MATEMATİK 12. SINIF DERS KİTABI

Transkript

1 ORTAÖĞRETİM MATEMATİK. SINIF DERS KİTABI YAZARLAR Mustafa BAĞRIAÇIK Muslu LÖKÇÜ Zenel SAĞLAM Önder ÇOLAK Timur YURTSEVEN Turgut OĞUZ Asun Nükhet ELÇİ Yalçın YILDIRIM DEVLET KİTAPLARI BEŞİNCİ BASKI...,

2 MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI...: 45 DERS KİTAPLARI DİZİSİ...: 9.?.Y..69 Her hakkı saklıdır ve Milli Eğitim Bakanlığına aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp aınlamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Hüsein ALKAN DİL UZMANI Şerife KAÇMAZ GÖRSEL TASARIM UZMANI Hatice Elif KÖŞKER ÖLÇME DEĞERLENDİRME UZMANI Didem AKBULUT GRAFİK TASARIM Uğur SAPMAZ ISBN Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbie Kurulunun..8 gün ve 58 saılı kararı ile ders kitabı olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün 9.. gün ve 98 saılı azısı ile beşinci defa adet basılmıştır.

3

4

5

6

7 .BÖLÜM: FONKSİYONLAR İÇİNDEKİLER FONKSİYONLAR.... Fonksionların Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi (. Etkinlik).... Fonksionların Türleri (. Etkinlik)...4. Ters Fonksion (. Etkinlik) Artan, Azalan ve Sabit Fonksion (5. Etkinlik) Çift ve Tek Fonksion (8. Etkinlik)... FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ.... Kuralı Verilen Fonksionun En Geniş Tanım Kümesi (9. Etkinlik)... PARÇALI FONKSİYONLAR...8. Parçalı Fonksion (6. Etkinlik)...8. Parçalı Fonksionun Grafiği (7. Etkinlik)... MUTLAK DEĞER FONKSİYONU.... Mutlak Değer Fonksionu (9. Etkinlik).... Mutlak Değer Fonksionunun Grafiği (. Etkinlik).... Mutlak Değerli Denklemler (. Etkinlik) Mutlak Değerli Eşitsizlikler (. Etkinlik)...6 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...8. BÖLÜM: LİMİT VE SÜREKLİLİK LİMİT...4. Yaklaşma ve Limit Kavramı (. Etkinlik)...4. Bir Fonksionun Bir Noktadaki Sağdan ve Soldan Limiti (4. Etkinlik)...8. Sabit Fonksionun Limiti (5. Etkinlik) Kuvvet Fonksionlarının Limiti (7. Etkinlik) Limit İle İlgili Özellikler (8. Etkinlik) Polinom Fonksionlarının Limiti (9. Etkinlik) Mutlak Değer Fonksionlarının Limiti (. Etkinlik) Köklü Fonksionların Limiti (. Etkinlik) Parçalı Fonksionların Limiti (. Etkinlik) Trigonometrik, Logaritmik ve Üstel Fonksionların Limiti (5. Etkinlik) Genişletilmiş Gerçek Saılar Kümesinde Sonsuz Limit ve Sonsuz İçin Limit (6. etkinlik) Trigonometrik Fonksionların Limiti (9. Etkinlik)...5. Limit Hesaplarında Belirsizlik Durumları (. Etkinlik) Dizilerde Limit (4. Etkinlik)...6 ARİTMETİK VE GEOMETRİK DİZİLER Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı (5. Etkinlik)...64 SÜREKLİLİK Fonksionun Bir Noktadaki Sürekliliği (6. Etkinlik) Fonksionun Bir Aralıktaki Sürekliliği (7. Etkinlik)...7. Sürekli Fonksionlarda İşlemler (8. Etkinlik) Sınırlı Fonksionlar (9. Etkinlik) Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksionların Özellikleri (. Etkinlik)...74 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...76

8 . BÖLÜM: TÜREV TÜREV...8. Türev Kavramı (. Etkinlik)...8. Türevin Fiziksel Yorumu (5. Etkinlik)...9. Fonksionun Bir Noktadaki Sağdan Soldan Türevi (6. Etkinlik) Süreklilik ve Türevlenebilme (7. Etkinlik) Bir Fonksionun Bir Aralıkta Türevlenebilirliği (9. Etkinlik) Sabit Fonksionun Türevi (. Etkinlik) Kuvvet Fonksionunun Türevi (. Etkinlik) Parçalı Tanımlı Fonksionların Türevi (. Etkinlik) Mutlak Değer Fonksionların Türevi (. Etkinlik)...5. Bileşke Fonksionun Türevi (4. Etkinlik)...6. Parametrik Fonksionların Türevi (5. Etkinlik)...8. Kapalı Fonksionların Türevi (6. Etkinlik)...9. Ters Fonksionun Türevi (7. Etkinlik) >, m ve n Z Olmak Üzere = m/n in Türevi (8. Etkinlik) Trigonometrik Fonksionların Türevi (9. Etkinlik) Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi (. Etkinlik) Logaritma Fonksionunun Türevi (. Etkinlik) Üstel Fonksionun Türevi (. Etkinlik) İki Fonksionun Toplamının Türevi (. Etkinlik)...9. İki Fonksionun Çarpımının Türevi (4. Etkinlik).... İki Fonksionun Bölümünün Türevi (5. Etkinlik)...5. Doğrusal Hareketle Türevin İlişkisi (6. Etkinlik)...6. Bir Fonksionun Grafiğinin Bir Noktasındaki Teğetinin ve Normalinin Denklemi (7. Etkinlik) Bir Fonksionun Ardışık Türevleri (9. Etkinlik)... TÜREVİN UYGULAMALARI...6. Bir Fonksionun Artan ve Azalan Aralıklarıla Türevin İlişkisi (. Etkinlik)...7. Yerel Ekstremum Noktalar (.Etkinlik)...4. Ekstremum Noktalarla Türevin İlişkisi (. Etkinlik) Mutlak Ekstremum Noktalar (. Etkinlik) Maksimum ve Minimum Problemlerin Türev ile İlişkisi (5. Etkinlik) Bükelik Kavramı ve Türevle İlişkisi (6. Etkinlik) Bir Fonksionun Dönüm Noktası ve Türevle İlişkisi (7. Etkinlik) Polinom Fonksionların Grafikleri (8. Etkinlik) Düşe Asimptot (4. Etkinlik) Yata Asimptot (4. Etkinlik) Rasonel Fonksionların Grafikleri (4. Etkinlik) Eğik ve Eğri Asimptot (4. Etkinlik)...6. İrrasonel Fonksionların Grafikleri (45. Etkinlik) Bir Polinomun Katlı Kökleri İle Türevleri Arasındaki İlişki (47. Etkinlik) L Hospital Kuralı Yardımıla Fonkionların Limitlerinin Hesaplanması (48. Etkinlik)...65

9 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME BÖLÜM: İNTEGRAL BELİRLİ İNTEGRAL Riemann Toplamı (. Etkinlik)...8. Belirli İntegralin Özellikleri (. Etkinlik) İntegral Hesabının. Temel Teoremi (4. Etkinlik) İntegral Hesabının. Temel Teoremi (5. Etkinlik)...98 BELİRSİZ İNTEGRAL.... Bir Fonksionun Belirsiz İntegrali (6. Etkinlik).... Temel İntegral Alma Kurallarının Türev Alma Kuralları Yardımıla Yazılması (7. Etkinlik)...4. Bir Fonksionun Bir Sabitle Çarpımının, İki Fonksion Toplamının ve Farkının İntegrali (8. Etkinlik) Değişken Değiştirme Yöntemi İle İntegral Alma (9. Etkinlik) Kısmi İntegrason Yöntemi İle İntegral Alma (. Etkinlik) Basit Kesirlere Aırma Yöntemile İntegral Alma (. Etkinlik) Trigonometrik Özdeşliklerden Fadalanarak İntegral Alma (. Etkinlik)...8 BELİRLİ İNTEGRALİN UYGULAMALARI.... İntegral İle Alan Hesabı (5. Etkinlik).... İki Eğri Arasında Kalan Alan (6. Etkinlik)...7. İntegral İle Hacim Hesabı (7. Etkinlik) İntegral Yardımı İle Doğrusal Hareket Problemi Çözümü (8. Etkinlik)...8 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...4 SÖZLÜK...49 KAYNAKÇA...5

