a x < b b a, егерде x b o`rste bolg`a tosıalı shama {a,b} esdsde te` o`lsheml bo`lstrlge tosıalı shama dep aytıladı. Oı` tıg`ızlıq futsyası tabı`. c 4.U`zlsz tosıalı shamaı` tıg`ızlıq futsyası f ( x) = bolsa, S turaqlıı + x tabı`. 5. F x arctg x ξ ( ) = + bo`lstrlw futsyası bolsa, P{ < ξ < } tmallıqtı π 4 4 esapla`..matematalıq u`tlw. Dspersya 3. Mometler A`debyatlar:,5,7,0, 0. Tosıalı shamalardı` salı xaraterstaları Egerde ξ dsret tosıalı shama bolıp, oı` bo`lstrlw ızamı P = P{ ξ = X} bolsa, oda X P qatar qosıdısı tosıalı shamaı` matematalıq u`tlw dep aytıladı ha`m Mξ = X P dep belgleed. f(x) tıg`ızlıq futsyasıa ye bolg`a uzlsz tosıalıq shamaı` matematalıq u`tlw dep Mξ = + xf ( x) dx tegralıa aytıladı. Matematalıq u`tlw to`medeg qa`syetlerge ye. M. Turaqlı saı` matematalıq u`tlw sol saı` o`ze te`. Ms=s, s=sost 6

17 M. Mξ M ξ M3.Egerde Mξ ha`m Mη bar bolsa, oda M(ξ+η)=Mξ+Mη Tosıalı shamalar qosıdısıı` matematalıq u`tlw, olardı` matematalıq u`tlwler qosıdısıa te`. M4. M(Sξ)=SMξ M5. Egerde a ξ b bolsa, oda a Mξ b boladı. M6. Egerde Mξ ha`m Mη ler bar bolıp, ξ ha`m η tosıalı shamalar g`a`rezsz bolsa, oda M(ξη)=MξMη G`a`rezsz tosıalı shamalar o`beymes` matematalıq u`tlw, olardı` matematalıq u`tlwler o`beymese te`. Tosıalı ξ shama dspersyası dep M(ξ-Mξ) shamag`a aytıladı ho`m Dξ arqalı belgleyd: Dξ=M(ξ-Mξ) Matematalıq u`twd` aıqlaması boyısha, eger ξ dsret bolsa Dξ = ( x Mξ) P al egerde u`zlsz bolsa,oda + Dξ = ( x Mξ ) f ( x ) dx Tosıalıq shamaı` dspersyası oı` ma`sler matematalıq u`tlwd` (orta ma`s`) do`geregde qashama shashırap jaylasqaı xaraterleyd. Dspersya to`medeg qa`syetlerge ye D. Turaqlıı` dspersyası olge te`: Ds=9, s=sos5 D. D(Sξ)=S Dξ, S=sos5 D3. O`z-ara g`a`rezsz tosıalı shamalar qosıdısıı` dspersyası, olardı` dspersyaları qosıdısıa te`: D(ξ+η)=Dξ+Dη Aıqlama. ξ tosıalı shamaı` -ta`rtpl momet dep a =Mξ shamag`a aytıladı. υ =M(ξ-Mξ) shama ξ tosıalı shamaı` -ta`rtbl oraylasqa momet dep aytıladı. Bul aıqlamada a =Mξ, υ =Dξ elp shıg`adı. Shııg`ıwlar..Matematalıq u`tlwd` qa`syetler da`llle`.. Dξ=Mξ -(Mξ) te`lg` durıslıg`ı da`llle`. 3. G`a`rezsz tosıalı shamalar ushı D(ξ+η)=Dξ+Dη qa`syett` durıslıg`ı da`llle`. 4. ξ tosıalıq shaması Berull ızamı boyısha bo`lstrlge. P{ ξ = } = C p q, = 0,,,..., 7

