Parametrik Olmayan İstatistik. Prof. Dr. Cenk ÖZLER

Transkript

1 Parametrik Olmayan İstatistik Prof. Dr. Cenk ÖZLER

2

3 bulunur. Bağımsızlık Testleri Sütun Kategorisi Satır Kategorisi I II III Satır Toplamı A B Sütun Toplamı Genel Toplam Bu kategorilere dayanarak A nın olasılığı P(A); P A = A nın satır toplamı Genel Toplam elde edilir. Sütun kategorisi I olduğunda A nın olasılığı; olur. Bağımsızlık tanımından P A = P A I ise; P A I = A ve I dakilerin sayısı I sütun toplamı A nın satır toplamı Genel Toplam = A ve I dakilerin sayısı I sütun toplamı buradan Ave I dakilerin sayısı; Ave I dakilerin sayısı = A nın satır toplamı x I sütun toplamı Genel Toplam

4 Bağımsızlık Testleri Hipotezler H 0 : Satır ve Sütun kategorileri birbirinden bağımsızdır. H 1 : Satır ve Sütun kategorileri birbirinden bağımsız değildir. Test İstatistiği χ 2 = (G ij B ij ) 2 B ij G ij = i. satır j. sütunda gözlenen değer B ij = i. satır j. sütunda beklenen değer Ret Bölgesi Eğer χ 2 > χ 2 α, r 1 (c 1) ise H 0reddedilir. r= satır sayısı c= sütun sayısı Varsayımlar 1. Örneklemler aynı populasyondan seçilmişlerdir

5 Bağımsızlık Testleri Örnek: David Gallano adında bir şarap tüccarı rastgele seçtiği bir grup müşterisine üzüm şarabının kalitesiyle ilgili fikirlerini sormuştur. Müşteriler ülkenin 3 farklı bölgesinde yetişen üzümlerden yapılan şarapları tatmışlar ve 1 en iyi ve 4 en kötü olacak şekilde 1 den 4 e kadar puanlamışlardır. Veriler tablodadır. %5 önem seviyesinde şarap kalitesinin üretildikleri bölgelerden bağımsız olduğu söylenebilir mi? Yetiştirilen Bölge Kalite Derecesi I II III

6 Bağımsızlık Testleri Yetiştirilen Bölge Kalite Derecesi I II III Satır Toplamı 1 15 (9,3) 10 (11,1) 6 (10,6) (9,6) 13 (11,5) 12 (10,9) (9,3) 12 (11,1) 8 (10,6) (7,8) 8 (9,3) 15 (8,9) 26 Sütun Toplamı H 0 : Şarapların üretildikleri bölgeler ile kalite puanları birbirinden bağımsızdır. H 1 : Şarapların üretildikleri bölgeler ile kalite puanları birbirinden bağımsız değildir. İlk satır ve sütun için B 1,1 = = 9,3 χ 2 = (15 9,3)2 9,3 + + (15 8,9)2 8,9 = elde edilir r= 4 ve c= 3 olduğundan χ , 4 1 (3 1) = bulunur. χ 2 > χ , 4 1 (3 1) olduğundan H 0 reddedilir.

7 2 den Fazla Oranın Eşitliğinin Testi Hipotezler H 0 : p 1 = p 2 = = p k (Her bir satırdaki (veya sütundaki) ücrelerin oranları eşittir. ) H 1 : p i p j (en az bir i j için)(en az bir ücrenin oranı diğerlerinden farklıdır. ) Test İstatistiği χ 2 = (G ij B ij ) 2 B ij G ij = i. satır j. sütunda gözlenen değer B ij = i. satır j. sütunda beklenen değer Ret Bölgesi Eğer χ 2 > χ 2 α, r 1 (c 1) ise H 0reddedilir. r= satır sayısı c= sütun sayısı Varsayımlar Örneklemler aynı populasyondan seçilmişlerdir

8 2 den Fazla Oranın Eşitliğinin Testi Örnek: Bir işletmede son 1 ayda üretilen partilerin vardiyalara göre uygun ve uygun olmayan miktarları tabloda verilmiştir. Buna göre %1 önem seviyesinde kusurlu partilerin oranı değişik vardiyalara göre farklılık göstermekte midir? Vardiyalar Parti Durumu Gündüz Akşam Gece İyi Parti Sayısı Kötü Parti Sayısı

9 2 den Fazla Populasyon Oranın Eşitliği Testi p 1 = Gündüz vardiyasında iyi partilerin oranı p 2 = Akşam vardiyasında iyi partilerin oranı p 3 = Gece vardiyasında iyi partilerin oranı H 0 : p 1 = p 2 = p 3 H 1 : p i p j (en az bir i j için) İlk satır ve sütun için B 1,1 = = 423 Vardiyalar Parti Durumu Gündüz Akşam Gece Satır Toplamı İyi Parti Sayısı 427(423) 273 (282) 240 (235) 940 Kötü Parti Sayısı 23 (27) 27 (18) 10 (15) 60 Sütun Toplamı Genel Toplam=1000 χ 2 = ( )2 423 (10 15) = r= 2 ve c= 3 olduğundan χ , 2 1 (3 1) = 9.21 bulunur. χ 2 < χ , 2 1 (3 1) olduğundan H 0 reddedilemez.