10 N S Z Sevgili Öğretmen ve Öğrenciler, Tüm dünada matematik öğrenirken değişik aklaşımlardan ararlanılmaktadır. Bir andan eni ol ve öntemler denenmekte öte andan da matematik öğrenmede daha etkin olabilecek eni aklaşımlar aranmaktadır. Kısacası matematik apmanın biree kazandıracaklarını gerçekleştirmek için sürekli çalışılmaktadır. Sanırız insanın aşamı sürdükçe bu çalışmalar da var olacaktır. Çünkü amaç, birei okul testi başarısından aşamda başarıa taşımaı sağlamaktır. Lütfen bu amacı siz de benimseiniz. Küçük ve geçici başarılar ile etinmeiniz. Matematiği amaçları doğrultusunda öğrenerek ve öğrenilmesine ardımcı olarak aşamda başarılı olmaı hedefleiniz. Sizlere inanıor ve başarılar dilioruz. Prof. Dr. Hüsein ALKAN KİTABIMIZDA KULLANILAN KAVRAMLARIN VE İŞARETLERİN ANLAMLARI Etkinlik: Belirli bir matematiksel kavramın temel apısını oluşturabilmek amacıla apılan çalışmalar. Çalışma Yaprağı: Kavramın pekiştirilmesi amacıla kullanılan sorularla ve örnek çözümlerle ilgili apılan tüm çalışmalar. : Konu ile ilgili alt bölümler : Bilgi Notu : Örnek : Haftalık ders saati programına ugun bölümler ) : Haftalık ders saati programına ugun ölçme soruları

11 . BÖLÜM ALT ÖĞRENME ALANLARI Fonksionlar Fonksionların Tanım Kümesi Parçalı Fonksionlar Mutlak Değer Fonksionu

12 FONKSİYONLAR Önceki ıllarda matematiğin önemli kavramlarından biri olan fonksion ile tanıştınız. Polinom, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksionları incelediniz. Ana özelliklerini öne çıkardınız. Örneğin, 9. sınıfta öğrendiğiniz bir bağıntının fonksion olabilmesi için, tanım kümesinin her bir elemanının, değer kümesinde alnız ve ancak bir elemana eşlenmesi gerektiğini biliorsunuz. A B Tanım Kümesi f Değer Kümesi.. Görüntü Kümesi (f(a)) f: A B, = f() bağıntısı ile verilen fonksionda, e bağımsız değişken, e bağımlı değişken dendiğini öğrendiniz. A R, B R olması durumunda fonksion, gerçek değişkenli ve gerçek değerli fonksion adını alır. R Bildiğiniz gibi normal bir telefonun tuşlarının sekiz tanesinde hem rakam hem harfler vardır. Anı tuşun üzerindeki rakamları harflere ve harfleri rakamlara eşleen bağıntıları inceleiniz. Bu bağıntıların fonksion olup olmadığını tartışınız. H H R a b c a b c 4 : 9 d : z d : z 4 : f() Yukarıda f: [ 5,8] R, = f() fonksionunun grafiği çizilmiştir.

13 Grafiği inceleerek f()= eşitliğini sağlaan değerlerini görünüz. ( 5, ) ndaki değerlerinin görüntülerinin pozitif olduğunu görüorsunuz. Grafiği ve fonksionun diğer aralıklardaki değerlerinin işaretini inceleerek aşağıdaki tablou tamamlaınız f() in + işareti Fonksionun grafiği ile oluşturduğunuz tablou ilişkilendiriniz. Fonksionun grafiğini göz önünde bulundurarak tanımlı olduğu aralıktaki görüntü kümesini belirleiniz. Gördüğünüz gibi grafiği verilen bir fonksionun tanım kümesi, görüntü kümesi bulunur ve işareti kolaca incelenebilir.. ) Aşağıda grafiği verilen fonksionların örnekteki gibi tanım ve görüntü kümelerini bulunuz ve işaretini inceleiniz. Tanım kümesi: [, 4] Görüntü kümesi: [, ] 4 4 f() in işareti + a) b) c) 4 ç) d) e) =

14 ) Aşağıda verilen fonksionların görüntü kümelerini azmaa çalışınız. a) f: [, ] B, f()= + b) g: [, ] B, g()= +5 c) h: [, 5] B, h()= ç) t: [ π, π ] B, t()= sin 4. Aşağıda Venn şemaları ile verilen fonksionların türleri altlarında belirtilmiştir. A f B A g B A h B Bu fonksionların değer ve görüntü kümelerini karşılaştırınız. Verilenleri inceleerek bire bir, örten ve içine fonksionları kendi cümlelerinizle tanımlaınız. bire bir bire bir bire bir örten örten örten i i ne i i ne i i ne Şimdi de aşağıda verilen f ve g fonksionlarının grafiklerini inceleiniz. 5 g 4 f g fonksionunda, g( )= g( ) olduğunu görüorsunuz. Benzer olarak görüntüleri anı olan farklı değerleri bulabilirsiniz. Bu durumda g fonksionunun bire bir olup olmadığını tartışınız. Anı şekilde düşünerek f fonksionlarının tanım kümesinde, görüntüleri anı olan elemanlar olabilir mi? f fonksionunun bire bir olup olmadıklarını 9. sınıfta öğrendiğiniz ata doğru testi ile de bulabilirsiniz. f ve g fonksionunun görüntü kümelerini belirleiniz. Bu fonksionların içine a da örten fonksion olması için değer kümelerinin nasıl seçilmesi gerektiğini tartışınız. A ve B boş kümeden farklı iki küme ve f:a B e tanımlı bir fonksion olsun., A için iken f( ) f( ) vea f( )=f( ) iken = oluorsa f fonksionuna bire bir fonksion, f(a)= B oluorsa f fonksionuna örten fonksion denir. ) Aşağıdaki fonksionların örnekteki gibi grafiklerini çizerek bire bir, örten a. da içine fonksion olup olmadıklarını belirtiniz. f: (,5] R, f()= fonksionunun grafiğini çizelim. 5 f 4

15 Yata doğru testi ugulandığında fonksionun bire bir olduğu görülür. Fonksionun görüntü kümesinin (,] olduğunu görüorsunuz. Görüntü kümesi ile değer kümesini karşılaştırdığınızda fonksionun içine olduğunu söleebilirsiniz. a) f: R R, f()= + b) f: R R, f()= 4 c) f: R R +, f()= ç) f: R R, f()= d) f: R + R, f()= ln e) f: R + R, f()= log f) f: R R, f()= sin g) f: R [,], f()= cos ğ) f: [ π, π ] [,], f()= sin h) f: [,] [, ], f()= arccos ) f() Yukarıda verilen f:r R, f() fonksionunun grafiğini inceleiniz. Bu fonksionun bire bir ve örten fonksion olduğu alt aralıkları belirtiniz. ) Bire bir ve içine fonksion olan f:a B fonksionu verilior. n N olmak üzere, s(a)= 5n+ ve s(b)= n+7 ise n nin alacağı değerleri bulunuz.. Bir fonksionun tersinin de fonksion olabilmesi için, bire bir ve örten fonksion olması gerektiğini hatırlaınız. Buna göre aşağıdaki fonksionlardan hangilerinin ters fonksionu olduğunu bulmaa çalışınız. f :R R, f ()= 5 4 f :R (, ), f ()= + f :R R, f ()= + f 4 :R {} R {}, f 4 ()= + f 7 :R [,], f 7 ()= sin f 5 :[, ) [, ), f 5 = + f 8 :R {} R, f 8 ()= f 6 :(,6) R,f 6 ()= 6 f 9 :R R +,f 9 ()= ln Çalışmanız sonucunda tersi olmaan fonksionlar buldunuz mu? Eğer cevabınız evet ise şunu düşünmenizi istioruz. Acaba tersi olmaan fonksionların, kuralını değiştirmeden, tanım aralığının alt aralıklarında tersi olabilir mi? Tartışarak bulduğunuz bu sonucu genişletiniz. f:r [,], f()= cos fonksionunun ters fonksionunun olup olmadığını inceleelim. f()= cos fonksionunun grafiği dinamik matematik azılımı ile çizdirildiğinde aşağıdaki gibi olur. f 6 -π 4 4 -π π - π π π π 6 Grafikte görüleceği gibi f() fonksionu R de bire bir olmadığından ters fonksionu oktur. Fakat f() in tanım kümesini kısıtlaarak f() in bire bir ve örten olduğu alt aralıklar azılabilir. 5