18 oı` matematalıq u`tlw ha`m dspersyası esapla`. 5. ξ tosıalıq shama Puasso ızamı boyısha bo`lstrlge. λ P{ }! e λ ξ = =, = 0,,,..., λ > 0 Mξ ha`m Dξ - esapla`. 6. (a,σ)-parametr boyısha ormal bo`lstrlge tosıalı shama ushı a=mξ ha`m Dξ=σ bolatug`ılıg`ı da`llle`.. Chebıshev te`szlg.. Berull teoreması. 3. Chebıshev teoreması. A`debyatlar:,4,9,0,. Chebıshev te`szlg. U`le salar ızamı Dspersya qashama sh bolsa, tosıalı shamaı` ma`sler oı` orta ma`se soshama jaqı jaylasqa boladı. To`medeg Chebıshev te`szlg bul tastıyıqlawdı` durıslıg`ı o`rseted. Egerde ξ tosıalı shama shel dspersyag`a ye bolsa,oda qa`lege ε>0 saı ushı D P{ ξ Mξ ε} Chebıshev te`szlg orılı boladı. G`a`rezsz ta`jrybe` ha`r brewde A waqıyaı` ju`zege asıw tmallıg`ı R bolsı. K- ta`jrybede A waqıyaı` ju`zege asıw saı ξ dep belglese, oda oı` bo`lstrlw ızamı to`medegshe boladı. ξ 0 p buda =-p g`a`rezsz ta`jrybede A waqıyaı` ju`zege asıwlar saı S =ξ +ξ +...ξ bolıp, MS =p ha`m DS =p. Oda Chebıshev te`szlg boyısha P S pq pq { p ε} = P{ S p ε} = ε ε Bul te`szlte de to`medeg Berull teoreması elp shıg`adı. Teorema. Qa`lege ε >0 sa ushı: ξ ε lm P { S p = ε} 0 Solay etp ta`jrybe` saı jetll u`le bolsa A waqıyaı` ju`zege asıw chastotası, oı` ju`zege asıw tmalıg`ıa jaqı boladı ee. Meyl ξ,ξ,...,ξ tosıalı shamalar zbe-zlg ha`m η =f(ξ,ξ,...,ξ ) futsya berlge bolsı. 8

19 Aıqlama. Egerde {a }, =,,... turaqlı salar zbe-zlg bar bolıp, qa`lege >0 saı ushı lm P { η a < ε} = te`lg orılı bolsa, oda ξ,ξ,...,ξ... tosıalı shamalar zbe-zlg ushı u`le salar ızamı orılı deled. Chebıshev teoreması. Egerde ξ,ξ,...,ξ g`a`rezsz tosıalı shamalar zbe-zlg bolıp, olardı` dspersyası tegs shegaralag`a, yag`ıy qa`lege ushı Dξ <S te`szlt qaaatladıratug`ı turaqlı S bar bolsa, oda qa`lege >0 saı ushı lm P { M ξ = = ξ ε } 0 = te`lg, yag`ıy ξ,ξ,.. tosıalı shamalar zbe-zlg ushı ule salar ızamı orılı boladı. Teoremaı` da`lllew Chebıshev te`szlge elp shıg`adı. Shııg`ıwlar:.Dsret ha`m u`zlsz tosıalı shama ushı Chebıshev te`szlg da`llle`..ξ tosıalı shamaı` bo`lstrlw ızamı berlge x P R{ ξ-mξ <0,} tmallıqtı bahala`. 3. ξ tosıalı shama ξ bo`lstrlw ızamıa ye, bolsa R{ ξ-mξ < 0,44} tmallıqtı bahala`. 4. Chebıshev teoreması da`llle`. T. ξ,ξ,.. g`a`rezsz tosıalı shamalar zbe-zlg ξ bo`lstrlw ızamı mee berlge. Bul zbe-zl ushı u`le salar ızamı orılı bolama. A`debyatlar:,3,9,,. Ko`p o`lshewl tosıalı shamalar. Korrelyatsya oefftset. Ko`p o`lshewl bo`lstrlw. Kovaryatsya xa`m orrelyatsya oefftsetler Meyl ξ,ξ,...,ξ tosıalı shamalar berlge bolsı, usı tosıalı shamalar jerdemde berlge ξ=(ξ,ξ,...,ξ ) vetorı tosıalı vetor yamasa o`p o`lshewl 9

