MIT Açık Ders Malzemesi İstatistiksel Mekanik II: Alanların İstatistiksel Fiziği 2008 Bahar

Transkript

1 MIT Açık Ders Malzemesi II: Alanların İstatistiksel Fiziği 8 Bahar B malzemeye atıfta blnmak ve Kllanım Şartlarımızla ilgili bilgi almak için ve sitelerini ziyaret ediniz.

2 IV.F Tedirgemeli RG(İkinci Mertebe) U da ikinci mertebede, kabalaştırılmış Hamiltoniyen βh m = Vδfb q t Kq (π) d m(q) U σ 1 U σ U σ O(U 3 ) (IV.47) olr. U σ U σ hesaplamak için, iki U nn denklem IV.34 deki gibi bütün olası ayrışımlarını düşünmemiz gerekir. Her bir U, denklem IV.35 deki gibi 6 tip terime bölünebileceği için, iki U için, 6 6 lık bir tablo şeklinde düzenlenebilecek 36 böyle terim vardır. B tablodaki elemanların çoğ ya sıfırdır, ya da b aşamada pek çok sebepten dolayı ihmal edilebilir: (i) [1] tipinde en az bir çarpan içeren 11 terimin tamamı sıfırdır, çünkü bağlantılı parçalar olştramazlar, ve kümülant hesabında, ayrık parçalar sadeleşir. (ii) ([] [3] gibi) 1 terim, tek sayıda σ lar içerdiği ve pariteden dolayı sıfırdır (iii) İki terim, [] [5] ve [5] [], iki σnin eşleştirildiği ve geriye bir m (q < ) ve bir σ (q > ) bırakan köşeler içerir. B düzenleme, q > q < = oldğndan ve momentm kornm sağlayan δ-fonksiyonlarından dolayı sıfırdır. (iv) [3] [6], [4] [6] terimleri, ve iki m değişimli eş terimleri. İki ilmek integralleri içerirler, ve t katsayısına düzeltme içerirler. Onların net etkisini A ile göstereceğiz, ki daha önce de belirtildiği gibi b mertebede kesin olarak bilinmeleri gerekmemektedir. (v) [5] [5] terimi de, iki m terimi içerirken, [] [] terimi böyle 6 çarpan içerir. İkincisi önemlidir, çünkü, parametre zayının b mertebede kapalı olmadığı anlamına gelir. İlk başta sıfır olsa da, m 6 ile orantılı bir terim RG altında yaratılır. Gerçekte, momentm kornm etmeni, b iki terimin de q = da sıfır oldğn gösterir, dolayısıyla q m ve q m 6 ya katkılardır. Etkileri üzerinde daha sonra yorm yapacağız. (vi) [6] [6] dan gelen katkılar sabitlerdir, ve toptan Vδfb olarak gösterileceklerdir. 4 (vii) [3] [3], [3] [4], [4] [3] ve [4] [4] terimleri m e katkı verirler. Örnek olarak [3] [3] ten q 1 q Λ 4 k 1 k k 1 k (π) 4d (π) 4d (π) d δ d (q 1 q k 1 k )δ d (k 1 k q 3 q 4 ) δ αα (π)d δ d (k 1 k 1) δ αα(π)dδd ( 1 k ) m (t Kk1 ) (t Kk ) (q1 ) m (q ) m (q 3 ) m (q 4 )= 4n q 1 q 4 (π) 4d (π) d δ d (q 1 q q 3 q 4 ) m (q 1 ) m (q ) m (q 3 ) m (q 4 ) k 1 (π) d (t Kk )(t K(q 1 q k) ) (IV.48) elde edilir. [3] [4], [4] [3] ve [4] [4] terimlerinden gelen eşleştirmeler de ön çarpanları sırasıyla 8,8 ve 16 olan benzer ifadeler verirler. q 1 ve q bağımlılıklarından ayrı, son sonç U m 59

3 şeklindedir. Gerçekten, son integral f(q 1 q )= k 1 (π) d (t Kk ) 1 Kk (q 1 q ) K(q 1 q ) (t Kk ) (IV.49) şeklinde açılabilir. Gerçek zaya geri Forier dönüşümünden sonra, m 4 terimine, m ( m), m ( m ), gibi ek terimler blrz. Bütün katkılar bir araya kondğnda, mertebesinde kabalaştırılmış Hamiltoniyen βh = V (δfb δfb 1 δfb ) q t Kq (π) d m(q) şeklini alır. Λ (n ) q 1 q 4 (π) 4d m (q1 ) m (q ) m (q 3 ) m (q 4 ) (8n 64) Λ k 1 (π) d (t Kk ) O( q ) k 1 (π) d t Kk A(t, K, q ) O( m 6 q, )O( 3 ) (IV.5) IV.G -Açılımı B mertebede, (K, t, ) parametre zayı artık kapalı değildir; da ikinci mertebede, kabalaştırılmış Hamiltoniyen de, problemin simetrileri ile ttarlı m, m 4 ve m 6 ile orantılı yeni etkileşimler ortaya çıkar. B etkileşimleri şimdilik ihmal edersek, kabalaştırılmış parametreler K = K A () t = t 4(n ) Λ ũ = 4(n 8) Λ dd k 1 (π) d tkk A() dd k (π) d 1 (tkk ) (IV.51) olarak verilir, brada A() ve A (), denklem IV.5 deki A(t, K, q ) nin q nn kvvetleri cinsinden açılımındaki ilk iki terime karşılık gelir. Yeniden ölçekledikten q = b 1 q,verenormalize ettikten m = zm sonra, RG işleminin aşamaları, K = b d z K, t = b d z t, = b 3d z 4 ũ (IV.5) elde ederiz. seçersek Önceden oldğ gibi, z renormalizasyon parametresini K = K olacak şekilde z = b d (1 A ()/K) = bd (1 O( )) (IV.53) 6