16 Örneğin f:[,π] [, ] aralığında fonksion ve örten olduğundan bu aralıkta fonksionun tersi vardır. 4. f:a B, = f() fonksionu bire bir ve örten fonksion ise tersini, =f() =f () bağıntısı ile buluordunuz. Ters fonksionu şema ile aşağıdaki gibi gösteriordunuz. A f B =f ().. =f() f Ön öğrenmelerinize göre, f:[,] [4,5], f()= +5 fonksionu bire bir ve örten fonksiondur. Bu fonksionun tersini bulabilmek için, i, cinsinden azmak gerekmektedir. Bunun için, = +5 eşitliğinin sağ tarafını tam karee tamamlaınız. Tamkare ifadei alnız bırakarak eşitliğin her iki tarafının karekökünü alınız. değişkenini alnız bırakınız ve f ()= 4 + bağıntısına ulaşınız. Bulunan f () fonksionunun tanım ve görüntü kümesini bulunuz. f:[,5] [6,46], f()= +4+ fonksionun tersini bulalım. = +4+= +4+4 = (+) = (+) = + + = + [,5] olduğundan += + = + bulunur. Buradan, f ()= + olur. f:r R +, f()= + fonksionun tersini bulalım. = = + += log = log olur. Buradan, f ()= log olarak bulunur.. ) Aşağıdaki fonksionların varsa terslerini bulunuz. a) f :R R, f ()= 5 b) f :R {} R {}, f ()= + c) f :R + R, f ()= log ç) f 4 :[, ) [ 4, ), f 4 ()= 4 d) f 5 :R R +, f 5 ()= e) f 6 :R (, ), f 6 = e + f) f 7 : [ 5 4, ) R+, f7 ()= 4+5 g) f 8 :[,] [ π, π ], f 8 ()=arcsin ) f:r {} R {}, f()= m+7 fonksionunda m+n toplamını bulunuz. n ) = 4 f() Yanda grafiği verilen f:[4,7] [,4], f() fonksionu nun tersinin grafiğini çiziniz. 6

17 4) = Yanda grafiği verilen g fonksionunun tersinin grafiğini çiziniz. 5) g = = f g. Şekil. Şekil. şekildeki f fonksionunun = e göre simetriği bir fonksionken. şekildeki g fonksionunun = e göre simetriği bir fonksion değildir. Bunun nedenlerini açıklaınız. Genelleme apıp apamaacağınızı tartışınız. Evden okula giden bir öğrenci, evden çıktıktan dakika sonra projesini evde 5. unuttuğunu fark ederek eve geri dönüor. Evden projesini alıp çıkması 5 dakika sürüor. dakika sonra da okula ulaşıor. Bu durum aşağıdaki ol zaman grafiğinde gösterilmiştir. 6 Yol (metre) Zaman (dakika) 6. Grafikten de ararlanarak aşağıdaki soruları anıtlaınız. ) Evden uzaklaştığı a da eve aklaştığı zaman aralıklarını belirtiniz. ) Eve olan uzaklığının değişmediği zaman aralığı var mıdır? ) Evden uzaklaştığı zaman aralıklarını göz önüne aldığımızda, zaman ilerledikçe öğrencinin eve olan uzaklığı nasıl değişmektedir? 4) Benzer şekilde, eve aklaştığı zaman aralığında, geçen zaman ile eve olan uzaklık arasında nasıl bir ilişki vardır? a b c d Yukarıda f: [a, d] R tanımlanan f() fonksionunun grafiği verilmiştir. Bu fonksionun tanım kümesinin farklı alt aralıklarındaki değişimi inceleelim. 7

18 ) a b f( ) f( ) (a, b) nda seçilen herhangi < için f( ) ile f( ) değerlerini karşılaştırınız. ) b c Benzer şekilde, [b,c] nda fonksionun grafiğini incelediğimizde, (b, c) na ait, seçilen herhangi < 4 için f( ) ile f( 4 ) değerlerini karşılaştırınız. ) [c, d] nda, farklı değerlerinin c d fonksiondaki görüntülerini karşılaştı rınız. Aşağıda, f:[ 5, 6] R fonksionunun grafiği verilmiştir ( 5, ) nda değerleri artarken değerleri de arttığından fonksion artan, (, 4) nda değerleri artarken değerleri azaldığından fonksion azalandır. (4, 6) nda değerleri artarken değerleri sabit olduğundan fonksion sabit fonksiondur. Bir fonksionun tanım kümesinin bir alt aralığından seçilen her ve değeri için < olmak üzere; a) f( )<f( ) ise f fonksionu artan, b) f( )>f( ) ise f fonksionu azalan, c) f( )= f( ) ise f fonksionu sabit bir fonksiondur. Kalpteki Elektrik Faalietini Gösteren Grafik (EKG) 8

19 7. Aşağıda er alan. şekilde f fonksionun artan ve azalan olduğu aralıklar,. şekilde ise f fonksionunun işareti grafik üzerinde gösterilmiştir. İnceleiniz. f f. Şekil. Şekil 4. Fonksionun apsisi ve olan noktaları için ne sölenebilir? Apsisi olan noktanın özelliği nedir? Fonksionun artan a da azalan olduğu aralıklarla pozitif a da negatif olduğu aralıklar arasında bir ilişki var mıdır? ) 5 5 f Grafiği verilen f:r R, f() fonksionunun artan a da azalan olduğu aralıkları azınız. ) f Yukarıda grafiği verilen R R, f fonksionunun artan a da azalan olduğu aralıkları belirtiniz. ) Aşağıda verilen fonksionların grafiklerini çizerek artan, azalan a da sabit oldukları alt aralıklar varsa belirleiniz. a) f : R R, f ()= b) f : R R, f ()= + c) f : R R, f ()= ç) f 4 : R R, f 4 ()= 6+ d) f 5 : R R, f 5 ()= + e) f 6 : R R +, f 6 ()= f) f 7 : R + R, f 7 ()= log g) f 8 : [,π] [,], f 8 = sin 4) f: [,π] [,], f()= sin ve g: [,π] [,], g()= cos fonksionlarının her ikisinin artan a da azalan olduğu aralıkları bulmaa çalışınız. 9

20 5) Bir aralıkta artan a da azalan bir fonksionun tersi var mıdır? 6) Artan a da azalan bir fonksionun varsa tersi de artan a da azalan mı olur? 8. Aşağıda grafikleri verilen fonksionları inceleiniz. =cos = = = = =sin. GRUP. GRUP Her iki grupta fonksionların başlangıç noktası ve ekseni ile olan ilişkisini a- raştırınız. Bunun için her iki gruptan seçilen aşağıdaki örnekleri çalışınız. f()= g()= f()=... f( )=... g()=... g( )=... f()=... f( )=... g()=... g( )=... f()=... f( )=... g()=... g( )=... f( )=... f( )=... g( )=... g( )=... Elde ettiğiniz görüntülerden ararlanarak f() ve g() fonksionları için bir çıkarıma ulaşmaa çalışınız. Ulaştığınız çıkarımların her =a ve = a değerleri için geçerli olup olmadığını tartışınız. f() fonksionu için elde ettiğiniz sonuç,. gruptaki diğer fonksionlar için de geçerli midir? g() fonksionu için elde ettiğiniz sonuç,. gruptaki diğer fonksionlar için de geçerli midir?