20 tosıalı shama dep aytıladı. Ko`p o`lshewl tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası Fξ,..., ξ ( x x P x x ξ ξ,..., ) = { <,..., < } turde aılaadı. Bul futsya ξ,...,ξ tosıalı shamalardı` brgell bo`lstrlu futsyası depte aytıladı Bul futsya to`medeg qa`syetlerge ye. lm F ( x,... x ) = F ( x,... x ) x + ξ,... ξ ξ,... ξ ξ,... ξ 0. lm F ( x,... x ) = x + Bul e qa`syet elsm qa`syetler dep aytıladı ha`m qa`lege argumet boyısha shee o`shedede durıs boladı. 3. Fξ ξ x x,... (,... ) futsya ha`r br argumet boyısha emeymeytug`ı futsya. 4. Fξ ξ x x,... (,... ) futsya ha`r br argumet boyısha solda u`zlsz. 5. Fξ,... ξ ( +,... ) = Egerde ξ,ξ,...,ξ tosıalı shamaları g`a`rezsz bolsa, oda Fξ x x x F x F x F x,... ξ (,,... ) = ξ ( ) ξ ( )... ξ ( ) te`lg orılı boladı. Tosıalı shamalardı` br-bre g`a`rezszl da`rejes orrelyatsya oefftset ja`rdemde aıqlaadı. Aılama. ξ ha`m η tosıalı shamalardı` ovaryatsyası yamasa orrelyatso momet dep sov(ξ, η)=m[(ξ-mξ)(η-mη) shamag`a aytıladı. cov( ξ, η) rξη, = shama ξ ha`m η tosıaalı shamalardı` orrelyatsya oefftset dep ДД ξ η aytıladı. Korrelyatsya oefftset tomedeg a`syetlerge ye.. G`a`rezsz tosıalı shamalardı` orrelyatsya oefftset olge te: r ξη, = 0. r ξη, 3. r ξη, = bolıwı ushı bazı-br a ha`m b saları ushı R{η=aξ+b}= bolıuı za`rurl ha`m jetll. Shııg`ıwlar:. ξ ha`m η tosıalı shamalardı` brgell bo`lstrlw ızamı berlge ξ - 0 η - /8 / 7/4 5/4 /6 /8 a) Br o`lsheml bo`lstrlw ızamlar P = P{ ξ = }, Pj = P{ η = j} dı tabı`. b) Brgell bo`lstrlw futsyası F ξη (x,6) t du`z`. 0

21 . E atqısh br-bre g`a`rezsz tu`rde ıshaag`a qaray br oqta atadı. ξ brsh atqısh og`ıı` ıshaag`a tywler saı, η esh atqısh og`ıı` ıshaag`a tywler saı. Oqtı` ıshaag`a tyw tmallıg`ı brsh atqısh ushı 0,8, al esh atqısh ushı 0,9 g`a te` bolsa, ξ ha`m η tosıalı shamalarıı` a) bo`lstrlw ızamı b) F ξη (x,6) brgell bo`lstrlw futsyası du`z`. 3. ξ ha`m η tosıalı shamalardı` brgell bo`lstrlw tıg`ızlıqları berlge 0, егерде x < 0 0, егерде y < 0 fξ ( x) = λx fη ( y) = µx λe, егерде x 0 µ e, егерде y 0 a) brgell bo`lstrlw tıg`ızlıg`ı f(x,u) b) brgell bo`lstrlw futsyası F(x,u) lerd tabı`. 4. ξ ha`m η tosıalı shamaları ushı 4 ξη = bolsa, R{η=aξ+b}= bolatug`ılıg`ı da`llle`, a ha`m b lardı tabı`. 5. ξ ha`m η tosıalı shamalardı` brgell bo`lstrlw berlge ξ η 7 0,9 0,0 0, ,0 0, ,03 0, 0, , Bul tosıalı shamalardı` o`z-ara g`a`rezll da`rejes esapla`. 3.. G`a`rezl ta`jrybeler. 3.. O`tw matrtsas Marov shjr A`debyatlar:,6,9, 3. G`a`rezl ta`jrybeler zbe-zlg. Marov shjr S ta`jrybe` a`tyjeler E,E,...E bolsı. Bul ta`jrybe mee atural sa ma`slerd qabıllawshı {ξ } tosıalı shamalar zbe-zlg sa`yes qoyıwg`a boladı. Buda egerde -ta`jrybede E j waqıya ju`zege asqa bolsa, ξ =j dep alamız. Soda ξ -ta`jrybede ju`zege asqa waqıya omere te` ee. Egerde har br ta`jrybe a`tyjes aldı`g`ı ta`jrybe a`tyjese baylaıslı bolsa, oda ta`jrybeler zbe-zlg o`z-ara baylaıslı dep ataladı. Dara jag`dayda ta`jrybe` a`tyjes te g`aa (-) ta`jrybe a`tyjese g`aa baylaıslı bolıp, oa aldı`g`ı o`terlge ta`jrybeler a`tyjese baylaıslı bolmasa, oda buday ta`jrybeler zbe-zlg Marov shıjırı du`zed dep aytıladı. Bul ta`jrybeler zbe-zlg mee baylaıslı bolg`a {ξ } zbe-zlte Marov shıjırı deled. Marov shıjırı aıqlag`a bolıwı ushı oı` da`slep awhalı P{ξ =j}=p j, P j =

