Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi

Transkript

1 JEODEZİ 6 1 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Jeodezik gözlemler, hesaplamalarda kullanılmadan önce, referans elipsoidin yüzeyine indirgenir. Bu işlem, arazide yapılan gözlemler l jeoidin düşeyine dayandığından dğ d (jeodezik aletlerin düzeçlenmesiyle oluşur) ve hesaplamalar jeodezide referans elipsoidinin normaline dayandığından gereklidir. Jeodezik gözlemlerin elipsoide indirgeyen düzeltmeleri hesaplamak için, ilk önce tüm noktalarda jeoid yükseklikleri N ile çekül sapması bileşenleri ζ, η ni belirlemek gerekir. Jeodezik ağ gözlemlerini referans yüzüne getiren birkaç yöntemden söz edilebilir. Geliştirme Yöntemi İzdüşümYöntemi 2 1

2 Gözlemlerin Referans Elipsoid Yüzüne İndirgenmesi Genel olarak Jeodezik koordinatlarla astronomik koordinatlar arasındaki ilişkiler aşağıdaki gibi verilebilir. 3 Jeodezik Temel Ödevler Jeodezinin asıl amaçlarından biri elipsoid yüzündeki noktaların jeodezik koordinatlarının ve genellikle de jeodezik coğrafi ğ koordinatlarının hesaplanmasıdır. Bir başlangıç noktasının coğrafi koordinatlarının her şeyden önce verilmesi gerekir. İkinci bir noktaya giden kutupsal koordinatlar (S, α) bilinirse ikinci noktanın coğrafi koordinatlarını bulabiliriz. Buna 1. temel ödev veya jeodezik doğrudan problem veya doğrudan problem denir. İki noktanın coğrafi ğ koordinatları verilmişken kutupsal koordinatlarının bulunmasına 2. temel ödev veya ters (jeodezik) problem denir. 4 2

3 Jeodezik Temel Ödevler Bu problemlerin her birinin çözümü için temel olarak yandaki şekilde görüldüğü gibi elipsoidal bir kutupsal üçgenden yararlanılır. Bu problemin çözümü ü için i çok sayıda çözüm öü yöntemi geliştirilmiştir. Bunları kenarın uzunluğuna göre sınıflandırmak olasıdır. Kısa kenarlar (S< km) için olan çözüm yöntemleri Orta Uzaklıklar (S<1000 km) içim Büyük Kenarlar (S>1000 km) için olan çözüm yöntemleri Klasik ülke nirengi ağlarında kenarları 150 km den büyük olamayacaklarından (1. derece ağlarda genellikle S 35 km), burada kısa kenarlar için önerilen yöntemlerin en yaygın uygulamalarından söz edilecektir. 5 Çözümü 1. Temel Ödev Bu temel ödevde bir Pi noktasının (ϕ i, λ i ) coğrafi koordinatları ile bu noktadan başka bir noktaya giden jeodezik eğrinin uzunluğu s ik ve bu jeodezik eğrinin Pi noktasındaki azimutu α ik veriliyor. Verilenler: ϕ i, λ i, α ik, s ik İstenenler: ϕ k, λ k, α ki 6 3

4 Çözümü 1. Temel Ödev Elipsoid yüzünde coğrafi koordinatların ve azimutun jeodezik eğrinin s uzunluğunun bir fonksiyonu olarak ifade edilebileceğini varsayıyoruz. Eğri üzerinde bir başlangıç noktasından P o noktasına kadar eğri uzunluğu so, bu noktanın koordinatları ϕ o, λ o ve bu noktadaki eğrinin ğ azimutu α o olsun. Eğri ğ boyu Δs kadar artması durumunda ϕ, λ, α değişimleri Taylor serisine göre aşağıda verilmiştir. 7 Çözümü 1. Temel Ödev P o noktası eğri uzunluğunun başlangıç noktası alınırsa ve s o =0 ve Δs=s alınırsa elde edilir. Aynı şekilde genel olarak başlangıç noktası P i ve bu noktadan P k noktasına kadar eğri uzunluğu s ik alınırsa, 8 4

5 Çözümü 1. Temel Ödev Bu fonksiyonları ve bunların s ye göre türevlerinin kolaylıkla belirlenebildiği en uygun yüzey eğrisi jeodezik eğridir. Bir elipsoid id üzerinde bir noktadan geçen ve azimutu α olan jeodezik eğri ğ uzunluğuna göre türevler; olarak verilmişti. Bu türevleri P i noktasının ϕ i ve bu noktadaki α ik jeodezik azimutuna göre yazarsak 9 Çözümü 1. Temel Ödev Her bir elemanın türevleri 5. mertebeye kadar sürdürülürse, formülleri elde edilir. 10 5