21 Ulaştığınız sonuçları etkinlikte seçilen fonksionların grafikleri ile ilişkilendiriniz. Şimdi de aşağıdaki grafikleri inceleiniz. h()= f()= + g()=. şekilde grafiği verilen f() fonksionunun eksenine göre simetrik olduğunu ve R için f()= f( ) şartını sağladığını,. şekilde ise grafiği verilen g() fonksionunun başlangıç noktasına göre simetrik olduğunu ve R için f( )= f() şartını sağladığını görüorsunuz. Osa. şekilde verilen h() fonksionunun grafiği ne eksenine ne de başlangıç noktasına göre simetriktir ve R için h()= h( ) vea h( )= h() şartlarından hiçbirini sağlamaz. Grafikleri eksenine göre simetrik olan fonksionlara çift fonksion, başlangıç noktasına göre simetrik olan fonksionlara tek fonksion denir. Çift fonksionlar f( )= f(), tek fonksionlar f( )= f() şartını sağlar. 5. ) f:r R, f()= + fonksionu verilior. Bu fonksionda erine alınarak f( )= ( ) +( )= = ( +)= f() sonucuna ulaşılır. Bu size f() fonksionunun hangi özelliğini hatırlatmaktadır? ) = + f() f:r R, f()= + fonksionunun grafiği ukarıda verilmiştir. Bu fonksionun grafiği eksenine a da başlangıç noktasına göre simetrik olmadığından fonksion ne tek ne de çifttir. f( ) ile f() i karşılaştırarak bu fonksionun tek a da çift olmadığını gösteriniz. ) Aşağıda verilen fonksionların tanımlı olduğu aralıklarda tek, çift a da ne tek ne de çift olduklarını belirlemee çalışınız. fonksion tek i ft ne tek ne de çift = + = 4 + = tan = sin+ cos = ++ = + = cos = sin( ) =

22 FONKSİYONLARIN TANIM KÜMESİ Günlük aşantımızda er alan bazı eşlemeler haatımızı kolalaştırır, işlerin daha rahat ürümesini sağlar. Her arabanın bir plakasının bulunması, herkesin bir T.C. kimlik numarasına sahip olması ve ürünlerin barkod numaralarıla belirlenmesi gibi Burada plakaları arabalarla, kimlik numaralarını insanlarla, barkot numaralarını ürünlerle eşleen bağıntıların her biri birer fonksion belirtir. Bu fonksionların tanım kümelerinin sırasıla plaka, kimlik ve barkot numaralarından oluştuğunu söleebiliriz. Adrese Daalı Nüfus Kaıt Sistemi 9. Bir fonksionun tam olarak belirlenebilmesi için tanım kümesinin ve kuralının açık olarak bilinmesi gerekir. Dolaısıla tanım kümesi fonksionun önemli elemanlarından biridir.tanım kümesine bağlı olarak fonksionun özellikleri değişir. Örnek olarak, A R olmak üzere, f:a R, f()= fonksionunu ele alalım. Eğer A kümesi {,,} olarak seçilirse fonksionun grafiği aşağıdaki gibi olur. 4 Değişik olarak A kümesi [,] seçildiğinde fonksionun grafiği, 4 biçimine dönüşür.

23 Sizler de bu fonksion için ugun A kümeleri seçiniz. Kuralı değiştirmeden farklı tanım kümeleri seçebileceğinizi görünüz. Sizce seçilebilecek en geniş A kümesi ne olabilir? g:a R, g()= fonksionunun tanım kümesi A= {,, 4 } a da A= [ 5, 5] olarak seçilebileceği gibi A R olmak üzere farklı A kümeleri de seçilebilir. Burada alınabilecek en geniş A kümesi de R dir. Kuralı verilmiş bir fonksionun tanımlı olduğu en geniş gerçek saı kümesine o fonksionun en geniş tanım kümesi denir. Buna göre f()= fonksionunun en geniş tanım kümesinin gerçek saılar kümesi olduğunu söleebiliriz. Sizler de doğrusal fonksionların en geniş tanım kümeleri ile ilgili bir genellemee ulaşınız. 6. ) A R tanımlı aşağıdaki fonksionlar için seçilebilecek en geniş A kümesini azınız. a) f()= + b) g()= 4 c) h()= a) ) Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerini azınız. b) c) ç). f()= + ve g()= 5 gibi doğrusal fonksionların en geniş tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olduğunu ve bu fonksionların anı zamanda birinci dereceden polinom fonksionlar olduğunu hatırlaınız. Bu tip fonksionların toplamından, farkından vea çarpımından elde edilecek fonksionların, ine bir polinom fonksion olduğunu hatırlaarak aşağıdaki fonksionların tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olup olamaacağını tartışınız. f()+g()= ++ 5= f() g()= + +5= +8 f().g()= (+).( 5)= 7 5 Yaptığınız işlemler sonucunda elde edilen polinom fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. Acaba bu fonksionların tanım kümelerine sınırlama getirme gereği var mıdır? Ulaştığınız sonucu genelleerek polinom fonksionların tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi seçilip seçilemeeceğini tartışınız. f()= + + polinom fonksionunda, seçilecek her gerçek saısının görüntüsü de gerçek saı olacağından bu fonksionun en geniş tanım kümesi R dir.

24 . Yapılan çalışmalar sonunda polinom fonksionların en geniş tanım kümesinin, gerçek saılar kümesi olduğunu fark etmişsinizdir. A,B R, f:a R, f()= + ve g:b R, g()= fonksionlarının bölümünden h() = + bağıntısı elde edilior. Bu bağıntıda h(), h( ) ve h() değerlerini bulmaa çalışınız. = için bağıntının tanımsız olduğunu görmüşsünüzdür. Bunun gibi bağıntıı tanımsız apan başkaca gerçek saılarının olup olmadığını tartışınız. Bağıntının = dışında her gerçek saı için bir görüntüsü vardır, diebilir miiz? h() bağıntısının bir fonksion belirtebilmesi için tanım kümesi nasıl seçilebilir? h() fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. Rasonel bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirtirken nelere dikkat edilmesi gerektiğini tartışınız. f()= fonksionu için padaı sıfır apan değerler 4 ve 4 olduğundan bu 6 fonksionun en geniş tanım kümesi R { 4, 4 } olur. Rasonel bir fonksionun en geniş tanım kümesi, gerçek saılardan rasonel ifadenin padasını sıfır apan değerler çıkarılarak bulunur. 7. ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini azınız. a) = b) = +5 c) = ç) = + ) Aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerinin gerçek saılar kümesi olabilmesi için m ve n değerleri nasıl seçilmelidir? 5 + a) f()= b) f()= +n +4+m ) En geniş tanım kümesi R olan iki tane fonksion azınız. 4) En geniş tanım kümesi R {,} olan bir tane fonksion azınız.. 9. sınıfta öğrendiğiniz köklü saılarla ilgili özellikleri hatırlaınız.tablonun. sütununda verilen değerlerini, diğer sütunlarda erlerine azınız. Elde edilen değerlerin gerçek saı olup olmadığını örneğe ugun biçimde belirtiniz R 8 4 R 5 n N + ve n n tek n N + ve n n i ft n 8 R Tablou doldururken ulaştığınız sonuçlara göre, n N + n ve R için ifadesinin bir gerçek saı olma şartlarını belirtmee çalışınız. n f()= fonksionun en geniş tanım kümesini, n nin tek a da çift olma durumlarına göre bulunuz. Ulaştığınız çıkarımlara göre, g()= +, h()= +5 rının en geniş tanım kümelerini bulmaa çalışınız. 4 4, t()= + fonksionla-

25 n P() bir polinom olmak üzere f()= P() fonksionunun en geniş tanım kümesi n tek ise gerçek saılar kümesi, n çift ise P() şartını sağlaan gerçek saılar kümesidir. f()= fonksionunun kök derecesi çift olduğundan dır. O hâlde f() fonksionunun en geniş tanım kümesi [, ) olur. g()= + fonksionunun kök derecesi tek olduğundan + R dir. O hâlde g() fonksionunun en geniş tanım kümesi R olur. 8. ) Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) = b) = 4 9 c) 5 d) = + e) = + ğ) = + h) = 4 f) = ++6 ı) = + + g) = 5 + ç) = 5 4 ) f()= +a+6 fonksionunun en geniş tanım kümesinin, gerçek saılar kümesi olabilmesi için a değerinin nasıl seçilmesi gerektiğini belirleiniz.. log a b biçiminde bir ifadenin, bir gerçek saıa eşit olabilmesi için a> ve a ve b> olması gerektiğini. sınıfta öğrenmiştiniz. Bu ön öğrenmenizi kullanarak log ( ) (+) ifadesinin bir gerçek saıa eşit olabilmesi için gerekli olan şartları azınız. Bu şartlar ardımıla f()= log ( ) (+) fonksionunun en geniş tanım kümesini bulmaa çalışınız f()= log (7 ) ( ) fonksionunda 7 >, 7 ve > olması gerekir. Ölese in 7>, 6 ve > şartlarını sağlaması gerektiği kolaca sölenebilir. Buradan f() fonksionunun en geniş tanım kümesi (,7) {6} olarak bulunur. h()=log f() g() biçimindeki fonksionların en geniş tanım kümesi, f()>, f() ve g()> eşitsizlik sisteminin çözüm kümesidir. ) Aşağıda verilen fonksionların en geniş tanım kümelerini bulunuz. a) = log ( 4 5) b) = ln( ) c) = log ( ) (4 ) ç) = log( ) ) f()= log log (+) ve g()= log fonksionlarını karşılaştırarak en geniş tanım kümelerini bulunuz. + D C E Şekildeki birim kenarlı ABCD karesinin BC kenarı üzerinde bir E noktası alınıor. CE = seçerek DCE üçgenin alanını e bağlı olarak veren fonksion, f()=. = olur. Tanımlanan f() = fonksionunun en geniş A B tanım kümesini belirlerken değişkeninin bir uzunluk belirttiğini ve ölçüsünün (,) nda kaldığını söleebilirsiniz. Bu küme anı zamanda tanımlanan alan fonksionunun tanım kümesi olur mu? 5