22 ha`m -adımda o`tw tmallıg`ı P{ ξ = j / ξ0 = 0, ξ =,..., ξ =, ξ = } = Pj( ) berlw ere. m-ta`jrybede E 8 waqıya, al -ta`jrybede E j waqıyaı` (m<) ju`zege asıw tmallıg`ı Pj ( m, ) = P{ ξ = j / ξ m = dep belglese, bul tmallıqlarda du`zlge P( m, ),..., P ( m, ) P( m, ),..., P ( m, ) Pm (, ) =... P ( m, ),..., P( m, ) matrtsa o`tw matrtsası dep aytıladı. Egerde 0<m<< bolsa, oda Pm (, ) = Pm (, ) P (, ) te`lg orılı. Bul te`l Marov te`lemes deled. Dara jag`dayda P(, ) = P( ) P( )... P( ) formulag`a ye bolamız. Buda P( ), P ( ),..., P ( ) P( ), P ( ),..., P ( ) P ( ) =... P( ), P( ),..., P( ) -adımda o`tw matrtsası: Pj ( ) = Pj (, + ) Deme P() br adımda o`tw matrtsası bolıp, ta`jrybe omer -g`a baylaıslı boladı. Egerde o`tw tmallıqları ta`jrybe omere baylaıssız bolsa, yag`ıy Pj ( ) = Pj bolsa, oda Marov shıjırı br tel deled. Br tel shıjır ushı br adımda o`tw matrtsası qa`lege m ushı PP... P Pm ( ) = P= PP... P Solıqta, adımda o`tw matrtsası P(,)=P()P()...P(-)=P - Ulıwma jag`dayda m< ushı P(m,)=[P] -m =P -m bolıwı elp shıg`adı. Solay etp br tel Marov shıjırı br adımda o`tw matrtsası ha`m da`slep awhalı ja`rdemde berled. O`tw matrtsası to`medeg qa`syetlerge ye.. 0 Pj ( m, ). Pj ( m, ) = j Usı qa`syetlerge ye bolg`a matrtsa stoxastalıq matrtsa dep aytıladı. Aıqlama: Egerde qa`lege,j,=,,..., ler ushı lm P ( m, ) = lm P ( m, ) = P j j j