4 elde ederiz. z nin değeri sabit nokta değerine bağlıdır. Ama, mertebesinde oldğ için, z = b 1 d O(), en düşük mertebede değişmez. z nin b değerini kllanırsak, ve differansiyel yineleme bağıntılarını olştrmak için kllandığımız adımları takip edersek, dt d = t 4(n)K dλ d A(t, K, Λ) tkλ d d = (4 d) 4(n8)K dλ d (tkλ ) (IV.54) Sabit noktalar, dt/d = d/d = dan elde edilir. Bir önceki kısımda bahsettiğimiz = t =Gassiyan sabit noktasına ek olarak, şimdi, = (t KΛ ) 4(n8)K d Λ d = K 4(n8)K 4 O( ) t = (n)k d Λ d t KΛ = (n) (n8) KΛ I( ) (IV.55) noktasında bayağı olmayan yeni bir sabit nokta vardır. Ykarıdaki ifade, =4 d de birinci mertebeye kadar olan terimleri ttarak sadeleştirilmiştir. Yineleme bağıntısını, sabit nokta civarında doğrsallaştırırarak d δt d δ = 4(n)K dλ d (t KΛ ) A 4(n)K d Λ d A t KΛ 8(n8)K d Λ d (t KΛ ) 8(n8)K dλ d 3 (t KΛ ) δt δ (IV.56) elde ederiz. Gassiyan sabit noktasında, t = =, denklem IV.45 i yeniden elde ediriz. Denklem IV.55 teki yeni sabit noktada, d δt d δ = 4(n)K 4Λ 4 K Λ 4 K 4(n8)K 4... O( ) 8(n8)K 4Λ 4 K Λ 4 K 4(n8)K 4 δt δ (IV.57) elde ederiz. İkinci sütnn ilk elemanını açıkça hesaplamadık, çünkü özdeğerleri hesaplamak için gerekmiyor. Bnn sebebi, ilk sütnn alt elemanının mertebesine kadar sıfır olmasıdır. Dolayısıyla, özdeğerler, sadece köşegendeki elemanlarla belirlenir. İlk özdeğer pozitiftir, sabit noktanın kararsızlığını denetler, İkinci özdeğer y t = (n ) (n 8) O( ) (IV.58) y = O( ) (IV.59) d < 4 için negatiftir. Dolayısıyla, yeni sabit noktanın koboyt birdir ve b boytlarda faz geçişlerini tasvir edebilir. Birtakım ara sonçlar, sabit noktanın konm gibi, K ve Λ gibi mikroskopik parametrelere bağlı oldğ halde, son özdeğerlerin sadece sayı olması, sadece n ve d = 4 a bağlı, oldkça tatmin edicidir. B özdeğerler, d < 4 te, dönme simetrisi kırılmasının evrensellik sınıflarını karakterize eder. (Uzn erimli etkileşimler, yeni evrensellik sınıfları olştrabilir.) 61

5 Bağdaşıklık znlğnn ıraksaması ξ (δt) ν, ν = 1 y t = 1 (n ) 1 (n 8) = 1 1 n 4 n 8 O( ) (IV.6) üsteli tarafından kontrol edilir. Serbest enerjinin tekil kısmı, f (δt) α olarak ölçeklenir, ve ısı sığası α = dν = (4 ) 1 1 n n 8 = 4 n (n 8) O( ) (IV.61) üsteli ile ıraksar. Kritik üstellerin hesabını tamamlayabilmek için, (ilgili) simetri bozan h alanı ile ilişkili özdeğeri hesaplamamız lazım. B, h xm (x) = h m (q = ) terimini ekleyerek kolayca blnabilir. B terim, kabalaştırmadan veya yeniden ölçeklemeden etkilenmez, ve renormalizasyon adımından sonra z h m (q = ) halini alır, ki b h = zh = b 1 d h, = yh =1 d O( )=3 O( ) (IV.6) oldğ anlamına gelir. Mıknatıslanmanın, T T c olrken yok olması β = d y h 4 = n y t (n 8) O( ) = 1 3 (n 8) O( ) (IV.63) üsteli ile kontrol edilirken, alınganlık χ (δt) γ ki brada γ = y h d = 1 1 n y t (n 8) =1 n (n 8) O( ) (IV.64) Ykarıdaki sonçları kllanarak, çeşitli üstelleri d ve n nin fonksiyonları olarak tahmin edebiliriz. Örnek olarak, n =1için, denklemler IV.6 ve IV.63 de =1veya alarak, ν(1).58, ν().67, ve β(1).33, β().17 değerlerini elde ederiz. B değerlerin d = 3 için hesaplanan en iyi tahminler ν().63, ve β.3 dir. d = de kesin değerlerin ν =1ve β =.15 oldğ bilinmektedir. β için olan tahminler oldkça iyiyken, ν için olanlar daha az güvenilirdir. Her drmda, b tahminlerin, ortalama alan (semer noktası) değerlerine göre bir ilerleme oldklarını görmek önemlidir. Açılım dört boyt civarında oldğ için, sonçlar d =3 de d = de oldğndan daha güvenilirdir. Her drmda, β nın boytn azalmasıyla ve ν nün artmasıyla azalması doğr olarak tasvir edilmiştir. Ayrıca, aşağıdaki α(n) üstellerinin tablosnda da görüleceği üzere, sabit d de değişen n ile davranışlarını da doğr olarak tasvir eder. n =1 n = n =3 n =4 =1 de O() d =3 te deneyler α nin işareti n = ve 3 için yanlış öngörülse de, n arttıkça, α nın azalması doğr olarak tasvir edilir. 6