26 Aşağıda verilen ABCD karesinin her köşesinden, bir kenarı birim olan bir kare kesip çıkartıp kalan şeklin alanını veren fonksion f()= 4 olarak azılır. Alan negatif olamaacağından 4 olmalıdır. 4 nin işareti + Tablodan [, olduğu görülür. Ancak uzunluğu gösterdiğinden dır. ] O hâlde fonksionun en geniş tanım kümesi [, ] olur. D C E A B Yaptığınız çalışmalardan gördüğünüz gibi bir fonksionun en geniş tanım kümesini belirlerken matematiksel kısıtlamaların anında geometrik a da fiziksel kısıtlamalar da olabilir. Ölese bir fonksionun tanım kümesini belirtirken alnızca bağıntıı değil, bağıntının temsil ettiği apıı da düşünmek zorunlu olur.. ) Bir kümenin eleman saısını alt küme saısına eşleen fonksionu, değişkenine bağlı olarak azıp en geniş tanım kümesini belirleiniz. ) D C E A B Kenarları AB = cm ve BC = 8 cm olan dikdörtgen biçimindeki kartonun her bir köşesinden, bir kenarı cm olan kareler şekildeki gibi kesilip çıkartılıor. Kalan kısım katlanarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması oluşturuluor. Oluşan prizmanın hacmini e bağlı olarak veren fonksionun kuralını azarak en geniş tanım kümesini belirtiniz. 5. f:r R, f()=, g:[, ) R, g()= ve h:r R h()= fonksionları verilior. Bileşke işlemini hatırlaarak (hog)()=h(g())=h( )= olur. Bu fonksionun en geniş tanım kümesi ile h ve g fonksionlarının tanım kümelerini karşılaştırınız. Siz de farklı iki fonksion ile anı işlemleri aparak genel bir sonuca ulaşmaa çalışınız. 6

27 f()= ve g()= + fonksionları verilior. (fog)() fonksionunu en geniş tanım kümesini bulalım. fog()= dir. Bu fonksionun en geniş tanım kümesi R { } dir. + Bu kümei f ve g fonksionlarının en geniş tanım kümeleri ile karşılaştırınız. Yapmış olduğunuz çalışmalardan, oluşan kurala göre bileşke fonksionlarının en geniş tanım kümelerinin eniden belirlenmesi gerektiği sonucuna ulaşılır.. ) Aşağıdaki tabloda verilen f() ve g() fonksionları için (gof)() fonksionunu bulunuz ve tanım kümesini azınız. f() g() (gof)() f:r R f()= f:r R f()= + f:r R f()= f:r {} R f()= + g:r + R g()= log g:r {} R g()= g:r { π +k.π } R, (k Z) g()= tan g:r { } R g()= + ) Aşağıdaki tabloda verilen h() fonksionlarının hangi iki fonksionun bileşkesi olarak azılabileceğini örnekten de ararlanarak bulunuz. h()= g(f()) g() f() (+) sin5 4 cos + + ln(sin) ) Gerçek saılarda tanımlı, f()=, g()= 8 ve h()= ++ fonksionları verilior. fog, gof, hof, foh ve fof bileşke fonksionlarının kurallarını bularak bileşenleri ile karşılaştırınız. Fonksionlarda bileşke işleminin birim elemanı ile ilgili bilgilerinizi hatırlaarak herhangi bir f fonksionu ile hangi fonksionun bileşkesi f olur? Genelleiniz. 7

28 f()= (+) 5 fonksionu 5 ve + fonksionlarının bileşkesi biçiminde gösterilir. Bu gösterim tek değildir. f() fonksionu 5 ve (+) fonksionlarının bileşkesi biçiminde de gösterilir. PARÇALI FONKSİYONLAR 6. MEB Ortaöğretim Kurumları Sınıf Geçme ve Sınav Yönetmeliği nin (9..5/597) 6. maddesi aşağıda verilmiştir. Not Düzeni: Madde 6 Öğretmenler, sınav sorularını düzenlerken öğretim programlarında belirtilen özel ve genel amaçları varsa hedeflenen becerileri, açıklamaları ve konuları esas alır. Öğrenci başarısını ölçme ve değerlendirmede beşli not düzeni kullanılır. Öğrencinin başarısı dört, başarısızlığı iki notla değerlendirilir. Sınav, ödev ve projeler ile ilgili ugulamalar, tam puan üzerinden değerlendirilir. Değerlendirme sonuçları, öğretmen not defteri ile not çizelgelerine puan olarak azılır. 8

29 Puanların not değeri ve derecesi aşağıdaki gibidir. Puan Not Derece 85 5 Pekii İi Orta Geçer 5 44 Geçmez 4 Etkisiz Puanlara karşılık gelen not değeri grafik olarak aşağıdaki gibi çizilebilir. Not Puan Çizilen grafiği ve puan tablosunu inceleiniz. Alınan puanları nota çeviren bağıntının bir fonksion tanımladığını görmee çalışınız. Tartışmalar sonucunda belirlediğiniz fonksionun tanım ve görüntü kümelerini azınız. Şimdie kadar öğrendiğiniz fonksionlarla bu fonksionu karşılaştırınız. Sizce, fonksionun tanım kümesinin her elemanı için fonksionun kuralı anı mıdır? Tanımladığınız fonksionu oluşturan bağıntı, <5 ise, 5 <45 ise, 45 <55 ise f()= biçiminde gösterilir., 55 <7 ise 4, 7 <85 ise 5, 85 ise R den R e tanımlı, tanım kümesinin (, ) alt aralığında = + ve (,] alt aralığında = kuralları ile verilen f() fonksionu, f()= { + > ise ise biçiminde gösterilir. Tanım kümesinin farklı alt aralıklarında kuralı değişen fonksiona, parçalı fonksion denir. 9

30 . ) Bir ilacın çocuklar için, vücut ağırlığına göre saatte bir ugulanacak dozu aşağıdaki gibidir. Vücut Kütlesi Ugulanacak Doz 8 kg,5 ml 9 kg,5 ml 9 kg,75 ml 4 kg 5 ml Yukarıdaki tablou parçalı fonksion hâline dönüştürerek grafiğini çiziniz. ) İzmir Büükşehir Belediesinin 7 ılında konutlar için su tüketim tarifesi aşağıdaki gibidir. SU HAYATTIR SUYU TASARRUFLU KULLANALIM. Miktar (m /a) kg 4 kg kg... kg Fiat (TL),9 TL,9 TL 5 TL 6 TL Tüketilen su miktarını fiata eşleen parçalı fonksionu azarak grafiğini çiziniz. 7. = = 4 4 = Yukarıda verilen fonksion grafiklerinden renklendirilmiş kısımlar alınarak aşağıdaki f() parçalı fonksionu tanımlanıor. 4 Elde edilen eni fonksionun bağıntısını azınız. Yazdığınız fonksionun f( ), f(), f(), f(4) ve f(6) değerlerini bulunuz.