23 bolsa, oda Marov shıjırı ergodalıq prtspe bag`ıadı deled. Br tel Marov shıjırı ushı bazı-br >0 de П = [ P] matrtsaı` barlıq elemetler o` bolsa, oda shıjır ergodalıq boladı. Shııg`ıwlar: 0 05, 05,. O`tw matrtsası P = 05, 0 05, bolg`a br tel Marov shıjırıı` 05, 05, 0 ergodalıq prtspe bag`ıatug`ılıg`ı da`llle`.. Marov shıjırıı` o`tw matrtsası 0, 05, 04, P = 06, 0, 0, 5=0 bolg`adag`ı awhalı (0,7; 0,; 0,) vetorı mee 03, 04, 03, aıqlaadı. 5= bolg`adag`ı awhalıı` bo`lstrlw tabı`. 3. ξ 5 Marov shıjırı bolıp R{ξ 0 =}= ha`m o`tw matrtsası , егерде ξt = bolsa ηt =, егерде ξt zbe-zl Marov shıjırı bolatug`ılıg`ı da`llle`. 4. ξ, =,,... g`a`rezsz ha`m R{ξ =}=p, R{ξ =-}= p+ = bolsı. Egerde η 0 =0, η + =η +ξ + bolsa, oda zbe-zl Marov shıjırı bolama? R{ξ =}, =0,,,... tmallıqlardı esapla`. A`debyatlar: 3,5,9,, 4. Matematalq statsta` tyarg` tu`sler. Tyarg` ma`seleler.. Ta`lama` xaraterstalar. 3. Ta`lama` geometryalq su`wretlew. Polgo. 4 Gstogramma. Matematalıq statstaı` tyarg`ı ma`seleler 3 gruppag`a bo`lwge boladı.. Belgsz bo`lstrlw futsyası bahalaw.. Bo`lstrlwd` belgsz parametrler bahalaw. 3. Bo`lstrlw ızamı tuwralı statstalıq gpotezalardı teserw. Bul ma`selelerd sheshw tosıalı shama u`stde o`terlge ta`jrybelerd` a`tyjeler tyarıda a`melge asırıladı. Meyl ξ tosıalı shama u`stde g`a`rezsz ta`jrybe o`terlp, 3

24 x, x,..., x a`tyjeler alıg`a bolsı. Bul a`tyjelerd` o`plg ta`lama o`pl deled. Olardı o`sw yamasa emw ta`rtbde jaylastırılsa, x x... x (yamasa xj xj... xj ) oda elp shıqqa x x... x qatar varatsyalıq qatar deled. x, =,,..., varatalar dep aytıladı. Ulıwma jag`dayda varatalar br eshe ret qaytalaıwı mu`m. x 8 varata 8 ret qaytalaatug`ı bolsa, oda 8 saı x, =,,..., varataı` chastotası deled. Varatsyalıq qatar ag`zalarıı` saı = ta`lamaı` o`lem deled. Ha`r br chastotaı` ta`lamaı` o`leme qatası sa`yes varataı` salıstırmalı chastotası deled. x 8 varataı` salıstırmalı chastotası w = x x... x w w... w tabltsa ξ tosıalı shamaı` empralıq bo`lstrlw deled. Bul bo`lstrlwge mx ( ) sa`yes F( x) = bo`lstrlw futsyası ξ tosıalı shamaı` empralıq bo`lstrlw futsyası dep aytıladı. Buda m(x) x ta sh bolg`a varatalar saı, ta`lamaı` o`lem. Empralıq bo`lstrlw futsyası ja`rdemde esaplag`a salı xaraterstalar ta`lamaı` xaraterstaları deled. Olarg`a to`medegler red:. Ta`lamaı` orta ma`s X = x yamasa X = x = =. Ta`lamaı` dspersyası S = ( x x) yamasa S = ( x x) = = 3. Ta`lamaı` ortasha vadratlıq awısıwı S = ( x x) yamasa S = ( x x) = = 4. E` u`le chastotag`a ye bolg`a varata ta`lamaı` modası deled. 5. Varatsyalıq qatardı` varatalar saı te` ege bo`letug`ı varata ta`lamaı` medaası deled. 6. Varatsya oefftset S v = 00% x 7. Ta`lamaı` assmetrya oefftset A = 8. Ta`lamaı` estsess: e = 3 = 3 ( x x) S = 4 ( x x) S 4 3 4