6 Çözümü 1. Temel Ödev 11 Çözümü 1. Temel Ödev 12 6

7 Çözümü 1. Temel Ödev 13 Çözümü 1. Temel Ödev Bu çözüm ilk kez Legendre (1806) tarafından yapılmıştır. Bu verilen formüllerin geçerliliği coğrafi enleme bağlıdır. Ortalama enlemler l için 100 km ye kadar, ekvatora yakın enlemler l için birkaç 100 km ye kadar mm doğrulukla sonuçlanır. Formüllerde s=100 km de enlem farkını , boylam farkını ve azimut farkını doğrulukla hesaplayabilmek için seri açınımı Δϕ ve Δλ için 5. mertebeye, Δα için 4. mertebeye kadar sürdürmek gerekir. Serilerden de kolayca görüleceği gibi, serilerin yakınsak olmaları ve terimlerinin hızla sıfıra yaklaşması için s c olmalıdır. Klasik nirengi ağlarında s< km ve c=6400 km olduğu için bu koşul kolaylıkla sağlanır. 14 7

8 Çözümü 1. Temel Ödev Katsayıların hesaplanmasında önemli sorun, terimlerin hangi basamağa kadar hesaplanması ve serilerde kaç terime kadar alınmasının anlamlı olacağıdır. Bu sorun ϕ, λ ve αdeğerlerinin hangi duyarlıkta hesaplanması gereğine bağlıdır. Kural olarak, hesaplamalarda yuvarlatma hatalarının sonuca etkisinin, ölçülerde ulaşılan duyarlılığın 1/10 nu geçmemesi istenir. Enlem ve boylam veren terimler basamağa kadar, azimutu veren terimler ise basamağa kadar hesaplanmalıdır. Legendre yöntemindeki seriler 5. dereceye kadar terimlerin alınmasını gerektirdiği için i terimleri i sıfıra yaklaşan ş seriler değildir. Bu yüzden çözüm yolunun özü değiştirilmeksizin, Legendre serisinin uygulanmasında bazı değişikliklerle terimleri daha çabuk sıfıra yaklaşan (yakınsayan) eşitlikler bulunmuştur. Bunlardan en yaygınları ilerde sözü edilecek Schreiber ve Gauss Ortalama Enlem Yöntemleridir. 15 Çözümü 2. Temel Ödev Verilenler: ϕ i, λ i, ϕ k, λ k İstenenler: α ik, s ik, α ki 1. temel ödevdeki u= s ik cos α ik ve v= s ik sin α ik, ϕ i nin bir fonksiyonudur. 2. temel ödevi çözmek için u ve v yi dolayısıyla α ik, s ik bulmak gerekir. Burada düşünce bu kez u ve v yi ters işlemle ϕ k ϕ i =Δϕ, λ k λ i =Δλ nın fonksiyonu olarak seriye açmaktır. 16 8

9 Çözümü 2. Temel Ödev Bu kez aynı şekilde u ve v yi de Δϕ ve Δλ ya bağlı yakınsak seriler olarak ifade edebiliriz. Bu eşitliklerde bi, l i katsayılarının belirlenebilmesi için Δϕ ve Δλ değerleri yerine konursa ve düzenlenirse u değeri için aşağıdaki formüller elde edilir. 17 Çözümü 2. Temel Ödev Bu eşitlik u ve v ye göre düzenlenirse; elde edilir. Bu iki eşitlikte eşitliğin sağındaki ve solundaki u ve v katsayıları eşitlenirse; 18 9

10 Çözümü 2. Temel Ödev Bu son eşitlikte b i ve l i yerine daha önce hesaplanan değerleri yazılırsa u ve v değerleri elde edilir. 19 Çözümü 2. Temel Ödev Bu eşitliklerden yararlanılarak; v değerini u değerine oranlarsak; α ik hesaplanabilir. Benzer şekilde s ik denetimli olarak aşağıdaki formüllerle hesaplanır. α ik hesaplandıktan sonra α ki aşağıdaki eşitlikten hesaplanır

11 Örnek Bessel Elipsoidi kullanarak,

12 23 TEMEL ÖDEVLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ P 1 ve P 2 noktaları arasındaki jeodezik eğri s=s 12 olsun. S eğrisini ortalayan bir P o noktası ve bu noktada eğrinin ğ P 2 doğrultusundaki ğ azimutu α o olsun. Legendre serileri s jeodezik eğrisinin P 1 başlangıç noktasına dayanır. P 1 yerine ilke olarak elipsoid yüzeyinin diğer herhangi bir noktası da kullanılabilir. Özellikle jeodezik eğrinin P 1 ve P 2 uç noktalarının coğrafi koordinatları ile azimutlarının ortalamaları değişken olarak serilerde kullanılırsa, bu seriler basitleşir. Elipsoid yüzeyinde coğrafik koordinatların ortalamaları aşağıdaki şekildedir