31 Tüm aptıklarınızı tartışınız ve eniden değerlendiriniz. Çalışmalar sonunda parçalı tanımlı bir fonksionun tanım kümesinin nasıl azılacağını belirlemee çalışınız. Tanım aralığının alt aralıkları ile aptığınız tanımı ilişkilendiriniz. 8. {, ise f:r R, f()= +, < ise +, > ise parçalı tanımlı fonksionu verilior. Önce her biri R R tanımlı f ()=, f ()= +, f ()= + fonksionlarının aşağıda verilen anı koordinat düzlemindeki grafiklerini inceleiniz. Daha sonra bu grafikler ardımıla parçalı tanımlı fonksionun grafiğini çizmee çalışınız. Aralarındaki ilişkii tartışınız. f ()=+ f ()= f ()= + Çalışmalarınıza göre bir parçalı tanımlı fonksionun grafiği çizilirken nelere dikkat etmek gerekir? Fonksionun parçalanma (kritik) noktalarının grafikteki önemi nedir?. ) Aşağıda verilen fonksionların belirtilen değerler için görüntülerini bulunuz. < ise a) f:r R, f()= { 5 ise f()=?, f( )=?, f( )=?, (fof)()=? { ++, ise b) g:r R, g()= 5, < ise g()=?, g( )=?, g()=? +, > ise g(5)=? {, tek saı ise c) h:n R, h()= +4, çift saı ise h()=?, h( )=?, h()=?, h(8)=? m < ise ) f:r R, f()= { fonksionu için +m ise f( 4)=f(5) ise m değerini bulunuz. ) Aşağıda R R e tanımlanan fonksionların grafiklerini çiziniz. + < ise a) f()= { ise ise b) g()= { < ise < ise c) h()= { + ise > ise

32 MUTLAK DEĞER FONKSİYONU Deniz seviesi çizgisini düşünerek dağın gerçek büüklüğü ile ansımasının büüklüğünü karşılaştırınız. Saı doğrusu üzerinde, bir gerçek saının karşılık geldiği noktanın başlangıç noktasına olan uzaklığına o saının mutlak değeri dendiğini hatırlaınız. Bu tanımlamaa göre, = 5, =, = oluordu. Daha genel biçimde a gerçek saı olmak üzere, a = a, a ise, { a, a< ise, gösterimini kullanıordunuz. Bu konumuzda ise fonksion kavramı ile mutlak değer kavramını ilişkilendireceğiz. 9. Bir gerçek saıı mutlak değerine eşleen fonksionu, f: R R, f()= olarak azalım. Bu fonksionu, mutlak değerin tanımı ve aşağıdaki tablo ardımıla in işareti f() + f()= =, ise, {, < ise, şeklinde azılabilir.. Gördüğünüz gibi azılan fonksion, bir parçalı tanımlı fonksiondur. Benzer şekilde, g()= ve h()= 4 fonksionlarını aşağıdaki tablolar ardımıla parçalı tanımlı fonksion biçiminde azınız. nin işareti + 4 ün işareti + + g() + h() Siz de değişik örnekler seçerek işlemleri sürdürebilirsiniz.

33 Genel olarak = f() biçiminde tanımlanan fonksionlara mutlak değer fonksionu denir. Ulaşılan tanımı ve etkinlikte aptıklarınızı birlikte düşünerek her mutlak değer fonksionunun bir parçalı tanımlı fonksion olduğunu söleebilir misiniz? 4. ) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksionlarını birer parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. a) f ()= +5 b) f ()= c) f ()= ç) f 4 ()= 9 ) f: R R, f()= + + fonksionunu aşağıdaki tablodan ararlanarak parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. + nin işareti f() + += ++=+ ) Aşağıda R de tanımlanan mutlak değer fonksionlarını birer parçalı tanımlı fonksion olarak azınız. a) f ()= + b) f ()= + + c) f ()= + ç) f 4 ()=. f: R R, f()= + fonksionunun grafiğini çizelim. ün işareti f() ++= + += Tablodan da görüldüğü gibi, fonksionu,, < ise, f()= {, ise, biçiminde parçalı tanımlı fonksion olarak azabiliriz. = ve = fonksionlarının grafikleri aşağıda verilmiştir. Bu grafiklerden ararlanarak parçalı tanımlı f() fonksionunun grafiğini çiziniz. Fonksionun kritik noktası ile grafiğini ilişkilendiriniz. Benzer olu izleerek g: R R, f()= + fonksionunun grafiğini çiziniz.

34 . Aşağıda R R e f()= ve g()= 4 fonksionları ile f() ve g() fonksionlarının grafikleri çizilmiştir. f() f() g() 4 g() 4 Grafikleri inceleerek bir fonksionun grafiği ile mutlak değerinin grafiğini karşılaştırınız. Grafiklerde gözlemlediğiniz değişiklikleri azınız. Siz de değişik fonksionlar alarak bu fonksionların grafikleri ile mutlak değerlerinin grafikleri arasında da benzer değişikliklerin olup olmadığını araştırınız. Mutlak değer fonksionunun uzunluk kavramında olduğu gibi negatif değer alamaacağını söleebiliriz. f: [ π, π [, ] f()= cos fonksionunun grafiğini çizelim. Bunun için anı ] tanım aralığında =cos fonksionunun grafiği çizilir. π π π =cos π π Bu grafikten ararlanarak f()= cos fonksionunun grafiği andaki gibi çizilir. f()= cos π π π π π Bir fonksionun mutlak değerinin grafiği çizilirken fonksionun pozitif değerler aldığı kısım anen kalır, negatif değerler aldığı kısmın eksenine göre simetriği alınır. 4

35 5. ) Aşağıda R de tanımlanan fonksionların grafiklerini çiziniz. a) f ()= + 4 b) f ()= 6 c) f ()= ++ ç) f 4 ()=. + d) f 5 ()= + e) f 6 ()= + + ) f: [ π, π] [, ], f()= sin fonksionunun grafiğini çiziniz. ) f: R + R, f()= ln fonksionunun grafiğini çiziniz. 4) Aşağıda grafikleri verilen fonksionların mutlak değer fonksionlarının grafiklerini çiziniz. f() b g() h() a a b a b c. Mutlak değer fonksionlarında öğrendiğiniz bilgileri, mutlak değerli denklem çözümünde kullanalım.örnek olarak, + + = denkleminin çözüm kümesini bulalım. Denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini incelediğimizde aşağıdaki işaret tablosunu elde ederiz. nin işareti + nin işareti Tabloda görüleceği gibi < durumunda denklem ( +)+( )= biçimine dönüşür. İkinci olarak < durumunda ise denklem ( +)+(+)= olur. Son olarak konumunda denklem ( )+(+)= biçiminde azılır. Her konumda denklemin çözümünü araştırınız. Çözüm kümesi ile tanım aralığının ilişkisini bulmaa çalışınız. Şartları sağlaan değerlerini alarak = denkleminin genel çözüm kümesini tanımlaınız. + += 5 denkleminin genel çözüm kümesini bulalım. Mutlak değerli terimin işaretini inceleelim: + in işareti

36 Tablodan, < ise += 5 işlemi apılarak = 6 bulunur. = 6, < şartını sağlamadığından denklemin kökü olamaz. ise ++= 5 = 4 = 4 olur. = 4, şartını sağlar ve denklemin bir köküdür. Ölese bu denklemin çözüm kümesi: Ç.K.= { 4 } olur. Yukarıdaki çalışmalardan mutlak değer içeren herhangi bir denklemi çözerken öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerektiğini fark etmişsinizdir. Bunun için mutlak değeri alınan ifadenin işaretini incelemek gerektiği sonucuna ulaşılır. 6. ) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a) + = b) =4 c) = ç) = d) + 4 =8 e) + + =5 f). 9= g) + 6= ğ) + = ) f()= + 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) f: R R, f()= + + fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği noktalar ile + = denkleminin çözüm kümelerini karşılaştırınız. 4) f: R R, f() fonksionu tanımlanıor. f( ) = f() ise f fonksionu için ne sölenebilir? 5) f: R R, f()= ve g:r R, g()= 4 + fonksionlarının kesişim noktasını bulunuz. Bulduğunuz noktaı grafikleri kullanarak doğrulaınız.. Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlediğimiz işlem basamaklarından ararlanarak <+4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmaa çalışalım. in + işareti İşaret tablosunda görüldüğü gibi, < durumunda eşitsizlik +<+4 biçimine dönüşür. Buradan > elde edilir. < ve > şartlarını beraber sağlaan değerlerinin ait olduğu aralığı azınız. durumunda eşitsizlik <+4 biçiminde azılabilir. Buradan > 6 elde edilir. ve > 6 şartlarını beraber sağlaan değerlerinin ait olduğu aralığı azınız. Elde edilen çözüm aralıklarından ararlanarak eşitsizliğin çözüm kümesi Ç.K.= {, R} biçiminde azılabilir. Mutlak değerli denklemlerin çözümünde izlenecek basamakları tartışarak bir sonuca ulaşmaa çalışınız. + + < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulalım. Bunun için denklemdeki mutlak değerli terimlerin işaretlerini inceleelim. 6