25 ξ tosıalı shama u`stde ta`jrybe o`terlp, x x... x... ta`lama alıg`a bolsı. (x, ),(x, ),...,(x, ) tochalardı tutastırıwshı sııq sızıq ta`lamaı` chastotalar polgoı dep aytıladı. Salıstırmalı chastotalar polgoıda usıg`a usas jasaladı. Buı` ushı (x, ),(x, ),...,(x, ) tochalardı zbe-z esdler mee tutastırıw ere. Ultalarıı` uzılıg`ı h, al bylg /h bolg`a tuwrı to`rtmu`yeshllerde turatug`ı basqıshlı fgura ta`lamaı` gstogramması deled. Mısalı. x ta`lama berlge bolsı. Oı` polgoı ha`m gstogramması jasaymız x h= dep alayıq. Da`slep tocha ushı a=0,5 tochaı alıp, abtsssa o`sherde (0.5;.5), (.5;4.5), (4.5;6.5) tervallardı belgleymz. Brsh tervalg`a bylg + 5 = = 5., esh tervalg`a bylg = = 35., al u`shsh tervalg`a bylg 5 5 = = 5. bolg`a tuwrımu`yeshl to`rtmu`yeshl jasaymız /h X Shııg`ıwlar:. Ta`lama chastotalıq bo`lstrlw ja`rdemde berlge x Ta`lamaı` salıstırmalı chastotalıq bo`lstrlw du`z`.. Ta`lamaı` to`medeg bo`lstrlwler ushı empralıq bo`lstrlw futsyası du`z` ha`m grafg jasa`: 5

26 a) x b) x To`medeg bo`lstrlwler boyısha ta`lamaı` xaraterstaları esapla`: a) x b) x Ta`lamaı` assmetrya oefftset ha`m etsess esapla`: x Ta`lamaı` bo`lstrlw boyısha chastotatalıq polgoı ha`m gstogramması jasa`. a) x b) x Salıstırmalı chastotalı polgo ha`m gstogrammaı jasa`. x w Bahaı` tu`rler. Mometler metodı 3. Masmal uqsaslıq metodı A`debyatlar:,3,9,, 5. Statstalıq bahalar Ta`lama o`pl bas o`plt` bazı-br bo`leg bolg`alıqta, oı` parametrler bahalawda qa`tege jol qoyıladı. Solıqta bul baha bazı br sha`rtlerd qaaatladırıwı talap etled. Meyl θ belgsz parametr, θ*=θ*(x, x,..., x ) oı` bahası bolsı. Egerde Mθ*=θ bolsa, θ* baha jıljımag`a baha, P{ θ * θ > ε} 0 qatası qa`lege ε>0 sa ushı orılı bolsa, θ* baha tyarlı baha, al e` sh dspersyag`a ye bolg`a baha effetv baha deled. Mısalı: x = x -orta ma`s Mξ matematalıq u`tlw ushı jıljımag`a baha = boladı: Mx=Mξ 6

27 S = ( x x) ta`lamaı` dspersyası Dξ ushı jıljımag`a baha bola almaydı. = Dξ ı` jıljımag`a bahası ta`lamaı` du`zetlge dspersyası S0 = x x ( ) = boladı. Meyl teoryalıq bo`lstrlw futsyası F ξ (x) belgsz parametrge ye bolsı: F ξ (x)= F ξ (x, θ) Oda + Mξ = xdfξ ( x, θ) = m ( θ) teoryalıq matematalıq u`tlwde ta`lamaı` orta ma`s mee te`lese, belgsz θ parametrd bahalaw ushı m (θ)=x te`lemege ye bolamız. Parametrler saı br eshe bolsa, oda bul parametrler to`medeg te`lemeler ssteması tyarıda bahalaadı j mj( θ, θ,..., θs) = X, j =,,..., s Buda j j m ( θ, θ,..., θ ) = x df ( x, θ, θ,..., θ ) = Mξ j + s ξ + s j j j X = X = X df x j = S ( ),, = Belgsz parametrlerd bahalawdı` bul usılı mometler usılı deled. Egerde teoryalıq bo`lstrlw futsyası F(x,θ) bo`lstrlw tıg`ızlıg`ı (tmallıg`ı) f(x,θ) g`a ye bolsa, oda Lx (, x,..., x, θ) = f( xθ )( xθ )...( xθ ) futsya masmal uqsalıq futsya dep aytıladı. Usı futsyag`a masmum ma`s beretug`ı θh ma`s θ ı` masmal uqsaslıq bahası deled. Lx (, x,..., x, θ*) = max Lx (, x,..., x, θ) θ Mısalı: F(x,λ)=-e -λx o`rsetshl bo`lstrw ushı f(x,a)=λe -λx boladı. λ x = λx λx λx λ( x + x x) L= f( x, λ)... f( x, λ) = λe λe... λe = λe = λe bul futsyaı λ boyısha masmumı tabamız dl λ x x x λ λ = = λ e + = λ e x = = ( ) λ e ( λ x ) = dλ = = Bua λ = X = X ee elp shıg`adı. 0 = Shııg`ıwlar.. Meyl x,x,...,x ta`lama bolıp Mx =a ha`m Dx =σ, =,,..., bolsı 7