13 TEMEL ÖDEVLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ P o noktasının coğrafi koordinatları ile ϕ o, λ o, α o aynı değildir. Legendre serilerini P o noktasını başlangıç noktası olarak geliştirelim. Önce P o dan P 2 ye α o azimutu ve s/2 kenarı ile Legendre serisi uygularsak; 25 TEMEL ÖDEVLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ Daha sonra P o dan P 1 e α o +180 o azimutlu ve s/2 kenarlı Legendre serisini uygularsak; Jeodezik eğrinin ğ diferansiyel denklemlerinde aşağıdaki ş ğ eşitlikler geçerli olacağından tek merteben türevlerde (-) işareti gelecektir

14 TEMEL ÖDEVLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ Her iki Legendre serisi öncelikle toplanır ve daha sonra çıkarılırsa aşağıdaki denklemler elde edilir. Bu türevlerin P o (ϕ o, λ o, α o ) noktasına göre alınması gerekir. Bu değerler bilinmediğinden bunlara en yakın olan ϕ m, λ m, α m değerlerinden yararlanılır. 27 TEMEL ÖDEVLERİN ÇÖZÜMÜ İÇİN GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ Bu eşitliklere Gauss Ortalama Enlem formülleri denir. Eşitliklerin sağındaki terimlerde ϕ m, λ m, α m değerlerine göre hesaplamaları gerektiği için bu eşitlikler 1. temel ödevin çözümüne uygun değildir. Ancak, 1. temel ödevin iteratif bir yöntemle çözümüne olanak verir. Buna karşılık Gauss Ortalama Enlem formülleri 2. temel ödevin çözümüne çok uygundur

15 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 2. TEMEL ÖDEV Verilenler: ϕ 1, λ 1, ϕ 2, λ 2 İstenenler: α 12 =αα 1, s, α 21 =αα 2 Eşitliklerdeki s sinα m ve s cosα m için aşağıdaki ilk yaklaşık değerler formüllerdeki yerlerine yazılırsa. 29 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 2. TEMEL ÖDEV Paydadaki terim binom serisi ile paya geçirilir ve düzenlenirse; Benzer işlemler uygulanarak; formülleri elde edilir 30 15

16 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 2. TEMEL ÖDEV Bu eşitliklerde aşağıdaki kısaltmalar yapılarak eşitlikler tekrar düzenlenebilir. 31 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 2. TEMEL ÖDEV Temel ödevin çözümünde aşağıdaki işlem sırası izlenir Bu eşitliklerde tek dereceden tüm terimler kaybolduğundan, tüm terimler 4. dereceye dahil kesindir. Bu nedenle Legendre yöntemine göre bu eşitlikler daha iyi yaklaşır, daha iyi yakınsar

17 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 1. TEMEL ÖDEV Verilenler: ϕ 1, λ 1, α 12, s İstenenler: ϕ 2, λ 2, α 21 Gauss Ortalama Otl Enlem yöntemi ile 1. temel lödevin çözümü öü üdoğrudan ğ d mümkün değildir, ancak iteratif çözüm gerçekleştirilebilir. Bu maçla öncelikle, formülün paydadaki terimi binoma göre açılıp paya çevrilirse bazı terimlerin atılmasıyla; l formülü elde edilir. 33 GAUSS ORTALAMA ENLEM YÖNTEMİ 1. TEMEL ÖDEV Aynı şekilde, formülleri de elde edilir. 1. temel ödevde yalnızca ϕ 1, λ 1, α 12, s verildiğinden bu eşitlikten doğrudan Δϕ, Δλ, Δα bulunamaz. İteratif çözüm için ϕ 2, λ 2 değerleri ya ölçekli bir nirengi kanavasından ya da 1/ ölçekli bir haritadan yaklaşık ş k olarak alınır ve bu değerlerle dğ l Δϕ, Δλ ve köşeli parantez içerisindeki değerler hesaplanıp, Δα ve α m yaklaşık değerleri hesaplanır. Eğer böyle olanaklar yoksa, yaklaşık hesap için yalnız ilk terimler alınır. Bu formüllerde α m ve ϕ m yerine α 1 ve ϕ 1 değerleri konur

18 Örnek Örnek

19 Örnek Örnek

20 Örnek Örnek

21 Örnek