37 + nin işareti nin işareti + + <4 +<4 > <4 <4 ++ <4 < < için eşitsizlik > ifadesine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç = (, ) olur. << için eşitsizlik <4 olur. Bu ifade aralıktaki her değer için doğrudur. Yani Ç = (, ) olur. > için eşitsizlik < biçimine dönüşür. Bu aralık için çözüm Ç = (, ) olur. = ve = için eşitsizliğin sağlandığını kolaca görebilirsiniz. Buradan eşitsizliğin çözüm kümesi Ç= (, ) olur. Yapılan çalışmaların sonucunda, mutlak değer içeren eşitsizliklerin çözümü a pılırken öncelikle mutlak değerin kaldırılması gerekir. 7. ) Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz. a) < 4 b) + c) +4 ç) + + < 6 d) < < 4 e) +4 < f) 6 > g) < ) Saı doğrusu üzerinde seçilen tam saısına olan uzaklıkları, 5 e olan uzaklıklarından daha küçük olan saıların bulunduğu aralığı belirtiniz. ) +4 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulunuz. 5 ( ) 4) f()= 9 değeri vardır? fonksionun tanımlı olduğu aralıkta in kaç farklı tam saı 5) f()= (a ) 5 + +(b ) +c+6 fonksionu çift fonksiondur. a+b+c= olduğu na göre f() değeri kaçtır? 6) f()= 7 +(m+) 4 + +m+n+4 fonksionu tek fonksion olduğuna göre, f( m n ) değeri kaçtır? 7) f()= +7 fonksionunun alabileceği en büük değer kaçtır? kaçtır? 8) f() çift fonksiondur. f( )+f( )=( a) +(a+)+a ise f( ) değeri 9) f()= f( )+4+6 eşitliğini sağlaan f() fonksionu tek fonksion olduğuna göre f (7) değerini bulunuz. + ) f()= { + < ise f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 7

38 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME ) I.Bir okulda, öğrencileri okul numaralarına eşleen fonksion II.Her T.C. vatandaşını, on bir basamaklı T.C. kimlik numarasına eşleen fonksion III.Bir okuldaki öğrencileri, sınıflarına eşleen fonksion IV.Bir şehirde aşaan insanları, ev adreslerine eşleen fonksion V.Yukarıda verilen fonksionların türlerini belirtiniz. ) Koordinat düzleminde hareket eden bir noktanın t zamanına bağlı olarak koordinatları =t ve =t+ olmaktadır. i türünden ifade ederek noktanın hareketini gösteren fonksionu azınız. Nokta nasıl bir ol izlemektedir? ) f() Yanda grafiği verilen f() fonksionunun bire bir olmadığı aralıkları belirtiniz. 4) f()= (a ) +(b+)+a.b fonksionunun sabit bir fonksion olması için a ve b değerleri ne olmalıdır? 5) Her elemanı kendisi ile çarpımsal tersinin toplamına götürüor. biçiminde tanımlanan f fonksionu verilior. Buna göre f(7) değerini bulunuz. 6) 4 Yanda f() fonksionunun grafiği verilmiştir..f() eşitsizliğini sağlaan tam saılarının kaç tane olduğunu bulunuz. 4 f() 7) Aşağıdaki tablo, düzgün çokgenin kenar saısına bağlı olarak her bir çokgenin bir iç açısının ölçüsünü göstermektedir. kenar saısı n açı ölçüsü A(n) a) Bu fonksionun tanım kümesini azınız. b) Geometri bilgilerinizi kullanarak A(n) fonksionunu oluşturunuz vea azınız. 8) Aşağıda verilen bağıntılardan fonksion olanların tanım ve değer kümelerini azınız. f()= =g() 4 =h() 8

39 = = =k() 9) f: {,,, } R tanımlı f()= + fonksionunun görüntü kümesinin elemanları toplamını bulunuz. ) Yerden m/sn. hızla dike olarak havaa atılan topun t saniede üksekliğini veren fonksion h(t)=t 5t dir. a) Top kaç sanie sonra ere düşer? b) h fonksionunun tanım kümesini azınız. c) Top kaç metre ükselmiştir? ) Aşağıdaki tabloda bazı değerleri verilen doğrusal fonksion günlük aşamdan ne ile ilişkilendirilebilir? a) Fonksionun e bağlı kuralını oluşturabilir misiniz? b) Tabloda verilmeen iki değeri bulunuz. c) = 4 iken fonksionun değeri kaçtır? ) Karenin alanını ifade eden bağıntıı çevresi cinsinden azınız. Yazdığınız bağıntı fonksion ise tanım ve değer kümelerini azınız. ) f: [, 5 ] R, f()= +8 5 fonksionunun grafiğini çiziniz. Fonksionun bire bir olup olmadığını araştırınız. 4) f: {(a,),(b,),(c,),(d,4),(e,5)} fonksionu verilior. f fonksionunun tanım ve görüntü kümelerini azınız. 5) f: [4, ) [ 5, ) tanımlı f()= 8+ ise f () nedir? 6) 5 4 f() Yanda grafiği verilen f fonksionu için aşağıdaki soruları anıtlaınız. a) f()= denklemini sağlaan değerleri bulunuz. b) f ( )+f( )+ f() toplamını bulunuz. c) f( )+ f (5) toplamını bulunuz. 7) f: [,+ ) R tanımlı f()= ln( ) verilior. f () fonksionunun kuralını bulunuz. 8) R de tanımlı f fonksionu için f( 4)=6+5 tir. Buna göre f () fonksionunu bulunuz. 9

40 9) f: R R, f()= ve g: R R, g()= + fonksionları verilior. 4 f (a)+g (a)=(fog)() eşitliğini sağlaan a değerini bulunuz. ) f: R {} R {a} tanımlı f()= a verilior. f()=f () ise a değeri kaç olma- ) f: R R +, f()= üstel fonksionu verilior. f () değerini hesaplaınız. lıdır? ) f: R + R, f()=log fonksionu verilior. f () değerini hesaplaınız. ) = doğrusuna göre simetrik olan iki fonksion azınız. 4) f()=a+b fonksionu daima artan bir fonksiondur. g()= f ()=c+d olduğuna göre a ile c nin işaretlerini karşılaştırınız. 5) 4 f() Şekilde verilen f() fonksionunun azalan olduğu en geniş aralığını bulunuz. 6) R [,], f()= sin ile g()= cos fonksionlarının tek a da çift olup olmadıklarını araştırınız. 7) Gerçek saılarda tanımlı f() fonksionu tek fonksiondur. f() f( )= 8 +8 ise f() in değeri kaçtır? 8) = + fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. 9) = ++ fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) = C D Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgeninin B A köşesi parabolün üzerindedir. C(, 4) olduğuna göre dikdörtgenin alanını gösteren fonksionun kuralını azarak en geniş tanım kümesini belirtiniz. ) f()= 4 fonksionunun en geniş tanım kümesini bulunuz. ) f: R R, f()= fonksionu ) f()= iken 4) f: R R, f()= { f(4)+f() toplamının değerini bulunuz. f (+h) f () h oranını bulunuz. (h ) f (+a) f (), (a ) ifadesinin değerini hesaplaınız. a ise = ise biçiminde tanımlanan f fonksionu için

41 5) Tabloda verilenleri göz önüne alarak t değişkenine bağlı fonksionları azıp grafiğini çiziniz. <t ve t <t ve t <t ve t <t ve t 4 6) f: R R, f()= { 7) () 5+.() 5+.() < ise < ise ise fonksionun grafiğini çiziniz. = denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 8) Gerçek saılarda tanımlı f()= + 4 fonksionunun grafiği ile ekseninin sınırladığı bölgenin alanını bulunuz. 9) f() in grafiğini çiziniz. f() 4) =f() Yandaki şekil =f() fonksionuna ait bir grafiktir. Buna göre, = f()+f() fonksionunun grafiğini çiziniz. 4 4) f()= f()= fonksionunun grafiği anda verilmiştir. f( ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 4) < ve eşitsizliklerini sağlaan (, ) ikililerinin belirttiği bölgei analitik düzlemde gösteriniz. 4) = 4 fonksionu verilior. fonksionunun grafiğini çiziniz. 44) = + + fonksionunu grafiğini çiziniz. + 45) a < ve b 6 < koşullarına uan ve a ve b değerlerini bulunuz. Bulduğunuz bu değerler için aşağıdaki ifadelerin hangi değerleri alabileceğini söleiniz. a) a b b) a +ab+ 46) f()= ve g()= fonksionlarının grafiklerini karşılaştırınız.