28 S0 = x x ( ) = ı` matematalıq u`tlw tabı`. m λ. x,x,...,x ta`lama ushı Px m m e λ ( m = ) =, = 0,,... bolsa λ parametrd! mometler ha`m masmal uqsaslıq metodı boyısha bahası tabı`. ( x a) σ 3. f ( x, a, σ ) = e bo`lstrlwd` belgsz a ha`m σ parametr` masmal πσ uqsaslıq bahası tabı`. A`debyatlar:,,8,, 6. Statstalq gpotezalar ha`m qataslar Joba. Statstalq aalzd` usullar. Ksh vadratlar usl. 3. Korrelyatsya oefftset. 4. Regressya te`lemes. Belgsz bo`lstrlwd` o`rs yamasa belgl bo`lstrwd` parametrler tuwralı uyg`arıwlar statstalıq gpotezalar dep aytıladı. Bul gpoteza tyarg`ı gpoteza bolıp, baqlaw a`tyjes tyarıda byarlaawı mum. Tyarg`ı gpoteza mee br qatarda og`a qarama-qarsı al teratv gpotezada qarastırıldı. Tyarg`ı gpoteza N 0, al teratv gpoteza N dep belgleed. Meyl N 0 : F ξ (x)= F(x) ha`m N : F ξ (x) F(x) bolsı Ta`jrybede baqlag`a x,x,...x, ta`lama ma`sler oblastı (a 0,a ) (a,a )...(a -,a ) -tervalg`a ajratamız ha`m 0,,..., chastotalardı tabamız. ξ tosıalı shamaı` bo`lstrlw futsyası F(x) bolsa, oda oı` (a -,a ) tervalda ma`s qabıl etw tmallıg`ı P a = df( x) a * al ge sa`yes gpotet chastota =R sebeb P = Bul chastotalar arasıdag`ı parıqtı` o`lshem ushı * ( ) ( P) X 0 = * = = = P alamız. de X 0 shama erll da`rejes K-r- bolg`a X bo`lstrlw boyısha bo`lstrlge boladı. Buda R-gpotet F(x) bo`lstrlwd` parametrler saı. Egerde P{X 0 < X } α orılasa, oda N 0 gpoteza qabıllaadı. α-a`hmyetll da`rejes dep aytıladı. A`dette α=0.9, α=0.95 8