10 1. Bağımsızlık testinde örneklem tek bir populasyondan seçilmiştir. Ancak Homojenlik testinde 2 veya daha fazla bağımsız rassal örneklemin aynı populasyondan gelip gelmediği incelenecektir. Hipotezler Homojenlik Testleri H 0 : n adet örnek aynı populasyondan gelmektedir. H 1 : n adet örnek aynı populasyondan gelmemektedir. Test İstatistiği χ 2 = (G ij B ij ) 2 B ij G ij = i. satır j. sütunda gözlenen değer B ij = i. satır j. sütunda beklenen değer Ret Bölgesi Eğer χ 2 > χ 2 α, r 1 (c 1) ise H 0reddedilir. r= satır sayısı c= sütun sayısı Not

11 Homojenlik Testleri Örnek: Bir liseden 4 adet birbirinden bağımsız öğrenci grubu seçilmiştir. Bunlardan 100 tanesi Lise 1, 95 tanesi Lise 2, 95 tanesi Lise 3 ve 90 tanesi Lise 4 öğrencisidir. Her bir öğrenciye bir konu hakkındaki görüşleri sorulmuş ve soruya Evet, Hayır yada Farketmez olarak cevap vermeleri istenmiştir. %5 önem seviyesinde bu 4 örneğin aynı populasyondan geldikleri söylenebilir mi? Soruya Verilen Cevaplar Sınıf Evet Hayır Farketmez Lise Lise Lise Lise

12 Homojenlik Testleri Soruya Verilen Cevaplar Sınıf Evet Hayır Farketmez Satır Toplamı Lise 1 60 (71.05) 20 (17.11) 20 (11.84) 100 Lise 2 60 (67.5) 30 (16.25) 5 (11.25) 95 Lise 3 70 (67.5) 10 (16.25) 15 (11.25) 95 Lise 4 80 (63.95) 5 (15.39) 5 (10.66) 90 Sütun Toplamı Genel Toplam=380 H 0 : 4 adet örnek aynı populasyondan gelmektedir. H 1 : 4 adet örnek aynı populasyondan gelmemektedir. İlk satır ve sütun için B 1,1 = = χ 2 = ( ) ( ) = elde edilir r= 4 ve c= 3 olduğundan χ , 4 1 (3 1) = bulunur. χ 2 > χ , 4 1 (3 1) olduğundan H 0 reddedilir.

13 Sonra MC NEMAR Testi (Bağlantılı Örnekler) Hipotezler p 1 = olay veya işlem öncesi (+) olup olay veya işlem sonrası olanların oranı p 2 = olay veya işlem öncesi olup olay veya işlem sonrası + olanların oranı H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 Test İstatistiği Önce (+) (-) (+) A(+,+) B(-,+) (-) C(+,-) D(-,-) χ 2 = B C 1 2 B + C Ret Bölgesi Eğer χ 2 > χ 2 α,1 ise H 0 reddedilir. Not 1.Örnekler bağımlıdır.

14 Önce MC NEMAR Testi (Bağlantılı Örnekler) Örnek: 50 ekonomiste yeni seçilen Merkez Bankası başkanının ekonomi politikalarını destekleyip desteklemedikleri sorulmuştur. Aynı ekonomist grubuna 1 yıl geçtikten sonra aynı soru sorulmuş ve cevaplar tablodaki gibi elde edilmiştir. %5 önem seviyesinde ekonomistlerin başkanın ekonomi politikalarına destekleri ile ilgili görüşlerin değişip değişmediğini araştırınız. 1 yıl sonra Destekleyen Desteklemeyen Destekleyen 20 5 Desteklemeyen 15 10

15 Önce MC NEMAR Testi (Bağlantılı Örnekler) 1 yıl sonra Destekleyen Desteklemeyen Destekleyen 20 5 Desteklemeyen p 1 = Önce başkanı destekleyip daa sonra desteklemeyenlerin oranı p 2 = Önce başkanı desteklemeyip daa sonra destekleyenlerin oranı H 0 : p 1 = p 2 H 1 : p 1 p 2 χ 2 = = 4.05 Eğer χ 2 > χ 2 α,1 = 3.84 olduğundan H 0 reddedilir.

16