42 47) <<5 için f()= ifadesinin eşiti nedir? 48) += denkleminin çözüm kümesini bulunuz. 49) =f()= Yandaki şekilde R R, f()= fonksionunun grafiği verilmiştir. Sizce R R, f() fonksionu; a) Bire bir midir? b) Örten midir? c) Artan mıdır? ç) f() fonksionunun grafiği nasıl olabilir? d) f() fonksionunun görüntü kümesi nedir? e) f() ile f() fonksionlarının tek a da çift fonksion olup olmadıklarını araştırınız. 5) f()= 4 fonksionunun en geniş tanım kümesinin R {} olduğunu söleebiliriz. Gerçekten de = dışındaki tüm gerçek saılar için fonksionun gerçek saı olan bir görüntüsü vardır. Şimdi fonksionu çarpanlarına aırıp sadeleştirelim. f()= 4 = ( ).(+) = + Yaptığımız sadeleştirme fonksionun tanım kümesini değiştirmiştir. Çünkü, f()= + fonksionu = için tanımlanmıştır. Bu hatadan kaçınmak için fonksionun sadeleşmiş biçimi f()= +, olarak belirtilmelidir. Sizler de aşağıdaki fonksionların en geniş tanım kümelerini ve sadeleşmiş biçimlerini azınız. a) f ()= 6 b) f ()= + c) f ()= + ç) f 4 ()= log ( ) (+) d) f 5 ()= log ( 4) e)f 6 ()= f) f 7 ()= 4 5 g) f 8 ()= 5) f()= log ( ++) fonksionunu tanımlı apan tam saılarının toplamı kaçtır? 5) f()= log ( )( 6 + ) fonksionunu tanımlı apan doğal saıları kaç tanedir? Bilim deince, onda hakikat die öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şeklile matematikte bulunur. O hâlde bilim o disiplindir ki önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmaan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır. M.Kemal Atatürk

43 . BÖLÜM ALT ÖĞRENME ALANLARI Limit Aritmetik ve Geometrik Diziler Süreklilik

44 LİMİT İÖ 5. üzılda aşamış Yunanlı düşünür Zenon'un şu hikâesi meşhurdur. Bir gün Antik Yunan'ın meşhur savaşçısı Akhilleus (Aşil), bir kaplumbağala koşu arışı apmaa karar vermiş. Akhilleus, kaplumbağadan tam kat daha hızlı olduğu için kaplumbağanın arışa m önden başlamasına izin vermiş. Yarış başladıktan birkaç sanie sonra, Akhilleus aradaki m'i hemen aşmış, ama bu arada onunkinin onda biri hızla hareket eden kaplumbağa, m ilerlemiş. Yani aralarındaki mesafe artık m imiş. Akhilleus, bu m'i de geçerken kaplumbağa da m ilerlemiş, ani artık aralarında m varmış. Akhilleus, bu m'i geçerken kaplumbağa da / m, ani cm ilerlemiş. Akhilleus bu cm'i geçerken de kaplumbağa cm ilerlemiş. Akhilleus bu cm'i de geçince aralarındaki uzaklık mm'e düşmüş. Yani fark sürekli onda birine düşüor ama asla kapanmıormuş! Yani kaplumbağadan kat hızlı olan Akhilleus, kaplumbağaı hiç geçememiş! Limit, matematiğin en önemli kavramlarından biridir. O nedenle beşinci işlem olarak da adlandırılmaktadır. Tüm matematiksel kavramlarda olduğu gibi limit kavramının oluşturulması ve öğrenilmesi için bazı ön öğrenmelerin çok ii bilinmesi gerekmektedir. Bunlar özetle sonluluk, sınırlılık, aralık, komşuluk, aklaşım ve aklaşık değer olarak sıralanabilir. Limiti öğrenmek isteenlerin ön öğrenmelerle ilgili eksikleri varsa önce bunları gidermeleri gerekir... şekilde görüldüğü gibi çemberin içine düzgün ve dışbüke çokgenler çizilmiştir. Bu çokgenlerin her birinin çevresinin, çemberin çevresinden küçük olduğunu kolaca söleebiliriz. Ancak çokgenlerin kenar saılarını artırarak çevre uzunluğunun nee aklaştığını tahmin edebilirsiniz.... A. Şekil Yukarıdaki aklaşıma benzer olarak anda verilen çemberin AB kesenini ele alalım. B 4

45 A B B B B B 4 t B noktasını A noktasına adım adım aklaştırarak keselerin nee aklaştığını görmee çalışınız. a b a b a b [a, b] nda, grafiği verilen eğri altında kalan alanı, şekildeki gibi dikdörtgenlere bölünüz. Dikdörtgenlerin saısını artırdığınızda dikdörtgenlerin alanları toplamının hangi alana aklaştığını tahmin ediniz. Yaptığınız çalışmaların ortak anlarını tartışınız ve bunlardan bir sonuç çıkarmaa çalışınız.. İki öğrenci, aşağıdaki kurallara uarak bir saıa aklaşma ounu onamaktadır. Bir saı seçilir. Öğrencilerden biri seçilen saıdan her zaman daha küçük, diğeri daha büük gerçek saılar söler. Seçilen saıa en akın saıı sölemee çalışır. Rakibinin sölediği saıdan daha akın bir saı söleemeen ounu kabeder. Örneğin 5 saısı seçilmiş olsun ve öğrenciler sırasıla çizelgede verilen saıları sölemiş olsun.. öğrenci. öğrenci 4,5 5,5 4,9 5,9 4,97 5, 4,99 5, 4,9998 5, Sizce bu ounu kim kazanır? Daha önce oluşturulan R saı ekseni üzerinde seçilen bir a noktasına, r birimden daha akın olan noktaların kümesine "a nın r komşuluğu" denir ve (a r, a+r) biçiminde gösterilir. Bu gösterim R saı ekseninde aşağıdaki gibidir. a r a a+r R Buna göre R saı ekseni üzerinde seçeceğiniz bir a noktasının r komşuluğunu düşününüz ve seçilen komşulukta a noktasına nasıl aklaşabileceğinizi araştırınız. a r a a+r R Tartıştığınızda göreceksiniz ki eğer (a,a+r) nda iseniz a a aklaşmanız için a dan büük saıları kullanmanız gerekir. Tersine eğer (a r, a) nda iseniz a a aklaşmak için a dan küçük değerleri kullanmanız kaçınılmazdır. 5

46 Biz bilioruz ki R de saılar sıralıdır. Yani R de seçilen bir b saısı sağındaki saıdan küçük, solundaki saıdan büüktür. Bu nedenle alnızca R den söz ettiğimizde, büük değerler alarak bir saıa aklaşmak o saıa "sağdan aklaşmak" ve küçük değerler alarak bir saıa aklaşmak da "soldan aklaşmak" olarak adlandırılır. Yukarıda seçilen a nın komşuluğu için düşündüğünüzde "", a a soldan aklaşıor." dediğimizde a dan küçük değerler alarak gelior, anlamındadır. Matemetik dilile bu " a " ile gösterilir. Tersine ", a a sağdan aklaşıor." dediğimizde ise a dan büük değerler alarak gelior, biçimindedir ve a + ile gösterilir.. Aşağıdaki fonksionların verilen nokta komşuluğunda o noktaa aklaşırken aldığı değerler ile fonksionların grafiklerini karşılaştırınız ve tartışınız.. f : R R, f ()= fonksionunda = noktası: f (),,,9,8 f ()= : : : :,9,,99,,, : :,8,9,, : :,8,9 { <. f : R R, f ()= = + > fonksionunda = noktası: f (),9 : : +,,,, : :,9,9 : :,,,, : :,8. f : R R, f ()= fonksionunda = noktası:,9 : :,,,, : :,9 f () :: : : 6