29 dep alıadı Egerde ξ tosıalı shamaı` ha`r br ma`se bazı br ızam boyısha η tosıalı shamaı` aıq ma`s sa`yes eletug`ı bolsa, oda ξ ha`m η lar arasıdag`ı qatas statstalıq yamasa orrelyatsyalıq qatas dep aytıladı. Bul qatas to`medeg tabltsa ja`rdemde berled: ξ x x... x m η η y m m... m m y y m m... m m y y s m s m s... m s m ys m ξ m x m x... m x Buda m = m ; m = m ; S y j xj j= = = m = m = m y x j = j= = j= S j S j Bul e shama arasıdag`ı baylaıstı` orrelyatsya oefftset xy j XY rxy = SxSy formula ja`rdemde aıqlaadı. Buda X ha`m U-ta`lamaı` orta ma`sler, S x ha`m S u -ta`lamaı` ortasha vadratlıq awısıwları. Korrelyatsya oefftset e belg` o`z-ara baylaıs da`rejes o`rseted. Egerde r xu = bolsa, X ha`m U ler arasıdag`ı baylaıs sızıqlı boladı. r xu >0 bolsa, oda br shamaı` o`sw eshs` emwe alıp eld, r xu <0 bolsa, e shama arasıdag`ı baylaıs tuwrı baylaıs boladı. Brew` o`sw eshs`de o`swe alıp eled. Korrelyatsya oefftset br o`zgerwshge baylaıslı esh` sa ma`s qaday o`zgeretug`ılıg`ı o`rsetpeyd. Bul qatas regressyalıq qatas ja`rdemde ashıladı. Sızıqlı regressya te`lemes u=x+b turde bolıp, belgsz ha`m b lar e` sh vadratlar metodı ja`rdemde tabıladı: Sy = rxy ; b= Y X Sx U tı` X qa qarata regressya oefftset dep Sy Ry = rxy x Sx a`latpag`a aytıladı. Soda U tı` X qa qarata regressya te`lemes Y = R ( X X) + Y al X tı` U e qarata regressya te`lemes x y x 9

30 tu`rde boladı. X = R ( Y Y) + X y y x Shııg`ıwlar.. Ko`lem =00 bolg`a x ta`lama berlge. A`hmyetll da`rejes α=0,95 bolg`a jag`dayda bul ta`lamaı ormal ızam boyısha bo`lstrlgel gpotezasıı` X -rteryaları ja`rdemde teser`.. X rterya ja`rdemde, a`hmyetll da`rejes α=0,95 bolg`ada to`medeg te`lemeler ormal ızam boyısha bo`lstrlgel gpotezası mee elsmge eletug`ılıg`ı teser`: a) (x,x + ) (-0,-0) (-0,0) (0,0) (0,0) (0,30) (30,40) (40,50) b) (x,x + ) (6,6) (6,6) (6,36) (36,46) (46,56) (56,66) (66,76) (76, 86) To`medeg orrelyatsyalıq tabltsa ja`rdemde U t` X qa ha`m X tı` U e regressya te`lemeler du`z`. x m y u m x =50 4. To`medeg orrelyatsya tabltsası ja`rdemde u=ax +bx+s vadratlıq baylaıstı` belgsz parametrler a,b,s lardı bahala`. x 3 5 m y y m x =00 A`debyatlar:,3,5,9,, 30

31 Paydalaılg`a a`debyatlar:. Abdalmov B.A. «Oly matemata». Tashet «Uqtuvch» 994y.. Gmurma V.E. «Ruovodstvo resheyu zadach po teor veroyatost matematchesoy statst» Mosva. 975g. 3. Gmurma V.E. «Teorya veroyatost matematchesaya statsta» Mosva. 97g. 4. Ermaov V.I. Sbor zadach po vısshey matemat dlya eoomstov. Mosva Zamov O.O. Tolstopyate A.V. Matematchese metodı v eoome. Mosva Kovaleo I.N., Flpova A.A. «Teorya veroyatost matematchesaya statsta» Mosva. 97g. 7. Qaljaov K. «Itmallıqlar teoryasıı` elemetler» No`s. «Blm» 00 j. 8. Nasrtdov G., Abdmuratov M. Iqtsodchlar uchu matemata. Toshet Rasulov A.S., Ramova G.M., Sarmsaova X.K. Ehtmollar azaryas va matemat statsta. T Sebast yaov B.A. «Kurs teor veroyatost matematchesaya statsta» Mosva. 98g.. Srojdov S.X., Mamatov M.M. «Ehtmollar azaryas va matemat statsta» Toshet «Wqtuvch» 000 y.. Fayzullaeva S.F. Ehtmollar azaryasda masalalar twplam. T-006 3